pembelajaran bilangan genap, ganjil, prima, komposit dan fpb & kpk

32

Upload: i-gede-putu-suryawan-wawan

Post on 22-Jul-2015

1.339 views

Category:

Education


14 download

TRANSCRIPT

Page 1: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK
Page 2: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Anggota KelompokI Wayan Juliarsa1311031041 Pande Made Hendra Kesuma1311031051I Wayan Adi Gunawan

1311031054 I Made Yudha Pranata

1311031057 I Gede Putu Suryawan

1311031058

PendidikanMatematik

a II

Page 3: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

FPB dan KPK serta Pembelajarannya di Sekolah Dasar:

2. Bilangan Prima dan Bilangan Komposit

End

Page 4: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

1. BILANGAN GENAP DAN GASAL

a. Bilangan Genap

Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi 2,dikatakan habis dibagi karena bila suatu bilangan genap dibagi 2mendapatkan sisa 0. Contoh 10 merupakan bilangan genap karena10 : 2 = 5 sisa 0.

Bilangan genap memiliki beberapa sifat yaitua. Jumlah dari dua bilangan genap adalah sebuah bilangan genap.

Contoh 6 + 8 = 14b. Perkalian dua bilangan genap adalah bilangan genap.

Contoh 4 x 2 = 8.c. Hasil kali bilangan genap dengan sembarang bilangan bulatadalah bilangan genap.

Contoh 2 x 9 = 18

Page 5: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

b. Bilangan Gasal (Ganjil)Bilangan gasal adalah bilangan yang tidak habis

dibagi 2. Artinya, suatu bilangan gasal bila dibagi 2mendapatkan hasil dengan sisa 1. Karena itu, bilangangasal dapat dinotasikan dengan symbol 2a + 1. Contoh 11merupakan bilangan gasal karena bila dibagi 2mendapatkan sisa 1.- Jumlah dari dua bilangan gasal adalah sebuah bilangangenap.

Contoh 1 + 3 = 4- Perkalian dua bilangan gasal adalah bilangan gasal.

Contoh 7 x 5 = 35- Jumlah sebuah bilangan genap dan sebuah bilangangasal adalah sebuah bilangan gasal

Contoh 4 + 9 = 13

Page 6: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Media yang dapat anda gunakan menanamkankonsep bilangan ganjil dan genap kepada siswa, adalahkelereng, lidi, atau benda lain yang mudah didapatdisekitar kelas.

Untuk mengajarkan konsep bilangan ganjil kepadasiswa, lakukan langkah-langkah seperti berikut.

-Ambillah sejumlah lidi atau kelereng, kemudiankelompokkan dua-dua. Jika ternyata masih ada sisa yangtidak mempunyai teman berkelompok, maka berartibanyak lidi atau kelereng yang diambil adalah ganjil,sebaliknya apabila semuanya berpasangan berartibilangan genap

Pembelajarannya

Page 7: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Pembelajarannya

Perhatikan kelereng dibawah ini kemudian hitunglah banyaknyakelereng menurut baris dan lihat pasangannya.

= 2, berpasangan ( genap)

= 4, berpasangan (genap)

= 5, ada yang tidak berpasangan (ganjil)

= 7, ada yang tidak berpasangan(ganjil)

Page 8: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

2. BILANGAN PRIMA DAN BILANGAN

KOMPOSIT

a. Bilangan PrimaBilangan prima adalah bilangan bulat positif (asli)

yang mempunyai tepat dua factor yang berbeda yaitu 1 danbilangan itu sendiri. Dengan kata lain bilangan prima adalahbilangan bulat positif (asli) yang pembaginya hanya 1 danbilangan itu sendiri. Bilangan prima terkecil adalah 2 dansatu-satunya bilangan prima yang genap.

Adapun yang termasuk bilangan prima antara 1 sampai 100 sebagai berikut : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 .

Page 9: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

b. Bilangan KompositBilangan komposit adalah bilangan asli lebih

besar dari 1 yang bukan merupakan bilanganprima. Dengan kata lain, bilangan komposit ituadalah bilangan yang mempunyai lebih dari duafactor.

Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagaifaktoriasi prima bilangan bulat atau hasilperkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluhbilangan komposit yang pertama adalah 4, 6, 8, 9,10, 12, 14, 15, 16, dan 18.

Page 10: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Salah satu cara yang dapat memberikan petunjuk kepada anakuntuk menemukan apakah suatu bilangan itu prima atau komposit adalah:

- Pertama memberikan kepada anak himpunan objek-objek sebanyakbilangan itu.- Kemudian anak diminta untuk menyusun objek-objek itu dalamberbagai bentuk jajaran persegi panjang.- Mencatat jumlah maksimum macam susunan persegi panjang yangdapat dibentuk dari objek-objek tersebut.

Jika susunan yang dapat dibentuk ada tepat 2 macam, makabilangan tersebut adalah BILANGAN PRIMA.

Tetapi jika dapat disusun dalam bentuk jajaran yang lain ataulebih 2 macam, maka bilangan tersebut BILANGAN KOMPOSIT (bukanbilangan prima).

Pembelajarannya

Page 11: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Misalnya, anak dapat menemukan 5 merupakanbilangan prima, karena objek-objek yang diberikan dapatdibentuk susunan jajaran sebagai berikut :

- Bentuk persegi panjang vertikal dan horisontal ( tepat2 macam)

1 2

Page 12: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Misalnya, anak dapat menemukan 6 bukan bilanganprima, karena objek-objek yang diberikan dapatdibentuk susunan jajaran sebagai berikut :

- Bentuk persegi panjang Vertikal, Horisontal danPersegi ( lebih 2 macam). Berarti 6 adalah bukanbilangan Prima

1

2

3

4

Page 13: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

3. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

Sebelum membahas FPB, maka harus diketahui terlebih dahulu himpunanFaktor dan himpunan Faktor Persekutuan.

-Faktor suatu bilangan adalah semua bilangan asli yang habis membagibilangan itu. Misalnya, faktor dari bilangan 6 adalah bilangan – bilanganyang habis membagi 6, yaitu :

6 : 1 = 66 : 2 = 36 : 3 = 26 : 6 = 1

Jadi, 1, 2, 3, dan 6 disebut faktor-faktor dari bilangan 6.

-Faktor Persekutuan suatu bilangan adalah faktor-faktor yang sama daridua bilangan atau lebih.Contoh, tentukan faktor persekutuan 4 dan 10 !a. Cari Faktor 4, yaitu {1, 2, 4},b. Cari Faktor 10, yaitu {1, 2, 5, 10}c. Selanjutnya cari faktor yang sama dari kedua himpunan tersebut

Page 14: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Himpunan Faktor dari 4 = {1, 2, 4},Himpunan Faktor dari 10= {1, 2, 5, 10}

Dari kedua himpunan faktor tersebut, maka faktor yang sama yaitu {1,2}.Jadi himpunan faktor persekutuan dari 4 dan 10 yaitu {1,2}.

FPB (Faktor Persekutuan terBesar)

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah

faktor persekutuan bilangan-bilangan tersebut yang nilainya paling

besar.

Untuk menentukan FPB dari dua bilangan, bisa dicari dengan beberapa

cara :

1. Himpunan Faktor yang terbesar

2. Pohon faktor

3. Melakukan pembagian dengan bilangan prima

4. Dengan Algoritma Euclid

Page 15: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Untuk menentukan FPB dari dua bilangan, bisa dicari dengan

beberapa cara :

1. Himpunan Faktor yang terbesar

Contoh:

Tentukan FPB dari 4 dan 6

Jawab:

Faktor dari 4 = {1,2,4}.

Faktor dari 6 = {1,2,3,6}.

Faktor yang sama dari kedua himpunan faktor tersebut adalah {1,2}.

FPB dari 4 dan 6 adalah anggota himpunan faktor persekutuan yang

terbesar yaitu 2. Jadi, FPB dari 4 dan 6 adalah 2.

Page 16: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

2. Pohon Faktor

Cara kedua menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) daridua bilangan, yaitu dapat ditempuh dengan menggunakan pohon faktoruntuk mencari faktorisasi prima suatu bilangan.

Contoh : Carilah FPB dari 8 dan 12 dengan menggunakan pohonfaktor!

Setelah membuat pohon faktor, selanjutnya tentukan faktorisasi primakedua bilangan tersebut, yaitu :

8 = 2 x 2 x 212 = 2 x 2 x 3

Page 17: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Setelah mendapatkan faktorisasi prima kedua bilangan, lalupilihlah faktorisasi kedua bilangan yang memiliki nilai sama.Berdasarkan urutan faktorisasi kedua bilangan tersebut, makabilangan yang memiliki nilai yang sama adalah 2 x 2. Maka dari itu, FPBdari 8 dan 12 adalah 2 x 2 = 4. Ditulis FPB (12,16) = 4

3. Melakukan pembagian dengan bilangan prima

Selanjutnya, FPB dua bilangan atau lebih juga dapat ditentukan dengancara melakukan pembagian dengan bilangan prima.

Contoh: tentukanlah FPB dari bilangan 12 dan 20 !

Pertama-tama, bagilah kedua bilangan yang diketahui denganbilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya. Bilangan primaterkecil yang dapat membagi 12 dan 20 adalah 2, selanjutnya dapatdibuat tabel sebagai berikut.

Page 18: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sedemikian hinggasampai tidak ada lagi bilangan prima yang dapat membagi bilangan-bilangan yang ada di sebelah kanan, seperti berikut ini.

Berdasarkan tabel pembagian di atas, sesuai denganpengertian FPB dapat dinyatakan bahwa FPB bilangan 12 dan 20 adalah2 x 2 = 4. Dapat ditulis FPB (12,20) = 4

Page 19: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

4. Algoritma Euclid

Cara menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) denganmenggunakan Algoritma Euclid dari dua bilangan, yaitu melakukanpembagian berulang-ulang dimulai dari kedua bilangan yang hendak kitacari FPB nya sampai kita mendapattkan sisa o dari hasil pembagiantersebut.

Contoh : Carilah FPB dari 84 dan 60 !

-Bagilah bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil.Berarti bagilah 84 dengan 60 dan hasilnya 1 dengan sisa 24-Bagi bilangan yang lebih kecil (yaitu 60) dengan sisa dari pembagiansebelumnya (yaitu 24). Jadi 60 dibagi 24 didapatkan hasilnya 2 dengansisa 12-Bagilah bilangan yang lebih kecil (yaitu 24) dengan sisa dari pembagiansebelumnya (yaitu 12). Jadi 24 dibagi 12 didapatkan hasil 2 dengan sisa0.-Karena sudah mendapat sisa 0, bilangan terakhir yang digunakan untukmembagi adalah FPB nya yaitu 12.

Page 20: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Mari kita lihat cara sederhananya:

FPB dari 84 dan 60 !

- 84 : 60 = 1 dengan sisa 24

- 60 : 24 = 2 dengan sisa 12

- 24 : 12 = 2 dengan sisa 0

Pembagian dapat dihentikan sampai disini sebabsudah mendapat sisa 0.

Bilangan terakhir yang digunakan untuk membagi adalah 12, jadi FPB dari

84 dan 60 yaitu 12. Ditulis FPB (84,60) = 12

Page 21: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Sebelum mempelajari KPK, hendaknya terlebih dahulumengetahui tentang kelipatan dan kelipatan persekutuan.-Kelipatan suatu bilangan yaitu suatu pola penambahansuatu bilangan dengan menggunakan bilangan yang samasecara konsisten atau bilangan yang merupakan hasil kalibilangan tersebut dengan bilangan asli.Contoh : Kelipatan 6 : {6, 12, 18, 24, 30, 36,42, 48, 54,60…dst}

-Kelipatan Persekutuan dari dua bilangan dapat ditentukandengan memilih bilangan-bilangan yang sama dari himpunankelipatan bilangan-bilangan tersebut.

4. KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL

(KPK)

Page 22: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil

(KPK) dua bilangan atau lebih dapat dilakukan dengan cara

berikut :

a. Himpunan Kelipatan, Himpunan Kelipatan Persekutuan

b. Faktorisasi Prima

c. Pembagian dengan bilangan prima

KPK (KelipatanPersekutuan terKecil)

Page 23: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

a. Himpunan Kelipatan ditentukan dengan memilih bilangan-bilangan yang sama dari himpunan kelipatan bilangan-bilangan tersebut.

Contoh KPK dari bilangan 5 dan 6 !Kelipatan 5 = { 5,10,15,20,25,30} ;Kelipatan 6 = {6,12,18,24,30,36}

Pilih bilangan-bilangan yang sama dari himpunankelipatan bilangan-bilangan tersebut, dari himpunan diatasbilangan yang sama yaitu 30.Jadi, himpunan kelipatan persekutuan dari 5 dan 6 adalah{30}

b. Faktorisasi Prima,

Contoh, tentukanlah KPK dari 20 dan 36, pertama buatlahpohon factor dari masing – masing bilangan.

Page 24: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Ambil semua faktor yang sama atau tidak samadari bilangan itu, Jika faktor yang sama darisetiap bilangan itu banyaknya berbeda, ambilah faktor dengan pangkat terbesar20 = 22 x 536 = 22 x 32, jadi KPK dari 20 dan 36 adalah 22 x 32 x 5 = 180

Page 25: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

c. Membagi dengan bilangan primaContoh soal : tentukanlah KPK dari 20 dan 36Pertama-tama bagilah kedua bilangan dengan bilanganprima terkecil yang dapat membagi keduanya.

Lanjutkan proses tersebut sampaimendapatkan semua bilangan primadi sebelah kiri dan di bagian bawahtabelBerdasarkan tabel di atas, KPKdari 20 dan 36 adalah 2 x 2 x 5 x9 = 180

Ditulis KPK (20,36) = 180

Page 26: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

d. RumusJika FPB dari dua bilangan bulat a dan b diketahui, makaKPK dua bilangan tersebut dapat dihitung menggunakanrumus sebagai beikut

Page 27: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Contoh : tentukanlah KPK dari 20 dan 36 !

KPK (20,36) = 20 x 36 = 1804

Jadi, berdasarkan rumus di atas, KPK dari 20 dan 36adalah 180

Ditulis KPK (20,36) = 180

Page 28: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

5. Pembelajaran FPB dan KPK

A. Pembelajaran FPBCara pertama, dengan menentukan himpunan faktor.Sebagai contoh, dalam pembelajaran untuk menentukanfaktor persekutuan terbesar dari 6 dan 12, langkah-langkahnya:1. Suruhlah siswa untuk mendaftarkan semua faktor dari 6

dan 12 yaitu:Faktor dari 6 {1, 2, 3, 6}Faktor dari 12 {1, 2, 3, 4, 6, 12}

2. Minta siswa untuk mencari faktor persekutuannya.Faktor persekutuan dari 6 dan 12 adalah {1, 2, 3, 6}

Page 29: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

3. Ajak siswa untuk menentukan bilangan terbesar darihimpunan faktor persekutuan di atas. Jadi faktorpersekutuan terbesar dari 6 dan 12 adalah 6. Hal ini bisaditulis FPB (6,12) = 6.

Page 30: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

B. Pembelajaran KPKMencari KPK dua bilangan atau lebih dapat

dibelajarkan dengan menggunakan garis bilangan.

Contoh 1Menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 3 dan 5.Langkah – langkahnya adalah sebagai berikut.

Page 31: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

Bilangan –bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21Bilangan –bilangan kelipatan 5 adalah 5, 10, 15, 20

Bilangan – bilangan yang sama dari kelipatan kedua bilangantersebut adalah 15 ( perhatikan ujung tanda panah yangmenunjukkan kelipatan 3 dan kelipatan 5 yang bertemu)Bilangan – bilangan 15, … disebut kelipatan persekutuandari 3 dan 5.Jadi kelipatan persekutuan yang terkecil dari 3 dan 5adalah 15. Ditulis KPK (3,5) = 15.

Page 32: Pembelajaran Bilangan Genap, Ganjil, Prima, Komposit dan FPB & KPK

SELESAIPendidikanMatematik

a II