MATERI : GESERAN (TRANSLASI) – KELOMPOK 6 (VI.E)
Disusun Oleh:
1. ARI SUKA LESMANA
2. YULAIMA SUPRIHATIN
3. HERVI MARDIANA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMUPENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
STKIP – PGRI LUBUKLINGGAU
GESERAN (TRANSLASI)
Geseran (translasi) adalah suatu transformasi yang memindahkan semua
titik pada bidang dengan jarak yang sama dan arah yang sama.
Ketentuan dan sifat-sifat
Teorema 1:
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B
maka 'AA = 'BB dengan "A = MhMg (A) dan B" = MhMg (B) Bukti: Kita pilih sebuah sistem koordinat dengan misalnya t sebagai sumbu y dan
sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu x.
Andaikan A = (a1a2 ) dan B=(b1,b2). Kalau N tengah-tengah ruas garis
BA" maka harus di buktikan SN(A)=B " . Andaikan persamaan h adalah x = k
(k ≠ 0). Apabila P = (x,y) dan P ' (Mh(P)) maka 'PP memotong h di sebuah
titik Q (k,y) dengan Q sebagai titik tengah 'PP . Jadi P = Mh (P) = (2k – x,y)
sedangkan Mg (P) = (-x,y). Jadi MhMg (P) = MhMg (P) = Mh{(-x,y)}= (2k-x,y)
Jadi pula A" = MhMg (A) = (2x + b1 .a2 )
B " = MhMg (B) = (2x + b1.b2)
B"
n A’(x,y)
A"
N
0 B
g h
A
(x,y)
Oleh karena N titik tengah BA" maka:
N = ( )
+−++
2
2211
22
a
babak
Sedangkan SN(A)=
−
+−
++2
22,1
11
22
2
22 a
baa
bak
SN(A)=(2k+b1.b2)=B "
Dengan demikian,maka "AA = "BB
Teorema 2:
Apabila AB = CD maka GAB = GCD
Bukti: Jika X sebarang,maka harus dibuktikan GAB(X)=GCD(X)
Andaikan GAB(X)=X1 dan GCD(X)=X2
Jadi 1XX = AB dan 2XX = CD
Karena AB = CD maka 1XX = 2XX berarti X1=X2 sehingga
GAB=GCD.
Teorema 3:
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah
tegak lurus pada C dan C g dan D h, apabila AB = 2 CD maka GAB =
Mh Mg
Bukti: Andaikan P sebuah titik sebarang, jika P=GAB(P) dan P' =MhMg(P)
maka harus dibuktikan bahwa P=P'
h
C’ = MAMg(C)
Menurut ketentuan geseran, 'PP = AB Oleh karena AB = 2CD , maka 'PP =
2CD berhubungan C" =MhMg(C), C ∈g. Maka C" =Mh(C). Jadi D adalah titik
tengah "CC sehingga "CC = 2CD . Oleh karena "CC = 'PP (teorema .1).
maka "PP =2 CD = 'PP ini berarti bahwa P=P' Jadi GAB(P)=MhMg(P) karena
P sebarang, maka GAB=MhMg.
Teorema 4 :
Jika GAB sebuah geseran maka (GAB)=GBA
Bukti: Oleh karena himpunan isometri-isometri merupakan grup bagian dari
grup transformasi-transformasi. Maka setiap geseran memiliki balikan
(GAB) 1−
Dari uraian diatas kita peroleh berturut-turut yaitu:
GAB=M h Mg=MgMh
h
g P
C
C’
B
A
P'
D
C
k
n
Sedangkan
GAB=MhMg=MgMh
Sehingga
(GAB) 1− =(MgMh) 1− Mh
1− Mg
1− =MgMh=GBA
Jadi
(GAB)=GBA
Hasil Kali Geseran
Akan di perlihatkan bahwa setiap geseran dapat di uraikan sebagai hasil kali dua
setengah putaran.
Teorema 5 :
Jika GAB Sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga AB = 2
CD maka GAB = CDSS
Bukti : Andaikan G = CD ; K ⊥ g di C, n ⊥ g di D.
A
B
Maka CD ruas garis berarah dari k ke n. Oleh karena AB = 2 CD maka =
sedangkan = dan = . Jadi :
= ( )( )= ( )
atau :
= ( I = . Dengan demikian maka =
Teorema 6 :
Komposisi suatu geseran dan Suatu setengah putaran adalah Suatu setengah
putaran.
Bukti : Andaikan suatu geseran dan C sebuah titik sebarang . Andaikan E titik
yang tunggal sehingga CE = AB . Andaikan D titik tengah CE maka CE = 2
CD .menurut teorema 5 = .Jadi, = ( ) = ( ) = I
= maka =
Akibat : andaikan , ,dan masing-masing setengah putaran, maka =
dengan D sebuah titik sehingga AD = CD
Bukti :
Kita peroleh berturut – turut = . jadi , =
A B
D C
Andaikan = maka 2 BC = 2 AX atau BC = AX .jadi , =
sehingga = .
Perhatikan dua geseran dan . Maka (A) = B dan (B) = C .
sehingga dapat kita tulis bahwa (A) = C . apabila E titik sebarang , maka
(E) = dengan = sedangkan GAB (E ' )=E" sehingga "'EE = .
Maka = E” dengan = sehingga GBC (E) = E”= (E).
Jadi = .
Hal ini dapat juga dilihat sebagai berikut dengan menggunakan teorema .6:
Andaikan P.Q dua titik sehingga 2 = dan titik R sehingga 2 = maka
= dan =
Sehingga = ( ) ( ) =
Oleh karena 2 = maka =
Jadi =
Dengan demikian terbukti teorema berikut:
B
Q
A P R
C
E’
E E’
Teorema .7 : Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi.
Catatan : Apabila = maka = = I. Disini I adalah
transformasi identitas .
Jadi : kalau = maka kalau I dianggap sebagai translasi. Teorema diatas
tetap berlaku.
Teorema .8 : Jika sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik 0 (0,0) dan
A (a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik p (x,y) sebagai T
( P) = (x+a,y+b) maka T =
Bukti : Untuk P = ( x,y),T(p)=(x+a,y+b) . andaikan P = (p) maka =
sehingga p (x+a-0,y+b-0)=(x+a,y+b).karena T(P) = (x+a,y+b) untuk setiap
P = (x,y) maka T (P)= P' = GOA (P). jadi, T = GOA
Contoh soal :
1. Jika A = (2,-1) dan B = (3,4) .Tentukan :
a. GAB (P) Jika P = (x,y)
b. Titik D sehingga GAB (D) = (1,3)
Jawab :
a. GAB (P) = (x,y)
={(3-2)+ x, (4+1) + y }
=(1 + x , 5 + y)
Jika P = (x,y)
b. Karena GAB (D) = (1,3) maka D = (1,3) .Karena GAB (P) = (-1 + x , -5 + y)
jika P =(x,y) Sehingga D = GAB (1,3) = ( -1 + 1 , -5 + 3) = ( 0, -2)D) = (1,3) maka
D = (1,3) .Karena GAB (P) = (-1 + x , -5 + y) jika P =(x,y)
Sehingga D = GAB (1,3) = ( -1 + 1 , -5 + 3) = ( 0, -2)
2. Jika A = (3,-1),B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik – titik yang di
ketahui , tentukan sebuah titik D sehingga =
Jawaban :
Andaikan E sebuah titik sehingga = maka E = (4+(1-3),2+(7-(-1)) atau
E =(2,10) .Apabila D titik tengah CE maka D = (3,6) Sehingga = 2 .
jadi , = 2 Menurut teorema 5 di peroleh = maka titik D
yang di cari adalah (3,6)