MATERI 4

MATEMATIKA TEKNIK 1

DERET FOURIER

1

Deret Fourier2

Tujuan :

1. Dapat merepresentasikan seluruh fungsi periodik dalam

bentuk deret Fourier.

2. Dapat memetakan Cosinus Fourier, Sinus Fourier, Fourier

terhadap fungsi fungsi yang tidak periodik.

Pendahuluan3

Fungsi-fungsi eksistesi (a) v = konstan ; (b) v = V sin wt

Gelombang gergaji ini dapat dinyatakan sebagai f(t) = (V/T)t dalaminterval 0 < t < T dan oleh f(t) = (V/T)(t – T) dalam interval T < t < 2T.

Gambar Gelombang gigi gergaji

Deret Fourier

Pendahuluan

Penyelesaian rangkaian listrik yang mengandung R, L dan C

dapat diselesaikan dengan baik menggunakan metode

Pemetaan Laplace jika sumber Eksitasi berupa suatu

konstanta atau suatu fungsi trigonometri seperti Sinus.

Bentuk bentuk gelombang periodik tertentu misalnya bentuk

gelombang gigi gergaji

4

Deret Fourier

5

Deret Fourier

6

Menurut Fourier seluruh fungsi yang periodik dapat

direpresentasikan dalam bentuk deret Fourier yaitu

merupakan penjumlahan dari sejumlah fungsi-fungsi Sinus

terbatas atau tak berhingga dan/atau sejumlah fungsi-

fungsi Cosinus terbatas atau tak berhingga, yaitu dalam

bentuk matematis :

FUNGSI PERIODIK 27

Deret Fourier Trigonometri8

Suatu fungsi f (t) dikatakan periodik apabila :f(t) = f(t + nT)

dimana n adalah bilangan bulat/integer dan T adalah periode dari f (t),

Menurut teori Fourier setiap fungsi periodik dengan frekuensi wo dapat di ekspresikan sebagai perjumlahan dari fungsi sinus ataupun kosinus atau :

wo = 2p/T disebut sebagai frekuensi dasar

sin nwot atau cos nwot merupakan harmonisa yang ke-n dari f (t) dan bila n merupakan bilangan ganjil disebut harmonisa ganjil dan bila genap disebut harmonisa genap

Analisa Fourier9

Adapun proses untuk menentukan koefisien ao ; an dan bn disebut sebagai Analisa Fourier, dimana dalam analisa Fourier ini ada beberapa bentuk integral trigonometri yang sangat membantu diantaranya :

Analisa Fourier10

Soal11

Carilah bentuk deret Fourier gelombang dibawah ini dan

gambarkan juga spektrum amplitudo dan spektrum fasa dari

gelombang tersebut.

Solusi12

INGAT Rumus Umum deret Fourier :

Adapun bentuk persamaan gelombangnya:

f(t)=......?

Hitung

a0

An

bn

Soal 213

Tentukanlah deret Fourier dari fungsi f(x) pada gambar

dibawah ini

Solusi jika dalam bentuk phi ()14

1. INGAT Rumus Umum deret Fourier :

2. Fungsi grafik:

f(t)=......?

3. Hitung

a0

An

bn

Solusi15

Tugas....Petunjuk : Tentukan Deret Fourier & Buat gambar gelombangnya di matlab

16

1.

2.

3.

1

2

Tugas....Petunjuk : Tentukan Deret Fourier & Buat gambar gelombangnya di matlab

17

4. Matlab No. 1

5. Matlab No. 2

6. Matlab No. 3

Deret Fourier untuk Fungsi Ganjil dan Genap18

19

Fungsi Ganjil dan Genap20

21

Fungsi Genap

22

Suatu fungsi periodik y = g(t) dikatakan fungsi genap jika :

1. g(-t) = g(t).

2. Grafik dari fungsi tersebut simetris terhadap sumbu – y

Fungsi f(t) = Cos(t) dikatakan fungsi genap karena :

1. Cos(60) = Cos(-60) = 0,50.

2. Grafik fungsi f(t) = Cos(t) simetris terhadap sumbu-y

Fungsi Genap

23

Gambar Grafik fungsi cos(t) simetris terhadap sumbu y

24

Fungsi Ganjil

25

Fungsi y = h(t) dikatakan fungsi ganjil jika :

1. h(-t) = -h(t).

2. Grafik dari fungsi tersebut simetris terhadap titik asal

(nol).

Fungsi f(t) = Sin(t) dikatakan fungsi ganjil karena :

1. Sin(-30) = - Sin(30) = - 0,50.

2. grafik f(t) = Sin(t) simetris terhadap titik asal koordinat

Fungsi Ganjil

26

Gambar Grafik sin(t) simetris terhadap titik asal koordinat

Soal27

Tentukanlah deret Fourier dari gambar berikut, jika nilai v = 2;

1.

2.

KESIMPULAN28

Fungsi Genap29

Fungsi Genap30

Fungsi Ganjil31

Fungsi Ganjil32

Kesimpulan33

Simetris Gelombang Setengah34

Fungsi Gelombang Setengah35

Gambar Contoh gelombang setengah simetris (ganjil)

Fungsi Gelombang Setengah

36

Koefisien Fouriernya

Soal37

1. Hitung deret fourier dari :

2. Hitung deret fourier dari :

Soal (2)38

3.

4.

Soal no 439

Contoh :

4. Carilah deret Fourir dari fungsi di bawah ini :

Solusi (No 4)40

Carilah deret Fourier dari fungsi:

Solusi (No 4)41

Penerapan Pada Rangkaian Listrik42

Fourier??43

Merubah dari Kawasan Waktu (t) ke

Kawasan Frekuensi (Hz)

Penerapan Pada Rangkaian Listrik44

Untuk mendapatkan respons steady state rangkaian

terhadap eksitasi non-sinusoidal periodik ini diperlukan

pemakaian deret Fourier, analisis fasor ac dan prinsip

superposisi.

Adapun langkah yang diperlukan :

1. Nyatakan eksitasi dalam deret Fourier.

2. Transformasikan rangkaian dari bentuk wawasan waktu

menjadi kawasan frekuensi.

3. Cari resonse komponen dc dan ac dalam deret Fourier.

4. Jumlahkan masing-masing response secara superposisi.

Penerapan Pada Rangkaian Listrik45

Penerapan Pada Rangkaian Listrik46

Gambar a) Respons steady state

komponen dc dan b) Respons

steady state komponen ac

(wawasan frekuensi)

Contoh47

Solusi (1)48

Solusi (2)49

Daya Rata-rata dan RMS50

Untuk mendapatkan harga daya rata-rata yang diserap oleh

suatu rangkaian dengan sumber suatu fungsi periodik , yaitu :

sedangkan sebagaimana diketahui bahwa daya rata-rata adalah :

harga efektif (rms) dari suatu f(t) adalah :

Soal51

Solusi (1)52

Solusi (2)53

Sumber54

Google

55

Terima kasih