matematika==aplikasi sistem antrian dengan saluran tunggal.pdf

8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf

1/78

APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL

PADA UNIT PELAKSANA TEKNIS (UPT) PERPUSTAKAAN

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

SKRIPSI

Diajukan dalam Rangka Penyelesaian Studi Strata 1

untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains

Oleh

Nama : Diah Puspitasari

NIM : 4150401031

Prodi : Matematika S1

Jurusan : Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2005


2/78

ABSTRAK

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering terjadi suatu antrian apabila sedangmenunggu giliran. Antrian terjadi karena jumlah pelanggan yang dilayani melebihikapasitas pelayanan. Pada penelitian ini mengambil kasus yang terjadi pada UPTPerpustakaan UNNES

Permasalahan dalam penelitian ini bagaimana model antrian di UPTPerpustakaan UNNES, berapa rata-rata jumlah pengunjung di dalam sistem danantrian pada masing-masing loket, berapa rata-rata waktu pengunjung menunggu didalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, dan berapa persentase waktumenganggur untuk pelayan pada masing-masing loket, dan berapa jumlah pelayanideal. Tujuan dilakukan penelitian ini untuk mengetahui model antrian pada UPTPerpustakaan UNNES, untuk mengetahui rata-rata jumlah pengunjung rata-rata didalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, untuk mengetahui rata-rata

waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket,dan untuk mengetahui persentase waktu menganggur untuk pelayan pada masing-masing loket, dan untuk mengetahui jumlah pelayan ideal.

Penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini melalui beberapa tahap yaitu perumusan masalah, studi pustaka, dan pemecahan masalah. Untuk pemecahanmasalah dilakukan pengumpulan data selama 3 hari. Dari data yang dipeolehdilakukan analisis data. Langkah-langkah dalam analisis data yaitu menentukandistribusi peluang dari data yang diperoleh dengan uji kebaikan suai khi kuadrat,menentukan model antrian, menghitung rata-rata jumlah pengunjung yang beradadalam sistem dan antrian pada loket yang diteliti, menghitung rata-rata waktu yangdihabiskan seorang pelanggan dalam sistem dan antrian pada loket yang diteliti, danmenghitung persentase menganggur para pelayan pada loket yang diteliti.

Dari hasil penelitian diperoleh bahwa sistem antrian pada UPT PerpustakaanUNNES mengikuti sistem antrian tunggal. Waktu antar kedatangan berdistribusiPoisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.1. Pada loket peminjaman buku

Hari,tanggal L Lq W (menit) Wq (menit) X (%)

Senin, 15 Agustus 2005 3,785 2,994 5,988 4,736 20,88

Selasa, 16 Agustus 2005 6,042 5,184 10,101 8,667 14,16

Kamis, 18 Agustus 2005 1,551 0,943 2,660 1,617 39,212. Pada loket pengembalian buku

Hari,tanggal L Lq W (menit) Wq (menit) X (%)

Senin, 15 Agustus 2005 4,291 3,480 9,174 7,435 18,96

Selasa, 16 Agustus 2005 0,923 0,443 2,358 1,133 51,96Kamis, 18 Agustus 2005 1,146 0,612 2,544 1,358 46,62

Waktu menunggu yang diinginkan pengunjung tidak lebih dari 15 menit danwaktu menganggur pelayan yang diperbolehkan oleh UPT Perpustakaan UNNESadalah 10% maka banyaknya pelayan ideal pada loket peminjaman buku maupun

pada loket pengembalian buku adalah satu orang.Saran yang dapat diberikan yakni perlu adanya peningkatan kualitas pelayanan

pada UPT Perpustakaan UNNES dan pada waktu terjadi antrian yang sangat panjangsebaiknya waktu pelayanan dipercepat sehingga tidak mengakibatkan waktumenunggu yang terlalu lama.

ii


3/78

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi dengan judul “Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada

Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri Semarang”

ini telah dipertahankan dihadapan sidang Panitia Ujian Skripsi fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada

Hari : Rabu

Tanggal : 21 Desember 2005

Panitia Ujian

Ketua, Sekretaris,

Drs. Kasmadi Imam S., M.S Drs. Supriyono, M.Si

NIP. 130781011 NIP. 130815345

Pembimbing Utama Anggota Penguji

Dra. Nur Karomah D., M.Si Dra. Sunarmi, M.Si

NIP. 131876228 NIP. 131763886

Pembimbing Pendamping Dra. Nur Karomah D., M.Si

NIP. 131876228

Drs. Supriyono, M.Si Drs. Supriyono., M.Si

NIP. 130815345 NIP. 130815345

iii


4/78

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

MOTTO

Allah tidak membebani seseorang melainkan dengan kesanggupannya (QS.

Al Baqarah : 286)

Sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan (QS. Al Insyirah : 6)

Bertanyalah kamu kepada ahli ilmu jika kamu tidak tahu (QS. An Nahl : 43)

PERSEMBAHAN

Kedua orang tuaku tercinta

Adik-adikku

Mas Agus tersayang

Teman seperjuangan Mat ’01 B

Teman-teman kost Reyna

iv


5/78

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan

hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul

“Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada Unit Pelaksana Teknis

UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang” ini dengan baik.

Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu

dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. H. A.T. Soegito, SH, MM, Rektor UNNES

2. Bapak Drs. Kasmadi Imam S, M. S, Dekan FMIPA UNNES.

3. Bapak Drs. Supriyono, M. Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNNES.

4. Ibu Dra. Nur Karomah, M. Si dan Bapak Drs. Supriyono, M. Si, yang telah

memberikan bimbingan dan pengarahan kepada penulis dalam penyusunan

skripsi ini.

5. Bapak Drs. Murgono, SIP, Kepala UPT Perpustakaan UNNES yang telah

memberikan ijin kepada penulis dalam melaksanakan penelitian.

6.

Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini belum sepenuhnya

sempurna, oleh karena itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan

untuk kesempurnaan skripsi ini.

Semarang, Oktober 2005

v


6/78

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL...................................................................................... i

ABSTRAK..................................................................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN........................................................................ iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN................................................................. iv

KATA PENGANTAR ................................................................................... v

DAFTAR ISI.................................................................................................. vi

DAFTAR TABEL.......................................................................................... viii

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... x

DAFTAR LAMPIRAN.................................................................................. xi

BAB I PENDAHULUAN .......................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah............................................................ 1

B. Permasalahan ............................................................................ 3

C. Batasan Masalah ....................................................................... 3

D.

Tujuan dan Manfaat .................................................................. 4

E. Sistematika Skripsi.................................................................... 4

BAB II LANDASAN TEORI...................................................................... 7

A. Distribusi Poisson dan Eksponensial ........................................ 7

B. Peran Distribusi Poisson dan Eksponensial .............................. 9

C. Uji Kebaikan Suai ..................................................................... 13

D.

Proses Kelahiran-Kematian....................................................... 15

vi


7/78

E. Teori Antrian............................................................................. 17

BAB III METODE PENELITIAN................................................................ 36

A. Perumusan Masalah .................................................................. 36

B. Studi Pustaka............................................................................. 36

C. Pemecahan Masalah .................................................................. 36

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN .............................. 39

A. Hasil Penelitian ......................................................................... 39

B. Pembahasan............................................................................... 56

BAB V PENUTUP....................................................................................... 60

A.

Simpulan ................................................................................... 60

B. Saran.......................................................................................... 62

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 63

LAMPIRAN-LAMPIRAN............................................................................. 64

vii


8/78

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam

Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman

Buku Hari Senin, 15 Agustus 2005......................................... 52



Buku Hari Selasa, 16 Agustus 2005........................................ 53



Buku Hari Kamis, 18 Agustus 2005 ........................................ 53


Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian

Buku Hari Senin, 15 Agustus 2005.......................................... 53



Buku Hari Selasa, 16 Agustus 2005........................................ 54



Buku Hari Kamis, 18 Agustus 2005 ....................................... 54

Tabel 4.7 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan

untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari

Senin, 15 Agustus 2005 ........................................................... 55



Selasa, 16 Agustus 2005........................................................... 55

viii


9/78



Kamis, 18 Agustus 2005 .......................................................... 55


untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari

Senin, 15 Agustus 2005 ........................................................... 56



Selasa, 16 Agustus 2005 ........................................................ 56



Kamis, 18 Agustus 2005 ......................................................... 56

ix


10/78

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Struktur Dasar Antrian .............................................................. 18

Gambar 2.2 Sistem Antrian Dasar ................................................................ 21

Gambar 2.3 Skema Antrian Satu Saluran Satu Tahap .................................. 21

Gambar 2.4 Skema Antrian Banyak Saluran Satu Tahap ............................. 22

Gambar 2.5 Skema Antrian Satu Saluran Banyak Tahap ............................. 22

Gambar 2.6 Skema Antrian Banyak Saluran Banyak Tahap ...................... 22

x


11/78

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1. Data Penelitian Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan

UNNES ..................................................................................... 64

Lampiran 2. Data Penelitian Loket Pengembalian Buku UPT Perpustakaan

UNNES ..................................................................................... 70

Lampiran 3. Data Penelitian Per Interval waktu Lima Menit Loket

Pemunjaman buku..................................................................... 76

Lampiran 4. Data Penelitian Per Interval waktu Lima Menit Loket

Pengembalian buku ................................................................... 77

Lampiran 5. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung

Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan UNNES.............. 78

Lampiran 6. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung

Loket Pengembalian Buku UPT Perpustakaan UNNES........... 80

Lampiran 7. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan Loket

Peminjaman Buku UPT Perpustakaan UNNES........................ 81

Lampiran 8. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan Loket

Pengembalian Buku UPT Perpustakaan UNNES ..................... 82

Lampiran 9. Tabel Distribusi Khi Kuadrat .................................................... 83

Lampiran 10 Angket Pengunjung UPT Perpustakaan UNNES..................... 84

xi


12/78

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi dengan judul “Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada

Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri Semarang”

ini telah dipertahankan dihadapan sidang Panitia Ujian Skripsi fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada

Hari : Rabu

Tanggal : 21 Desember 2005

Panitia Ujian

Ketua, Sekretaris,

Drs. Kasmadi Imam S., M.S Drs. Supriyono, M.Si

NIP. 130781011 NIP. 130815345

Pembimbing Utama Anggota Penguji

Dra. Nur Karomah D., M.Si Dra. Sunarmi, M.Si

NIP. 131876228 NIP. 131763886

Pembimbing Pendamping Dra. Nur Karomah D., M.Si

NIP. 131876228

Drs. Supriyono, M.Si Drs. Supriyono., M.Si

NIP. 130815345 NIP. 130815345

iii


13/78

ABSTRAK

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering ditemui suatu antrian apabilasedang menunggu giliran. Antrian terjadi karena jumlah pelanggan yang

dilayani melebihi kapasitas pelayanan. Padapenelitian ini mengambil kasus

yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES

Permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana model antrian di

UPT Perpustakaan UNNES, berapa rata-rata jumlah pengunjung di dalam

sistem dan antrian pada masing-masing loket, berapa rata-rata waktu

pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket,

dan berapa jumlah pelayan ideal berdasarkan persentase waktu menganggur

untuk pelayan pada masing-masing loket. Tujuan dilakukan penelitian ini

adalah Untuk mengetahui model antrian pada UPT Perpustakaan UNNES,

untuk mengetahui rata-rata jumlah pengunjung rata-rata di dalam sistem danantrian pada masing-masing loket, untuk mengetahui rata-rata waktu

pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket,

dan untuk mengetahui jumlah pelayan ideal berdasarkan persentase waktu

menganggur untuk pelayan pada masing-masing loket

Metode Penelitian yang dilakukan dalam penelitianini meliputi

beberapa tahap yaitu perumusan masalah, studi pustaka, dan pemecahan

masalah. Untuk pemecahan masalah dilakukan pengumpulan data selama 3

hari. Dari data yang dipeoleh dilakukan analisis data. Langkah-langkah dalam

analisis data yaitu menentukan distribusi peluang dari data yang diperoleh

dengan uji kebaikan suai khi kuadrat, menentukan model antrian, menghitung

rata-rata jumlah pengunjung yang berada dalam sistem dan antrian pada loket

yang diteliti, menghitung rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan

dalam sistem dan antrian pada loket yang diteliti, dan menghitung persentase

menganggur para pelayan pada loket yang diteliti.

Dari hasil penelitian diperoleh bahwa sistem antrian pada UPT

Perpustakaan UNNES mengikuti sistem antrian tunggal. Kedatangan

berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.

1. Pada loket peminjaman buku

Hari,tanggal L

(pengunjung

)

Lq(pengunjung)

W

(menit)

Wq(menit)

Senin, 15 Agustus 2005 3,785 2,994 5,988 4,736

Selasa, 16 Agustus 2005 6,042 5,184 10,101 8,667

Kamis, 18 Agustus 2005 1,551 0,943 2,660 1,617

2. Pada loket pengembalian buku

Hari,tanggal L

(pengunjung)

Lq(pengunjung)

W

(menit)

Wq(menit)

Senin, 15 Agustus

2005

4,291 3,480 9,174 7,435

Selasa, 16 Agustus

2005

0,923 0,443 2,358 1,133


14/78

Kamis, 18 Agustus

2005

1,146 0,612 2,544 1,358

Banyaknya pelayan ideal pada loket peminjaman buku maupun pada loket pengembalian buku adalah satu orang.

Saran yang dapat diberikan yakni sebaiknya waktu pelayanan dipercepat

sehingga tidak mengakibatkan waktu menunggu yang terlalu lama dalam

sistem maupun antrian


15/78

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari, setiap manusia pasti dihadapkan pada sebuah

situasi yang mengharuskannya untuk menunggu. Fenomena menunggu adalah

hasil langsung dari keacakan dalam operasi pelayanan. Sangat menyenangkan jika

diberi pelayanan tanpa ada keharusan untuk menunggu. Akan tetapi suka atau

tidak, menunggu merupakan bagian dalam kehidupan sehari-hari. Menunggu

dapat diidentikkan dengan suatu proses antrian yang tentunya memiliki

permasalahan yangt dapat dipecahkan.

Salah satu ilmu yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah antrian

adalah matematika. Secara garis besar matematika dibagi menjadi dua yaitu

matematika murni ( pure mathematics) dan matematika terapan (applied

mathematics). Teori antrian merupakan salah satu cabang dari matematika terapan

yang sering digunakan aplikasinya.

Teori antrian adalah teori yang mencakup studi matematis dari antrian-

antrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu

saja merupakan suatu fenomena yang bisa terjadi apabila kebutuhan akan suatu

pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan

itu. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas ini harus

dapat dibuat suatu prediksi yang tepat mengenai kapan unit-unit yang

1


16/78

2

membutuhkan pelayanan itu akan datang dan atau berapa lama waktu yang

diperlukan untuk menyelenggarakan pelayanan itu.

Pelaku-pelaku utama dalam sebuah situasi antrian adalah pelanggan

(customer ) dan pelayan (server ). Dalam model antrian, interaksi antara pelanggan

dan pelayan adalah dalam kaitannya dengan periode waktu yang diperoleh

pelanggan untuk menyelesaikan sebuah pelayanan. Jadi, dari sudut pandang

kedatangan pelanggan yang diperhitungkan adalah interval waktu yang

memisahkan kedatangan yang berturut-turut. Juga dalam pelayanan,yang

diperhitungkanadalah waktu pelayanan per pelanggan.

Dalam model-model antrian,kedatangan pelanggan dan waktu pelayanan

diringkaskan dalam distribusi probabilitas yang umumnya disebut sebagai

distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu pelayanan

(service time distribution).

Teori antrian dengan saluran tunggal merupakan teori tentang kedatangan

pelanggan dari satu barisan yang dilayani oleh seorang pelayan. Antrian dengan

saluran tunggal hanya membutuhkan satu pelayan dengan satu garis antrian.

Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri Semarang

(UNNES) merupakan unit sarana pelayanan yang dimiliki UNNES. Sarana

pelayanan tersebut bertujuan menyediakan bahan pustaka sesuai dengan

kebutuhan dan mengorganisasi bahan-bahan pustaka tersebut supaya mudah

digunakan. Bahan pustaka tersebut juga dapat mendorong mahasiswa untuk

belajar sesuai dengan kurikulumnya.


17/78

3

UPT Perpustakaan UNNES memiliki dua ruang pelayanan perpustakaan

yaitu pelayanan sirkulasi dan pelayanan referensi. Dari pengamatan di UPT

Perpustakaan UNNES, pada ruang pelayanan sirkulasi ditemukan sejumlah

antrian. Antrian tersebut bersumber dari satu saluran. Melalui penelitian ini akan

dikaji sistem antrian di ruang pelayanan sirkulasi yaitu pada loket peminjaman

buku dan loket pengembalian buku.

B. Permasalahan

Permasalahan dalam penelitian ini sebagai berikut.

1. Bagaimana model antrian di UPT Perpustakaan UNNES?

2. Berapa rata-rata jumlah pengunjung di dalam sistem dan antrian pada loket

peminjaman dan loket pengembalian buku?

3. Berapa rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian

pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku?

4.

Berapa persentase waktu menganggur untuk pelayan pada loket peminjaman

dan loket pengembalian buku?

5. Berapa jumlah pelayan ideal pada loket peminjaman dan loket pengembalian

buku?

C. Batasan permasalahan

Batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah

1. Permasalahan dan data yang diambil hanya pada loket peminjaman buku dan

pengembalian buku pada UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang.

2. Penelitian dilakukan selama 3 hari pada pukul 09:00 – 11:00 di UPT

Perpustakaan Universitas Negeri Semarang.


18/78

4

D. Tujuan dan Manfaat

1. Tujuan

Berdasarkan rumusan permasalahan, penelitian ini bertujuan

a. Untuk mengetahui model antrian pada UPT Perpustakaan UNNES.

b. Untuk mengetahui rata-rata jumlah pengunjung rata-rata di dalam sistem

dan antrian pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku.

c. Untuk mengetahui rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem

dan antrian pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku.

d. Untuk mengetahui persentase waktu menganggur untuk pelayan pada

loket peminjaman dan loket pengembalian buku.

e. Untuk mengetahui jumlah pelayan ideal pada loket peminjaman dan loket

pengembalian buku.

2. Manfaat

Manfaat dari penelitian yang dilakukan adalah

a. Sebagai penerapan teori yang diperoleh selama kegiatan perkuliahan ke

dalam praktik yang sebenarnya, serta sebagai pengalaman dalam

menganalisis suatu masalah secara ilmiah.

b. Sebagai bahan pertimbangan dalam pengambilan keputusan dalam

menentukan jumlah pelayan ideal pada UPT Perpustakaaan Universitas

Negeri Semarang.

E. Sistematika Skripsi

Secara garis besar sistematika penulisan skripsi ini dibagi menjadi tiga

bagian yaitu bagian awal skripsi, bagian isi skripsi, dan bagian akhir skripsi.


19/78

5

1. Bagian Awal Skripsi

Bagian awal skripsi ini berisi halaman judul skripsi, abstrak, halaman

pengesahan, motto dan persembahan, kata pengantar, daftar isi, daftar tabel,

daftar gambar, dan daftar lampiran.

2. Bagian Inti Skripsi

Bagian inti merupakan bagian pokok dalam skripsi yang terdiri dari lima

bab, yaitu :

BAB I Pendahuluan

Bab ini berisi latar belakang masalah, permasalahan, batasan

masalah, tujuan dan manfaat, dan sistematika skripsi.

BAB II Landasan Teori

Di dalam landasan teori ini akan dibahas tentang distribusi Poisson

dan Eksponensial, peran distribusi Poisson dan Eksponensial, uji

kebaikan-suai, proses kelahiran kematian, dan teori antrian.

BAB III Metode Penelitian

Di dalam bab ini dikemukakan metode penelitian yang berisi

langkah-langkah yang ditempuh untuk memecahkan masalah yaitu,

perumusan masalah, studi pustaka, pemecahan masalah.

BAB IV Hasil Penelitian dan Pembahasan

Bab ini berisi hasil penelitian dan pembahasan.


20/78

6

BAB V Penutup

Bab ini berisi simpulan dan saran

3. Bagian Akhir Skripsi

Bagian ini berisi daftar pustaka yang digunakan sebagai acuan dan

lampiran-lampiran yang melengkapi uraian bagian isi.


21/78

7

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Distribusi Poisson dan Eksponensial

1. Distribusi Poisson

Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada

interval waktu ataupun daerah yang spesifik dikenal sebagai eksperimen

Poisson. Interval waktu tersebut dapat merupakan menit, hari, minggu, bulan,

maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik dapat berarti garis, luas, sisi,

maupun sebuah material.(Dimyati, 1999:309)

Sifat suatu eksperimen Poisson (Dimyati, 1999:309) adalah sebagai berikut.

a. Jumlah sukses yang tejadi pada interval waktu atau daerah yang tertentu

bersifat independen terhadap yang terjadi pada interval waktu atau daerah

tertentu yang lain.

b. Besar kemungkinan terjadinya sukses pada interval waktu atau daerah

tertentu yang sempit, proporsional dengan panjang jangka waktu ataupun

ukuran daerah terjadinya sukses tersebut.

c. Besar kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses pada interval waktu

yang singkat ataupun daerah yang sempit, diabaikan.

Variabel random diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan

parameter λ jika fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut.

7


22/78

8

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

=

−

lainyang, 0

...2,1,0,, !(x)f

x

x x

e x λ λ

(Djauhari, 1997:163-164)

Parameter λ merupakan rata- rata banyaknya sukses dalam suatu

selang. Parameter λ juga merupakan mean dan variansi dari X.

2. Disribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial digunakan untuk menggambarkan distribusi

waktu pada fasilitas jasa pengasumsian bahwa waktu pelayanan bersifat acak.

Artinya, waktu untuk melayani pendatang tidak tergantung pada pada

banyaknya waktu yang telah dihabiskan untuk melayani pandatang

sebelumnya, dan tidak bergantung pada jumlah pendatang yang sedang

menunggu untuk dilayani.

Variabel random kontinu X memiliki distribusi Eksponensial dengan

parameter( )

∑

∑∞

=

∞

=

∞

=

−=

=

1n 0n

nn

1n

nq

Pn

P1-nL

, jika fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut.

⎩⎨⎧ >>

=lainyanguntuk; 0

0,0untuk; e)(

-

x

x x f

xλ λ λ

(Djauhari, 1997:175-176 )

disini, X dapat menyatakan waktu yang dibutuhkan sampai terjadi satu kali

sukses dengan λ= rata-rata banyaknya sukses dalam selang waktu satuan.


23/78

9

B. Peranan Distribusi Poisson dan Eksponensial

Pada situasi antrian dimana kedatangan dan kepergian (kejadian) yang

timbul selama satu interval waktu dikendalikan dengan kondisi berikut ini.

Kondisi 1: Probabilitas dari sebuah kejadian (kedatangan dan kepergian) yang

timbul antara t dan t + Δt bergantung hanya pada panjangnya Δt, yang

berarti bahwa probabilitas tidak bergantung pada t atau jumlah

kejadian yang timbul selama periode waktu (0, t).

Kondisi 2: Probabilitas kejadian yang timbul selama interval waktu yang sangat

kecil h adalah positif tetapi kurang dari satu.

Kondisi 3: Paling banyak satu kejadian dapat timbul selama interval waktu yang

sangat kecil h

Ketiga kondisi di atas menjabarkan sebuah proses dimana jumlah kejadian

selama interval waktu yang berturut-turut adalah Ekponensial. Dengan kasus

demikian, dapat dikatakan bahwa kondisi-kondisi tersebut mewakili proses

Poisson.

Definisikan

Pn(t) = probabilitas kejadian n yang timbul selama waktu t

Kemudian, berdasarkan kondisi 1, probabilitas tidak adanya kejadian yang timbul

selama t + h adalah

P0(t + h) = P0(t)P0(h) ( 2.1 )

(Taha, 1999:179)


24/78

10

Untuk h > 0 dan cukup kecil, kondisi 2 menunjukkan bahwa 0 < P0(h) < 1.

Berdasarkan kondisi ini, persamaan diatas memiliki pemecahan sebagai berikut.

P0(t) = e-αt

, t ≥ 0 ( 2.2 )

dimana α adalah konstanta positif.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa proses yang dijabarkan dengan Pn(t),

interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut-turut adalah Eksponensial.

Dengan menggunakan hubungan yang diketahui antara Eksponensial dan Poisson,

kemudian dapat disimpulkan bahwa Pn(t) pastilah poisson.

Anggaplah f(t) merupakan fungsi kepadatan peluang dari interval waktu antar

pemunculan kejadian yang berturut-turut, t ≥ 0

Misalkan bahwa t adalah interval waktu sejak pemunculan kejadian terakhir,

maka pernyataan berikut ini berlaku

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ =⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

Tsebelum kejadianadaTidakP

Tmelebihi kejadianantarWaktuP

Pernyataan ini dapat diterjemahkan menjadi

∫∞

=T

T Pdt t f )()( 0 ( 2.3 )

Dengan mensubstitusikan persamaan 2.2 dengan persamaan 2.3, maka akan

diperoleh

∫∞ −=

T

T edt t f α )( , T > 0 ( 2.4 )

atau


25/78

11

T edt t f α −−=∫ 1)(T

0, T > 0 ( 2.5 )

dengan mengambil derivatif dari kedua sisi dalam kaitannya denagan T pada

persamaan 2.5, diperoleh

f(t) = αe-αt, t ≥ 0 ( 2.6 )

yang merupakan sebuah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Eksponensial

dengan mean ( )α

1tE = unit waktu.

Dengan diketahui bahwa f(t) merupakan sebuah distribusi Eksponensial,

teori peluang dapat menjelaskan bahwa Pn(t) adalah fungsi kepadatan peluang

dari distribusi Poisson,yaitu:

,!

)()(

n

et t P

t n

n

α α −= n = 0, 1, 2, … ( 2.7 )

Nilai mean dari n selama periode waktu tertentu t adalah E{n | t} = α t

kejadian. Ini berarti bahwa α mewakili laju timbulnya kejadian.

Kesimpulan dari hasil diatas adalah bahwa jika interval waktu antara

beberapa kejadian yang berturut-turut adalah Eksponensial dengan meanα

1 unit

waktu, maka jumlah kejadian dalam satu periode waktu tertentu pastilah Poisson

dengan laju pemunculan rata-rata (kejadian per unit waktu) α, dan sebaliknya.

Distribusi Poisson merupakan proses yang sepenuhnya acak (completely

random process), karena memiliki sifat bahwa interval waktu yang tersisa sampai

pemunculan kejadian berikutnya sepenuhnya tidak bergantung pada interval


26/78

12

waktu yang telah berlalu. Sifat ini setara dengan pembuktian pernyataan

probabilitas berikut ini.

P (t > T + S | t > S) = P (t > T) ( 2.8 )

Dimana S adalah interval waktu antara pemunculan kejadian terakhir.

Karena t bersifat Eksponensial, maka

)St|STt(P >+> =)S(tP

S) t,STt(P

>>+>

=)St(P

)ST(tP>

+>

=S

)ST(

α

α

−

+−

e

e

= e-α T

= P ( t > T ) ( 2.9 )

Sifat ini disebut sebagai forgetfullness atau lack of memory dari distribusi

eksponensial, yang menjadi dasar untuk menunjukkan bahwa distribusi poisson

sepenuhnya bersifat acak.

Satu ciri unik lainnya dari distribusi poisson adalah bahwa ini adalah

merupakan distribusi dengan mean yang sama dengan varian. Sifat ini kadang-

kadang digunakan sebagai indikator awal dari apakah sebuah sampel data ditarik

dari sebuah distribusi poisson.

(Taha, 1999: 178-180)


27/78

13

C. Uji Kebaikan-Suai

Uji kebaikan-suai (goodness of fit test ) adalah uji yang dilakukan untuk

menentukan distribusi probabilitas dari data yang dipereoleh dengan

membandingkan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan (Guttman,

1982:287)

Gagasan untuk membandingkan distribusi empiris dan distribusi teoritis

adalah dasar untuk uji Kolmogorov-Smirnov (K-S). Uji ini hanya dapat

diterapkan untuk variabel acak kontinu, memanfaatkan sebuah statistik untuk

menerima atau menolak distribusi yang dihipotesiskan dengan tingkat signifikansi

tertentu. Uji statistik lainnya yang berlaku untuk variabel diskrit maupuin kontinu

adalah uji khi-kuadrat. Uji ini didasari oleh perbandingan fungsi kepadatan

probabilitas, daripada fungsi kepadatan kumulatif seperti dalam uji K-S (Taha,

1997: 10-11).

1.

Uji Kebaikan-Suai Kolmogorov-Smirnov

Nilai K-S hitung dalam pengujian statistik dengan uji K-S diberi

simbol D yang dapat diperoleh dengan menggunakan rumus

D = max | f e - f o | ( 2.10 )

(Siegel, 1994:59)

D adalah deviasi absolut yang tertinggi, berupa selisih tertinggi antara

frekuensi harapan (f e) dengan frekuensi teoritis (f o)

Dalam uji Kolmogorov-Smirnov, H0 diterima apabila nilai D hitung

lebih kecil dari nilai kritis D (D tabel). Nilai kritis D dapat diketahui melalui

tabel Kolmogorov-Smirnov.


28/78

14

2.

Uji Kebaikan Suai Khi-Kuadrat

a.

Uji Kebaikan-Suai Khi- Kuadrat terhadap peristiwa yang berdistribusi

Poisson.

Misalkan variabel random X berdistribusi Poisson. Untuk

menghitung frekuensi harapan (f e) digunakan fungsi kepadatan

probabilitas dari distribusi Poisson.

m,...,2,1,0x

x!

e p(x)

-x

==λ λ

( 2.11 )

sehingga untuk sejumlah n frekuensi observasi (f 0), maka

f e = n p(x) ( 2.12 )

Nilai khi-kuadrat hitung (χ2) dihitung dengan rumus sebagai

berikut.

∑=

−=

m

0x e

2

e02

f

)f (f χ ( 2.13 )

dengan m adalah jumlah sel atau baris yang dipergunakan dalam

mengembangkan fungsi kepadatan empiris.

(Agus Setiawan, 2003:16)

b. Uji Kebaikan-Suai Khi-Kuadrat terhadap kejadian yang berdistribusi

Eksponensial

Misalkan variabel acak X berdistribusi Eksponensial. Frekuensi

teoritis (f e) yang berkaitan dengan interval [Ii –1, Ii] dihitung sebagai

m...,2,1,i ,dtf(t)nf

i

1-i

e == ∫ ( 2.14 )


29/78

15

dengan m adalah banyaknya interval yang digunakan. Sedangkan f(t)

adalah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Eksponensial dengan

parameter μ.

f(t) = μ e-μt t > 0, μ > 0 ( 2.15 )

Dengan demikian diperoleh

)en(ef )(I-)(I-ei1-i μ μ −= ( 2.16 )

Nilai khi-kuadrat hitung diperoleh dengan menggunakan rumus berikut.

∑=

−=

m

0x e

2

e02

f

)f (f χ ( 2.17 )

(Taha, 1997:11-12)

Dalam uji kebaikan-suai khi-kuadrat, keputusan diambil

berdasarkan hipotesis penelitian yang telah dirumuskan sebelumnya. H0

diterima jika harga χ2

tabel dengan derajat kebebasan dk = m - k – 1 dan

dengan tingkat signifikansi α, dengan m adalah jumlah baris yang

digunakan dan k adalah jumlah parameter yang diestimasi dari data

mentah untuk dipergunakan dalam mendefinisikan distribusi teoritis yang

bersangkutan.

D. Proses Kelahiran-Kematian

1. Proses Kelahiran-Kematian Markov

Suatu proses pertumbuhan adalah suatu proses Markov jika

probabilitas-probabilitas transisi untuk bergerak dari suatu keadaan ke


30/78

16

keadaan lainnya hanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidak pada

bagaimana keadaan sekarang dicapai. Secara lebih formal, suatu proses

kelahiran-kematian Markov memenuhi kriteria-kriteria sebagai berikut.

a. Distribusi-distribusi probabilitas yang menentukan jumlah kelahiran dan

kematian dalam suatu selang waktu tertentu hanya bergantung pada

panjang selangnya dan tidak ada titik awalnya.

b. Probabilitas untuk terjadi satu kelahiran saja dalam suatu selang waktu ∆t

jika pada titik awal selang terdapat suatu populasi dengan n anggota

adalah λ n∆t + 0(∆t), dengan λ n adalah suatu konstanta, yang dapat saja

berbeda untuk n yang berbeda.

c. Probabilitas untuk terjadi satu kematian saja dalam selang waktu Δt jika

pada titik awal selang terdapat suatu populasi dengan n anggota adalah μn

Δt + 0 (Δt), dengan μn

adalah suatu konstanta, yang dapat saja berbeda

untuk n yang berbeda.

d. Probabilitas untuk terjadinya lebih dari satu kelahiran atau kematian dalam

suatu selang waktu adalah 0 (Δt).

Untuk Δt→0 maka kriteria proses kelahiran-kematian Markov

menurunkan persamaan Kolmogorov. Persamaan Kolmogorov untuk peluang

keadaan sebagai berikut.

=dt

(t)Pd n -(λ n + μn) Pn (t) + μn+1 Pn+1 (t) - (λ n-1 + μn-1) Pn-1 (t) ( 2.18 )

(Wospakrik, 1996:297)


31/78

17

b. Proses Kelahiran-Kematian Poisson

Suatu proses kelahiran-kematian Poisson adalah suatu proses

kelahiran-kematian Markov dimana probabilitas dari suatu kematian dan

probabilitas dari suatu kelahiran kedua-duanya dalam sebarang selang waktu

yang kecil tidak bergantung pada ukuran populasinya, yakni λn = λ dan μn = μ

untuk semua n. (Wospakrik, 1996:300)

E. Teori antrian

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian

atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu saja

merupakan suatu fenomena yang biasa terjadi apabila kebutuhan akan suatu

pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan

itu. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas ini harus

dapat ditentukan, walaupun sebenarnya tidak mungkin dapat dibuat suatu prediksi

yang tepat mengenai kapan unit-unit yang membutuhkan pelayanan itu akan

datang dan atau berapa lama waktu yang diperlukan untuk menyelenggarakan

pelayanan itu (Dimyati, 1999:349).

Suatu proses antrian (queueing process) adalah suatu proses yang

berhubungan dengan kedatangan seorang pelanggan pada suatu fasilitas

pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) jika seua pelayannya

sibuk, dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Sebuah sistem antrian adalah


32/78

18

suatu himpunan pelanggan, pelayan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan

para pelanggan. (Wospakrik, 1996:302)

Sebuah sistem antrian adalah suatu proses kelahiran-kematian dengan

suatu populasi yang terdiri atas pelanggan yang sedang menunggu mendapatkan

pelayanan atau yang sedang dilayani. Suatu kelahiran terjadi apabila seorang

pelanggan tiba di suatu fasilitas pelayanan, sedangkan apabila pelanggannya

meninggalkan fasilitas tersebut maka terjadi suatu kematian. Keadaan sistem

adalah jumlah pelanggan dalam suatu fasilitas pelayanan. (Wospakrik, 1996:302)

1. Struktur Dasar Model Antrian

Proses yang terjadi pada proses antrian dapat digambarkan sebagai

berikut

unit-unit yang unit-unitmembutuhkan yang telah

pelayanan dilayanim

(pelanggan)

sistem antrian

Gambar 2.1

Struktur dasar antrian

Unit-unit (langganan) yang memerlukan pelayanan diturunkan dari

suatu sumber input memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian. Dalam

waktu-waktu tertentu, anggota antrian ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan ini

didasarkan pada suatu aturan tertentu yang disebut disiplin pelayanan.

Sumber input antrianekanisme

pelayanan


33/78

19

Pelayanan yang diperlukan dilaksanakan dengan suatu mekanisme pelayanan

tertentu. Setelah itu unit (langganan) tersebut meninggalkan sistem antrian.

Suatu karakteristik yang perlu diketahui dari sumber input ini ialah

ukurannya (jumlahnya), yaitu jumlah total unit yang memerlukan pelayanan

dari waktu ke waktu atau disebut jumlah total langganan potensial. Ini bisa

dianggap terbatas atau tidak terbatas. Karena perhitungannya akan lebih

mudah untuk jumlah unit yang tidak terbatas, asumsi ini sering digunakan.

Pola statistik dari penurunan unit-unit yang memerlukan pelayanan ini

harus juga ditentukan. Dalam hal ini, asumsi yang biasa digunakan adalah

unit-unit ini diturunkan dengan mengikuti proses Poisson, artinya sampai

suatu waktu tertentu jumlah unit yang diturunkan ini mempunyai distribusi

Poisson. Ini adalah suatu kasus dimana kedatangan pada sistem antrian terjadi

secara random, tetapi dengan tingkat rata-rata tertentu. Asumsi berikutnya

adalah bahwa distribusi kemungkinan dari waktu antar kedatangan adalah

distribusi Eksponensial

Karakteristik suatu antrian ditentukan oleh jumlah unit maksimum yang

boleh ada di dalam sistemnya. Antrian ini dikatakan terbatas atau tidak

terbatas, bergantung pada jumlah unitnya terbatas atau tidak terbatas.Disiplin

pelayanan berkaitan dengan cara memilih anggota antran yang akan dilayani.

Sebagai contoh, disiplin pelayanan ini dapat berupa first come-first served

(yang datang lebih dahulu dilayani lebih dahulu), atau random, atau dapat pula


34/78

20

berdasarkan prosedur prioritas tertentu. Jika tidak ada keterangan apa-apa

maka asumsi yang biasa digunakan adalah first come first served.

Mekanise pelayanan terdiri atas satu atau lebih fasilitas pelayanan yang

masing-masing terdiri atas satu atau lebih aturan pelayanan paralel. Jika ada

lebih dari satu fasilitas pelayanan maka unit-unit yang memerlukan pelayanan

akan dilayani oleh serangkaian fasilitas pelayanan ini (saluran pelyanan seri).

Pada fasilitas pelayanan seperti ini,unit yang memerlukan pelayanan

memasuki salah satu saluran pelayanan paralel dan dilayani sepenuhnya oleh

pelayan yang bersangkutan. Suatu model antrian harus menetapkan urutan-

urutan fasilitas semacam itu sekaligus dengan jumlah pelayanan pada masing-

masing saluran paralelnya. Kebanyakan model-model dasar mengasumsikan

satu fasilitas pelayanan dengan satu atau beberapa pelayan.

Waktu yang digunakan sejak pelayanan dimulai sampai satu unit selesai

dilayani disebut sebagai waktu pelayanan. Biasanya diasumsikan bahwa

distribusi kemungkinan dari waktu pelayanan ini adalah distribusi

Eksponensial.

(Dimyati, 1999:349-352)

2. Proses Antrian Dasar

Suatu garis penungguan tunggal (yang pada suatu saat bisa juga kosong)

terbentuk di depan suatu fasilitas pelayanan tunggal dimana ada satu atau

beberapa pelayan. Setiap unit (langganan) yang diturunkan oleh suatu sumber

input dilayani oleh salah satu dari pelayan-pelayan yang ada, mungkin setelah


35/78

21

unit itu menunggu dalam antrian (garis penungguan). Sistem antrian semacam

itu dapat digambarkan sebagai berikut.(Dimyati, 1999:352)

Langganan yang telah

dilayani

Langganan yang telahdilayani

C

C

C C C C C

CC

P

P

fasilitasP pelayanan

P

Gambar 2.2Sistem antrian dasar

3.

Model-model Sistem Antrian

Menurut Mulyono (2002:287), proses antrian pada umumnya

dikelompokkan ke dalam empat struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas

pelayanan, yaitu:

a. Satu saluran satu tahap

kedatangan

pelanggan

sistem antrian

antrian pelayan

Gambar 2.3Skema antrian satu saluran satu tahap


36/78

22

b. Banyak saluran satu tahap

kedatangan

pelangganantrian

pelayan

sistem antrian

Gambar 2.4Skema antrian banyak saluran satu tahap

c. Satu saluran banyak tahap

kedatangan

pelangganantrian pelayan

sistem antrian

Gambar 2.5

Skema Antrian satu saluran banyak tahap

d. Banyak saluran banyak tahap

antrian

pelayan

kedatangan

pelanggan

sistem antrian

Gambar 2.6

Skema antrian banyak saluran banyak tahap


37/78

23

4. Terminologi dan notasi

Terminologi dan notasi yang digunakan dalam sistem antrian adalah

sebagai berikut.

Keadaan sistem : jumlah pelanggan pada sistem antrian.

Panjang antrian : jumlah pelanggan yang menunggu pelayanan

En : keadaan dimana ada n pelanggan pada sistem antrian.

Pn(t) : kemungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam sistem

antrian pada saat t

s : jumlah pelayan pada sistem antrian.

λ n : laju kedatangan rata-rata (ekspektasi jumlah kedatangan

per satuan waktu) dari pelanggan baru jika ada n

pelanggan dalam sistem.

n : laju pelayanan rata-rata (ekspektasi jumlah pelanggan

yang dapat selesai dilayani per satuan waktu) jika ada

n pelanggan dalam sistem.

Jika λ n adalah konstan untuk semua n, maka dapat ditulis sebagai λ . Jika n

konstan untuk semua n ≥ 1, maka dapat ditulis sebagai . Disini

n = s jika n ≥ s sehingga seluruh pelayan (sejumlah s) sibuk. Dalam hal

iniλ

1 menyatakan ekspektasi waktu diantara kedatangan, sedangkan

μ

1

menyatakan ekspektasi waktu pelayanan.


38/78

24

μ

λ ρ

s= adalah faktor penggunaan (utilisasi) untuk fasilitas pelayanan,

yaitu ekspektasi perbandingan dari waktu sibuk para pelayan.

Jika suatu sistem antrian telah mulai berjalan, keadaan sistem (jumlah

unit dalam sistem) akan sangat dipengaruhi oleh state (keadaan) awal dan

waktu yang telah dilalui. Dalam keadaan seperti ini, sistem dikatakan dalam

kondisi transien. Tetapi, lama kelamaan keadaan sistem akan independen

terhadap state awal tersebut, dan juga terdapat waktu yang dilaluinya.

Keadaan sistem seperti ni dikatakan berada dalam kondisi steady state. Teori

antrian cenderung memusatkan pada kondisi steady state, sebab kondisi

transien lebih sukar dianalisis.

Notasi-notasi berikut ini digunakan untuk sistem dalam kondisi steady

state:

Pn : kemungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam sistem antrian.

L : rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem

Lq : rata-rata panjang antrian

W : rata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam

sistem

Wq : rata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam

antrian

W(t) : peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t

dalam sistem


39/78

25

Wq(t) : peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t

dalam antrian

Berikut ini akan di uraikan hubungan antara L dan W. Asumsikan

bahwa λ n adalah konstan untuk semua n sehingga cukup ditulis λ . Maka

dalam proses antrian yang steady state didapat

L = λ W ( 2.19 )

Lq = λ Wq ( 2.20)

Kemudian diasumsikan bahwa waktu pelayanan rata-rata adalah konstan

untuk semua n ≥ 1 sehingga cukup ditulis sebagaiμ 1 , maka

W = Wq +μ

1 ( 2.21 )

kalikan dengan λ , didapat:

L = Lq + ρ ( 2.22 )

(Dimyati, 1999:353-355)

5.

Notasi Kendall

Terdapat banyak variasi yang mungkin dari model antrian. Ciri-ciri dari

masing-masing model akan diringkas dalam notasi Kendall yang diperluas.

Notasi tersebut dituliskan dengan

(a / b / c) : (d / e / f)

dimana simbol-simbol a, b, c, d, e, dan f adalah unsur-unsur dasar dari model

antrian sebagai berikut.

a : distribusi kedatangan

b : distribusi waktu pelayanan

c : jumlah pelayan

d : peraturan pelayanan (misalnya PMPK, TMPK, Prioritas)


40/78

26

e : jumlah pelanggan maksimum (dalam antrian dan sistem)

f : ukuran sumber pemanggilan.

(Mulyono, 2002:293)

Notasi baku yang mengganti simbol a dan b untuk distribusi kedatangan

dan keberangkatan sebagai berikut.

M : kedatangan atau keberangkatan berdistribusi Poisson (waktu antar

kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusieksponensial).

D : waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan yang konstan atau

deterministik

Ek : waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Erlang atau

Gamma dengan parameter k.

GI : distribusi independen umum dari kedatangan.

G : distribusi umum dari keberangkatan.

(Taha, 1997:186)

Notasi baku yang mengganti simbol d untuk peraturan pelayanan adalah

umum (GD) dalam arti bahwa peraturan tersebut dapat PMPK, TMPK,

Prioritas, atau prosedur apapun yang dapat digunakan oleh para pelayan untuk

memutuskan urutan pelanggan yang dilayani dalam antrian.

6. Peluang keadaan tunak

Jika sistem antrian telah mencapai kondisi steady state (kedaan tunak),

maka probabilitas {Pn(t)} menjadi konstan dan independen terhadap waktu.

Solusi steady state untuk Pn ini bisa didapat dengan menetapkan 0dt

t)(Pd n

= .

Asumsikan nnt

P(t)Plim =∞→

sehingga

0dt

(t)Pdlim nt

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∞→


41/78

27

Untuk maka persamaan di atas menjadi∞→t

Untuk n =0 maka diperoleh

0 = – (λ0 + μ0) P0 (t) + μ1 P1 + λ-1 P-1 ( 2.23 )

Karena λ-1 = 0 dan μ0 = 0 maka persamaan di atas menjadi

0 = - λ0 P0 + μ1 P1 ,

⇔ 01

01 PP

μ

λ = ( 2.24 )

Untuk n > 0 diperoleh

0 = -(λ n + μn) Pn (t) + μn+1 Pn+1 (t) - (λ n-1 + μn-1) Pn-1 (t)

⇔ 1

1-n1nn

1

1n

PPPP

+

−

++

−+=

n

nn

n

n

μ

λ

μ

λ ( 2.25 )

Pada persamaan 2.25, perhatikan ruas kanan yang kedua. Jika n > 1 maka:

1-n1

n

2-n2-n1-n1-n1-n

n

1n1-n1nn P

PPPPP −

−− −⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡ −+=− n

nn λ

μ

λ μ

μ

λ μ λ μ

2-n2-n1-n1-n PP λ −= ( 2.26 )

Ulangi perhitungan dengan nilai n yang lebih kecil, sehingga diperoleh

00111-n1-nnn PPPP λ λ −=− ( 2.27 )

dari persamaan untuk 2.24 diperoleh

Pn = 1-n1 P

n

n

μ

λ −

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−2-n

1-n

2-n1 Pμ

λ

μ

λ

n

n

= …


42/78

28

sehingga diperoleh

0

11n

02-n1-nn P

... ...Pμ μ μ λ λ λ

−=

n

( 2.28 )

Persamaan ini dapat ditulis secara ringkas sebagai:

0n

1i

1-n

0i

i

n PP

∏

∏

=

==λ

untuk n = 1, 2, … ( 2.29 )

Karena maka1P0n

n =∑∞

=

∑∏

∏∞=

=

−

=+

=

1

1

1

0

0

1

1P

nn

i

i

n

i

i

μ

λ

( 2.30 )

(Dimyati, 1999:361-363)

Ukuran-ukuran kinerja yang terpenting dari situasi antrian setelah

mencapai kondisi steady state yang dipergunakan untuk menganalisis situasi

antrian adalah rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu dalam antrian (

Lq), rata-rata waktu menunggu yang diperkirakan dalam antrian (Wq), dan

persentase pemanfaatan sarana pelayanan yang diperkirakan.

Dengan mempertimbangkan sarana pelayanan sebanyak s pelayan

paralel, maka dari definisi Pn diperoleh

∑∞

=

=0

nPnLn

( 2.31 )


43/78

29

∑∞

=

=0

nq Ps)-(nLn

( 2.32 )

Hubungan yang lain adalah sebagai berikut.

LW

λ = ( 2.33 )

λ

q

q

LW = ( 2.34 )

λ adalah laju kedatangan rata-rata dalam jangka waktu yang panjang dimana

∑∞

=

=0

nPn

nλ λ ( 2.35 )

(Taha, 1997: 190)

Persentase pemanfaatan sebuah sarana pelayanan dengan s pelayan

yang paralel dapat diperoleh sebagai berikut.

Persentase pemanfaatan = 00100 xμ

λ

s ( 2.36 )

(Taha, 1997: 191)

Solusi steady state ini diturunkan dengan asumsi bahwa parameter-

parameter λn dan μn adalah sedemikian sehingga kondisi steady state dapat

tercapai. Asumsi ini terjadi jika 1s


44/78

30

kapasitas sumber pemanggilan. Aturan pelayanan bersifat PMPK atau

pelanggan pertama yang datang akan dilayani terlebih dahulu, begitu

seterusnya hingga peminjam terakhir yang datang mendapatkan pelayanan

terakhir.

Sistem model ini dapat digambarkan seperti pada gambar 2.4 sebagai

berikut.

kedatangan pelanggan

sistem antrian

Pada sistem ini, diasumsikan bahwa laju kedatangan tidak bergantung

pada jumlah pada sistem tersebut, yaitu λn = λ untuk semua n. Demikian pula

diasumsikan bahwa pelayan tunggal dalam sistem tersebut menyelesaikan

pelayanan dengan kecepatan konstan, yaitu μn = μ untuk semua n. akibatnya

model ini memiliki kedatangan dan keberangkatan dengan mean λ dan μ

Jika λ = laju kedatangan rata-rata (jumlah pelanggan per satuan waktu)

= laju pelayanan pelanggan rata-rata

maka waktu antar kedatangan yang diharapkan adalah

λ

1 dan waktu

pelayanan adalahμ

1

antrian pelayan


45/78

31

Keadaan tunak tercapai jika 1 ρ tidak terdapat keadaan tunak pada sistem tersebut, karena

banyaknya pelanggan yang datang lebh cepat dari kemampuan pelayanan

sehingga terjadi penumpukan pelanggan dalam sistem. Sedangkan apabila

nilai 0= ρ tidak terjadi keadaan tunak, karena tidak terdapat antrian sama

sekali.

Ukuran-ukutan efektif pada keadaan tunak pada sistem antrian

(M / M / 1) : ( GD / ∞ / ∞) sebagai berikut.

a. Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem (L)

( )

∑

∞

=

=0

n-1nLn

ρ ρ

( ) ( )∑∞

=

−=0n

n

d

d 1 ρ

ρ ρ ρ

( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= ∑

∞

=0n

n d

d 1 ρ ρ

ρ ρ

( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

−−=

ρ ρ ρ ρ

1

1

d

d 1

ρ

ρ

−=

1

λ μ

λ

−= ( 2.37 )


46/78

32

b. Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (Lq)

( )

∑ ∑

∑∞

=

∞

=

∞

=

−=

=

1n 0n

nn

1n

nq

PPn

P1-nL

( 2.38 )

( )

ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

=

−−

=

−=

=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=

∑

∑

∑ ∑ ∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

11

)1(

Pn

PnPnPnL-L

1n

n

1n

n

0n 0n 1n

nnnq

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ

−=

−−

=

=

1

1

-LL

2

q

Jadi ρ

ρ

−=

1L

2

q ( 2.39 )

c. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam sistem (W)

Menurut rumus Little WL λ =

pada sistem M / M / 1, λ λ = maka


47/78

33

( )

λ μ

μ

λ λ

μ

λ

ρ λ ρ

λ

−=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=

−=

=

1

1

1

LW

Jadiλ μ −

= 1W ( 2.40 )

d. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam antrian (Wq)

( )

λ μ

ρ

ρ λ ρ

λ

λ

−=

=

=⇔

=

-1

LW

WL

2

q

q

q

q

Jadiλ μ

ρ

−=qW ( 2.41 )


48/78

34

8. Model Antrian (M / M / s) : (GD / ∞ / ∞)

Model ini mengasumsikan bahwa kedatangan terjadi menurut input

Poisson dengan parameter λ, dan bahwa waktu pelayanan untuk masing-

masing unit mempunyai distribusi Eksponensial dengan rata-rataμ

1.

(Dimyati, 1999:373)

Tingkat pelayanan rata-rata untuk seluruh sistem antrian adalah tingkat

rata –rata dimana unityang sudah dilayani meninggalkan sistem. Tingkat

pelayanan rata-rata per pelayanan yang sibuk adalah μ, karena itu tingkat

pelayanan keseluruhan adalah μn = nμ jika n ≤ s. Jika n ≥ s, berarti semua

pelayan sibuk sehingga μn = sμ. Jadi model ini adalah kasus khusus dari

proses kelahiran-kematian dengan λn = λ (untuk n = 0, 1, 2, …) dan

⎩⎨⎧

≥

≤≤=

sn jika, s

sn0 jika, n

μ

μ μ n

Jika λ < sμ (tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari tingkat

pelayanan rata-rata maksimum), maka hasil steady state-nya adalah sebagai

berikut.

( ) ( )∑ ∑

−

=

∞

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=1

0n

s-n0

ss!n!

1P

s

sn

sn

μ

λ μ λ μ λ

( ) ( )∑

= −+

=1-s

0n

sn

s1

1

!n!

n

1

μ

λ

μ λ λ

s

dan


49/78

35

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤≤

=sn jika ,P

s s!

sn0 jika ,Pn!

P0s-n

n

0

n

n μ λ

μ λ

(2.44)

Denganμ

λ ρ

s= , maka

a. Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (Lq)

( )( )2

0q

-1s!

PL

ρ

ρ μ λ s

= (2.45)

b. Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem (L)

μ

λ += qL L (2.46)

c. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam antrian (Wq)

λ

q

q

LW = (2.47)

d. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam sistem (W)

μ

1WW q += (2.48)

(Dimyati, 1999:374)


50/78

36

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini meliputi beberapa

tahap sebagai berikut.

A. Perumusan Masalah

Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan sehingga

mempermudah pembahasan selanjutnya.

B. Studi Pustaka

Studi pustaka adalah menelaah sumber pustaka yang relevan yang

digunakan untuk mengumpulkan informasi yang diperlukan dalam penelitian.

Studi pustaka diambil dengan mengumpulkan sumber pustaka yang dapat berupa

buku, teks, makalah, dan sebagainya. Setelah sumber pustaka terkumpul

dilanjutkan dengan penelaahan dari sumber pustaka tersebut. Pada akhirnya

sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk menganalisis permasalahan.

C. Pemecahan Masalah

1.

Pengumpulan data

Dalam penelitian ini pengambilan data dilaksanakan pada sistem

antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES yang dilaksanakan

selama 3 hari.

36


51/78

37

Pengumpulan data berkenaan dengan kedatangan dan kepergian

pengunjung dengan menggunakan metode observasi, yaitu:

a.

Mengukur waktu yang dibutuhkan untuk melayani seorang pelanggan.

Pelanggan dalam hal ini adalah pengunjung perpustakaan.

b. Menghitung jumlah kedatangan (kepergian) selama satu unit waktu yang

dipilih. Dalam penelitian ini satuan waktu yang dipilih adalah 5 menit.

Sedangkan untuk mengetahui waktu tunggu yang dikehendaki pengunjung

digunakan metode angket.

2. Analisis Data

a.

Langkah-langkah yang digunakan dalam analisis data sebagai berikut.

Dalam penelitian ini kedatangan nasabah diasumsikan berdistribusi

Poisson dan waktu pelayanan diasumsikan berdistribusi Eksponensial.

Untuk menguji kebenarannya dilakukan Uji Kebaikan-Suai Khi Kuadrat

Hipotesis tentang kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan

Universitas Negeri Semarang dalam penelitian ini sebagai berikut.

H0 : Kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri

Semarang pada masing-masing loket berdistribusi Poisson

Ha : Kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri

Semarang pada masing-masing loket tidak berdistribusi Poisson

Hipotesis tentang waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan

Universitas Negeri Semarang dalam penelitian ini sebagai berikut.

H0 : Waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas

Negeri Semarang pada masing-masing loket berdistribusi

Eksponensial


52/78

38

Ha : Waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas

Negeri Semarang pada masing-masing loket tidak berdistribusi

Eksponensial

b. Menentukan model antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan

Universitas Negeri Semarang

c. Menghitung rata-rata jumlah pengunjung yang berada dalam sistem dan

antrian pada masing-masing loket yang diteliti

d. Menghitung rata-rata waktu pengunjung berada dalam sistem dan antrian

pada masing-masing loket yang diteliti

e.

Menentukan rata-rata waktu menganggur bagi pelayan pada masing-

masing loket

3. Pengambilan Keputusan

Pengambilan keputusan tentang jumlah pelayan ideal pada masing-

masing loket yang diteliti didasarkan pada waktu menunggu dan persentase

waktu menganggur pelayan


53/78

39

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Hasil Penelitian

1. Gambaran Umum UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang

UPT Perpustakaan UNNES merupakan unit sarana pelayanan yang

dimiliki oleh UNNES. UPT Perpustakaan UNNES menyediakan bahan

pustaka yang diperlukan bagi mahasiswa sesuai dengan kebutuhannya.

UPT Perpustakaan UNNES terdiri dari dua ruang pelayanan yakni

ruang sirkulasi dan ruang referensi. Pelayanan pada ruang sirkulasi

meliputi pelayanan peminjaman buku, pengembalian buku serta

penelusuran bahan pustaka. Pelayanan pada ruang referensi meliputi

skripsi, thesis, serta karya ilmiah yang dapat di fotocopy dengan ijin

petugas perpustakaan.

Sistem antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES

mengikuti sistem antrian dengan saluran tunggal. Pada sistem antrian

dengan saluran tunggal, pengunjung yang datang untuk meminjam atau

mengembalikan buku membentuk antrian di depan pelayan sampai pada

gilirannya dan setelah itu meninggalkan sistem. Situasi antrian yang terjadi

pada UPT Perpustakaan UNNES dapat digambarkan dengan sistem antrian

sebagai berikut.


54/78

40

kedatangan pengunjung

sistem antrian

Gambar 4.1

antrian pelayan

Skema situasi antrian yang terjadi pada

UPT Perpustakaan UNNES

2.

Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung.

Kedatangan pengunjung pada UPT Perpustakaan UNNES

diasumsikan berdistribusi Poisson. Untuk meyakinkan bahwa kedatangan

pengunjung berdistribusi Poisson, maka dilakukan uji kebaikan suai khi

kuadrat

Dari data hasil penelitian, dapat dibuat rekapitulasi kedatangan

pengunjung per interval waktu lima menit (lampiran 3 dan 4 ). Selanjutnya

data lampiran 3 dan 4 digunakan untuk melakukan uji kebaikan suai khi

kuadrat kedatangan pengunjung.

a. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Kedatangan

Pengunjung pada Loket Peminjaman

1)

Senin, 15 Agustus 2005

Pada tabel 5.1 (lampiran 5), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ)

sebesar 3,167 pengunjung setiap lima menit (0,633 per-menit).

Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 4,6. Dari tabel khi kuadrat

(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01;5) adalah 15,09. Dengan demikian


55/78

41

χ2hitung < χ2(0,01;5). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi

Poisson.

2) Selasa, 16 Agustus 2005


sebesar 3 pengunjung setiap lima menit (0,600 per-menit).

Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 7,782 Dari tabel khi kuadrat

(lampiran 9) diperoleh χ

2

(0,01;4) adalah 13,28. Dengan demikian


Poisson.

3) Kamis, 18 Agustus 2005



Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 4,303 Dari tabel khi kuadrat



Poisson.

b. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Kedatangan

Pengunjung pada Loket Pengembalian Buku

1) Senin, 15 Agustus 2005






56/78

42


Poisson.


Pada tabel 6.2 (lampiran 6), terlihat bahwa rata-rata kedatangan

(λ) sebesar 1,958 pengunjung setiap lima menit (0,392 per-menit).


(lampiran 9) diperoleh χ

2

(0,01;3) adalah 11,34. Dengan demikian


Poisson.







Poisson.

3. Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan

Dari hasil pengamatan sistem antrian pada UPT Perpustakaan

Universitas Negeri Semarang diperoleh waktu pelayanan t, yaitu waktu

yang diperlukan untuk melayani satu orang pengunjung. Untuk

menentukan rata-rata waktu pelayanan dapat dihitung dengan ∑=

=m

i

ii f xt

1

,

dengan i adalah batas-batas interval [I1-I

, Ii] dan x

i adalah nilai tengah dari


57/78

43

interval ke-i, serta f i adalah frekuensi relatif yaitu frekuensi observasi (f 0)

pada interval i dibagi dengan jumlah frekuensi keseluruhan (n). Laju

pelayanan pengunjung (μ) adalah rata-rata jumlah pengunjung yang dapat

dilayani per satuan waktu. Dengan demikian hargat

1=μ .

Dari data penelitian pada lampiran 7 dan 8 maka didapatkan data

waktu pelayanan yang akan diuji dengan dengan uji kebaikan suai khi

kuadrat.

a.

Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Waktu Pelayanan

Pengunjung pada Loket Peminjaman Buku


Pada tabel 7.1 (lampiran 7), terlihat bahwa rata-rata waktu

pelayanan sebesar 1,25 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga

laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,8 pengunjung per-menit.


(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian

χ2hitung < χ2(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.

2)

Selasa , 16 Agustus 2005






58/78

44







Sedangkan untuk nilai χ

2

hitung adalah 5,954. Dari tabel khi kuadrat



b. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Waktu Pelayanan

Pengunjung pada Loket Pengembalian Buku

1)













59/78

45











4.

Menentukan Model Antrian

Dalam penelitian ini, antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan

UNNES diasumsikan mengikuti model antrian (M / M / 1) : (GD / ∞ / ∞).

Pada model ini kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan

berdistribusi Eksponensial, terdapat satu pelayan dengan peraturan

pelayananan yang pertama masuk dilayani lebih dulu (PMPK), serta

dengan kapasitas sistem dan sumber kedatangan tak terbatas.

Dari hasil penelitian yang dilakukan ternyata pola kedatangan

berdistribusi Poisson sedangkan waktu pelayanan berdistribusi

Eksponensial. Pada UPT Perpustakaan UNNES pada loket peminjaman


60/78

46

maupun loket pengembalian masing-masing ditempatkan satu orang

pelayan dengan peraturan pelayanan yang pertama kali datang akan

dilayani terlebih dahulu. Jumlah pengantri dalam sistem dan antrian serta

sumber kedatangan pengunjung tak terbatas. Jadi sistem antrian pada UPT

Perpustakaan UNNES mengikuti model antrian (M / M / 1) : (GD / ∞ /∞)

5. Menghitung Rata-rata Jumlah Pengunjung Dalam Antrian dan Sistem

Untuk menghitung besar faktor kegunaan untuk mengetahui rata-rata

jumlah pengunjung yang menunggu di dalam antrian dan sistem, maka

terlebih dahulu harus diketahui besar rata-rata laju kedatangan (λ) dan laju

pelayanan (μ).

Untuk menghitung faktor kegunaan, digunakan rumus

μ

λ ρ =

a.

Menghitung Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Sistem

Rata-rata jumlah pengunjung dalam system dapat dihitung dengan

menggunakan rumus ρ

ρ

-1L =

1) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Sistem pada Loket

Peminjaman

a) Senin, 15 Agustus 2005

==μ

λ ρ 791,0

8,0

633,0=


61/78

47

ρ

ρ

-1L = = 785,3

791,01

791,0=

−

Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 3,785

b) Selasa, 16 Agustus 2005

==μ

λ ρ 858,0

699,0

6,0=

ρ

ρ

-1L = = 042,6

858,01

858,0=

−


c) Kamis, 18 Agustus 2005

==μ

λ ρ 608,0

959,0

583,0=

ρ

ρ

-1

L = = 551,1

608,01

608,0=

−


2) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Sistem pada Loket

Pengembalian


== μ

λ

ρ 811,0575,0

466,0

=

ρ

ρ

-1L = = 291,4

811,01

811,0=

−



62/78

48


==μ λ ρ 480,0

816,0392,0 =

ρ

ρ

-1L = = 923,0

480,01

480,0=

−



== μ λ ρ 534,0

843,0450,0 =

ρ

ρ

-1L = = 146,1

534,01

534,0=

−


b.

Menghitung Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Antrian

Rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian dapat dihitung dengan

menggunakan rumus ρ

ρ

−=

1L

2

q

1) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Antrian pada Loket

Peminjaman


ρ ρ −

=1

L2

q = ( ) 994,2791,01

791,02

=−

Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 2,994


ρ

ρ

− =

1L

2

q = ( )

184,5858,01

858,02

=−



63/78

49


ρ

ρ

−=

1L

2

q = ( ) 943,0

608,01

608,0 2 =−


2) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Antrian pada Loket

Pengembalian

a)


ρ

ρ

−=

1L

2

q = ( )

480,3811,01

811,02

=−



ρ

ρ

−=

1L

2

q = ( )

443,0480,01

480,022

=−



ρ

ρ

−=

1L

2

q = ( )

612,0534,01

534,02

=−


6.

Menghitung Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem dan Antrian

Rata-rata waktu menunggu dalam sistem dapat dihitung dengan

menggunakan rumusλ μ -

1W =

a.

Menghitung Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem

1) Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem pada Loket Peminjaman


64/78

50


==λ μ -

1W 988,5633,08,0

1 =−

Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 5,988

menit


λ μ -

1W = 101,10

6,0699,0

1=

−

=


menit


λ μ -

1W = 660,2

583,9590,0

1==

Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 2,66 menit

2) Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem pada Loket

Pengembalian


λ μ -

1W = 174,9

466,0575,0

1=

−=


menit

b)

Selasa, 16 Agustus 2005

λ μ -

1W = 358,2

392,0816,0

1=

−=



65/78

51


λ μ -1W = 544,2

450,0843,01 =−

=


b. Menghitung Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian

Rata-rata waktu menunggu dalam antrian dapat dihitung menggunakan

rumus

λ μ

ρ

-

Wq =

1) Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian pada Loket

Peminjaman


λ μ

ρ

-Wq = = 736,4

633,08,0

791,0=

−

Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 4,736 menit


λ μ

ρ

-Wq = = 667,8

6,0699,0

858,0=

−



λ μ

ρ

-Wq = = 617,1

583,0959,0

608,0=

−



66/78

52

2) Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian pada Loket

Pengembalian

a)


λ μ

ρ

-Wq = = 435,7

466,0575,0

811,0=

−



λ μ

ρ

-Wq = = 133,1

392,0816,0

480,0=

−



λ μ

ρ

-Wq = = 358,1

450,0843,0

534,0=

−


7. Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian Untuk Berbagai Nilai s.

Dengan cara yang sama, rata-rata waktu menunggu dalam antrian untuk

berbagai nilai s adalah sebagai berikut.

a. Rata-rata waktu menunggu dalam antrian untuk berbagai nilai s pada

loket peminjaman buku


Tabel 4.1

Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian

untuk Berbagai Nilai s

Jumlah pelayan (s) 1 2

Wq (detik) 284 14


67/78

53


Tabel 4.2Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian



Wq (detik) 520 19

3)

Kamis, 18 Agustus 2005

Tabel 4.3




Wq (detik) 97 6

b.

Rata-rata waktu menunggu dalam antrian untuk berbagai nilai s pada

loket pengembalian buku

1)


Tabel 4.4




Wq (detik) 446 20


68/78

54


Tabel 4.5




Wq (detik) 68 4

3)

Kamis, 18 Agustus 2005

Tabel 4.6

Hasil Penghitungan

matematika==aplikasi sistem antrian dengan saluran tunggal.pdf

Documents