najamudin17.files.wordpress.com · matematika kelas xii 1 setelah mempelajari bab ini, peserta...

1Matematika Kelas XII

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:

1. mendeskripsikan dan menganalisis konsep matriks dalam sistem persamaan linear dan transformasi geometri;

2. menerapkan konsep matriks dalam sistem persamaan linear dan transformasi geometri;

Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik diharapkan cermat dan jeli dalam memilih cara yang

tepat untuk mencari solusi suatu permasalahan.

• Menjelaskan konsep invers matriks dalam

menentukan penyelesaian SPL.

• Mencari penyelesaian SPL menggunakan

invers matriks.

• Menjelaskan konsep determinan matriks

dalam menentukan penyelesaian SPL.

• Mencari penyelesaian SPL menggunakan

determinan matriks.

Penerapan Matriks

• Menjelaskan konsep transformasi titik

oleh matriks.

• Menentukan koordinat bayangan titik

setelah ditransformasi oleh suatu matriks.

• Menjelaskan konsep transformasi kurva

oleh matriks.

• Menentukan persamaan bayangan kurva

setelah ditransformasi oleh suatu matriks.

• Menjelaskan konsep transformasi bangun

datar segi-n oleh matriks.

• Menentukan bentuk dan luas bayangan

bangun datar segi-n setelah ditransformasi

oleh suatu matriks.

Penerapan Matriks dalam Transformasi

Geometri

Penerapan Matriks dalam Sistem

Persamaan Linear (SPL)

• Bersikap cermat dan jeli dalam memilih cara yang tepat untuk mencari solusi suatu

permasalahan.

• Mampu menerapkan konsep matriks dalam menyelesaikan permasalahan yang

berkaitan dengan penyelesaian SPL dan transformasi geometri.

2 Penerapan Matriks

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: b

Diketahui SPLDV:

x = 3y ⇔ x – 3y = 0

2y + 3 = 4x ⇔ –4x + 2y = –3

Matriks koefisien SPLDV tersebut adalah

� �

� �

− −

.

2. Jawaban: d

Nilai determinan variabel z:

Dz =

� ��

� ��

� ��

−− −−− −

= 0 × (–3) × (–1) + 3 × (–7) × 1 + 8 × 1 × (–2)

– 8 × (–3) × 1 – 0 × (–7) × (–2) – 3 × 1 × (–1)

= 0 – 21 – 16 + 24 – 0 + 3

= –10

3. Jawaban: c

a. SPLDV � � �

��

− = + =

memiliki nilai a1 = 1,

a2 = 2, b1 = –2, b2 = 4, c1 = 1, dan c2 = 2.

Nilai �

�

=

�

� , �

�

�

� =

�

�

− = –

�

�, dan

�

�

�

� =

�

�

Oleh karena �

�

≠

�

�

�

�, maka SPLDV memiliki

satu penyelesaian.

b. SPLDV ��

� � �

− = − − + =


a2 = –1, b1 = –6, b2 = 3, c1 = –4, dan c2 = 2.

Nilai �

�

=

�−2

= –2, �

�

�

� =

�

− = –2, dan

�

�

�

� =

�

�

− = –2.

Oleh karena �

�

=

�

�

�

� = �

�

�

�, maka SPLDV

memiliki tak hingga penyelesaian.

c. SPLDV � � �

��

+ = −− − =


a2 = –2, b1 = 2, b2 = –4, c1 = –3, dan c2 = 5.

Nilai �

�

= –

�

�,

�

�

�

� =

�

�− = –�

�, dan �

�

�

� =

�

�

−.

Oleh karena �

�

=

�

�

�

� ≠ �

�

�

�, maka SPLDV

tidak memiliki penyelesaian.

Jadi, SPLDV pilihan c tidak memiliki penyelesaian.

4. Jawaban: c

Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien

� �

� �

− −

.

D = � �

� �

−−

= 3 × 3 – (–2) × (–2) = 9 – 4 = 5

Dx = ��

��

−−

= 18 × 3 – (–2) × (–27) = 54 – 54 = 0

x = ��

� = �

�� = 0

Jadi, nilai x = 0.

5. Jawaban: d

Diketahui (m, n) merupakan penyelesaian SPLDV,

maka:

3m + 2n = –17

2m + 3n = –8

Mencari nilai m dan n menggunakan determinan

matriks.

Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien � �

� �

.

D = � �

� �

= 3 × 3 – 2 × 2 = 9 – 4

= 5

Dm = ��

� �

−−

= –17 × 3 – 2 × (–8)

= –51 + 16 = –35

Dn = � ��

� �

−−

= 3 × (–8) – (–17) × 2= –24 + 34 = 10

– – – + + +


Dengan demikian, diperoleh:

n = ��

� =

��

�

− = –7

m = ��

� =

��

� = 2

Nilai m + n = –7 + 2 = –5.

Jadi, nilai m + n = –5.

6. Jawaban: a

x1 dan y1 memenuhi sistem persamaan linear

��

� � �

+ = + =

maka 3x1 + 4y1 = 0 dan x1 + 2y1 = 2

SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.

� �

� �

�

�

�

= �

�

Misalkan A = � �

� �

, X = �

�

�

, dan B = �

�

,

maka diperoleh persamaan matriks AX = B.

det A = � �

� � = 3 × 2 – 4 × 1 = 6 – 4 = 2

Adj A = � �

� �

− −

A–1 = �

��Adj A =

�

�

� �

� �

− −

Dengan demikian, diperoleh :

X = A–1B

⇔�

�

�

= �

�

� �

� �

− −

�

�

= �

�

( )( )� � � �

� � � �

× + − × − × + ×

= �

�

� �

�

− +

= �

�

�

−

= �

�

−

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai

x1 = –4 dan y1 = 3.

Nilai �

� x1 + 2y1 = �

� × (–4) + 2 × 3 = –2 + 6 = 4

Jadi, nilai �

� x1 + 2y1 = 4.

7. Jawaban: a

Diketahui SPLTV:

��

� ��

��

− + − − +

Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

� � �

� � �

� � �

− −

.

D =

� � � � �

� � � � �

� � � � �

− −−

= 2 × 1 × 4 + (–1) × (–2) × 3 + 0 × 1 × 0 – 0 × 1 × 3

– 2 × (–2) × 0 – (–1) × 1 × 4

= 8 + 6 + 0 – 0 – 0 + 4 = 18

Dx =

� � � � �

� � � � �

��

− −− − −

= 16 × 1 × 4 + (–1) × (–2) × 19 + 0 × (–3) × 0

– 0 × 1 × 19 – 16 × (–2) × 0 – (–1) × (–3) × 4

= 64 + 38 + 0 – 0 – 0 – 12 = 90

Dy =

� � � � �

� � � � �

� ��

− − −

= 2 × (–3) × 4 + 16 × (–2) × 3 + 0 × 1 × 19

– 0 × (–3) × 3 – 2 × (–2) × 19 – 16 × 1 × 4

= –24 – 96 + 0 – 0 + 76 – 64

= –108

Dz =

� � � � �

� � � � �

� � ��

− −−

= 2 × 1 × 19 + (–1) × (–3) × 3 + 16 × 1 × 0

– 16 × 1 × 3 – 2 × (–3) × 0 – (–1) × 1 × 19

= 38 + 9 + 0 – 48 – 0 + 19 = 18


x = ��

� = ��

�� = 5

y = �

� =

��

��

− = –6

z = ��

� = ��

�� = 1

Jadi, HP = {(5, –6, 1)}.

8. Jawaban: c

Misalkan: x = harga sebuah buku

y = harga sebuah bolpoin

Harga 4 buku dan 2 bolpoin Rp11.400,00, maka

4x + 2y = 11.400.

+ + +– – –

+ + +– – –

+ + +– – –

+ + +– – –

4 Penerapan Matriks

Harga 3 buku dan 4 bolpoin Rp11.300,00, maka

3x + 4y = 11.300.

Dengan demikian, diperoleh SPLDV:

4x + 2y = 11.400

3x + 4y = 11.300


� �

.

D = � �

� � = 4 × 4 – 2 × 3 = 16 – 6 = 10

Dx = ��

��

= 11.400 × 4 – 2 × 11.300

= 45.600 – 22.600

= 23.000

Dy = � ��

� ��

= 4 × 11.300 – 11.400 × 3

= 45.200 – 34.200

= 11.000


x = ��

� = ��

�� = 2.300

y = �

� = ��

�� = 1.100

Hal ini berarti, harga sebuah buku Rp2.300,00

dan harga sebuah bolpoin Rp 1.100,00.

Harga sebuah buku dan sebuah bolpoin = x + y

= Rp2.300,00 + Rp1.100,00 = Rp3.400,00

Uang kembalian Arman = Rp5.000 – Rp3.400,00

= Rp1.600,00

Jadi, uang kembalian yang diterima Arman

sebesar Rp1.600,00.

9. Jawaban: b

Misalkan: x = usia Ali sekarang

y = usia Doni sekarang

Empat tahun lalu usia Ali �

� kali usia Doni, maka

diperoleh persamaan:

(x – 4) = �

�(y – 4) ⇔ 3(x – 4) = y – 4

⇔ 3x – 12 = y – 4

⇔ 3x – y = 8

Empat tahun yang akan datang jumlah usia Ali

dan Doni 24 tahun, maka diperoleh persamaan:

(x + 4) + (y + 4) = 24 ⇔ x + y = 16

Dengan demikian, diperoleh SPLDV:

3x – y = 8

x + y = 16


� �

� �

−

�

= �

�


� �

−

, X = �

, dan B = �

�

,

maka diperoleh kesamaan matriks AX = B.

det A = � �

� �

− = 3 × 1 – (–1) × 1 = 3 + 1 = 4

Adj A = � �

� �

−

A–1 = �

��Adj A =

�

�

� �

� �

−


X = A–1B

⇔�

= �

�

� �

� �

−

�

�

= �

�

� � � �

� � � �

× + × − × + ×

= �

��

� ��

+ − +

= �

��

��

=

��


x = 6 dan y = 10.

Hal ini berarti, usia Ali sekarang 6 tahun dan usia

Doni sekarang 10 tahun.

Jadi, usia Doni sekarang 10 tahun.

10. Jawaban: d

Himpunan penyelesaian SPLDV {(–1, 2)}, berarti

x = –1 dan y = 2.

Substitusikan x = –1 dan y = 2 ke persamaan

SPLDV.

� �

� +

� �

�= 2

⇔ �

�

− +

� �

�

+= 2

⇔ 3(a – 1) + 2(2 + b) = 12

⇔ 3a – 3 + 4 + 2b = 12

⇔ 3a + 2b = 11 . . . (1)

�

�

− +

��

�

− += –2

⇔ � ��

�

− − +

� ��

�

− += –2

⇔ 3(–1 – a) + 4(2 – (4b + 1)) = –24

⇔ –3 – 3a + 8 – 16b – 4 = –24

⇔ –3a – 16b = –25 . . . (2)


Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV baru

dalam variabel a dan b sebagai berikut.

3a + 2b = 11

–3a – 16b = –25

Mencari nilai a dan b menggunakan determinan

matriks.


� �

− −

.

D = � �

� � − −

= 3 × (–16) – 2 × (–3)

= –48 + 6 = –42

Da = ��

�� − −

= 11 × (–16) – 2 × (–25)

= –176 + 50 = –126

Db = − −3 ��

� ��

= 3 × ( – 25) – 11 × (–3)

= –75 + 33 = –42


a = �

� =

��

��

−− = 3

b = ��

� =

��

��

−− = 1

Diperoleh a = 3 dan b = 1.

Nilai a + b = 3 + 1 = 4.

Jadi, nilai a + b = 4.

B. Uraian

1. a. Menentukan penyelesaian SPLDV meng-

gunakan invers matriks.

SPLDV dalam bentuk matriks sebagai

berikut.

� �

� �

− −

�

= �

�

−


� �

− −

, X = �

, dan

B = �

�

−

, maka diperoleh kesamaan matriks

AX = B.

det A = � �

� �− −= 2 × (–4) – 5 × (–3)

= –8 + 15 = 7

Adj A = � �

� �

− −

A–1 = �

��Adj A =

�

�

� �

� �

− −


X = A–1B

⇔�

= �

�

� �

� �

− −

�

�

−

= �

�

( ) ( )( )

� � � �

� � � �

− × − + − × × − + ×

= �

�

� ��

� ��

− − +

= �

�

��

�

−

= �

�

−


x = –3 dan y = 1.

Jadi, HP = {(–3, 1)}.

b. Menentukan penyelesaian SPL menggunakan

determinan matriks.


� � �

� � �

� � �

− −

.

D =

� � � � �

� � � � �

� � � � �

− −−

= 2 × 0 × 4 + (–1) × (–3) × 0 + 2 × 4 × 3

– 2 × 0 × 0 – 2 × (–3) × 3 – (–1) × 4 × 4

= 0 + 0 + 24 – 0 + 18 + 16

= 58

Dx =

� � �

� � � � �

� � � � �

− −− − −

= 6 × 0 × 4 + (–1) × (–3) × 5 + 2 × (–4) × 3

– 2 × 0 × 5 – 6 × (–3) × 3 – (–1) × (–4) × 4

= 0 + 15 – 24 – 0 + 54 – 16

= 29

Dy =

� � �

� � � � �

� � � � �

− − −

= 2 × (–4) × 4 + 6 × (–3) × 0 + 2 × 4 × 5

– 2 × (–4) × 0 – 2 × (–3) × 5 – 6 × 4 × 4

= –32 – 0 + 40 – 0 + 30 – 96

= –58

+ + +– – –

+ + +– – –

+ + +– – –

6 Penerapan Matriks

+ + +– – –

Dz =

� � � �

� � � � �

� � � � �

− −−

= 2 × 0 × 5 + (–1) × (–4) × 0 + 6 × 4 × 3

– 6 × 0 × 0 – 2 × (–4) × 3 – (–1) × 4 × 5

= 0 + 0 + 72 – 0 + 24 + 20

= 116


x = ��

� = ��

�� = �

�

y = �

� = ��

��

− = –1

z = ��

� = ��

�� = 2

Jadi, HP = {(�

� , –1, 2)}.

2. a. SPLDV � � �

��

− + = − − = memiliki nilai a1 = –1,

a2 = 4, b1 = 3, b2 = –1, c1 = –1, dan c2 = 4.

Nilai �

�

= –�

�,

�

�

�

� = –3, dan �

�

�

� = –�

�

Oleh karena �

�

≠ �

�

�

�, maka SPLDV memiliki

satu penyelesaian.

b. SPLDV �

�

��

��

− =− + =


a2 = –2, b1 = –1, b2 = �

�, c1 = 3, dan c2 = 2.

Nilai �

�

= –�

�,

�

�

�

� = �

�

�− = –

�

�, dan

�

�

�

� = �

�.

Oleh karena �

�

= �

�

�

� ≠

�

�

�

� , maka SPLDV

tak memiliki penyelesaian.

c. Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

� � �

� � �

� � �

− −

.

D =

� � � � �

� � � � �

� � � � �

−− −

= 2 × 2 × 1 + 0 × 4 × 0 + (–1) × (–4) × 1

– (–1) × 2 × 0 – 2 × 4 × 1 – 0 × (–4) × 1

= 4 + 0 + 4 – 0 – 8 – 0

= 0

Dx =

� � � � �

� � � � �

� � � � �

−

= 1 × 2 × 1 + 0 × 4 × 2 + (–1) × 1 × 1

– (–1) × 2 × 2 – 1 × 4 × 1 – 0 × 1 × 1

= 2 + 0 – 1 + 4 – 4 – 0

= 1

Dy =

� � � � �

� � � � �

� � � � �

−− −

= 2 × 1 × 1 + 1 × 4 × 0 + (–1) × (–4) × 2

– (–1) × 1 × 0 – 2 × 4 × 2 – 1 × (–4) × 1

= 2 + 0 + 8 – 0 – 16 + 4

= –2

Dz =

� � � � �

� � � � �

� � � � �

− −

= 2 × 2 × 2 + 0 × 1 × 0 + 1 × (–4) × 1

– 1 × 2 × 0 – 2 × 1 × 1 – 0 × (–4) × 2

= 8 + 0 – 4 – 0 – 2 – 0

= 2

Oleh karena D = 0, Dx ≠ 0, Dy ≠ 0, dan Dz ≠ 0,

maka SPLTV tidak memiliki penyelesaian.

d. Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

� ��

�

� � �

− − − −

.

D =

� � �

� �

� � � � �

−− −

− − −

= 0 × 3 × (–2) + 6 × 6 × 2 + (–1) × (–6) × (–1)

– (–1) × 3 × 2 – 0 × 6 × (–1) – 6 × (–6)

× (–2)

= 0 + 72 – 6 + 6 – 0 – 72

= 0

Dx =

�

� � � �

� � � � �

−− −

− − −

= 6 × 3 × (–2) + 6 × 6 × 1 + (–1) × (–3) × (–1)

– (–1) × 3 × 1 – 6 × 6 × (–1) – 6 × (–3)

× (–2)

= –36 + 36 – 3 + 3 + 36 – 36

= 0

+ + +– – –

+ + +– – –

+ + +– – –

+ + +– – –

+ + +– – –

+ + +– – –


Dy =

�

� �

�

−− − − −

−

0 06 6

2 1 2 1

= 0 × (–3) × (–2) + 6 × 6 × 2 + (–1) × (–6) × 1

– (–1) × (–3) × 2 – 0 × 6 × 1 – 6 × (–6)

× (–2)

= 0 + 72 + 6 – 6 – 0 – 72 = 0

Dz =

� � �

�

− − −− −

0 06 6

2 1 2 1

= 0 × 3 × 1 + 6 × (–3) × 2 + 6 × (–6) × (–1)

– 6 × 3 × 2 – 0 × (–3) × (–1) – 6 × (–6) × 1

= 0 – 36 + 36 – 36 – 0 + 36 = 0

Oleh karena D = Dx = Dy = Dz = 0, maka

SPLTV memiliki tak berhingga penyelesaian.

3. SPLDV ��

��

+ = + + =

memiliki nilai a1 = p,

a2 = q, b1 = 6, b2 = 8, c1 = 2q + 1, dan c2 = 4p.

SPLDV memiliki tak hingga penyelesaian jika

�

�

=

�

�

�

� =

�

�

�

�.


�

�

=

�

�

�

� ⇔

�

� =

� ⇔

�

� =

�

� ⇔ 4p = 3q

�

�

�

� =

�

�

�

�⇔

�=

��

��

⇔ �

�=

��

��

⇔ 9q = 4(2q + 1)

⇔ 9q = 8q + 4

⇔ q = 4

4p = 3q ⇔ 4p = 3 × 4 ⇔ p = 3

Jadi, nilai p = 3 dan q = 4.

Selesaikan permasalahan pada soal nomor 4 dan 5

berikut menggunakan invers matriks atau determinan

matriks.

4. Misalkan: p = panjang potongan papan

= lebar potongan papan

Lebar potongan papan 4 cm kurang dari

panjangnya, maka diperoleh:

= p – 4

⇔ p – = 4 . . . (1)

Keliling potongan papan = 36, maka:

K = 2(p + )

⇔ 36 = 2(p + )

⇔ p + = 18 . . . (2)

Dengan demkian, diperoleh SPLDV:

p – = 4

p + = 18

Menentukan nilai p dan menggunakan invers

matriks.


� �

� �

−

�

= �

��


� �

−

, X = �

, dan B = �

��

,


det A = � �

� �

−= 1 × 1 – (–1) × 1 = 1 + 1 = 2

Adj A = � �

� �

−

A–1 = �

��Adj A =

�

�

� �

� �

−


X = A–1B

⇔�

= �

�

� �

� �

−

�

��

= �

�

� � � ��

� ��

× + × − × + ×

= �

�

� ��

� ��

+ − +

= �

�

��

��

= ��

�


p = 11 dan l = 7.

Luas potongan papan = p × = 11 × 7 = 77 cm2.

Jadi, luas potongan papan 77 cm2.

5. Misalkan: x = banyak pesawat jenis A

y = banyak pesawat jenis B

z = banyak pesawat jenis C

Jumlah penumpang kelas bisnis = 305

maka:

50x + 75y + 40z = 305

⇔ 10x + 15y + 8z = 61 . . . (1)

Jumlah penumpang kelas ekonomi = 185

maka:

30x + 45y + 25z = 185

⇔ 6x + 9y + 5z = 37 . . . (2)

+ + +– – –

+ + +– – –

8 Penerapan Matriks

Jumlah penumpang kelas VIP = 206

maka:

32x + 50y + 30z = 206

⇔ 16x + 25y + 15z = 103 . . . (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh SPLTV

sebagai berikut.

10x + 15y + 8z = 61 . . . (1)

6x + 9y + 5z = 37 . . . (2)

16x + 25y + 15z = 103 . . . (3)

Menentukan nilai x, y, dan z menggunakan

determinan matriks.


��

� �

� ��

.

D =��

� � �

� ��

= 10 × 9 × 15 + 15 × 5 × 16 + 8 × 6 × 25

– 8 × 9 × 16 – 10 × 5 × 25 – 15 × 6 × 15

= 1.350 + 1.200 + 1.200 – 1.152 – 1.250 – 1.350

= –2

Dx =

� ��

��

��

= 61 × 9 × 15 + 15 × 5 × 103 + 8 × 37 × 25

– 8 × 9 × 103 – 61 × 5 × 25 – 15 × 37 × 15

= 8.235 + 7.725 + 7.400 – 7.416 – 7.625 – 8.325

= –6

Dy =

��

��

� ��

= 10 × 37 × 15 + 61 × 5 × 16 + 8 × 6 × 103

– 8 × 37 × 16 – 10 × 5 × 103 – 61 × 6 × 15

= 5.550 + 4.880 + 4.944 – 4.736 – 5.150 – 5.490

= –2

Dz =

��

� ��

� ��

= 10 × 9 × 103 + 15 × 37 × 16 + 61 × 6 × 25

– 61 × 9 × 16 – 10 × 37 × 25 – 15 × 6 × 103

= 9.270 + 8.880 + 9.150 – 8.784 – 9.250 – 9.270

= –4


x = ��

� =

�

−− = 3

y = �

� =

�

�

−− = 1

z = ��

� = �

�

−− = 2

Jadi, perusahaan penerbangan tersebut harus

menyiapkan 3 unit pesawat jenis A, 1 unit pesawat

jenis B, dan 2 unit pesawat jenis C.

+ + +– – –

+ + +– – –

+ + +– – –

+ + +– – –

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: e

Misalkan bayangan titik P(3, –1) setelah

ditransformasi oleh matriks M = � �

� �

−

adalah

P′(x′, y′), maka:

�

′ ′

= � �

� �

−

�

�

−

= � � � ��

� � � � ��

× + − × − × + × −

= � �

� �

+ −

= �

�

−

Jadi, bayangan titik P(3, –1) setelah ditransformasi

oleh matriks M = � �

� �

−

adalah P′(5, –4).

2. Jawaban: b

Bayangan titik A setelah ditransformasi oleh

matriks M = � �

� �

adalah A′(5, 6), maka:

�

�

�

′ ′

= � �

� �

�

�

�

⇔ �

�

�

=

��

� �

−

�

�

�

′ ′


⇔ �

�

�

�

= –�

�

� �

� �

− −

�

⇔ �

�

�

�

= –�

�

� � ��

� � �

× + − × − × + ×

⇔ �

�

�

�

= –�

�

��

��

− − +

⇔ �

�

�

�

= –�

�

�

�

−

⇔ �

�

�

�

= �

�

−

Jadi, Koordinat titik A(–1, 2).

3. Jawaban: d

Bayangan titik K(–3, 2) setelah ditransformasi oleh

matriks M = � �

� �

adalah K′(a – 2b, b + 1), maka:

�

�

�

�

′ ′

= � �

� �

�

�

�

�

⇔� ��

� �

− +

= � �

� �

�

�

−

⇔� ��

� �

− +

= ��

� ��

− − +

Dari kesamaan matriks diperoleh:

a – 2b = –3a ⇔ 4a = 2b . . . (1)

b + 1 = –3 + 2b ⇔ b = 4 . . . (2)

Substitusikan nilai b = 4 ke dalam persamaan (1).

4a = 2b

⇔ 4a = 2 × 4

⇔ a = 2

Nilai 2a + b = 2 × 2 + 4 = 4 + 4 = 8

Jadi, nilai 2a + b = 8.

4. Jawaban: d

Misalkan titik (x, y) pada garis x – 2y = 4 dan

bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

matriks M = � �

� �

−

adalah (x′, y′), maka

diperoleh kesamaan matriks:

�

�

′ ′

= � �

� �

−

�

�

⇔�

�

=

��

� �

−−

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

�

� �

� �

−

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

�

�

��

′ ′ ′− +

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:

x = �

�y′ . . . (1)

y = �

�(–3x′ + y′) . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke per-

samaan garis x – 2y = 4 sehingga diperoleh:

x – 2y = 4

⇔�

�y′ –

�

�(–3x′ + y′) = 4

⇔�

�y′ + 2x′ –

�

�y′ = 4

⇔ 2x′ – �

�y′ = 4

⇔ 6x′ – y′ = 12

Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)dan (x′, y′) memenuhi persamaan 6x′ – y′ = 12,

maka persamaan bayangan garis x – 2y = 4

adalah 6x – y = 12.

Jadi, persamaan bayangan garis x – 2y = 4

setelah ditransformasi oleh matriks M = � �

� �

−

adalah 6x – y = 12.

5. Jawaban: a

Misalkan titik (x, y) pada elips ��

� +

��

� = 1 dan


matriks M = � �

� �

−

adalah (x′, y′), maka diper-

oleh kesamaan matriks:

�

�

′ ′

= � �

� �

−

�

�

⇔�

�

=

��

� �

− −

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

� �

� �

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

��

� � ��

′ ′ ′


x = �

× 4x′ =

�

�x′ . . . (1)

y = �

(x′ + 2y′) . . . (2)


samaan elips ��

� +

��

� = 1 sehingga diperoleh:

10 Penerapan Matriks

��

� +

��

�= 1

⇔��

′ +

��

�

′ ′+= 1

⇔ 6x′2 + (x′ + 2y′)2 = 48

⇔ 6x′2 + x′2 + 4x′y′ + 4y′2 = 48

⇔ 7x′2 + 4x′y′ + 4y′2 = 48

Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)

dan (x′, y′) memenuhi persamaan ��

� +

��

� = 1,

maka persamaan bayangan elips ��

� +

��

� = 1

adalah 7x2 + 4xy + 4y2 = 48.

Jadi, persamaan bayangan elips ��

� +

��

� = 1


� �

−

adalah 7x2 + 4xy + 4y2 = 48.

6. Jawaban: d

Misalkan titik (x, y) pada parabola 5y + x2 = 1 dan


matriks M = � �

� �

adalah (x′, y′), maka diperoleh

kesamaan matriks:

�

�

′ ′

= � �

� �

�

�

⇔�

�

=

��

� �

−

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

�

� �

� �

− −

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

�

��

� ��

′ ′− ′ ′− +


x = �

�(3x′ – y′) . . . (1)

y = �

�(–x′ + 2y′) . . . (2)


samaan parabola 5y + x2 = 1 sehingga diperoleh:

5y + x2 = 1

⇔ 5 × �

�(–x′ + 2y′) + (

�

�(3x′ – y′))2 = 1

⇔ (–x′ + 2y′) + �

��(3x′ – y′)2 = 1

⇔ 25(–x′ + 2y′) + (3x′ – y′)2 = 25

⇔ –25x′ + 50y′ + 9x′2 – 6x′y′ + y′2 = 25

⇔ 9x′2 + y′2 – 25x′ + 50y′ – 6x′y′ = 25

Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)dan (x′, y′) memenuhi persamaan 5y + x2 = 1,

maka persamaan bayangan parabola 5y + x2 = 1

adalah 9x2 + y2 – 25x + 50y – 6xy = 25.

Jadi, persamaan bayangan parabola 5y + x2 = 1


� �

adalah 9x2 + y2 – 25x + 50y – 6xy = 25.

7. Jawaban: a

Misalkan titik (x, y) pada hiperbola x2 – 2y2 = 1

dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

matriks M = � �

� �

−



�

�

′ ′

= � �

� �

−

�

�

⇔�

�

=

��

� �

− −

�

�

′ ′

⇔�

�

= –�

�

� �

� �

− − −

�

�

′ ′

⇔�

�

= –�

�

��

�

′ ′− − ′−


x = –�

�(–3x′ – 4y′) =

�

�(3x′ + 4y′) . . . (1)

y = –�

�(–x′) =

�

�x′ . . . (2)


samaan hiperbola x2 – 2y2 = 1 sehingga diperoleh:

x2 – 2y2 = 1

⇔ (�

�(3x′ + 4y′))2 – 2(

�

�x′)2 = 1

⇔ �

�(3x′ + 4y′)2 –

�

�x′2 = 1

⇔ (3x′ + 4y′)2 – 2x′2 = 16

⇔ 9x′2 + 24x′y′ + 16y′2 – 2x′2 = 16

⇔ 7x′2 + 16y′2 + 24x′y′ = 16

Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)dan (x′, y′) memenuhi persamaan x2 – 2y2 = 1,

maka persamaan bayangan hiperbola x2 – 2y2 = 1

adalah 7x2 + 16y2 + 24xy = 16.

Jadi, persamaan bayangan hiperbola x2 – 2y2 = 1


� �

−

adalah 7x2 + 16y2 + 24xy = 16.


8. Jawaban: b

Misalkan bayangan PQRS oleh transformasi

matriks M = � �

� �

−

adalah P′Q′R′S′ dengan

koordinat titik P′(xP′, yP′), Q′(xQ′, yQ′), C′(xR′, yR′),dan D′(xS′, yS′), maka:

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

= � �

� �

−

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

= � �

� �

−

� � � �

� � � �

− − −

= � � � � � � � �

� � � � � � � �

− − − + − + − + + + − −

= � � �

� � � �

− − − −

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik P′(–6, –2),

Q′(4, 4), R′(5, 3), dan S′(–3, –5).

Gambar P′Q′R′S′ pada koordinat kartesius

sebagai berikut.

Dari gambar di atas terlihat, P′S′ sejajar dengan

Q′R′. Dengan demikian, P′Q′R′S′ berbentuk

trapesium.

Jadi, bayangan PQRS berbentuk trapesium.

9. Jawaban: c

Bangun datar KLMN di transformasi oleh

matriks M = � �

� �

− −

menghasilkan bayangan

K′L′M′N′ dengan koordinat tit ik K′(–4, 3),

L′(–2, 0), M′(0, 3), dan N′(–2, 6), maka:

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

= � �

� �

− −

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

Sehingga diperoleh:

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

=

��

� �

−− −

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

= �

�

� �

� �

� � � �

� � �

− − −

= �

�

� � � ��

� � � � � � �

− + − + + − + − + − + + − +

= �

�

��

� � � �

− − − −

= � �

� �

� � � �

� � �

− −

− −

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik K(–5, –�

�),

L(–4, –1), M(3, 1�

�), dan N(2, 2).

Gambar KLMN pada koordinat kartesius sebagai

berikut.

Dari gambar terlihat, KL sejajar dengan NM dan

KN sejajar dengan LM. Dengan demikian, KLMN

berbentuk jajargenjang.

Jadi, bangun datar KLMN berbentuk jajargenjang.

10. Jawaban: c

Diketahui segi empat ABCD dengan koordinat titik

A(–2, 2), B(–2, –2), C(4, 2), dan D(3, 4).

Gambar segi empat ABCD pada koordinat

kartesius sebagai berikut.

Y

X

5

4

3

2

1

0–1

–2

–3

–4

–5

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5

P′

Q′

R′

S′

Y

X

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4K

L

M

N


Y

X

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

A

B

C

D

E

Dari gambar dapat diketahui:

LABCD = LABC + LACD

= �

� × AB × AC +

�

� × AC × DE

= �

� × 4 × 6 +

�

� × 6 × 2

= 2 × 6 + 3 × 2= 12 + 6

= 18 satuan luas

Misalkan bayangan ABCD setelah ditransformasi

matriks M = � �

� �

adalah A′B′C′D′, maka:

LA′B′C′D = | det M| LABCD

= � �

� � × 18

= 1 × 5 – 3 × 3 × 18

= 5 – 9 × 18

= – 4 × 18

= 4 × 18

= 72 satuan luas

Jadi, luas bayangan ABCD adalah 72 satuan luas.

B. Uraian

1. a. Bayangan titik K(1 – a, 2) setelah


� �

adalah K′(–26, 4a – 2), maka:

�

�

�

�

′ ′

= � �

� �

�

�

�

�

⇔�

��

− −

= � �

� �

� �

�

−

⇔�

��

− −

= ��

��

− + − +


–26 = a(1 – a) + 4 . . . (1)

4a – 2 = b(1 – a) + 2 . . . (2)

–26 = a(1 – a) + 4

⇔ a – a2 + 30 = 0

⇔ a2 – a – 30 = 0

⇔ (a – 6)(a + 5) = 0

⇔ (a – 6) = 0 atau (a + 5) = 0

⇔ a = 6 atau a = –5

Oleh karena a < 0, maka nilai a = –5.

Substitusikan nilai a = –5 ke dalam persamaan (2).

4a – 2 = b(1 – a) + 2

⇔ 4 × (–5) – 2 = b(1 – (–5)) + 2

⇔ –20 – 2 = b × 6 + 2

⇔ –22 = 6b + 2

⇔ 6b = –24

⇔ b = –4


M = � �

� �

= � �

� �

− −

Jadi, matriks M = � �

� �

− −

.

b. Menentukan bayangan titik P(b, a – b).

Titik P(b, a – b) = P(–4, –5 – (–4)) = P(–4, –1)

Misalkan bayangan titik P(–4, –1) setelah


� �

− −

adalah P′(x′, y′), maka:

�

�

′ ′

= � �

� �

− −

�

�

�

�

= � �

� �

− −

�

�

− −

= � ��

� ��

− × − + × − − × − + × −

= ��

� �

− −

= �

��

Jadi, bayangan titik P(–4, –1) setelah di-

transformasi oleh matriks M adalah P′(18, 15).

2. Menentukan persamaan garis.

Bayangan titik B(p, q) setelah ditransformasi oleh

matriks M = � �

� �

adalah B′(5, 11), maka:

�

�

�

�

′ ′

= � �

� �

�

�

�

�

⇔ �

�

�

�

=

��

� �

−

�

�

�

�

′ ′


⇔�

�

= � �

� �

− −

�

��

⇔�

�

= � � ��

� � � ��

× + − × − × + ×

⇔�

�

= ��

��

− − +

⇔�

�

= �

�

−

Dari kesamaan matriks diperoleh nilai p = 4 dan

q = –3.

Dengan demikian, diperoleh persamaan garis:

4x – (–3)y = 4 ⇔ 4x + 3y = 4

Menentukan persamaan bayangan garis.

Misalkan titik (x, y) pada garis 4x + 3y = 4 dan


matriks M = � �

� �



�

�

′ ′

= � �

� �

�

�

⇔�

�

=

��

� �

−

�

�

′ ′

⇔�

�

= � �

� �

− −

�

�

′ ′

⇔�

�

= ��

��

′ ′− ′ ′− +


x = 3x′ – y′ . . . (1)

y = –5x′ + 2y′ . . . (2)


samaan garis 4x + 3y = 4 sehingga diperoleh:

4x + 3y = 4

⇔ 4(3x′ – y′) + 3(–5x′ + 2y′) = 4

⇔ 12x′ – 4y′ – 15x′ + 6y′ = 4

⇔ –3x′ + 2y′ = 4

Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)dan (x′, y′) memenuhi persamaan 4x + 3y = 4,

maka persamaan bayangan garis 4x + 3y = 4

adalah –3x + 2y = 4.

Jadi, persamaan bayangan garis 4x + 3y = 4


� �

adalah –3x + 2y = 4.

3. Misalkan titik (x, y) pada elips ��

� + y2 = 1 dan


matriks M = � �

� �

−



�

�

′ ′

= � �

� �

−

�

�

⇔�

�

=

��

� �

− −

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

�

� �

� �

−

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

�

�

��

′− ′


x = –�

�y′ . . . (1)

y =�

� × 5x′ = x′ . . . (2)


samaan elips ��

� + y2 = 1 sehingga diperoleh:

��

� + y2 = 1

⇔��

��

′ + x′2 = 1

⇔��

��

′ + x′2 = 1



� + y2 = 1,

maka persamaan bayangan elips ��

� + y2 = 1

adalah ��

�� + x2 = 1.

Jadi, persamaan bayangan elips ��

� + y2 = 1


� �

−

adalah ��

�� + x2 = 1.

4. Lingkaran x2 + y2 = 5 memiliki jari-jari r = � .

Luas lingkaran :

L = πr2 = π( � )2 = 5π

| det M | = |� �

�|

= | 3 × 5 – 1 × 6 |

= | 15 – 6 | = 9


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

Matriks koefisien SPLTV

� � � �

� � � �

� � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � �

+ + = + + = + + =

adalah

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �

.

SPLTV

� �

� � �

��

= − = + =

dapat dituliskan dalam bentuk

Misalkan luas bayangan lingkaran adalah L′,maka:

L′ = | det M | × L = 9 × 5π = 45πJadi, luas bayangan lingkaran adalah 45π satuan

luas.

5. a. Bayangan titik A(–4, 0) dan B(0, –2) setelah

ditransformasi oleh matriks M = � !

� "

adalah A′(0, –4) dan B′(–4, 8), maka:

� �

� �

� �

� �

′ ′ ′ ′

= � !

� "

� �

� �

� �

� �

⇔� !

� "

= � �

� �

� �

� �

′ ′ ′ ′

�

� �

� �

� �

� �

−

⇔� !

� "

= � �

�

− −

��

� �

−− −

⇔� !

� "

= � �

�

− −

× �

� �

� �

− −

⇔� !

� "

= �

� �

�

− −

� �

� �

− −

⇔� !

� "

= �

� � � �

� � ��

+ + + −

⇔� !

� "

= �

� �

��

−

⇔� !

� "

= � �

� �

−

Jadi, matriks M = � �

� �

−

.

b. Menentukan koordinat titik C′ dan D′.Bayangan titik C(4, 0) dan D(0, 2) setelah


� �

−

adalah C′ dan D′, maka:

# $

# $

� �

� �

′ ′ ′ ′

= � �

� �

−

# $

# $

� �

� �

= � �

� �

−

� �

� �

= � � � �

� � �

+ + + −

= � �

�

−

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik

C′(0, 4) dan D′(4, –8).

c. Gambarkan bangun datar A′B′C′D′ pada

koordinat kartesius sebagai berikut.

Dari gambar di atas terlihat bahwa A′D′ sejajar

dengan B′C′ dan B′A′ sejajar dengan C′D′.Dengan demikian, A′B′C′D′ berbentuk jajar-

genjang.

Y

X

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

A′

B′

C′

D′


� ��

� ��

� ��

+ + = + − = + + =

.

Dengan demikian, matriks koefisien SPLTV tersebut

adalah

� � �

� � �

� � �

−

.

2. Jawaban: a

Nilai determinan utama:

D = � �

� �

−− −

= 3 × (–1) – (–2) × (–5)

= –3 – 10

= –13

Jadi, nilai determinan utama adalah –13.

3. Jawaban: e

Nilai determinan variabel x:

Dx = �� %

& �

−−

= –12 × (–4) – 9 × 7

= 48 – 63

= –15

Jadi, nilai determinan variabel x adalah –15.

4. Jawaban: c

Nilai determinan variabel y:

Dy = ' �

' �

+ = –4

⇔ 8 × 1 – k(k +1) = –4

⇔ 8 – k2 – k + 4 = 0

⇔ k2 + k – 12 = 0

⇔ (k + 4)(k – 3) = 0

⇔ (k + 4) = 0 atau (k – 3) = 0

⇔ k = –4 atau k = 3

Nilai k > 0, maka k = 3.


D = �

' � =

�

� �

= 8 × 1 – 2 × 3

= 8 – 6

= 2

Jadi, nilai determinan utama adalah 2.

5. Jawaban: e

Nilai determinan variabel y:

Dy =

� � � � �

� � � � �

� � � � �

−

− −

= 1 × 3 × 0 + 1 × 1 × (–1) + (–1) × 2 × 0

– (–1) × 3 × (–1) – 1 × 1 × 0 – 1 × 2 × 0

= 0 – 1 + 0 – 3 – 0 – 0

= –4

Jadi, nilai determinan variabel y adalah –4.

6. Jawaban: d

Nilai determinan variabel z:

Dz =

� � � �

� � � � �

� � � � �

−− −− −

= 1 × (–1) × 3 + 0 × 4 × 2 + (–6) × 2 × (–3)

– (–6) × (–1) × 2 – 1 × 4 × (–3) – 0 × 2 × 3

= –3 + 0 + 36 – 12 + 12 – 0

= 33

Jadi, nilai determinan variabel z adalah 33.

7. Jawaban: b

Nilai determinan variabel x:

Dx =

��

� � � � �

� � � � �

− − − −− −− −

= (4p –1) × 0 × 0 + (–2) × p × (–1) + 1 × (–16) × 2

– 1 × 0 × (–1) – (4p –1) × p × 2 – (–2) × (–16) × 0

= 0 + 2p – 32 – 0 – 2p(4p –1) – 0

= 2p – 32 – 8p2 + 2p

= – 8p2 + 4p – 32

Nilai Dx = –72, maka:

–8p2 + 4p – 32 = –72

⇔ –8p2 + 4p + 40 = 0

⇔ 2p2 – p – 10 = 0

⇔ (2p – 5)(p + 2) = 0

⇔ 2p – 5 = 0 atau p + 2 = 0

⇔ p = 2�

�atau p = –2

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 2�

� atau –2.

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +


8. Jawaban: c

SPLDV � � �

� � �

� � � � �

� � � � �

+ = + =

tidak memiliki penyelesaian

jika �

�

�

� = �

�

�

� ≠ �

�

�

� .

a. SPLDV � ��

��

− + = − =

memiliki nilai a1 = –1,

a2 = 2, b1 = 2, b2 = –1, c1 = 1, dan c2 = 2.

Nilai �

�

�

� =

�

�

− = –

�

� , �

�

�

� =

�

�− = –2, dan �

�

�

� =

�

� .

Diperoleh nilai �

�

�

� ≠

�

�

�

� ≠

�

�

�

�.

b. SPLDV ��

� � �

− = − − + =


a2 = –1, b1 = –2, b2 = 1, c1 = –6, dan c2 = 3.

Nilai �

�

�

� =

�

�− = –2, �

�

�

� =

�

�

− = –2, dan

�

�

�

� =

�

− = –2.

Diperoleh nilai �

�

�

� =

�

�

�

� =

�

�

�

�.

c. SPLDV � � �

��

− =− + =


a2 = –2, b1 = –1, b2 = 2, c1 = 1, dan c2 = 2.

Nilai �

�

�

� =

�

�− = –�

�,

�

�

�

� =

�

�

− = –

�

�, dan

�

�

�

� =

�

�.

Diperoleh nilai �

�

�

� =

�

�

�

� ≠

�

�

�

� sehingga SPLDV


Jadi, SPLDV pilihan c tidak memiliki penyelesaian.

9. Jawaban: b

SPLDV � � �

� � �

� � � � �

� � � � �

+ = + = memiliki satu penyelesaian

jika �

�

�

� ≠

�

�

�

�.

a. SPLDV ��

��

− + = − =


a2 = 2, b1 = 3, b2 = –2, c1 = 3, dan c2 = 2.

Nilai �

�

�

� =

�

�

− = –

�

� dan �

�

�

� =

�

�− = –�

�.

Diperoleh nilai �

�

�

� =

�

�

�

�.

b. SPLDV ��

��

− = + =


a2 = 4, b1 = –1, b2 = 2, c1 = 3, dan c2 = 6.

Nilai �

�

�

� =

�

� =

�

� dan �

�

�

� =

�

�

− = –

�

�.

Diperoleh nilai �

�

�

� ≠

�

�

�

� sehingga SPLDV

memiliki satu penyelesaian.

Jadi, SPLDV pilihan b memiliki satu penyelesaian.

10. Jawaban: d

SPLDV � � �

� � �

� � � � �

� � � � �

+ = + =

memiliki tak berhingga

penyelesaian jika �

�

�

� =

�

�

�

� = �

�

�

�.

a. SPLDV ��

��

− =− + =


a2 = –2, b1 = –6, b2 = 3, c1 = 4, dan c2 = 2.

Nilai �

�

�

� =

�

�− = –2, �

�

�

� =

�

− = –2, dan

�

�

�

� =

�

� = 2.

Diperoleh nilai �

�

�

� =

�

�

�

� ≠ �

�

�

�.

b. SPLDV ��

��

− = − + =


a2 = 4, b1 = –3, b2 = 6, c1 = –3, dan c2 = 6.

Nilai �

�

�

� =

�

� =

�

�, �

�

�

� =

�

−= –

�

�, dan

�

�

�

� =

�

− = –

�

�.

Diperoleh nilai �

�

�

� ≠

�

�

�

� = �

�

�

�.

c. SPLDV ��

��

− = − = −


a2 = 4, b1 = –3, b2 = –6, c1 = 2, dan c2 = –4.

Nilai �

�

�

� =

�

� =

�

�, �

�

�

� =

�

−− =

�

�, dan

�

�

�

� =

�

�− = –�

�.

Diperoleh nilai �

�

�

� =

�

�

�

� ≠ �

�

�

�.

d. SPLDV ��

��

− + = − = −


a2 = 4, b1 = 3, b2 = –6, c1 = 2, dan c2 = –4.

Nilai �

�

�

� =

�

�

− = –

�

�, �

�

�

� =

�

− = –�

�, dan

�

�

�

� =

�

�− = –�

�.


Diperoleh nilai �

�

�

� =

�

�

�

� = �

�

�

� sehingga

SPLDV memiliki tak berhingga penyelesaian.

Jadi, SPLDV pilihan d memiliki tak berhingga

penyelesaian.

11. Jawaban: e

Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien �

� �

−

.

D = �

� �−

= 4 × (–3) – 6 × 2

= –12 – 12

= –24

Dy = � �

� �

−

= 4 × 28 – (–16) × 2

= 112 + 32

= 144

y = �$

$ =

��

��− = –6

Jadi, nilai y = –6.

12. Jawaban: b

Diketahui (p, q) merupakan penyelesaian SPLDV,

maka:

–5p + 3q = –10

4p – 2q = 12

Mencari nilai p dan q menggunakan determinan

matriks.

Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien �

� �

− −

5.

D = � �

� �

−−

= –5 × (–2) – 3 × 4

= 10 – 12

= –2

Dp = ��

��

−−

= –10 × (–2) – 3 × 12

= 20 – 36

= –16

Dq = � ��

� ��

− −

= –5 × 12 – (–10) × 4

= –60 + 40

= –20


p = �$

$ =

�

�

−− = 8

q = �$

$ = ��

�

−− = 10

Nilai 2q – 4p = 2 × 10 – 4 × 8 = 20 – 32 = –12.

Jadi, nilai 2q – 4p = –12.

13. Jawaban: c

� � �

��

− ++

= 4

⇔ x – y + 4 = 4(2x + 3y)

⇔ x – y + 4 = 8x + 12y

⇔ 7x + 13y = 4 . . . (1)

� ��

� �

+ ++

= –1

⇔ x + 2y + 1 = –(x + y)

⇔ x + 2y + 1 = –x – y

⇔ 2x + 3y = –1 . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV:

7x + 13y = 4

2x + 3y = –1

Menentukan nilai x dan y menggunakan invers

matriks.


& ��

� �

�

�

= �

�

−

Misalkan A = & ��

� �

, X = �

�

, dan B = �

�

−

,


det A = & ��

� �

= 7 × 3 – 13 × 2

= 21 – 26 = –5

Adj A = � ��

� &

− −

A–1 = �

�*/;�Adj A = –

�

�

� ��

� &

− −

Sehingga diperoleh:

X = A–1B

⇔�

�

= –�

�

� ��

� &

− −

�

�

−

⇔�

�

= –�

�

( )� � � � ��

�� & � ��

− − − −

⇔�

�

= –�

�

��

&

+ − −

= –�

1 ��

��

−

= �

�

−


Dengan demikian, diperoleh x = –5 dan y = 3.

Nilai x + 3y = –5 + 3 × 3 = –5 + 9 = 4

Jadi, nilai x + 3y = 4.

14. Jawaban: d

Menentukan titik potong antara garis 7x + 2y = –13

dan 8x – 3y = –36 sama dengan menentukan

penyelesaian SPLDV &� ��

� ��

+ = − − = −

.

Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan

determinan matriks.

Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien & �

�

−

.

D = & �

�−

= 7 × (–3) – 2 × 8

= –21 – 16 = –37

Dx = ��

� �

−− −

= (–13) × (–3) – 2 × (–36)

= 39 + 72

= 111

Dy = & ��

�

−−

= 7 × (–36) – (–13) × 8

= –252 + 104

= –148


x = �$

$ = ��

�&− = –3

y = �$

$ = ��

�&

−− = 4

Kedua garis berpotongan di titik (p, q + 1), maka:

p = x = –3

q + 1 = 4 ⇔ q = 3.

Nilai p – q = –3 – 3 = –6

Jadi, nilai p – q = –6.

15. Jawaban: e

Terlebih dahulu dicari nilai m dan n menggunakan

invers matriks.

Diketahui SPLDV �? �@ �

�? �@ ��

+ = − − = −

.


� �

� �

−

?

@

= �

��

− −


� �

−

, X =?

@

, dan B = �

��

− −

,


det A = � �

� �−

= 4 × (–2) – 2 × 3 = –8 – 6 = –14

Adj A = � �

� �

− − −

A–1 = �

�*/;�Adj A = –

��

1 � �

� �

− − −

Sehingga diperoleh:

X = A–1B

⇔?

@

= –�

��

� �

� �

− − −

�

��

− −

= –�

��

( )� � ��

� � ��

− − − − − − −

= –�

��

� ��

�

+ −

= –�

��

�

��

−

= �

�

−

Dengan demikian, diperoleh nilai m = –2 dan n = 3.

Diketahui (m, n) merupakan penyelesaian sistem

persamaan ��

��

+ = + =

, maka:

4m + 3n = a ⇔ a = 4 × (–2) + 3 × 3

⇔ a = –8 + 9 = 1

5m + 2n = b ⇔ b = 5 × (–2) + 2 × 3

⇔ b = –10 + 6 = –4

Nilai a + b = 1 – 4 = –3

Jadi, nilai a + b = –3.

16. Jawaban: d

Misalkan: banyak gula aren = x bungkus

banyak gula pasir = y bungkus

Berat seluruh gula aren = 0,5x.

Berat seluruh gula pasir = y.

Berat seluruh gula aren dikurangi berat seluruh

gula pasir sama dengan 2 kg, maka 0,5x – y = 2

⇔ x – 2y = 4 . . . (1)

Jumlah berat seluruh gula 18 kg, maka 0,5x + y = 18

⇔ x + 2y = 36 . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV

sebagai berikut.

x – 2y = 4

x + 2y = 36


Menentukan nilai x dan y menggunakan determinan

matriks.


� �

−

.

D =� �

� �

− = 1 × 2 – (–2) × 1 = 2 + 2 = 4

Dx = � �

� �

−

= 4 × 2 – (–2) × 36

= 8 + 72 = 80

Dy = � �

� �

= 1 × 36 – 4 × 1

= 36 – 4 = 32


x = �$

$ = �

� = 20

y = �$

$ =

��

� = 8

Banyak gula = x + y = 20 + 8 = 28

Jadi, banyak gula dalam kardus 28 bungkus.

17. Jawaban: b

Misalkan: x = banyak jeruk yang terjual (kg)

y = banyak salak yang terjual (kg)

Jumlah jeruk dan salak yang terjual selama

seminggu = 63 kg, maka x + y = 63 . . . (1)

Hasil penjualan jeruk dan salak selama seminggu

= Rp770.000,00, maka 15.000x + 10.000y =

770.000 ⇔ 3x + 2y = 154 . . . (2)


x + y = 63

3x + 2y = 154


matriks.


� �

� �

�

�

= �

��


� �

, X = �

�

, dan B = �

��

,


det A = � �

� �

= 1 × 2 – 1 × 3

= 2 – 3 = –1

Adj A = � �

� �

− −

A–1 = �

�*/;�Adj A = –1

� �

� �

− −

Sehingga diperoleh:

X = A–1B

⇔�

�

= –1� �

� �

− −

�

��

= –( )� � � � � ��

� � � � ��

− −

= –��

� % ��

− − +

= –�

��

− −

= �

��

Dengan demikian, diperoleh nilai x = 28 dan y = 35.

Hasil penjualan jeruk = 28 × Rp15.000,00 =

Rp420.000,00.

Jadi, hasil penjualan jeruk Rp420.000,00.

18. Jawaban: a

Misalkan bilangan tersebut ab, a = angka pertama

dan b = angka kedua.

Dua kali angka pertama ditambah 2 hasilnya

merupakan angka kedua, maka

2a + 2 = b ⇔ 2a – b = –2 . . . (1)

Angka pertama ditambah angka kedua hasilnya

11, maka a + b = 11 . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV

sebagai berikut.

2a – b = –2

a + b = 11

Menentukan nilai a dan b menggunakan determinan

matriks.


� �

−

.

D = � �

� �

−

= 2 × 1 – (–1) × 1

= 2 + 1

= 3

Da = � �

��

− −

= (–2) × 1 – (–1) × 11

= –2 + 11

= 9

Db = � �

� ��

−

= 2 × 11 – (–2) × 1

= 22 + 2

= 24



a = �$

$ = %

� = 3

b = �$

$ = ��

� = 8

Bilangan = ab = 38

Jadi, bilangan tersebut 38.

19. Jawaban: d

Misalkan bayangan titik Q(–3, 7) setelah


� �

−

adalah

Q′(x′, y′), maka:

�

�

′ ′

= � �

� �

−

�

&

−

= � �� &

� �� &

− × − + × × − + ×

= % ��

��

+ − +

= ��

�

Jadi, bayangan titik Q(–3, 7) setelah ditransformasi


� �

−

adalah Q′(44, 2).

20. Jawaban: c

Bayangan titik P setelah ditransformasi oleh

matriks M = � �

� �

−

adalah P′(–5, 20), maka:

�

�

�

�

′ ′

= � �

� �

−

�

�

�

�

⇔ �

�

�

�

=

��

� �

−−

�

�

�

�

′ ′

= �

��

� �

� �

−

�

��

−

= �

��

� ��

��

× − + × − × − + ×

= �

��

� ��

��

+ +

= �

��

��

%�

= ��

%

Jadi, koordinat titik P(10, 9).

21. Jawaban: e

Bayangan titik K(m, –1) setelah ditransformasi


� ?

adalah K′(11, m), maka:

�

�

�

�

′ ′

= � �

� ?

�

�

�

�

⇔��

?

= � �

� ?

?

�

−

⇔��

?

= �? �

�? ?

− −


11 = 4m – 1

⇔ 4m = 12

⇔ m = 3

Jadi, nilai m = 3.

22. Jawaban: a

Bayangan titik A(p, 2q) setelah ditransformasi oleh

matriks M = � �

� � �

− −

adalah A′(20, 54) maka:

�

�

�

�

′ ′

= � �

� � �

− −

�

�

�

�

⇔��

��

= � �

� � �

− −

�

��

⇔��

��

= �

��

� ��

− −


20 = pq – 4q . . . (1)

54 = p2 – 3p

⇔ p2 – 3p – 54 = 0

⇔ (p – 9)(p + 6) = 0

⇔ (p – 9) = 0 atau (p + 6) = 0

⇔ p = 9 atau p = –6

Nilai p > 0, maka p = 9. . . . (2)

Substitusikan nilai p = 9 ke dalam persamaan (1).

20 = pq – 4q

⇔ 20 = 9q – 4q

⇔ 5q = 20

⇔ q = 4

Nilai p + q = 9 + 4 = 13

Jadi, nilai p + q = 13.


23. Jawaban: c

Misalkan titik (x, y) pada garis 3x + y = 1 dan


matriks M = � �

− −



�

�

′ ′

= � �

− −

�

�

⇔�

�

=

��

−− −

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

�

�

�

− −

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

�

� ��

� ��

′ ′− ′ ′−


x = �

�(8x′ – 5y′) . . . (1)

y = �

�(6x′ – 4y′)

= 3x′ – 2y′ . . . (2)


samaan garis 3x + y = 1 sehingga diperoleh:

3x + y = 1

⇔ 3(�

�(8x′ – 5y′)) + 3x′ – 2y′ = 1

⇔�

�(8x′ – 5y′) + 3x′ – 2y′ = 1

⇔ 3(8x′ – 5y′) + 6x′ – 4y′ = 2

⇔ 24x′ – 15y′ + 6x′ – 4y′ = 2

⇔ 30x′ – 19y′ = 2

Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′) dan

(x′, y′) memenuhi persamaan 30x′ – 19y′ = 2,

maka persamaan bayangan garis 3x + y = 1

adalah 30x – 19y = 2.

Jadi, persamaan bayangan garis 3x + y = 1


− −

adalah 30x – 19y = 2.

24. Jawaban: e

Misalkan titik (x, y) pada parabola y = x2 + 4 dan


matriks M = ��

�

−



�

�

′ ′

= ��

�

−

�

�

⇔�

�

=

��

�

−−

�

�

′ ′

⇔�

�

= –�

��

� �

��

− −

�

�

′ ′

⇔�

�

= –�

��

��

� ��

′ ′ ′− −


x = –�

�� × 2x′ = –

�

��x′ . . . (1)

y = –�

��(–6x′ – 10y′)

= �

��(3x′ + 5y′) . . . (2)


samaan parabola y = x2 + 4 sehingga diperoleh:

y = x2 + 4

⇔�

��(3x′ + 5y′) = (–

�

��x′)2 + 4

⇔�

��(3x′ + 5y′) =

�

��x′2 + 4

⇔ 10(3x′ + 5y′) = x′2 + 400

⇔ 30x′ + 50y′ = x′2 + 400

⇔ x′2 – 30x′ – 50y′ = –400

Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)dan (x′, y′) memenuhi persamaan y = x2 + 4, maka

persamaan bayangan parabola y = x2 + 4 adalah

x2 – 30x – 50y = –400.

Jadi, persamaan bayangan parabola y = x2 + 4

setelah ditransformasi oleh matriks M = ��

�

−

adalah x2 – 30x – 50y = –400.

25. Jawaban: c

Misalkan titik (x, y) pada hiperbola ��

� – y2 = 1

dan bayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

matriks M = � �

� �

− −



�

�

′ ′

= � �

� �

− −

�

�

⇔�

�

=

��

� �

− − −

�

�

′ ′

⇔�

�

= –� �

� �

− −

�

�

′ ′

⇔�

�

= –��

� ��

′ ′− − ′ ′+


Dari kesamaan matriks di depan diperoleh:

x = –(–3x′ – 5y′) = 3x′ + 5y′ . . . (1)

y = –(x′ + 2y′) . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke dalam

persamaan hiperbola ��

� – y2 = 1 sehingga

diperoleh:��

� – y2 = 1

⇔ �

�(3x′ + 5y′)2 – (–(x′ + 2y′))2 = 1

⇔ �

�(9x′2 + 30x′y′ + 25y′2) – (x′2 + 4x′y′ + y′2) = 1

⇔ 9x′2 + 30x′y′ + 25y′2 – 4(x′2 + 4x′y′ + y′2) = 4

⇔ 9x′2 + 30x′y′ + 25y′2 – 4x′2 – 16x′y′ – 4y′2 = 4

⇔ 5x′2 + 21y′2 + 14x′y′ = 4



� – y2 = 1,

maka persamaan bayangan hiperbola ��

� – y2 = 1

adalah 5x2 + 21y2 + 14xy = 4.

Jadi, persamaan bayangan hiperbola ��

� – y2 = 1


� �

− −

adalah 5x2 + 21y2 + 14xy = 4.

26. Jawaban: d

Misalkan titik (x, y) pada elips x2 + ��

� = 1 dan


matriks M = & �

� �



�

�

′ ′

= & �

� �

�

�

⇔�

�

=

�& �

� �

−

�

�

′ ′

⇔�

�

= � �

� &

− −

�

�

′ ′

⇔�

�

= � ��

�� &�

′ ′− ′ ′− +


x = x′ – 3y′ . . . (1)

y = –2x′ + 7y′ . . . (2)


persamaan elips x2 + ��

� = 1 sehingga diperoleh:

x2 + ��

�= 1

⇔ (x′ – 3y′)2 + �

�(–2x′ + 7y′)2 = 1

⇔ (x′2 – 6x′y′ + 9y′2) + �

�(4x′2 – 28x′y′ + 49y′2) = 1

⇔ 2(x′2 – 6x′y′ + 9y′2) + (4x′2 – 28x′y′ + 49y′2) = 2

⇔ 2x′2 – 12x′y′ + 18y′2 + 4x′2 – 28x′y′ + 49y′2 = 2

⇔ 6x′2 + 67y′2 – 40x′y′ = 2


dan (x′, y′) memenuhi persamaan x2 + ��

� = 1,

maka persamaan bayangan elips x2 + ��

� = 1

adalah 6x2 + 67y2 + 40xy = 2.

Jadi, persamaan bayangan elips x2 + ��

� = 1

setelah ditransformasi oleh matriks M = & �

� �

adalah 6x2 + 67y2 – 40xy = 2.

27. Jawaban: e

Misalkan bayangan segitiga KLM setelah


� �

adalah

K′L′M′ dengan koordinat titik K′(xK′, yK′), L′(xL′, yL′),dan M′(xM′, yM′), maka:

� � �

� � �

� � �

� � �

′ ′ ′ ′ ′ ′

= � �

� �

� � �

� � �

� � �

� � �

′

= � �

� �

� �

� ��

− − −

= ��

��

− + − − + − + − − +

= � � �

� � �

− − −


K′(–2, –2), L′(2, –2), dan M′(0, 2).


Gambar K′L′M′ pada koordinat kartesius sebagai

berikut.

Dari gambar di atas terlihat panjang K′M′ = L′M′.Hal ini berarti K′L′M′ berbentuk segitiga sama kaki.

Jadi, bayangan segitiga KLM hasil transformasi

matriks M = � �

� �

berbentuk segitiga sama

kaki.

28. Jawaban: e

Misalkan bayangan ABCD oleh transformasi

matriks M = � �

�

−

adalah A′B′C′D′ dengan

koordinat titik A′(xA′, yA′), B′(xA′, yA′), C′(xC′, yC′),dan D′(xD′, yD′), maka:

� � # $

� � # $

� � � �

� � � �

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

= � �

�

−

� � # $

� � # $

� � � �

� � � �

= � �

�

−

� � � �

� � � �

− − − −

= � � � � � � � �

� � � � � �

− + + + − + − − + −

= � � � �

� � � �

− − −


A′(–2, 3), B′(0, 3), C′(2, –1), dan D′(–2, 1).

Gambar A′B′C′D′ pada koordinat kartesius

sebagai berikut.

Dari gambar tersebut terlihat, A′C′ tegak lurus

B′D′, panjang A′D′ = panjang A′B′, dan panjang

C′D′ = panjang C′B′. Hali ini berarti A′B′C′D′berbentuk layang-layang.

Jadi, bayangan ABCD hasil transformasi matriks

M = � �

�

−

berbentuk layang-layang.

29. Jawaban: c

Misalkan bayangan PQRS oleh transformasi

matriks M = � �

�

− −


koordinat titik P′(–2, 2), Q′(–2, –1), R′(3, –1), dan

S′(0, 2), maka:

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

= � �

�

− −

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

sehingga diperoleh:

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

=

��

�

−− −

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

= �

�

�

� �

� � � �

� � � �

− − − −

= �

�

� � � � ��

� � % � � �

− + − − − + − + − − − +

= �

�

��

� & �

− − − −

=

− −

− − �

�

% ��

� � � �

Y

X

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

–2 –1 1 2

K′ L′

M′

Y

X

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3 –2 –1 1 2 3

A′ B′

C′

D′



P(–9, –2), Q(–9, –3�

�), R(11, 4), dan S(2, 1).

Jadi, koordinat titik sudut bangun PQRS adalah

pilihan c.

30. Jawaban: c

Diketahui segi empat ABCD dengan koordinat titik

A(–2, 1), B(1, –2), C(6, 1), dan D(3, 6).




LABCD = LABC + LACD

= �

� × AC × BF +

�

� × AC × DE

= �

� × 8 × 3 +

�

� × 8 × 5

= 4 × 3 + 4 × 5

= 12 + 20

= 32 satuan luas


matriks M = �

� �


LA′B′C′D′ = ��#$��*/ �

= |�

� �| × 32

= |5 × 2 – 6 × 2| × 32

= |10 – 12| × 32

= |–2| × 32

= 2 × 32

= 64 satuan luas

Jadi, bayangan ABCD adalah 64 satuan luas.

B. Uraian

1. a. Menentukan penyelesaian SPLDV meng-

gunakan invers matriks.


� �

� �

−

�

�

= ��

�


� �

−

, X = �

�

, dan B = ��

�

,


det A = � �

� �−

= 3 × (–2) – 5 × 2

= –6 – 10 = –16

Adj A = � �

� �

− − −

A–1 = �

�*/;�Adj A = –

�

�

� �

� �

− − −


X = A–1B

⇔�

�

= –�

�

� �

� �

− − −

��

�

= –�

�

( )� ��

� ��

− × + − × − × + ×

= –�

�

��

� ��

− − − +

= –�

�

��

�

− −

= �

�


x = 2 dan y = 3.

Jadi, HP = {(2, 3)}.

b. Menentukan penyelesaian SPL menggunakan

determinan matriks.


� � �

� � �

� �

−

.

D =

� � � � �

� � � � �

� � � �

− −

= 3 × 2 × 6 + (–2) × 5 × 1 + 0 × 0 × 0

– 0 × 2 × 1 – 3 × 5 × 0 – (–2) × 0 × 6

= 36 – 10 + 0 – 0 – 0 – 0

= 26

+ + +– – –

Y

X

6

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7

A

B

C

D


Dx =

� � �

� � � � �

��

− −

= 6 × 2 × 6 + (–2) × 5 × 12 + 0 × 4 × 0

– 0 × 2 × 12 – 6 × 5 × 0 – (–2) × 4 × 6

= 72 – 120 + 0 – 0 – 0 + 48

= 0

Dy =

� � �

� � � � �

� ��

= 3 × 4 × 6 + 6 × 5 × 1 + 0 × 0 × 12

– 0 × 4 × 1 – 3 × 5 × 12 – 6 × 0 × 6

= 72 + 30 + 0 – 0 – 180 – 0

= –78

Dz =

� � � �

� � � � �

� � ��

− −

= 3 × 2 × 12 + (–2) × 4 × 1 + 6 × 0 × 0

– 6 × 2 × 1 – 3 × 4 × 0 – (–2) × 0 × 12

= 72 – 8 + 0 – 12 – 0 – 0

= 52


x = �$

$ = �

� = 0

y = �$

$ =

&

�

− = –3

z = �$

$ =

��

� = 2

Jadi, HP = {(0, –3, 2)}.

2. a. SPLDV �

�

��

��

− =− + = − memiliki nilai a1 = 3,

a2 = –2, b1 = –2, b2 = �

�, c1 = 2, dan c2 = –4.

Nilai �

�

�

� = –

�

�,

�

�

�

� = �

�

�− = –

�

�, dan

�

�

�

� =

�

�−

= –�

�.

Oleh karena �

�

�

� =

�

�

�

� ≠

�

�

�

�, maka SPLDV


b. Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

� � �

�

�� %

− − − −

.

D =

� � � � �

� �

�� % ��

− −− −

− − −

= 2 × 8 × (–9) + (–4) × 6 × 6 + 0 × (–4) × (–12)

– 0 × 8 × 6 – 2 × 6 × (–12) – (–4) × (–4) × (–9)

= –144 – 144 + 0 – 0 + 144 + 144

= 0

Dx =

� � � � �

� �

� �� % � ��

− −− −

− − −

= 1 × 8 × (–9) + (–4) × 6 × 3 + 0 × (–2) × (–12)

– 0 × 8 × 3 – 1 × 6 × (–12) – (–4) × (–2) × (–9)

= –72 – 72 + 0 – 0 + 72 + 72

= 0

Dy =

� � � � �

� � � �

� % �

− − − −−

= 2 × (–2) × (–9) + 1 × 6 × 6 + 0 × (–4) × 3

– 0 × (–2) × 6 – 2 × 6 × 3 – 1 × (–4) × (–9)

= 36 + 36 + 0 – 0 – 36 – 36

= 0

Dz =

� � � � �

� � �

��

− −− − −

− −

= 2 × 8 × 3 + (–4) × (–2) × 6 + 1 × (–4) × (–12)

– 1 × 8 × 6 – 2 × (–2) × (–12) – (–4) × (–4) × 3

= 48 + 48 + 48 – 48 – 48 – 48 = 0

Oleh karena D = Dx = Dy = Dz = 0, maka

SPLTV memiliki tak berhingga penyelesaian.

3. SPLDV?� �� @ �

�� @�

− = −− + = −

memiliki nilai a1 = m,

a2 = –4, b1 = –3, b2 = n, c1 = n – 2, dan c2 = –8.

SPLDV memiliki tak hingga penyelesaian jika

�

�

�

� = �

�

�

� = �

�

�

�.


�

�

�

� = �

�

�

�⇔

?

�− =

�

@

− ⇔ mn = 12

�

�

�

�= �

�

�

�

⇔ �

@

−=

@ �

−−

⇔ n(n – 2) = 24

⇔ n2 – 2n – 24 = 0

+ + +– – –

+ + +– – –

+ + +– – –

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +


⇔ (n – 6)(n + 4) = 0

⇔ (n – 6) = 0 atau (n + 4) = 0

⇔ n = 6 atau n = –4

Oleh karena n > 0, maka nilai n = 6.

Substitusikan nilai n = 6 ke dalam persamaan

mn = 12.

mn = 12 ⇔ 6m = 12 ⇔ m = 2


4m – 2n = 4 × 2 – 2 × 6 = 8 – 12 = –4

Jadi, nilai 4m – 2n = –4.

Selesaikan permasalahan pada soal nomor 4 dan 5

berikut menggunakan invers matriks atau determinan

matriks.

4. Misalkan: x = banyak pengunjung dewasa

y = banyak pengunjung anak-anak

Hasil penjualan tiket Rp2.300.000,00, maka

30.000x + 20.000y = 2.300.000

⇔ 3x + 2y = 230 . . . (1)

Jumlah tiket yang terjual 100 lembar, maka

x + y = 100 . . . (2)


3x + 2y = 230

x + y = 100


matriks.


� �

� �

�

�

= ��

��


� �

, X =�

�

, dan B = ��

��

,


det A = � �

� �

= 3 × 1 – 1 × 2

= 3 – 2

= 1

Adj A = � �

� �

− −

A–1 = �

�*/;�Adj A

= �

�

� �

� �

− −

= � �

� �

− −


X = A–1B

⇔�

�

= � �

� �

− −

��

��

= × − ×

− × + ×

� ��

��

= ��

��

− − +

= ��

&�


x = 30 dan y = 70.

Jadi, banyak pengunjung dewasa dan anak-anak

pada hari itu berturut-turut 30 orang dan 70 orang.

5. Misalkan: x = banyak kemasan beras 20 kg

y = banyak kemasan beras 10 kg

z = banyak kemasan beras 5 kg

Jumlah kemasan beras dalam gudang 150, maka:

x + y + z = 150 . . . (1)

Banyak kemasan beras 20 kg adalah �

� banyak

kemasan beras 5 kg, maka:

x = �

�z

⇔ 3x = 2z

⇔ 3x – 2z = 0 . . . (2)

Total beras dalam gudang 1,6 kuintal (1.600 kg),

maka:

20x + 10y + 5z = 1.600

⇔ 4x + 2y + z = 320 . . . (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh SPLTV

sebagai berikut.

x + y + z = 150

3x – 2z = 0

4x + 2y + z = 320

Menentukan nilai x, y, dan z menggunakan

determinan matriks.


� � �

� � �

� � �

−

.

D =� � � � �

� � � � �

� � � � �

−

= 1 × 0 × 1 + 1 × (–2) × 4 + 1 × 3 × 2 – 1 × 0 × 4

– 1 × (–2) × 2 – 1 × 3 × 1

= 0 – 8 + 6 – 0 + 4 – 3

= –1

– – – + + +


Dx =��

� � � � �

��

−

= 150 × 0 × 1 + 1 × (–2) × 320 + 1 × 0 × 2

– 1 × 0 × 320 – 150 × (–2) × 2 – 1 × 0 × 1

= 0 – 640 + 0 – 0 + 600 – 0

= –40

Dy =� ��

� � � � �

� ��

−

= 1 × 0 × 1 + 150 × (–2) × 4 + 1 × 3 × 320

– 1 × 0 × 4 – 1 × (–2) × 320 – 150 × 3 × 1

= 0 – 1.200 + 960 – 0 + 640 – 450

= –50

Dz =� � ��

� � � � �

� � ��

= 1 × 0 × 320 + 1 × 0 × 4 + 150 × 3 × 2

– 150 × 0 × 4 – 1 × 0 × 2 – 1 × 3 × 320

= 0 – 0 + 900 – 0 + 0 – 960

= –60


x = �$

$ =

��

�

−− = 40

y = �$

$ =

��

�

−− = 50

z = �$

$ =

�

�

−− = 60

Jadi, banyak kemasan beras 20 kg, 10 kg, dan

5 kg berturut-turut 40, 50, dan 60.

6. a. Bayangan titik A(–4, p) setelah ditransformasi

oleh matriks M = �

� � �

−

adalah

A′(p – 22, –6), maka:

�

�

�

�

′ ′

= �

� � �

−

�

�

�

�

⇔� ��

− −

= �

� � �

−

�

�

−

⇔� ��

− −

= − − −

��

��


p – 22 = –24 + p2

⇔ p2 – p – 2 = 0

⇔ (p – 2)(p + 1) = 0

⇔ (p – 2) = 0 atau (p + 1) = 0

⇔ p = 2 atau p = –1

Oleh karena p > 0, maka nilai p = 2.


M = �

� � �

−

= �

� �

Jadi, matriks M = �

� �

.

b. Menentukan bayangan titik B(–p, 2p).

Titik B(–p, 2p) = B(–2, 2 × 2) = B(–2, 4)

Misalkan bayangan titik B(–2, 4) setelah

ditransformasi oleh matriks M = �

�

1

adalah B′(x′, y′), maka:

�

�

′ ′

= �

�

1

�

�

�

�

= �

�

1

�

�

−

= ��; ;� �

� ��; ;� �

× − + × × − + ×

= ��

� �

− + − +

= �

�

−

Jadi, bayangan titik B(–2, 4) setelah di-

transformasi oleh matriks M adalah B′(–4, 0).

7. Bayangan titik P(a, b) setelah ditransformasi oleh

matriks M = �

� �

adalah P′(–9, –5), maka:

�

�

�

�

′ ′

= �

� �

�

�

�

�

⇔ �

�

�

�

=

� �

� �

−

�

�

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

�

� �

�

− −

%

�

− −

⇔�

�

= �

�

� %� ��

� %� ��

× − + − × − − × − + × −

⇔�

�

= �

�

% ��

� ��

− + −

⇔�

�

= �

�

�

−

⇔�

�

= �

�

−

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +


Dari kesamaan matriks diperoleh nilai a = –2 dan

b = 3.

Jadi, kooordinat titik P(–2, 3).

8. Misalkan titik (x, y) pada garis 3y = 2x dan


matriks M =

� �

� adalah (x′, y′), maka


�

�

′ ′

= � �

�

�

�

⇔�

�

=

��

�

−

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

�

� �

�

− −

�

�

′ ′

⇔�

�

= �

�

��

� � ��

′ ′− ′− ′

Dari kesamaan matriks tersebut diperoleh:

x = �

�(4x′ – y′) . . . (1)

y = �

�(–6x′ + 2y′) = –3x′ + y′ . . . (2)


persamaan garis 3y = 2x sehingga diperoleh:

3y = 2x

⇔ 3y – 2x = 0

⇔ 3(–3x′ + y′) – 2 × �

�(4x′ – y′) = 0

⇔ –9x′ + 3y′ – 4x′ + y′ = 0

⇔ –13x′ + 4y′ = 0

⇔ 4y′ = 13x′Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)dan (x′, y′) memenuhi persamaan 3y = 2x, maka

persamaan bayangan garis 3y = 2x adalah

4y = 13x .

Jadi, persamaan bayangan garis 3y = 2x setelah

ditransformasi oleh matriks M =

� �

� adalah

4y = 13x .

9. Diketahui segi empat ABCD dengan koordinat titik

A(–3, 2), B(–6, –2), C(3, 4), dan D(0, 4).




LABCD = LABE + LAECD

= �

�× AE × BF + AE × DE

= �

�× 3 × 4 + 3 × 2

= 6 + 6 = 12 satuan luas


matriks M = � �

�

−


LA′B′C′D′ = | det M| LABCD

= |� �

�

−| × 12

= |–3 × 5 – 1 × 8| × 12

= |–15 – 8| × 12

= |–23| × 12

= 23 × 12

= 276 satuan luas

Jadi, luas bayangan ABCD adalah 276 satuan luas.

10. a. Bayangan titik R(–1, 0) dan S(6, 8) setelah


� �

adalah R′(2, –1) dan S′(0, 2), maka:

� �

� �

� �

� �

′ ′ ′ ′

= � �

� �

� �

� �

� �

� �

⇔� �

� �

= � �

� �

� �

� �

′ ′ ′ ′

�

� �

� �

� �

� �

−

⇔� �

� �

= � �

� �

−

��

�

−−

⇔� �

� �

= � �

� �

−

× �

−

� �

− −

Y5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3 –2 –1 1 2 3

A

–4X

B

CD

E


⇔� �

� �

= –�

� �

� �

−

� �

− −

⇔ � �

� �

= – �

� � � � � � ��

� � � � � � ��

× + × × − + × − − × + × − × − + × −

⇔� �

� �

= –�

� � ��

� �

+ − + − + −

⇔� �

� �

= –�

� ��

�

− −

⇔� �

� �

=

�

�

�

�

�

�

−

−

Jadi, matriks M =

�

�

�

�

�

�

−

−.

b. Menentukan koordinat titik P′ dan Q′.Bayangan titik P(1, –2) dan Q(–8, –14)

setelah ditransformasi oleh matriks

M =

�

�

�

�

�

�

−

− adalah P′ dan Q′, maka:

� �

� �

� �

� �

′ ′ ′ ′

=

�

�

�

�

�

�

−

−� �

� �

� �

� �

=

�

�

�

�

�

�

−

−

�

� ��

− − −

=

� �

� �

� �

� �

� � ��

� � �� − −

− × + × − − × − + × −

× + × − × − + × −

= � � � ��

� � &

− − − + − +

= � �

� �

− − −


P′(–5, 2) dan Q′(–5, –1).

c. Gambarkan bangun datar P′Q′R′S′ pada

koordinat kartesius sebagai berikut.

Dari gambar di atas terlihat P′Q′R′S′ memiliki

sepasang sisi sejajar, yaitu P′S′ sejajar

dengan Q′R′. Bangun datar yang memiliki

sepasang sisi sejajar dinamakan trapesium.

Oleh karena P′Q′ tegak lurus dengan Q′R′,maka P′Q′R′S′ berbentuk trapesium siku-

siku.

Y4

3

2

1

0

–1

–2

–3

–3 –2 –1 1 2

P′

–4X

–6 –5

Q′ R′

S′

30 Vektor


1. mendeskripsikan dan menganalisis konsep skalar dan vektor;

2. mendeskripsikan dan menyelesaikan operasi aljabar vektor;

3. mendeskripsikan dan menyelesaikan masalah jarak dan sudut dua vektor;

4. memecahkan masalah dengan menggunakan kaidah-kaidah vektor.

Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik:

1. menunjukkan perilaku disiplin, sikap kerja sama, sikap kritis, dan cermat dalam bekerja menyelesaikan masalah kontekstual;

2. memiliki dan menunjukkan sikap ingin tahu, motivasi internal, rasa senang dan tertarik, dan percaya diri dalam melakukan

kegiatan belajar ataupun memecahkan masalah nyata.

Operasi Aljabar Vektor

• Mendeskripsikan konsep vektor.

• Menjelaskan penjumlahan dan

pengurangan dua vektor.

• Menjelaskan perkalian skalar

dengan vektor.

• Mendeskripsikan panjang dua

vektor.

• Mendeskripsikan jarak antara

dua vektor.

• Menjelaskan perbandingan dua

vektor.

Proyeksi Vektor

• Mendeskripsikan proyeksi

skalar.

• Menjelaskan proyeksi skalar

ortogonal.

• Menjelaskan proyeksi vektor

ortogonal.

• Menentukan proyeksi skalar

ortogonal.

• Menentukan proyeksi vektor

ortogonal.

Vektor

Memiliki sikap logis, kritis, kreatif, disiplin, dan rasa ingin tahu, serta

memiliki rasa percaya diri dalam menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan vektor.

Perkalian Skalar Dua Vektor

• Menjelaskan hasil perkalian skalar

dua vektor.

• Mendeskripsikan sudut antara dua

vektor.

• Menjelaskan kedudukan dua

vektor yang saling tegak lurus.

• Menjelaskan sifat perkalian skalar

dua vektor.

• Menentukan hasil perkalian skalar

dua vektor.


Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan 3x – y = 7.

3x – y = 7 ⇒ 3 × 2 – y = 7

⇔ 6 – y = 7

⇔ y = –1

Jadi, nilai x – y = 2 – (–1) = 3.

5. Jawaban: a

3� – � = 2 �

⇔ � = 3 � – 2 � = 3

�

�

�

−

– 2

�

�

�

− −

=

��

�

�

−

–

�

�

− −

=

��

�

�

−

6. Jawaban: a

2 – � = 2( � – 2 �� + 3 �� ) – (2 � + �� – 4 �� )

= (2 � – 4 �� + 6 �� ) – (2 � + �� – 4 �� )

= (2 – 2) � + (–4 – 1) �� + (6 + 4) ��

= 0 � – 5 �� + 10 ��

|2 – � | = � � �� + − +

= � �� + +

= �� = � �

Jadi, panjang vektor (2 – � ) adalah � � .

7. Jawaban: e

�� = �� – ��

=

�

�

�

−

–

�

�

�

=

�

��

�

−

�� = 3

⇒ � � �� + − + = 3

⇔ �� + + = 3

⇔ �� + = 3

⇔ 4x2 + 5 = 9

⇔ 4x2 = 4

⇔ x2 = 1

⇔ x = – 1 atau x = 1

Oleh karena x > 0 maka x = 1.

Jadi, nilai x = 1.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: b

�� + �� + �� + ��

= �� + ( �� + �� ) + �� + (�� + �� )

= �� + ( �� + �� ) + �� + ( �� – �� )

= � + (� + � ) + � + ( � – � )

= � + � + � + � + � – �

= � + 3 �

2. Jawaban: c

� = 6 � – 5 �� + 4 ��

� = � + 3 �� – 2 ��

� + 3 � = (6 � – 5 �� + 4 �� ) + 3( � + 3 �� – 2 �� )

= 6 � – 5 �� + 4 �� + 3 � + 9 �� – 6 ��

= 9 � + 4 �� – 2 ��

3. Jawaban: a

= �� = � – � = �

�

–

�

�

− =

�

�

� = �� = ! – � = �

�

− –

�

�

=

�

�

−

�

� + � =

�

�

�

�

+

�

�

− =

�

�

+

�

�

− =

�

�

−

4. Jawaban: b

� = x + y�

⇒ 7 � – 8 �� = x(3 � – 2 �� ) + y(– � + 4 �� )

⇔ 7 � – 8 �� = 3x � – 2x �� – y � + 4y ��

⇔ 7 � – 8 �� = (3x – y) � + (–2x + 4y) ��

Dari kesamaan vektor di atas diperoleh per-

samaan 3x – y = 7 dan –2x + 4y = –8.

Eliminasi y dari kedua persamaan.

3x – y = 7 |× 4| 12x – 4y = 28

–2x + 4y = –8 |× 1| –2x + 4y = –8

––––––––––– +

10x = 20

⇔ x = 2

A B

CD

�

�

32 Vektor

8. Jawaban: a

� � �� = − −

B(–2, 3, 4) ⇔ � = � � �� − + +

�� = –(� )

⇒ � − = –�

⇔ = � + �

= ( � � �� − + + ) + ( � � �� − − )

= � � �� − −Diperoleh vektor posisi titik A adalah = � � �� − − .

Jadi, koordinat titik A(5, –3, –1).

9. Jawaban: c

�� = � − =

�

�

�

−

–

�

�

�

=

�

�

� �

− − −

�� = " − =

� �

+ −

–

�

�

�

=

�

�

�

− −

Titik A, B, dan C segaris sehingga diperoleh

hubungan berikut.

k �� = ��

⇒ k

�

�

� �

− − −

=

�

�

�

− −

⇔

��

��

��

− − −

=

�

�

�

− −

Dari kesamaan vektor diperoleh:

–2k = 4 ⇔ k = –2

–4k = p ⇒ p = –4 × (–2) = 8

(1 – q)k = –8 – q ⇒ (1 – q) × (–2) = –8 – q

⇔ –2 + 2q = –8 – q

⇔ 3q = –6

⇔ q = –2

Jadi, nilai p + q = 8 + (–2) = 6.

10. Jawaban: b

�� : �� = 5 : –2 ⇔ �� : �� = 3 : 2

xP

= � ��

� �

++

= � ��

�

× + ×

= ��

�

+ =

��

� = 8

yP

= � ��# �#

� �

++

= � � �

�

× + ×

= � ��

�

+

= ��

� = 6

zP

= � ��$ �$

� �

++

= � � ��

�

× − + ×

= � %

�

− +

= �

� = 1

Jadi, koordinat titik P(8, 6, 1).

B. Uraian

1.

�� = � dan �& = �

a. �& = �� + �&

= –�� + �&

= – � + �

b. �� = �

��

= �

�(�� + �� )

= �

�(�� + �& )

= �

�(� + � )

= �

�� +

�

��

c. '& = '� + �&

= –�' + �&

= –�

�� + �&

= –�

�� + �

d. �' = �� + �'

= – �� + (– '� )

= –�& –�

��

= – � – �

��

A(11, 3, –2) P B(6, 8, 3)

5

3 –2

P Q

RS

T

O


P A Q1 2

2. = 2 � – 4 �� – 2 �� =

�

�

�

− −

� = – � + 6�� – 2 �� =

�

�

�

− −

a. " = 3 + �

= 3

�

�

�

− −

+

�

�

�

− −

=

�

��

�

− −

+

�

�

�

− −

= �

�

− −

| " | = � � �� + − + −

= �� + + = � �

Jadi, vektor satuan dari " adalah

�

� �(5 � – 6 �� – 8 �� ).

b. 4� – 2 " + 3 = �

⇔ 2 " = 3 + 4�

= 3

�

�

�

− −

+ 4

�

�

�

− −

=

�

��

�

− −

+

�

��

− −

=

�

��

��

−

⇔ " = �

�

�

��

��

−

=

�

�

�

−

| " | = � � �� + + −

= � �� %+ +

= �

Jadi, vektor satuan dari " adalah

�

�( � + 6 �� – 7 �� ).

3. A(–4, 5, 2); B(2, –1, 3); C(3, –2, 1)

a. �� = " − =

�

�

�

−

–

�

�

�

−

=

�

�

�

− −

�� = " �− =

�

�

�

−

–

�

�

�

−

=

�

�

�

− −

b. Misalkan koordinat titik D(x, y, z).

�� = �� −

⇔ * − = �� −

⇒�

#

$

–

�

�

�

−

= 2

�

�

�

− −

– 3

�

�

�

− −

⇔�

#

$

=

��

��

�

− −

–

�

�

�

− −

+

�

�

�

−

=

��

��

�

−

+

�

�

�

−

=

�

�

�

−

Jadi, koordinat titik D(7, –6, 6).

4. a. Menentukan koordinat titik A.

Titik A membagi PQ di dalam dengan per-

bandingan 1 : 2 maka PA : AQ = 1 : 2.

xA

= � ��

� �

× + ×+ =

� � � �

�

× + × =

�

� = 2

yA

= � �� # � #

� �

× + ×+ =

� � � �

�

× + × =

�

� = 1

zA

= � �� $ � $

� �

× + ×+

= � � ��

�

× − + × =

%

� = 3

Diperoleh koordinat titik A(2, 1, 3).

Titik B merupakan titik tengah PR maka

koordinat titik B:

xB

= � ��

�

+ =

� �

�

+ = 2

yB

= � �# #

�

+ =

� �

�

+ = 0

zB

= � �$ $

�

+ =

� �

�

− = 1

Diperoleh koordinat titik B(2, 0, 1).

Menentukan koordinat titik C.

Titik C membagi QR di luar dengan per-

bandingan 2 : 1 maka QC : CR = 2 : (–1).

xC

= � ��

� �

× − ×−

= � � � �

�

× − × = 2

yC

= � �� # � #

� �

× − ×−

= � � � �

�

× − × = –3

Q R C

2

1

34 Vektor

zC

= � �� $ � $

� �

× − ×−

= � � ��

�

× − − × −

= �

�

− + = –5

Diperoleh koordinat titik C(2, –3, –5).

b. Titik A, B, dan C kolinear jika memenuhi

�� = k �� .

�� = � − =

� �

� �

� �

−

=

�

�

�

− −

�� = " −

=

� � � �

� � � � �

� � �

− − = − = − − − −

= 4 ��

Jadi, terbukti titik A, B, dan C kolinear dengan

k = 4.

c. Perbandingan panjang �� : ��

�� = " �− =

� � �

� � �

� � �

− − = − − −

| �� | = � � �� + − + −

= � � �+ + = �

|�� | = � � �� + − + −

= � % ��+ +

= �� = 3 �

Jadi, perbandingan panjang �� : ��

= � : 3 � = 1 : 3.

5.

a. Gerakan pesawat mainan dinyatakan

sebagai �� .

Gerakan angin dinyatakan sebagai �/ .

Gerakan pesawat mainan akibat tertiup angin

dinyatakan sebagai �� .

�� = 30

�� = �/ = 16

�� 2 = �� 2 + �� 2

= 302 + 162

= 900 + 256

= 1.156

�� 2 = 1.156

⇔ �� = 34

Jadi, kecepatan pesawat mainan akibat

tertiup angin 34 km/jam.

b. sin ∠QPU = ? /� ?

? �� ?=

��

�� = 0,8824

∠QPU = arc sin 0,8824

≈ 61,93°

Jadi, besar sudut arah lintasan pesawat

mainan terhadap arah angin kurang lebih

61,93°.

P

Q

B

U

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: b

�� = � – = �

�

–

�

�

− =

�

�

−

�� = " – � = �

�

− –

�

�

=

�

�

− −

�� · �� = �

�

− ·

�

�

− −

= –3 × (–4) + 5 × (–1)

= 12 – 5

= 7

2. Jawaban: c

=

�

�

�

−

dan � =

�

�

�

−

· =

�

�

�

−

·

�

�

�

−

= 4 × 4 + (–2) × (–2) + 1 × 1

= 16 + 4 + 1

= 21


� · � =

�

�

�

−

·

�

�

�

−

= 4 × 3 + (–2) × 2 + 1 × (–2)

= 12 – 4 – 2

= 6

� · ( � + � ) = � · � + � · �

= 21 + 6

= 27

3. Jawaban: d

� = 2� + 3� – 2��

� = a� – 2� + 4��

� · � = –4

⇒ 2 × a + 3 × (–2) + (–2) × 4 = –4

⇔ 2a – 6 – 8 = –4

⇔ 2a = 10

⇔ a = 5

Diperoleh � = 5 � – 2 � + 4 �� , sehingga:

� + � = (2 � + 3 � – 2 �� ) + (5 � – 2 � + 4 �� )

= 7 � + � + 2 ��

4. Jawaban: c

Oleh karena vektor a tegak lurus dengan vektor c ,

berlakua ·c = 0.

⇒ 1 × 2 + 2 × 1 + (–x) × 2 = 0

⇔ 2 + 2 – 2x = 0

⇔ –2x = –4

⇔ x = 2

Diperoleh a = � + 2 � – x �� = � + 2 � – 2 �� .

a ·a = 1 × 1 + 2 × 2 + (–2) × (–2) = 1 + 4 + 4 = 9

b ·a = 3 × 1 + (–2) × 2 + 1 × (–2) = 3 – 4 – 2 = –3

a · c = 1 × 2 + 2 × 1 + (–2) × 2 = 2 + 2 – 4 = 0

b · c = 3 × 2 + (–2) × 1 + 1 × 2 = 6 – 2 + 2 = 6

(a + b )(a – c ) = a ·a + b ·a – a · c – b · c= 9 + (–3) – 0 – 6

= 0

Jadi, (a + b )(a – c ) = 0.

5. Jawaban: b

� = � – � =

�

�

�

–

�

�

�

− −

=

�

�

�

� = � – � =

�

�

�

−

–

�

�

�

− −

=

�

�

�

−

� · � = 3 × 2 + 2 × 3 + 4 × (–3)

= 6 + 6 – 12

= 0

| � | = � � �� + +

= � � ��+ + = ��

| � | = � � �� + + −

= � � �+ + = ��

Misalkan sudut ABC = α, maka:

cos α = � �

� � � � � �

⋅ =

�

�� × = 0

⇒ α = �

π

Jadi, besar sudut ABC = �

π.

6. Jawaban: a

Misalkan α = sudut antara vektor a dan b .

cos α = � � �

� � ��

= � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � � �

× × ×

×

= ��

�� ×

= ��

��

= � �

� � �×

= �

� � ×

�

� =

�

��

Oleh karena cos α = �

�� maka α = 30°.

Jadi, besar sudut antara vektor a dan b adalah 30°.

7. Jawaban: a

Oleh karena vektor � dan � saling tegak lurus,

berlaku � · � = 0.

⇒�

�

�

− −

·

�

�

�

−

= 0

⇔ 3 × 2 + (–6) × (–1) + (–4) × x = 0

⇔ 6 + 6 – 4x = 0

⇔ 12 – 4x = 0

⇔ 4x = 12

⇔ x = 3

Diperoleh vektor � =

�

�

�

−

.

36 Vektor

� – 2 � + 3 � =

�

�

�

− −

– 2

�

�

�

−

+ 3

�

�

�

−

=

�

�

�

− −

–

�

�

�

−

+

��

�

�

−

=

��

��

�

− −

8. Jawaban: b

� ⊥ � ⇔ � · � = 0

� ⊥ ( � + 2 � ) = 0

⇔ � · ( � + 2 � ) = 0

⇔ � · � + 2 � · � = 0

⇒ 0 + 2 � · � = 0

⇔ 2 � · � = 0

⇔ � · � = 0

� �� ⋅ − = �� ⋅ − ⋅= 2 × 0 – 0

= 0

9. Jawaban: d

� · � = | � | | � | cos ∠( � , � )

⇒

�

�

�

·

�

�

�

−

= �� + + �� + + cos�

π

⇔ 1 – 2 + a2 = (1 + 2 + a2) × �

�

⇔ 2(–1 + a2) = 3 + a2

⇔ –2 + 2a2 = 3 + a2

⇔ a2 = 5

⇔ a = ± �

Jadi, nilai a adalah – � atau � .

10. Jawaban: d

!� =

�

�

�

, !� =

�

�

�

�� = !� – !�

=

�

�

�

–

�

�

�

=

�

�

�

−

!� · �� =

�

�

�

·

�

�

�

−

= 4 × (–4) + 0 × 6 + 0 × 0 = –16

| �� | = � � �� − + +

= �� + += �� = � ��

Misalkan sudut antara vektor !� dengan vektor

�� adalah α.

cos α = !� ��

� !� � � ��

⋅=

��

� � ��

−×

= –�

��

Jadi, nilai kosinus sudut antara vektor !� dengan

vektor �� adalah –�

��.

B. Uraian

1. � =

�

�

�

−

dan � =

�

�

�

− −

a. � · � =

�

�

�

−

·

�

�

�

− −

= 4 × 2 + (–1) × (–3) + 2 × (–2)

= 8 + 3 – 4 = 7

b. � · � =

�

�

�

−

·

�

�

�

−

= 4 × 4 + (–1) × (–1) + 2 × 2

= 16 + 1 + 4 = 21

� · (2 � + � ) = 2 � · � + � · �

= 2 × 7 + 21 = 35

c. � · � =

�

�

�

− −

·

�

�

�

− −

= 2 × 2 + (–3) × (–3) + (–2) × (–2)

= 4 + 9 + 4 = 17

( � + � ) · ( � – � ) = � · � – � · �

= 17 – 21 = –4

d. (2 � + � ) · ( � – 3 � )

= 2 � · � – 6� · � + � · � – 3 � · �

= 2 � · � – 5 � · � – 3 � · �

= 2 × 17 – 5 × 7 – 3 × 21

= 34 – 35 – 63

= –64


2. a. Vektor � tegak lurus dengan � maka:

� · � = 0

⇒�

�

�

−

·

�

�

�

−

= 0

⇔ –2 × 3 + x × (–1) + 5 × 2 = 0

⇔ –6 – x + 10 = 0

⇔ –x + 4 = 0

⇔ x = 4

Vektor � sejajar dengan � maka:

� = m �

⇒�

�

�

−

= m

"

�

�

−

⇔�

�

�

−

= m

"

�

�

−

⇔�

�

�

−

=

"#

�#

�#

−


–1 = –2m ⇔ m = �

�

ym = 3 ⇒ y × �

�= 3

⇔ y = 3 × 2 = 6

Jadi, nilai x = 4 dan y = 6.

b. � + � – � =

� � "

� � �

� � �

− + − − −

=

� � �

� � �

� � �

− + − − −

=

�

�

�

−

Jadi, hasil operasi ( � + � – � ) adalah

–5 � + 5 � + 3 �� .

3. | � | = 13 dan | � | = 8

tan α = ��

� ⇔ cos α =

�

��

a. � · � = | � | | � | cos α = 13 × 8 × �

�� = 40

b. � · ( � + � ) = � · � + � · �

= | � |2 + � · �

= 132 + 40

= 169 + 40

= 209

c. | � + � |2 = ( � + � )2

= ( � + � ) · ( � + � )

= � · � + � · � + � · � + � · �

= | � |2 + 2 � · � + | � |2

= 132 + 2 × 40 + 82

= 169 + 80 + 64 = 313

| � + � |2 = 313

⇔ | � + � | = ��

d. | � – � |2 = ( � – � )2

= ( � – � ) · ( � – � )

= � · � – � · � – � · � + � · �

= | � |2 – 2 � · � + | � |2

= 132 – 2 × 40 + 82

= 169 – 80 + 64 = 153

| � – � |2 = 153

⇔ | � – � | = �� = 3 ��

4. A(4, 3, 2), B(2, 4, 2), dan C(3, 1, 2)

� = � – � =

�

�

�

–

�

�

�

=

�

�

�

−

�� = � – � =

�

�

�

–

�

�

�

=

�

�

�

− −

� · �� = –2 × (–1) + 1 × (–2) + 0 × 0

= 2 – 2 + 0

= 0

| � | = � � �� − + +

= � � �+ +

= �

| �� | = � � �� − + − +

= � � �+ +

= �

Misalkan sudut BAC = α, maka:

cos α = � ��

� � � � ��

⋅ =

�

� �× = 0

⇒ α = 90°

Diperoleh besar ∠BAC = 90°.

Oleh karena | � | = | �� | maka segitiga ABC

sama kaki, sehingga:

∠ABC = ∠ACB = �

�(180° – 90°) = 45°

Jadi, ∠BAC = 90° dan ∠ABC = ∠ACB = 45°.

38 Vektor

5. Vektor � , � , dan � segaris maka � = n� dan

� = m � .

� = n� ⇒

�

�

�

�

"

−

= n�$

"

��

−


–4 = –ny ⇔ n = �

"

�

�y = 18n ⇒ �

�y =

�

" × 18

⇔ y2 = 4 × 36

⇔ y = ±2 × 6

= ±12

Oleh karena y bilangan bulat positif maka y = 12.

� = m � ⇒

�

�

�

�

"

−

= m�

�

$

−

⇔�

�

�

�

��

− ⋅

= m�

�

$

−

⇔�

�

�

−

= m�

�

$

−


x = m × 1 ⇔ m = x

–4 = m × (–x) ⇒ –4 = x × (–x)

⇔ 4 = x2

⇔ x = ±2

Oleh karena x bilangan bulat positif maka x = 2.

6 = mz ⇒ 6 = xz

⇔ 6 = 2z

⇔ z = 3

Dengan demikian diperoleh:

� = x � – 4 � + �

� × y �� = 2 � – 4 � +

�

� × 12 ��

= 2 � – 4 � + 6 ��

� = 2z � – y � + 18 �� = 2 × 3 � – 12 � + 18 ��

= 6 � – 12 � + 18 ��

� = � – x � + z �� = � – 2 � + 3 ��

� · ( � – � ) = �

�

�

−

· � �

��

��

− − −

= �

�

�

−

· �

��

��

−

= 2 × 5 + (–4) × (–10) + 6 × 15

= 10 + 40 + 90

= 140

Jadi, nilai � · ( � – � ) = 140.

2. Jawaban: d

�� + = 4

�

�

�

−

+

�

�

�

−

=

�

��

��

−

+

�

�

�

−

=

�

��

��

−

�� = 2

�

�

�

−

=

�

�

�

−

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

# = �

�

− dan % =

�

�

−

Proyeksi skalar ortogonal # pada %

= # %

� % �

⋅

= � �

� � � ��

� � ��

× + − × −

+ −

= � �

� ��

++

= ��

� = 2


Proyeksi skalar ortogonal ( �� + ) pada ��

= ��

��

+ ⋅

= � � �

� �

��

� �

� ��

− ⋅ − − + +

= ��

��

− + −+ +

= ��

��

−

= –��

� = –

�

�

3. Jawaban: c

�

� � �

⋅ = 1

�

�⇒

� � �

��

� � � ��

+ − × + − × −

+ + −=

�

�

⇔ ��

�

− +=

�

�

⇔ ��

�=

�

�

⇔ 2m = 4

⇔ m = 2

Jadi, nilai m adalah 2.

4. Jawaban: a

Proyeksi skalar ortogonal � pada � = � � .

� �

� � �

⋅= � �

⇒� � �

� � � �

� �

× + × + ×

+ += � �

⇔�

� �

�

+

+= � �

⇔�

�

��

�

++

= 4 × 6

⇔ 16 + 32a + 16a2 = 24(2 + a2)

⇔ 4 + 8a + 4a2 = 6(2 + a2)

⇔ 4 + 8a + 4a2 = 12 + 6a2

⇔ 2a2 – 8a + 8 = 0

⇔ a – 4a + 4 = 0

⇔ (a – 2)2 = 0

⇔ a – 2 = 0

⇔ a = 2

Dengan demikian diperoleh:

� = 4 �� + a �� + 3 �� = 4 �� + 2 �� + 3 ��

� = �� + �� + a �� = �� + �� + 2 ��

� – � = (4 – 1) �� + (2 – 1) �� + (3 – 2) ��

= 3 �� + �� + ��

|� – � | = � � �� + +

= � � �+ +

= ��

Jadi, panjang ( � – � ) = �� .

5. Jawaban: d

= 3 �� + 4 ��

� = 2 �� + ��

Proyeksi vektor ortogonal pada �

= �

�

� � �

⋅�

= �

� �

� � � �

� �

× + ×

+

(2 �� + �� )

= �

�(2 �� + �� )

= 4�� + 2��

6. Jawaban: d

Proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b

= �

� �

� � �b

=

( )��

� � � � ��

� � � � �

× − × ×(2 �� + 2 �� + �� )

= �

�(2 �� + 2 �� + �� )

= 2(2 �� + 2 �� + �� )

= 4 �� + 4 �� + 2 ��

Jadi, proyeksi ortogonal vektor a pada vektor badalah 4 �� + 4 �� + 2 �� .

7. Jawaban: c

�� = � – =

� �

� �

� �

− − − − −

=

�

�

�

− −

�� = � – =

� �

�

� �

− − − −

=

�

�

�

−

�� · �� =

�

�

�

− −

·

�

�

�

−

= –3 × 3 + 5 × 1 + (–1) × (–2)

= –9 + 5 + 2

= –2

40 Vektor

Proyeksi vektor ortogonal �� pada ��

= �

��

� ��

⋅��

= ( )��

�

� � � ��

−

+ + −(3 �� + �� – 2 �� )

= �

� � �

−+ + (3 �� + �� – 2 �� )

= –�

�(3 �� + �� – 2 �� )

8. Jawaban: e

� · � = | � || � | cos �

�

π

= 12 × 4 × (–�

�) = –24

Proyeksi vektor � pada �

= �

� �

� � �

⋅� = �

��

�

−� = –

��

�� = –

�

��

9. Jawaban: e

�! = � – � =

� �

�

��

− − − − −

=

�

�

− + −

�" = # – � =

� �

� �

� �

− − − − −

=

�

�

�

−

�! · �" =

�

�

− + −

·

�

�

�

−

= –3 × 2 + (a + 1) × (–2) + (–8) × 1

= –6 – 2a – 2 – 8

= –2a – 16

Proyeksi vektor ortogonal �! pada �" adalah

–4 �� + 4 �� – 2 ��

⇒ �

�! �"

��"�

⋅�" =

�

�

�

− −

⇔ � � � �

� ��

� � � ��

− −

+ − +

�

�

�

−

=

�

�

�

− −

⇔ � ��

� � �

− −+ +

�

�

�

−

=

�

�

�

− −

⇔ � ��

�

− −�

�

�

−

=

�

�

�

− −

⇔ � ��

�

− −�

�

�

−

= –2

�

�

�

−

Dengan demikian,

� ��

�

− − = – 2

⇔ –2a – 16 = –18

⇔ –2a = –2

⇔ a = 1

Jadi, nilai a = 1.

10. Jawaban: b

� merupakan proyeksi � pada � maka � dan �

kolinear sehingga � = n � diperoleh

�

�

�

− −

= n

�

−

.

–4 = na ⇔ n = –�

. . . (1)

4 = nb ⇔ n = –�

�. . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh a = –b.

cos θ = ��

� � ��

⇒ �

�=

� � � � �

� ��

� ��

− −

+ + + +

⇔ �

�=

� � � � �

��

� ��

−

+ + + +

⇔ �

�=

� �

��

�� +

⇔�

�=

�

��

�� +

⇔ 48 = 3 �� +

⇔ 16 = �� +

⇔ 256 = 2b2 + 144

⇔ b2 = 56

⇔ b = ± ��

⇔ b = 2 �� atau b = –2 �� (tidak memenuhi)

Jadi, nilai b = 2 �� .


B. Uraian

1. = �

�

dan � =

�

��

−

a. Proyeksi skalar ortogonal pada � :

= �

� � �

⋅ =

� �

� �

� ��

� ��

− ⋅ − +

= � ��

��

− + =

��

�� = 2

b. Proyeksi vektor ortogonal pada � :

� = �

�

� � �

⋅� =

�

��

�

��

−

=

�

��

��

��

−

2. A(2, 3), B(–1, –1), dan C(5, –1)

�� = – � = �

�

–

�

�

− − =

�

�

�� = � – � = �

�

− –

�

�

− − =

�

a. Proyeksi vektor �� pada �� :

�$ = �

��

� ��

⋅��

= � �

� � �

�

× + ×+

�

= �

��

�

= �

�

�

= �

b. �$ = % – �

⇔ % = �$ + � = �

+

�

�

− − =

�

�

−

Jadi, koordinat titik D(2, –1).

3. � = �! = � – � =

�

�

− −

=

�

�

−

� = �" = # – � =

�

�

�

− −

=

�

�

�

−

� · � =

� �

�

� �

⋅ − −

= 4 × 4 + a × (–2) + (–4) × 4

= 16 – 2a – 16

= –2a

Proyeksi vektor ortogonal � pada � = –2 �� + �� – 2 ��

�

� �

� � �

⋅� =

�

�

�

− −

⇒� � � �

�

� � � ��

−

+ − +

�

�

�

−

=

�

�

�

− −

⇔ �

��

−+ +

�

�

�

−

=

�

�

�

− −

⇔ �

��

−�

�

�

−

=

�

�

�

− −

⇔

�−

�

�

�

−

=

�

�

�

− −

⇔

�− × (–2)

�

�

�

− −

=

�

�

�

− −

⇔

�

�

�

�

− −

=

�

�

�

− −


� = 1 ⇔ a = 9

Jadi, nilai a = 9.

4. Proyeksi skalar ortogonal � pada � = �−� �

� � �

⋅= �−

⇒� � �

� � � ��

� � � ��

× + − × + − × −

+ + −= �−

⇔� ��

� ��

− ++ + = �−

⇔� ��

�

−= �−

⇔ 4a – 22 = � �− ×⇔ 4a – 22 = –10

⇔ 4a = 12

⇔ a = 3

Dengan demikian, diperoleh � = �� – 5 �� – 3 �� .

42 Vektor

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: e

�� = �& + &�

= �$ + (&$ + $� )

= �$ – $& + $�

= � – � + '

�$ = �� + �$

= – �� + �$

= – � + �

�� = �$ + $�

= � + '

�� – �$ + �� = � – � + ' – (– � + � ) + � + '

= � – � + ' + � – � + � + '

= � + 2 '

2. Jawaban: d

� = 4 �� – 2 �� + ��

� = 3 �� + 2 �� – 5 ��

A

B C

D

E

�

�

'

�

� �

D

B(1, 1, 1)

A(5, –3, –6) C(–2, 4, –6)

Proyeksi vektor ortogonal � pada � :

�

� �

� � �

⋅� = ( )�

� � �

� � � � ��

� � ��

× + × − + − × −

+ − + −�

= � ��

� ��

− ++ + ( �� – 5 �� – 3 �� )

= �

��

−( �� – 5 �� – 3 �� )

= –�

�( �� – 5 �� – 3 �� )

Jadi, proyeksi vektor ortogonal � pada � adalah

–�

�( �� – 5 �� – 3 �� ).

5.

a. �� = � – =

� �

� �

� �

− − −

=

�

�

�

−

�� = � – =

� �

� �

� �

− − − − −

=

�

�

−

�� · �� =

�

�

�

−

·

�

�

−

= –4 × (–7) + 4 × 7 + 7 × 0

= 28 + 28 + 0 = 56

Proyeksi vektor ortogonal �� pada �� = �$

�$ = �

��

� ��

⋅��

= � � � �

��

� � �� − + +

�

�

−

= ��

�� + +

�

�

−

= ��

�

�

�

−

= �

�

�

�

−

=

�

�

−

Jadi, proyeksi vektor �� pada �� adalah

�

�

−

atau –4 �� + 4 �� .

b. �$ merupakan garis tinggi segitiga ABC

�$ = �� + �$ = �$ – ��

=

� �

� �

�

− − −

=

�

−

|�$| = � � � � ��+ + − = �� = 7

Jadi, tinggi segitiga ABC = 7.

c. | ��| = � � �� − + +

= �� + + = � = � �

Luas segitiga ABC = �

� × | ��| × |�$|

= �

� × � � × 7 =

��

��


2� – 3 � = 2(4 �� – 2 �� + �� ) – 3(3 �� + 2 �� – 5 �� )

= (8 �� – 4 �� + 2 �� ) – (9 �� + 6 �� – 15 �� )

= – �� – 10 �� + 17 ��

3. Jawaban: e

3( – 2� + � ) = –9 �� – 15 �� + 6 ��

⇔ 3 – 6� + 3 � = –9 �� – 15 �� + 6 ��

⇒ 3

*

�

– 6

�

�-

+ 3

�

−

=

�

��

�

− −

⇔�*

��

–

��

��-

+

��

−

=

�

��

�

− −

⇔�*

��

��-

− −

=

�

��

�

− −


3x = –9 ⇔ x = – 3

–12y = 6 ⇔ y = –�

�

Nilai x – y = –3 – (–�

�) = –2

�

�

4. Jawaban: b

� = �

�� =

�

�( – � ) =

�

�

� �

� �

− − − −

= �

�

�

�

−

= �

�

−

Jadi, koordinat titik P(–1, 2).

5. Jawaban: d

�! = � – � =

�

�

�

−

–

�

�

=

�

�

�

−

|�! | = � � �� + + −

= � � �+ +

= ��

= � �

Vektor satuan dari �! :

�!

��! �=

�

� �(3 �� + 3 �� – 3 �� )

= �

�( �� + �� – �� )

6. Jawaban: b

5 % + 3 + 2� = 2 � + 3 % – 2�

⇔ 2 % = 2 � – 2� – 3 – 2�

= 2 � – 4� – 3

=

� � �

� � � � �

� � �

− − − − − −

=

� � �

��

� � �

− − − − − −

=

� � �

��

� � �

− + − + − + −

=

��

�

− −

⇔ % = �

�

��

�

− −

=

�

�

− −

Jadi, vektor % = –4 �� + 8 �� – �� .

7. Jawaban: b

�� = � – =

�

�

*

–

�

�

�

−

=

�

�

* �

− − +

�� = � – =

�

�

–

�

�

�

−

=

�

�

��

− −

Titik A, B, dan C segaris maka:

k �� = �� ⇒ k

�

�

* �

− − +

=

�

�

��

− −

⇔��

�

�* ��

− − +

=

�

�

��

− −


–2k = –6 ⇔ k = 3

(x + 2)k = 12 ⇒ (x + 2) × 3 = 12

⇔ x + 2 = 4

⇔ x = 2

Jadi, nilai x = 2.

44 Vektor

UV

O P

QR

W

�

�

�

S 3

2

5

T

8. Jawaban: a

= �

��

− dan � =

�

�

Oleh karena AC : CB = 1 : 3 maka:

� = � �

� �

++ =

�

�(� + 3 )

= �

�

�

�

+ 3�

��

−

= �

�

�

�

+ �

��

−

= �

�

�

=

�

Jadi, koordinat titik C(0, 10).

9. Jawaban: c

A(2, 1, –4) dan B(2, –4, 6)

AP : PB = 3 : 2

xP = � ��* �*

� �

++

= � � � �

�

× + × =

� �

�

+ = 2

yP = � ��- �-

� �

++

= � � ��

�

× − + × =

��

�

− + = –2

zP = � ��/ �/

� �

++

= � � � � ��

�

× + × − =

�

�

− = 2

Diperoleh koordinat titik P(2, –2, 2).

�� = � �− =

�

�

�

−

–

�

�

�

−

=

�

�

�

−

Jadi, �� = –4 �� + 7 �� + 2 �� .

10. Jawaban: d

Titik S merupakan titik tengah PQ maka:

xS = � !* *

�

+ =

� �

�

+ = 2

yS = � !- -

�

+ =

�

�

+ = 2

zS = � !/ /

�

+ =

� �

�

+ = 3

Diperoleh koordinat titik S(2, 2, 3).

Titik T merupakan titik tengah QR maka:

xT = ! "* *

�

+ =

� �

�

+ = 4

yT = ! "- -

�

+ =

�

�

+ = 1

zT = ! "/ /

�

+ =

� �

�

+ = 2

Diperoleh koordinat titik T(4, 1, 2).

Panjang ST:

| ;< | = � � �< ; < ; < ;�* * � �- - � �/ / �− + − + −

= � � �� − + − + −

= � � �+ + = �

Jadi, panjang ST = � .

11. Jawaban: c

Titik C membagi garis yang melalui titik A dan B

di luar dengan perbandingan 3 : 1 sehingga

AC : CB = 3 : –1. Oleh karena AC : CB = 3 : –1

maka:

� = ��

� �

−− =

�

�(3 � – )

= �

�

��

� �

− −

= �

�

�

� �

− −

= �

�

�

�

= �

�

Jadi, koordinat titik C(2, 3).

12. Jawaban: c

>! = >� + >" = + �

?@ : !@ = 5 : 2 maka ?! : !@ = 3 : 2

Dengan demikian,

!@ = �

� ?! = �

�(– >; ) =

�

�(– � ) = –

�

��

>@ = >! + !@

= ( + � ) – �

��

= + � – �

��

3

A 2 B 1 C

–1


13. Jawaban: b

A(1, –4), B(4, 3), dan C(2, –5)

= �

�

− , � =

�

�

, dan � =

�

�

−

�� = � – = �

�

− –

�

�

− =

�

�

−

�� = � – � = �

�

− –

�

�

=

�

− −

�� · �� = �

�

− ·

�

− −

= 1 × (–2) + (–1) × (–8)

= –2 + 8

= 6

14. Jawaban: c

· � = | | | � | cos 45°

= 4 × 3 × �

�� = 6 �

15. Jawaban: a

�⋅ = 12 ⇒�

F

·

�

�

− − = 12

⇔ –6 – 3n = 12

⇔ –3n = 18

⇔ n = –6

Jadi, nilai n = –6.

16. Jawaban: e

(�

�� ) · � = 7

⇒ �

�

�

�

�

−

·

�

�

− −

= 7

⇔�

�

�

−

·

�

�

− −

= 7

⇔ 2 × (–1) + (–3) × (–2) + 3 × a = 7

⇔ –2 + 6 + 3a = 7

⇔ 4 + 3a = 7

⇔ 3a = 3

⇔ a = 1

Dengan demikian, � =

�

�

�

− −

� + 2 � = (4 �� – 6 �� + 6 �� ) + 2(– �� – 2 �� + �� )

= 4 �� – 6 �� + 6 �� – 2 �� – 4 �� + 2 ��

= 2 �� – 10 �� + 8 ��

17. Jawaban: e

· � = | |2

⇔ · � = ·

⇒�

�

*

−

·

�

�

�

=

�

�

*

−

·

�

�

*

−

⇔ 36 – 6 + 3x = 16 + 4 + x2

⇔ x2 – 3x – 10 = 0

⇔ (x – 5)(x + 2) = 0

⇔ x – 5 = 0 atau x + 2 = 0

⇔ x = 5 atau x = –2

Oleh karena x < 0, maka x = –2 diperoleh =

�

�

�

− −

.

– � =

�

�

�

− −

–

�

�

�

=

�

�

�

− − −

| – � | = � � �� − + − + −

= �� + + = � ��× = � �

Jadi, panjang ( – � ) adalah � � .

18. Jawaban: a

� = �� + 2�� dan � = 4 �� + 2��

cos θ = � �

� � ��

⋅

= � � � �

� � � �

� � � �

× + ×

+ × +

= � �

� �

+×

=

� =

�

�

cos θ = �

�⇔ sin θ =

�

�

Jadi, nilai sin θ = �

�.

19. Jawaban: c

· � = (4 �� – 2 �� + 2 �� ) · ( �� + �� + 2 �� )

= 4 × 1 + (–2) × 1 + 2 × 2

= 4 – 2 + 4 = 6

| | = � � �� + − +

= �� + + = �� = 2 �

| � | = � � �� + + = � � �+ + = �

Misalkan sudut yang dibentuk oleh vektor dan �

adalah α.

cos α = �

� � � � �

⋅ =

�

� � �× = �

�� =

�

�

35

4

θ

46 Vektor

B(2, 0, 0)

A(0, 0, 0)

C(2, 4, 0)

D(0, 4, 0)

E

F G

H(0, 4, 4)

Z

Y

X

Oleh karena cos α = �

�, diperoleh α = 60°.

Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh vektor dan �

adalah 60°.

20. Jawaban: b

Posisi balok dapat digambarkan sebagai berikut.

�� = � –

= (2 – 0) �� + (0 – 0) �� + (0 – 0) ��

= 2 �� + 0 �� + 0 ��

�H = I – �

= (0 – 2) �� + (4 – 0) �� + (4 – 0) ��

= –2 �� + 4 �� + 4 ��

�� · �H = 2 × (–2) + 0 × 4 + 0 × 4

= –4 + 0 + 0

= –4

| �� | = � � �� + +

= � = 2

|�H| = � � �� − + +

= � �� + +

= �� = 6

Misalkan θ = sudut antara �� dengan �H.

cos θ = �� H

� �� H�

⋅

= �

� �

−× = –

�

�

Jadi, nilai kosinus sudut antara �� dan �H

adalah –�

�.

21. Jawaban: d

� ��⋅ + = �⋅ + ⋅

= | |2 + | || � | cos �

π

= 22 + 2 × 5 × �

�

= 4 + 5 = 9

22. Jawaban: d

· = | |2 = 42 = 16

� · � = | � |2 = 62 = 36

| + � | = 8 ⇔ | + � |2 = 82

⇔ ( + � ) · ( + � ) = 64

⇔ · + 2 · � + � · � = 64

⇔ 16 + 2 · � + 36 = 64

⇔ 2 · � = 12

⇔ · � = 6

| – � |2 = ( – � ) · ( – � )

= · – 2 · � + � · �

= 16 – 2 × 6 + 36

= 52 – 12 = 40

Jadi, hasil | – � | = � = 2 � .

23. Jawaban: b

�! = � – � =

�

�

–

�

�

−

=

�

�

−

!" = # – � =

�

�

�

–

�

�

=

�

�

� �

−

�! tegak lurus !" berarti:

�! · !" = 0 ⇒ –2a + 6 + 2(c – 5) = 0

⇔ –2a + 6 + 2c – 10 = 0

⇔ –2(a – c) = 4

⇔ a – c = –2

Jadi, hasil a – c = –2.

24. Jawaban: e

Cara 1:

�& = $H = �

Dengan demikian,

sudut antara vektor

� dan � sama

dengan ∠EAC

= 90°

Cara 2:

� = �� = �$ + $�

= $� – $�

=

�

�

−

=

�

�

−

A

CD

E

GH

4 cm

2 cm

3 cm�

�

F

B


� = $H =

�

� · � =

�

�

�

− ⋅

= –3 × 0 + 2 × 0 + 0 × 4 = 0

Misalkan sudut antara vektor � dan � adalah θ.

cos θ = � �

� � � � � �

⋅

=

� � � � � � = 0

cos θ = 0

⇒ θ = 90°

Jadi, sudut antara vektor � dan � adalah 90°.

25. Jawaban: d

Misalkan θ = sudut antara � dan � .

tan θ = �

� � = �

�

maka cos θ = �

�

cos θ = �

�

� �

� � �

⋅=

�

�

⇒� � �

� � � � ��

� � � ��

+ × + × −

+ + −=

�

�

⇔� ��

��

+=

�

�

⇔ � �

�

+=

�

�

⇔ � �

�

+= 1

⇔ 2a + 6 = 2

⇔ 2a = –4

⇔ a = –2

Dengan demikian, diperoleh � =

�

�

−

.

� + � =

�

�

−

+

�

�

�

−

=

�

��

�

Jadi, vektor posisi dari (� + � ) adalah 2�� + 11�� + 6 �� .

26. Jawaban: a

+ � = (3 �� – 4 �� – 4 �� ) + (2 �� – �� + 3 �� )

= 5 �� – 5 �� – ��

( + � ) · � = (5 �� – 5 �� – �� ) · (4 �� – 3 �� + 5 �� )

= 5 × 4 + (–5) × (–3) + (–1) × 5

= 20 + 15 – 5

= 30

Proyeksi skalar ortogonal ( + � ) pada �

= � ��

� � �

+ ⋅

= � � �

�

� � �� + − +

= �

��

= �

�

= �

� �

= �

�

= �

��

= 3 �

27. Jawaban: b

P(1, –3), Q(2, –1), dan R(4, 1)

�! = � – �

= �

�

− –

�

�

−

= �

�

�" = # – �

= �

�

–

�

�

−

= �

�

Proyeksi skalar ortogonal�! pada �"

= �! �"

� �" �

⋅

= � �

� � � �

� �

× + ×

+

= ��

� = 2

�

�

28. Jawaban: e

= –3 �� – �� + x ��

� = 3 �� – 2 �� + 6 ��

23

θ

�

48 Vektor

· � = –3 × 3 + (–1) × (–2) + x × 6

= –9 + 2 + 6x

= –7 + 6x

| � | = � � �� + − +

= � � ��+ +

= �� = 7

Proyeksi skalar ortogonal pada � adalah 5,

berarti:

�

� � �

⋅ = 5 ⇒ � �*

�

− += 5

⇔ –7 + 6x = 35

⇔ 6x = 42

⇔ x = 7

Jadi, nilai x = 7.

29. Jawaban: d

Proyeksi vektor ortogonal � pada � adalah # .

# = �

� �

�

⋅�

=

( )��

� � � ��

� � ��

× + − × − + ×

+ − +�

= � � �

� � �

+ ++ + �

= ��

��

= �

��


�

�� .

30. Jawaban: c

· � = (2 �� + x �� + �� ) · (3 �� – 2 �� + �� )

= 2 × 3 + x × (–2) + 1 × 1

= 6 – 2x + 1

= 7 – 2x

� = �

��(–3 �� + 2 �� – �� )

�

�

� � �

⋅� =

�

��

�

�

�

− −

⇒ � � � �

� �*

� � � ��

−

+ − +

�

�

�

− −

= �

��

�

�

�

− −

⇔ � �*

� � �

−+ +

�

�

�

− −

= –�

��

�

�

�

− −

⇔ � �*

��

−

�

�

�

− −

= –�

��

�

�

�

− −


� �*

��

− = –

�

��

⇔ 7 – 2x = –1

⇔ 2x = 8

⇔ x = 4

Jadi, nilai x = 4.

B. Uraian

1. a.

�H = �& + &H

= �Z + &H

= – Z� + &H

= – ' + �

$[ = $H + H[

= �Z + (HZ + Z[ )

= – Z� + $� + H&

= – Z� + $� – &H

= – ' + � – �

�� = &H = �

�H + $[ + �� = – ' + � – ' + � – � + �

= � + � – 2 '

b.

�� = �$ + $�

= &H + $�

= � + �

A

E

B

CD

F

GH

�

�

'

H

A

E

B

CD

F

G

�

�

'


$& = $H + H&

= �Z – &H

= – Z� – &H

= – ' – �

�H = �[ + [H

= �Z + ([& + &H)

= – Z� + �$ + &H

= – Z� – $� + &H

= – ' – � + �

�� + $& – �H

= � + � – ' – � – (– ' – � + � )

= � + � – ' – � + ' + � – �

= 2 � – �

2. a. 2 + 4� = � –

⇔ � = 3 + 4�

= 3�

�

− + 4

�

�

−

= ��

��

− +

�

��

−

= ��

�

−

b. 6 – 5� + 2 � = 3 + 4 �

⇔ 2 � = 3 – 5�

= 3�

�

− – 5

�

�

−

= ��

��

− –

�

��

−

= ��

�

−

⇔ � = �

�

��

�

− =

��

��

−

3. a.

�� : �� = 2 : 1 ⇔ �� : �� = 2 : –1

xC = � ��* � �� *

� �

+ − ×−

= � � � ��

�

× + − × 5

yC = � ��- � �� -

� �

+ − ×−

= � � � ��

�

× + − × = 0

zC = � ��/ � �� /

� �

+ − ×−

= � � � ��

�

× + − × = 1

Jadi, koordinat titik C(5, 0, 1).

b. �� = � –

=

�

�

–

�

�

�

=

�

�

�

− −

�� = � � �� + − + −

= �� + +

= ��

= � �

Jadi, panjang vektor �� adalah � � .

4. A(2, 4, –1), B(–4, 7, 5), dan C(2, 4, –5)

=

�

�

�

−

, � =

�

�

�

−

, dan � =

�

�

�

−

a. AP : PB = 2 : 1

� = ��

� �

++

= �

�(2� + )

= �

�

�

� �

�

−

+

�

�

�

−

= �

�

��

�

−

+

�

�

�

−

= �

�

�

�

�

−

=

�

�

�

−

Jadi, koordinat titik P(–2, 6, 3).

A(1, 2, 3) B(3, 1, 2) C(xC, y

C, z

C)

2

–1

50 Vektor

b. � = �� = � –

=

�

�

�

−

–

�

�

�

−

=

�

�

�

−

� = �� = � – �

=

�

�

�

−

–

�

�

�

−

=

�

�

−

� · � = �

�

�

−

· �

�

−

= 24 + 6 + 48

= 78

Jadi, hasil � · � = 78.

5. =

�

�

−

, � =

*

�

�

−

, dan � =

�

* -

�

+ −

Titik A, B, dan C segaris jika AB = k AC.

AB = k AC ⇒ � – = k( � – )

⇒*

�

�

−

–

�

�

−

= k

� �

* -

� �

− + − −

⇔* �

�

�

+ −

= k

* -

�

+ −


–2 = k(–4) ⇔ k = �

�

x + 2 = k × 8 ⇒ x + 2 = �

� × 8

⇔ x + 2 = 4

⇔ x = 2

3 = k(x + y) ⇒ 3 = �

�(2 + y)

⇔ 6 = 2 + y

⇔ y = 4

Dengan demikian, diperoleh � =

�

�

�

−

dan � =

�

�

�

−

�� · �� = (� – ) · ( � – � )

=

� �

�

� �

− − −

·

� �

� �

� �

− − −

=

�

�

�

−

·

�

�

�

−

= 4 × 4 + 3 × 3 + (–2) × (–2)

= 16 + 9 + 4

= 29

Jadi, nilai �� · �� = 29.

6.

�� = �� + ��

=

�

�

�

− −

+

�

�

�

=

�

�

−

cos ∠BAC = ��

� ��

⋅

= � � � � � �

�

� �

� �

� ��

− − ⋅ −

×− + − + + − +

= � � ��

� ��

− × + − × − + ×+ + × + +

= ��

��

+ +×

= �

�� ×

= �

��

= �

�� =

�

� =

�

��

Oleh karena cos ∠BAC = �

� � maka ∠BAC = 30°.

Jadi, besar ∠BAC = 30°.

θ

A

B C


7.

Dari gambar di atas terlihat bahwa ∠(� , ' ) = 30°.

Vektor � dan � saling tegak lurus maka � · � = 0.

� · ' = | � | | ' | cos ∠( � , ' )

= 8 × 6 cos 120°

= 8 × 6 × (–�

�)

= –24

� · ' = | � | | ' | cos ∠( � , ' )

= 4 × 6 cos 30°

= 4 × 6 × �

��

= 12 �

|� + � + ' |2

= (� + � + ' ) · ( � + � + ' )

= � · � + � · � + � · ' + � · � + � · � + � · '

+ � · ' + � · ' + ' · '

= |� |2 + | � |2 + | ' |2 + 2� · � + 2� · ' + 2 � · '

= 42 + 82 + 62 + 2 × 0 + 2 × 12 � + 2 × (–24)

= 16 + 64 + 36 + 0 + 24 � – 48

= 68 + 24 �

Jadi, | � + � + ' | = 68 + 24 � .

8. =

�

�

�

− −

dan � =

�

�

�

−

a. � = 2 + �

= 2

�

�

�

− −

+

�

�

�

−

=

�

�

�

− −

+

�

�

�

−

=

�

�

�

− −

b. Proyeksi vektor ortogonal � pada

= �

� \

� �

= � � �

� � � ��

� � ��

× + − × − + − × −+ − + −

�

�

�

− −

= ��

�

�

�

�

− −

=

�

�

�

�

− −

Jadi, proyeksi vektor ortogonal � pada adalah

�( �� – 2 �� – �� ).

9. Proyeksi skalar ortogonal pada � = –��

�

�

� � �

⋅= –

��

�

⇒� � �

*� �� -��

� ��

− + + −

− + + −= –

��

�

⇔ �* �- �

� ��

− + −+ +

= –��

�

⇔ �* �- �

�

− + −= –

��

�

⇔ –2x + 4y – 48 = –38

⇔ –2x + 4y = 10

⇔ x = 2y – 5 . . . (1)

Panjang vektor = 13

⇒ � � �* - ��+ + = 13

⇔ x2 + y2 + 144 = 169

⇔ x2 + y2 = 25 . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan

(2) diperoleh:

(2y – 5)2 + y2 = 25

⇔ 4y2 – 20y + 25 + y2= 25

⇔ 5y2 – 20y = 0

⇔ y2 – 4y = 0

⇔ y(y – 4) = 0

⇔ y = 0 atau y = 4

Untuk y = 0 ⇒ x = 2(0) – 5 = –5

Untuk y = 4 ⇒ x = 2(4) – 5 = 3

Jadi, nilai x = –5 dan y = 0 atau x = 3 dan y = 4.

�

�

'�

90° 90°

30°

52 Vektor

10. Proyeksi vektor ortogonal � pada �

= �

� �

� � �

⋅�

= � � �

� � � ��

� � ��

× + × − + − ×+ − + �

= � � �

� � �

− −+ + (2 �� – 2 �� + �� )

= � �

�

−(2 �� – 2 �� + �� )

Proyeksi vektor ortogonal � pada � adalah

�

�(8 �� – 8 �� + 4 �� ).

Diperoleh hubungan seperti berikut.

��

�

−(2 �� – 2 �� + �� ) =

�

�(8 �� – 8 �� + 4 �� )

⇔ ��

�

−(2 �� – 2 �� + �� ) =

�

�(2 �� – 2 �� + �� )


��

�

−=

�

�

⇔ 2a – 4 = 4

⇔ 2a = 8

⇔ a = 4

Dengan demikian, diperoleh � = 4 �� + �� – 2 �� .

Proyeksi vektor � pada �

= �

� �

� � �

⋅�

= � � �

� � � ��

� � � ��

× + − × + × −+ + − �

= � �

��

− −+ + (4 �� + �� – 2 �� )

= �

��(4 �� + �� – 2 �� )

= ��

�� +

�

�� –

��


��

�� +

�

�� –

�� .


A. Pilihlan Ganda1. Jawaban: a


D = 2 34 1−

= 2 × 1 – 3 × (–4)= 2 + 12 = 14

2. Jawaban: eNilai determinan variabel x:

Dx = 13

⇔ 3 n

n 5 3+= 13

⇔ 9 – n(n + 5) = 13⇔ –n2 – 5n = 4⇔ n2 + 5n + 4 = 0⇔ (n + 1)(n + 4) = 0⇔ (n + 1) = 0 atau (n + 4) = 0⇔ n = –1 atau n = –4Jadi, nilai n adalah –1 atau –4.

3. Jawaban: bNilai determinan variabel x:

Dx =

0 0 2 0 03 2 1 3 24 3 2 4 3

−

= 0 × 2 × 2 + 0 × (–1) × 4 + 2 × 3 × 3 – 2 × 2 × 4– 0 × (–1) × 3 – 0 × 3 × 2

= 0 + 0 + 18 – 16 – 0 – 0 = 2Jadi, nilai determinan variabel x adalah 2.

4. Jawaban: cNilai determinan variabel z:

Dz = k 3 3k k 34 2 0 4 2

2k 1 1 3 2k 1 1+ +

= k × 2 × 3 + 3 × 0 × (2k + 1) + 3k × 4 × 1– 3k × 2 × (2k + 1) – k × 0 × 1 – 3 × 4 × 3

= 6k + 0 + 12k – 6k(2k + 1) – 0 – 36= 18k – 12k2 – 6k – 36= – 12k2 + 12k – 36

Nilai Dz = –60, maka:– 12k2 + 12k – 36 = –60

⇔ – 12k2 + 12k + 24 = 0⇔ k2 – k – 2 = 0⇔ (k – 2)(k + 1) = 0⇔ (k – 2) = 0 atau (k + 1) = 0⇔ k = 2 atau k = –1Jadi, nilai k yang memenuhi adalah –1 atau 2.

5. Jawaban: d

SPLDV 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =⎧⎨ + =⎩

memiliki tak berhingga

penyelesaian jika 1

2

aa = 1

2

bb = 1

2

cc .

a. SPLDV x 2y 32x y 6

− = −⎧⎨ − + =⎩


a2 = –2, b1 = –2, b2 = 1, c1 = –3, dan c2 = 6.

Nilai 1

2

aa =

12− = –

12 , 1

2

bb =

21

− = –2, dan

1

2

cc =

36

− = –

12 .

Diperoleh nilai 1

2

aa ≠ 1

2

bb , 1

2

bb ≠ 1

2

cc , dan 1

2

aa = 1

2

cc .

b. SPLDV 6x 4y 13x 2y 2

− =⎧⎨ + = −⎩


a2 = 3, b1 = –4, b2 = 2, c1 = 1, dan c2 = –2.

Nilai 1

2

aa =

63 = 2, 1

2

bb =

42

− = –2, dan 1

2

cc

= 12− = –

12 .

Diperoleh nilai 1

2

aa ≠ 1

2

bb ≠ 1

2

cc .

c. SPLDV 6x 2y 94x 3y 6

− =⎧⎨ − =⎩


a2 = 4, b1 = –2, b2 = –3, c1 = 9, dan c2 = 6.

Nilai 1

2

aa =

64 =

32 , 1

2

bb =

23

−− =

23 , dan 1

2

cc

= 96 =

32 .

Diperoleh nilai 1

2

aa ≠ 1

2

bb , 1

2

bb ≠ 1

2

cc , dan 1

2

aa = 1

2

cc .

– – – + + +

– – – + + +

54 Ulangan Tengah Semester 1

d. SPLDV 4x 8y 22x 4y 1

− + =⎧⎨ − = −⎩


a2 = 2, b1 = 8, b2 = –4, c1 = 2, dan c2 = –1.

Nilai 1

2

aa =

42

− = –2, 1

2

bb =

84− = –2, dan

1

2

cc =

21− = –2.

Diperoleh nilai 1

2

aa = 1

2

bb = 1

2

cc sehingga

SPLDV memiliki tak berhingga penyelesaian.Jadi, SPLDV pilihan d memiliki tak berhinggapenyelesaian.

6. Jawaban: c

Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien 2 13 p

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

D =2 13 p

−− = 2p – (–1) × (–3) = 2p – 3

Dy =22 p

3 3− − = 2 × (–3) – p2 × (–3) = –6 + 3p2

Nilai y = 6 merupakan penyelesaian sistempersamaan, maka:

yD

D= 6

⇔26 3p

2p 3− +

− = 6

⇔ –6 + 3p2 = 6(2p – 3)⇔ –6 + 3p2 = 12p – 18⇔ 3p2 – 12p + 12 = 0⇔ p2 – 4p + 4 = 0⇔ (p – 2)2 = 0⇔ p – 2 = 0⇔ p = 2

Jadi, nilai p = 2.

7. Jawaban: bDiketahui (m, n) merupakan penyelesaianSPLDV, maka:

m + 2n = –2 2m + 3n = 1

Mencari nilai m dan n menggunakan determinanmatriks.

Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien A = 1 22 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

D = 1 22 3

= 1 × 3 – 2 × 2 = 3 – 4 = –1

Dm = 2 21 3

−= –2 × 3 – 2 × 1 = –6 – 2 = –8

Dn = 1 22 1

−= 1 × 1 – (–2) × 2 = 1 + 4 = 5


m = mDD =

81

−− = 8

n = nDD =

51− = –5

Nilai m + n = 8 + (–5) = 3Jadi, nilai m + n = 3.

8. Jawaban: cGaris –x + py = 4 dan 5x + qy = 4 berpotongan dititik (p, 3), maka (p, 3) merupakan penyelesaian

SPLDV x py 45x qy 4− + =⎧⎨ + =⎩

.

Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakandeterminan matriks.

Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien 1 p5 q−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

D =1 p

5 q−

= –q – 5p

Dx = 4 p4 q = 4q – 4p

Dy = 1 4

5 4−

= –1 × 4 – 4 × 5 = –4 – 20 = –24

(p, 3) merupakan penyelesaian SPLDV sehinggaberlaku:

x = xDD ⇔ p =

4q 4pq 5p

−− − . . . (1)

y = yD

D ⇔ 3 = 24

q 5p−

− −

⇔ 1 = 8

q 5p−

− −

⇔ –q – 5p = –8 . . . 2)Substitusikan persamaan (1) ke dalam persama-an (2).

p = 4q 4p

q 5p−

− − ⇔ p = 4(8 5p) 4p

8− −

−

⇔ p = 32 20p 4p

8− −

−

⇔ p = 32 24p

8−−

⇔ –8p = 32 – 24p⇔ 16p = 32⇔ p = 2


Substitusikan p = 2 ke dalam persamaan (2).–q – 5p = –8⇔ –q – 5 × 2 = –8⇔ –q – 10 = –8⇔ –q = 2⇔ q = –2Nilai 2p + q = 2 × 2 + (–2) = 4 – 2 = 2Jadi, nilai 2p + q = 2.

9. Jawaban: bDari a + b = 5 dan 2a + 5b = 7 dapat dibentuk

SPLDV a b 52a 5b 7

+ =⎧⎨ + =⎩

.

Terlebih dahulu dicari nilai a dan b menggunakaninvers matriks.SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.

1 12 5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ab⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 57⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Misalkan A = 1 12 5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, X =ab⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, dan B = 57⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

,


det A = 1 12 5

= 1 × 5 – 1 × 2 = 5 – 2 = 3

Adj A = 5 12 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

A–1 = 1

det AAdj A =

1

3

5 12 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Dengan demikian, diperoleh :X = A–1B

⇔ab⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1

3

5 12 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

57⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1

3

5 5 ( 1) 7( 2) 5 1 7

× + − ×⎛ ⎞⎜ ⎟− × + ×⎝ ⎠

= 1

3

25 710 7

−⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠

= 1

3

183

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 61

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Dengan demikian, diperoleh nilai a = 6 dan b = –1.Diketahui (a, b) merupakan penyelesaian sistem

persamaan 2x 3y mx 2y n

+ =⎧⎨ + =⎩

, maka:

2a + 3b = m ⇔ m = 2 × 6 + 3 × (–1)⇔ m = 12 – 3 = 9

a + 2b = n ⇔ n = 6 + 2 × (–1)⇔ n = 6 – 2 = 4

Nilai m – n = 9 – 4 = 5Jadi, nilai m – n = 5.

10. Jawaban: aMisalkan: x = jam kerja pekerja pertama

y = jam kerja pekerja keduaJumlah jam kerja pekerja pertama dan pekerjakedua = 7 jam, maka x + y = 7 . . . (1)Jumlah baju yang telah disetrika kedua pekerjaadalah 225 potong, maka 30x + 35y = 225 . . . (2)Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh SPLDV:

x + y = 730x + 35y = 225

Menentukan nilai x dan y menggunakan determinanmatriks.

Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien 1 130 35⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

D =1 1

30 35 = 1 × 35 – 1 × 30 = 35 – 30 = 5

Dy = 1 7

30 225 = 1 × 225 – 7 × 30 = 225 – 210 = 15


y = yD

D =

155 = 3

Hal ini berarti, pekerja kedua bekerja selama 3 jam.Banyak baju yang disetrika pekerja kedua= 3 × 35 = 105 potong.Jadi, baju yang disetrika pekerja kedua sebanyak105 potong.

11. Jawaban: bMisalkan: x = harga 1 kg telur

y = harga 1 kg berasz = harga 1 liter minyak goreng

Harga 1 kg telur, 5 kg beras, dan 1 liter minyakgoreng = Rp70.000,00, maka:x + 5y + z = 70.000 . . . (1)Harga 6 kg beras dan 2 liter minyak goreng =Rp72.000,00, maka:6y + 2z = 72.000 ⇔ 3y + z = 36.000 . . . (2)

Harga 12 kg telur dan 10 kg beras = Rp89.000,00,

maka:

12 x + 10y = 89.000 ⇔ x + 20y = 178.000 . . . (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh SPLTVsebagai berikut.

x + 5y + z = 70.0003y + z = 36.000

x + 20y = 178.000


Terlebih dahulu dicari nilai x, y, dan z menggunakandeterminan matriks.

Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien 1 5 10 3 11 20 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

D = 1 5 1 1 50 3 1 0 31 20 0 1 20

= 1 × 3 × 0 + 5 × 1 × 1 + 1 × 0 × 20 – 1 × 3 × 1– 1 × 1 × 20 – 5 × 0 × 0

= 0 + 5 + 0 – 3 – 20 – 0= –18

Dx = 70.000 5 1 70.000 536.000 3 1 36.000 3

178.000 20 0 178.000 20

= 70.000 × 3 × 0 + 5 × 1 × 178.000 + 1 × 36.000 × 20– 1 × 3 × 178.000 – 70.000 × 1 × 20 – 5 × 36.000 × 0

= 0 + 890.000 + 720.000 – 534.000 – 1.400.000 – 0= –324.000

Dy = 1 70.000 1 1 70.0000 36.000 1 0 36.0001 178.000 0 1 178.000

= 1 × 36.000 × 0 + 70.000 × 1 × 1 + 1 × 0 × 178.000– 1 × 36.000 × 1 – 1 × 1 × 178.000 – 70.000 × 0 × 0

= 0 + 70.000 + 0 – 36.000 – 178.000 – 0= –144.000

Dz = 1 5 70.000 1 50 3 36.000 0 31 20 178.000 1 20

= 1 × 3 × 178.000 + 5 × 36.000 × 1 + 70.000 × 0 × 20– 70.000 × 3 × 1 – 1 × 36.000 × 20 – 5 × 0 × 178.000

= 534.000 + 180.000 + 0 – 210.000 – 720.000 – 0= –216.000


x = xDD

= 324.00018

−− = 18.000

y = yD

D = 144.000

18−

− = 8.000

y = zDD

= 216.00018

−− = 12.000

Harga 1 kg telur, 4 kg beras, dan 2 liter minyakgoreng = x + 4y + 2z

= 18.000 + 4 × 8.000 + 2 × 12.000= 18.000 + 32.000 + 24.000 = 74.000

Jadi, Bu Ida harus membayar Rp74.000,00 untuk1 kg telur, 4 kg beras, dan 2 liter minyak goreng.

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +

12. Jawaban: dMisalkan bayangan titik R(–5, 6) setelah

ditransformasi oleh matriks M = 4 53 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah

R′(x′, y′), maka:

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 4 53 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

56

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4 ( 5) 5 63 ( 5) 3 6

× − + ×⎛ ⎞⎜ ⎟× − + ×⎝ ⎠

= 20 3015 18

− +⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠

= 103

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Jadi, bayangan titik R(–5, 6) setelah ditransformasi

oleh matriks M = 4 53 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah R′(10, 3).

13. Jawaban: eBayangan titik K setelah ditransformasi oleh

matriks M = 6 2

10 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah K′(8, 16), maka:

K

K

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 6 2

10 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

K

K

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ K

K

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 16 2

10 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

K

K

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= –1

2

3 210 6

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

816⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= –1

2

3 8 ( 2) 1610 8 6 16× + − ×⎛ ⎞

⎜ ⎟− × + ×⎝ ⎠

= –1

2

24 3280 96

−⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠

= –1

2

816−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4

8−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Jadi, koordinat titik K(–4, 8).

14. Jawaban: aBayangan titik A(10, k) setelah ditransformasi oleh

matriks M = 4 7

2 k 5⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

adalah A′(4 – 2k, 40), maka:

A

A

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 4 7

2 k 5⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

A

A

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔4 2k

40−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4 7

2 k 5⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

10k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


⇔4 2k

40−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4 10 7k

(2 k) 10 5k× +⎛ ⎞

⎜ ⎟− × +⎝ ⎠

⇔4 2k

40−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 40 7k

20 10k 5k+⎛ ⎞

⎜ ⎟− +⎝ ⎠

⇔4 2k

40−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 40 7k20 5k

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Dari kesamaan matriks diperoleh:40 = 20 – 5k

⇔ 5k = –20⇔ k = –4Jadi, nilai k = –4.

15. Jawaban: eBayangan titik B(m, n) setelah ditransformasi oleh

matriks M = 2n 1 n2 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah B′(–18, –1) maka:

B

B

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 2n 1 n2 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

B

B

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔181

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 2n 1 n2 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

mn

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔181

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 2mn n(1 n)

2m n+ −⎛ ⎞

⎜ ⎟+⎝ ⎠Dari kesamaan matriks diperoleh:–18 = 2mn + n(1 – n) . . . (1)–1 = 2m + n ⇔ 2m = –1 – n . . . (2)Substitusikan persamaan (2) ke dalam per-samaan (1).

–18 = 2mn + n(1 – n)⇔ –18 = n(–1 – n) + n – n2

⇔ –18 = –n – n2 + n – n2

⇔ –18 = –2n2

⇔ n2 = 9⇔ n = ±3Nilai n > 0, maka n = 3.Substitusikan n = 3 ke dalam persamaan (2).2m = –1 – n ⇔ 2m = –1 – 3

⇔ 2m = –4⇔ m = –2

Nilai m – n = –2 – 3 = –5Jadi, nilai m – n = –5.

16. Jawaban: cMisalkan titik (x, y) pada garis x – 2y = –1 danbayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

matriks M = 3 02 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠



xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 3 02 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 13 0

2 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔ xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1

3

1 02 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔ xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1

3

x2x 3y

′⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′+⎝ ⎠


x = 1

3x′ . . . (1)

y = 1

3(2x′ + 3y′) . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke dalampersamaan garis x – 2y = –1 sehingga diperoleh:x – 2y = –1

⇔ 1

3x′ – 2( 1

3(2x′ + 3y′))= –1

⇔1

3x′ – 2

3(2x′ + 3y′) = –1

⇔ x′ – 2(2x′ + 3y′) = –3⇔ x′ – 4x′ – 6y′ = –3⇔ –3x′ – 6y′ = –3⇔ x′ + 2y′ = 1Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)dan (x′, y′) memenuhi persamaan x – 2y = –1, makapersamaan bayangan garis x – 2y = –1 adalahx + 2y = 1.Jadi, persamaan bayangan garis x – 2y = –1

setelah ditransformasi oleh matriks M = 3 02 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

adalah x + 2y = 1.

17. Jawaban: bMisalkan titik (x, y) pada parabola x = 2y2 – 1 danbayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

matriks M = 2 30 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠



xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 2 30 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 12 3

0 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔ xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= – 1

2

1 30 2− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔ xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= – 1

2

x 3y2y

′ ′− −⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠



x = – 1

2(–x′ – 3y′) = 1

2(x′ + 3y′) . . . (1)

y = – 1

2× 2y′ = –y′ . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke dalampersamaan parabola x = 2y2 – 1 sehingga diperoleh:x = 2y2 – 1

⇔1

2(x′ + 3y′) = 2(y′)2 – 1

⇔1

2(x′ + 3y′) = 2y′2 – 1

⇔ (x′ + 3y′) = 4y′2 – 2⇔ –4y′2 + x′ + 3y′ = –2⇔ 4y′2 – 3y′ – x′ = 2Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)dan (x′, y′) memenuhi persamaan x = 2y2 – 1,maka persamaan bayangan parabola x = 2y2 – 1adalah 4y2 – 3y – x = 2.Jadi, persamaan bayangan parabola x = 2y2 – 1

setelah ditransformasi oleh matriks M = 2 30 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

adalah 4y2 – 3y – x = 2.

18. Jawaban: dMisalkan bayangan ABCD oleh transformasi

matriks M = 8 61 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah A′B′C′D′ dengan

koordinat titik A′(xA′, yA′), B′(xA′, yA′), C′(xC′, yC′),dan D′(xD′, yD′), maka:

A B C D

A B C D

x x x xy y y y

′ ′ ′ ′⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′ ′ ′⎝ ⎠

= 8 61 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

A B C D

A B C D

x x x xy y y y⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 8 61 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

5 3 1 96 4 2 12

− − −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 40 36 24 24 8 12 72 72

5 6 3 4 1 2 9 12− + − − + − +⎛ ⎞⎜ ⎟− + − − + − +⎝ ⎠

= 4 0 4 01 1 1 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik A′(–4, 1),B′(0, –1), C′(4, 1), dan D′(0, 3).Gambar A′B′C′D′ pada koordinat kartesius sebagaiberikut.

Dari gambar di atas terlihat A′B′C′D′ memiliki duapasang sisi sejajar, yaitu A′B′ sejajar dengan D′B′dan A′D′ sejajar dengan B′C′, dan memiliki empatsisi sama panjang, yaitu panjang A′B′ = B′C′ =C′D′ = A′D′. Hali ini berarti A′B′C′D′ berbentukbelah ketupat.Jadi, bayangan ABCD hasil transformasi matriks

M = 8 61 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

berbentuk belah ketupat.

19. Jawaban: cDiketahui bayangan PQRS oleh transformasi

matriks M = 1 42 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


koordinat titik P′(–8, –6), Q′(–5, 0), R′(1, 2), dan

S′(–2, –4), maka:

P Q R S

P Q R S

x x x xy y y y

′ ′ ′ ′⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′ ′ ′⎝ ⎠

= 1 42 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

P Q R S

P Q R S

x x x xy y y y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

sehingga diperoleh:

P Q R S

P Q R S

x x x xy y y y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 11 4

2 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

P Q R S

P Q R S

x x x xy y y y

′ ′ ′ ′⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′ ′ ′⎝ ⎠

= –15

3 42 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

8 5 1 26 0 2 4

− − −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= –15

24 24 15 0 3 8 6 1616 6 10 0 2 2 4 4

− + − + − − +⎛ ⎞⎜ ⎟− + − + −⎝ ⎠

= –15

0 15 5 1010 10 0 0

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0 3 1 22 2 0 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Y

X

A′

B′

C′

4

3

2

1

0–1

–2

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

D′


Dengan demikian, diperoleh koordinat titik P(0, –2),Q(3, –2), R(1, 0), dan S(–2, 0).Gambar PQRS pada koordinat kartesius sebagaiberikut.

Dari gambar di atas terlihat PQRS memiliki duapasang sisi sejajar, yaitu PQ sejajar dengan SRdan PS sejajar dengan QR. Hali ini berarti PQRSberbentuk jajargenjang.Jadi, bangun PQRS berbentuk jajargenjang.

20. Jawaban: cDiketahui segi empat ABCD dengan koordinat titikA(1, 2), B(3, –1), C(9, 2), dan D(3, 4).Gambar segi empat ABCD pada koordinatkartesius sebagai berikut.

Dari gambar dapat diketahui:LABCD = LABC + LACD

= 12 × AC × BE +

12 × AC × DE

= 12 × 8 × 3 +

12 × 8 × 2

= 4 × 3 + 4 × 2= 12 + 8 = 20 satuan luas


matriks M = 5 61 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


LA′B′C′D′ = | det M| LABCD

= ⏐ 5 61 2

⏐ × 20

= ⏐5 × 2 – 6 × 1⏐ × 20= ⏐10 – 6⏐ × 20= ⏐4⏐ × 20= 4 × 20 = 80 satuan luas

Jadi, bayangan ABCD adalah 80 satuan luas.

21. Jawaban: bp = 4 i + 2 j – 3kq = 3 i – 5 j + kp – 2 q = (4 i + 2 j – 3k) – 2(3 i – 5 j + k)

= (4 i + 2 j – 3k) – (6 i – 10 j + 2k)= (4 – 6) i + (2 – (–10)) j + (–3 – 2) k= –2 i + 12 j – 5k

Jadi, hasil p – 2 q = –2 i + 12 j – 5k.

22. Jawaban: e

3( a – 2b ) + 2(b + c )

= 3 a – 6b + 2b + 2 c

= 3 a – 4b + 2 c= 3(3 i + 4 j – k) – 4( i – 3 j – 3k) + 2(2 i – 3 j – 5k)= (9 i + 12 j – 3k) – (4 i – 12 j – 12k) + (4 i – 6 j – 10k)= (9 – 4 + 4) i + (12 + 12 – 6) j + (–3 + 12 – 10) k= 9 i + 18 j – k

Jadi, hasil 3( a – 2b ) + 2(b + c ) = 9 i + 18 j – k.

23. Jawaban: a2u – 3 w = v⇔ 2u – v = 3 w⇔ 3 w = 2 u – v

= 221

3

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

– 750

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 426

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

– 750

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 336

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ 3 w = 336

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ w = 1

12

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

24. Jawaban: bAD : DB = 2 : 1

⇔ D = 2B A

3+

= 2(4, 5, 2) (1, 1, 2)3+ −

= (8,10, 4) (1, 1, 2)3+ −

= (9, 9, 6)

3= (3, 3, 2)

Y

X

P Q

2

1

0–1

–2

–3

–4

–2 –1 1 2 3RS

Y

X

A

B

C

D5

4

3

2

1

0–1

–2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

E


CD = d – c= (3, 3, 2) – (1, 0, 4)= (2, 3, –2)

| CD | = 2 2 22 3 ( 2)+ + −

= 4 9 4+ +

= 17

Jadi, panjang CD = 17 .

25. Jawaban: d

AB = b – a = 131

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

– 012

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 123

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

AC = c – a = xy7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

– 012

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= x

y 19

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Oleh karena titik A, B, dan C kolinear (segaris)berlaku:

AB = k AC ⇒ 123

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

= k x

y 19

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠


–3 = k × (–9) ⇔ k = 13

1 = kx ⇒ 1 = 13 x

⇔ x = 3

2 = k(y – 1) ⇒ 2 = 13 (y – 1)

⇔ 6 = y – 1⇔ y = 7

Jadi, nilai x dan y berturut-turut adalah 3 dan 7.

26. Jawaban: a

u = AB = b – a = 41

2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

– 135

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 343

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

v = BC = c – b = 634

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

– 41

2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 242

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

u · v = 343

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

· 242

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3 × 2 + (–4) × 4 + (–3) × 2= 6 – 16 – 6= –16

Jadi, nilai u · v = –16.

27. Jawaban: b

cos ( a , b ) = a b| a | | b |

⋅

= 2 2 2 2 2 2

1 11 20 2

( 1) 1 0 ( 1) ( 2) 2

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + + × − + − +

= ( 1) ( 1) 1 ( 2) 0 2

1 1 0 1 4 4

− × − + × − + ×+ + × + +

= 1 2 0

2 3

− +×

= 1

3 2

−

= – 13 2

× 2

2

= –16 2

Jadi, nilai kosinus sudut antara kedua vektor

adalah –16 2 .

28. Jawaban: aOleh karena vektor p tegak lurus dengan vektorq , berlaku:

p · q = 0 ⇒251

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

· x24

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0

⇔ 2 × x + (–5) × (–2) + 1 × 4 = 0⇔ 2x + 10 + 4 = 0⇔ 2x + 14 = 0⇔ x = –7

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –7.

29. Jawaban: b

cos ( u , v ) = u v| u | | v |

⋅

⇒ cos 60° = 2 2 2 2 2 2

3 45 p

4 3

3 ( 5) 4 4 p ( 3)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ − + × + + −

⇔ 12 =

2

3 4 ( 5) p 4 ( 3)

9 25 16 16 p 9

× + − × + × −

+ + × + +


⇔ 12 =

2

12 5p 12

9 25 16 16 p 9

− −

+ + × + +

⇔ 12 =

2

5p

50 25 p

−

× +

⇔ –10p = 50 × 225 p+⇒ 100p2 = 50 × (25 + p2)⇔ 2p2 = 25 + p2

⇔ p2 = 25⇔ p = ±5

Oleh karena nilai 50 × 225 p+ selalu positifmaka nilai –5p juga harus positif sehingga nilai pyang memenuhi adalah –5.

30. Jawaban: b

|3 a + 2b |2 = (3 a )2 + 2(3 ) · (2 ) + (2 )2

= 9 a · a + 12 a · b + 4b · b

= 9| a |2 + 12| a | | b | cos 120° + 4|b |2

= 9 × 4 + 12 × 2 × 3 × (–12 ) + 4 × 9

= 36 – 36 + 36= 36

|3 a + 2b |2 = 36

⇔ |3 a + 2b | = 36 = 6

Jadi, nilai |3 a + 2b | = 6.

31. Jawaban: d

| a – b |2 = a · a – 2 a · b + b · b

⇔ | a – b |2 = | a |2 – 2 a · b + | b |2

⇒ ( 2 19 )2 = 42 – 2 a · b + 62

⇔ 76 = 16 – 2 a · b + 36

⇔ 2 a · b = –24

| a + b |2 = | a |2 + 2 a · b + | b |2

= 42 – 24 + 62

= 16 – 24 + 36= 28

| a + b |2 = 28

⇔ | a + b | = 28 = 2 7

Jadi, nilai | a + b | = 2 7 .

32. Jawaban: e

a + b = (6 i + 4 j – 5k) + (5 i + 4 j – 6k)= 11 i + 8 j – 11k

a – b = (6 i + 4 j – 5k) – (5 i + 4 j – 6k)= i + k

Proyeksi skalar ortogonal ( a + b ) pada ( a – b ):

= (a b) (a b)

| a b |+ ⋅ −

−

= 2 2 2

(11, 8, 11) (1, 0,1)

1 0 1

− ⋅

+ +

= 11 0 11

2+ −

= 0

Jadi, proyeksi skalar ortogonal ( a + b ) pada

( a – b ) adalah 0.

33. Jawaban: c

Proyeksi skalar vektor a pada b adalah 2, diper-oleh:

a b| b |

⋅ = 2 ⇒

2 2 2

x 48 22 4

4 2 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ += 2

⇔x 4 8 2 2 4

16 4 16× + × + ×

+ + = 2

⇔ 4x 16 86

+ += 2

⇔ 4x + 24 = 12⇔ 4x = –12⇔ x = –3

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –3.

34. Jawaban: cMisalkan r merupakan proyeksi vektor q padap sehingga:

r = 2q p

| p |

⋅p

= 2 2 2(1, 0, 2) (2, 5,1)

2 ( 5) 1

⋅ −+ − +

(2 i – 5 j + k)

= 1 2 0 ( 5) 2 14 25 1

× + × − + ×+ +

(2 i – 5 j + k)

= 2 0 2

30+ +

(2 i – 5 j + k)

= 2

15 (2 i – 5 j + k)

Jadi, proyeksi vektor q pada p adalah

215 (2 i – 5 j + k).

35. Jawaban: c

Misalkan p merupakan proyeksi vektor a pada

b sehingga:


p = 2a b

| b |

⋅b

= 2 2 2

1 22 12 1

2 1 ( 1)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + −

(2 i + j – k)

= 1 2 2 1 2 ( 1)

4 1 1× + × + × −

+ + (2 i + j – k)

= 2 2 2

6+ −

(2 i + j – k)

= 13 (2 i + j – k)

= 23

i + 13

j – 13

k

Jadi, proyeksi vektor a pada b adalah 23

i + 13

j

– 13

k .

B. Uraian1. Misalkan: x = tarif sewa satu kamar standar

y = tarif sewa kamar tipe superiorTarif sewa 2 kamar tipe standar dan 5 kamar tipeVIP adalah Rp2.600.000,00, maka:2x + 5y = 2.600.000 . . . (1)Tarif sewa 2 kamar tipe standar dan 2 kamar tipeVIPadalah Rp1.400.000,00, maka:2x + 2y = 1.400.000 . . . (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV:

2x + 5y = 2.600.0002x + 2y = 1.400.000

Menentukan nilai x dan y menggunakan inversmatriks.SPLDV dalam bentuk matriks sebagai berikut.

2 52 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2.600.0001.400.000⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Misalkan A = 2 52 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, X =xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, dan B =

2.600.0001.400.000⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, maka diperoleh kesamaan matriks

AX = B.

det A = 2 52 2

= 2 × 2 – 5 × 2 = 4 – 10 = –6

Adj A = 2 52 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

A–1 = 1

det AAdj A = – 1

6

2 52 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Dengan demikian, diperoleh:X = A–1B

⇔xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= – 16

2 52 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

2.600.0001.400.000⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= – 16

2 2.600.000 5 1.400.0002 2.600.000 2 1.400.000× − ×⎛ ⎞

⎜ ⎟− × + ×⎝ ⎠

= – 16

5.200.000 7.000.0005.200.000 2.800.000

−⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠

= – 16

1.800.0002.400.000

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 300.000400.000⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh nilai x =300.000 dan y = 400.000.Tarif sewa 3 kamar tipe standar dan 1 kamar tipeVIP per hari = 3x + y

= 3 × 300.000 + 400.000= 900.000 + 400.000= 1.300.000

Jadi, tarif sewa 3 kamar tipe standar dan 1 kamartipe VIP per hari adalah Rp1.300.000,00.

2. Misalkan:x = lama selang air A mengalirkan air (menit)y = lama selang air B mengalirkan air (menit)Wadah diisi selama 25 menit, maka:x + y = 25 . . . (1)Volume air dalam wadah 248 liter, maka:8x + 14y = 248 . . . (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh SPLDV:

x + y = 258x + 14y = 248

Menentukan penyelesaian SPL menggunakandeterminan matriks.

Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien 1 18 14⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

D = 1 18 14

= 1 × 14 – 1 × 8 = 14 – 8 = 6

Dx =25 1

248 14 = 25 × 14 – 1 × 248 = 350 – 248 = 102

Dy =1 258 248

= 1 × 248 – 25 × 8 = 248 – 200 = 48


x = xDD =

1026 = 17

y = yD

D =

486 = 8


Hal ini berarti, selang air A mengalirkan air selama17 menit dan selang air B mengalirkan air selama8 menitBanyak air yang dialirkan selang air A= 17 × 8 liter = 136 literJadi, banyak air yang dialirkan selang air A adalah136 liter.

3. Misalkan panjang = p, lebar = l, dan tinggi = t.Jumlah panjang semua rusuk balok sama denganpanjang kawat, maka:4p + 4 + 4t = 68 ⇔ p + + t = 17 . . . (1)Keliling alas balok adalah 22 cm, maka:2(p + ) = 22 ⇔ p + = 11 . . . (2)Panjang balok 1 cm lebih dari tingginya, maka:

p = 1 + t ⇔ p – t = 1 . . . (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh SPLTVsebagai berikut.

p + + t = 17p + = 11p – t = 1

Terlebih dahulu dicari nilai p, , dan t menggunakandeterminan matriks.Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

1 1 11 1 01 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

D = 1 1 1 1 11 1 0 1 11 0 1 1 0−

= 1 × 1 × (–1) + 1 × 0 × 1 + 1 × 1 × 0 – 1 × 1 × 1– 1 × 0 × 0 – 1 × 1 × (–1)

= –1 + 0 + 0 – 1 – 0 + 1= –1

Dp = 17 1 1 17 111 1 0 11 11 0 1 1 0−

= 17 × 1 × (–1) + 1 × 0 × 1 + 1 × 11 × 0 – 1 × 1 × 1– 17 × 0 × 0 – 1 × 11 × (–1)

= –17 + 0 + 0 – 1 – 0 + 11= –7

D = 1 17 1 1 171 11 0 1 111 1 1 1 1−

= 1 × 11 × (–1) + 17 × 0 × 1 + 1 × 1 × 1 – 1 × 11 × 1– 1 × 0 × 1 – 17 × 1 × (–1)

= –11 + 0 + 1 – 11 – 0 + 17= –4

Dt = 1 1 17 1 11 1 11 1 11 0 1 1 0

= 1 × 1 × 1 + 1 × 11 × 1 + 17 × 1 × 0 – 17 × 1 × 1– 1 × 11 × 0 – 1 × 1 × 1

= 1 + 11 + 0 – 17 – 0 – 1= –6


p = pD

D = 7

1−− = 7

= DD

= 41

−− = 4

t = tDD

= 61

−− = 6

Luas permukaan balok = 2(p + pt + t)= 2(7 × 4 + 7 × 6 + 4 × 6)= 2(28 + 42 + 24)= 2 × 94 = 188

Jadi, luas permukaan balok yang terbentuk 188 cm2.

4. a. Bayangan titik P(k – 1, –8) setelah

ditransformasi oleh matriks M = 2k 2 3

k 1+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah P′(k + 2, 4), maka:

P

P

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 2k 2 3

k 1+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

P

P

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ k + 2

4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2k 2 3

k 1+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

k 18−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠

⇔ k + 2

4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= (2k + 2)(k 1) 24

k(k 1) 8− −⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠Dari kesamaan matriks diperoleh:

4 = k(k – 1) – 8⇔ k2 – k – 12 = 0⇔ (k – 4)(k + 3) = 0⇔ (k – 4) = 0 atau (k + 3) = 0⇔ k = 4 atau k = –3Oleh karena k > 0, maka nilai k = 4.Dengan demikian, diperoleh:

M = 2k 2 3

k 1+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 4 2 3

4 1× +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 10 34 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Jadi, matriks M = 10 34 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

b. Menentukan bayangan titik Q(k + 1, k).Titik Q(k + 1, k) = Q(4 + 1, 4) = Q(5, 4)Misalkan bayangan titik Q(5, 4) setelah

ditransformasi oleh matriks M = 10 34 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah Q′(x′, y′), maka:

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +


xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 10 34 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Q

Q

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 10 34 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

54⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 10 5 3 44 5 1 4

× + ×⎛ ⎞⎜ ⎟× + ×⎝ ⎠

= 50 1220 4

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

= 6224⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Jadi, bayangan titik Q(5, 4) setelah ditransfor-masi oleh matriks M adalah Q′(62, 24).

5. Misalkan titik (x, y) pada lingkaran x2 + y2 = 2 danbayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

matriks M = 0 41 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah (x′, y′), maka:

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 0 41 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 10 4

1 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔ xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= –14

2 41 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔ xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= –14

2x 4yx

′ ′−⎛ ⎞⎜ ⎟′−⎝ ⎠


x = –14 (2x′ – 4y′) . . . (1)

y = –14 (–x′) =

14 x′ . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaanlingkaran x2 + y2 = 2 sehingga diperoleh:

x2 + y2 = 2

⇔ (–14 (2x′ – 4y′))2 + (

14 x′)2 = 2

⇔1

16 (2x′ – 4y′)2 + 1

16 x′2 = 2

⇔ 4x′2 – 16x′y′ + 16y′2 + x′2 = 32⇔ 5x′2 + 16y′2 – 16x′y′ = 32Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)dan (x′, y′) memenuhi persamaan x2 + y2 = 2,maka persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 2adalah 5x2 + 16y2 – 16xy = 32 .

Jadi, persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 2

setelah ditransformasi oleh matriks M = 0 41 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah 5x2 + 16y2 – 16xy = 32.

6. a. 2p – 3 q = r + p⇔ r = p – 3 q

= 21

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

– 334⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 21

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

– 9

12⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 7

13−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠

Jadi, vektor r = 7

13−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠.

b. 2 r + p = 2 q – 3p

⇔ 2 r = 2 q – 4p⇔ r = q – 2p

= 34⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

– 221

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 34⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

– 42

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 1

6−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Jadi, vektor r = 1

6−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

7.MB

MA =

12 ⇔ b m

a m−− =

12

⇔ 2(b – m ) = a – m

⇔ 2b – 2m = a – m

⇔ m = 2b – a= 2(1, 0, –1) – (–2, –2, –2)= (2, 0, –2) – (–2, –2, –2)= (4, 2, 0)

Panjang vektor posisi M:

|m | = 2 2 24 2 0+ +

= 16 4 0+ +

= 20

= 2 5

Jadi, panjang vektor posisi M adalah 2 5 .

8. Sudut QPR terbentuk dari vektor PQ dan PR ,sehingga:

PQ = q – p = 515

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

– 324

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 21

1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


PR = r – p = 436

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

– 324

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 112

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Misalkan θ merupakan sudut QPR, diperoleh:

cos θ = PQ PR| | | |PQ PR

⋅

= 2 2 2 2 2 2

2 11 1

1 2

2 ( 1) 1 1 1 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ − + × + +

= 2 1 ( 1) 1 1 2

4 1 1 1 1 4

× + − × + ×+ + × + +

= 2 1 2

6 6

− +×

= 36

= 12

cos θ = 12

⇔ θ = arc cos 12 = 60°

Jadi, besar sudut QPR adalah 60°.

9. Misalkan r merupakan proyeksi vektor u padavektor v , diperoleh:

r = 2u v

| v |

⋅v

= 2 2 2

33

3 p1 3

( 3) p 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ +( 3 i + p j + 3k)

= 2

3 3 3 p 1 3

3 p 9

− × + × + ×+ +

( 3 i + p j + 3k)

= 2

3 3p 3

p 12

− + ++

( 3 i + p j + 3k)

= 23p

p 12+( 3 i + p j + 3k)

Oleh karena panjang proyeksi vektor u pada vektor

v adalah 32 , diperoleh:

| r | = 32

⇒ ( )2

23p 2 2 2

p 12( 3) p 3

+⎛ ⎞ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

=32

⇔2

23p

p 12⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(p2 + 12) = 94

⇔2

29p

p 12+ = 94

⇔ 36p2 = 9p2 + 108⇔ 27p2 = 108 ⇔ p2 = 4 ⇔ p = ±2Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 2 atau –2.

10. a. Proyeksi vektor ortogonal u pada vMisalkan p merupakan proyeksi vektorortogonal u pada v

p = 2u v

| v |

⋅ v

= 2 2 2(4, 2, 2) (2, 6, 4)

2 ( 6) 4

− ⋅ −+ − +

(2 i – 6 j + 4k)

= 4 2 ( 2) ( 6) 2 44 36 16

× + − × − + ×+ +

(2 i – 6 j + 4k)

= 8 12 856

+ + (2 i – 6 j + 4k)

= 12 (2 i – 6 j + 4k)

= i – 3 j + 2k

Jadi, proyeksi vektor ortogonal u pada v

adalah i – 3 j + 2k.

b. Proyeksi vektor ortogonal v pada uMisalkan q merupakan proyeksi vektorortogonal v pada u

q = 2v u

| u |

⋅ u

= 2 2 2(2, 6, 4) (4, 2, 2)

4 + ( 2) + 2

− ⋅ −−

(4 i – 2 j + 2k)

= 2 4 ( 6) ( 2) 4 216 4 4

× + − × − + ×+ +

(4 i – 2 j + 2k)

= 8 12 816 4 4

+ ++ +

(4 i – 2 j + 2k)

= 2824 (4 i – 2 j + 2k)

= 76 (4 i – 2 j + 2k)

Jadi, proyeksi vektor ortogonal v pada u

adalah 76 (4 i – 2 j + 2k).

66 Bunga Majemuk dan Angsuran Anuitas


1. mendeskripsikan dan merancang model matematika dari permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan bunga majemuk;

2. menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan bunga majemuk;

3. mendeskripsikan dan merancang model matematika dari permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan angsuran anuitas;

4. menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan angsuran anuitas.

Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik:

1. menunjukkan perilaku disiplin, sikap kerja sama, sikap kritis, dan cermat dalam bekerja menyelesaikan masalah kontekstual;

2. memiliki dan menunjukkan sikap ingin tahu, motivasi internal, rasa senang dan tertarik, dan percaya diri dalam melakukan

kegiatan belajar ataupun memecahkan masalah nyata.

• Menjelaskan konsep bunga majemuk.

• Menentukan rumusan umum bunga majemuk.

• Menentukan nilai akhir bunga majemuk.

• Menentukan nilai akhir bunga majemuk dengan suku

bunga pecahan.

• Menyelesaikan model matematika dari permasalahan

yang berkaitan dengan bunga majemuk.

• Menjelaskan konsep angsuran anuitas.

• Menentukan rumusan umum angsuran anuitas.

• Menentukan rencana angsuran.

• Menentukan hubungan antarangsuran.

• Menjelaskan sisa pinjaman.

• Menyelesaikan model matematika dari permasalahan

yang berkaitan dengan angsuran anuitas.

Bunga Majemuk Angsuran Anuitas

Bunga Majemuk dan Angsuran Anuitas

Memiliki sikap logis, kritis, kreatif, disiplin, dan rasa ingin tahu,

serta memiliki rasa percaya diri dalam menyelesaikan masalah

yang berkaitan dengan bunga majemuk dan angsuran anuitas.


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: b

Modal awal = M = 20.000.000

Suku bunga = i = 10% = 0,1 per tahun

Periode = t = 8 tahun

Modal akhir setelah 8 tahun:

M8 = M (1 + i)8

= 20.000.000 (1 + 0,1)8

= 20.000.000 (1,1)8

= 20.000.000 × 2,1436

= 42.872.000

Jadi, modal akhir setelah 8 tahun sebesar

Rp42.872.000,00.

2. Jawaban: c

Modal awal = M = 15.000.000

Suku bunga = i = 5% = 0,05 per caturwulan

Periode = t = 3 tahun 4 bulan = 10 caturwulan

Modal yang harus dikembalikan:

M10 = M (1 + i)10

= 15.000.000 (1 + 0,05)10

= 15.000.000 (1,05)10

= 15.000.000 × 1,6289

= 24.433.500

Jadi, modal yang harus dikembalikan Pak Joni

sebesar Rp24.433.500,00.

3. Jawaban: c

Modal awal = M = 12.000.000

Suku bunga = i = 7% = 0,07 per semester

Modal akhir = Mt = 22.062.000

Periode pembungaan:

Mt = M (1 + i)t

⇒ 22.062.000 = 12.000.000 (1 + 0,07)t

⇔ 22.062.000 = 12.000.000 (1,07)t

⇔ 1,07t = 1,8385

⇔ log 1,07t = log 1,8385

⇔ t × log 1,07 = log 1,8385

⇔ t × 0,0294 = 0,2645

⇔ t = 9

Jadi, periode pembungaan pinjaman tersebut

selama 9 semester.

4. Jawaban: d

Suku bunga = i = 10% = 0,1 per tahun


Modal akhir = M4 = 6.588.450

Besar modal semula:

M4 = M (1 + i)4

⇒ 6.588.450 = M (1 + 0,1)4

⇔ 6.588.450 = M (1,1)4

⇔ 6.588.450 = M × 1,4641

⇔ M = 4.500.000

Jadi, uang semula yang ditabungkan sebesar

Rp4.500.000,00.

5. Jawaban: a

Modal awal = M = 9.000.000


Periode = t = 3 tahun 2 bulan = 6�

� semester

Modal akhir:

Mt = M (1 + i)6 (1 + i × �

�)

= 9.000.000 (1 + 0,06)6 (1 + 0,06 × �

�)

= 9.000.000 (1,06)6 (1 + 0,02)

= 9.000.000 × 1,4185 × 1,02

= 13.022.100

Jadi, besarnya modal setelah ditabungkan dalam

periode tersebut adalah Rp13.022.100,00.

6. Jawaban: c

Modal awal = M = 35.000.000

Suku bunga = i = 1,5% = 0,015 per triwulan


Periode investasi:

Mt = M (1 + i)t

⇒ 39.427.500 = 35.000.000 (1 + 0,015)t

⇔ 39.427.500 = 35.000.000 (1,015)t

⇔ 1,015t = 1,1265

⇔ log 1,015t = log 1,1265

⇔ t × log 1,015 = log 1,1265

⇔ t × 0,0065 = 0,0517

⇔ t = 8 triwulan

⇔ t = 8 × 3 bulan

⇔ t = 24 bulan

Jadi, uang tersebut harus diinvestasikan selama

24 bulan.

7. Jawaban: e


Periode = t = 5 tahun = 10 semester

Modal akhir = M10 = 13.321.800

Besar pinjaman semula:

M10 = M (1 + i)10

⇒ 13.321.800 = M (1 + 0,04)10

⇔ 13.321.800 = M (1,04)10

⇔ 13.321.800 = M × 1,4802

⇔ M = 9.000.000

Jadi, pinjaman Pak Wawan semula sebesar

Rp9.000.000,00.


8. Jawaban: b

Modal awal = M = 5.000.000

Suku bunga = i = 1,2% = 0,012 per bulan


Periode pembungaan:

Mt = M (1 + i)t

⇒ 5.371.000 = 5.000.000 (1 + 0,012)t

⇔ 5.371.000 = 5.000.000 (1,012)t

⇔ 1,012t = 1,0742

⇔ log 1,012t = log 1,0742

⇔ t × log 1,012 = log 1,0742

⇔ t × 0,0052 = 0,0311

⇔ t = 6

Jadi, modal tersebut dibungakan selama 6 bulan.

9. Jawaban: e

Modal awal = M = 6.500.000

Periode = t = 2,5 tahun = 5 semester

Modal akhir = M5 = 8.698.300

Besar suku bunga:

M5 = M (1 + i)5

⇒ 8.698.300 = 6.500.000 × (1 + i)5

⇔ (1 + i)5 = 1,3382

⇔ 1 + i = � ��

⇔ 1 + i = 1,06

⇔ i = 1,06 – 1

⇔ i = 0,06

⇔ i = 6%

Jadi, suku bunga yang dibebankan kepada Bu Rita

sebesar 6% per semester.

10. Jawaban: e




� semester

Besar uang yang diinvestasikan:

Mt = M (1 + i)3 (1 + i × �

�)

⇒ 21.866.400 = M (1 + 0,06)3 (1 + 0,06 × �

�)

⇔ 21.866.400 = M (1,06)3 (1 + 0,02)

⇔ 21.866.400 = M × 1,191 × 1,02

⇔ M = 18.000.000

Jadi, uang yang diinvestasikan sebesar

Rp18.000.000,00.

B. Uraian

1. Modal awal = M = 6.000.000


Periode = t = 1 tahun = 12 bulan

a. Jumlah tabungan

Jumlah tabungan setelah 1 tahun:

M12 = M (1 + i)12

= 6.000.000 (1 + 0,018)12

= 6.000.000 (1,018)12

= 6.000.000 × 1,2387

= 7.432.200

Jadi, jumlah tabungan Denada setelah satu

tahun sebesar Rp7.432.200,00.

b. Besar bunga

Bunga merupakan selisih antara modal akhir

dengan moda awal, diperoleh:

B = M12 – M

= 7.432.200 – 6.000.000

= 1.432.200

Jadi, besar bunga yang diterima Denada

selama satu tahun adalah Rp1.432.200,00.

2. Modal awal = M = 20.000.000



Periode pembungaan:

Mt = M (1 + i)t

⇒ 27.372.000 = 20.000.000 (1 + 0,04)t

⇔ 27.372.000 = 20.000.000 (1,04)t

⇔ 1,04t = 1,3686

⇔ log 1,04t = log 1,3686

⇔ t × log 1,04 = log 1,3686

⇔ t × 0,017 = 0,1363

⇔ t = 8 semester

⇔ t = �

� tahun

⇔ t = 4 tahun

Jadi, Pak Junaidi menginvestasikan modalnya

selama 4 tahun.

3. Suku bunga = i = 5% = 0,05 per caturwulan

Periode = t = 4 tahun = 12 caturwulan

Modal akhir = M12 = 21.550.800


M12 = M (1 + i)12

⇒ 21.550.800 = M (1 + 0,05)12

⇔ 21.550.800 = M (1,05)12

⇔ 21.550.800 = M × 1,7959

⇔ M = 12.000.000

Jadi, pinjaman Pak Ali semula sebesar

Rp12.000.000,00.

4. Modal awal = M = 8.000.000

Suku bunga = i = 15% per tahun = 5% per

caturwulan = 0,05 per caturwulan



Periode pembungaan:

Mt = M (1 + i)t

⇒ 14.367.200 = 8.000.000 (1 + 0,05)t

⇔ 14.367.200 = 8.000.000 (1,05)t

⇔ 1,05t = 1,7959

⇔ log 1,05t = log 1,7959

⇔ t × log 1,05 = log 1,7959

⇔ t × 0,0212 = 0,2543

⇔ t = 12 caturwulan

⇔ t = ��

� tahun

⇔ t = 3 tahun

Jadi, modal tersebut dipinjamkan selama 3 tahun.

5. Modal awal = M = 4.500.000

Periode = t = 4 bulan

Modal akhir = M4 = 4.682.700

Besar suku bunga:

M4 = M (1 + i)4

⇒ 4.682.700 = 4.500.000 (1 + i)4

⇔ (1 + i)4 = 1,0406

⇔ 1 + i = � ��

⇔ 1 + i = 1,01

⇔ i = 1,01 – 1

⇔ i = 0,01

⇔ i = 1%

Jadi, suku bunga yang dibebankan atas pinjaman

tersebut sebesar 1% per bulan.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: e

Anuitas = A = 850.000

Bunga pertama = b1 = 275.000

Besar angsuran pertama:

Anuitas merupakan jumlahan antara angsuran

pertama dan bunga pertama, diperoleh:

A = a1 + b1

⇒ 850.00 = a1 + 275.000

⇔ a1 = 850.000 – 275.000

⇔ a1 = 575.000

Jadi, besar angsuran pertamanya adalah

Rp575.000,00.

2. Jawaban: a

Anuitas = A = 928.000

Angsuran ke-8 = a8 = 768.500

Beban bunga ke-8:


ke-8 dan bunga ke-8, diperoleh:

A = a8 + b8

⇒ 928.000 = 768.500 + b8

⇔ b8 = 928.000 – 768.500

⇔ b8 = 159.500

Jadi, besar bunga ke-8 yang dibebankan adalah

adalah Rp159.500,00.

3. Jawaban: d

Pinjaman = M = 9.500.000

Anuitas = A = 850.000

Suku bunga = i = 4% = 0,04 per bulan



A = a1 + b1

⇔ a1 = A – b1

= A – M × i

= 850.000 – 9.500.000 × 0,04

= 850.000 – 380.000

= 470.000

Jadi, angsuran pertamanya sebesar Rp470.000,00.

4. Jawaban: b

Suku bunga = i = 2,5% = 0,025 per periode

Angsuran kelima = a5 = 300.000


Oleh karena sudah diketahui besarnya bunga

pertama, maka untuk menentukan nilai anuitas

perlu ditentukan besarnya angsuran pertama.

Hubungan antara angsuran pertama dan kelima

sebagai berikut.

a5 = a1 (1 + i)4

⇒ 300.000 = a1 (1 + 0,025)4

⇔ 300.000 = a1 (1,025)4

⇔ 300.000 = a1 × 1,1038

⇔ a1 = 271.788,37



A = a1 + b1

= 271.788,37 + 56.000

= 327.788,37

Jadi, besarnya anuitas adalah Rp327.788,37.

5. Jawaban: c

Pinjaman = M = 15.000.000




Besarnya anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= ��

��

� � ��−×

− +

= ��

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 1.375.305,62

Jadi, nilai anuitas dari pinjaman tersebut adalah

Rp1.375.305,62.

6. Jawaban: a

Pinjaman = M = 4.800.000



Besarnya anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= �

��

� � ��−×

− +

= �

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 1.018.027,57

Jadi, besar anuitasnya adalah Rp1.018.027,57.

7. Jawaban: b


Angsuran kedua = a2 = 320.000

Angsuran kelima:

a5 = a2 (1 + i)5 – 2

= a2 (1 + i)3

= 320.000 (1 + 0,015)3

= 320.000 (1,015)3

= 320.000 × 1,0457

= 334.624

Jadi, besar angsuran pada bulan kelima adalah

Rp334.624,00.

8. Jawaban: d

Pinjaman = M = 10.000.000

Anuitas = A = 650.000


Untuk menentukan besar angsuran ke-10, dapat

ditentukan besarnya bunga pertama, diperoleh:

b1 = M × i

= 10.000.000 × 0,02

= 200.000

Dari bunga pertama dapat ditentukan angsuran

pertama, yaitu:

A = a1 + b1

⇒ 650.000 = a1 + 200.000

⇔ a1 = 450.000

Besar angsuran ke-10:

a10 = a1 (1 + i)9

= 450.000 (1 + 0,02)9

= 450.000 (1,02)9

= 450.000 × 1,1951

= 537.795

Jadi, besar angsuran ke-10 adalah Rp537.795,00.

9. Jawaban: c

Pinjaman = M = 15.000.000



Langkah menentukan sisa pinjaman ke-8 dapat

dilakukan dengan menghitung nilai anuitas terlebih

dahulu, yaitu:

A =

� �

� � ��−×

− +

= ��

��

� � ��−×

− +

= ��

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 1.669.449,08

Besarnya angsuran pertama:

a1 = A – b1

= A – M × i

= 1.669.449,08 – 15.000.000 × 0,02

= 1.669.449,08 – 300.000

= 1.369.449,08

Sisa pembayaran setelah t periode:

St = M –

��

�

+ −

Untuk t = 8 diperoleh:

S8 = M – �

��

�

+ −

= 15.000.000 – ��

��

+ −

= 15.000.000 – ��

��

−

= 15.000.000 – ��

��

−

= 15.000.000 – ��

��

×

= 15.000.000 – 11.756.720,35

= 3.243.279,65

Jadi, sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas

ke-8 adalah Rp3.243.279,65.


10. Jawaban: e

Pinjaman = M = 35.000.000



Nilai anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= ��

��

� � ��−×

− +

= ��

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 963.523,74


a1 = A – b1

= A – M × i

= 963.523,74 – 35.000.000 × 0,012

= 963.523,74 – 420.000

= 543.523,74


St = M –

��

�

+ −


S25 = M – ��

��

�

+ −

= 35.000.000 – ��

��

+ −

= 35.000.000 – ��

��

−

= 35.000.000 – ��

��

−

= 35.000.000 – ��

��

×

= 35.000.000 – 15.739.541,64

= 19.260.458,36


ke-25 adalah Rp19.260.458,36.

B. Uraian

1. Pinjaman = M = 3.000.000


Anuitas = A = 200.000

a. Bunga pertama

b1 = M × i

= 3.000.000 × 0,02

= 60.000

Jadi, besar bunga pertama adalah Rp60.000,00.

b. Angsuran ke-6

Besarnya angsuran ke-6 terkait dengan

angsuran pertama, sehingga besar angsuran

pertama harus ditentukan terlebih dahulu.

A = a1 + b1

⇒ 200.000 = a1 + 60.000

⇔ a1 = 140.000

Besar angsuran ke-6:

a6 = a1 (1 + i)5

= 140.000 (1 + 0,02)5

= 140.000 (1,02)5

= 140.000 × 1,1041

= 154.574


2. Anuitas = A = 2.000.000

Angsuran pertama = a1 = 1.640.696,60


a. Periode pinjaman

Hubungan antara anuitas dan angsuran

pertama seperti berikut.

A = a1 (1 + i)t

⇒ 2.000.000 = 1.640.696,60 (1 + 0,02)t

⇔ 2.000.000 = 1.640.696,60 (1,02)t

⇔ 1,02t = 1,2189

⇔ log 1,02t = log 1,2189

⇔ t × log 1,02 = log 1,2189

⇔ t × 0,0086 = 0,086

⇔ t = 10

Jadi, pinjaman tersebut akan lunas selama

10 bulan.

b. Besar pinjaman

Besar pinjaman dapat dikaitkan dengan besar

bunga pertama. Oleh karena diketahui anuitas

dan angsuran pertama, maka besar bunga

pertama sebagai berikut.

A = a1 + b1

⇒ 2.000.000 = 1.640.696,60 + b1

⇔ b1 = 359.303,40

Besar pinjaman:

b1 = M × i

⇒ 359.303,40 = M × 0,02

⇔ M = 17.965.170

Jadi, besar pinjaman semula adalah

Rp17.965.170,00.

3. Suku bunga = i = 1,8% = 0,018 per bulan


Hubungan antara angsuran kedua dan kelima

dinyatakan seperti berikut.

a5 = a2 (1 + i)5 – 2 diperoleh:


a5 = a2 (1 + i)3

= 720.000 (1 + 0,018)3

= 720.000 (1,018)3

= 720.000 × 1,055

= 759.600

Jadi, besar angsuran kelima adalah Rp759.600,00.

4. Pinjaman = M = 12.000.000



Nilai anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= ��

��

� � ��−×

− +

= ��

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 599.000


a1 = A – b1

= A – M × i

= 599.000 – 12.000.000 × 0,015

= 599.000 – 180.000

= 419.000


St = M –

��

�

+ −


S20 = M – ��

��

�

+ −

= 12.000.000 – ��

��

+ −

= 12.000.000 – ��

��

−

= 12.000.000 – ��

��

−

= 12.000.000 – ��

��

×

= 12.000.000 – 9.690.073,33

= 2.309.926,67


ke-20 adalah Rp2.309.926,67.

5. Pinjaman = M = 1.500.000



Nilai anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= �

��

� � ��−×

− +

= �

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 336.889,39

Bunga pertama:

b1 = M × i

= 1.500.000 × 0,04

= 60.000

Angsuran pertama:

a1 = A – b1

= 336.889,39 – 60.000

= 276.889,39

Sisa pinjaman setelah angsuran pertama:

S1 = M – a1

= 1.500.000 – 276.889,39

= 1.223.110,61

Dengan langkah yang sama, diperoleh tabel

pelunasan seperti berikut.

1

2

3

4

5

Bulan

Ke-

1.500.000,00

1.223.109,64

935.143,67

635.659,05

324.195,05

Pinjaman

Awal Bulan

Ke-

Sisa Pinjaman

Bulan Ke-Bunga Angsuran

Anuitas

60.000,00

48.924,39

37.405,75

25.426,36

12.967,80

276.890,36

287.965,97

299.484,61

311.464,00

311.227,25

1.223.109,64

935.143,67

635.659,05

324.195,00

0

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: a

Modal awal = M = 15.000.000



Jumlah uang Pak Roni:

M10 = M (1 + i)10

= 15.000.000 (1 + 0,015)10

= 15.000.000 (1,015)10

= 15.000.000 × 1,1605

= 17.407.500

Jadi, jumlah uang Pak Roni setelah disimpan

selama 10 bulan sebesar Rp17.407.500,00.


2. Jawaban: d



Modal akhir = M4 = 10.884.000


M4 = M (1 + i)4

⇒ 10.884.000 = M (1 + 0,08)4

⇔ 10.884.000 = M (1,08)4

⇔ 10.884.000 = M × 1,3605

⇔ M = 8.000.000

Jadi, besar pinjaman semula adalah Rp8.000.000,00.

3. Jawaban: d

Modal awal = M = 6.000.000



Periode pembungaan:

Mt = M (1 + i)t

⇒ 6.920.400 = 6.000.000 (1 + 0,018)t

⇔ 6.920.400 = 6.000.000 (1,018)t

⇔ 1,018t = 1,1534

⇔ log 1,018t = log 1,1534

⇔ t × log 1,018 = log 1,1534

⇔ t × 0,0077 = 0,0619

⇔ t = 8


selama 8 bulan.

4. Jawaban: b

Modal awal = M = 12.000.000



� semester

Modal akhir:

Mt = M (1 + i)4 (1 + i × �

�)

= 12.000.000 (1 + 0,06)4 (1 + 0,06 × �

�)

= 12.000.000 (1,06)4 (1 + 0,02)

= 12.000.000 × 1,2625 × 1,02

= 15.453.000

Jadi, besar modal akhirnya adalah Rp15.453.000,00.

5. Jawaban: b

Modal awal: M = 12.500.000

Periode: t = 1 tahun = 12 bulan

Modal akhir: M12 = 14.945.000

Besar suku bunga:

M12 = M (1 + i)12

⇒ 14.945.000 = 12.500.000 (1 + i)12

⇔ (1 + i)12 = 1,1956

⇔ 1 + i = ��

⇔ 1 + i = 1,015

⇔ i = 1,015 – 1

⇔ i = 0,015

⇔ i = 1,5%

Jadi, suku bunga yang dibebankan adalah 1,5%.

6. Jawaban: c

Modal awal = M = 2.000.000


Periode = t = 1,5 tahun = 18 bulan


dikurangi modal awal. Besar modal akhirnya seperti

berikut.

M18 = M (1 + i)18

= 2.000.000 (1 + 0,01)18

= 2.000.000 (1,01)18

= 2.000.000 × 1,1961

= 2.392.200

Besar bunga:

B = M18 – M

= 2.392.200 – 2.000.000

= 392.200

Jadi, bunga yang diperoleh Damar sebesar

Rp392.200,00.

7. Jawaban: b

Modal awal = M = 20.000.000



Periode pembungaan:

Mt = M (1 + i)t

⇒ 22.312.000 = 20.000.000 (1 + 0,011)t

⇔ 22.312.000 = 20.000.000 (1,011)t

⇔ 1,011t = 1,1156

⇔ log 1,011t = log 1,1156

⇔ t × log 1,011 = log 1,1156

⇔ t × 0,0048 = 0,048

⇔ t = 10

Jadi, modal tersebut diinvestasikan selama 10

bulan.

8. Jawaban: a

Modal awal = M = 5.000.000


Periode = t = 1 tahun 5 bulan = 17 bulan

Pinjaman yang harus dikembalikan:

M17 = M (1 + i)17

= 5.000.000 (1 + 0,01)17

= 5.000.000 (1,01)17

= 5.000.000 × 1,1843

= 5.921.500

Jadi, jumlah pinjaman yang harus dikembalikan

oleh Rangga sebesar Rp5.921.500,00.

9. Jawaban: c

Modal awal = M = 25.000.000


Modal akhir = M4 = 39.337.500

Besar suku bunga:

M4 = M (1 + i)4

⇒ 39.337.500 = 25.000.000 (1 + i)4

⇔ (1 + i)4 = 1,5735

⇔ 1 + i = � ��


⇔ 1 + i = 1,12

⇔ i = 1,12 – 1

⇔ i = 0,12

⇔ i = 12%

Jadi, besar suku bunga yang diberikan adalah

12%.

10. Jawaban: c



� semester


Besar investasi:

Mt = M (1 + i)4 (1 + i × �

�)

⇒ 17.955.600 = M (1 + 0,09)4 (1 + 0,09 × �

�)

⇔ 17.955.600 = M (1,09)4 (1 + 0,06)

⇔ 17.955.600 = M × 1,4119 × 1,06

⇔ M = 12.000.000

Jadi, uang yang diinvestasikan sebesar

Rp12.000.000,00.

11. Jawaban: b

Pinjaman = M = 3.000.000



Nilai anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= �

��

� � ��−×

− +

= �

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 769.230,77

Jadi, nilai anuitasnya adalah Rp769.230,77.

12. Jawaban: c


Angsuran kelima = a5 = 300.000


Oleh karena nilai anuitas merupakan jumlahan

antara angsuran pertama dan bunga pertama,

maka harus ditentukan nilai angsuran pertama

terlebih dahulu.

Angsuran pertama:

a5 = a1 (1 + i)5 – 1

⇒ 300.000 = a1 (1 + 0,015)4

⇔ 300.000 = a1 (1,015)4

⇔ 300.000 = a1 × 1,0614

⇔ a1 = 282.645,56

Nilai anuitasnya:

A = a1 + b1

= 282.645,56 + 56.000

= 338.645,56

Jadi, nilai anuitasnya adalah Rp338.645,56.

13. Jawaban: b

Pinjaman = M = 12.000.000



Nilai anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= �

��

� � ��−×

− +

= �

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 3.384.094,75

Jadi, nilai anuitasnya sebesar Rp3.384.094,75.

14. Jawaban: c

Pinjaman = M = 5.000.000



Untuk menentukan angsuran pertama diperlukan

nilai anuitas dan bunga pertama seperti berikut.

Nilai anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= ��

��

� � ��−×

− +

= ��

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 467.047,22

Besar bunga pertama:

b1 = M × i

= 5.000.000 × 0,018

= 90.000

Besar angsuran pertama:

A = a1 + b1

⇒ 467.047,22 = a1 + 90.000

⇔ a1 = 377.047,22

Jadi, besar angsuran pertamanya adalah

Rp377.047,22.


15. Jawaban: e

Pinjaman = M = 10.000.000

Anuitas = A = 800.000


Untuk menentukan besar bunga ke-7 diperlukan

nilai angsuran ketujuh.

a7 = a1 (1 + i)6

= (A – b1) (1 + i)6

= (A – M × i) (1 + i)6

= (800.000 – 10.000.000 × 0,012) (1 + 0,012)6

= (800.000 – 120.000) (1,012)6

= 680.000 × 1,0742

= 730.456

Besar bunga ke-7:

A = a7 + b7

⇒ 800.000 = 730.456 + b7

⇔ b7 = 69.544

Jadi, besar bunga ke-7 yang ditanggung adalah

Rp69.544,00.

16. Jawaban: d

Pinjaman = M = 10.000.000

Anuitas = A = 750.000


Nilai angsuran ke-10:

a10 = a1 (1 + i)9

= (A – b1) (1 + i)9

= (A – M × i) (1 + i)9

= (750.000 – 10.000.000 × 0,02) (1 + 0,02)9

= (750.000 – 200.000) (1,02)9

= 550.000 × 1,1951

= 657.305


17. Jawaban: b



Angsuran keenam:

a6 = a2 (1 + i)6 – 2

= a2 (1 + i)4

= 675.000 (1 + 0,015)4

= 675.000 (1,015)4

= 675.000 × 1,0614

= 716.445

Jadi, besar angsuran pada bulan keenam adalah

Rp716.445,00.

18. Jawaban: a

Pinjaman = M = 9.000.000



Untuk menentukan besar bunga ke-11 diperlukan

nilai anuitas dan angsuran ke-11 sebagai berikut.

Nilai anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= ��

��

� � ��−×

− +

= ��

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 799.289,52

Nilai angsuran ke-11:

a11 = a1 (1 + i)10

= (A – b1) (1 + i)10

= (A – M × i) (1 + i)10

= (799.289,52 – 9.000.000 × 0,01) (1 + 0,01)10

= (799.289,52 – 90.000) (1,01)10

= 709.289,52 × 1,1046

= 783.481,20

Besar bunga ke-11:

A = a11 + b11

⇒ 799.289,52 = 783.481,20 + b11

⇔ b11 = 15.808,32

Jadi, besarnya bunga ke-11 adalah Rp15.808,32.

19. Jawaban: d

Pinjaman = M = 12.000.000



Langkah menentukan sisa pinjaman ke-7 dapat

dilakukan dengan menghitung nilai anuitas terlebih

dahulu, yaitu:

Nilai anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= �

��

� � ��−×

− +

= �

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 1.422.060,16


a1 = A – b1

= A – M × i

= 1.422.060,16 – 12.000.000 × 0,013

= 1.422.060,16 – 156.000

= 1.266.449,08



St = M –

��

�

+ −


S7 = M – �

��

�

+ −

= 12.000.000 – ��

��

+ −

= 12.000.000 – ��

��

−

= 12.000.000 – ��

��

−

= 12.000.000 – ��

��

×

= 12.000.000 – 9.215.852,54

= 2.784.147,46


ke-7 adalah Rp2.784.147,46.

20. Jawaban: b

Pinjaman = M = 25.000.000



Nilai anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= ��

��

� � ��−×

− +

= ��

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 1.177.024,48


a1 = A – b1

= A – M × i

= 1.177.024,48 – 25.000.000 × 0,01

= 1.177.024,48 – 250.000

= 927.024,48


St = M –

��

�

+ −


S20 = M – ��

��

�

+ −

= 25.000.000 – ��

��

+ −

= 25.000.000 – ��

��

−

= 25.000.000 – ��

��

−

= 25.000.000 – ��

��

×

= 25.000.000 – 20.413.079,05

= 4.586.920,95


ke-20 adalah Rp4.586.920,95.

B. Uraian

1. Modal awal = M = 5.000.000



a. Jumlah uang Feri

M24 = M (1 + i)24

= 5.000.000 (1 + 0,011)24

= 5.000.000 (1,011)24

= 5.000.000 × 1,3003

= 6.501.500

Jadi, jumlah uang Feri setelah 2 tahun adalah

Rp6.501.500,00.

b. Besar bunga


dan modal awal, diperoleh:

B = M24 – M

= 6.501.500 – 5.000.000

= 1.501.500

Jadi, besar bunga yang diperoleh Feri adalah

Rp1.501.500,00.

2. Modal awal = M = 15.000.000



� semester

Modal akhir:

Mt = M (1 + i)3 (1 + i × �

�)

= 15.000.000 (1 + 0,08)3 (1 + 0,08 × �

�)

= 15.000.000 (1,08)3 (1 + 0,04)

= 15.000.000 × 1,2597 × 1,04

= 19.651.500

Jadi, nilai akhir modal yang diinvestasikan adalah

Rp19.651.500,00.

3. Suku bunga = i = 1,8% = 0,018 per bulan


Modal akhir = M36 = 22.808.400


M36 = M (1 + i)36

⇒ 22.808.400 = M (1 + 0,018)36

⇔ 22.808.400 = M (1,018)36

⇔ 22.808.400 = M × 1,9007

⇔ M = 12.000.000

Jadi, jumlah pinjaman Bu Dewi semula adalah

Rp12.000.000,00.


4. Modal awal = M = 15.000.000


Modal akhir = M24 = 21.442.500

Besar suku bunga:

M24 = M (1 + i)24

⇒ 21.442.500 = 15.000.000 (1 + i)24

⇔ (1 + i)24 = 1,4295

⇔ 1 + i = ��

⇔ 1 + i = 1,015

⇔ i = 1,015 – 1

⇔ i = 0,015

⇔ i = 1,5%

Jadi, besar suku bunga yang diberikan adalah

1,5% per bulan.

5. Modal awal = M = 12.000.000



Periode pembungaan:

Mt = M (1 + i)t

⇒ 14.341.200 = 12.000.000 (1 + 0,02)t

⇔ 14.341.200 = 12.000.000 (1,02)t

⇔ 1,02t = 1,1951

⇔ log 1,02t = log 1,1951

⇔ t × log 1,02 = log 1,1951

⇔ t × 0,0086 = 0,0774

⇔ t = 9


selama 9 bulan.

6. Pinjaman = M = 20.000.000



Nilai anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= ��

��

� � ��−×

− +

= ��

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 1.799.100,45

Jadi, nilai anuitasnya adalah Rp1.799.100,45.

7. Pinjaman = M = 6.500.000

Anuitas = A = 700.000


a. Bunga bulan pertama

b1 = M × i

= 6.500.000 × 0,01

= 65.000

Jadi, besar bunga bulan pertama adalah

Rp65.000,00.

b. Angsuran bulan ketujuh

Angsuran bulan ketujuh berkaitan dengan nilai

angsuran bulan pertama.

Angsuran bulan pertama:

A = a1 + b1

⇒ 700.000 = a1 + 65.000

⇔ a1 = 635.000

Besar angsuran bulan ketujuh:

a7 = a1 (1 + i)6

= 635.000 (1 + 0,01)6

= 635.000 (1,01)6

= 635.000 × 1,0615

= 674.052,50

Jadi, besar angsuran bulan ketujuh adalah

Rp674.052,50.

8. Anuitas = A = 1.000.000

Angsuran pertama = a1 = 835.500


Besar pinjaman semula berkaitan dengan besarnya

bunga bulan pertama, yaitu:

A = a1 + b1

⇒ 1.000.000 = 835.500 + b1

⇔ b1 = 164.500

Besar pinjaman:

b1 = M × i

⇒ 164.500 = M × 0,01

⇔ M = 16.450.000

Jadi, besar pinjaman semula adalah Rp16.450.000,00.

9. Pinjaman = M = 8.500.000



Nilai anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

= ��

��

� � ��−×

− +

= ��

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 774.235,52


a1 = A – b1

= A – M × i

= 774.235,52 – 8.500.000 × 0,014

= 774.235,52 – 119.000

= 655.235,52


St = M –

��

�

+ −



S9 = M – �

��

�

+ −

= 8.500.000 – ��

��

+ −

= 8.500.000 – ��

��

−

= 8.500.000 – ��

��

−

= 8.500.000 – ��

��

×

= 8.500.000 – 6.238.778,20

= 2.261.221,80


ke-9 adalah Rp2.261.221,80.

10. Pinjaman = M = 4.500.000

Suku bunga = t = 2% = 0,02 per bulan


Nilai anuitas:

A =

� �

� � ��−×

− +

=

��

� � ��−×

− +

=

��

� ��−−

= ��

� ��−

= ��

��

= 803.571,43

Bunga pertama:

b1 = M × i

= 4.500.000 × 0,02

= 90.000

Angsuran pertama:

a1 = A – b1

= 803.571,43 – 60.000

= 743.571,43

Sisa pinjaman setelah angsuran pertama:

S1 = M – a1

= 4.500.000 – 743.571,43

= 3.756.428,57

Dengan langkah yang sama, diperoleh tabel

pelunasan seperti berikut.


Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. menjelaskan konsep komposisi transformasi geometri;2. menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi transformasi geometri.

Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik mampu menunjukkan perilaku cermat, teliti, bertanggungjawab, tangguh, konsisten dan jujur, serta responsif dalam memecahkan masalah nyata sehari-hari.

Konsep Komposisi TransformasiGeometri

• Mengingat kembali konsep translasi,refleksi, rotasi, dilatasi, dan transformasilinear

• Menjelaskan konsep komposisi transfor-masi geometri

• Menyajikan komposisi transformasigeometri dalam bentuk matriks

• Menjelaskan beberapa komposisitransformasi geometri khusus

Komposisi Transformasi Geometri

• Menunjukkan sikap cermat, teliti, bertanggungjawab, konsisten dan jujur, sertaresponsif dalam menyelesaikan masalah nyata sehari-hari.

• Memecahkan masalah dengan menggunakan konsep dan aturan komposisibeberapa transformasi geometri koordinat.

• Menjelaskan cara menentukan persamaanbayangan kurva oleh komposisi trans-formasi geometri

• Menentukan persamaan bayangan kurvaoleh komposisi transformasi geometri

Komposisi Transformasi Geometripada Kurva

80 Komposisi Transformasi Geometri

A. Pilihan Ganda1. Jawaban: c

Diketahui T = x 1y 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

, B(6, –5), dan B′(–2, 4).

B(6, –5)

x 1T

y 2−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ B′(x′, y′) = B′(–2, 4)

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 6 (x 1)5 (y 2)

+ −⎛ ⎞⎜ ⎟− + +⎝ ⎠

⇔2

4−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 5 x3 y+⎛ ⎞

⎜ ⎟− +⎝ ⎠5 + x = –2⇔ x = –7–3 + y = 4⇔ y = 7x + y = –7 + 7 = 0Jadi, nilai x + y = 0.

2. Jawaban: aDiketahui persamaan lingkaran x2 + (y – 5)2 = 16sehingga titik pusatnya adalah (0, 5).

R[O(0,0), 90 ](0,5) ( 5,0)°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −Jadi, bayangan titik pusatnya adalah (–5, 0).

3. Jawaban: aPerpotongan garis 3x + 5y = –9 dan –2x + 3y= –13 sebagai berikut.3x + 5y = –9 × 2 6x + 10y = –18

–2x + 3y = –13 × 3 –6x + 9y = –39–––––––––––– +

19y = –57⇔ y = –3

y = –3 ⇒ 3x + 5y = –9⇔ 3x – 15 = –9⇔ 3x = 6⇔ x = 2

Diperoleh titik potong A(2, –3).

A(2, –3)

6T

1−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ A′(2 – 6, –3 + 1) = A′(–4, –2)

Jadi, bayangan titik A adalah A′(–4, –2).

4. Jawaban: eAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaan3x – 4y – 12 = 0.

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 1 32 7⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 11 3 x

2 7 y

− ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟′⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1

7 6−

7 3 x2 1 y

′−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟′−⎝ ⎠⎝ ⎠

⇔xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 7 3 x2 1 y

′−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟′−⎝ ⎠⎝ ⎠

⇔xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 7x 3y

2x y

′ ′−⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′− +⎝ ⎠

Diperoleh:x = 7x′ – 3y′y = –2x′ + y′Substitusikan x = 7x′ – 3y′ dan y = –2x′ + y′ kedalam persamaan 3x – 4y – 12 = 0.3x – 4y – 12 = 0⇔ 3(7x′ – 3y′) – 4(–2x′ + y′) + 12= 0⇔ 21x′ – 9y′ + 8x′ – 4y′ – 12 = 0⇔ 29x′ – 13y′ – 12 = 0⇔ 29x – 13y – 12 = 0Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah29x – 13y – 12 = 0.

5. Jawaban: dMisalkan T1 adalah matriks transformasi refleksiterhadap sumbu X dan T2 adalah matriks rotasi

32 π berlawanan arah jarum jam dan berpusat di

titik O(0, 0).

T1 = 1 00 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

T2 = 0 11 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

T2 T1 = 0 1 1 01 0 0 1

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

Jadi, perkalian matriksnya adalah 0 1 1 01 0 0 1

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

.

6. Jawaban: e

T1 = ab⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dilanjutkan T2 = cd⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dapat diwakili oleh

T = a cb d

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

, sehingga:

T = 5 8

4 ( 10)− +⎛ ⎞

⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ =

36

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Jadi, translasi tersebut dapat diwakili oleh T = 36

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

.


7. Jawaban: a

A(–5, –10) y xM = −⎯⎯⎯⎯→ A′(10, 5)

A′(10, 5) 2

T9⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ A′′(10 + 2, 5 + 9) = A′′(12, 14)

Jadi, bayangan titik A adalah A′′(12, 14).

8. Jawaban: b

P(8, 12) 12

[O(0, 0), ]⎯⎯⎯⎯⎯→ P′( 1

2 × 8, 12 × 12) = P′(4, 6)

P′(4, 6) xM⎯⎯⎯→ P′′(4, –6)Jadi, bayangan titik P adalah P′′(4, –6).

9. Jawaban: bRotasi 35° berlawanan arah jarum jam denganpusat titik O(0, 0) dilanjutkan dengan rotasi 55°berlawanan arah jarum jam dengan titik pusatO(0, 0) dapat diwakili oleh rotasi (35° + 55°) = 90°berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat O(0, 0).

C(–5, –1) R[O(0, 0), 90 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ C′′(–(–1), –5) = C′′(1, –5)Jadi, bayangan titik C adalah C′′(1, –5).

10. Jawaban: aKedua rotasi tersebut berlawanan arah sehinggakedua rotasi dapat diwakili oleh rotasi 120° – 30°= 90° berlawanan arah jarum jam.

D(4, –9) R[O(0, 0), 90 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ D′′(–(–9), 4) = D′′(9, 4)Jadi, bayangan titik D adalah D′′(9, 4).

B. Uraian

1. a. A(–5, –6) 4

T8⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ A′(–5 + 4, –6 + 8)

= A′(–1, 2)Jadi, bayangannya adalah A′(–1, 2).

b. A(–5, –6) y xM = −⎯⎯⎯⎯→ A′(–(–6), –(–5))= A′(6, 5)

Jadi, bayangannya adalah A′(6, 5).c. Misalkan A′(x′, y′) adalah bayangan titik

A(–5, –6) oleh dilatasi dengan faktor skala 2dan titik pusat (1, 1).x′ = kx – ka + a

= 2 × (–5) – 2 × 1 + 1= –10 – 2 + 1= –11

y′ = ky – kb + b= 2 × (–6) – 2 × 1 + 1= –12 – 2 + 1= –13

Jadi, bayangannya adalah A′(–11, –13).

2. Diketahui persamaan lingkaran (x – 5)2 + (y + 1)2

= 36.Titik pusat lingkaran adalah (5, –1).Misalkan bayangan titik pusat tersebut adalahA′(x′, y′).x ′ = x cos α – y sin α

= 5 × cos (–90°) – (–1) × sin (–90°)= 5 × 0 – (–1) × (–1)= –1

y ′ = x sin α – y cos α= 5 × sin (–90°) – (–1) × cos (–90°)= 5 × (–1) + (–1) × 0= –5

Cara lain:Rotasi 90° searah jarum jam sama dengan rotasi270° berlawanan arah jarum jam.

A(5, –1) R[O(0, 0), 270 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ A′(–1, –5)Jadi, bayangannya adalah A′(–1, –5).

3. a. Komposisi transformasi T R berarti

transformasi R dikerjakan terlebih dahulu.

B(4, –9) 32

R[O[0, 0), ]π⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B′(–9, –4)

B′(–9, –4) 5

T1

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ B′′(–9 – 5, –4 + 1)

= B′′(–14, –3)Jadi, bayangan titik B adalah B′′(–14, –3).

b. Komposisi transformasi R T berartitransformasi T dikerjakan terlebih dahulu.

B(4, –9) 5

T1

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ B′(4 – 5, –9 + 1)

= B′(–1, –8)

B′(–1, –8) 32

R[O[0, 0), ]π⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B′′(–8, 1)

4. Komposisi refleksi tersebut dapat diwakili olehrotasi dengan pusat O(0, 0) dan sudut putar 180°.

A(1,1) 180R[O[0, 0), ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ A′′(x′′, y′′)x′′ = x cos 180° – y sin 180°

= 1 × (–1) – 1 × 0= –1

y′′ = x sin 180° + y cos 180°= 1 × 0 + 1 × (–1)= –1

Diperoleh A′′(–1, –1).

B(5,1) 180R[O[0, 0), ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B′′(x′′, y′′)x′′ = x cos 180° – y sin 180°

= 5 × (–1) – 1 × 0= –5


A. Pilihan Ganda1. Jawaban: b

Ambil titik (x, y) yang terletak pada garis 3x – 5y= 20.

(x, y) y xM =⎯⎯⎯⎯→ (y, x)

(y, x) 2

T1

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (y + 2, x + 1)

Diperoleh:x′ = y + 2 ⇔ y = x′ – 2y′ = x + 1 ⇔ x = y′ – 1Substitusikan x = y′ – 1 dan y = x′ – 2 ke dalampersamaan 3x – 5y = 20.

3x – 5y = 20⇔ 3(y′ – 1) – 5(x′ – 2) = 20⇔ 3y′ – 3 – 5x′ + 10 = 20⇔ 3y′ – 5x′ = 13⇔ –5x + 3y = 13Jadi, persamaan bayangan garis k adalah –5x +3y = 13.

2. Jawaban: dAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaany = x2 + 3x – 3.

(x, y) R[O(0, 0), 90 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (–y, x)

(–y, x) Mx⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (–y, –x)Diperoleh:x′ = –y ⇔ y = –x′y′ = –x ⇔ x = –y′

Substitusikan x = –y′ dan y = –x′ ke dalampersamaan y = x2 + 3x – 3.y = x2 + 3x – 3⇔ –x′ = (–y′)2 + 3(–y′) – 3⇔ –x′ = (y′)2 – 3y′ – 3⇔ –x = y2 – 3y – 3⇔ x = –y2 + 3y + 3Jadi, persamaan bayangannya adalah x = –y2 +3y + 3.

3. Jawaban: aPersamaan garis yang melalui titik A(2, 1) danB(8, –5) sebagai berikut.

A

B A

x xx x

−− = A

B A

y yy y

−−

⇔ x 28 2

−− =

y 15 1−

− −

⇔ x 26−

= y 1

6−

−

⇔ –x + 2 = y – 1⇔ x + y = 3Ambil titik (x, y) yang terletak pada garis x + y = 3.

(x, y) yM⎯⎯⎯→ (–x, y)

(–x, y) [O(0, 0), 2]⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (–2x, 2y)Diperoleh

x′ = –2x ⇔ x = –x2′

y′ = 2y ⇔ y = y2′

y′′ = x sin 180° + y cos 180°= 5 × 0 + 1 × (–1)= –1

Diperoleh B′′(–5, –1).

C(5,4) 180R[O[0, 0), ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ C′′(x′′, y′′)x′′ = x cos 180° – y sin 180°

= 5 × (–1) – 4 × 0= –5

y′′ = x sin 180° + y cos 180°= 5 × 0 + 4 × (–1)= –4

Diperoleh C′′(–5, –4).Jadi, bayangan titik A, B, dan C adalah A′′(–1, –1),B′′(–5, –1), dan C′′(–5, –4).

5. Untuk titik A(–5, 3) diperoleh:

A(–5, 3) 3

T7⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ A′(–5 + 3, 3 + 7) = A′(–2, 10)

A′(–2, 10) yM⎯⎯⎯→ A′′(–2(–2), 10) = A′′(2, 10)

Untuk titik B(2, 1) diperoleh:

B(2, 1) 3

T7⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ B′(2 + 3, 1 + 7) = B′(5, 8)

B′(5, 8) yM⎯⎯⎯→ B′′(–5, 8)

Persamaan garis yang melaui titik A′′(2, 10) danB′′(–5, 8) sebagai berikut.

1

2 1

x xx x

−− = 1

2 1

y yy y

−−

⇔ x 25 2−

− − = y 108 10

−−

⇔ x 27

−− =

y 102

−−

⇔ 2x – 4 = 7y – 70⇔ 2x – 7y = –66Jadi, persamaan garis lurus tersebut adalah2x – 7y = –66.


Substitusikan x = –x2′ dan y =

y2′ ke dalam

persamaan x + y = 3.x + y = 3

⇔ –x2′ +

y2′

= 3

⇔ –x′ + y′ = 6⇔ –x + y = 6Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah–x + y = 6.

4. Jawaban: a

Ambil titik (x, y) yang terletak pada elips 2x

4 +

2y9

= 1.

(x, y) y xM =⎯⎯⎯⎯→ (y, x)

(y, x)

2T

1−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (y – 2, x + 1)

Diperoleh:x′ = y – 2 ⇔ y = x′ + 2y′ = x + 1 ⇔ x = y′ – 1Substitusikan x = y′ – 1 dan y = x′ + 2 ke dalam

persamaan 2x

4 +

2y9

= 1.

2x4

+ 2y

9 = 1

⇔2(y 1)

4′ − +

2(x 2)9

′ + = 1

⇔2(x 2)

9+ +

2(y 1)4− = 1

Jadi, persamaan bayangan elips tersebut adalah2(x 2)

9+ +

2(y 1)4− = 1.

5. Jawaban: e

Translasi T1 = 6

3−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dilanjutkan T2 = 52⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dapat

diwakili oleh T = 6 5

3 2− +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

= 1

5−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(x, y) 1

T5−⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (x – 1, y + 5)Diperoleh:x′ = x – 1 ⇔ x = x′ + 1y′ = y + 5 ⇔ y = y′ – 5Substitusikan x = x′ + 1 dan y = y′ – 5 ke dalampersamaan (x – 1)2 + (y + 2)2 = 16.(x – 1)2 + (y + 2)2 = 16⇔ (x′ + 1 – 1)2 + (y′ – 5 + 2)2 = 16⇔ (x′)2 + (y′ – 3)2 =16⇔ x2 + (y – 3)2 = 16Jadi, persamaan bayangannya adalah x2 + (y – 3)2

= 16.

6. Jawaban: aAmbil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran x2 + y2

= 4

(x, y) x 2M =⎯⎯⎯⎯→ (4 – x, y)

(4 – x, y) 3

T4

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (4 – x – 3, y + 4)

= (1 – x, y + 4)Diperoleh:x′ = 1 – x ⇔ x = 1 – x′y′ = y + 4 ⇔ y = y′ – 4Substitusikan x = 1 – x′ dan y = y′ – 4 ke dalampersamaan x2 + y2 = 4.x2 + y2 = 4⇔ (1 – x′)2 + (y′ – 4)2 = 4⇔ 1 – 2x′ + (x′)2 + (y′)2 – 8y′ + 16 = 4⇔ (x′)2 + (y′)2 – 2x′ – 8y′ + 17 = 4⇔ (x′)2 + (y′)2 – 2x′ – 8y′ + 13 = 0⇔ x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0Jadi, persamaan bayangan adalah x2 + y2 – 2x –8y + 13 = 0.

7. Jawaban: bPersamaan garis dengan gradien –2 dan melaluititik A(1, 3) sebagai berikut.

y – yA = m(x – xA)⇔ y – 3 = –2(x – 1)⇔ y – 3 = –2x + 2⇔ 2x + y = 5Ambil titik (x, y) yang terletak pada garis 2x + y = 5.

(x, y) y 4M =⎯⎯⎯⎯→ (x, 8 – y)

(x, 8 – y) 2

T5

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (x + 2, 8 – y – 5)

= (x + 2, –y + 3)Diperoleh:x′ = x + 2 ⇔ x = x′ – 2y′ = –y + 3 ⇔ y = –y′ + 3Substitusikan x = x′ – 2 dan y = –y′ + 3 ke dalampersamaan 2x + y = 5.2x + y = 5⇔ 2(x′ – 2) + (–y′ + 3) = 5⇔ 2x′ – 4 – y′ + 3 = 5⇔ 2x′ – y′ = 6⇔ 2x – y = 6Jadi, persamaan bayangannya adalah 2x – y = 6.

8. Jawaban: c

Translasi T1 = 21

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dilanjutkan translasi T2 = ab⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dapat diwakili oleh translasi T = 2 a1 b

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

.


Ambil titik (x, y) yang terletak pada garis 2x + y = 3.

(x, y)

2 aT

1 b+⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (x + a + 2, y + b + 1)Diperoleh:x′ = x + a + 2 ⇔ x = x′ – a – 2y′ = y + b + 1 ⇔ y = y′ – b – 1Substitusikan x = x′ – a – 2 dan y = y′ – b – 1 kedalam persamaan 2x + y = 3.2x + y = 3⇔ 2(x′ – a – 2) + (y′ – b – 1) = 3⇔ 2x′ – 2a – 4 + y′ – b – 1 = 3⇔ 2x′ + y′ – 2a – b – 5 = 3⇔ 2x′ + y′ = 2a + b + 8⇔ 2x + y = 2a + b + 8Diketahui persamaan bayangan garis adalah2x + y = 10 sehingga diperoleh:

2x + y = 2a + b + 8⇔ 10 = 2a + b + 8⇔ 2a + b = 2Jadi, nilai 2a + b = 2.

9. Jawaban: e

Translasi T1 = 22

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

dilanjutkan T2 = 31

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

dapat

diwakili oleh T = 2 32 1+⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠ =

53

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaanlingkaran (x – 1)2 + (y + 5)2 = 9.

(x, y)

5T

3⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x + 5, y – 3)

(x + 5, y – 3) xM⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (x + 5, –y + 3)Diperoleh:x′ = x + 5 ⇔ x = x′ – 5y′ = –y + 3 ⇔ y = –y′ + 3Substitusikan x = x′ – 5 dan y = –y′ + 3 ke dalampersamaan (x – 1)2 + (y + 5)2 = 9.(x – 1)2 + (y + 5)2 = 9⇔ ((x′ – 5) – 1)2 + ((–y′ + 3) + 5)2 = 9⇔ (x′ – 6)2 + (–y′ + 8)2 = 9⇔ (x′ – 6)2 + (–(y′ – 8))2 = 9⇔ (x′ – 6)2 + (y′ – 8)2 = 9⇔ (x – 6)2 + (y – 8)2 = 9Jadi, persamaan bayangannya adalah (x – 6)2 +(y – 8)2 = 9.

10. Jawaban: cRotasi 64° berlawanan arah jarum jam dan berpusatdi titik O(0, 0) dilanjutkan rotasi 26° berlawananarah jarum jam berpusat di titik O(0, 0) dapatdiwakili rotasi (64° + 26°) = 90° berlawanan arahjarum jam dan berpusat di titk O(0, 0).Ambil titik (x, y) yang terletak pada elips

2(x 2)5

+ + 2(y 1)

4− = 1.

(x, y) R[O(0, 0), 90 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (–y, x)

(–y, x) yM⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (y, x)

Diperoleh y = x′ dan x = y′.Substitusikan x = y′ dan y = x′ ke persamaan

2(x 2)5

+ + 2(y 1)

4− = 1.

2(x 2)5

+ + 2(y 1)

4− = 1

⇔2(y 2)

5′ + +

2(x 1)4

′ − = 1

⇔2(x 1)

4− +

2(y 2)5

+ = 1

Jadi, persamaan bayangannya adalah 2(x 1)

4− +

2(y 2)5

+ = 1.

B. Uraian1. Ambil titik (x, y) yang terletak pada garis 2x – 5y = 10.

(x, y) 2

T3

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x + 2, y – 3)

(x + 2, y – 3) y xM = −⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′)= (–(y – 3), –(x + 2))= (–y + 3, –x – 2)

Diperoleh:x′ = –y + 3 ⇔ y = –x′ + 3y′ = –x – 2 ⇔ x = –y′ – 2Substitusikan x = –y′ – 2 dan y = –x′ + 3 ke dalampersamaan 2x – 5y = 10.2x – 5y = 10⇔ 2(–y′ – 2) – 5(–x′ + 3) = 10⇔ –2y′ – 4 + 5x′ – 15 = 10⇔ 5x′ – 2y′ = 29⇔ 5x – 2y = 29Jadi, persamaan bayangannya adalah 5x – 2y = 29.

2. Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaany = x2 – 3x + 7.

(x, y) yM⎯⎯⎯→ (–x, y)

(–x, y) R[O(0, 0), 90 ]− °⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (y, x)Diperoleh y = x′ dan x = y′.Substitusikan x = y′ dan y = x′ ke dalam persamaany = x2 – 3x + 7.y = x2 – 3x + 7⇔ x′ = (y′)2 – 3(y′) + 7⇔ x′ = (y′)2 – 3y′ + 7⇔ x = y2 – 3y + 7Jadi, persamaan bayangannya adalahx = y2 – 3y + 7.


3. Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan(x – 3)2 + (y + 1)2 = 16.

(x, y) 2

T1

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x + 2, y – 1)

(x + 2, y – 1) [O(0, 0), 2]⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′)

= (2(x + 2), 2(y – 1))= (2x + 4, 2y – 2)

Diperoleh:

x′ = 2x + 4 ⇔ x = x 4

2′ −

y′ = 2y – 2 ⇔ y = y 2

2′ +

Substitusikan x = x 4

2′ −

dan y = y 2

2′ +

ke dalam

persamaan (x – 3)2 + (y + 1)2 = 16.(x – 3)2 + (y + 1)2 = 16

⇔2x 4

23′ −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

− + 2y 2

21

′ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = 16

⇔2x 4 6

2′ − −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 2y 2 2

2′ + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 16

⇔2x 10

2′ −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 2y 4

2′ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 16

⇔2(x 10)

4′ − +

2(y 4)4

′ + = 16

⇔ (x′ – 10)2 + (y′ + 4)2 = 64⇔ (x – 10)2 + (y – 4)2 = 64Jadi, persamaan bayangannya adalah (x – 10)2 +(y – 4)2 = 64.

4. Ambil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran(x – 2)2 + y2 = 16.

Titik (x, y) ditransformasikan oleh matriks 1 01 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

sehingga diperoleh:

1 0 x1 2 y⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= x

x 2y⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

Diperoleh titik (x, x + 2y).Titik (x, x + 2y) direfleksikan terhadap sumbu Xsehingga diperoleh:

(x, x + 2y) xM⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (x, –x – 2y)

Diperoleh:x = x′y′ = –x – 2y⇔ 2y = –x – y′⇔ 2y = –x′ – y′

⇔ y = x y

2′ ′− −

Substitusikan x = x′ dan y = x y

2′ ′− −

ke dalam

persamaan (x – 2)2 + y2 = 16.

(x – 2)2 + y2 = 16

⇔ (x′ – 2)2 + 2x y

2′ ′− −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 16

⇔ (x′)2 – 2x′ + 4 + 2 2(x ) 2x y (y )

4′ ′ ′ ′+ + = 16

⇔ 4(x′)2 – 8x′ + 16 + (x′)2 + 2x′y′ + 4(y′)2 = 64⇔ 4x2 – 8x + 16 + x2 + 2xy + 4y2 = 64⇔ 5x2 + 4y2 – 8x + 2xy + 16 = 64⇔ 5x2 + 4y2 – 8x + 2xy – 48 = 0Jadi, persamaan bayangannya adalah 5x2 + 4y2 –8x + 2xy – 48 = 0.

5. Komposisi transformasi N M berarti transformasiM dikerjakan terlebih dahulu.Ambil (x, y) yang terletak pada persamaan y = x + 2.

Titik (x, y) ditransformasi oleh matriks 1 02 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

sehingga diperoleh: 1 0 x x2 1 y 2x y⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠Titik (x, 2x + y) ditransformasi oleh matriks

0 11 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

sehingga:

0 1 x1 2 2x y

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎝ ⎠

= 2x y

x 4x 2y− −⎛ ⎞

⎜ ⎟− + +⎝ ⎠

⇔xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 2x y

3x 2y− −⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

Diperoleh:x′ = –2x – y⇔ y = –2x – x′ . . . (1)y′ = 3x + 2y

⇔ y = y 3x

2′ −

. . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

–2x – x′ = y 3x

2′ −

⇔ –4x – 2x′= y′ – 3x⇔ –x = 2x′ + y′⇔ x = –2x′ – y′ . . . (3)Substitusikan persamaan (3) ke dalam per-samaan (1).y = –2x – x′

= –2(–2x′ – y′) – x′= 4x′ + 2y′ – x′= 3x′ + 2y′ . . . (4)

Substitusikan x = –2x′ – y′ dan y = 3x′ + 2y′ kedalam persamaan y = x + 2.y = x + 2⇔ 3x′ + 2y′ = (–2x′ – y′) + 2⇔ 5x′ + 3y′ = 2⇔ 5x + 3y = 2Jadi, persamaan bayangannya adalah 5x + 3y = 2.



Misalkan translasi tersebut T = ab⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

C(6, –2) a

Tb⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ C′(6 + a, –2 + b) = C′(4, 8)

Diperoleh:6 + a = 4 ⇔ a = –2–2 + b = 8 ⇔ b = 10

Jadi, translasinya adalah T 2

10−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2. Jawaban: a

A(4, –2) y xM = −⎯⎯⎯⎯→ A′(2, –4)

Diperoleh:a + 3 = 2 ⇔ a = –1b – 2 = –4 ⇔ b = –2Jadi, nilai a = –1 dan b = –2.

3. Jawaban: a

C(–5, –4) a

Tb⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ C′(–5 + a, –4 + b) = C′(3, 9)

Diperoleh:–5 + a = 3 ⇔ a = 8–4 + b = 9 ⇔ b = 13

Diperoleh T = 8

13⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Bayangan titik D(8, 10) sebagai berikut.

D(8, 10) 8

T13⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ D′(8 + 8, 10 + 13) = D′(16, 23)

Jadi, bayangan titik D adalah D′(16, 23).

4. Jawaban: eDiketahui titik C′(–2, –4) sehingga diperoleh:x′ = x cos α – y sin α⇔ –2 = x cos (–270°) – y sin (–270°)⇔ –2 = 0 – y × 1

y = 2 y′ = x sin α + y cos β⇔ –4 = x sin (–270°) + y cos (–270°)⇔ –4 = x + 0⇔ x = –4Jadi, koordinat titik C(–4, 2).

5. Jawaban: dDiketahui P(1, 5) sehingga a = 1 dan b = 5.Dari titik A(2, 3) dan A′(–1, 9) diperoleh x = 2, y = 3,x′ = –1, dan y′ = 9.

x′ = kx – ka + a⇔ –1 = k × 2 – k × 1 + 1⇔ –1 = k + 1⇔ k = –2Jadi, nilai k = –2.

6. Jawaban: d

A(4, –11) xM⎯⎯⎯→ A′(4, 11)

A′(4, 11) y 4M = −⎯⎯⎯⎯→ A(4, 2 × (–4) – 11) = A′′(4, –19)Jadi, bayangannya adalah A′′(4, –19).

7. Jawaban: aMisalkan titik (x, y) terletak pada persamaan2x – 3y = 6.Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadap

translasi T = 2

5−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

sebagai berikut.

(x, y)

2T

5−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (x – 2, y + 5)

Diperoleh:x′ = x – 2 ⇔ x = x′ + 2y′ = y + 5 ⇔ y = y′ – 5Substitusikan x = x′ + 2 dan y = y′ – 5 ke dalampersamaan 2x – 3y = 6.2x – 3y = 6⇔ 2(x′ + 2) – 3(y′ – 5) = 6⇔ 2x′ + 4 – 3y′ + 15 = 6⇔ 2x′ – 3y′ = –13⇔ 2x – 3y = –13Jadi, persamaan bayangan garis h adalah 2x – 3y= –13.

8. Jawaban: cMisalkan titik (x, y) terletak pada persamaanx2 + y2 – 2x + 8y – 16 = 0.Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadapgaris y = –x adalah (x′, y′) = (–y, –x).Diperoleh:x′ = –y ⇔ y = –x′y′ = –x ⇔ x = –y′Substitusikan x = –y′ dan y = –x′ ke dalampersamaan x2 + y2 – 2x + 8y – 16 = 0.x2 + y2 – 2x + 8y – 16 = 0⇔ (–y′)2 + (–x′)2 – 2(–y′) + 8(–x′) – 16 = 0⇔ (y′)2 + (x′)2 + 2y′ – 8x′ – 16 = 0⇔ y2 + x2 + 2y – 8x – 16 = 0⇔ x2+ y2 – 8x + 2y – 16 = 0Jadi, persamaan bayangannya adalah x2+ y2 – 8x+ 2y – 16 = 0.


9. Jawaban: a

B(2, 2)

3T

5⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ B′(2 + 3, 2 + 5) = B′(5, 7)

B(5, 7) x 1M = −⎯⎯⎯⎯→ B′′(2 × (–1) – 5, 7) = B′′(–7, 7)Jadi, bayangan titik B adalah B′′(–7, 7).

10. Jawaban: c

Komposisi translasi T1 = 6

5−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dilanjutkan T2 = 43

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

dapat diwakili oleh:

T3 = 6 4

5 3− +⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

= 2

2−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Jadi, komposisi translasi tersebut dapat diwakili

T3 = 2

2−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

11. Jawaban: e

Bayangan C(–4, 3) oleh matriks 1 0

2 1−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

sebagai

berikut.

1 0 42 1 3− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 45

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Diperoleh C′(4, –5).

Bayangan C′(4, –5) oleh matriks 0 11 3

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

sebagai

berikut.

0 1 41 3 5

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

= 5

19−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠Jadi, bayangan titik C adalah C′′(–5, –19).

12. Jawaban: aMatriks transformasi refleksi terhadap garis y = x

adalah 0 11 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Matriks transformasi rotasi 90° searah jarum jam

dan berpusat di titik O(0, 0) adalah 0 11 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Perkalian matriks komposisi transformasinyasebagai berikut.

xy

′′⎛ ⎞⎜ ⎟′′⎝ ⎠

= 0 1 0 1 21 0 1 0 1

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

13. Jawaban: dKomposisi translasi T1 dan T2 dapat diringkasmenjadi:

T = (a 1) (a 9)

(b 3) (2b 4)+ + −⎛ ⎞

⎜ ⎟− + +⎝ ⎠

= 2a 83b 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

B(6, –3) 2a 8

T3b 1

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ B′′(2a – 2, 3b – 2)

= B′′(10, 19)Diperoleh:2a – 2 = 10⇔ 2a = 12⇔ a = 63b – 2 = 19⇔ 3b = 21⇔ b = 7Jadi, nilai a = 6 dan b = 7.

14. Jawaban: eA(8, –9) y xM =⎯⎯⎯⎯→ A′(–9, 8)

A′(–9, 8) yM⎯⎯⎯→ A′′(9, 8)

Jadi, koordinat bayangan titik A adalah A′′(9, 8).

15. Jawaban: bDari permasalahan tersebut diketahui B(–1, 10),titik pusat C(2, 3), dan faktor skala –2. Dengandemikian diperoleh x = –1, y = 10, a = 2, b = 3,dan k = –2.Bayangan titik B(–1, 10) oleh dilatasi dengan titikpusat (2, 3) dan faktor skala –2 adalah B′(x′, y′).x ′ = kx – ka + a

= (–2) × (–1) – (–2) × 2 + 2= 8

y ′ = ky – kb + b= (–2) × 10 – (–2) × 3 + 3= –11

Diperoleh B′(8, –11)Titik B′(8, –11) direfleksikan terhadap sumbu Xsehingga diperoleh:

B′(8, –11) xM⎯⎯⎯→ B′′(8, 11)Jadi, bayangan titik B adalah B′′(8, 11) .

16. Jawaban: aKomposisi rotasi tersebut dapat diwakili oleh rotasidengan pusat titik O(0, 0) dan sudut rotasi (200° +70°) = 270° searah jarum jam.Diketahui titik C′′(–8, 10) sehingga diperoleh:x′′ = x cos α – y sin α⇔ –8= x cos (–270°) – y sin (–270°)⇔ –8= 0 – y × 1⇔ y = 8y′′ = x sin α + y cos α⇔ 10= x sin (–270°) + y cos (–270°)⇔ 10= x + 0⇔ x = 10Jadi, koordinat titik C(10, 8).


17. Jawaban: bKomposisi rotasi tersebut dapat diwakili oleh rotasidengan pusat titik A(1, 2) dan sudut rotasi (–90° +120°) = 30°.

B(6, 8) R[A(1, 2), 30 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B′′(x, y) = B′′(a, b + 1)x′′ = x cos α – y sin α

= 6 cos (30°) – 8 sin (30°)

= 6 × 12 3 – 8 ×

12

= 3 3 4−y′′ = x sin α + y cos α

= 6 sin (30°) + 8 cos (30°)

= 6 × 12

+ 8 × 12 3

= 3 + 4 3

Diperoleh a = 3 3 – 4 dan b + 1 = 3 + 4 3 atau

b = 2 + 4 3

a + b = 3 3 – 4 + 2 + 4 3

= 7 3 2−

Jadi, nilai a + b = 7 3 2− .

18. Jawaban: eKomposisi rotasi tersebut dapat diwakili oleh rotasi(–90° + 45°) = –45°.

D(7, 1) R[O(0, 0), ]45°−⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ D′′(x′′, y′′)x′′ = x cos α – y sin α

= 7 × cos (–45°) – 1 × sin (–45°)

= 72

2 + 12

2 = 4 2

y′′ = x sin α + y′ cos α= 7 × sin (–45°) + 1 × cos (–45°)

= – 72

2 + 12

2 = 3 2−

Jadi, koordinat titik D′′( 4 2 , 3 2− ).

19. Jawaban: a

Komposisi translasi T1 = 27⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dan T2 = 4

6−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dapat diwakili oleh T3 = 2 ( 4)

7 6+ −⎛ ⎞

⎜ ⎟+⎝ ⎠ =

213−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

A(–3, 8) 3

2T

13−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ A′′(–3 – 2, 8 + 13)

= A′′(–5, 21)

A′′(–5, 21) y xM = −⎯⎯⎯⎯→ A′′′(–21, 5)Jadi, koordinat bayangan titik A′′ adalahA′′′(–21, 5).

20. Jawaban: cRotasi 25° searah jarum dengan pusat O(0, 0)dilanjutkan dengan rotasi 65° searah jarum jamdengan pusat O(0, 0) dapat diwakili oleh rotasi 90°searah jarum jam dengan pusat O(0, 0).

A(–5, 9) R[O(0, 0), 90 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ A′′(9, 5)

A′′(9, 5)

7T

1−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ A′′′(9 – 7, 5 + 1) = A′′′(2, 6)

Jadi, koordinat bayangannya adalah A′′′(2, 6).

21. Jawaban: a

S(2, 4) R[O(0, 0), 90 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ S′(–4, 2)

S′(–4, 2) y xM =⎯⎯⎯⎯→ S′′(2, –4)

Jadi, bayangan titik S adalah S′′(2, –4) .

22. Jawaban: dAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaan–2x + y = 8.

0 1 x3 1 y⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= y

3x y⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

(y, 3x + y) y xM =⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (3x + y, y)Diperoleh:y = y′x′ = 3x + y

⇔ x = x y

3′ −

⇔ x = x y

3′ ′−

Substitusikan x = x y

3′ ′−

dan y = y′ ke dalampersamaan –2x + y = 8.–2x + y = 8

⇔ –2x y

3′ ′−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ y′ = 8

⇔ 2x 2y3′ ′− +

+ y′ = 8

⇔ –2x′ + 2y′ + 3y′ = 24⇔ –2x′ + 5y′ = 24⇔ –2x + 5y = 24Jadi, persamaan bayangan garis h adalah–2x + 5y = 24.

23. Jawaban: exy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 2 2 1 0 x0 1 2 1 y

− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 6 2 x

2 1 y− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 6x 2y2x y

− −⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠


Diperoleh:x′ = –6x – 2y⇔ 2y = –6x – x′

⇔ y = 6x x

2′− −

. . . (1)

y′ = 2x + y⇔ y = y′ – 2x . . . (2)Substitusikan persamaan (2) ke dalam per-samaan (1).

y = 6x x

2′− −

⇔ y′ – 2x = 6x x

2′− −

⇔ 2y′ – 4x = –6x – x′⇔ 2x = x′ – 2y′

⇔ x = x 2y

2′ ′−

Substitusikan x = x 2y

2′ ′−

ke dalam persamaan

y = y′ – 2x.y = y′ – 2x

= y′ – 2x 2y

2′ ′−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= y′ – x′ + 2y′= –x′ + 3y′

Substitusikan x = x 2y

2′ ′−

dan y = –x′ + 3y′ ke

dalam persamaan 5x – 2y = 20.5x – 2y = 20

⇔ 5x 2y

2′ ′−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

– 2(–x′ + 3y′)= 20

⇔ 5x 10y2

′ ′− + 2x′ – 6y′ = 20

⇔ 5x′ – 10y′ + 4x′ – 12y′ = 40⇔ 9x′ – 22y′ = 40⇔ 9x – 22y = 40Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah9x – 22y = 40.

24. Jawaban: cAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaan3x – 7y = 21.

(x, y) My⎯⎯⎯→ (–x, y)

(–x, y)

2T

5⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (2 – x, y – 5)

Diperoleh:x′ = 2 – x ⇔ x = 2 – x′y′ = y – 5 ⇔ y = y′ + 5Substitusikan x = 2 – x′ dan y = y′ + 5 ke dalampersamaan 3x – 7y = 21.

3x – 7y = 21⇔ 3(2 – x′) – 7(y′ + 5) = 21⇔ 6 – 3x′ – 7y′ – 35 = 21⇔ –3x′ – 7y′ – 29 = 21⇔ –3x′ – 7y′ = 50⇔ –3x – 7y = 50Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah–3x – 7y = 50.

25. Jawaban: cAmbil titik (x, y) yang terletak pada garis x – 2y = 5.Bayangan titik (x, y) oleh transformasi matriks

3 51 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

sebagai berikut.

3 5 x1 2 y

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 3x 5yx 2y

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

Bayangannya (3x + 5y, x + 2y)Titik (3x + 5y, x + 2y) dicerminkan terhadapsumbu X sehingga bayangannya sebagai berikut.

(3x + 5y, x + 2y) xM⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (3x + 5y, –x – 2y)Diperoleh:x′ = 3x + 5y

⇔ x = x 5y

3′ −

. . . (1)

y′ = –x – 2y⇔ x = –y′ – 2y . . . (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

⇔ x = x 5y

3′ −

⇔ –y′ – 2y = x 5y

3′ −

⇔ –3y′ – 6y = x′ – 5y⇔ –y = x′ + 3y′⇔ y = –x′ – 3y′Substitusikan y = –x′ – 3y′ ke dalam persamaanx = –y′ – 2y.x = –y′ – 2y

= –y′ – 2(–x′ – 3y′)= –y′ + 2x′ + 6y′= 2x′ + 5y′

Substitusikan x = 2x′ + 5y′ dan y = –x′ – 3y′ kedalam persamaan x – 2y = 5.x – 2y = 5⇔ (2x′ + 5y′) – 2(–x′ – 3y′) = 5⇔ 2x′ + 5y′ + 2x′ + 6y′ = 5⇔ 4x′ + 11y′ = 5⇔ 4x + 11y = 5Jadi, bayangan garis tersebut adalah 4x + 11y = 5.

26. Jawaban: dAmbil titik (x, y) yang terletak pada lingkaranx2 + (y – 4)2 = 16.

(x, y) yM⎯⎯⎯→ (–x, y)


Bayangan titik (–x, y) oleh dilatasi dengan pusatO(0, 0) dan faktor skala 3 sebagai berikut.x ′ = k(–x) = –3xy ′ = ky = 3y

Diperoleh x = –x3′ dan y =

y3′.

Substitusikan x = –x3′ dan y =

y3′ ke dalam

persamaan x2 + (y – 4)2 = 16.x2 + (y – 4)2 = 16

⇔ ( )2x3′− + ( )2y

34

′ − = 16

⇔2(x )

9′ +

2y 123

′ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 16

⇔2(x )

9′ +

2(y 12)9

′ − = 16

⇔ (x′)2 + (y′ – 12)2 = 144⇔ x2 + (y – 12)2 = 144Jadi, persamaan bayangannya adalah x2 + (y – 12)2= 144.

27. Jawaban: bAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaan

2(x 1)5− +

2(y 6)10− = 1.

(x, y)

1T

1−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ (x – 1, y + 1)

Titik (x – 1, y + 1) didilatasi dengan pusat (2, 3)dan faktor skala 2 sehingga diperoleh:x ′ = k(x – 1) – ka + a

= 2(x – 1) – 2 × 2 + 2= 2x – 2 – 4 + 2 = 2x – 4

y ′ = k(y + 1) – kb + b= 2(y + 1) – 2 × 3 + 3= 2y + 2 – 6 + 3 = 2y – 1

Diperoleh x′ = 2x – 4 atau x = x 4

2′ +

dan y′ = 2y –

1 atau y = y 1

2′ +

.

Substitusikan x = x 4

2′ +

dan y = y 1

2′ +

ke dalam

persamaan 2(x 1)

5− +

2(y 6)10− = 1.

2(x 1)5− +

2(y 6)10− = 1

⇔( )( )2x 4

21

5

′+ − +

( )( )2y 12

6

10

′+ −= 1

⇔( )( )22x 4

22

5

′+ − +

( )( )212y 122

10

′+ −= 1

⇔( )2x 2

25

′+

+ ( )2y 11

210

′−

= 1

⇔2(x 2)

45

′+

+ 2(y 11)

410

′−

= 1

⇔2(x 2)

20′ + +

2(y 11)40

′ − = 1

⇔2(x 2)

20+ +

2(y 11)40− = 1

Jadi, persamaan bayangan elips tersebut2(x 2)

20+ +

2(y 11)40− = 1.

28. Jawaban: aAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaany = x2 – 2.

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 1 1 0 2 x2 0 1 1 y

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

= 1 1 x0 4 y⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= x y4y+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Diperoleh:x′ = x + y⇔ x = x′ – y . . . (1)y′ = 4y

⇔ y = y4′

. . . (2)

Substitusikan persamaan (2) ke dalam per-samaan (1).

x = x′ – y = x′ – y4′

Substitusikan x = x′ – y4′ dan y =

y4′ ke dalam

persamaan y = x2 – 2.y = x2 – 2

⇔ y4′

= 2y

4x

′⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

′ − – 2

⇔ y4′

= (x′)2 – x y2′ ′

+ 2(y )

16′

– 2

⇔ (x′)2 + 2(y )

16′

– x y2′ ′

– y4′ – 2 = 0

⇔ x2 + 2y

16 –

xy2 –

y4 – 2 = 0

⇔ 16x2 + y2 – 8xy – 4y – 32 = 0Jadi, persamaan bayangannya adalah 16x2 + y2

– 8xy – 4y – 32 = 0.

29. Jawaban: eAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaan2x – 7y = 14.

(x, y) yM⎯⎯⎯→ (–x, y)

(–x, y)

2T

1⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ (–x + 2, y – 1)

(–x + 2, y – 1) xM⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (–x + 2, –y + 1)Diperoleh:x′ = –x + 2⇔ x = –x′ + 2


y′ = –y + 1⇔ y = –y′ + 1Substitusikan x = –x′ + 2 dan y = –y′ + 1 kedalam persamaan 2x – 7y = 14.2x – 7y = 14⇔ 2(–x′ + 2) – 7(–y′ + 1) = 14⇔ –2x′ + 4 + 7y′ – 7 = 14⇔ –2x′ + 7y′ – 3 = 14⇔ –2x′ + 7y′ = 17⇔ –2x + 7y = 17Jadi, persamaan bayangan akhir dari garis tersebutadalah –2x + 7y = 17.

30. Jawaban: dAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaany = x2 – 2x + 6.

(x, y) R[O(0, 0), 90 ]− °⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (y, –x)

(y, –x) xM⎯⎯⎯→ (y, x)

(y, x) [O(0, 0), ]D 2⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (2y, 2x)Diperoleh:

x′ = 2y ⇔ y = x2′

y′ = 2x ⇔ x = y2′

Substitusikan x = y2′ dan y =

x2′ ke dalam per-

samaan y = x2 – 2x + 6.y = x2 – 2x + 6

⇔ x2′

= 2y

2′⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

– 2y2′⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 6

⇔ x2′

= 2(y )

4′

– y′ + 6

⇔ x′ = 2(y )

2′

– 2y′ + 12

⇔ x = 2y

2 – 2y + 12

Jadi, persamaan bayangannya adalah

x = 2y

2 – 2y + 12.

B. Uraian

1. a. A(–6, 10) y 1M = −⎯⎯⎯⎯→ A′(–6, 2 × (–1) – 10)= A′(–6, –12)

Jadi, bayangannya adalah A′(–6, –12).

b. A(–6, 10) R[O(0, 0), 90 ]− °⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ A′(10, –(–6))

= A′(10, 6)Jadi, bayangannya adalah A′(10, 6).

2.2 1 82 0 2

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

= 16 216 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= 1416

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Jadi, bayangan titik B adalah B′(14, –16).

3. B(6, 8) R[A(1, 2), 30 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B′(x′, y′) = B′(a, b + 1)

x ′ = x cos α – y sin α= 6 cos (30°) – 8 sin (30°)

= 6 × 12

3 – 8 × 12 = 3 3 – 4

y ′ = x sin α + y cos α= 6 sin (30°) + 8 cos (30°)

= 6 × 12 + 8 × 1

23 = 3 + 4 3

Diperoleh:

a = 3 3 – 4b + 1 = 3 + 4 3⇔ b = 2 + 4 3a – b = ( 3 3 – 4) – (2 + 4 3 ) = –6 – 3Jadi, nilai a – b = –6 – 3 .

4. Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaany = 2x2 – 3x + 5.

(x, y)

4T

3−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (x – 4, y + 3)

Diperoleh:x′ = x – 4⇔ x = x′ + 4y′ = y + 3⇔ y = y′ – 3Substitusikan x = x′ + 4 dan y = y′ – 3 ke dalampersamaan y = 2x2 – 3x + 5.y = 2x2 – 3x + 5⇔ y′ – 3 = 2(x′ + 4)2 – 3(x′ + 4) + 5⇔ y′ – 3 = 2((x′)2 + 8x′ + 16) – 3x′ – 12 + 5⇔ y′ – 3 = 2(x′)2 + 16x′ + 32 – 3x′ – 7⇔ y′ – 3 = 2(x′)2 + 13x′ + 25⇔ y′ = 2(x′)2 + 13x′ + 28⇔ y = 2x2 + 13x + 28Jadi, persamaan bayangan parabola tersebutadalah y = 2x2 + 13x + 28.

5.2 1 91 1 2

− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

= 18 2

9 2+⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠ =

2011

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

(20, –11) R[O(0, 0), 270 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (–11, –20)Jadi, bayangan titik A adalah A′′(–11, –20).

6. A(–5, 9)

a 1T

b 4−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ A′(–5 + (a – 1), 9 + (b + 4))

= A′(7, 4)Diperoleh:–5 + (a – 1) = 7⇔ a – 6 = 7⇔ a = 139 + (b + 4) = 4⇔ 13 + b = 4⇔ b = –9


Diperoleh translasi T = ab⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 13

9⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

B(2, 1)

13T

9⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ B′(2 + 13, 1 – 9) = B′(15, –8)

B′(15, –8) xM⎯⎯⎯→ B′′(15, 8)

Jadi, bayangan titik B adalah B′′(15, 8).

7. A(a, b) yM

⎯⎯⎯→ A(–a, b)

A′(–a, b) [O(0, 0), 2]−⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ A′′(–a × (–2), b × (–2))

= A′′(6, 10)Diperoleh:–a × (–2) = 6 ⇔ 2a = 6

⇔ a = 3b × (–2) ⇔ –2b = 10

⇔ b = –5Diperoleh koordinat titik A(a, b) = A(3, –5).

A(3, –5)

27T

25⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ A(3 + 27, –5 – 25)

= A′(30, –30)Jadi, koordinat bayangan titik A oleh translasi

T = 2725

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

adalah A′(30, –30).

8. Koordinat titik A dicari dengan cara berikut.3x + 2y= 17 × 2 6x + 4y= 342x – 3y = 7 × 3 6x – 9y = 21

–––––––––– –13y = 13

⇔ y = 1y = 1 ⇒ 3x + 2y = 17

⇔ 3x + 2 = 17⇔ 3x = 15⇔ x = 5

Diperoleh titik A(5, 1).

A(5, 1) R[O(0, 0), 90 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ A′(–1, 5)

A′(–1, 5) y xM =⎯⎯⎯⎯→ A′′(5, –1)

Dengan demikian diperoleh titik A′′(5, –1)= B(5, –1).

B(5, –1) 4

T7⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ B′(9, 8)

Jadi, bayangan titik B adalah B′(9, 8).

9. Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaany = 2x2 – 4x + 5.

(x, y) 1

T2−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x – 1, y + 2)

(x – 1, y + 2) yM⎯⎯⎯→ (x′, y′)= (–(x – 1), y + 2)

= (–x + 1, y + 2)

Diperoleh:x′ = –x + 1⇔ x = –x′ + 1y′ = y + 2⇔ y = y′ – 2Substitusikan x = –x′ + 1 dan y = y′ – 2 ke dalampersamaan y = 2x2 – 4x + 5.y = 2x2 – 4x + 5⇔ y′ – 2 = 2(–x′ + 1)2 – 4(–x′ + 1) + 5⇔ y′ – 2 = 2((x′)2 – 2x′ + 1) + 4x′ – 4 + 5⇔ y′ – 2 = 2(x′)2 – 4x′ + 2 + 4x′ + 1⇔ y′ – 2 = 2(x′)2 + 3⇔ y = 2x2 + 5Jadi, persamaan bayangannya adalah y = 2x2 + 5.

10. a. Ambil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran(x – 1)2 + (y + 2)2 = 49.

(x, y) [O(0, 0), 4]⎯⎯⎯⎯⎯→ (4x, 4y)

(4x, 4y) y xM = −⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (–4y, –4x)Diperoleh:x′ = –4y

⇔ y = –x4′

y′ = –4x

⇔ x = –y4′

Substitusikan x = –y4′ dan y = –

x4′ ke dalam

persamaan (x – 1)2 + (y + 2)2 = 49.(x – 1)2 + (y + 2)2 = 49

⇔2y

41

′⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− − +

2x4

2′⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

+− = 49

⇔2y

41′⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

+− + 2x

42

′⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠−− = 49

⇔2y

41′⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + 2x

42

′⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

− = 49

⇔2y 4

4′ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 2x 8

4′ −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 49

⇔2(y 4)

16′ + +

2(x 8)16

′ − = 49

⇔ (x′ – 8)2 + (y′ + 4)2 = 784⇔ (x – 8)2 + (y + 4)2 = 784Jadi, persamaan bayangannya adalah(x – 8)2 + (y + 4)2 = 784.

b. Diketahui jari-jari bayangan lingkaran = 784= 28, sehingga luasnya:L = πr2

= 227 × 28 × 28 = 2.464 satuan luas

Jadi, luas bayangan lingkaran tersebut 2.464satuan luas.


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: aNilai determinan utama:

D = –7

⇔ n 53 n 2

−− +

= –7

⇔ n(n + 2) – (–5) × (–3) = –7⇔ n2 + 2n – 15 = –7⇔ n2 + 2n – 8 = 0⇔ (n + 4)(n – 2) = 0⇔ (n + 4) = 0 atau (n – 2) = 0⇔ n = –4 atau n = 2Jadi, nilai n adalah 2 atau –4.

2. Jawaban: bNilai determinan variabel z:

Dz =

1 0 1 1 02 1 2 2 12 1 0 2 1

− − −− −

= 1 × (–1) × 0 + 0 × (–2) × (–2) + 1 × 2 × 1 – 1 × (–1) × (–2) – 1 × (–2) × 1 – 0 × 2 × 0= 0 + 0 + 2 – 2 + 2 – 0= 2

3. Jawaban: c

Dari SPLDV diperoleh matriks koefisien 8 33 1

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

.

D =8 33 1− −

= 8 × (–1) – 3 × (–3) = –8 + 9 = 1

Dx =4 31 1−

= 4 × (–1) – 3 × 1 = –4 – 3 = –7

Dy =8 43 1−

= 8 × 1 – 4 × (–3) = 8 + 12 = 20

x = xDD

= 71− = –7

y = yD

D = 20

1 = 20

Jadi, penyelesaiannya adalah (–7, 20).

4. Jawaban: cDari SPLDV diperoleh matriks koefisien

m 5m 1 3⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

.

D = m 5m 1 3− −

= m × (–3) – 5(m – 1)= –3m – 5m + 5= –8m + 5

Dx =6 5

14 3− = 6 × (–3) – 5 × 14 = –18 – 70 = –88

x = xDD

⇔ 8 = 888m 5−

− +

⇔ 1 = 118m 5−

− +

⇔ –8m + 5 = –11⇔ –8m = –16⇔ m = 2

Jadi, nilai m adalah 2.

5. Jawaban: dDari SPLTV diperoleh matriks koefisien

0 2 14 3 01 3 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

D =

0 2 1 0 24 3 0 4 31 3 2 1 3

−

− −

= 0 × 3 × 2 + 2 × 0 × 1 + (–1) × 4 × (–3) – (–1) × 3 × 1 – 0 × 0 × (–3) – 2 × 4 × 2= 0 + 0 + 12 + 3 – 0 – 16= –1

– – – + + +

– – – + + +

94 Ulangan Akhir Semester 1

Dx =

4 2 1 4 20 3 0 0 31 3 2 1 3

−

− − − −

= 4 × 3 × 2 + 2 × 0 × (–1) + (–1) × 0 × (–3) – (–1) × 3 × (–1) – 4 × 0 × (–3) – 2 × 0 × 2= 24 + 0 + 0 – 3 – 0 – 0= 21

Dy =

0 4 1 0 44 0 0 4 01 1 2 1 1

−

− −

= 0 × 0 × 2 + 4 × 0 × 1 + (–1) × 4 × (–1) – (–1) × 0 × 1 – 0 × 0 × (–1) – 4 × 4 × 2= 0 + 0 + 4 – 0 – 0 – 32= –28

Dz =

0 2 4 0 24 3 0 4 31 3 1 1 3− − −

= 0 × 3 × (–1) + 2 × 0 × 1 + 4 × 4 × (–3) – 4 × 3 × 1 – 0 × 0 × (–3) – 2 × 4 × (–1)= 0 + 0 – 48 – 12 – 0 + 8= –52

x = xDD

= 211−

= –21

y = yD

D = 28

1−−

= 28

z = zDD

= 521

−−

= 52

Jadi, penyelesaiannya adalah (–21, 28, 52).

6. Jawaban: d

SPLDV 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =⎧⎨ + =⎩

tidak memiliki penyelesaian

jika 1

2

aa = 1

2

bb ≠ 1

2

cc

.

a. SPLDV x 2y 2

2x 4y 4− + = −⎧

⎨ − =⎩ memiliki nilai a1 = –1,

a2 = 2, b1 = 2, b2 = –4, c1 = –2, dan c2 = 4.

Nilai 1

2

aa = 1

2− = – 1

2, 1

2

bb = 2

4− = – 1

2, dan 1

2

cc

= 24− = – 1

2.

Diperoleh nilai 1

2

aa = 1

2

bb = 1

2

cc

.

b. SPLDV memiliki nilai a1 = 1,

a2 = –2, b1 = 3, b2 = 6, c1 = –1, dan c2 = –2.

Nilai 1

2

aa = 1

2− = – 1

2, 1

2

bb = 3

6 = 1

2, dan 1

2

cc

=

12−−

= 12

.

Diperoleh nilai 1

2

aa ≠ 1

2

bb = 1

2

cc

.

c. SPLDV 3x 9y 6

x 3y 3+ = −⎧

⎨ − =⎩ memiliki nilai a1 = 3,

a2 = 1, b1 = 9, b2 = –3, c1 = –6, dan c2 = 3.

Nilai 1

2

aa = 3

1 = 3, 1

2

bb = 9

3− = –3, dan 1

2

cc

=

63− = –3.

Diperoleh nilai 1

2

aa ≠ 1

2

bb = 1

2

cc

.

d. SPLDV memiliki nilai a1 = 1,

a2 = –2, b1 = –2, b2 = 4, c1 = 1, dan c2 = 2.

Nilai 1

2

aa = 1

2− = – 1

2, 1

2

bb = 2

4− = – 1

2, dan 1

2

cc

= 12

.

Diperoleh nilai 1

2

aa = 1

2

bb ≠ 1

2

cc

.

Oleh karena 1

2

aa = 1

2

bb ≠ 1

2

cc

, SPLDV tidak memiliki

penyelesaian.Jadi, SPLDV yang tidak memiliki penyelesaianadalah pilihan d.

7. Jawaban: d

Diketahui M = 6 52 2−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

M–1 = 112 10− +

2 52 6

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= – 12

2 52 6

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Misalkan bayangan titik P setelah ditransformasioleh matriks M–1 adalah P′(x′, y′), maka:

xy′⎛ ⎞

⎜ ⎟′⎝ ⎠= M-1 P

P

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= – 12

2 52 6

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

32

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +

x + 3y = –1–2x – 6y = –2

x – 2y = 1–2x + 4y = 2


= – 12

2 3 ( 5) ( 2)2 3 ( 6) ( 2)× + − × −⎛ ⎞

⎜ ⎟× + − × −⎝ ⎠

= – 12

6 106 12+⎛ ⎞

⎜ ⎟+⎝ ⎠

= – 12

1618⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 89−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Jadi, bayangan titik P setelah ditransformasi olehmatriks M–1 adalah P′(–8, –9).

8. Jawaban: cBayangan titik K(p, –q) setelah ditransformasi oleh

matriks M = q 25 q 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

adalah K′(q, p), maka:

K

K

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= q 25 q 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

K

K

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔qp⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= q 25 q 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

pq

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

⇔qp⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= pq 2q

5p q(q 1)−⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⇔qp⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2

pq 2q

5p q q

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

Dari kesamaan matriks diperoleh:q = pq – 2q

⇔ 3q = pq⇔ p = 3

p = 5p – q2 + q⇔ 3 = 5 × 3 – q2 + q⇔ 3 = 15 – q2 + q⇔ q2 – q – 12 = 0⇔ (q – 4)(q + 3) = 0⇔ (q – 4) = 0 atau (q + 3) = 0⇔ q = 4 atau q = –3Diketahui koordinat titik K′(q, p).Untuk q = 4 diperoleh K′(4, 3) dan untuk q = –3diperoleh K′(–3, 3).Jadi, koordinat titik K′ adalah (4, 3) atau (–3, 3).

9. Jawaban: eMisalkan titik (x, y) pada garis 3x – y = –1 danbayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

matriks M = 1 2

3 5−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠



xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 1 2

3 5−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 11 2

3 5

−−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔ xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= –5 23 1

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔ xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 5 23 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔ xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 5x 2y3x y

′ ′+⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′+⎝ ⎠

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:x = 5x′ + 2y′ . . . (1)y = 3x′ + y′ . . . (2)Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaangaris 3x – y = –1 sehingga diperoleh:

3x – y = –1⇔ 3(5x′ + 2y′) – (3x′ + y′) = –1⇔ 15x′ + 6y′ – 3x′ – y′ = –1⇔ 12x′ + 5y′ = –1Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)dan (x′, y′) memenuhi persamaan 12x′ + 5y′ = –1,maka persamaan bayangan garis 3x – y = –1adalah 12x + 5y = –1.Jadi, persamaan bayangan garis 3x – y = –1setelah ditransformasi oleh matriks M =

1 23 5−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

adalah 12x + 5y = –1.

10. Jawaban: cMisalkan titik (x, y) pada kurva 4x2 – y2 = 2 danbayangan titik (x, y) jika ditransformasi oleh

matriks M = 2 34 5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠



xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 2 34 5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 12 3

4 5

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= – 12

5 34 2

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= – 12

5x 3y4x 2y

′ ′−⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′− +⎝ ⎠



x = – 12

(5x′ – 3y′) . . . (1)

y = – 12

(–4x′ + 2y′) . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaankurva 4x2 – y2 = 2 sehingga diperoleh:

4x2 – y2 = 2

⇔ 4(– 12

(5x′ – 3y′))2 – (– 12

(–4x′ + 2y′))2 = 2

⇔ 4 × 14

(5x′ – 3y′)2 – 14

(–4x′ + 2y′)2 = 2

⇔ 25x′2 – 30x′y′ + 9y′2 – 14

(16x′2

– 16x′y′ + 4y′2) =⇔ 25x′2 – 30x′y′ + 9y′2 – 4x′2 + 4x′y′ – y′2 = 2⇔ 21x′2 – 26x′y′ + 8y′2 = 2⇔ 21x′2 + 8y′2 – 26x′y′ = 2Oleh karena bayangan titik (x, y) adalah (x′, y′)dan (x′, y′) memenuhi persamaan 21x′2 + 8y′2– 26x′y′ = 2, maka persamaan bayangan kurva4x2 – y2 = 2 adalah 21x2 + 8y2 – 26xy = 2.Jadi, persamaan bayangan kurva 4x2 – y2 = 2 setelah

ditransformasi oleh matriks M = 2 34 5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah

21x2 + 8y2 – 26xy = 2.

11. Jawaban: b

EFHDCACD +−−

= EFDHACCD +++

= HGDHCDAC +++

= AG

12. Jawaban: au = 4 i – 2 j + k (zu = 1)

v = – i + 4 j – 2 k (zv = –2)

w = 2 i + j – 3 k (zw = –3)

p = 4u – 2 v – wzp = 4zu – 2zv – zw

= 4 × 1 – 2(–2) – (–3)= 4 + 4 + 3 = 11

Jadi, komponen vektor p pada arah sumbu Zadalah 11.

13. Jawaban: au = 2 a – 3b + c

= 2(3 i – 4 j + k ) – 3(–2 i + j + 3k ) + ( i – 2 j – 2 k )

= 6 i – 8 j + 2 k + 6 i – 3 j – 9 k + i – 2 j – 2 k

= (6 + 6 + 1) i + (–8 – 3 – 2) j + (2 – 9 – 2) k= 13 i – 13 j – 9 k

Jadi, vektor u = 13 i – 13 j – 9 k .

14. Jawaban: d

AB : AC = 3 : 2

⇔ 3 AC = 2 AB

⇔ 3( c – a ) = 2(b – a )

⇔ 3 c – 3 a = 2b – 2 a

⇔ 3c = 2 b + a

⇔ 3c = 2(– i + 2 j + 5 k ) + (5 i – 7 j + 5 k )

⇔ 3c = 3 i – 3 j + 15 k⇔ c = i – j + 5 kJadi, koordinat titik C adalah (1, –1, 5).

15. Jawaban: d

a = 341

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

dan b = 253

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

a – b = 341

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

– 253

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 51

2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a · ( a – b ) = 341

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

· 51

2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= (3)(5) + (4)(–1) + (–1)(2)= 15 – 4 – 2 = 9

16. Jawaban: d

a = x32

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; b = 263

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠|a | = | b |

⇔ 2 2 2x 3 2+ + = 2 2 22 ( 6) 3+ − +⇔ 13 + x2 = 49⇔ x2 = 36⇔ x = ± 6

Untuk x = 6 maka a = 632

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a · b = 6 × 2 + 3 × (–6) + 2 × 3= 12 – 18 + 6 = 0

Oleh karena a · b = 0 maka a dan b membentuksudut 90°.


Untuk x = –6 maka a = 632

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a · b = –6 × 2 + 3 × (–6) + 2 × 3= –12 – 18 + 6= –24

Oleh karena a · b < 0 berarti a dan b membentuksudut tumpul.Jadi, pernyataan yang benar pilihan d.

17. Jawaban: d

Misalkan α adalah sudut antara vektor u dan v .

Sin α = 15

24 maka cos α = 15 .

|u + v |2 = (u + v)2

= (u )2 + 2u · v + ( v)2

= | u |2 + 2| u | | v | cos α + | v |2

= 42 + 2 × 4 × 5 × 15 + 52

= 49

⇔ | u + v | = 49= 7 satuan

18. Jawaban: ea = 2 i + 4 j – kb = 2 i – 2 j + kc = x i + y j + z kVektor c tegak lurus a dan b , berarti

a · c = 0 ⇒ 2x + 4y – z = 0 . . . . (1)

b · c = 0 ⇒ 2x – 2y + z = 0 . . . . (2)

| c| = 41 ⇒ x2 + y2 + z2 = 412 . . . . (3)Eliminasi x dari persamaan 1 dan 2:2x + 4y – z = 02x – 2y + z = 0–––––––––––––– – 6y – 2z = 0 ⇔ z = 3yEliminasi z dari persamaan 1 dan 2:2x + 4y – z = 02x – 2y + z = 0–––––––––––––– + 4x + 2y = 0 ⇔ x = –

12 y

Substitusi z = 3y dan x = –12 y ke persamaan 3:

x2 + y2 + z2 = 412

⇔ 14 y2 + y2 + 9y2 = 412

⇔ 414 y2 = 412

⇔ y2 = 4 × 41⇔ y = ± 2 41

Oleh karena vektor c membentuk sudut tumpul

dengan sumbu Y arah positif maka y = –2 41.

⇒ z = 3 × y = 3 × (–2 41) = –6 41

⇒ x = –12 y = –

12 × (–2 41) = 41

Jadi, vektor c = 41 i – 2 41 j – 6 41 k

= 41( i – 2 j – 6 k ).

19. Jawaban: b

a = 4 i – 5 j + 3 k = 45

3

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

b = i + p j + k = 1p1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a · b = 45

3

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

1p1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4 – 5p + 3 = 7 – 5p

Panjang b = | b | = 2 21 p 1+ + = 2p 2+

Panjang proyeksi a pada b = 2 × panjang b

⇒a · b

b=

12

2p 2+

⇔2

7 5p

p 2

−

+= 2 2p 2+

⇔ 7 – 5p = 2(p2 + 2)⇔ 7 – 5p = 2p2 + 4⇔ 2p2 + 5p – 3 = 0⇔ (2p – 1)(p + 3) = 0⇔ 2p – 1 = 0 atau p + 3 = 0

⇔ p = 12 atau p = –3

Jadi, nilai p = –3 atau p = 12 .

20. Jawaban: b

Proyeksi b pada c = 2b c| c |⋅ c

= 2 2 2 2

2( 3) 4(2) 5(1)

( ( 3) 2 1 )

− − + +

− + +

321

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1914

321

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 57 19 1914 7 14

ˆˆ ˆi j k− + +

Jadi, proyeksi vektor b pada c adalah57 19 19

14 7 14ˆˆ ˆi j k− + + .


21. Jawaban: aModal awal = M = 6.500.000Suku bunga = i = 1,4% = 0,014 per bulanPeriode = t = 1 tahun = 12 bulanJumlah pinjaman yang dikembalikan:M12 = M (1 + i)12

= 6.500.000 (1 + 0,014)12

= 6.500.000 (1,014)12

= 6.500.000 × 1,1816= 7.680.400

Jadi, pinjaman yang harus dikembalikan sebesarRp7.680.400,00.

22. Jawaban: dSuku bunga = i = 8% = 0,08 per semesterPeriode = t = 2 tahun = 4 semesterModal akhir = M4 = 10.884.000Besar pinjaman semula:M4 = M (1 + i)4

⇒ 10.884.000 = M (1 + 0,08)4

⇔ 10.884.000 = M (1,08)4

⇔ 10.884.000 = M × 1,3605⇔ M = 8.000.000Jadi, besar pinjaman semula adalah Rp8.000.000,00.

23. Jawaban: bModal awal = M = 9.000.000Periode = t = 2 tahun = 24 bulanModal akhir = M24 = 14.475.600Besar suku bunga:M24 = M (1 + i)24

⇒ 14.475.600 = 9.000.000 (1 + i)24

⇔ (1 + i)24 = 1,6084

⇔ 1 + i = 24 1,6084⇔ 1 + i = 1,02⇔ i = 0,02⇔ i = 2%Jadi, besar suku bunga yang diberikan adalah 2%.

24. Jawaban: cModal awal = M = 20.000.000Suku bunga = i = 1,1% = 0,011 per bulanModal akhir = Mt = 22.312.000Periode pembungaan:Mt = M (1 + i)t

⇒ 22.312.000 = 20.000.000 (1 + 0,011)t

⇔ 22.312.000 = 20.000.000 (1,011)t

⇔ 1,011t = 1,1156⇔ log 1,011t = log 1,1156⇔ t × log 1,011 = log 1,1156⇔ t × 0,0047 = 0,047⇔ t = 10Jadi, modal tersebut diinvestasikan selama 10bulan.

25. Jawaban: aModal awal = M = 5.000.000Suku bunga = i = 4,2% = 0,042 per semester

Periode = t = 4 tahun 4 bulan = 823 semester

Nilai akhir pinjaman:

Mt = M (1 + i)8 (1 + i × 23 )

= 5.000.000 (1 + 0,042)8 (1 + 0,042 × 23 )

= 5.000.000 (1,042)8 (1 + 0,028)= 5.000.000 × 1,3898 × 1,028= 7.143.500

Jadi, nilai akhir pinjaman tersebut adalahRp7.143.500,00.

26. Jawaban: bPinjaman = M = 15.000.000Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulanPeriode = t = 2 tahun = 24 bulanNilai anuitas:

A = tM i

1 (1 i)−×

− +

= 2415.000.000 × 0,02

1 (1+ 0,02)−−

= 24300.000

1 (1,02)−−

= 300.0001 0,6217−

= 300.0000,3783

= 793.021,41Jadi, nilai anuitasnya sebesar Rp793.021,41.

27. Jawaban: aSuku bunga = i = 1,2% = 0,012 per bulanAngsuran kedua = a2 = 480.000Angsuran ke-9:a9 = a2 (1 + i)9 – 2

= 480.000 (1 + 0,012)7

= 480.000 (1,012)7

= 480.000 × 1,0871= 521.808


28. Jawaban: cPinjaman = M = 15.000.000Suku bunga = i = 1,5% = 0,015 per bulanPeriode = t = 1 tahun = 12 bulanBesarnya angsuran pertama merupakan selisihantara nilai anuitas dengan bunga pertama.


Nilai anuitas:

A = tM i

1 (1 i)−×

− +

= 1235.000.000 0,015

1 (1 0,015)−×

− +

= 12225.000

1 (1,015)−−

= 225.0001 0,8364−

= 225.0000,1636

= 1.375.305,62Nilai bunga pertama:b1 = M × i

= 15.000.000 × 0,015= 225.000

Nilai angsuran pertama:a1 = A – b1

= 1.375.305,62 – 225.000= 1.150.305,62

Jadi, angsuran pertamanya sebesar Rp1.150.305,62.

29. Jawaban: bPinjaman = M = 12.000.000Anuitas = A = 750.000Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulanUntuk menentukan nilai bunga pada anuitas ke-8,harus ditentukan nilai angsuran pertama danangsuran ke-8 terlebih dahulu.Nilai angsuran pertama:a1 = A – b1

= A – M × i= 750.000 – 12.000.000 × 0,02= 750.000 – 240.000= 510.000

Nilai angsuran ke-8:a8 = a1 (1 + i)7

= 510.000 (1 + 0,02)7

= 510.000 (1,02)7

= 510.000 × 1,1487= 585.837

Nilai bunga ke-8:b8 = A – a8

= 750.000 – 585.837= 164.163

Jadi, besarnya bunga pada anuitas ke-8 adalahRp164.163,00.

30. Jawaban: bPinjaman = M = 18.000.000Suku bunga = i = 1,5% = 0,015 per bulanPeriode = t = 15 bulan

Nilai anuitas:

A = tM i

1 (1 i)−×

− +

= 1518.000.000 0,015

1 (1 0,015)−×

− +

= 15270.000

1 (1,015)−−

= 270.0001 0,7998−

= 270.0000,2002

= 1.348.651,35Besarnya angsuran pertama:a1 = A – b1

= A – M × i= 1.348.651,35 – 18.000.000 × 0,015= 1.348.651,35 – 270.000= 1.078.651,35


St = M – t

1a ((1 i) 1)i+ −


S10 = M – 10

1a ((1 i) 1)i

+ −

= 18.000.000 – 101.078,651,35 ((1 0,015) 1)

0,015+ −

= 18.000.000 – 101.078,651,35 (1,015 1)

0,015−

= 18.000.000 – 1.078,651,35 (1,1605 1)0,015

−

= 18.000.000 – 1.078,651,35 0,16050,015

×

= 18.000.000 – 11.541.569,45= 6.458.430,55

Jadi, sisa pinjaman setelah pembayaran anuitaske-10 adalah Rp6.458.430,55.

31. Jawaban: d

A(1, 2) R[O(0, 0), 45 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ A′(x′, y′) = A′(a 2 , 2b 2 )

x ′ = x cos α – y sin α= 1 × cos (45°) – 2 × sin (45°)

= 1 × 12 2 – 2 ×

12 2

= –12 2

y ′ = x sin α + y cos α= 1 × sin (45°) + 2 × cos (45°)

= 1 × 12 2 + 2 ×

12 2

= 32 2


Diperoleh:

a 2 = –12 2

⇔ a = –12

2b 2 = 32 2

⇔ b = 34

a + b = –12 +

34

= 14

Jadi, nilai a + b = 14 .

32. Jawaban: cAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaany = x2 – 3x + 5.

(x, y) 4T

3−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (x – 4, y + 3)

Diperoleh:x′ = x – 4

⇔ x = x′ + 4y′ = y + 3

⇔ y = y′ – 3Substitusikan x = x′ + 4 dan y = y′ – 3 ke dalampersamaan y = x2 – 3x + 5.

y = x2 – 3x + 5⇔ y′ – 3 = (x′ + 4)2 – 3(x′ + 4) + 5⇔ y′ – 3 = (x′)2 + 8x′ + 16 – 3x′ – 12 + 5⇔ y′ – 3 = (x′)2 + 5x′ + 9⇔ y′ = (x′)2 + 5x′ + 12⇔ y = x2 + 5x + 12Jadi, persamaan bayangan parabola tersebutadalah y = x2 + 5x + 12.

33. Jawaban: e

A(–6, 10) aTb⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ A′(–6 + a, 10 + b)

A′(–6 + a, 10 + b) xM⎯⎯⎯→ A′′(–6 + a, –(10 + b))Dari soal diketahui A′′(–4, –15) sehingga diperoleh:

–6 + a = –4⇔ a = 2

–(10 + b) = –15⇔ 10 + b = 15⇔ b = 5a + b = 2 + 5

= 7Jadi, nilai a + b = 7.

34. Jawaban: eKomposisi N M berarti transformasi M dikerjakanterlebih dahulu.

A(–3, 1) [B(1, 2), 4]⎯⎯⎯⎯⎯→ A′′(x′, y′)

Diperoleh:x ′ = kx – ka + a

= 4 × (–3) – 4 × 1 + 1= –15

y ′ = ky – kb + b= 4 × 1 – 4 × 2 + 2= –2

Diperoleh A′(–15, –2).Titik A′(–15, –2) direfleksi terhadap sumbu Ysehingga:

A′(–15, –2) yM⎯⎯⎯→ A′′(15, –2)

Jadi, bayangan titik A adalah A′′(15, –2).

35. Jawaban: aMisalkan titik B(a, b).

B(a, b) R[O(0, 0), 90 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B′(–b, a)

B′(–b, a) y xM =⎯⎯⎯⎯→ B′′(a, –b)Diketahui B′′(–1, 12) sehingga diperoleh:a = –1

–b = 12⇔ b = –12Jadi, koordinat titik B(–1, –12).

36. Jawaban: aTitik P(x, y) adalah titik pusat lingkaran denganpersamaan (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 sehinggadiperoleh titik P(3, –1).

P(3, –1) y xM = −⎯⎯⎯⎯→ P′(1, –3)

P′(1, –3) 7T

2−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ P′′(1 – 7, –3 + 2) = P′′(–6, –1)

Jadi, koordinat bayangan titik P adalah P′′(–6, –1).

37. Jawaban: b

M(8, 1) [O(0, 0), 3]−⎯⎯⎯⎯⎯→ M′(–24, –3)Titik M(–24, –3) ditransformasi oleh matriks

A = 1 0

2 1−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

sehingga diperoleh:

xy

′′⎛ ⎞⎜ ⎟′′⎝ ⎠

= 1 0

2 1−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

243

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 2451

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

Jadi, bayangan titik M adalah M′′(24, –51).

38. Jawaban: bAmbil titik (x, y) yang terletak pada garis 5x – 2y = 20.

1 21 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= x 2y

x+⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠

(x + 2y, –x) y xM = −⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (x, –x – 2y)Diperoleh:x = x′


y ′ = –x – 2y⇔ 2y = –x – y′⇔ 2y = –x′ – y′

⇔ y = x y2′ ′− −

Substitusikan x = x′ dan y = x y2′ ′− − ke dalam

persamaan 5x – 2y = 20.5x – 2y = 20

⇔ 5x′ – 2 x y2′ ′− −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 20

⇔ 5x′ + x′ + y′ = 20⇔ 6x′ + y′ = 20⇔ 6x + y = 20Jadi, persamaan bayangannya adalah 6x + y = 20.

39. Jawaban: cAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaan(x – 3)2 + (y + 1)2 = 16.

Lingkaran ditransformasi oleh matriks 0 13 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

sehingga diperoleh:

0 13 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= y3x

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

(y, –3x) yM⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (–y, –3x)

Diperoleh:x ′ = –y⇔ y = –x′

y ′ = –3x

⇔ x = – y3′

Substitusikan x = – y3′ dan y = –x′ ke dalam

persamaan (x – 3)2 + (y + 1)2 = 16.(x – 3)2 + (y + 1)2 = 16

⇔2y

33′⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠− − + (–x′ + 1)2 = 16

⇔2

y3

3′⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

+ + (–(x′ – 1))2 = 16

⇔2y

33′⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + (x′ – 1)2 = 16

⇔2y 9

3′ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ (x′ – 1)2 = 16

⇔2(y 9)

9′ + + (x′ – 1)2 = 16

⇔ (y′ + 9)2 + 9(x′ – 1)2 = 144

⇔ 9(x – 1)2 + (y + 9)2 = 144

Jadi, persamaan bayangan lingkaran tersebut9(x – 1)2 + (y + 9)2 = 144.

40. Jawaban: c

Ambil titik (x, y) yang terletak pada elips

2(x 1)5− +

2(y 3)4+ = 1.

(x, y) 2T3⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x + 2, y + 3)

(x + 2, y + 3) R[O(0, 0), 90 ]− °⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (y + 3,–(x + 2))Diperoleh:x′ = y + 3⇔ y = x′ – 3

y′ = –(x + 2)⇔ x + 2 = –y′⇔ x = –y′ – 2Substitusikan x = –y′ – 2 dan y = x′ – 3 ke dalam

persamaan 2(x 1)

5− +

2(y 3)4+ = 1.

2(x 1)5− +

2(y 3)4

′ + = 1

⇔2(( y 2) 1)

5′− − − +

2((x 3) 3)4

− + = 1

⇔2( y 3)

5′− − +

2(x )4′ = 1

⇔2( (y 3))

4′− + +

2(x )4′ = 1

⇔2(y 3)

5′ + +

2(x )4′ = 1

⇔2x

4 +

2(y 3)5

′ + = 1

Jadi, persamaan bayangannya adalah2x

4 +

2(y 3)5

′ + = 1.

B. Uraian

1. Misalkan: x = banyak menu A (porsi)y = banyak menu B (porsi)z = banyak menu C (porsi)

Menu A, B, dan C masing-masing mengandunglemak 1 gram, 2 gram, dan 2 gram, sedangkanjumlah lemak yang dianjurkan terdapat dalamketiga menu 15 gram, maka:x + 2y + 2z = 15 . . . (1)

A(x)B(y)C(z)

Jumlah

Lemak(gram)

Karbohidrat(gram)Menu

122

15

214

24

Protein(gram)

333

30


Menu A, B, dan C masing-masing mengandungkarbohidrat 2 gram, 1 gram, dan 4 gram, sedangkanjumlah karbohidrat yang dianjurkan terdapat dalamketiga menu 24 gram, maka:2x + y + 4z = 24 . . . (2)Menu A, B, dan C masing-masing mengandungprotein 3 gram, sedangkan jumlah protein yangdianjurkan terdapat dalam ketiga menu 30 gram,maka:3x + 3y + 3z = 30 ⇔ x + y + z = 10 . . . (3)Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh SPLTVsebagai berikut.

x + 2y + 2z = 152x + y + 4z = 24

x + y + z = 30Menentukan nilai x, y, dan z menggunakandeterminan matriks.Dari SPLTV diperoleh matriks koefisien

1 2 22 1 41 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

D = 1 2 2 1 22 1 4 2 11 1 1 1 1

= 1 × 1 × 1 + 2 × 4 × 1 + 2 × 2 × 1 – 2 × 1 × 1 – 1 × 4 × 1 – 2 × 2 × 1= 1 + 8 + 4 – 2 – 4 – 4= 3

Dx = 15 2 2 15 224 1 4 24 110 1 1 10 1

= 15 × 1 × 1 + 2 × 4 × 10 + 2 × 24 × 1 – 2 × 1 × 10 – 15 × 4 × 1 – 2 × 24 × 1= 15 + 80 + 48 – 20 – 60 – 48= 15

Dy = 1 15 2 1 152 24 4 2 241 10 1 1 10

= 1 × 24 × 1 + 15 × 4 × 1 + 2 × 2 × 10 – 2 × 24 × 1 – 1 × 4 × 10 – 15 × 2 × 1= 24 + 60 + 40 – 48 – 40 – 30= 6

Dz = 1 2 15 1 22 1 24 2 11 1 10 1 1

= 1 × 1 × 10 + 2 × 24 × 1 + 15 × 2 × 1 – 15 × 1 × 1 – 1 × 24 × 1 – 2 × 2 × 10= 10 + 48 + 30 – 15 – 24 – 40= 9


x = xDD

= 153

= 5

y = yD

D = 6

3= 2

y = zDD

= 93

= 3

Jadi, agar kebutuhan zat gizi Pak Burhan terpenuhiia harus mengonsumsi menu A sebanyak 5 porsi,menu B sebanyak 2 porsi, dan menu C sebanyak3 porsi.

2. a. Hasil transformasi titik A(–3, q) oleh matriks

M = p 65 4⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

adalah A′(–3, –6p – 1), maka:

A

A

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= p 65 4⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

A

A

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔3

6p 1−⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠=

p 65 4⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

3q−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔3

6p 1−⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠=

3p 6q15 4q

− +⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Dari kesamaan matriks diperoleh:–3 = –3p + 6q

⇔ –1 = –p + 2q⇔ p = 2q + 1

–6p – 1 = –15 –4q⇔ –6(2q + 1) – 1 = –15 – 4q⇔ –12q – 6 – 1 = –15 – 4q⇔ –8q – 7 = –15⇔ –8q = –8⇔ q = 1Dengan demikian, diperoleh:p = 2q + 1 = 2 × 1 + 1 = 3Jadi, nilai p = 3 dan q = 1.

b. Diketahui koordinat titik B(p, q) dan matriks

M = q 23 p−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

, maka koordinat titik B(3, 1)

dan matriks M = 1 23 3−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠.

Misalkan bayangan titik B(3, 1) setelahditransformasi oleh matriks M adalahB′(x′, y′), maka:

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +


xy′⎛ ⎞

⎜ ⎟′⎝ ⎠=

1 23 3−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠B

B

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 23 3−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠

31

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 3 2 13 3 3 1− × + ×⎛ ⎞

⎜ ⎟− × + ×⎝ ⎠

= 3 29 3− +⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠

= 16−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠Jadi, bayangan titik B(p, q) jika ditransformasioleh matriks M adalah (–1, –6).

3. a. Segi empat PQRS ditransformasi oleh matriks

M = 1 20 3⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

menghasilkan bayangan

P′Q′R′S′, maka:

P Q R S

P Q R S

x x x xy y y y′ ′ ′ ′⎛ ⎞

⎜ ⎟′ ′ ′ ′⎝ ⎠

= 1 20 3⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

P Q R S

P Q R S

x x x xy y y y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 20 3⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

0 10 0 55 3 4 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 0 10 10 6 0 8 5 00 15 0 9 0 12 0 0− + + − +⎛ ⎞

⎜ ⎟+ − − +⎝ ⎠

= 10 16 8 5

15 9 12 0− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Jadi, koordinat P′(–10, 15), Q′(16, –9),R′(8, –12) dan S′(–5, 0).

b. Gambar P′Q′R′S′ pada koordinat kartesiussebagai berikut.

Dari gambar terlihat P′Q′R′S′ memiliki sepasangsisi sejajar, yaitu P′Q′ sejajar dengan R′S′. Dengandemikian, P′Q′R′S′ berbentuk trapesiumsebarang.

4. a.

AB = b – a

= 320

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

– 441

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 121

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

AC = c – a

=

232

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

–

441

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

21

1

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cos ∠A = AB AC| AB| | AC|

⋅

= 2 2 2 2 2 2

1 22 11 1

( ( 1) ( 2) ( 1) )( ( 2) ( 1) 1

− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

− + − + − − + − +

= 2 2 16 6+ − =

36 =

12

∠A = arc cos 12 = 60°

BA = a – b

=

441

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

–

320

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

121

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

BC = c – b

= 232

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

– 320

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1

12

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cos ∠B = BA BC

|BA | |BC |⋅

= 2 2 2 2 2 2

1 12 11 2

1 2 1 ( 1) 1 2

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

+ + − + +

= 1 2 2

6 6− + +

= 36 =

12

YP′

S ′ X

Q′

R′

0

–3

–6

–9

–12

15

12

9

6

3

–9 –6 –3 3 6 9 12 15

A(4, 4, 1) B(3, 2, 0)

C(2, 3, 2)


∠B = arc cos 12

= 60°∠C = 180° – 60°– 60°

= 60°b. Jenis segitiga ABC adalah segitiga sama sisi.

c. |AB| = 6 satuan

|BC| = 6 satuan

|AC| = 6 satuanKeliling = |AB| + |BC| + |AC|

= 6 + 6 + 6

= 3 6 satuan

Luas = 12 |AB||AC| sin A

= 12 × 6 × 6 sin 60°

= 12 × 6 ×

12 3

= 32 3 satuan luas

5. Suku bunga = i = 6% = 0,06 per semester

Periode = t = 4 tahun 2 bulan = 813 semester

Modal akhir = Mt = 24.385.500a. Investasi awal

Mt = M (1 + i)8 (1 + i × 13 )

⇒ 24.385.500 = M (1 + 0,06)8 (1 + 0,06 × 13 )

⇔ 24.385.500 = M (1,06)8 (1 + 0,02)⇔ 24.385.500 = M × 1,5938 × 1,02⇔ M = 15.000.000Jadi, uang yang diinvestasikan sebesarRp15.000.000,00.

b. Besar bungaB = Mt – M

= 24.385.500 – 15.000.000= 9.385.500

Jadi, besar bunga yang diperoleh adalahRp9.385.500,00.

6. Pinjaman = M = 4.000.000Suku bunga = i = 2% = 0,02 per bulanAnuitas = A = 200.000a. Besar bunga pertama

b1 = M × i= 4.000.000 × 0,02= 80.000

Jadi, besar bunga pertama adalah Rp80.000,00.

b. Besar angsuran ke-10Nilai angsuran pertama:a1 = A – b1

= 200.000 – 80.000= 120.000

Nilai angsuran ke-10:a10 = a1 (1 + i)9

= 120.000 (1 + 0,02)9

= 120.000 (1,02)9

= 120.000 × 1,1951= 143.412


7. Pinjaman = M = 12.500.000Suku bunga = i = 1,8% = 0,018 per bulanPeriode = t = 2 tahun = 24 bulana. Nilai anuitas

A = tM i

1 (1 i)−×

− +

= 2412.500.000 0,018

1 (1 0,018)−×

− +

= 24225.000

1 (1,018)−−

= 225.0001 0,6517−

= 225.0000,3483

= 645.994,83Jadi, nilai anuitasnya adalah Rp645.994,83.

b. Sisa pinjaman anuitas ke-18Besarnya angsuran pertama:a1 = A – b1

= A – M × i= 645.994,83 – 12.500.000 × 0,018= 645.994,83 – 225.000= 420.994,83


St = M – t

1a ((1 i) 1)i+ −


S18 = M – 18

1a ((1 i) 1)i

+ −

= 12.500.000 – 18420,994,83 ((1 0,018) 1)

0,018+ −

= 12.500.000 – 18420,994,83 (1,018 1)

0,018−

= 12.500.000 – 420,994,83 (1,3787 1)0,018

−

= 12.500.000 – 420,994,83 0,37870,018

×

= 12.500.000 – 8.857.263,45= 3.642.736,55

Jadi, sisa pinjaman setelah pembayarananuitas ke-18 adalah Rp3.642.736,55.


8. a. Diketahui titik A′(12, –5), titik A(3, 7), dan

translasi T = a 2b 1+⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠

A(3, 7) a 2Tb 1+⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ A′(3 + a + 2, 7 + b – 1)

= A′(12, –5)Diperoleh:

3 + a + 2 = 12⇔ a + 5 = 12⇔ a = 7

7 + b – 1 = –5⇔ 6 + b = –5⇔ b = –11Diperoleh a = 7 dan b = –11.

T = ab⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 711

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

B(1, 10) 7T11

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯⎯→ B′(8, –1)Jadi, bayangan titik B adalah B′(8, –1).

b. T = a 2b 3−⎛ ⎞

⎜ ⎟+⎝ ⎠ =

7 211 3−⎛ ⎞

⎜ ⎟− +⎝ ⎠ =

58

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

C(–5, 6) 5T8

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ C′(0, –2)Jadi, bayangan titik C adalah C′(0, –2).

9. a. Komposisi transformasi M N berarti titik Bdirotasi 90° berlawanan arah dengan jarum jamdan berpusat di titik O(0, 0) dan dilanjutkandengan refleksi terhadap sumbu X.

B(–6, 2) R[O(0, 0), 90 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B′(–2, –6)

B′(–2, –6) xM⎯⎯⎯→ B′′(–2, 6)Jadi, koordinat bayangan titik B olehkomposisi transformasi M N adalahB(–2, 6).

b. Komposisi transformasi N M berarti titik Bdirefleksi terhadap sumbu X dan dilanjutkandengan rotasi 90o berlawanan arah denganjarum jam dan berpusat di titik O(0, 0).

B(–6, 2) xM⎯⎯⎯→ B′(–6, –2)

B′(–6, –2) R[O(0, 0), 90 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B′′(2, –6)Jadi, koordinat bayangan titik B olehkomposisi transformasi N M adalahB′′(2, –6).

10. Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan2(x 1)

6− +

2(y 3)8+ = 1.

(x, y) 4T2

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎯⎯⎯⎯→ (x + 4, y – 2)

(x + 4, y – 2) R[O(0, 0), 270 ]°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (x′, y′) = (y – 2,–(x + 4))Diperoleh:x′ = y – 2⇔ y = x′ + 2y ′ = –(x + 4)⇔ –y′ = x + 4⇔ x = –y′ – 4Substitusikan x = –y′ – 4 dan y = x′ + 2 ke dalam

persamaan 2(x 1)

6− +

2(y 3)8+ = 1.

2(x 1)6− +

2(y 3)8+ = 1

⇔2( y 4 1)

6′− − − +

2(x 2 3)8

′ + + = 1

⇔2( y 5)

6′− − +

2(x 5)8

′ + = 1

⇔2( (y 5))

6′− + +

2(x 5)8

′ + = 1

⇔2(y 5)

6′ + +

2(x 5)8

′ + = 1

⇔2(x 5)

8+ +

2(y 5)6+ = 1

Jadi, persamaan bayangannya adalah

2(x 5)8+ +

2(y 5)6+ = 1.

106 Dimensi Tiga

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. mendeskripsikan konsep jarak dan sudut antara garis, garis dan bidang, serta bidang dan bidang pada dimensi tiga;2. menentukan jarak dan sudut antargaris, antarbidang, serta antara garis dan bidang pada bangun ruang dimensi tiga.

Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai diharapkan peserta didik bersikap teliti, cermat, dan percaya diridalam menyelesaikan soal dimensi tiga.

Jarak dalam Ruang

• Menentukan jarak antara dua titik• Menentukan jarak antara titik dan garis• Menentukan jarak antara titik dan bidang• Menentukan jarak antara dua garis• Menentukan jarak antara garis dan bidang• Menentukan jarak antara dua bidang

Dimensi Tiga

• Bersikap cermat dan teliti dalam menentukan jarak dan sudut dalam ruangdimensi tiga.

• Mampu menyelesaikan permasalahan jarak dan sudut dalam ruang dimensitiga.

• Menentukan sudut antara dua garis• Menentukan sudut antara garis dan bidang• Menentukan sudut antara dua bidang

Sudut dalam Ruang


Panjang rusuk = 8 cmAC, AH dan CH merupakan diagonal sisi kubus,

maka panjang AC = AH = CH = 8 2 cm.Segitiga ACH sama sisi, maka jarak titik C ke garisAH sama dengan jarak titik C ke P dengan P titiktengah AH.

AP = 12 AH =

12 × 8 2 = 4 2 cm

Segitiga APC siku-siku di P, maka:

CP = 2 2AC AP−

= 2 2(8 2) (4 2)−

= 128 32−= 96

= 4 6 cmJadi, jarak titik C ke diagonal sisi AH adalah

4 6 cm.

3. Jawaban: c

Jarak titik C ke garis TA sama dengan panjang CP.ABCD merupakan persegi dengan panjang sisi

8 cm, maka panjang diagonalnya = AC = 8 2 cm.

TA = TC = AC = 8 2 cm, maka TAC merupakansegitiga sama sisi sehingga P merupakan titiktengah TA.

AP = 12 AT =

12 × 8 2 = 4 2 cm

Segitiga ACP siku-siku di P, berarti:

CP = 2 2AC AP−

= 2 2(8 2) (4 2)−

= 128 32−= 96

= 4 6 cm

Jadi, jarak titik C ke garis TA adalah 4 6 cm.


Jarak titik A ke titik T sama dengan panjang ruasgaris AT. ADHE dan BCGF merupakan persegidengan titik pusat berturut-turut P dan Q. Per-hatikan gambar bidang diagonal ABTGH berikut.

ADHE dan BCGF merupakan persegi denganpanjang sisi 4 cm, maka panjang diagonalnya AH

= BG = 4 2 cm.

BQ = 12 BG =

12 × 4 2 = 2 2 cm

Segitiga BQT siku-siku di Q, maka:

QT = 2 2BT BQ−

= 2 2(2 6) (2 2)−

= 24 8−= 16 = 4 cm

PT = PQ + QT = 8 + 4 = 12 cm

AP = BQ = 2 2 cmSegitiga APT siku-siku di P, maka:

AT = 2 2AP PT+

= 2 2(2 2) 12+

= 8 144+

= 152 = 2 38 cm

Jadi, jarak titik A ke titik T adalah 2 38 cm.

2. Jawaban: aKubus ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

A B

CD

EF

GH

T4 cm

8 cm

PQ

A B

CD

E F

G

P

H

A B

CD

T

A C

P

T

108 Dimensi Tiga

4. Jawaban: e

Jarak titik R ke garis PM sama dengan panjangruas garis RT dimana T pada garis PM dengan RTtegak lurus PM.Segitiga PQR siku-siku di Q, maka:

PR = 2 2PQ QR+

= 2 23 4+

= 9 16+= 25= 5 cm

Segitiga PMR siku-siku di R, maka:

PM = 2 2PR RM+

= 2 25 12+

= 25 144+= 169= 13 cm

T pada PM sehingga RT tegak lurus PM, maka

luas segitiga PRM adalah L = 12 × PM × RT atau

L = 12 × PR × RM. Dari kedua rumus luas segitiga

PRM tersebut diperoleh:12 × PM × RT =

12 × PR × RM

⇔ 12 × 13 × RT =

12 × 5 × 12

⇔ RT =12

12

5 12

13

× ×

×=

6013

Jadi, jarak titik R ke garis PM adalah 6013 cm.

5. Jawaban: aLimas T.ABCD digambarkan sebagai berikut.

Jarak titik T ke bidang ABCD sama dengan jaraktitik T ke titik O, yaitu panjang ruas garis TO.Segitiga ABC siku-siku di B, maka:

AC = 2 2AB BC+

= 2 26 8+

= 36 64+= 100= 10 cm

AO = 12 AC =

12 × 10 = 5 cm

Segitiga TAO siku-siku di O, maka:

TO = 2 2TA AO−

= 2 210 5−

= 100 25−= 75= 5 3 cm

Jadi, jarak titik T ke bidang ABCD adalah 5 3 cm.

6. Jawaban: cPerhatikan gambarlimas T.KLM di samping.Jika titik Q pada garisTP sehingga garis KQtegak lurus garis TP,maka:Jarak (K, TLM)= jarak (K, TP)= jarak (K, Q)= KQΔKLM siku-siku di A dan sama kaki denganpanjang KL = KM = 4, maka ∠KLM = ∠KML = 45°

dan panjang LM = 4 2 cm.

P titik tengah LM, maka panjang LP = 12 LM

= 2 2 cm.ΔKLP siku-siku di P dan besar ∠KLP = ∠KLM =45°, maka ΔKLP sama kaki dan panjang KP = LP

= 2 2 cm.ΔTKP siku-siku di K dan sama kaki dengan panjang

TK = KP = 2 2 cm, maka ∠KPT = ∠KTP = 45°

dan panjang TP = 2 2 × 2 = 4 cm. Titik Qtepat berada di tengah-tengah TP. Oleh karenaΔKPQ siku-siku di P dan ∠KPQ = ∠KPT = 45°,maka segitiga ΔKPQ siku-siku sama kaki sehingga:

KQ = PQ = 12 PT =

12 × 4 = 2 cm

Jadi, jarak titik K ke bidang TLM adalah 2 cm.

PQ

RS

KL

MN

3 cm4 cm

12 cm

P R

T

M

A B

CD

T

O

10 cm

6 cm8 cm

K

L

M

T

P

Q


7. Jawaban: c

Jarak titik E ke bidang BGD sama dengan jaraktitik E ke garis GP dengan P titik tengah BD, yaitusama dengan panjang EQ.EG dan AC merupakan diagonal sisi, maka panjang

EG = AC = 12 2 cm.

AP = 12 AC =

12 × 12 2 = 6 2 cm

Segitiga APE siku-siku di A, maka:

EP = 2 2AE AP+

= 2 212 (6 2)+

= 144 72+= 216

= 6 6 cm

GP = EP = 6 6 cm

Luas ΔEGP dapat dituliskan L = 12 × GP × EQ

atau L = 12 × EG × PR, maka:

12 × GP × EQ =

12 × EG × PR

⇔ 12 × 6 6 × EQ =

12 × 12 2 × 12

⇔ 3 6 EQ = 72 2

⇔ EQ = 72 23 6

= 24

3 = 8 3 cm

Jadi, jarak titik E ke bidang BGD adalah 8 3 cm.

8. Jawaban: cPerhatikan kubus ABCD. EFGH dan bidangdiagonal ABGH berikut.

Jarak antara garis PQ dan AG sama denganpanjang ruas garis RS.Ruas garis AB merupakan rusuk, maka AB = 9 cm.Ruas garis AH merupakan diagonal sisi, maka AH

= 9 2 cm. Ruas garis AG merupakan diagonal

ruang, maka AG = 9 3 cm.

Luas segitiga AGH adalah L = 12 × AG × HS atau

L = 12 × AH × GH, maka:

12 × AG × HS =

12 × AH × HG

⇔ 12 × 9 3 × HS =

12 × 9 2 × 9

⇔ HS = 9 2 9

9 3×

= 9 2

3 = 3 6 cm

P merupakan titik tengah AH dan Q merupakantitik tengah GH, maka R merupakan titik tengahHS sehingga:

RS = 12 HS =

12 × 3 6 =

32

6 cm

Jadi, jarak antara garis PQ dan AG adalah 32

6 cm.

9. Jawaban: aBalok PQRS.TUVW digambarkan sebagai berikut.

Jika X merupakan titik pada garis WU sehinggaVX tegak lurus WU, maka:jarak (RV, QSWU) = jarak (V, QSWU)

= jarak (V, WU)= jarak (V, X) = VX

Segitiga UVW siku-siku di V, maka:

UW= 2 2UV VW+

= 2 26 8+= 36 64+= 100 = 10 cm

Luas segitiga UVW adalah L = 12 × UW × VX atau

L = 12 × UV × VW, maka:

12 × UW × VX =

12 × UV × VW

⇔ 12 × 10 × VX =

12 × 6 × 8

⇔ 5 × VX = 24⇔ VX = 4,8 cmJadi, jarak garis RV ke bidang QSWU adalah4,8 cm.

A B

CD

E F

GH

P

E

P

Q

R G

A B

CD

E F

GH

P

Q

A B

S

G

P

R

QH

P Q

RS

T U

VW

4 cm

6 cm8 cm

X

110 Dimensi Tiga

10. Jawaban: cBalok KLMN.OPQR digambarkan sebagai berikut.

Garis KR dan MQ bersilanganJarak (KR, MQ) = jarak (KNRO, MQ)

= jarak (KRNO, Q)= jarak (R, Q)= RQ = 14 cm

Jadi, jarak garis KR dan garis MQ adalah 14 cm.

B. Uraian1. Balok ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

a. Titik P merupakan titik tengah bidang EFGH.Jarak titik A ke titik P sama dengan panjangruas garis AP.Segitiga EFG siku-siku di F, maka:

EG = 2 2EF FG+

= 2 28 6+

= 64 36+

= 100= 10 cm

EP = 12 EG =

12 × 10 = 5 cm

Segitiga AEP siku-siku di E, maka:

AP= 2 2AE EP+

= 2 2(2 6) 5+

= 24 25+

= 49= 7 cm

Jadi, jarak titik A ke titik tengah bidang EFGHadalah 7 cm.

b. Jarak (A, EFGH) = jarak (A, E)= AE

= 2 6 cmJadi, jarak titik A ke bidang EFGH adalah

2 6 cm.

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm.Jika P merupakan titik tengah GH, tentukan:a. jarak titik P ke garis CF;b. jarak titik P ke bidang ACGE.Jawaban:a.

Panjang PF = PC, maka segitiga PFC samakaki dan PQ tegak lurus FC dengan Q titiktengah FC.Jarak titik P dengan garis FC sama denganpanjang ruas garis PQ.FC merupakan diagonal sisi, maka panjang

FC = 6 2 cm.Segitiga PGF siku-siku di G, maka:

PF= 2 2PG GF+

= 2 23 6+

= 9 36+

= 45 = 3 5 cm

PC = PF = 3 5 cm

FQ = 12 FC =

12 × 6 2 = 3 2 cm

Segitiga FQP siku-siku di Q, maka:

PQ = 2 2PF FQ−

= 2 2(3 5) (3 2)−

= 45 18−

= 27 = 3 3 cm

Jadi, jarak titik P ke garis CF adalah 3 3 cm.

b.

Jarak (P, ACGE) = jarak (P, EG)= jarak (P, R)= PR

Sudut-sudut segitiga PRG dan segitiga EHGsama besar,maka kedua segitiga tersebutsebangun sehingga:

K L

MN

O PQR

8 cm

14 cm10 cm

A B

CD

E F

GH P

8 cm6 cm

2 6 cm

A B

CD

E F

GH P

E F

GH P

R

A B

CD

E F

GH P

P

QF C


U V

12 cm15 cm

X

Q R9 cm

PREH =

PGEG

⇔ PR6 =

1

26

6 2

×

⇔ PR = 32

⇔ PR = 32

2 cm

Jadi, jarak titik P ke bidang ACGE adalah

32

2 cm.

3. Balok PQRS.TUVW digambarkan sebagai berikut.

Panjang balok: p = PQ = 15 cmLebar balok: = QR = 9 cmLuas balok:L = 846 cm2

⇒ 2 × (p + pt + t) = 846⇔ 2 × (15 × 9 + 15 × t + 9 × t) = 846⇔ 135 + 15t + 9t = 423⇔ 24t = 288⇔ t = 12 cmDiperoleh RV = t = 12 cm.a. Jarak (PQ, WV) = jarak (Q, WV)

= jarak (Q, V)= QV

ΔQRV siku-siku di R, maka:

QV = 2 2QR RV+

= 2 29 12+

= 81 144+

= 225 = 15 cmJadi, jarak antara garis PQ dan garis WVadalah 15 cm.

b. Perhatikan sisi QRVU berikut.

Jarak (PQ, RSTU) = jarak (Q, RSTU)= jarak (Q, RU)= jarak (Q, X)= QX

Luas ΔQRU dapat dirumuskan L = 12 × RU

× QX atau L = 12 × QR × QU. Dari kedua

rumus luas ΔQRU tersebut diperoleh:12 × RU × QX =

12 × QR × QU

⇔ 12 × 15 × QX =

12 × 9 × 12

⇔ 7,5 QX = 54⇔ QX = 7,2 cmJadi, jarak antara garis PQ dan bidang RSTUadalah 7,2 cm.

4.

Jarak (ACH, BEG) = jarak (P, BEG)= jarak (P, BQ)= jarak (P, R)= PR

BD merupakan diagonal bidang, maka BD

= 6 2 cm.

BP = 12 BD =

12 × 6 2 = 3 2 cm

ΔBPQ siku-siku di P, maka:

BQ = 2 2BP PQ+

= 2 2(3 2) 6+

= 18 36+

= 54 = 3 6 cm

Luas ΔBPQ dapat dirumuskan L = 12 × BQ × PR

atau L = 12 × BP × PQ. Dari kedua rumus luas

segitiga ΔBPQ tersebut diperoleh:12 × BQ × PR =

12 × BP × PQ

⇔ 12 × 3 6 × PR =

12 × 6 × 3 2

⇔ 3 6 PR = 18 2

⇔ PR = 18 23 6

= 63 = 2 3 cm

Jadi, jarak antara bidang ACH dan bidang BEG

adalah 2 3 cm.

P Q

RS

TU

VW

A B

CD

E F

GHQ

P

6 cm

6 cm

P

Q

R

B

112 Dimensi Tiga

5. Limas T.ABCD digambarkan sebagai berikut.

Jarak (AD, TB) = jarak (AD, TBC)= jarak (Q, TBC)= jarak (Q, TP)= jarak (Q, R)= QR

Segitiga PCT siku-siku di P, maka:

PT = 2 2CT PC−

= 2 28 4−

= 64 16−

= 48

= 4 3 cm

PT = QT = QP = 4 3 cm, berarti segitiga TPQsama sisi dan R titik tengah PT.Segitiga PQR siku-siku di R, maka:

QR = 2 2QP PR−

= 2 2(4 3) (2 3)−

= 48 12−

= 36= 6 cm

Jadi, jarak antara garis AD dan TB adalah 6 cm.

A B

CDQ

T

P44

Q P

R

T

4 3


Sudut antara garis AC dan TC adalah adalah ∠ACT= ∠PCT = α dengan P merupakan titik tengah AC.Segitiga ABC siku-siku di B, maka:

AC = 2 2AB BC+

= 2 23 3+

= 9 9+

= 18

= 3 2 cm

PC = 12 AC =

12 × 3 2 = 3

22 cm

Segitiga TPC siku-siku di P, maka:

Cos α = PCTC =

32

2

3 = 1

22

⇔ α = 45°Jadi, besar sudut antara garis AC dan TC adalah45°.

2. Jawaban: a

Garis SW sejajar RV. Sudut antara garis RU danSW sama dengan sudut antara garis RU dan RV,yaitu ∠URV.Segitiga RUV siku-siku di V, maka:

RU = 2 2RV UV+

= 2 26 8+= 36 64+

= 100 = 10 cm

sin ∠URV = UVUR =

810 = 0,8

Jadi, nilai sinus sudut antara garis RU dan SWadalah 0,8.

3. Jawaban: b

A B

CD

T

O3

3

3

P Q

RS

T U

VW

6 cm

8 cm12 cm

A B

CD

E F

GH

P

Q

R


Misalkan R titik tengah CG, maka AC sejajar PRsehingga sudut antara PQ dan AC sama dengansudut antara PQ dan PR, yaitu ∠QPR.AC merupakan diagonal sisi kubus, maka AC =

6 2 cm.

PR = AC = 6 2 cmSegitiga ABQ siku-siku di B, maka AQ2

= AB2 + BQ2.Segitiga PAQ siku-siku di A, maka:

PQ = 2 2PA AQ+

= 2 2 2PA AB BQ+ +

= 2 2 23 6 3+ +

= 9 36 9+ +

= 54 = 3 6 cmSegitiga QCR siku-siku di C, maka:

QR = 2 2QC CR+

= 2 23 3+

= 9 9+= 18

= 3 2 cmPada segitiga PQR berlaku aturan kosinus:

cos ∠QPR = 2 2 2PR PQ QR

2 PR PQ+ −

= 2 2 2(6 2) (3 6) (3 2)

2 6 2 3 6

+ −× ×

= 72 54 1836 12

+ −×

= 10836 2 3×

= 32 3

= 12

3

Jadi, nilai kosinus sudut antara PQ dan AC adalah

12

3 .

4. Jawaban: d

Proyeksi CH pada ACGE adalah CP, berarti sudutantara AH dan ACGE adalah ∠HCP.

Misalkan panjang rusuk kubus a cm.

Panjang diagonal sisi CH = HF = a 2 cm.

HP = 12 HF =

12 × a 2 cm = a

22 cm

sin ∠HCP = HPCH =

a2

2

a 2 =

12

⇔ ∠HCP = 30°Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis CHdengan bidang ACGE adalah 30°.

5. Jawaban: c

Sudut antara AE dan bidang AFH sama dengansudut antara AE dan AP dengan P titik tengahHF, yaitu ∠EAP = α.EG merupakan diagonal bidang, maka:

EG = 4 2 cm

EP = 12 EG =

12 × 4 2 = 2 2 cm


AP = 2 2AE EP+

= 2 24 (2 2)+

= 16 8+

= 24 = 2 6 cm

Sin α = EPAP =

2 22 6

= 13 =

13

3

Jadi, nilai sin α = 13

3 .

6. Jawaban: a

Proyeksi TR pada bidang alas PQRS adalah OR,maka sudut antara TR dan bidang alas PQRSadalah ∠TRO = α.PQRS merupakan persegi dengan panjang sisi

6 cm, maka panjang diagonal PR = 6 2 cm.

A B

CD

E FGH

P H P

C

P Q

RS

T

O

9 cm

6 cm6 cm

T

O Rα

A B

CD

E F

GHP E P

A

4 cm

114 Dimensi Tiga

OR = 12 PR =

12 × 6 2 = 3 2 cm

Segitiga TOR siku-siku di O, maka:

TO = 2 2TR OR−

= 2 29 (3 2)−

= 81 18−

= 63

= 3 7 cm

tan α = TOOR =

3 73 2

× 22

= 12

14

Jadi, tangen sudut antara garis TR dan bidang alas

PQRS adalah 12

14 .

7. Jawaban: b

Sudut antara garis TA dengan bidang ABC adalah∠TAD = α.Segitiga ABD siku-siku di D, maka:

AD = 2 2AB BD−

= 2 24 2−

= 16 4−

= 12

= 2 3 cm

TD = AD = 2 3 cmPada segitiga TAD berlaku aturan kosinus:TD2 = AD2 + TA2 – 2 AD TA cos α

( 2 3 )2 = ( 2 3 )2 + 42 – 2 × 2 3 × 4 × cos α

⇔ 12 = 12 + 16 – 16 3 cos α

⇔ 16 3 cos α = 16 α

⇔ cos α = 16

16 3 = 13 ×

33

= 13

3

Jadi, nilai kosinus sudut antara TA dan bidang ABC

adalah 13

3 .

8. Jawaban: b

Sudut antara bidang TQR dan PQR sama denganantara garis TS dan PS dengan S titik tengah QR,yaitu ∠PST = α.ΔPQR siku-siku di P, maka:

QR = 2 2PQ QR+

= 2 26 6+

= 36 36+

= 72

= 6 2 cm

QS = 12 QR =

12 × 6 2 = 3 2 cm

ΔPQS siku-siku di S, maka:

PS = 2 2PQ QS−

= 2 26 (3 2)−

= 36 18−

= 18

= 3 2 cm

tan α = TPPS =

3 23 2

= 1

⇔ α = 45°Jadi, besar sudut antara bidang TQR dan PQRadalah 45° .

9. Jawaban: e

Sudut (DEG, BEG) = sudut (DP, BP)= ∠DPB= α

A

B

C

D

T

4

42

2

Q

R

S

T

P

P

T

Sα

A B

CD

E F

GHP

P

D B

α


3

1

y

α

BD dan HF merupakan diagonal bidang kubus,

maka panjang BD = HF = 8 2 cm.

HP = 12 HF =

12 × 8 2 = 4 2 cm

Segitiga DHP siku-siku di H, maka:

DP = 2 2DH HP+

= 2 28 (4 2)+

= 64 32+

= 96

= 4 6 cm

BP = DP = 4 6 cmPada segitiga DBP berlaku aturan kosinus:BD2 = DP2 + BP2 – 2 DP BP cos α

⇔ ( 8 2 )2 = ( 4 6 )2 + ( 4 6 )2

– 2 × 4 6 × 4 6 × cos α⇔ 128 = 96 + 96 – 192 cos α⇔ 192 cos α = 96 + 96 – 128⇔ 192 cos α = 64

⇔ cos α = 64

192 = 13

Dari nilai cos α = 13 diperoleh:

y = 2 23 1−

= 9 1−= 8

= 2 2

tan α = 2 21

= 2 2

Jadi, nilai tangen sudut antara bidang DEG dan

bidang BEG adalah 2 2 .

10. Jawaban: b

Sudut antara bidang TAD dan bidang TBC samadengan sudut antara TP dan TQ dengan P dan Qtitik tengah AD dan BC, yaitu ∠PTQ.PQ = AB = 6 cm

PO = 12 PQ =

12 × 6 = 3 cm

Segitiga POT siku-siku di O, maka:

PT = 2 2PO OT+

= 2 23 4+

= 9 16+

= 25 = 5 cmPada segitiga PTQ berlaku aturan kosinus, yaitu:PQ2 = TP2 + TQ2 – 2 TP TQ cos ∠PTQ⇔ 62 = 52 + 52 – 2 × 5 × 5 cos ∠PTQ⇔ 36 = 25 + 25 – 50 cos ∠PTQ⇔ 50 cos ∠PTQ = 25 + 25 – 36⇔ 50 cos ∠PTQ = 14

⇔ cos ∠PTQ = 7

25

Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang TAD dan

bidang TBC adalah 7

25 .

B. Uraian1.

DF dan BH berpotongan di O. Sudut antara DFdan BH sama dengan ∠BOF.BH merupakan diagonal ruang, panjang BH

= 6 3 cm.

BO = BF = 12 BH =

12 × 6 3 = 3 3 cm

Pada segitiga BOF berlaku aturan kosinus:

cos ∠BOF = 2 2 2BO OF BF2 BO OF+ −

= 2 2 2(3 3) (3 3) 6

2 3 3 3 3+ −

× ×

= 27 27 36

54+ −

= 1854 =

13

Jadi, nilai kosinus sudut antara DF dan BH adalah

13 .

2.

A B

CDP O Q

T

P QO

T

5 5

3 3

A B

CD

E F

GH

O

A B

CD

E F

GH

P

Q

RP

Q

R

116 Dimensi Tiga

Misalkan R titik tengah AD, maka BD sejajar PR.Sudut antara PQ dan BD sama dengan sudutantara PQ dan PR, yaitu ∠QPR.Segitiga PBC siku-siku di B, maka:

PC = 2 2PB BC+

= 23 2

23⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

−

= 94

9+

= 454

= 32

5 cm

Segitiga PCQ siku-siku di C, maka:

PQ = 2 2PC CQ+

= 2 23 3

2 25⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

= 45 94 4

+

= 544

= 32

6 cm

RQ = PQ = 32

6 cm

Segitiga APR siku-siku di A, maka:

PR = 2 2AP AR+

= 2 23 3

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

= 9 94 4

+

= 184

= 32

2 cm

Pada segitiga PQR berlaku aturan kosinus:

cos ∠QPR = 2 2 2PR PQ QR

2 PR PQ+ −

= ( ) ( ) ( )2 2 23 3 3

2 2 23 32 2

2 6 6

2 2 6

+ −

× ×

= 92

92

12

= 1

12

= 1

2 3

= 1

36

Jadi, nilai kosinus sudut antara PQ dan BD adalah

13

6 .

3.

Sudut antara garis PD dengan bidang ABCD adalah∠PDO = α.Segitiga ABD siku-siku di A, maka:

BD = 2 2AB AD+

= 2 210 10+

= 100 100+

= 200

= 10 2 cm

OD = 12 BD =

12 × 10 2 = 5 2 cm

OP = 12 OT =

12 × 10 = 5 cm

Segitiga DOP siku-siku di O, maka:

DP = 2 2OD OP+

= 2 2(5 2) 5+

= 50 25+

= 75

= 5 3 cmPada segitiga DOP berlaku:

Sin α = OPDP =

55 3 =

13

3

Jadi, nilai sinus sudut antara garis PD dan bidang

ABCD adalah 13

3 .

4.

Proyeksi garis MW pada bidang PQRS adalahgaris MS, maka sudut antara garis MW dan bidangPQRS sama dengan sudut antara garis MW dangaris MS, yaitu ∠SMW = α.Segitiga PMS siku-siku di P, maka:

A B

CD

T

P

O

P

D Oα

P Q

RST U

VW

M S

W

Mα


A B

CD

E F

GHP

O

P G

O

α

A. Pilihan Ganda1. Jawaban: d

Kubus ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

Segitiga ABP siku-siku di P, maka:

AP = 2 2AB BP+

= 2 2(6 3) (3 3)+

= 108 27+

= 135 = 3 15 cm

Segitiga APE siku-siku di A, maka:

PE = 2 2AP AE+

= 2 2(3 15) (6 3)+

= 135 108+

= 243

= 9 3 cm

Jadi, jarak antara titik P dan titik E adalah 9 3 cm.

2. Jawaban: dLimas T.KLMN digambarkan sebagai berikut.

MS = 2 2PM PS+

= 2 24 8+

= 16 64+

= 80

= 4 5 cmSegitiga MSW siku-siku di S, maka:

MW = 2 2MS SW+

= 2 2(4 5) 4+

= 80 16+

= 96

= 4 6 cm

sin ∠SMW = SWMW =

44 6 =

16

6

Jadi, nilai sinus sudut antara garis MW dan bidang

PQRS adalah 16

6 .

5.

Titik O merupakan titik tengah bidang ABCD dantitik P merupakan titik tengah bidang EFGH.Sudut antara bidang BDG dan bidang BDHF samadengan sudut antara garis OG dan OP, yaitu∠GOP = α.OP = AE = a cmEG merupakan diagonal bidang, maka panjang EG

= a 2 cm.

PG = 12 EG =

12 × a 2 = a

22 cm

Segitiga POG siku-siku di P, maka:

OG = 2 2OP PG+

= ( )2a22

a 2+

= 12 22

a a+

= 3 22

a

= 12

a 6 cm

cos α = OPOG =

12

a

a 6 =

26 ×

66

= 13

6

Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang BDG dan

bidang BDHF adalah 13

6 .

A B

CD

E F

GH

P

6 3

6 3

K L

MN

O

T

3 cm

6 cm6 cm

118 Dimensi Tiga

Segitiga LMN siku-siku di M, maka:

NL = 2 2NM ML+

= 2 26 6+

= 36 36+

= 72

= 6 2 cm

OL = 12 NL =

12 × 6 2 = 3 2 cm

Segitiga TOL siku-siku di O, maka:

TL = 2 2TO OL+

= 2 23 (3 2)+

= 9 18+

= 27

= 3 3 cm

Jadi, jarak titik T ke titik L adalah 3 3 cm.

3. Jawaban: cPerhatikan gambar berikut.

RX : XS = 3 : 2, berarti RX = 33 2+

RS = 35 × 15

= 9 cm.

QY : YU = 2 : 1, berarti QY = 2

2 1+ QU = 23 × 18

= 12 cm.ΔRQY siku-siku di Q, maka:

RY = 2 2RQ QY+

= 2 25 12+

= 25 144+

= 169 = 13 cmΔRXY siku-siku di R, maka:

XY = 2 2RY RX+

= 2 213 9+

= 169 81+

= 250

= 5 10 cm

Jadi, jarak antara titik X dan Y adalah 5 10 cm.

4. Jawaban: bPanjang rusuk kubus: CD = 5 cm

Panjang diagonal sisi kubus: DE = 5 2 cm

Panjang diagonal ruang kubus: CE = 5 3 cm

Jarak titik D ke garis CE sama dengan panjangruas garis DP dengan titik P pada CE dan DP tegaklurus CE.Segitiga CDE siku-siku di D. Luas segitiga CDE

dapat dirumuskan L = 12 × CE × DP atau

L = 12 × CD × DE. Dari kedua rumus luas segitiga

CDE tersebut diperoleh:

12 × CE × DP =

12 × CD × DE

⇔ 12 × 5 3 × DP =

12 × 5 × 5 2

⇔ DP = 12

12

5 5 2

5 3

× ×

×

= 5 23

× 33

= 53

6

Jadi, jarak titik D ke garis CE adalah 53

6 cm.

5. Jawaban: c

Jarak titik A ke garis CT sama dengan panjangruas garis AP dimana P pada garis CT dengan APtegak lurus CT.EG dan AC merupakan diagonal sisi, maka panjang

EG = AC = 9 2 cm.Segitiga AET siku-siku di E dengan:AE = 9 cm

ET = 12 EG =

12 × 9 2 =

92

2 cm

A B

CD

E F

GH

D C

P

E

P Q

RS

TU

W

YX

V

18

515 X

Y

R

A B

CD

EF

GHT

P

A C

P

Q

T


AT = 2 2AE ET+

= 812

81+

= 2432

= 81 64× = 9

26 cm

Segitiga ACT merupakan segitiga sama kaki

dengan AT = CT = 92

6 cm. Jika Q merupakan

titik tengah AC, QT merupakan garis tinggi segitigaACT sehingga QT = AE = 9 cm.

Luas segitiga ACT dapat dirumuskan L = 12 × CT

× AP atau L = 12 × AC × QT. Dari kedua rumus

luas segitiga ACT tersebut diperoleh:12 × CT × AP =

12 × AC × QT

⇔ 12 × 9

26 × AP =

12 × 9 2 × 9

⇔ AP = 12

1 92 2

29 9

6

× ×

×

= 18

3 × 3

3 = 6 3

Jadi, jarak titik A ke garis CT adalah 6 3 cm.

6. Jawaban: dKubus ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

Segitiga AMG sama kaki, maka MN tegak lurusAG dengan N titik tengah AG. Jarak titik M dengangaris AG sama dengan panjang ruas garis MN.AG merupakan diagonal ruang, maka panjang

AG = 8 3 cm.Segitiga AEM siku-siku di A, maka:AE = 8 cm

EM = 12 EH =

12 × 8 = 4 cm

AM = 2 2AE EM+

= 64 16+

= 80 = 4 5 cm

MG = AM = 4 5 cm

Segitiga AMN siku-siku di N, maka:

AM = 4 5 cm

AN = 12 AG =

12 × 8 3 = 4 3 cm

MN = 2 2AM AN−

= 2 2(4 5) (4 3)−

= 80 48−

= 32 = 4 2 cm

Jadi, jarak titik M ke garis AG adalah 4 2 cm.


CE merupakan diagonal ruang, maka CE

= 4 3 cm.Segitiga AME siku-siku di A, maka:AE = 4 cm

AM = 12 AB =

12 × 4 = 2 cm

EM = 2 2AE AM+

= 2 24 2+

= 16 4+

= 20

= 2 5 cm

CM = EM = 2 5 cm

CM2 + EM2 = ( 2 5 )2 + ( 2 5 )2

= 20 + 20= 40

EC2 = ( 4 3 )2 = 48Oleh karena CM2 + EM2 < EC2, segitiga EMCmerupakan segitiga tumpul yang digambarkansebagai berikut.

A B

CD

E F

GHM

N8 cm

8 cm8 cm

A B

CD

E F

GH

M

CO M

N

2 5 cm

2 3 cm

2 3 cm

E

120 Dimensi Tiga

Jarak titik E ke garis CM sama dengan panjangruas garis EO.Segitiga NMC siku-siku di N, maka:

MN = 2 2MC CN−

= 2 2(2 5) (2 3)−

= 20 12−

= 8 = 2 2 cm

Luas ΔEMC dapat dituliskan L = 12 × MC × EO

atau L = 12 × CE × MN, maka:

12 × MC × EO =

12 × CE × MN

⇔ 12 × 2 5 × EO =

12 × 4 3 × 2 2

⇔ 5 EO = 4 6

⇔ EO = 4 6

5 = 4

530 cm

Jadi, jarak titik E ke CM sama dengan 45

30 cm.

8. Jawaban: dPerhatikan sisi QRVU pada balok PQRS.TUVW.

Jarak (Q, RSTU) = jarak (Q, RU)= jarak (Q, M)= QM

Segitiga QRU siku-siku di Q, maka:

RU = 2 2RQ QU+

= 2 212 9+

= 144 81+

= 225= 15 cm

Luas segitiga QRU adalah L = 12 × RU × QM atau

L = 12 × QR × QU, maka:

12 × RU × QM =

12 × QR × QU

⇔ 12 × 15 × QM =

12 × 12 × 9

⇔ 15 × QM = 108⇔ QM = 7,2Jadi, jarak titik Q ke bidang RSTU adalah 7,2 cm.

9. Jawaban: bGaris PR tegak lurus dengan garis TP dan PQ,maka PR tegak lurus dengan bidang TPQ sehinggajarak titik R ke bidang TPQ sama dengan panjangruas garis PR. Segitiga PQR siku-siku di P, maka:

PR = 2 2QR PQ−

= 2 29 (3 6)−

= 81 54−

= 27

= 3 3 cm

Jadi, jarak titik R ke bidang TPQ adalah 3 3 cm.

10. Jawaban: eLimas ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

Jarak titik D ke bidang ACH sama dengan jaraktitik D ke garis HP dengan P titik tengah AC, yaitusama dengan panjang DQ.

Panjang rusuk DH = 2 6 cmDB merupakan diagonal sisi, maka:

DB = 2 6 × 2 = 2 12 = 4 3 cm

DP = 12 DB =

12 × 4 3 = 2 3 cm

Segitiga DPH siku-siku di D, maka:

HP = 2 2DH DP+

= 2 2(2 6) (2 3)+

= 24 12+

= 36 = 6 cmSegitiga DPH siku-siku di D. Luas segitiga DPH

dapat dirumuskan L = 12 × HP × DQ atau

L = 12 × DP × DH. Dari kedua rumus luas segitiga

DPH tersebut diperoleh:12 × HP × DQ =

12 × DP × DH

⇔ 12 × 6 × DQ =

12 × 2 3 × 2 6

⇔ 3 DQ = 6 2

⇔ DQ = 2 2 cm

Jadi, jarak titik D ke bidang ACH adalah 2 2 cm.

Q R

U V

M9 cm

12 cm

A B

CD

E FGH

P

H

Q

PD

Q


11. Jawaban: cBalok KLMN.OPQR digambarkan sebagai berikut.

Garis KN dan garis PQ sejajar, maka:jarak (KN, PQ) = jarak (K, PQ)

= jarak (K, P)= KP

Segitiga KLP siku-siku di L, maka:

KP = 2 2KL LP+

= 2 212 6+

= 144 36+

= 180 = 6 5 cmJadi, jarak garis KN dan garis PQ adalah

6 5 cm.

12. Jawaban: e

Jarak (PQ, TC) = jarak (Q, TC)= jarak (Q, R)= QR

Segitiga ABC siku-siku di B, maka:

AC = 2 2AB BC+

= 2 26 6+

= 36 36+

= 72 = 6 2 cmSegitiga TAC sama sisi dengan TA = TC = AC

= 6 2 cm, maka ∠C = 60° dan QC = 12 AC

= 3 2 cm. Pada segitiga QCR berlaku:

sin ∠C = QRQC

⇔ QR = QC sin ∠C

= 3 2 × sin 60°

= 3 2 × 12

3 = 32

6

Jadi, jarak garis PQ ke garis TC adalah 32

6 cm.


Garis XY sejajar dengan bidang ADHE. Garis XYpada bidang BCGF dan jarak bidang BCGF denganbidang ADHE sama dengan panjang rusuk

AB = 4 3 cm.Jadi, jarak garis XY ke bidang ADHE adalah

4 3 cm.

14. Jawaban: b

jarak (BC, TAD) = jarak (P, TAD)= jarak (P, TQ)= jarak (P, R)= PR

Segitiga PCT siku-siku di P, maka:

PT = 2 2CT PC−

= 2 215 10−

= 225 100−

= 125

= 5 5 cm

PT = QT = 5 5 cm dan PQ = AB = 20 cm, berartisegitiga TPQ sama kaki.Segitiga TOP siku-siku di O, maka:

OP = 12 PQ =

12 × 20 = 10 cm

OT = 2 2PT OP−

= 2 2(5 5) 10−

= 125 100−

= 25 = 5 cmLuas segitiga PQT dapat dirumuskan

L = 12 × QT × PR atau L =

12 × PQ × OT. Dari

kedua rumus luas segitiga PQT tersebut diperoleh:

K L

MN

O P

QR

6 cm

10 cm12 cm

A B

CD

T

A C

P

T

Q

R

A B

CD

E F

GHY

X

A B

CD

T

PQ10

10

15

Q

R

P

T

O

122 Dimensi Tiga

12 × QT × PR =

12 × PQ × OT

⇔ 12 × 5 5 × PR =

12 × 20 × 5

⇔ 52

5 × PR = 50

⇔ PR = 52

50

5

= 20

5 × 55

= 4 5

Jadi, jarak garis BC ke bidang TAD adalah4 5 cm.

15. Jawaban: dKubus ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

Jarak (PQHE, BCSR) = jarak (P, BCSR)= jarak (P, BR)= jarak (P, T)= PT

Segitiga BPR siku-siku di P, maka:

BR = 2 2BT PR+

= 2 24 8+

= 16 64+

= 80 = 4 5 cm

Luas ΔBPR dapat dirumuskan L = 12 × BR × PT

atau L = 12 × PB × PR. Dari kedua rumus luas

segitiga BPR tersebut diperoleh:12 × BR × PT =

12 × PB × PR

⇔ 12 × 4 5 × PT =

12 × 4 × 8

⇔ 2 5 × PT = 16

⇔ PT = 162 5

⇔ PT = 85

5

Jadi, jarak bidang PQHE ke bidang BCSR adalah85

5 cm.

16. Jawaban: b

Jarak (PLN, SQM) = jarak (PLN, X)= jarak (PY, X)= jarak (Z, X)= ZX

PQRS merupakan persegi dengan panjang sisi10 cm, maka panjang diagonalnya = PR =

10 2 cm.

PX = 12 PR =

12 × 10 2 = 5 2 cm

Segitiga PXY siku-siku di X, maka:

PY = 2 2PX XY+

= 2 2(5 2) (10 2)+

= 50 200+

= 250 = 5 10 cmSegitiga PXY siku-siku di X. Luas segitiga PXY

dapat dirumuskan L = 12 × PY × ZX atau

L = 12 × PX × XY. Dari kedua rumus luas segitiga

PXY tersebut diperoleh:12 × PY × ZX =

12 × PX × XY

⇔ 12 × 5 10 × PY =

12 × 5 2 × 10 2

⇔ 5 10 × PY = 100

⇔ PY = 100

5 10

= 2010 ×

1010

= 2010

10 = 2 10 cmJadi, jarak antara bidang PLN dan SQM adalah

2 10 cm.

17. Jawaban: bKubus ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

A B

CD

E F

GH

R

Q

P A B

E FR

T

P

8 cm

4 cm

S

K L

MN

P Q

RSX

Y10 cm

10 cm

10 2 cmZ

AB

CD

E F

GH


Jarak (AD, GH) = jarak (AD, EFGH)= jarak (A, EFGH)= jarak (A, E)= AE

= 6 2 cm

Jadi, jarak antara garis AD dan GH adalah

6 2 cm.

18. Jawaban: aBalok ABCD.EFGH digambarkan sebagai berikut.

Garis BF dan garis AG bersilangan, maka:jarak (BF, AG) = jarak (BF, ACGE)

= jarak (B, ACGE)= jarak (B, AC)= jarak (B, P)= BP

Segitiga ABC siku-siku di B, maka:

AC = 2 2AB BC+

= 2 26 (6 3)+

= 36 108+

= 144 = 12 cm

Luas ΔABC dapat dirumuskan L = 12 × AC × BP

atau L = 12 × AB × BC. Dari kedua rumus luas

segitiga ΔABC tersebut diperoleh:12 × AC × BP =

12 × AB × BC

⇔ 12 × 12 × BP =

12 × 6 × 6 3

⇔ 6 BP = 18 3

⇔ BP = 3 3

Jadi, jarak garis BF ke garis AG adalah 3 3 cm.

19. Jawaban: e

Sudut antara TA dan TC adalah ∠ATC = α.Segitiga ABC siku-siku di B, maka:

AC = 2 2AB BC+

= 2 25 5+

= 25 25+

= 50

= 5 2 cmPada segitiga TAC berlaku aturan kosinus:AC2 = TA2 + TC2 – 2 TA TC cos α

⇔ ( 5 2 )2 = 52 + 52 – 2 × 5 × 5 × cos α⇔ 50 = 25 + 25 – 50 cos α⇔ 50 cos α = 0⇔ cos α = 0⇔ α = 90°Jadi, besar sudut antara garis TA dan TC adalah90°.

20. Jawaban: b

Sudut antara antara garis BP dan CG adalah∠BPC.CP : PG = 3 : 2

⇔ CP = 35 CG =

35 × 15 = 9 cm

Segitiga BCP siku-siku di C, maka:

BP = 2 2BC CP+

= 2 26 9+

= 36 81+

= 117

= 3 13 cm

Sin ∠BPC = BCBP =

63 13 = 2

1313

Jadi, nilai sinus sudut antara garis BP dan CG

adalah 213

13 .

A B

CD

E F

GH

A B

P

C

6

6 3

AB

CD

T

A B

CD

E F

GH

P

15 cm

6 cm9 cm

124 Dimensi Tiga

21. Jawaban: cEG sejajar AC, berarti besarsudut antara garis AC danBG sama dengan besarsudut antara garis EG danBG yaitu ∠BGE. Olehkarena segitiga BEG samasisi, besar ∠BGE = 60°.Jadi, besar sudut antara garisAC dan BG adalah 60°.

22. Jawaban: dProyeksi titik F pada bidangADHE adalah titik E, berartiα = ∠FDE.Panjang rusuk EF = 6 cmPanjang diagonal ruang DF

V = 6 3 cm

sin α = EFDF =

66 3 = 1

33


3 .

23. Jawaban: b

PX : XT = 2 : 1, berarti PX = 2

2 1+ PT = 23 × 6

= 4 cm.

SY : YR = 1 : 1, berarti SY = 1

1 1+ SR = 12 × 4

= 2 cm.Proyeksi garis XY pada bidang PSWT adalah XS,maka sudut antara XY dan PSWT adalah ∠SXY= α.

Segitiga PSX siku-siku di P, maka:

XS = 2 2PX PS+

= 2 24 4+

= 16 16+

= 32 = 4 2 cmSegitiga SXY siku-siku di S, maka:

XY = 2 2SX SY+

= 2 2(4 2) 2+

= 32 4+

= 36 = 6 cm

cos α = XSXY = 4 2

6 = 2

32

Jadi, nilai kosinus sudut antara garis XY dan bidang

PSWT adalah 23

2 .

24. Jawaban: c

Sudut antara garis BF dan bidang ACF samadengan sudut antara BF dan PF dengan P titiktengah AC, berarti α = ∠BFP.BD merupakan diagonal bidang, maka:

BD = 5 2 cm

BP = 12 BD =

12 × 5 2 = 5

22 cm

FP = 2 2BP BF+

= 5 2 22

( 2) 5+

= 252

25+

= 150

4 = 52

6 cm

sin α = BPFP =

5252

2

6 =

13 = 1

33


3 .

25. Jawaban: d

Sudut antara bidang PQVW dan SRVW samadengan sudut antara garis QV dan RV, yaitu ∠QVR= α.Segitiga QRV siku-siku di Q, maka:

QV = 2 2QR RV+

= 2 28 6+

= 64 36+

= 100 = 10 cm

A B

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

P Q

RS

T

Y

VW

X

U

S Y

X

α

A B

CD

EF

GH

P PB

F

α

P Q

RS

T U

VW

α 6 cm

8 cm9 cm


sin α = QRQV =

810 =

45

Jadi, nilai sinus sudut antara bidang PQVW dan

SRVW adalah 45 .

26. Jawaban: cBidang TBC dan bidangABCD berpotongan padagaris BC. P titik tengah AD,maka TP dan OP tegaklurus BC. Sudut antarabidang TBC dan bidangalas ABCD adalah ∠TPO =α.Segitiga ABC siku-siku di B, maka:

AC = 2 2AB BC+

= 2 28 8+

= 64 64+

= 128 = 8 2 cm

AO = 12 AC =

12 × 8 2 = 4 2 cm

Segitiga AOT siku-siku di O, maka:

OT = 2 2AT AO−

= 2 28 (4 2)−

= 64 32−

= 32 = 4 2 cm

OP = 12 AB =

12 × 8 = 4 cm

Segitiga POT siku-siku di O, berarti:

tan α = OTOP = 4 2

4 = 2

Jadi, tangen sudut antara bidang TBC dan bidang

alas adalah 2 .

27. Jawaban: e

Sudut antara bidang ACH dengan bidang ABCDadalah ∠DPH = α.BD merupakan diagonal sisi, maka panjang BD

= 4 2 cm.

DP = 12 BD =

12 × 4 2 = 2 2 cm

Segitiga DHP siku-siku di D, maka:

HP = 2 2DH DP+

= 2 24 (2 2)+

= 16 8+

= 24 = 2 6 cm

tan α = DHDP =

42 2 = 2

Jadi, nilai tangen sudut antara bidang ACH dengan

bidang ABCD adalah 2 .

28. Jawaban: e

Sudut antara bidang TBC dan ABC sama denganantara garis TD dan AD dengan D titik tengah BC,yaitu ∠ADT = α.ΔABC siku-siku di C, maka:

BC = 2 2AB AC+

= 2 28 8+

= 64 64+

= 128 = 8 2 cm

BD = 12 BC =

12 × 8 2 = 4 2 cm

ΔABD siku-siku di D, maka:

AD = 2 2AB BD−

= 2 28 (4 2)−

= 64 32−

= 32 = 4 2 cmΔTAD siku-siku di A, maka:

TD = 2 2TA AD+

= 2 24 (4 2)+

= 16 32+

= 48 = 4 3 cm

cos α = ADTD =

4 24 3

× 33

= 13

6

Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang TBC dan

ABC adalah 13

6 .

A B

CD

T

O8

8

P

A B

CD

E F

GH

PD P

H

α

A

B

CD

T

A D

T

α

126 Dimensi Tiga

29. Jawaban: cSudut antara bidangTAB dan TBC samadengan sudut antaraTP dan TQ dengan Pdan Q titik tengah ADdan BC, berarti α= ∠PTQ.PQ = AB = 2 cm

AP = 12 AD =

12 × 2 = 1 cm

TP = 2 2TA AP−

= 25 1−

= 24

= 2 6 cm

TQ = TP = 2 6 cm

cos α = 2 2 2TP TQ PQ2 TP TQ

+ −× × =

24 24 42 2 6 2 6

+ −× × =

4448 =

1112

Jadi, nilai cos α = 1112

.

30. Jawaban: e

Sudut (TAB, ABC) = sudut (DT, DC)= ∠TDC = α

Segitiga BCD siku-siku di D, maka:

CD = 2 2BC BD−

= 2 26 3−

= 36 9−

= 27

= 3 3 cmSegitiga TAD siku-siku di D, maka:

TD = 2 2TA AD−

= 2 2(6 3) 3−

= 108 9−

= 99

= 3 11 cm

AB

CD

T

PQ

Pada segitiga TCD berlaku aturan kosinus:TC2 = CD2 + TD2 – 2 CD TD cos α⇔ ( 6 3 )2 = ( 3 3 )2 + ( 3 11 )2

– 2 × 3 3 × 3 11 × cos α

⇔ 108 = 27 + 99 – 18 33 cos α

⇔ 18 33 cos α = 18

⇔ cos α = 133

Dari nilai cos α = 133

diperoleh:

y = 2 2( 33) 1−

= 33 1−

= 32 = 4 2

sin α = 3233

= 133 1.056

Jadi, nilai sinus sudut antara bidang TAB dan

bidang ACB adalah 133 1.056 .

B. Uraian

1. Balok KLMN.OPQR digambarkan sebagai berikut.

Jarak titik P dan titik S sama dengan panjang ruasgaris PS.ΔKLN siku-siku di K dengan, maka:

LN = 2 2LK KN+

= 2 28 6+

= 64 36+

= 100

= 10 cmTitik S pada garis LN dengan perbandingan LS :SN = 3 : 2, maka:

LS = 3

3 2+ LN

= 35 × 10

= 6 cm

A

B

C

D

T

33

6

6 36 3

α

1

y

α

33

K L8 cm

MN

O P

QR

S

12 cm

6 cm


ΔPSL siku-siku di L, maka:

PS = 2 2PL LS+

= 2 212 6+

= 144 36+ = 180

= 6 5 cm

Jadi, jarak antara titik P dan titik S adalah 6 5 cm.

2. Pada limas T.PQRS diketahui panjang PQ = 6 cm,PS = 4 cm, dan tinggi limas 6 cm. Tentukan jarakantara titik Q dan garis TS.Jawaban:Limas T.PQRS digambarkan sebagai berikut.

ΔPQS siku-siku di P, maka:

QS = 2 2PQ PS+

= 2 26 4+

= 36 16+

= 52

= 2 13 cm

OS = 12 QS =

12 × 2 13 = 13 cm

ΔTOS siku-siku di O, maka:

TS = 2 2TO OS+

= 2 26 ( 13)+

= 36 13+

= 49= 7 cm

Perhatikan gambar ΔTPR berikut.

jarak (Q, TS) = jarak (Q, U)= QU

Luas TSQ dapat dituliskan L = 12 × TS × QU atau

L = 12 × SQ × TO, maka:

⇔ 12 × TS × QU =

12 × SQ × TO

⇔ 12 × 7 × QU =

12 × 2 13 × 6

⇔ QU = 12

12

2 13 6

7

×××

⇔ QU = 127

13

Jadi, jarak titik Q dan garis TS adalah 127

13 cm.

3.

Jarak (P, ACGE) = jarak (P, EG)= jarak (P, R)= PR

EG merupakan diagonal sisi, maka panjang

EG = 12 2 cm.

Luas segitiga PEG dirumuskan L = 12 × EG × PR

atau L = 12 × EP × HG. Dari kedua rumus luas

segitiga PEG tersebut diperoleh:

12 × EG × PR =

12 × EP × HG

⇔ 12 × 12 2 × PR =

12 × 6 × 12

⇔ 6 2 PR = 36

⇔ PR = 62

= 3 2 cm

Jadi, jarak titik P ke bidang ACGE adalah 3 2 cm.

4. Balok PQRS.TUVW digambarkan sebagai berikut.

P Q

RS

T

O

6 cm

6 cm4 cm

S

T

U

QO

A B

CD

E F

GHP

E F

GH

P

R

P Q

RS

T U

VW

4 cm

5 cm8 cm

128 Dimensi Tiga

a. Jarak (PT, QRVU) = jarak (P, QRVU)= jarak (P, Q)= PQ= 8 cm

Jadi, jarak antara garis PT dan bidang QRVUadalah 8 cm.

b. Perhatikan gambar sisi atas balok berikut.

Jarak (PS, QRWT) = jarak (P, QRWT)= jarak (P, QT)= jarak (P, X)= PX

Segitiga TPQ siku-siku di P, maka:

TQ = 2 2TP PQ+

= 2 24 8+

= 16 64+

= 80

= 4 5 cm

Luas segitiga TPQ dirumuskan L = 12 × TQ × PX

atau L = 12 × PQ × TP, maka:

⇔ 12 × TQ × PX =

12 × PQ × TP

⇔ 12 × 4 5 × PX =

12 × 8 × 5

⇔ 2 5 PX = 20

⇔ PX = 20

2 5

⇔ PX = 2 5 cmJadi, jarak garis PS dan bidang QRWT adalah

2 5 cm.

5.

Jarak (PQRS, TBC) = jarak (O, TBC)= jarak (O, TM)= jarak (O, N)= ON

Segitiga TBM siku-siku di M dengan TB = 8 cm

dan BM = 12 TC = 4 cm, maka:

TM = 2 2TB BM−

= 2 28 4−

= 64 16−

= 48

= 4 3 cm

Segitiga TOM siku-siku di O dengan TM = 4 3 cm

dan OM = 12 AB = 4 cm, maka:

TO = 2 2TM OM−

= 2 2(4 3) 4−

= 48 16−

= 32

= 4 2 cm

Luas segitiga TOM dirumuskan L = 12 × TM × ON

atau L = 12 × OM × OT. Dari kedua rumus luas

segitiga TOM tersebut diperoleh:12 × TM × ON =

12 × OM × OT

⇔ 12 × 4 3 × ON =

12 × 4 × 4 2

⇔ 2 3 × ON = 8 2

⇔ ON = 8 22 3

= 43

6 cm

Jadi, jarak antara bidang PQRS dan TBC adalah

43

6 cm.

6. a.

Garis AB dan garis CH bersilangan. Garis BCtegak lurus dengan garis AB dan CH, makajarak antara garis AB dan CH sama denganpanjang ruas garis BC = 8 cm.Jadi, jarak antara garis AB dan CH adalah8 cm.

P Q

T U

4 cm

8 cm

X

A B

CD

E F

GH

A B

CD

P

Q

RS

T

OO M

N

T

M


A B

CD

E F

GH

A B

CD

O

T

66

4 2

A B

CD

E F

GHb.

Garis CE dan garis GH bersilangan. Titik Pdan Q berturut-turut merupakan titik tengahGH dan CE. Garis PQ tegak lurus dengan garisCE dan GH, maka jarak antara garis CE danGH sama dengan panjang ruas garis PQ.CE merupakan diagonal ruang, maka

CE = 8 3 cm.Segitiga CGP siku-siku di G, maka:

CP = 2 2CG GP+

= 2 28 4+

= 64 16+

= 80 = 4 5 cm

EP = CP = 4 5 cmSegitiga CPQ siku-siku di Q, maka:

PQ = 2 2CP PQ−

= 2 2(4 5) (4 3)−

= 80 48−

= 32 = 4 2 cm

Jadi, jarak titik P ke CE adalah 4 2 cm.

7.

a. BD dan FH sejajar. Sudut antara BD dan EGyang bersilangan sama dengan sudut antaraFH dan EG. Oleh karena FH dan EGmerupakan pasangan diagonal bidang makaFH tegak lurus EG dan besar sudut antarakeduanya 90°.Jadi, besar sudut antara garis BD dan EGadalah 90°.

b. CF dan DE sejajar. Sudut antara CF dan GEyang bersilangan sama dengan sudut antaraDE dan GE yaitu ∠DEG. Oleh karena segitigaDEG sama sisi maka ∠DEG = 60°.Jadi, besar sudut antara garis CF dan GEadalah 60°.

8.

Sudut antara EC dan bidang EFGH sama dengansudut antara EC dan EG yaitu ∠CEG = α.EG merupakan diagonal bidang, maka EG

= 6 2 cm.EC merupakan diagonal ruang, maka EC

= 6 3 cm.Segitiga CGE siku-siku di G, maka:

cos α = EGEC =

6 26 3

= 13

6

Jadi, nilai kosinus sudut antara EC dan bidang

EFGH adalah 13

6 .

9.

Sudut antara garis TC dan bidang ABCD samadengan sudut antara garis TC dan OC, yaitu∠TCO.Segitiga ABC siku-siku di B, maka:

AC = 2 2AB BC+

= 2 26 6+

= 36 36+

= 72 = 6 2 cm

OC = 12 AC =

12 × 6 2 = 3 2 cm

Segitiga TOC siku-siku di O, maka:

TO = 2 2TC OC−

= 2 2(4 2) (3 2)−

= 32 18− = 14 cm

tan ∠TCO = TOOC =

143 2

= 13

7

Jadi, nilai tangen sudut antara garis TC dan bidang

ABCD adalah 13

7 .

A B

CD

E F

GH P

Q

130 Dimensi Tiga

10.

Sudut antara bidang EFGH dan AFH sama dengansudut antara EP dan AP dengan P titik tengah HFyaitu ∠APE = α.EG merupakan diagonal bidang, maka:

EG = 8 2 cm

EP = 12 EG =

12 × 8 2 = 4 2 cm


AP = 2 2AE EP+

= 64 32+= 96

= 4 6 cm

sin α = AEAP =

84 6 =

26 =

13

6

Jadi, nilai sinus sudut antara bidang EFGH dan

AFH adalah 13

6 .

A B

CD

E F

GHP

A

PE

8 cm

α

131Matematika Kelas XII Peminatan

Trigonometri

• Menunjukkan sikap ingin tahu dan pantang menyerah dalam menyelesaikan permasalahan matematikadan sehari-hari.

• Terampil membuktikan berbagai identitas trigonometri menggunakan identitas penjumlahan dan selisihsinus, identitas penjumlahan dan selisih kosinus.

• Menyebutkan identitas sinuspenjumlahan dan selisih dua sudutdan menggunakannya untukmenyelesaikan permasalahan.

• Menyebutkan identitas kosinuspenjumlahan dan selisih dua sudutdan menggunakannya untukmenyelesaikan permasalahan.

• Menyebutkan identitas tangenpenjumlahan dan selisih dua sudutdan menggunakannya untukmenyelesaikan permasalahan.

• Membuktikan identitas trigono-metri menggunakan identitas si-nus, kosinus, dan tangenpenjumlahan dan selisih duasudut.

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. mendeskripsikan identitas penjumlahan dan selisih sinus, identitas penjumlahan dan selisih kosinus;2. menerapkan identitas penjumlahan dan selisih sinus, identitas penjumlahan dan selisih kosinus dalam pemecahan masalah;3. membuktikan berbagai identitas trigonometri menggunakan identitas penjumlahan dan selisih sinus, identitas penjumlahan

dan selisih kosinus;4. terampil menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan trigonometri.

Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik:1. menunjukkan sikap rasa ingin tahu dalam mempelajari trigonometri;2. bersikap pantang menyerah dalam menyelesaikan permasalahan trigonometri dan permasalahan sehari-hari.

Identitas TrigonometriPenjumlahan dan Selisih

Dua Sudut

• Menyebutkan identitas trigono-metri sudut rangkap dan meng-gunakannya untuk menyelesai-kan permasalahan.

• Menyebutkan identitas trigono-metri sudut pertengahan danmenggunakannya untuk menye-lesaikan permasalahan.

• Membuktikan identitas trigono-metri menggunakan identitassudut rangkap dan sudut per-tengahan.

Identitas TrigonometriSudut Rangkap dan Sudut

Pertengahan

• Menyebutkan identitas perkaliansinus dan kosinus dan menggu-nakannya untuk menyelesaikanpermasalahan.

• Menyebutkan identitas pen-jumlahan/selisih sinus dan kosinusdan menggunakannya untuk me-nyelesaikan permasalahan.

• Membuktikan identitas trigono-metri menggunakan identitasperkalian dan penjumlahan/selisihsinus dan kosinus.

Identitas Perkalian danPenjumlahan/SelisihSinus dan Kosinus

132 Trigonometri

3

4

5

x

5

12

13

y

10

3

1β

A. Pilihlah jawaban yang tepat.

1. Jawaban: cBerdasarkan identitas kosinus dan sinuspenjumlahan dua sudut diperoleh sebagai berikut.i) cos (2a + b) = cos 2a cos b – sin 2a sin b

Pernyataan i) benar.ii) cos (a + 2b) = cos a cos 2b – sin a sin 2b

Pernyataan ii) salah.iii) sin (a + 2b) = sin a cos 2b + cos a sin 2b

Pernyataan iii) salah.iv) sin (2a – b) = sin 2a cos b – sin 2a sin b

Pernyataan iv) benar.Jadi, pernyataan yang benar i) dan iv).

2. Jawaban: asin 35° cos 40° – cos 35° sin 40°= sin (35° – 40°) ← Identitas sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

= sin (–5°)= cos (90° – (–5°)) = cos 95°

3. Jawaban: dsin 75° = sin (45° + 30°)

= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

= 12 2 × 1

23 + 1

2 2 × 12

= 14

6 + 14 2

4. Jawaban: etan 105° = tan (60° + 45°)

= tan 60° + tan 45°1 tan 60° tan 45°−

= 3 + 11 3 × 1−

= 3 + 11 3−

× 1 31 3

++

= 3 2 3 11 3

+ +−

= 4 2 32

+−

= –2 – 3

5. Jawaban: asin (30° + θ) + cos (60° + θ)= (sin 30° cos θ + cos 30° sin θ) + (cos 60° cos θ – sin 60° sin θ)

= 12 × cos θ +

12 3 × sin θ +

12 × cos θ –

12 3 × sin θ

= 12 cos θ +

12 cos θ

= cos θ

6. Jawaban: b

sin α = 12 2 = 2

2 = 1

2α sudut lanciptan α = 1

cos α = 12

tan β = 13 , β sudut lancip

sin β = 110

cos β = 310

sin (α + β) = sin α cos β – cos α sin β

= 12

× 310

– 12

× 110

= 320

– 120

= 220

= 22 5

× 55

= 15

5

7. Jawaban: b

sin x = 35 , x sudut tumpul

cos x = –45

cos y = 1213 , y sudut lancip

sin y = 5

13

cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y

= (–45 ) ×

1213 +

35 ×

513

= –4865 +

1565

= –3365

21

1α


8. Jawaban: btan (x + y) = 33

⇔ tan x tan y1 tan x tan y

+−

= 33

⇔ 3 tan y1 3 tan y

+−

= 33

⇔ 3 + tan y = 33 – 99 tan y⇔ tan y + 99 tan y = 33 – 3⇔ 100 tan y = 30

⇔ tan y = 30100

⇔ tan y = 310

Jadi, nilai tan y = 310

.

9. Jawaban: dsin (p – q) = sin p cos q – cos p sin q

⇔ sin 30° = sin p cos q – 16

⇔ sin p cos q = sin 30° + 16

= 12 +

16

= 46 =

23

10. Jawaban: ccos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

⇔ cos 3π = 5

8 – sin A sin B

⇔ 12

= 58

– sin A sin B

⇔ sin A sin B = 58

– 12

⇔ sin A sin B = 5 48−−−−

⇔ sin A sin B = 18

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

= 58

+ 18

= 68

= 34

11. Diketahui segitiga lancip ABC dengan sin C = 213

.Jika tan A tan B = 13, nilai tan A + tan B = . . . .a. –18 d. 8b. –8 e. 18

c.203

Jawaban: d

Dari sin C = 213

dan C sudut lancip

diperoleh cos C = 313

dan tan C = 23 .

Pada segitiga berlaku:A + B + C = 180°⇔ A + B = 180° – C

tan (A + B) = tan A tan B1 tan A tan B

+−

⇔ tan (180° – C) = tan A tan B

1 tan A tan B+

−

⇔ –tan C = tan A tan B

1 tan A tan B+

−

⇔ tan A + tan B = –tan C (1 – tan A tan B)

= –23 (1 – 13)

= –23 (–12)

= 8Jadi, nilai tan A + tan B = 8.

12. Jawaban: e

sin A = 35 cotan B = 7

cos A = 45 cos B =

75 2

sin B = 1

5 2

cos C = cos (180° – (A + B))= –cos (A + B)= –(cos A cos B – sin A sin B)

= –(45 ×

75 2 –

35 ×

15 2 )

= –(28

25 2 –

325 2

)

= – 2525 2

= – 12

= – 12

2

Oleh karena cos C negatif berarti sudut C merupa-kan sudut tumpul. Jadi, besar sudut C = 135°.

2

3

13

C

3

4

5

A B1

750 5 2=

134 Trigonometri

13. Jawaban: a∠ACB = 180° – (60° + 75°)

= 45°sin 75° = sin (30° + 45°)

= sin 30° cos 45°+ cos 30° sin 45°

=12 × 1

22 + 1

23 × 1

22

= 14

2 + 14

6

Ingat aturan sinus: asin A

= bsinB

= c

sin C.

ACsin 75° = °

ABsin 45 ⇔ AC =

sin 75sin 45

°° × AB

= 1 14 4

12

2 6

2

+ × 300

= (12 + 1

23 ) × 300

= 150(1 + 3 ) cm

Jadi, panjang AC = 150(1 + 3 ) cm.

14. Jawaban: b

tan (A + B) = 12

⇔ tan A tan B1 tan A tan B

+−

= 12

⇔ 2 (tan A + tan B) = 1 – tan A tan B⇔ 2 tan B + tan A tan B = 1 – 2 tan A⇔ tan B (2 + tan A) = 1 – 2 tan A

⇔ tan B = 1 2 tan A2 tan A−

+ . . . (1)

tan (A – B) = 13

⇔ tan A tan B1 tan A tan B

−+

= 13

⇔ 3 (tan A – tan B) = 1 + tan A tan B⇔ 3 tan A – 1 = tan A tan B + 3 tan B⇔ 3 tan A – 1 = (tan A + 3) tan B

⇔ tan B = 3 tan A 1tan A 3

−+

. . .(2)Substitusikan persamaan (1) ke dalampersamaan (2).

tan B = 3 tan A 1tan A 3

−+

⇔ 1 2 tan A2 tan A−

+ = 3 tan A 1

tan A 3−

+⇔ (1 – 2 tan A)(tan A + 3) = (3 tan A – 1)(2 + tan A)⇔ –2 tan2 A – 5 tan A + 3 = 3 tan2 A + 5 tan A – 2⇔ –5 tan2 A – 10 tan A + 5 = 0⇔ tan2 A + 2 tan A – 1 = 0⇔ (tan A + 1)2 – 2 = 0⇔ (tan A + 1)2 = 2

⇔ tan A = –1 ± 2

5 3

Bq

⇔ tan A = –1 + 2 atau tan A = –1 – 2⇔ tan A = 0,414 atau tan A = –2,414Oleh karena A sudut lancip maka tan A bernilaipositif sehingga nilai tan A yang memenuh adalah

tan A = –1 + 2 = 2 – 1.

15. Bentuk sederhana darisin α – sin (α – 120°) – sin (α – 240°) adalah . . . .a. sin α d. 2 sin αb. cos α e. 2 cos αc. sin 2αJawaban: dsin α – sin (α – 120°) – sin (α – 240°)= sin α – (sin α cos 120° – cos α sin 120°) – (sin α cos 240°– cos α sin 240°)

= sin α – sin α cos 120° + cos α sin 120° – sin α cos 240° + cos α sin 240°

= sin α – sin α × (–12 ) + cos α ×

12 3

– sin α × (–12 ) + cos α × (–

12 3 )

= sin α + 12 sin α +

12 sin α +

12 3 cos α

–12 3 cos α

= 2 sin α

B. Uraian

1. a. cos A = –1026 dan A di kuadran III sehingga:

p = 2 226 10−

= 676 100−

= 576 = 24

sin A = –2426

tan A = 2410

sin B = 35 dan B di kuadran II sehingga:

q = 2 25 3−

= 25 9−

= 16 = 4

cos B = –45

tan B = –34

26

10A

p

A B

C

60° 75°300 cm


tan (A + B) = tan A tan B1 tan A tan B

+−

= 24 310 4

24 310 4

( )

1 ( )

+ −

− × −

= 48 15

2040 72

40

−

+

= 3320 ×

40112

= 3356

b. sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

= –2426 × (–

45 ) – (–

1026 ) ×

35

= 96

130 + 30

130

= 126130

= 6365

2. a. sin 75° + sin 195°= sin (30° + 45°) + sin (240° – 45°)= sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°

+ (sin 240° cos 45° – cos 240° sin 45°)

= 12

× 12 2 + 1

2 3 × 12 2

+ (– 12 3 × 1

2 2 – (– 12) × 1

2 2 )

= 14 2 + 1

4 6 – 14 6 + 1

4 2

= 14 2 + 1

4 2 = 12 2

Jadi, nilai sin 75° + sin 195° = 12 2 .

b. cos 165° – cos 15°= cos (120° + 45°) + cos (45° – 30°)= (cos 120° cos 45° – sin 120° sin 45°)

– (cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°)

= ((– 12) × 1

2 2 – 12 3 × 1

2 2 )

– ( 12 2 × 1

2 3 + 12 2 × 1

2)

= (– 14 2 – 1

4 6 ) – ( 14 6 + 1

4 2 )

= – 14 2 – 1

4 6 – 14 6 – 1

4 2

= – 12 2 – 1

2 6

c. tan 345° × tan 15°= tan (300° + 45°) × tan (60° – 45°)

=tan 300 tan 45

1 tan 300 tan 45° + °

− ° ° × tan 60 tan 45

1 tan 60 tan 45° − °

+ ° °

= ( 3) 11 ( 3) 1

− +− − ×

× 3 11 3 1

−+ ×

= 3 11 3− +

+ × 3 1

1 3−

+

= 3 3 3 11 2 3 3

− + + −+ +

= 4 2 3

4 2 3− +

+ ×

4 2 34 2 3

−−

= 16 8 3 8 3 12

16 12− + + −

−

= 28 16 34

− + = –7 + 4 3

3. a.sin 86° cos 26° cos 86° sin 26°sin 49° sin 86° cos 49° cos 86°

−−

= sin 86° cos 26° cos 86° sin 26°(cos 49° cos 86° sin 49° sin 86°)

−− −

= sin (86° 26°)(cos (49° + 86°))

−− =

sin 60°cos 135°−

= ( )12

12

3

2− − = 32

= 12

6

b. tan 25 tan 851 + tan 25 tan 85

° − °° °

= tan (25° – 85°)

= tan (–60°)= –tan 60°= – 3

4. a. Diketahui sin α = 45 , cos β =

513 , α dan β di

kuadran I

Oleh karena α di kuadran I maka cos α dantan α bernilai positif.

cos α = 35 dan tan α =

43

Oleh karena β di kuadran I maka cos β dantan β bernilai positif.

sin β = 1213 dan tan β =

125

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

= 45 ×

513 +

35 ×

1213

= 2065 +

3665

= 5665

2 25 4− = 9 = 3

54

α

13

5β

2 213 5− = 144

= 12

136 Trigonometri

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

= 35 ×

513 –

45 ×

1213

= 1565 –

4865 = –

3365

tan (α – β) = tan tan1 tan tan

α − β+ α β

= 43

43

125125

1

−

+ ×

= 2015

4815

3615

1

−

+

= 16

156315

−

= 1663

−

b. Diketahui sin α = 23 , cos β =

34 , α di

kuadran II dan β di kuadran IV.

Oleh karena α di kuadran II maka cos α dantan α bernilai negatif.

cos α = – 53

dan tan α = –25

Oleh karena β di kuadran IV maka sin β dantan β bernilai negatif.

sin β = – 74

dan tan β = 73

−


= 23 ×

34 + (– 5

3) × (– 7

4)

= 6 3512

+


= (– 53

) × (34 ) – (

23 ) × (– 7

4)

= 3 5 2 712

− +

tan (α + β) = tan tan

1 tan tanα − β

+ α β

= 2 7

352 7

35

( ) ( )

1 ( )( )

− − −

+ − −

= 2 7

35

2 73 5

1

− +

+

= 6 353 5

3 5 2 73 5

− +

+ =

6 353 5 2 7− +

+

5. Diketahui cos (A + B) = 23 dan cos (A – B) =

12 .

Tentukan nilai tan A tan B.Jawaban:

cos (A + B) = 23

⇔ cos A cos B – sin A sin B = 23 . . . (1)

cos (A – B) = 12

⇔ cos A cos B + sin A sin B = 12 . . . (2)

Tambahkan persamaan (1) dan persamaan (2):

cos A cos B – sin A sin B = 23

cos A cos B + sin A sin B = 12

––––––––––––––––––––––––––– +

2 cos A cos B = 76

⇔ cos A cos B = 7

12

Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1):

cos A cos B – sin A sin B =23

cos A cos B + sin A sin B = 12

––––––––––––––––––––––––––– –

–2 sin A sin B = 16

⇔ sin A sin B = –1

12

tan A tan B = sin A sinBcos A cos B

= 1

127

12

− = –

17

Jadi, nilai tan A tan B = –17 .

6. Diketahui segitiga ABC dengan tan A = 34 dan

cos B = 1213

− .

Tentukan:a. tan (A – B),b. tan C.Jawaban:

tan A = 34

sin A = 35

cos A = 45

cos B = 1213

−

3 2

α

2 23 2− = 5

4

3α

2 24 3− = 7

1213

5

B

53

A4


B di kuadran II

sin B = 5

13

tan B = 5

12−

a. tan (A – B) = tan A tan B1 tan A tan B

−+

= 3 54 12

3 54 12

( )

1 ( )

− −

+ × −

= 3 54 12

3 54 12

1

+

− ×

= 761116

= 5633

b. tan C = tan (180° – (A + B))= –tan (A + B)

= –tan A tan B

1 tan A tan B+

−

= –3 54 12

3 54 12

( )

1 ( )×

+ − − −

= –132116

= –1663

7. a. sin (45° + θ) – sin (45° – θ)= (sin 45° cos θ + cos 45° sin θ) – (sin 45° cos θ

– cos 45° sin θ)

= ( 12

2 cos θ + 12

2 sin θ) – ( 12

2 cos θ

– 12

2 sin θ)

= 12

2 cos θ + 12

2 sin θ – 12

2 cos θ

+ 12

2 sin θ

= 12

2 sin θ + 12

2 sin θ

= 2 sin θ (terbukti)

b. sin (30° + θ) + cos (60° + θ)= (sin 30° cos θ + cos 30° sin θ)

+ (cos 60° cos θ – sin 60° sin θ)

= ( 12

cos θ + 12

3 sin θ) + ( 12

cos θ

– 12

3 sin θ)

= 12

cos θ + 12

3 sin θ + 12

cos θ – 12

3 sin θ

=12 cos θ +

12 cos θ

= cos θ (terbukti)

c. tan (45° – θ)

= tan 45 tan1 tan 45 tan

° − θ+ ° θ

= 1 tan1 1 tan

− θ+ × θ

= 1 tan1 tan

− θ+ θ

(terbukti)

d. tan (45° + θ)

= tan 45 tan1 tan 45 tan

° + θ− ° θ

= 1 tan1 1 tan

+ θ− × θ

= 1 tan1 tan

+ θ− θ

= sincossincos

1

1

θθθθ

+

−

= cos sin

coscos sin

cos

θ + θθ

θ − θθ

= cos sincos sin

θ + θθ − θ

(terbukti)

8. a.sin (A B)cos (A B)

+−

= sin A cos B cos A sin Bcos A cos B sin A sin B

++

× 1

cos A cos B1

cos A cos B

= sin A cos B cos A sin Bcos A cos B cos A cos Bcos A cos B sin A sin Bcos A cos B cos A cos B

+

+

= sin A sin Bcos A cos B

sin A sin Bcos A cos B

1

+

+ ×

= tan A tan B1 tan A tan B

++

(terbukti)

b. cos (A B) cos (A B)sin (A B) sin (A B)

− − ++ + −

= (cos A cos B sin A sin B) (cos A cos B sin A sin B)sin A cos B cos A sin B sin A cos B cos A sin B

+ − −+ + −

= 2 sin A sin B2 sin A cos B

= sin Bcos B

= tan B (terbukti)

138 Trigonometri

9. 3 cos (θ + 4π

) = cos (θ – 4π

)

⇔ 3 cos θ cos 4π

– 3 sin θ sin 4π

= cos θ cos 4π

+ sin θ sin 4π


– cos θ cos 4π

= sin θ sin 4π

+ 3 sin θ sin 4π


= 4 sin θ sin 4π

⇔ 2 × 12

2 cos θ = 4 × 12

2 sin θ

⇔ 24

= sincos

θθ

⇔ 12 = tan θ

Jadi, nilai tan θ = 12 .

10. AD = 2 2AC CD−

= 25 16−

= 9= 3 cm

DB = AB – AD= 7 – 3= 4 cm

BC = +2 2DB DC

= +16 16

= 16 2×

= 4 2Diperoleh:

sin α = 45 , cos α =

35 , tan α =

43 , sin β = 4

4 2

= 12

2 , cos β = 44 2

= 12

2 , dan tan β = 1.


= 45 × 1

22 +

35 × 1

22

= 25 2 +

310 2

= 7

10 2

tan (α – β) = tan tan1 tan tan

α − β+ α β

= 43

43

1

1 1

−

+ ×

= 1373

= 17

Jadi, nilai sin (α + β) + tan (α – β) = 7

10 2 + 17 .

A B

C

D

5 cm4 cm

7 cm

α β


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: ai) sin 2α = 2 sin α cos α sehingga sin 2θ

= 2 sin θ cos θ.Pernyataan i) benar.

ii) cos 2α = 2 cos2 α – 1 sehingga cos 2θ= 2 cos2 θ – 1.Pernyataan ii) benar.

iii) cos 2α = cos2 α – sin2 α sehingga cos 2θ= cos2 θ – sin2 θ ⇔ cos 2θ = sin2 θ – cos2 θPernyataan iii) benar.

iv) cos 2α = 1 – 2 sin2 α sehingga cos 2θ= 1 – 2 sin2 θ ⇔ cos 2θ = – (2 sin2 θ – 1).Pernyataan iv) salah.

v) tan 2α = 22 tan

1 tanα

− α sehingga tan 2θ = 2

2 tan1 tan

θ− θ

.

Pernyataan v) salah.Jadi, pernyataan yang benar i), ii), dan iii).

2. Jawaban: bsin2 75° – cos2 75°= –(cos2 75° – sin2 75°)= –(cos 2 × 75°)= –(cos 150°)= –(cos (90° + 60°))

= –(–sin 60°)

= sin 60° = 12

3

3. Jawaban: a2 sin 52,5° cos 52,5°= sin (2 × 52,5°)= sin 105°= sin (60° + 45°)= sin 60° × cos 45° + cos 60° × sin 45°

= 12 3 ×

12 2 +

12 ×

12 2

= 14 6 +

14 2

= 14 ( 6 + 2)

Jadi, nilai 2 sin 52,5° cos 52,5° adalah 14 ( 6 + 2).

4. Jawaban: e

cos α = 0,6 = 6

10 = 35

Oleh karena α dikuadran IV maka tan αbernilai negatif.

tan α = –43

tan 2α = 22 tan

1 tanα

− α=

434 23

2( )

1 ( )

−

− −

= 831691

−

−

= 8379

−

−

= 8

3−

× 9

7−

= 247

= 337

5. Jawaban: eIdentitas trigonometri sudut pertengahan

sin 12 θ = ±

1 cos2

− θ

cos 12 θ = ±

1 cos2

+ θ

tan 12 θ = ±

1 cos1 cos

− θ+ θ =

1 coscos 1

− θθ +

Pernyataan pada pilihan a, b, c, dan d salah danpernyataan pada pilihan e benar.Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e.

6. Jawaban: ecos 2x = 2 cos2 x – 1

⇔ cos x = ± cos 2x 12

+

Oleh karena 18 π berada di kuadran I maka cos

18 π

bernilai positif.

cos18 π =

18

cos (2 ) 1

2

π +×

= 14

cos 1

2

π +

= 12

12

2

+

= 2 24+

= 12

2 2+

α3

52 25 3−

= 16 = 4

140 Trigonometri

9. Jawaban: bsin a – cos a = 2p⇔ (sin a – cos a)2 = (2p)2

⇔ sin2 a – 2 sin a cos a + cos2 a = 4p2

⇔ sin2 a + cos2 a – 2 sin a cos a = 4p2

⇔ 1 – 2 sin a cos a = 4p2

⇔ 1 – 4p2 = 2 sin a cos a⇔ 1 – 4p2 = sin 2aJadi, nilai sin 2a = 1 – 4p2.

10. Jawaban: a1 sin 2A

cos 2A− = 2 2

1 2 sin A cos Acos A sin A−

−

= 2 2

2 2(sin A cos A) 2 sin A cos A

cos A sin A+ −

−

= 2 2

2 2sin A 2 sin A cos A cos A

cos A sin A− +

−

= (sin A cos A)(sin A cos A)(sin A cos A)(sin A cos A)

− −− − +

= sin A cos Asin A cos A

−− − ×

1cos A

1cos A

−

−

= sin A cos Acos A cos Asin A cos Acos A cos A

−− −− −− −

= tan A 1

tan A 1− +

+

= 1 tan A1 tan A

−+

11. Jawaban: b

1 – tan θ sin 2θ = –5

13

⇔ 1 – sincos

θθ

× 2 sin θ cos θ= –5

13

⇔ 1 – 2 sin2 θ = –5

13

⇔ cos 2θ = –5

13

cos 4θ = 2 cos2 2θ – 1

= 2(5

13− )2 – 1

= 2(25

169 ) – 169169

= –119169

Jadi, nilai cos 4θ = –119169 .

7. Jawaban: a

Diketahui tan θ = 158 .

Oleh karena 32 π < θ < 2π

(θ terletak di kuadran IV) maka sin θbernilai negatif dan cos θ bernilaipositif.

sin θ = –1517 dan cos θ =

817

32 π < θ < 2π

⇔ 12 (

32 π) <

12 θ <

12 (2π)

⇔ 34 π <

12 θ < π

Oleh karena 34 π <

12 θ < π ( 1

2 θ terletak di kuadran II),

sin 12 θ bernilai positif.

sin 12 θ = + 1 cos

2− θ

= 8

171

2

−

= 9

172

= 934

= 334

34

8. Jawaban: dθ sudut lancip atau 0° ≤ θ ≤ 90° sehingga0° ≤ 2θ ≤ 180°. Oleh karena cos 2θ bernilai positifmaka kemungkinan sudut 2θ berada di kuadran Isehingga sin θ, cos θ, dan tan θ bernilai positif.

cos 2θ = 2 cos2 θ – 1

⇔ 15 = 2 cos2 θ – 1

⇔ 65 = 2 cos2 θ

⇔ cos2 θ = 35

⇔ cos θ = 35

cos θ = 35

sehingga sin θ = 25

tan θ = sincos

θθ

= 2535

= 23

× 33

= 13

6

17 15

8θ


12. Jawaban: a

cos 12 θ = x 1

2x+

⇔ (cos 12 θ)2 =

2x 12x

+

⇔ cos2 12 θ =

x 12x+

⇔ 2x cos2 12 θ = x + 1

⇔ 2x cos2 12 θ – x = 1

⇔(2 cos2 12 θ – 1) x = 1

⇔ x cos θ = 1

⇔ x = 1cos θ

x2 – 21

x= (

1cos θ )2 – 1 2

cos

1

( )θ

= 21

cos θ – cos2 θ

= secan2 θ – cos2 θ= 1 + tan2 θ – cos2 θ= (sin2 θ + cos2 θ) + tan2 θ – cos2 θ= tan2 θ + sin2 θ

13. Jawaban: bcos 2x – 3 cos x + 2 = 0

⇔ 2 cos2 x – 1 – 3 cos x + 2 = 0⇔ 2 cos2 x – 3 cos x + 1 = 0⇔ (2 cos x – 1)(cos x – 1) = 0⇔ 2 cos x – 1 = 0 atau cos x – 1 = 0Untuk 2 cos x – 1 = 0, diperoleh nilai x berikut.

2 cos x – 1 = 0⇔ 2 cos x = 1

⇔ cos x = 12

⇔ cos x = cos 3π

1) x = 3π + k × 2π

k = 0 ⇒ x = 3π

2) x = (–3π ) + k × 2π

k = 1 ⇒ x = 53

π

Untuk cos x – 1 = 0 diperoleh nilai x berikut.cos x – 1 = 0

⇔ cos x = 1⇔ cos x = cos 03) x = 0 + 2kπ

k = 0 ⇒ x = 0k = 1 ⇒ 0 + 2π = 2π

4) x = (2π – 0) + k × 2π= 2π + k × 2π

k = 0 ⇒ x = 2πJadi, himpunan penyelesaian cos 2x – 3 cos x

+ 2 = 0 adalah {0, 3π , 5

3π, 2π}.

14. Jawaban: dsin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0

⇔ (sin 2x)2 – sin 2x – 2 = 0⇔ (sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0⇔ sin 2x = –1 atau sin 2x = 2sin 2x = 2 → tidak ada nilai x yang memenuhisin 2x = –1 = sin 270°

1) 2x = 270° + k × 360°⇔ x = 135° + k × 180°

k = 0 → x = 135°k = 1 → x = 315°

2) 2x = (180° – 270°) + k × 360°⇔ 2x = –90° + k × 360°⇔ x = –45° + k × 180°

k = 1 → x = 135°

Jadi, himpunan penyelesaiannya {135°, 315°}.

15. Jawaban: c

tan 2a = –34

⇔ 22 tan a

1 tan a−= –

34

⇔ 8 tan a = –3 + 3 tan2 a⇔ 3 tan2 a – 8 tan a – 3 = 0⇔ (3 tan a + 1) (tan a – 3) = 0

⇔ tan a = –13 atau tan a = 3

Oleh karena tan a > 0 maka nilai yang memenuhitan a = 3.

tan (a – b) = 12

⇔ tan a tan b1 tan a tan b

−+

= 12

⇔ 3 tan b

1 3 tan b−

+ = 12

⇔ 6 – 2 tan b = 1 + 3 tan b⇔ –5 tan b = –5⇔ tan b = 1Jadi, nilai tan2 a – tan2 b = 32 – 12 = 8.

142 Trigonometri

45

3θ

2 1θ

3

5

1θ

26

tan 2θ = 22 tan

1 tanθ

− θ

= 151 25

2( )

1 ( )

−

− −

= 25

1251−

= 25

2425

−

= –25 ×

2524

= 5

12−

c. Diketahui cos θ = – 35

dan θ di kuadran III.Oleh karena θ di kuadran III maka sin θ bernilainegatif dan tan θ bernilai positif.

sin θ = – 45

dan tan θ = 43

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

= 2(– 45

)(– 35

)

= 2425

cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ

= (– 35

)2 – (– 45

)2

= 925 –

1625

= 725

−

tan 2θ = 22 tan

1 tanθ

− θ

= 434 23

2 ( )

1 ( )−

= 83

1691−

= 8379−

= 83 ×

97

− = 247

−

2. a. 2 – 4 sin2 112,5° = 2(1 – 2 sin2 112,5°)

= 2(cos (2 × 112,5°))= 2(cos 225°)= 2(cos (180° + 45°))= 2(–cos 45°)

= 2(–12

2 )

= – 2

B. Uraian

1. a. Diketahui sin θ = – 12

dan θ di kuadran IV.Oleh karena θ di kuadranIV maka tan θ bernilainegatif dan cos θ bernilaipositif.

tan θ = – 13

dan cos θ = 32


= 2(– 12

)( 32

)

= – 32


= ( 32

)2 – (– 12

)2

= 34 –

14 =

24 = 1

2

tan 2θ = 22 tan

1 tanθ

− θ=

131 23

2( )

1 ( )

−

− −

= 23131

−

−

= 23

23

−

= – 3

b. Diketahui tan θ = – 15

dan θ di kuadran II.

Oleh karena θ di kuadran II maka sin θ bernilaipositif dan cos θ bernilai negatif.

sin θ = 126

dan cos θ = 526

−


= 2( 126

)( 526

− )

= 1026

−

= 5

13−


= (526

− )2 – (126 )2

= 2526 –

126

= 2426 =

1213


b.2 tan 67,5

(1 tan 67,5 )(1 tan 67,5 )°

− ° + °

= 22 tan 67,5

1 tan 67,5°

− °

= tan (2 × 67,5°)= tan 135°= tan (90° + 45°)= –cotan 45°= –1

c. 10 sin 78,75° cos 78,75°= 5 × 2 sin 78,75° cos 78,75°= 5 sin (2 × 78,75°)= 5 sin 157,5°Oleh karena sin 157,5° bernilai positif, bentukdi atas dapat dinyatakan:

= 5( 1 cos 2 157,52

− × )

= 5( 1 cos 3152

− )

= 5( 1 cos (360 45 )2

− ° − ° )

= 5 1 cos 452

− °

= 5121 2

2

−

= 5 2 24

− = 52

2 2−

3. Segitiga ABC siku-siku di B sehingga diperoleh:

sin A = ab

cos A = cb

sin C = cb

cos C = ab

a. sin 2A = 2 sin A cos A

= 2 × ab ×

cb

= 22acb

(terbukti)

b. cos 2A = 2cos2 A – 1

= 2(cb )2 – 1

= 2

22cb

– 2

2bb

= 2 2

22c b

b− (terbukti)

c. sin c2 = ± 1 cos C

2−

= ±ab

1

2

−

= ±b ab b

2

− = ± b a

2b−

sin2 C2 = (sin

C2 )2 = (± b a

2b− )2 =

b a2b−

(terbukti)

d. tan C2 = ± 1 cos C

1 cos C−+

= ±abab

1

1

−

+

= ±b ab bb ab b

−

+

= ±b a

bb a

b

−

+

= ±b ab a

−+

tan2 C2 = (tan

C2 )2

= (±b ab a

−+ )2 =

b ab a

−+ (terbukti)

4. a.1 cos 2x

sin 2x+

= 21 (2 cos x 1)

2 sin x cos x+ −

= 22 cos x

2 sin x cos x

= 2 cos x cos x2 sin x cos x

= cos xsin x

= cotan x (terbukti)

b. cos x sin xcos x sin x

+−

– cos x sin xcos x sin x

−+

= (cos x sin x)(cos x sin x) (cos x sin x)(cos x sin x)(cos x sin x)(cos x sin x)

+ + − − −− +

= 2 2 2 2

2 2cos x 2 sin x cos x sin x (cos x 2 sin x cos x sin x)

cos x sin x+ + − − +

−

= 2cos 2x 2 sin x cos x sin x+ + 2cos x− 22 sin x cos x sin x+ −

cos 2x

= 4 sin x cos xcos 2x

= 2 2 sin x cos xcos 2x

×

= 2 sin 2xcos 2x

= 2 tan 2x (terbukti)

A

B Ca

bc

144 Trigonometri

c.122122

1 tan x

1 tan x

−

+ =

122122122122

sin x

cos x

sin x

cos x

1

1

−

+

=

1 12 22 2

122

1 12 22 2

122

cos x sin x

cos x

cos x sin x

cos x

−

+

= 1 12 22 21 12 22 2

cos x sin x

cos x sin x

−

+

= cos x

1

= cos x (terbukti)

5. sin γ = tan β (1 – cos γ)

⇔ sin γ = sincos

ββ

(1 – cos γ)

⇔ sin γ = sin sin coscos

β − β γβ

⇔ sin γ cos β = sin β – sin β cos γ⇔ sin γ cos β + sin β cos γ = sin β⇔ sin γ cos β + cos γ sin β = sin β⇔ sin (γ + β) = sin βPada ∆ABC berlaku α + β + γ = 180° sehinggaβ + γ = 180° – α.⇔ sin (180° – α) = sin β⇔ sin α = sin β⇔ α = βOleh karena α = β maka ∆ABC mempunyai duasudut sama besar sehingga ∆ABC merupakansegitiga sama kaki.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

sin x cos y = 12 (sin (x + y) + sin (x – y))

Pernyataan i) dan ii) salah.

cos x cos y = 12 (cos (x + y) + cos (x – y))

Pernyataan iii) dan v) salah.Jadi, pernyataan yang benar adalah iv).

2. Jawaban: bcos 52,5° sin 7,5°

= 12 [sin (52,5° + 7,5°) – sin (52,5° – 7,5°)]

= 12 (sin 60° – sin 45°)

= 12 (

12 3 –

12 2 )

= 1 14 4

3 2−

3. Jawaban: c6 cos 75° cos 125°

= 6 × 12

(cos (75° + 195°) + cos (75° – 195°))

= 6 × 12

(cos 270° + cos (– 120°))

= 3(cos 270° + cos 120°)

= 3(0 – 12

) = –32

4. Jawaban: b20 sin (x + 2y) sin (2y – x)

= 20 × {–12

[cos (x + 2y + 2y – x)

– cos (x + 2y – 2y + x)}= –10(cos 4y – cos 2x)= –10(cos 4y – cos 2x)

5. Jawaban: c1) sin 2a + sin 4b

= 2 sin 12

(2a + 4b) cos 12

(2a – 4b)

= 2 sin (a + 2b) cos (a – 2b)Pernyataan pada pilihan a dan b salah.

2) sin 2a – sin 4b

= 2 cos 12

(2a + 4b) sin 12

(2a – 4b)

= 2 cos (a + 2b) sin (a – 2b)Pernyataan pada pilihan c benar.

3) cos 2a + cos 4b

= 2 cos 12

(2a + 4b) cos 12

(2a – 4b)

= 2 cos (a + 2b) cos (a – 2b)Pernyataan pada pilihan d dan e salah.

Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan c.

6. Jawaban: dsin 75° – sin 165°

= 2 cos 12

(75° + 165°) sin 12

(75° – 165°)

= 2 cos 120° sin (–45°)


= –2 cos 120° sin 45°

= –2 × (– 12

) × 12

2

= 12

2

7. Jawaban: ecos 145 cos 95sin 145 sin 95

° − °° − °

= 1 12 21 12 2

2 sin (145 95 ) sin (145 95 )

2 cos (145 95 ) sin (145 95 )

− ° + ° ° − °

° + ° ° − °

= 2 sin 120 sin 252 cos 120 sin 25− ° °

° °

= sin120

cos 120− °

°

= sin (90 30 )

cos (90 30 )− ° + °

° + °

= cos 30sin 30

− °− °

= 12

12

3−

− = 3

8. Jawaban: dcos (45 a)° + cos (45 + a)°sin (45 + a)° + sin (45 a)°

−−

= 1 12 2

1 12 2

2 cos ((45 a)°+ (45 + a) ) cos ((45 a)° (45 a)°)

2 sin ((45 + a)° + (45 a) ) cos ((45 + a) (45 a)°)

− ° − − +

− ° ° − −

= cos 45 cos ( a)sin 45° cos a

° −

= 1212

2 cos a

2 cos a = 1

9. Jawaban: esin 150 sin 120cos 120 cos 300

° + °° − °

= ° °− ° − °

2 sin 135 cos 152 sin 210 sin ( 90 )

= 12

12

2 2 cos 15

2 ( ) ( 1)

× °

− × − × −

= – 2 cos 15°

cos 15° = cos (60° – 45°)= cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45°

= 12

× 12 2 + 1

2 3 × 12 2

= 14 2 + 6

sin 150 sin 120cos 120 cos 300

° + °° − ° = – 2 cos 15°

= – 2 × 14

( 2 + 6)

= – 14

(2 + 2 3 )

= – 12

(1 + 3 )

10. Jawaban: esin 20° sin 40° sin 80°= (sin 20° sin 40°) sin 80°

= – 12

(cos (20° + 40°) – cos (20° – 40°)) sin 80°

= – 12

(cos 60° – cos (–20° )) sin 80°

= – 12

( 12

– cos (–20°)) sin 80°

= – 14

sin 80° + 12

cos (–20°) sin 80°

= – 14

sin 80° + 12

× ( 12

(sin (–20° + 80°)

– sin (–20° – 80°))

= – 14

sin 80° + 14

sin 60° – 14

sin (–100°)

= – 14

sin 80° + 14

× 12

3 + 14

sin 100°

= – 14

(sin 80°– sin 100°) + 18

3

= – 14

(2 cos 90° sin (–10°)) + 18

3

= – 14

(2 × 0 × sin (–10)) + 18

3

= 18

3

11. Jawaban: etan 195° + tan 105°

= ° + °° + ° + ° − °2 sin (195 105 )

cos (195 105 ) cos (195 105 )

= °° + °

2 sin 300cos 300 cos 90

= × −

+

12

12

2 ( 3)

0

= –2 3

146 Trigonometri

12. Jawaban: csin A sin B

cos A cos B++ =

12

21

62

⇔( ) ( )( ) ( )A B A B

2 2A B A B

2 2

2 sin cos

2 cos cos

+ −

+ − = 26

⇔ ( )( )A B

2A B

2

sin

cos

+

+ = 13

⇔ tan A B

2+

= 13

sin A B

2+

= 12

cos A B

2+

= 32

sin A + sin B = 12

2

⇔ 2 sin A B

2+

cos A B

2−

= 12

2

⇔ 2 × 12 × cos

A B2−

= 12

2

⇔ cos A B

2−

= 12

2

cos (A – B) = cos A B2

2 −

= 2 cos2 A B

2−

– 1

= 2(12

2 )2 – 1

= 2 × 24 – 1

= 1 – 1 = 0

13. Jawaban: bsin 6° – sin 42° – sin 66° + sin 78°= sin 6° – sin 66° + sin 78° – sin 42°= sin 6° – sin 66° + sin 78° – sin 42°

= 2 cos 12(6° + 66°) sin

12(6° – 66°)

+ 2 cos 12(78° + 42°) sin

12(78° – 42°)

= 2 cos 36° sin (–30°) + 2 cos 60° sin 18°

= 2 cos 36° × (–12) + 2 ×

12 sin 18°

= –cos 36° + sin 18°

Oleh karena sin 18° = 14 ( 5 – 1) =

14 5 –

14

maka:cos 36° = 1 – 2 sin 18°

= 1 – 2(14 ( 5 – 1))2

= 1 – 2 × 1

16 (5 – 2 5 + 1)

= 1 – 18 (6 – 2 5 )

= 1 – 14 (3 – 5)

= 14 +

14 5

sin 6° – sin 42° – sin 66° + sin 78°= –cos 36° + sin 18°

= –(14 +

14 5) +

14 5 –

14

= –14 –

14 5 +

14 5 –

14

= –12

14. Jawaban: dsin x + cos x = aKedua ruas dikuadratkan.⇔ (sin x + cos x)2 = a2

⇔ sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x = a2

⇔ sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = a2

⇔ 1 + 2 sin x cos x = a2

⇔ sin x cos x = 2a 12−

sin4 x + cos4 x = (sin2 x)2 + (cos2 x)2

= (sin2 x + cos2 x)2 – 2 sin2 x cos2 x= 12 – 2(sin x cos x)2

= 1 – 2(2a 12− )2

= 1 – 2 2(a -- 1)

2

15. Jawaban: a

cos (x + 23 π) – cos (x –

23 π) =

12 3

⇔ –2 sin 12 (2x) sin

12 (2 ×

23 π) =

12 3

⇔ –2 sin x sin 23 π =

12 3

⇔ –2 sin x × 12 3 =

12 3

⇔ sin x = –12

⇔ sin x = sin 16

− π

1) x = –16 π + k × 2π

k = 1 → x = 116 π

2) x = (π – (–16 π)) + k × 2π

⇔ x = 76 π + k × 2π

k = 0 → x = 76 π

Jadi, nilai x yang memenuhi 76 π dan

116 π .

12

A + B

3


B. Uraian

1. a. 2 cos 127,5° cos 97,5°

= 2 × 12 [cos (127,5° + 97,5°)

+ cos (127,5° – 97,5°)]= cos 225° + cos 30°= cos (180 + 45)° + cos 30°= –cos 45° + cos 30°

= –12 2 +

12 3

b. –12 cos 82,5° sin 37,5°

= –12 × 12[sin (82,5° + 37,5°)

– sin (82,5° – 37,5°)]= –6(sin 120° – sin 45°)

= –6(–12 –

12 2 )

= 3 – 3

c. 4 sin 20° sin 40° sin 80°4 sin 20° sin 40° sin 80°= 2 (2 sin 20° sin 40°) sin 80°= 2 (cos 20° – cos 60°) sin 80°= 2 cos 20° sin 80° – 2 cos 60° sin 80°= 2 sin 80° cos 20° – 2 cos 60° sin 80°

= (sin 100° + sin 60°) – 2 × 12 sin 80°

= sin (180° – 80°) + sin 60° – sin 80°

= sin 80° + 12 3 – sin 80°

= 12 3

2. a. (cos 165° + cos 465°)(sin 15° + sin 105°)= (2 cos 315° cos (–150°))(2 sin 60° cos (–45°))= 2 × 2 cos 315° cos 150° sin 60° cos 45°= 4 × cos (270° + 45°) cos (90° + 60°) sin 60°

sin 45°= 4 sin 45°(–sin 60°) sin 60° sin 45°

= 4 × 12

2 × (– 12

3 ) × 12

3 × 12

2

= – 14

× 2 × 3 = – 32

b. cos 20° – cos 80° – cos 40°= (cos 20° – cos 80°) – cos 40°= (–2 sin 50° sin (–30°)) – cos 40°= –2 sin 50°(–sin 30°) – cos 40°= 2 sin 50° sin 30° – cos 40°

= 2 sin 50° × 12 – cos 40°

= sin 50° – cos 40°= cos 40° – cos 40°= 0

3. Jawaban:a. cos θ + cos 2θ + cos 3θ

= cos 2θ + cos θ + cos 3θ

= cos 2θ + 2 cos 12 (θ + 3θ) cos

12 (θ – 3θ)

= cos 2θ + 2 cos 2θ cos (–θ)= cos 2θ + 2 cos 2θ cos θ= cos 2θ (1 + 2 cos θ)

b.sin 3 sin 5 sin 7 sin 9

cos 3 cos 5 cos 7 cos 9θ + θ + θ + θ

θ + θ + θ + θ

= sin 5 sin 7 sin 9 sin 3

cos 5 cos 7 cos 9 cos 3θ + θ + θ + θ

θ + θ + θ + θ

= 2 sin 6 cos ( ) 2 sin 6 cos 32 cos 6 cos ( ) 2 cos 6 cos 3

θ −θ + θ θθ −θ + θ θ

= 2 sin 6 [cos ( ) cos 3 ]2 cos 6 [cos ( ) cos 3 ]

θ −θ + θθ −θ + θ

= sin 6cos 6

θθ

= tan 6θ

4. a. cos5 θ= cos θ cos θ cos3 θ

=12(cos 2θ + cos 0) cos3 θ

= 12(cos 2θ + 1) cos3 θ

=12(cos 2θ cos θ + cos θ) cos2 θ

=12(

12(cos 3θ + cos θ) + cos θ) cos2 θ

=12(

12 cos 3θ +

32 cos θ) cos2 θ

=14(cos 3θ + 3 cos θ) cos2 θ

=14(cos 3θ cos θ + 3 cos θ cos θ) cos θ

=14(

12(cos 4θ + cos 2θ)

+ 3 × 12(cos 2θ + cos 0)) cos θ

=18(cos 4θ + cos 2θ + 3 cos 2θ + 3) cos θ

=18(cos 4θ cos θ + 4 cos 2θ cos θ + 3 cos θ)

= 18(

12(cos 5θ + cos 3θ)

+ 4 × 12 (cos 3θ + cos θ) + 3 cos θ)

=1

16 (cos 5θ + cos 3θ + 4 cos 3θ

+ 4 cos θ + 6 cos θ)

=1

16 (cos 5θ + 5 cos 3θ + 10 cos θ)

= 1

16 (10 cos θ + 5 cos 3θ + cos 5θ) (terbukti)

148 Trigonometri

b. sin5 θ= sin θ sin θ sin3 θ

= – 12(cos 2θ – cos 0) sin3 θ

= – 12 (cos 2θ – 1) sin3 θ

= – 12(cos 2θ sin θ – sin θ) sin2 θ

= – 12(

12 (sin 3θ – sin θ) – sin θ) sin2

θ

= – 12(

12 sin 3θ – 3

2 sin θ) sin2 θ

= – 14(sin 3θ – 3 sin θ) sin2 θ

= – 14(sin 3θ sin θ – 3 sin θ sin θ) sin θ

= – 14(– 1

2(cos 4θ – cos 2θ) – 3 × (– 1

2)

(cos 2θ – cos 0)) sin θ

= – 18(–cos 4θ + cos 2θ + 3 cos 2θ – 3) sin θ

= – 18(–cos 4θ sin θ + cos 2θ sin θ

+ 3 cos 2θ sin θ – 2 sin θ)

= – 18(– 1

2(sin 5θ – sin 3θ) + 1

2(sin 3θ – sin θ)

+ 3 × 12(sin 3θ – sin θ) – 3 sin θ)

= – 116

(–sin 5θ + sin 3θ + sin 3θ – sin θ

+ 3 sin 3θ – 3 sin θ – 6 sin θ)

= – 116

(–sin 5θ + 5 sin 3θ – 10 sin θ)

= 116

(10 sin θ – 5 sin 3θ + sin 5θ) (terbukti)

5. 1) Jumlah besar sudut segitiga = 180°A + B + C = 180°

⇔ B + C = 180° – A

⇔ B C2+

= 90° – A2

2) A + B + C= 180°⇔ B + C – 2C = 180° – A – 2C⇔ B – C = 180° – (A + 2C)

⇔ B C2−

= 90° – (A2 + C)

3) sin B + sin C = 2 sin A⇔ sin B + sin C = 2 sin (180° – (B + C))⇔ sin B + sin C = 2 sin (B + C)

⇔ 2 sin (B C

2+

) cos (B C

2−

) = 2 sin 2(B C

2+

)

⇔ 2 sin (B C

2+

) cos (B C

2−

)

= 2 × 2 sin (B C

2+

) cos (B C

2+

)

⇔ cos (B C

2−

) = 2 cos (B C

2+

)

⇔ cos B2 cos

C2 + sin

B2 sin

C2

= 2 (cos B2 cos

C2 – sin

B2 sin

C2 )

⇔ sin B2 sin

C2 + 2 sin

B2 sin

C2

= 2 cos B2 cos

C2 – cos

B2 cos

C2

⇔ 3 sin B2 sin

C2 = cos

B2 cos

C2

⇔B C2 2B C2 2

sin sin

cos cos = 13

⇔ tan B2 tan

C2 =

13

Jadi, nilai tan B2 tan

C2 adalah

13 .

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: ccos 75°= cos (45° + 30°)= cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°

= 12 2 ×

12 3 –

12 2 ×

12

= 14

6 – 14 2

2. Jawaban: ctan 15° = tan (60° – 45°)

= tan 60 tan 451 tan 60 tan 45

° − °+ ° × °

= 3 11 3 1

−+ ×

= 3 13 1

−+ ×

3 13 1

−−

= 3 2 3 1

3 1− +

− = 4 2 32

− = 2 – 3


3. Jawaban: c

8 (sin 5

12 π sin 1

12 π + cos 5

12 π cos 1

12 π)

= 8 (cos 5

12 π cos 1

12 π + sin 5

12 π sin 1

12 π)

= 8 (cos (5

12 π – 1

12 π))

= 8 (cos (4

12 π))

= 8 (cos (13 π))

= 8 × 12 = 4

4. Jawaban: d

sin A = 45 sin B =

725

A sudut lancip (kuadran I) maka cos A = 35 .

B sudut tumpul (kuadran II) maka cos B = –2425 .


= 35 × (–

2425 ) +

45 ×

725

= –72

125 + 28

125 = –44

125

5. Jawaban: e

tan α – tan β = 13

⇔sincos

αα –

sincos

ββ =

13

⇔ sin cos sin coscos cos

α β − β αα β

= 13

⇔ 4865

sin cos cos sinα β − α β = 13

⇔ sin α cos β – cos α sin β = 13 ×

4865

⇔ sin (α – β) = 1665

6. Jawaban: b

sin α = 1213 (α lancip) cos β = –

35 (β tumpul)

cos α = 5

13 sin β = 45

sin λ = sin (180° – (α + β))= sin (α + β)= sin α cos β + cos α sin β

= 1213 × (–

35 ) +

513 ×

45

= –3665 +

2065

= – 1665

7. Jawaban: e

α – β = 3π

⇔ cos (α – β) = cos 3π

⇔ cos α cos β + sin α sin β = 12

⇔ cos α cos β + 14 =

12

⇔ cos α cos β = 14


= 14 –

14

= 08. Jawaban: c

sin (α – β) = 35

⇔ sin α cos β – cos α sin β = 35

⇔ 15 – cos α sin β =

35

⇔ –cos α sin β = 25

⇔ cos α sin β = – 25


= 15 –

25

= –15

9. Jawaban: ecos x = acos 2x = 2 cos2 x – 1

= 2a2 – 1cos 4x = 2 cos2 2x – 1

= 2(2a2 – 1)2 – 1= 2(4a4 – 4a2 + 1) – 1= 8a4 – 8a2 + 2 – 1= 8a4 – 8a2 + 1

54

3A

25

24

7B

4

3

5

β

12

5

13

α

150 Trigonometri

10. Jawaban: csin2 62° – cos2 62°= –(cos2 62° – sin2 62°)= –(cos (2 × 62°))= –(cos 124°)= –(–0,6)= 0,6

11. Jawaban: eDiketahui sin 3° = p.

Diperoleh cos 3° = 21 p

1− = 21 p−

sin 276° = sin (270° + 6°)= –cos 6°= –cos (2 × 3°)= –(cos2 3° – sin2 3°)

= –(( 21 p− )2 – p2)

= –(1 – p2 – p2)= –(1 – 2p2)= 2p2 – 1

Jadi, nilai sin 276° = 2p2 – 1.

12. Jawaban: b

sin α + cos α = 34

⇔ (sin α + cos α)2 = (34 )2

⇔ sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α = 9

16

⇔ 1 + 2 sin α cos α = 9

16

⇔ 2 sin α cos α = –7

16

⇔ sin 2α = –7

16

13. Jawaban: dcos 2α = 2 cos2 α – 1

⇔ cos α = ± cos 2 12α +

Oleh karena 157,5° berada di kuadran II maka cos157,5° bertanda negatif.

⇔ cos 157,5° = – cos 315 12

° +

= –12

2 1

2

+

= – 2 24+

= –12 2 2+

14. Jawaban: e

sin α = 13 5 sehingga:

p = 2 23 ( 5)−

= 9 5−

= 4 = 2

cos α = 23

α adalah sudut lancip sehingga 12 α juga berupa

sudut lancip. Akibatnya, cos 12 α pasti berupa

bilangan positif.

cos 12 α = 1 cos

2+ α

= 23

1

2

+

= 56

= 56

× 66

= 16 30

15. Jawaban: d2 cos2 θ = 1 + 2 sin 2θ

⇔ 2 cos2 θ – 1 = 2 sin 2θ⇔ cos 2θ = 2 sin 2θ

⇔ tan 2θ = 12

Oleh karena 2θ sudut lancip maka diperoleh

sin 2θ = 15

dan cos 2θ = 25

.

Oleh karena 2θ sudut lancip maka θ juga sudutlancip sehingga tan θ bernilai positif.

tan θ = 1 cos 21 cos 2

− θ+ θ

= 25

25

1

1

−

+

= 5 2

55 2

5

−

+

= 5 2 5 25 2 5 2

− −×+ −

= 2( 5 2)

5 4−−

= 2( 5 2)− = 5 – 2

Jadi, nilai tan θ = 5 – 2.

1 p

3°21 p−

53

pα

2

5

2θ

1


16. Jawaban: d

cos1 sin

θ− θ

= a

⇔1 12 22 2

1 1 1 12 22 2 2 2

cos sin

cos sin 2 sin cos

θ − θ

θ + θ − θ θ= a

⇔1 1 1 12 2 2 21 1 1 12 2 2 2

(cos sin )(cos sin )

(cos sin )(cos sin )

θ + θ θ − θ

θ − θ θ − θ= a

⇔1 12 21 12 2

cos sin

cos sin

θ + θ

θ − θ ×

12

12

1

cos

1

cos

θ

θ

= a

⇔1212

1 tan

1 tan

+ θ

− θ= a

⇔ 1 + tan 12 θ = a – a tan

12 θ

⇔ a tan 12 θ + tan

12 θ = a – 1

⇔ (a + 1) tan 12 θ = a – 1

⇔ tan 12 θ =

a 1a 1

−+

17. Jawaban: aEliminasi tan A dari kedua persamaan:2 tan A + tan B = 4 × 1 2 tan A + tan B = 4

tan A – 3 tan B = –172 × 2 2 tan A – 6 tan B = –17

––––––––––––––––– –7 tan B = 21

⇔ tan B = 3

Substitusikan nilai tan B = 3.

2 tan A + tan B = 4 ⇒ 2 tan A + 3 = 4⇔ 2 tan A = 1

⇔ tan A = 12

tan 2A = 22 tan A

1 tan A−

= 12

212

2

1

×

−

= 14

11−

= 3

4

1

= 43

tan (2A + B) = tan 2A + tan B1 tan 2A tan B−

= 4

3

43

+ 3

1 3 − ×

= 133

3 − –139

18. Jawaban: a6 sin 112,5° sin 22,5°= –3(cos 135° – cos 90°)= –3(cos (90 + 45°) – 0)= –3(–sin 45°)

= –3(– 12

2 ) = 32

2

19. Jawaban: a° + °° + °

cos 50 cos 40sin 50 sin 40

= ° + ° ° − °

° + ° ° − °

1 12 21 12 2

2 cos (50 40 ) cos (50 40 )

2 sin (50 40 ) cos (50 40 )

= 2 cos 45 cos 52 sin 45 cos 5

° °° °

= cos 45sin 45

°°

= 1212

2

2 = 1

20. Jawaban: ecos 195° – sin 15° = cos (270° – 75°) – sin 15°

= –sin 75° – sin 15°= –(sin 75° + sin 15°)= –(2 sin 45° cos 30°)

= –2 × 12 2 +

12 3

= – 12

6

21. Jawaban: a

Diketahui tan x = 43 .

Oleh karena x lancip maka cos x = 35 dan sin x =

45 .

cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x= 2(2 cos2 x – 1) cos x= 4 cos3 x – 2 cos x

= 4(35 )3 – 2(

35 )

= 4(27

125 ) – (65 )

= –42

125

152 Trigonometri

22. Jawaban: bcos 4x + 3 sin 2x = –1

⇔ (1 – 2 sin2 2x) + 3 sin 2x = –1⇔ 2 sin2 2x – 3 sin 2x – 2 = 0⇔ (2 sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0⇔ 2 sin 2x + 1 = 0 atau sin 2x – 2 = 0

⇔ sin 2x = –12 atau sin 2x = 2

1) sin 2x = –12

⇔ sin 2x = sin 210°⇔ 2x = 210° + k × 360°⇔ x = 105° + k × 180°k = 0 ⇒ x = 105°

2) sin 2x = –12

⇔ sin 2x = (180° – 210°) + k × 360°⇔ 2x = –30° + k × 360°⇔ x = –15° + k × 180°k = 1 ⇒ x = 165°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {105°, 165°}.

23. Jawaban: b

sin C = 56 ⇔ sin (180° – (A + B)) =

56

⇔ sin (A + B) = 56

sin (A – B) = sin 30° = 12

sin A cos B = 12 (sin (A + B) + sin (A – B))

= 12 (

56 +

12 )

= 12 ×

86

= 23

24. Jawaban: d

cos 12 (A + B) =

53

maka sin 12 (A + B) =

45

cos 12 (A – B) =

12 3 maka sin

12 (A – B) =

12

cos A – cos B = –2 sin 12 (A + B) sin

12 (A – B)

= –2 × 45 ×

12 = –

45

25. Jawaban: c

Diketahui α + β = 90° maka sin α = sin (90° – β) =cos β dan cos α = cos (90° – β) = sin β.

cos 2 cos 2sin 2α − β

α=

− α + β α − β

α α

1 12 2

2 sin (2 2 ) sin (2 2 )

2 sin cos

= − α + β α − βα α

2 sin ( ) sin ( )2 sin cos

= –sin 90 sin ( )

sin cos° α − βα α

= 1(sin cos cos sin )

sin cos− α β − α β

α α

= sin cossin cos

− α βα α

+ cos sinsin cos

α βα α

= coscos

− βα

+ sinsin

βα

= sincos− α

α + sin

cosββ

= – tan α + tan β= tan β – tan α

26. Jawaban: bcos 3x sin 6x cos 9xsin 9x cos 6x sin 3x

− −− −

= cos 3x cos 9x sin 6xsin 9x sin 3x cos 6x

− −− −

= 2 sin 6x sin ( 3x) sin 6x2 cos 6x sin 3x cos 6x

− − −−

= 2 sin 6x sin 3x sin 6x

2 cos 6x sin 3x cos 6x−−

= sin 6x (2 sin 3x 1)cos 6x (2 sin 3x 1)

−− =

sin 6xcos 6x

= tan 6x

27. Jawaban: d

2 cos (x + 4π

) = cos (x – 4π

)

⇔ 2(cos x cos 4π

– sin x sin 4π

)

= cos x cos 4π

+ sin x sin 4π

⇔ 2 cos x cos 4π

– cos x cos 4π

= sin x sin 4π

+ 2 sin x sin 4π

⇔ cos x cos 4π

= 3 sin x sin 4π

⇔ cos x × 12

3 = 3 sin x × 12

3

⇔ 3 sin x = cos x

⇔sin xcos x =

13

⇔ tan x = 13

2 1

3

12(A – B)

4

53

12(A + B)

← (tidakmemenuhi)


28. Jawaban: acos 2x – 2 cos x = –1

⇔ 2 cos2 x – 1 – 2 cos x = –1⇔ 2 cos2 x – 2 cos x = 0⇔ 2 cos x (cos x – 1) = 0⇔ 2 cos x = 0 atau cos x – 1 = 0Untuk 2 cos x = 0 diperoleh nilai x berikut.

2 cos x = 0⇔ cos x = 0

⇔ cos x = cos 2π

x = ±2π + k2π

Untuk k = 0 diperoleh:

x = 2π

Untuk k = 1 diperoleh:

x = –2π + 2π

= 32

π

Untuk cos x – 1 = 0 diperoleh nilai x berikut.cos x – 1 = 0

⇔ cos x = 1⇔ cos x = cos 0⇔ x = ± 0 + k2πUntuk k = 0 ⇒ x = 0Untuk k = 1 ⇒ x = 2πJadi, himpunan penyelesaian persamaan

tersebut adalah {0, 12

π, 32

π, 2π}.

29. Jawaban: a3 cos 2x + 5 sin x + 1 = 0

⇔ 3(1 – 2 sin2 x) + 5 sin x + 1 = 0⇔ 3 – 6 sin2 x + 5 sin x + 1 = 0⇔ –6 sin2 x + 5 sin x + 4 = 0⇔ (–3 sin x + 4)(2 sin x + 1) = 0

⇔ sin x = –43 atau sin x = –

12

Tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan

sin x = –43 karena batas nilai minimum sin x adalah –1.

1) sin x = –12

⇔ sin x = sin ( –16 π)

x = –16 π + k × 2π

k = 1 → x = 116 π

2) sin x = –12

⇔ x = (π – (–16 π) + k × 2π

⇔ x = 76 π + k × 2π

k = 0 → x = 76 π

Jadi, himpunan penyelesaiannya {76 π,

116 π}.

30. Jawaban: dcos 4x + cos 2x = 0⇔ 2 cos 3x cos x = 0⇔ cos 3x = 0 atau cos x = 0

a. Untuk cos 3x = 0

cos 3x = 0 ⇔ cos 3x = cos 2π

1) 3x = 2π

+ k × 2π

⇔ x = 6π

+ k × 23 π

k = 0 → x = 16 π

k = 1 → x = 56 π

k = 2 → x = 32 π

2) 3x = – 2π

+ k × 2π

⇔ x = – 6π

+ k × 23 π

k = 1 → x = 36 π

k = 2 → x = 76 π

k = 3 → x = 116 π

b. Untuk cos x = 0

cos x = 0 ⇔ cos x = cos 2π

1) x = 2π

+ k × 2π

k = 0 → x = 2π

2) x = – 2π

+ k × 2π

k = 1 → x = 96 π

Jadi, himpunan penyelesaiannya {16 π,

36 π,

56 π,

76 π,

96 π,

116 π}.

154 Trigonometri

B. Uraian

1. a.cos 67 cos 22 + sin 67 sin 22

sin 130 cos 110 + cos 130 sin 110° ° ° °

° ° ° °

= cos (67 22 )

sin (130 110 )° − °° + °

= cos 45sin 240

°°

= 1212

2

3−

= 23−

= –13 6

b.2 2

2tan 187,5 tan 52,51 (tan 187,5 tan 52,5 )

° − °− °

= (tan 187,5 tan 52,5 )(tan 187,5 tan 52,5 )

(1 tan 187,5 tan 52,5 )(1 tan 187,5 tan 52,5 )° + ° ° − °

− ° + ° °

= tan (187,5° + 52,5°) tan (187,5° – 52,5°)= tan 240° tan 135°

= 3 (–1)

= – 3

2. Tentukan nilai bentuk trigonometri berikut.

a.cos 15 cos 75sin195 sin 75

° − °° + °

b.sin105 sin15

cos 255 cos 165° − °° + °

Jawaban:

a.cos 15 cos 75sin195 sin 75

° − °° + °

= 2 sin 45 sin ( 30 )2 sin135 cos 60

− ° − °° °

= 2 sin 45 sin 302 cos 45 cos 60

° °° °

= 1 12 21 12 2

2 2

2 2

× ×

× × = 1

b.sin105 sin15

cos 255 cos 165° − °° + °

= 2 cos 60 sin 452 cos 210 cos 45

° °° °

= 2 cos 60 sin 452( cos 30 ) cos 45

° °− ° °

= 1 12 22 2× ×

1 12 2

( )2 3 2× ×−

= 13−

= – 13

3

3. a. sin (200° + a) cos (20° – a) – cos (200° + a)sin (20° – a)= sin ((200° + a) – (20° – a))= sin (180° + 2a)= –sin 2a

b. cos (200° – a) cos (70° – a) – sin (200° – a)sin (70° – a)= cos ((200° – a) + (70° – a))= cos (270° – 2a)= –sin 2a

4. a. tan 2θ = 337 =

247

90° < θ < 135° ⇔ 180° < 2θ < 270°Oleh karena 180° < 2θ < 270° maka tan 2θbernilai positif, sin 2θ bernilai negatif, dancos 2θ bernilai negatif.

Diperoleh sin 2θ = –2425 dan cos 2θ = –

725

sin 4θ = 2 sin 2θ cos 2θ

= 2 × (–2425 ) × (–

725 )

= 336625

cos 4θ = 2 cos2 2θ – 1

= 2(–725 )2 – 1

= 98625 – 1

= –527625

b. Oleh karena 90° < θ < 135° maka sin θ ber-nilai positif, cos θ bernilai negatif, dan tan θbernilai negatif.

sin θ = 1 cos 22

− θ

= 7251 ( )

2

− −

= 1625

= 45

2θ7

25 24


cos θ = – 1 cos 22

+ θ

= –7251 ( )

2

+ −

= 925

= –35

5. a. tan x = 125 sehingga:

p = 2 212 5+

= 144 25+

= 169= 13

sin x = 1213

cos x = 5

13

sin y = 6

10 sehingga:

p = 2 210 6−

= 100 36−

= 64 = 8

cos y = 8

10

tan y = 68

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

= 5

13 × 8

10 – 1213 ×

610

= 40

130 – 72

130

= –32

130 = –1665

b. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

= 1213 ×

810 +

513 ×

610

= 96

130 + 30

130

= 126130

= 6365

6. a. cos (A B)cos (A B)

−+

= 95

⇔ 5 cos (A – B) = 9 cos (A + B)⇔ 5(cos A cos B + sin A sin B)

= 9(cos A cos B – sin A sin B)⇔ 5 cos A cos B + 5 sin A sin B

= 9 cos A cos B – 9 sin A sin B⇔ 14 sin A sin B = 4 cos A cos B

⇔ 14 sinAcos A = 4

cos BsinB

⇔ 7 tan A = 2 cotan B (dapat di-tunjukkan)

b. tan B = 2

tan B = 2 ⇔ cotan B = 12

7 tan A = 2 cotan B

⇔ 7 tan A = 2(12 )

⇔ tan A = 17

tan (A + B) = tanA tanB

1 tanA tanB+

−

= 17

17

2

21

+

×−

= 15757

= 3

12

5

p

106

p

156 Trigonometri

7. A + B + C = 180°⇔ A + B = 180° – C⇔ C = 180° – (A + B)sin 2A + sin 2B + sin 2C= (sin 2A + sin 2B) + sin 2C= 2 sin (A + B) cos (A – B) + 2 sin C cos C= 2 sin (180° – C) cos (A – B) + 2 sin C cos C= 2 sin C cos (A – B) + 2 sin C cos C= 2 sin C (cos (A – B) + cos C)= 2 sin C (cos (A – B) + cos (180° – (A + B)))= 2 sin C (cos (A – B) – cos (A + B))= 2 sin C (–2 sin A sin (–B))= 2 sin C (2 sin A sin B)= 4 sin A sin B sin C (terbukti)

8.

CD = 2 2AC AD−

= 2 213 5−

= 144= 12 cm

sin α = 1213

cos α = 5

13

tan α = 125

∠A + ∠B + ∠C = 180°⇔ ∠C = 180° – (∠A + ∠B)⇔ ∠C = 180° – (∠A + ∠B)⇔ ∠C = 180° – 2α

a. sin C = sin (180° – 2α)= sin (2α)= 2 sin α cos α

= 2 (1213 )(

513 )

= 120169

b. tan (180° – 2α)= –tan 2α

= 22 tan

1 tan− α− α

= ( )( )2

125

125

2

1

−

−

= 245

11925

−

−

= 245 ×

25119

= 120119

9. cos 2x = 2 cos2 x – 1

Oleh karena 32 π < 2x < 2π ⇔

34 π< x < π maka

cos x bernilai negatif.

cos x = – cos 2x 12

+

= –a 1a 1

1

2

−+

+

= –a 1 a 1

2(a 1)− + +

+

= –a

a 1+

= –a

a 1+

sin x = 1

a 1+

tan x = sin xcos x

= 1

a 1

aa 1

+

−+

= –1a

= – 1a

a

A 5 cm D 5 cm B

C

α α

13 cm13 cm

a 1+ 1

a

x


10. a. cos 2x – sin x = 0⇔ (1 – 2 sin2 x) – sin x = 0⇔ 2 sin2 x + sin x – 1 = 0⇔ (2 sin x – 1)(sin x + 1) = 0

⇔ sin x = 12 atau sin x = –1

Pada interval 0 ≤ x ≤ 2π:

sin x = 12 berlaku untuk x = 6

π dan x =

56π

sin x = –1 berlaku untuk x = 32π

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 6π

, 56π

, 32π

}.

b. cos (75° – x) – cos (15° – x) = 0

⇔ –2 sin 12 (90° – 2x) sin

12 (60°) = 0

⇔ –2 sin (45° – x) sin 30° = 0

⇔ –2 sin (45° – x) × 12 = 0

⇔ sin (45° – x) = 0⇔ sin (45° – x) = sin 0°

45° – x = 0° + k × 360°⇔ –x = –45° + k × 360°⇔ x = 45° – k × 360°

k = 0 → x = 45°

45° – x = 180° + k × 360°⇔ –x = 135° + k × 360°⇔ x = –135° – k × 360°

k = –1 → x = 225°Jadi, himpunan penyelesaiannya {45°, 225°}.


A. Pilihlan Ganda1. Jawaban: e

ΔPQR siku-siku di Q.

PR = 2 2PQ QR+

= 2 212 12+

= 22 12×

= 12 2 cm

AR = 12PR

= 12 × 12 2

= 6 2 cmJarak titik A ke titik V adalah AV.ΔARV siku-siku di R.

AV = 2 2AR VR+

= 2 2(6 2) 12+

= 216

= 6 6 cm

Jadi, jarak titik A dengan titik V adalah 6 6 cm.

2. Jawaban: aOleh karena BEtegak lurus denganDT maka BE me-rupakan jarak titik Bke garis AT.

BD = 2 2AB AD+

= 2 24 4+

= 16 16+

= 32 = 4 2 cm

DO = OB = BD2 = 4 2

2 = 2 2 cm

BT = AT = 8 cmPerhatikan ΔTOB.

OT = 2 2BT OB−

= 2 28 (2 2)−

= 64 8−

= 56 = 2 14 cm

Luas ΔBTD = 12 × BD × OT =

12 × DT × BE

⇔ 12 × 4 2 × 2 14 =

12 × 8 × BE

⇔ BE = 4 2 2 148

×

= 28 = 2 7 cm

Jadi, jarak titik B ke rusuk TD adalah 2 7 cm.

3. Jawaban: d

EP = 2 2EF FP+

= ( )2 3 22

3a + ( a)

= 92 249a + a

= 2454

a = 32 a 5

EQ = 12 EH =

32 a

PQ = 2 2EQ EP+

= 3 3a2 22 2

( a) + ( 5)

= 29a 45 2

4 4 + a =

32 a 6

Jadi, panjang PQ = 32 a 6 .

P Q

RS

TU

VW

A12 cm

12 cm

A B

CD

T

O 4 cm

4 cm

E

A B

CD

4 cm

4 cm

4 cm

D B

T

O

A B

CD

E F

GH

P

Q


4. Jawaban: b

Jarak titik A ke bidang TBC sama dengan jaraktitik A ke garis TD, yaitu panjang AE.

TD = TC CD−2 2

= 2 28 4−

= 64 16− = 4 3 cm

AD = TD = 4 3 cm

Misalkan TE = x, maka DE = 4 3 – x.AE2 = AD2 – DE2 = AT2 – TE2

⇔ (4 3 )2 – (4 3 – x)2 = 82 – x2

⇔ 48 – 48 + 8 3 x – x2 = 64 – x2

⇔ 8 3 x = 64

⇔ x = 64

8 3 = 83 3 cm

AE = 2 2AT TE−

= ( )28238 3−

= 643

64 −

= 128

3

= 8 2

3 =

83 6 cm

Jadi, jarak titik A ke bidang TBC adalah 83 6 cm.

5. Jawaban: bProyeksi dari garis AH kebidang ACGE adalah AO.

AO = 2 2AE EO+

= ( )2122a a 2+

= 12 22

a a+

= 23a

2 =

12 a 6 cm

Jadi, panjang proyeksi AH pada bidang ACGE

adalah 12 a 6 cm.

6. Jawaban: a

Berdasarkan gambar di atas, jarak titik A ke bidangBCHE ditunjukkan oleh garis AP.Perhatikan segitiga ABE.

BE = +2 2AB AE

= 2 28 + 6

= 64 + 36

= 100= 10 cm

Luas segitiga ABE:

12 × AB × AE =

12 × BE × AP

⇔ AB × AE = BE × AP⇔ 8 × 6 = 10 × AP⇔ 48 = 10 × AP

⇔ AP = 4810 =

245 cm

Jadi, jarak titik A ke bidang BCHE adalah 245 cm.

7. Jawaban: c

Jarak titik H ke garis AG sama dengan panjangruas garis PH.GH merupakan rusuk kubus, panjang GH = 15 cm.AH merupakan diagonal sisi, panjang AH

= 15 2 cm.AG merupakan diagonal ruang, panjang AG

= 15 3 cm.Segitiga AGH siku-siku di H.

C

G

A B

D

E F

H

a cm

O

A B

E

H

C

G

F

P

D

8 cm

11 cm

6 cm

6 cm

8 cmAB

P

E

AP G

H

A B

CD

E F

GH

15 cm

T

A

B

8

C

D

E

8 44


LΔAGH = 12 × AG × PH =

12 × AH × GH

⇔ PH = AH GH

AG×

= 15 2 15

15 3×

= 15 2

3 ×

33

= 153 6

= 5 6

Jadi, jarak H ke diagonal ruang AG adalah 5 6 cm.

8. Jawaban: aSudut antara GT dan ABCD adalah ∠GTC.

TC = 2 2CD DT+

= 2 212 9+

= 144 81+

= 225

= 15 cm

GT = 2 2TC CG+

= 2 215 20+

= 225 + 400

= 625

= 25 cm

cos α = TCGT =

1525 =

35

Jadi, nilai cos α = 35 .

9. Jawaban: aSudut yang dibentukoleh garis BG danbidang ABI adalah∠IKJ.

Panjang KJ = BG = a 2

Panjang IJ = 12 FG

= 12 a

Perhatikan ΔILK siku-siku di L.

KI = 2 2KL LI+

= 2 212

a ( a)+

= 2 214

a a+

= 254

a

= 12

a 5 cm

KI = 12

a 5 cm

Pada ΔIKJ berlaku aturan kosinus:IJ2 = KI2 + KJ2 + 2 × KI × KJ cos α

⇔ cos α = 2 2 2KI KJ IJ2 KI KJ

+ −× ×

= 5 12 2 24 4

12

a 2a a

2 a 5 a 2× ×

+ −

= 2

23a10 a

= 310

cm

Diperoleh sin α = 110 =

110

10


1010 .

10. Jawaban: d

AD = AB2 =

62 = 3 cm

CD = 2 2AC AD−

= 2 26 3−

= 36 9−

= 27 = 3 3 cmPerhatikan ΔADT.

TD = 2 2AT AD−

= 2 29 3−

= 81 9−

= 72 = 6 2 cmSudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalahsudut TDC.

cos ∠TDC = 2 2 2CD TD CT2 CD TD

+ −× ×

= 2 2 2(3 3) (6 2) 9

2 3 3 6 2

+ −× ×

= 27 72 81

36 6

+ − =

18

36 6

= 1

2 6 × 6

6

= 112

6 = 612

A B

C

E

H G

F

K

D

α

I

L

J

A B

CD

E F

GH

T α

20 cm

12 cm

18 cm

12a

JI

K

a2

12

a5

α

3α

110

9 cm A

B C

D

T

O

6 cm


138

D T

C

α

12

6

E

G

O

α

6 2

6 2

4 2

AB

CD

E F

GH

P

α

a

Q

Oleh karena cos ∠TDC = 612

maka sin ∠TDC = 13812

= 112

138 .

Jadi, sinus sudut antarabidang TAB dan bidang ABC

adalah 112

138 .

11. Jawaban: bSudut antara bidang BDGdan BDE seperti padagambar yaitu α. Perhatikansegitiga EOG.

EG = AC = 2 2AB + BC

= 2 24 + 4

= 16 + 16

= 32

= 4 2 cm

EO = 2 2AE + AO

= 2 28 + (2 2)

= 64 + 8

= 72

= 6 2 cm

OG = EO = 6 2 cm

cos α = 2 2 2EO + OG EG2 EO OG

−× ×

= 72 + 72 322 6 2 6 2

−× ×

= 112144

= 79

Jadi, nilai cosinus sudut antara bidang BDG dan

BDE adalah 79

.

12. Jawaban: c

A B

CD

E F

GH

O

α

8 cm

4 cm

4 cm

Proyeksi garis AP pada bidang BDHF adalah garisPQ, sehingga sudut antara AP dengan BDHFadalah ∠APQ = α.Misalkan panjang rusuk kubus = a

AC merupakan diagonal sisi, maka AC = a 2

AQ = 12 AC =

12 a 2

AE = a dan EP = AQ = 12 a 2

AP = 2 2AE + EP

= 1 222

+ ( 2)a a

= 3 22

a

= 12 a 6

Segitiga APQ siku-siku di Q.

sin α = AQAP

= 1212

a 2

a 6

= 13

= 13

3

Jadi, nilai sinus sudut antara AP dan BDHF adalah

13

3 .

13. Jawaban: b

Sudut antara bidang ABCD dan BCHE adalah∠ABE = α.Misal: EA = a

tan α = EAAB ⇔ AB =

EAtan α = 1

2

a = 2a

EA2 + AB2 = EB2

⇔ a2 + (2a)2 = (2 10)2

⇔ a2 + 4a2 = 40⇔ 5a2 = 40⇔ a2 = 8

⇔ a = 2 2

Jarak E ke bidang ABCD = panjang EA = a = 2 2 .

Jadi, jarak E ke bidang ABCD adalah 2 2 cm.

AB

CD

E F

GH

αA B

E

a

2aα

2 10


IH

G

α6 cm

9 cm

T

A B

C

G

E

OH

I

DF

α

62

cm

6 2 cm

11

7 c

m

14. Jawaban: cAC = diagonal alas

AC = 2 2AB BC+

= 2 2(6 2) (6 2)+

= 72 72+

= 144= 12 cm

Oleh karena AE = 12 AB dan TG =

12 CT, maka

dengan proyeksi diperoleh:

AH = HO = OI = IC = 124 = 3 cm

Sehingga panjang HI = 6 cm

Diketahui CG = 12 CT, maka GI =

12 TO

= 12 × 18 = 9 cm

HG = 2 2HI IG+

= 2 26 9+

= 36 81+ = 117 cm

cos α = HIHG

= 6

117

= 6

117 117

Jadi, nilai cos α = 6

117 117 .

15. Jawaban: cSudut antara garis TB danbidang ABCD adalah∠TBD = α.AB = BC

= CD= AD= 8 cm

Luas permukaan limas:Llimas = 4 × LΔTAB + LABCD

⇔ 64(1 + 3) = 4 × 12 × 8 × TE + 8 × 8

⇔ 64 + 64 3 = 16 TE + 64

⇔ TE = 64 316

= 4 3

TB = 2 2TE EB+

= 2 2(4 3) 4+

= 8 cm

A B

D

E

T

αC

4

3 A

sin A = 45

cos A = 35

B5

cos B = –5

13

sin B = 1213

5

12 13

TA = TB = TC = TD = 8 cm

BD= 2 2AB AD+

= 2 28 8+

= 8 2 cm

cos α = 2 2 2TB BD TD2 TB BD

+ −× ×

= 2 2 28 (8 2) 8

2 8 8 2+ −

× ×

= 22

= 12 2

⇔ α = 45°Jadi, besar sudut antara garis TB dan bidang ABCDadalah 45°.

16. Jawaban: ccos α cos β – sin α sin β = cos (α + β)2 cos 23,5° cos 21,5° – 2 sin 23,5° sin 21,5°= 2(cos 23,5° cos 21,5° – sin 23,5° sin 21,5° )= 2 cos (23,5° + 21,5°)= 2 cos 45°

= 2 × 12 2 = 2

17. Jawaban: c


= 35 ×

5( )

13− +

45 ×

1213

= 1565

− + 4865

= 3365

Jadi, nilai cos (A – B) = 3365 .


Jumlah besar sudut segitiga = 180°⇔ A + B + C = 180°⇔ C = 180° – (A + B)tan C = tan (180° – (A + B))

= –tan (A + B)

= –tan A tan B

1 tan A tan B+

−

= –15 58 12

15 58 12

( )

1 ( )

+ −

− × −

= –45 10

247596

1

−

+

= –3524

2532

1+

= – 35 3224 57

×

= –140171

20. Jawaban: e

p = 2 23 1+

= 9 1+

= 10

sin x = 1p

= 110

cos x = 3p

= 310

sin 2x = 2 sin x cos x

= 2 × 110

× 310

= 6

10

= 35

21. Jawaban: d

1 cos 2x1 cos 2x

+−

= 2

21 (2 cos x 1)1 (1 2 sin x)+ −− −

= 2

22 cos x2 sin x

= cotan2 x

22. Jawaban: ccos 52,5° sin 7,5°

= 12

(sin (52,5° + 7,5°) – sin (52,5° – 7,5°))

= 12

(sin 60° – sin 45°)

= 12

(12 3 –

12 2 ) =

14

( 3 – 2 )

x3

1p

18. Jawaban: a

Perhatikan ΔABC siku-siku di B.

AB = 2 2AC BC−

= 2 225 15−

= 625 225−

= 400 = 20

Perhatikan ΔACD siku-siku di D.

AD = 2 2AC CD−

= 2 225 7−

= 625 49−

= 576 = 24

sin x° = BCAC =

1525 =

35

cos x° = ABAC =

2025 =

45

sin y° = CDAC =

725

cos y° = ADAC =

2425

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

= 35 ×

2425 +

45 ×

725

= 72

125 + 28

125

= 100125 = 4

5

Jadi, nilai sin (x + y)° = 45

.

19. Jawaban: c

25

7

15

x°y°

D

B

C

A

17 15

8A

tan A = 158 tan B = –

512

13

12

5B


23. Jawaban: a

cos 75 – cos 15sin 75 – sin 15

° °° °

= 1 12 21 12 2

–2 sin (75 15 ) sin (75 – 15 )

2 cos (75 15 ) sin (75 – 15 )

° + ° ° °

° + ° ° °

= –2 sin 45 sin 302 cos 45 sin 30

° °° °

= sin 45cos 45− °

°

= 12

12

– 2

2 = –1

24. Jawaban: b2(cos sin )

sin 2 cos 2 1θ + θ

θ + θ += 2

2(cos + sin )2 sin cos 2 cos 1 1

θ θθ θ + θ − +

= 2(sin + cos )2 cos (sin cos )

θ θθ θ + θ

= 1

cos θ = sec θ

25. Jawaban: dJumlah besar sudut segitiga = 180°

⇔ A + B + C = 180°⇔ A + B = 180° – C

sin A cos B = 12 (sin (A + B) + sin (A – B))

= 12 (sin (180° – C) + sin (A – B))

= 12 (sin C + sin 30°)

= 12 (

56 +

12 )

= 12 (

86 )

= 8

12 = 23

26. Jawaban: e

sin 3A sin Acos 3A cos A

+−

= 1 12 2

1 12 2

2 sin (3A A) cos (3A A)

2 sin (3A A) sin (3A A)

+ −

− + −

= 2 sin 2A cos A2 sin 2A sin A−

= –cotan A

27. Jawaban: b

A + B = 23π ⇔

A B2+

= 13 π

A – B = 43π ⇔

A B2−

= 23 π

sin A + sin B = 2 sin (A B

2+

) cos (A B

2−

)

= 2 sin 13 π cos

23 π

= 2 × 12 3 × (–

12) = –

12 3

28. Jawaban: dcos 130° – cos 110° = p

⇔ –2 sin ( 130 1102

° + ° ) sin ( 130 1102

° − ° ) = p

⇔ –2 sin 120° sin 10° = p

⇔ –2 × 12 3 × sin 10° = p

⇔ – 3 sin 10° = p

⇔ sin 10° = p3

−

cos 20° = 1 – 2 sin210°

= 1 – 2 × (p3

−)2

= 1 – 2 × (2p

3)

= 23 2p

3−

29. Jawaban: bcos 4x – sin 2x = 0

⇔ 1 – 2 sin2 2x – sin 2x = 0⇔ 2 sin2 2x + sin 2x – 1 = 0⇔ (2 sin 2x – 1)(sin 2x + 1) = 0⇔ 2 sin 2x – 1 = 0 atausin 2x + 1 = 0

⇔ sin 2x = 12 atau sin 2x = –1

a. sin 2x = 12 = sin 30°

Penyelesaian:1) 2x = 30° + k × 360°

⇔ x = 15° + k × 180°Untuk k = 1, maka x = 195°

2) 2x = 150° + k × 360°⇔ x = 75° + k × 180°Untuk k = 1, maka x = 255°

b. sin 2x = –1 = sin 270°Penyelesaian:1) 2x = 270° + k × 360°

⇔ x = 135° + k × 180°Untuk k = 1, maka x = 315°

2) 2x = –90° + k × 360°⇔ x = –45° + k × 180°Untuk k = 2, maka x = 315°

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah {195°, 255°,315°}

30. Jawaban: c

cos 6x + 3 cos 3x = 2

⇔ cos 6x + 3 cos 3x – 2 = 0

⇔ 2 cos2 3x – 1 + 3 cos 3x – 2 = 0

⇔ 2 cos2 3x + 3 cos 3x – 3 = 0


Luas segitiga ACO = 12 × AC × OQ

= 12 × AO × CP

12 × AC × OQ =

12 × AO × CP

⇔ AC × OQ = AO × CP

⇔ 4 2 × 4 = 2 6 × CP

⇔ 16 2 = 2 6 × CP

⇔ CP = 16 22 6

× 66

⇔ CP = 16 1212

⇔ CP = 43

( 2 3 )

⇔ CP = 83

3 cm

Jadi, jarak titik C ke bidang AFH adalah

83

3 cm.

2. a.

AC dan AH merupakan diagonal bidang.

Panjang AC = AH = 6 2 cm.

AO = HO = AH2 = 6 2

2 = 3 2 cm

Jarak titik C dengan garis AH= panjang OC

= 2 2AC AO−

= 2 2(6 2) (3 2)−

= 72 18−

= 54

= 9 6× = 3 6 cm

Jadi, jarak titik C ke garis AH adalah 3 6 cm.

b. Jarak titik C ke garis AG adalah CP.AC merupakan diagonal bidang kubus.

Panjang AC = 6 2 cm.AG merupakan diagonal ruang kubus.

Panjang AG = 6 3 cm.

⇔ (2 cos 3x – 3 )(cos 3x + 3 ) = 0

⇔ 2 cos 3x – 3 = 0 atau cos 3x + 3 = 0

⇔ cos 3x = 12 3 atau cos 3x = – 3

a. cos 3x = 12 3 = cos 30°

Penyelesaian:1) 3x = 30° + k × 360°

⇔ x = 10° + k × 120°Untuk k = 0, maka x = 10°Untuk k = 1, maka x = 130°Untuk k = 2, maka x = 250°

2) 3x = –30° + k × 360°⇔ x = –10° + k × 120°Untuk k = 1, maka x = 110°Untuk k = 2, maka x = 230°

b. cos 3x = – 3 (tidak ada nilai x yang memenuhi)

Oleh karena 0° ≤ x ≤ 80°, nilai x yang memenuhiadalah {10°, 110°, 130°}.

B. Uraian1.

Jarak titik C ke bidang AFH ditunjukkan oleh garisCP. Perhatikan segitiga ACO.

AC = 2 2AB + BC

= 2 24 + 4

= 16 + 16

= 32

= 4 2 cm

EO = 12 AC =

12 × 4 2 = 2 2 cm

AO = 2 2AE + EO

= +2 24 (2 2)

= 16 + 8

= 24

= 2 6 cm

A B

CD

E F

GH

O

6 cm6 cm

A B

CD

EF

GH

O

P


A B

CD

E F

GHO

aa

aα

3

1

8 = 2 2

α

Perhatikan ΔACG.Luas segitiga ACG:

L =12 × AC × CG =

12 × AG × CP

⇔ 12 × 6 2 × 6 =

12 × 6 3 × CP

⇔ CP = 12

12

6 2 6

6 3

× ×

×

= 6 2

3 ×

3

3

= 63

6 = 2 6

Jadi, jarak titik C ke garis AG adalah 2 6 cm.

3.

Oleh karena ABC segitiga sama sisi maka

DE = 13 DC.

DC = 2 2BC BD−

= 2 210 5−

= 100 25−

= 75

= 5 3 cm

DE = 13 DC = 5

33 cm

TD = 2 2TA AD−

= 2 213 5−

= 169 25−

= 144= 12 cm

cos α = DETD =

53 3

12 =

536

3

Jadi, nilai konsinus α adalah 5

363 .

4. BD = 2 2BC + CD

= 2 24 4+

= 22 4×

= 4 2 cmSudut antara rusukTB dengan bidangABCD adalah ∠TBD.Perhatikan ΔTBD.

cos ∠TBD = 2 2 2TB BD TD2 TB BD

+ −× ×

= 2 2 24 (4 2) 4

2 4 4 2

+ −× ×

= 2(4 2)

2 4 4 2× × = 4 2

2 4× =

12

2

Oleh karena cos ∠TBD = 12

2 maka besar ∠TBD

= 45°.

5. Sudut antara bidang AFHdan bidang CFH adalahAOC = α.

AO = 2 2AE + EO

= 12 22

a + ( a 2)

= 12 22

a + a

= 3 22a =

a2 6 cm

CO = AO = a2 6 cm

cos α = 2 2 2AO CO AC2 AO CO

+ −× ×

= ( ) ( ) ( )2 2 2a a

2 2a a2 2

6 6 a 2

2 6 6

+ −

× ×

= 3 32 2 22 2

3 22

a a 2a

2 a

+ −

×

= 2

2a3a

= 13

Diperoleh sin α = 2 23

Jadi, nilai sin α = 2 23

.

A B

CD

E F

GH

P

A

B

C

D

1313

5

5

10

T

E

4 cm

T

A

B C

D

4 cm

4 cm

4 cm


6. cos (A + B) = 12 ⇔ A + B = 60°

sin (A – B) = 12 ⇔ A – B = 30°

––––––––– +2A = 90°

⇔ A = 45°Substitusikan A = 45° ke dalam persamaan A + B= 60° diperoleh ⇒ 45° + B = 60° ⇒ B = 15°.

sin2 A + cos2 B = sin2 A + 12 (1 + cos 2B)

= sin2 45° + 12 (1 + cos 30°)

= (12 2 )2 +

12 (1 +

12 3 )

= 12 +

12 +

14 3

= 1 +14 3

7. 3 tan A tan B = tan A – tan B – 3

⇔ 3 tan A tan B + 3 = tan A – tan B

⇔ 3 (1 + tan A tan B) = tan A – tan B

⇔ 3 = tan A tan B1 tan A tan B

−+

⇔ 3 = tan (A – B)

⇔ A – B = 60°

⇔ cos (A – B) = cos 60°

⇔ cos A cos B + sin A sin B = 12

⇔ cos A cos B + 34 =

12

⇔ cos A cos B = 12 –

34 = –

14

cos (A + B)= cos A cos B – sin A sin B

= –14 –

34

= –1Jadi, nilai cos (A + B) = –1.

8.

sin A = 5

13 maka cos A = 1213

sin B = 45 dan sudut B tumpul maka cos B = –

35 .

tan (A – B) = sin (A B)cos (A B)

−−

= sin A cos B cos A sin Bcos A cos B sin A sin B

−+

= 5 43 12

13 55 13

312 5 4513 13 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

× ×− −

× ×−

= 15 48

65

36 2065

− −

− +

= 6316

−− =

6316

9. Jumlah besar sudut segitiga = 180°⇔ α° + β° + 90° = 180°⇔ α° + β° = 90°⇔ β = 90° – α

tan α = 2 sin β

⇔sincos

αα = 2 sin (90 – α)

⇔sincos

αα = 2 cos α

⇔ sin α = 2 cos2 α

⇔ sin α = 2 (1 – sin2 α)

⇔ sin α = 2 – 2 sin2 α

⇔ 2 sin2 α + sin α – 2 = 0

⇔ ( 2 sin α – 1)(sin α + 2 ) = 0

⇔ 2 sin α + 1 = 0 atau sin α + 2 = 0

⇔ sin α = 12

= 12

2 atau sin α = – 2

Oleh karena α merupakan sudut lancip maka nilai

sin α yang memenuhi adalah sin α = 12

2 .


2 .

10. sin2 x – 12 sin 2x = 0

⇔ sin2 x – sin x cos x = 0⇔ sin x (sin x – cos x) = 0⇔ sin x = 0 atau sin x – cos x = 0⇔ sin x = 0 atau sin x = cos x

⇔ sin x = 0 atausin xcos x = 1

⇔ sin x = 0 atau tan x = 1a. sin x = 0 = sin 0°

Penyelesaian:1) x = 0° + k × 360°2) x = 180° + k × 360°

Untuk k = 0 maka x = 180°b. tan x = 1 = tan 45°

Penyelesaian:x = 45° + k × 180°Untuk k = 0, maka x = 45°Untuk k = 1, maka x = 225°

Jadi, nilai x yang memenuhi {45°, 180°, 225°}.

12

13

A

5

3

45

A

168 Penerapan Integral Tentu

Penerapan Integal Tentu

• Menentukan luas daerah dibawah kurva y = f(x) dan di atassumbu X.

• Menentukan luas daerah dibawah sumbu X dan di atas kurvay = f(x)

• Menentukan luas daerah dibawah kurva y = f(x) dan di ataskurva y = f(x).

• Menyelesaikan permasalahanyang berkaitan dengan menentu-kan luas daerah menggunakanintegral.

• Menentukan panjang kurva y = f(x)pada interval x = a sampai denganx = b.

• Menentukan panjang kurva yangmelibatkan dua fungsi (x(t), y(t))pada interval t yang ditentukan.

Luas Daerah Panjang Kurva

Bersikap teliti, cermat, dan kreatif dalam menyelesaikan permasalahan sehari-hari terutama dalam menggunakan konsepintegral tentu.

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. mendeskripsikan dan menerapkan integral tentu dalam membuktikan dan menentukan luas daerah di bawah kurva;2. mendeskripsikan dan menerapkan integral tentu dalam membuktikan dan menentukan volume benda putar;3. mendeskripsikan dan menerapkan integral tentu dalam membuktikan dan menentukan panjang kurva.Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik diharapkan memiliki sikap teliti, cermat, kritis, dankreatif dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan integral tentu.

Volume Benda Putar

• Menentukan volume daerahbenda putar yang dibatasi olehkurva dan garis sumbu diputarmengelilingi sumbu X.

• Menentukan volume daerahbenda putar yang dibatasi olehkurva dan garis sumbu diputarmengelilingi sumbu Y.

• Menentukan volume daerahbenda putar yang dibatasi olehdua kurva dan diputar me-ngelilingi sumbu X.

• Menentukan volume daerahbenda putar yang dibatasi olehdua kurva dan diputar me-ngelilingi sumbu Y.


X

Y

0 3 4–2

–8

y = x2 – 2x – 8

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cPersamaan garis:2x + 3y – 12 = 0⇔ 3y = –2x + 12

⇔ y = –23 x + 4

Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis y = –23 x + 4

dan sumbu X pada interval –1 ≤ x ≤ 3. Luas daerahyang diarsir:

L = 3

1−∫ (–

23 x + 4) dx

2. Luas daerah yang d ibatas i o leh kurvay = –x2 + 3x + 10 dan sumbu X untuk –1 ≤ x ≤ 5adalah . . . satuan luas.a. 24 d. 54b. 36 e. 60c. 42Jawaban: d

Luas daerah yang diarsir:

L = 5

1−∫ y dx

= 5

1−∫ (–x2 + 3x + 10) dx

= 51 33 2

3 2 1x x 10x

−⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

= (–125

3 + 752 + 50) – (

13 +

32 – 10)

= –125

3 – 13 +

752 –

32 + 50 + 10

= –126

3 + 722 + 60

= –42 + 36 + 60= 54 satuan luas

3. Jawaban: dPerpotongan kedua kurva:

x + y – 6 = 0

⇔ x + x – 6 = 0

⇔ ( x )2 + x – 6 = 0

⇔ ( x + 3)( x – 2) = 0

⇔ x = –3 atau x = 2

Untuk x = –3, tidak ada nilai x yang memenuhi.

Untuk x = 2 ⇔ ( x )2 = 22 ⇔ x = 4.

Daerah I dibatasi oleh kurva y = x dan sumbu Xpada interval 0 ≤ x ≤ 4.

Luas daerah I: LI = 4

0∫ x dx

Daerah II dibatasi garis y = 6 – x dan sumbu Xpada interval 4 ≤ x ≤ 6.

Luas daerah II: LII = 6

4∫ (6 – x) dx


L = LI + LII

= 4

0∫ x dx +

6

4∫ (6 – x) dx

= 4

0∫ x dx –

6

4∫ (x – 6) dx

4. Jawaban: aDaerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x – 8dan sumbu X pada interval [0, 3] dapatdigambarkan sebagai berikut.


L = b

a∫ –y dx

= –3

0∫ (x2 – 2x – 8) dx

Y

X

6

0 4 6

x + y – 6 = 0

y = x

I II

Y

X

y = –x2 + 3x + 10–2 –1 0 1 2 3 4 5

10


= –⎡⎢⎣

13 x3 – x2 – 8x

3

0

⎤⎥⎦

= –[(9 – 9 – 24) – 0]= –(–24)= 24 satuan luas

5. Jawaban: bMenentukan perpotongan dua kurva.y = x2

y = x + 6–––––––––––– –0 = x2 – x – 6⇔ (x + 2)(x – 3) = 0⇔ x = –2 atau x = 3Daerah yang diarsir berada di bawah kurva y = x + 6dan di atas kurva y = x2 pada interval –2 < x < 3.Luas daerah yang diarsir:

L = 3

2−∫ ((x + 6) – x2) dx =

3

2−∫ (–x2 + x + 6) dx

6. Jawaban: ax + y = 2 ⇔ y = 2 – xMenentukan perpotongan dua kurva.y = x2

y = 2 – x––––––––––– –0 = x2 + x – 20 = (x + 2)(x – 1)x = –2 atau x = 1


L =1

2−∫ (y1 – y2) dx

=1

2−∫ (2 – x – x2) dx

=1

2 3

2

1 12 3

2x x x−

⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

− −

= (2(1) – 12 (1)2 –

13 (1)3)

– (2(–2) – 12 (–2)2 –

13 (–2)3)

= (2 – 12 –

13 ) – (–4 – 2 +

83 )

=76 – (–

103 ) =

76 +

206 =

276 = 4

12 satuan luas

7. Jawaban: a

Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan (0, 2)y 02 0

−− =

x 20 2

−−

⇔ y = –x + 2


L = 1

0∫ (y1 – y2) dx +

2

1∫ (y2 – y1) dx

= 1

0∫ (–x + 2 – x2) dx +

2

1∫ (x2 – (–x + 2)) dx

= 1

0

1 12 32 3

x 2x x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦− + − +

2

1

1 13 23 2

x x 2x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

+ −

= (–12 + 2 –

13 – 0) + ((

83 + 2 – 4) – (

13 +

12 – 2))

= 116 + (

23 + 1

16 )

= 3 satuan luas

8. Jawaban: cParabola y2 = 4x untuk y > 0 dapat dituliskanmenjadi y = 2 x .Pada interval 0 < x < 2 daerah yang diarsir dibatasioleh kurva y = 2 x dan sumbu X, luasnya

L1 = 2

0∫ 2 x dx.

Pada interval 2 < x < 4 daerah yang diarsir dibatasioleh kurva y = 2 x dan garis y = 2x – 4, luasnya

L2 = 4

2∫ (2 x – (2x – 4)) dx.

Luas daerah yang diarsir:L = L1 + L2

= 2

0∫ 2 x dx +

4

2∫ (2 x – (2x – 4)) dx

= 2

0∫ 2 x dx +

4

2∫ (2 x dx –

4

2∫ (2x – 4) dx

= 4

0∫ 2 x dx –

4

2∫ (2x – 4) dx

Y

X–2 –1 1 2

y1 = 2 – x

y2 = x2

0

Y

X

2

0 1 2

y2 = x2

I II

y1 = –x + 2


Y

X

0 2 4 5

y2 = x2 – 6x + 8y1 = x – 2

I

IIX

Y

0–2 3

y = x3 – x2 – 6x

9. Jawaban: eMenentukan perpotongan dua kurva:y = x2 – 6x + 8y = x – 2–––––––––––––––– –0 = x2 – 7x + 10⇔ 0 = (x – 2)(x – 5)⇔ x = 2 atau x = 5

Daerah I pada interval 2 ≤ x ≤ 4 dan dibatasi olehgaris y1 = x – 2 dan sumbu X.Luas daerah I:

LI = 4

2∫ y1 dx

= 4

2∫ (x – 2) dx

= 4

2

2

12

x 2x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦= (8 – 8) – (2 – 4)= 0 – (–2) = 2 satuan luas

Daerah II pada interval 4 ≤ x ≤ 5 dan dibatasi olehgaris y1 = x – 2 dan parabola y2 = x2 – 6x + 8.Luas daerah II:

LII = 5

4∫ (y1 – y2) dx

= 5

4∫ ((x – 2) – (x2 – 6x + 8)) dx

= 5

4∫ (7x – x2 – 10) dx

= 5

2 3

4

7 12 3

x x 10x⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦

= (175

2 – 125

3 – 50) – (56 – 643 – 40)

= –416 – (–5

13 ) = 1

16 satuan luas

Luas daerah yang diarsir:L = LI + LII

= 2 + 116

= 316 satuan luas

10. Jawaban: ePerpotongan kurva y = x3 – x2 – 6x dan sumbu X(garis y = 0):x3 – x2 – 6x = 0⇔ x(x2 – x – 6) = 0⇔ x(x + 2)(x – 3) = 0⇔ x = 0 atau x = –2 atau x = 3Daerah antara kurva y = x3 – x2 – 6x dan sumbu Xdigambarkan dengan daerah yang diarsir berikut.


= 0

2−∫ y dx +

3

0∫ (– y) dx

= 0

2−∫ (x3 – x2 – 6x) dx –

3

0∫ (x3 – x2 – 6x) dx

= ⎡⎢⎣

14 x4 –

13 x3 – 3x2

0

2−

⎤⎥⎦

– ⎡⎢⎣

14 x4 –

13 x3 – 3x2

3

0

⎤⎥⎦

= (0 – (4 + 83

– 12)) – (( 814

– 9 – 27) – 0)

= –(–513 ) – (–15

34 )

= 201312

= 211

12 satuan luas

B. Uraian

1. Daerah yang diarsir dibatasi parabola y = 8 – 2x2

dan garis y = 2 – x pada interval 0 ≤ x ≤ 2.Luas daerah yang diarsir:

L = 2

0∫ ((8 – 2x2) – (–x + 2)) dx

= 2

0∫ (6 – 2x2 + x) dx

= 22 13 2

3 2 06x x x⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= 12 – 163 + 2 – 0

= 823 satuan luas


2.

Daerah I di bawah sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.Luas daerah I:

LI = –2

0∫ y dx = –

2

0∫ (x2 – 4) dx

= –2

3

0

13

x 4x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

= –(83 – 8 – 0) =

163 satuan luas

Daerah II di atas sumbu X pada interval 2 ≤ x ≤ 3.Luas daerah II:

LII = ∫3

2y dx

= ∫3

2(x2 – 4) dx

= 3

3

2

13

x 4x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

= (9 – 12) – 83

8⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−

= –3 + 163

= 73 satuan luas

Luas daerah:

L = LI + LII

= 163 +

73

= 233

satuan luas

3. a. Menentukan titik potong antara kedua kurva.(x + 2)2 = 10 – x2

⇔ x2 + 4x + 4 = 10 – x2

⇔ 2x2 + 4x – 6 = 0⇔ x2 + 2x – 3 = 0⇔ (x – 1)(x + 3) = 0⇔ x = 1 atau x = –3

b. Luas daerah D

L = ∫−

1

3((10 – x2) – (x + 2)2) dx

= ∫−

1

3((10 – x2) – (x2 + 4x + 4)) dx

= ∫−

1

3(6 – 2x2 – 4x) dx

= 12 3 2

3 36x x 2x

−⎡ ⎤− −⎣ ⎦

= (6 – 23 – 2) – (–18 – (–

543 ) – 18)

= 313 – (–18) = 21

13

Jadi, luas daerah D adalah 2113 satuan luas.

4.

Luas daerah yang diarsir = LI + LII.Menentukan LI.

LI = –0

1−∫ (y2 – y1) dx

= –0

1−∫ (x + x2) dx

= –0

3 2

1

1 13 2

x x−

⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

+

= –((0 + 0) – (–13 +

12 ))

= –(0 – (16 ))

= 16 satuan luas

X

Y

y1 = –x2

II

III

–1

y2 = xy3 = x2 – 2

2I ⎯→ 1

Y

X

y = x2 – 4

II

I

–4

–3 –2 0 2 3

y = (x + 2)2

y = 10 – x2

Y

X–3

10

D

–2 0 1


Luas gabungan daerah II dan III:

Lgab = 2

0∫ (y2 – y3) dx

= 2

0∫ (x – (x2 – 2) dx

= 2

0∫ (x – x2 + 2) dx

= 0

22 31 1

2 3x x 2x⎤⎡

⎥⎢⎣ ⎦− +

= (12 (2)2 –

13 (2)3 + 2(2)) – 0

= 2 – 83 + 4

= 103 satuan luas

Menentukan LIII.

LIII = –1

0∫ (y3 – y1) dx

= –1

0∫ (x2 – 2 + x2) dx

= –1

0∫ (2x2 – 2) dx

= –1

3

0

23

x 2x⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

−

= – 323

( (1) 2(1)) 0⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

− −

= –(23 – 2)

= 43 satuan luas

LII = Lgab – LIII

= 103 –

43

= 63

= 2Luas daerah yang diarsir:L = LI + LII

= 16 + 2

= 216

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 216 satuan

luas.

5. a. Luas daerah yang dimaksud yaitu luas daerah

yang dibatasi kurva y = cos x dan sumbu X

pada interval 0 < x < 2π

.

L = 2

0

π

∫ cos x dx

= 2

0sin x

π

⎡ ⎤⎣ ⎦

= sin 2π

– sin 0 = 1 – 0

= 1 satuan luasb. Kurva y = sin x dan y = cos x berpotongan

di x = 4π

.

Luas daerah di antara kurva y = sin x dan

y = cos x pada interval 0 < x < 4π

:

LI = 4

0

π

∫ (cos x – sin x) dx

= 4

0sin x ( cos x)

π

⎡ ⎤− −⎣ ⎦

= (sin 4π

+ cos 4π

) – (sin 0 + cos 0)

= (12 2 +

12 2 ) – (0 + 1)

= ( 2 – 1) satuan luas

Luas daerah di antara kurva y = sin x dan

y = cos x pada interval 4π

< x < π:

LII =

4

π

π∫ (sin x – cos x) dx

= 4

cos x sin x π

π⎡ ⎤− −⎣ ⎦

= (–cos π – sin π) – (–cos 4π

– sin 4π

)

= (1 – 0) – (–12 2 –

12 2 )

= (1 + 2 ) satuan luasLuas daerah yang dibatasi oleh kurvay = sin x dan y = cos x pada interval 0 < x < πadalah:L = LI + LII

= ( 2 – 1) + (1 + 2 )

= 2 2 satuan luas


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cDaerah yang dibatasi garis y = 6 – 2x, sumbu X,dan sumbu Y digambarkan sebagai berikut.

Daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X,volumenya:

V = π3

0∫ (6 – 2x)2 dx

= 4π3

0∫ (9 – 6x + x2) dx

= 4π⎡⎢⎣

9x – 3x2 + 13 x3

3

0

⎤⎥⎦

= 4π(27 – 27 + 9 – 0)= 36π satuan volume

2. Jawaban: aPersamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan (0, –2)adalah x = y + 2. Daerah yang dibatasi garisx = y + 2 dan sumbu Y pada interval [0, 4] diputarmengelilingi sumbu Y, volume benda putar yangterjadi:

V = π4

0∫ (y + 2)2 dy

= 13 π ⎡⎢⎣

(y + 2)34

0

⎤⎥⎦

= 13 π(216 – 8)

= 6913 π satuan volume

3. Jawaban: cPerpotongan antara kurva y = 2x – x2 dan sumbu X(garis y = 0):

2x – x2 = 0⇔ x(2 – x) = 0⇔ x = 0 atau x = 2

Daerah antara kurva y = 2x – x2 dan sumbu Xdigambarkan dengan daerah yang diarsir berikut.

Daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X,maka volume benda putar yang terjadi adalah:

V = πb

a∫ y2 dx

= π2

0∫ (2x – x2)2 dx

= π2

0∫ (4x2 – 4x3 + x4) dx

= π ⎡⎢⎣43 x3 – x4 +

15 x5

2

0

⎤⎥⎦

= π((323 – 16 +

325 ) – 0)

= π(1023 – 16 + 6

25 )

= 1615 π = 1

115 π satuan volume

4. Jawaban: c

V = π0

π∫ sin2 x dx

= π0

π∫ (

12 –

12 cos 2x) dx

= 12 π ⎡

⎢⎣(x –

12 sin 2x)

0

π⎤⎥⎦

= 12 π((π – 0) – (0 – 0)) =

12 π2 satuan volume

5. Jawaban: a

X

Y

0 3

6

y = 6 – 2x

X

Y

0 2

Y

X

9

321

–2 –10 1 2 3

x = 3

y2 = x2 y1 = 2x + 3


Y

X

4

0 2

y2 = x2

y1 = 2x

Volume benda putar:

V = π3

0∫ (y1

2 – y22) dx

= π3

0∫ ((2x + 3)2 – (x2)2) dx

= π3

0∫ (4x2 + 12x + 9 – x4) dx

= π 3

3 2 5

0

4 13 5

x 6x 9x x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + −

= π 3 2 54 1(3 5(3) 6(3) 9(3) (3) 0)+ + − −

= π 2435

(36 54 27 )+ + −

= π(117 – 2435 )

= 3425 π = 68

25 π satuan volume

6. Jawaban: d

Volume benda putar:

V = π 2

0∫ (y1

2 – y22) dx

= π 2

0∫ ((2x)2 – (x2)2) dx

= π 2

0∫ (4x2 – x4) dx

= π 2

3 5

0

4 13 5

x x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

−

= π ((43 (2)3 –

15 (2)5) – 0)

= π (323 – 32

5 )


7. Jawaban: cBatas-batas daerah yang diarsir menurut sumbu Y.

Batas atas: y = x3 ⇔ x = 13y

Batas bawah: y2 = xKedua kurva berpotongan di titik (0, 0) dan (1, 1),berarti batas-batas nilai y adalah 0 ≤ y ≤ 1.

Volume benda putar:

V = π1

0∫ ((

13y )2 – (y2)2) dy

= π1

0∫ (

23y – y4) dy

= π53

1

0

3 1 55 5

y y⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

−

= π(35 –

15 – 0) =

25 π satuan volume

8. Jawaban: a

y = x2 + 1 ⇔ x2 = y – 1Volume benda putar:

V = π 3

2

1x∫ dy = π

3

1(y∫ – 1) dy

= π 3

2

1

12

y y⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

−

= π ( 92 – 3 – (

12 – 1))

= 2π satuan volume

9. Jawaban: a

Volume benda putar:

V = π2

0∫ (

14 5 x2)2 dx + π

3

2∫ (9 – x2) dx

= π2

0∫ (

516 x4) dx + π

3

2∫ (9 – x2) dx

= π⎡⎢⎣

116 x5

2

0

⎤⎥⎦

– π⎡⎢⎣

9x – 13 x3

3

2

⎤⎥⎦

= π(2 – 0) + π((27 – 9) – (18 – 83 ))

= 2π + 83 π =


Y

X

3

1

0

y = 3

y = x2 + 1

X

Y

0 2 3

3

–3

–3


10. Jawaban: aDaerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X.

VX = π a

0∫ (y1

2 – y22) dx

= π a

0∫ ((a2)2 – (x2)2) dx

= π a

0∫ (a4 – x4) dx

= π a

4 5

0

15

a x x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

−

= π(a5 – 15 a5 – 0)

= 45 πa5 satuan volume

Daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y.

VY = π 2a

0∫ x2 dy = π

2a

0∫ y dy

= π 2a

2

0

12

y⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= 12 π((a2)2 – 02)

= 12 πa4 satuan volume

VX = VY ⇒ 45 πa5 =

12 πa4

⇔ 45 πa5 –

12 πa4 = 0

⇔ πa4 (45 a –

12 ) = 0

⇔ a4 = 0 atau45 a =

12

⇔ a = 0 atau a = 58

Oleh karena a ≠ 0 maka nilai a = 58 .

Jadi, nilai a = 58 .

B. Uraian

1. Persamaan garis melalui titik (5, 0) dan (0, 5)adalah:x + y = 5⇔ x = 5 – yDaerah yang diarsir dibagi menjadi dua bagian.Bagian I dibatasi oleh garis x = 3 dan sumbu Ypada interval [0, 2]. Bagian II dibatasi oleh garisx = 5 – y dan sumbu Y pada interval [2, 5]. Volumebenda putar:VY = VI + VII

= π2

0∫ (3)2 dy + π

5

2∫ (5 – y)2 dy

= π⎡⎢⎣

(9y)2

0

⎤⎥⎦

– 13 π

⎡⎢⎣

(5 – y)35

2

⎤⎥⎦

= π(18 – 0) – 13 π(0 – 27)

= 18π + 9π= 27π satuan volume

2. Persamaan parabola yang memotong sumbu X dititik (1, 0) dan (5, 0) serta memotong sumbu Y dititik (0, 5) adalah y = (x – 1)(x – 5).

V = π1

0∫ ((x – 1)(x – 5))2 dx

= π1

0∫ (x – 1)2 (x – 5)2 dx

= π1

0∫ (x2 – 2x + 1)(x2 – 10x + 25) dx

= π1

0∫ (x4 – 12x3 + 46x2 – 60x + 25) dx

= π⎡⎢⎣

(15 x5 – 3x4 +

463 x3 – 30x2 + 25x)

1

0

⎤⎥⎦

= π(78

15 – 0)

= 78

15 π satuan volume

3. Daerah D dibatasi oleh garis y = 2x, y = 3 – x, dansumbu X.

a. Daerah D diputar mengelilingi sumbu X,volumenya:

VX = π 1

0∫ (2x)2 dx + π

3

1∫ (3 – x)2 dx

= π 1

0∫ 4x2 dx + π

3

1∫ (9 – 6x + x2) dx

= π 1

3

0

43

x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

+ π 3

2 3

1

13

9x 3x x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

− +

= π (43 – 0) + π ((27 – 27 + 9) – (9 – 3 +

13 ))

= 43 π +

83 π

= 4π satuan volume

b. Daerah D diputar mengelilingi sumbu Y.y = 3 – x ⇔ x = 3 – y

y = 2x ⇔ x = 12 y

Y

X

a2

0 a

y1 = a2

y2 = x2

Y

X

3

2

0 1 3

y = 2x

y = 3 – xD


Volume benda putar yang terjadi:

VY = π 2

0∫ ((3 – y)2 – (

12 y)2) dy

= π 2

0∫ (9 – 6y + y2 –

14 y2) dy

= π 2

0∫ (9 – 6y +

34 y2) dy

= π 2

2 3

0

14

9y 3y y⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

− +

= π ((18 – 12 + 2) – 0)= 8π satuan volume

4. Substitusikan persamaan y = 2x ke dalampersamaan y = 4 – 2x2 diperoleh:

2x = 4 – 2x2

⇔ 2x2 + 2x – 4 = 0⇔ x2 + x – 2 = 0⇔ (x + 2)(x – 1) = 0⇔ x = –2 atau x = 1Substutusikan x = 1 ke dalam persamaan y = 2xdiperoleh:y = 2 × 1 = 2Diperoleh titik potong garis dan parabola (1, 2)sebagai batas integrasi.a. Daerah yang diarsir mempunyai batas atas

y = 4 – 2x2 dan batas bawah y = 2x padainterval 0 ≤ x ≤ 1. Jika daerah yang diarsirdiputar mengelilingi sumbu X, volume bendaputar yang terbentuk:

V = π1

0∫ (4 – 2x2)2 – (2x)2 dx

= π1

0∫ (16 – 20x2 + 4x4) dx

= π ⎡⎢⎣ 16x – 203 x3 +

45 x5

1

0

⎤⎥⎦

= π(102

15 – 0)

= 102

15 π satuan volume

b. Menurut sumbu Y, daerah I mempunyai batas

kanan x = 12 y pada interval 0 ≤ x ≤ 2 dan

daerah II mempunyai batas kanan x2 = 2 – 12 y

pada interval 2 ≤ x ≤ 4.

V = π2

0∫ (

12 y)2 dy + π

4

2∫ (2 –

12 y) dy

= 14 π

2

0∫ y2 dy + π

4

2∫ (2 –

12 y) dy

= 14 π

⎡⎢⎣

13 y3

2

0

⎤⎥⎦

+ π⎡⎢⎣

2y – 14 y2)

4

2

⎤⎥⎦

= 1

12 π(8 – 0) + π(4 – 3)

= 23 π + π


5.

a. Jika daerah D diputar mengelilingi sumbu X,volume benda putar yang terjadi adalah:

VX = π 1

2−∫ ((2 – x)2 – (x2)2) dx

= π 1

2−∫ (x2 – 4x + 4 – x4) dx

= π 1

3 2 5

2

1 13 5

x 2x 4x x−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

− + −

= π ((13 – 2 + 4 –

15 ) – (–

83 – 8 – 8 +

325 ))

= π (22

15 – (–124

15 ))


b. Perhatikan daerah D. Jika daerah D diputarmengelilingi sumbu Y, volume benda putaryang terjadi sama dengan volume daerah Ddi kuadran II (di kiri sumbu Y) diputarmengelilingi sumbu Y. Untuk menghitungnya,daerah D dibagi menjadi dua bagian yaitubagian I pada 0 ≤ y ≤ 2 dan bagian II pada2 ≤ y ≤ 4.

VI = π 2

0∫ y dy

= π2

2

0

12

y ⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

= 12 π (4 – 0)

= 2π satuan volume

VII = π 4

2∫ (y – (2 – y)2) dy

= π 4

2∫ (5y – y2 – 4) dy

= π 4

2 3

2

5 12 3

y y 4y⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦−

Y

X

4

2

1

–2 0 1 2

y = x2

x + y = 2

D


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: e

x = y = 12y

dxdy

= 12

12y

− = 1

2 y

Panjang kurva x = y dari y = 0 sampai dengany = 4 adalah:

S = d

c∫

2dxdy

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dy

= 4

0∫

212 y

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dy

= 4

0∫ 1

4y1+ dy

2. Jawaban: cy = x3 + 1dydx

= 3x2

Panjang kurva y = x3 + 1 dari x = –1 sampai denganx = 1 adalah:

S = b

a∫

2dydx

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dx

= 1

1−∫ 21 (3x)+ dx

= 1

1−∫ 41 9x+ dx

3. Jawaban: ax2 + y2 = 4⇔ x2 = 4 – y2

⇔ x = 24 y−

⇔ x = (4 – y212)

dxdy

= 12 (4 – y2

12)

− × (–2y)

= –y(4 – y2)12)

− = –

2

y

4 y−

Panjang kurva x2 + y2 = 4 di kuadran I dari y = 0sampai dengan y = 1 adalah:

S = d

c∫

2dxdy

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dy

= 1

0∫

2

2

y

4 y1 ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

+ dy

= 1

0∫

2

2y

4 y1

−+ dy

= 1

0∫

2 2

2 24 y y4 y 4 y

− +− −

dy

= 1

0∫ 2

44 y−

dy

4. Jawaban: d

Turunan dari x = 2 sin 3t adalah dxdt

= 6 cos 3t.

Turunan dari y = 3 cos 2t adalah dydt

= –6 sin 2t.

Panjang kurva x = 2 sin 3t dan y = 3 cos 2t darit = 0 sampai dengan t = p:

S = b

a∫

2 2dx dydt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ dt

= 0

π

∫ 2 2(6 cos 3t) + ( 6 sin 2t)− dt

= 0

π

∫ 2 236 cos 3t + 36 sin 2t dt

= 0

π

∫ 2 236(cos 3t + sin 2t) dt

= 0

π

∫ 6 2 2cos 3t + sin 2t dt

= 60

π

∫ 2 2cos 3t + sin 2t dt

5. Jawaban: e

y = 2 2 x – 5dydx = 2 2

= π ((40 – 643 – 16) – (10 –

83 – 8))

= π (223 – (–

23 ))


VY = VI + VII

= 2π + 313 π



Panjang garis y = 2 2 x – 5 dari y = 1 sampaidengan y = 8:

S = b

a∫

2dydx

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dx

= 8

1−∫ 21 (2 2)+ dx

= 8

1−∫ 1 8+ dx

= 8

1−∫ 9 dx

= 8

1−∫ 3 dx

= ⎡⎢⎣ 3x8

1−⎤⎥⎦

= 3(8 – (–1))= 3 × 9= 27 satuan panjang

6. Jawaban: c

y = 32x + 4

dydx =

32

12x

Panjang kurva dari x = 0 sampai x = 1:

S = b

a∫

2dydx

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dx

= 1

0∫

12

232

1 x⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ dx

= 1

0∫ 9

41 x+ dx

= 1

0∫ (1 + 9

4

12x) dx

= ⎡⎢⎣ 9 34 2

1×

(1 + 94

32x)

1

0

⎤⎥⎦

= 8

27

3213

4

⎛⎛ ⎞⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝

– 321⎞⎟⎟⎠

= 8

27( 13 13

8 – 1)

= 8

27( 13 13 8

8− )

= 13 13 827

− satuan panjang

7. Jawaban: e

y = 13 x x – x

= 13

32x –

12x

dydx =

13 ×

32

12x –

12

12x

−

= 12

12x –

12

12x

−

Panjang kurva y = 13 x x – x dari x = 1 sampai

dengan x = 100:

S = b

a∫

2dydx

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dx

= 100

0∫

1 12 2

21 12 2

1 x x−⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ dx

= 100

0∫ 1 1 1 1

4 2 41 x x−+ − + dx

= 100

0∫ 1 1 1 1

4 2 4x x−+ + dx

= 100

0∫

21 12 21 1

2 2x x

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

dx

=100

0∫

1 12 21 1

2 2x x

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

dx

= ⎡⎢⎣12 ×

23

32x +

12 × 2

12x

100

1

⎤⎦

= ⎡⎢⎣13

32x +

12x

100

1

⎤⎦

= (1.000

3 + 10) – (13 + 1)

= 1.000

3 + 10 – 13 – 1

= 342 satuan panjang

8. Jawaban: a

y = 4x

4 + 2

18x

= 14 x4 +

18 x–2

dydx =

14 × 4x3 +

18 × (–2)x–3

= x3 – 14 x–3

Panjang kurva y = 4x

4 + 2

18x

dari x = 1 sampai

dengan x = 2:

S = b

a∫

2dydx

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dx

= 2

1∫ ( )213 3

41 x x−+ − dx

= 2

1∫ 1 16 6

2 161 x x−+ − + dx


= 2

1∫ 1 16 6

2 16x x−+ + dx

= 2

1∫

23 31

4x x−⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

dx

=2

1∫ 3 31

4x x−⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

dx

= ⎡⎢⎣14 x4 +

14 ×

12− x–2

2

1

⎤⎥⎦

= ⎡⎢⎣14 x4 – 2

18x

2

1

⎤⎥⎦

= (4 – 1

32 ) – (14 –

18 )

= 4 – 1

32 – 8

32 + 4

32


9. Jawaban: d

y = (4 – 23y

32)

dxdy =

32 (4 –

23y

12) × (–

23

13y

−)

= –13y

−(4 –

23y

12)

Panjang kurva x = (4 – 23y

32) dari y = 1 sampai

y = 8:

S = d

c∫

2dxdy

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dy

= 8

1∫ ( )1 2 1

3 3 2

2

1 + y (4 y )−

− − dy

= 8

1∫

2 23 31 + y (4 y )

−− dy

= 8

1∫

231 + 4y 1

−− dy

= 8

1∫

234y

− dy

= 8

1∫ (2

13y

−) dy

= ⎡⎢⎣2 × 3

2

23y

8

1

⎤⎥⎦

= ⎡⎢⎣3

23y

8

1

⎤⎥⎦

= 3(238 –

231 ) = 3(4 – 1)

= 9 satuan panjang

10. Jawaban: b

Turunan dari x = 2 sin t adalah dxdt = 2 cos t.

Turunan dari y = 2 cos t adalah dydt = –2 sin t.

Panjang kurva x = 2 sin t dan y = 2 cos t dari t = 0

sampai dengan t = 23 π:

S = b

a∫

2 2dx dydt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ dt

=

23

0

π

∫ 2 2(2 cos t) + ( 2 sin t)− dt

=

23

0

π

∫ 2 24 cos t + 4 sin t dt

=

23

0

π

∫2 24(cos t + sin t) dt

=

23

0

π

∫ 4(1) dt

=

23

0

π

∫ 2 dt

= ⎡⎢⎣2t

23

π

0⎤⎥⎦

dt

= 2(23 π – 0)

= 43 π satuan panjang

B. Uraian

1. a. y = x2 + 3x – 4dydx = 2x + 3

Bentuk integral yang menyatakan panjanggaris y = x2 + 3x – 4 dari x = 0 sampai denganx = 3:

S = b

a∫

2dydx

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dx

= b

a∫ 21 (2x + 3)+ dx

= b

a∫ 21 + 4x + 12x + 9 dx

= b

a∫ 24x + 12x + 10 dx


b. x = 4t2 ⇒ dxdt = 8t

y = 3t + 5 ⇒ dydt = 3

Panjang kurva x = 4t2 dan y = 3t + 5 dariy = 1 sampai dengan y = 4:

S = b

a∫

2 2dx dydt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ dt

= 4

1∫ 2 2(8t) + (3) dt

= 4

1∫ 264t + 9 dt

2. y = (x2 + 23

32)

dydx =

32 (x2 +

23

12) × 2x

= 3x(x2 + 23

12)

Panjang kurva y = (x2 + 23

12) dari x = –2 sampai

dengan x = 5.

S = b

a∫

2dydx

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dx

= 5

2−∫

12

22 2

31 + 3x(x )⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠ dx

= 5

2−∫

2 2 231 + 9x (x + ) dx

= 5

2−∫ 4 21 + 9x + 6x dx

= 5

2−∫ 2 2(3x + 1) dx

= 5

2−∫ (3x2 + 1) dx

= ⎡⎢⎣x3 + x

5

2−

⎤⎥⎦

= (125 + 5) – (–8 – 2)= 130 – (–10)= 140 satuan panjang

3. x = 3y

12 +

1y

= 1

12 y3 + y–1

dxdy

= 1

12 × 3y2 + (–1)y–2

= 14 y2 – y–2

Panjang kurva x = 3y

12 +

1y dari y = 1 sampai

dengan y = 3:

S = d

c∫

2dxdy

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dy

= 3

1∫ ( )21 2 2

41 + y y−− dy

= 3

1∫

1 14 4 16 2

1 + y + y−− dy

= 3

1∫

1 14 4 16 2

y + + y− dy

= 3

1∫

1 2 2 2(4

y + y )− dy

= 3

1∫ (

14 y2 + y–2) dy

= ⎡⎢⎣14 ×

13 y3 +

11− y–1

3

1

⎤⎥⎦

= ⎡⎢⎣1

12 y3 – 1y

3

1

⎤⎥⎦

= (94 –

13 ) – (

112 – 1)

= 2712 –

412 –

112 +

1212


4. (3y – 1)2 = x3

⇔ 3y – 1 = 32x

⇔ 3y = 32x + 1

⇔ y = 13

32x +

13

dydx =

13 ×

32

12x =

12

12x

Panjang kurva (3y – 1)2 = x3 dari x = 0 sampaidengan x = 5:

S = b

a∫

2dydx

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dx

= 5

0∫

12

2121 + x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ dx

= 5

0∫

14

1 + x dx

= 5

0∫ (1 +

14 x

12) dx


= ⎡⎢⎣1 3

4 2

1×

(1 + 14 x

32)

5

0

⎤⎥⎦

= 83

329

4

⎛⎛ ⎞⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝

– 321⎞⎟⎟⎠

= 83 (

278 – 1)

= 83 (

198 )


5. Turunan dari x = 3t2 – 5 adalah dxdt = 6t.

Turunan dari y = 2t3 + 3 adalah dydt = 6t2.

Panjang kurva x = 3t2 – 5 dan y = 2t3 + 3 dari t = 0

sampai dengan t = 3:

S = b

a∫

2 2dx dydt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ dt

= 3

1∫ 2 2 2(6t) + (6t ) dt

= 3

1∫ 2 436t + 36t dt

= 3

1∫ 2 236t (1 + t ) dt

= 3

1∫ 6t 2(1 + t ) dt

= 33

1∫ (1 + t2

12) × 2t dt

= 33

1∫ (1 + t2

12) d(1 + t2)

= 3 × 23⎡⎢⎣(1 + t2

32)

3

1⎤⎥⎦ dt

= 2(3210 –

322 )

= 2(10 10 – 2 2 )

= (20 10 – 4 2 ) satuan panjang

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: dDaerah yang diarsir dibatasi oleh parabola y = (2 – x)2

dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.Luas daerah yang diarsir:

L = 2

0∫ (2 – x)2 dx

= 2

0∫ (4 – 4x + x2) dx

= 212 3

3 04x 2x x⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= (8 – 8 + 83 ) – 0

= 83 satuan luas

2. Jawaban: c


L = 4

1∫ y dx

= 4

1∫ (–x2 + 4x + 5) dx

= 41 3 2

3 1x 2x 5x⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

Y

X

y = –x2 + 4x + 5

9

5

–1 0 1 2 3 4 5


= (–643 + 32 + 20) – (–

13 + 2 + 5)

= (–643 + 52) – (–

13 + 7)

= 643

− +

13 + 52 – 7

= 633

− + 45

= –21 + 45

= 24 satuan luas

3. Jawaban: c


L = 1

1−∫ y dx

= 1

1−∫ (4 – x2) dx

= 11 3

3 14x x

−⎡ ⎤−⎣ ⎦

= (4 – 13 ) – (–4 +

13 )

= 113 – (–

113 ) =

223 = 7

13 satuan luas

4. Jawaban: c

L = 3

2

1( x−∫ + 4x) dx

= 3

3 2

1

13

x + 2x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

= (–9 + 18) – (–13 + 2)

= 713 satuan luas

5. Jawaban: eMenentukan perpotongan kedua kurva.

Substitusikan y = 2 x ke dalam persamaanx + y = 8.

x + y = 8

⇔ x + 2 x = 8

⇔ ( x )2 + 2 x – 8 = 0

⇔ ( x + 4)( x – 2) = 0

⇔ x = –4 atau x = 2⇔ (tidak ada) x = 4

Daerah I dibatasi oleh kurva y = 2 x dan sumbu Xpada interval 0 < x < 4.

Luas daerah I adalah LI = 4

0∫ 2 x dx.

Daerah II dibatasi oleh garis y = 8 – x dan sumbu Xpada interval 4 < x < 8.

Luas daerah II adalah LII = 8

4∫ (8 – x) dx.


= 4

0∫ 2 x dx +

8

4∫ (8 – x) dx

= 4

0∫ 2 x dx –

8

4∫ (x – 8) dx

6. Jawaban: eGambar daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 6x + 8dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 4 sebagaiberikut.

Pada gambar tampak luas daerah I sama denganluas daerah III.Luas daerah yang diarsir:L = LI + LII + LIII

= 2 LI + LII

Y

X

y = 4 – x2

–3 –2 –1 0 1 2 3

4

Y

X0 1 2 3 4

y = –x2 + 4x

OX

Y

4 8

8 x + y = 8

y = 2 x

I II

OX

Yf(x) = x2 – 6x + 8

2 4 6

8

I

II

III


= 22

0∫ (x2 – 6x + 8) dx +

4

2∫ –(x2 – 6x + 8) dx

= 22

0∫ (x2 – 6x + 8) dx –

4

2∫ (x2 – 6x + 8) dx

7. Jawaban: dMenentukan titik potong kedua kurva.Eliminasi y dari kedua persamaan kurva diperoleh:y = 4 + 2x – x2

y = 4 – x–––––––––––– –0 = 3x – x2

⇔ x(3 – x) = 0⇔ x = 0 atau x = 3Daerah yang diarsir berada di bawah kurvay1 = 4 + 2x – x2 dan di atas kurva y2 = 4 – x padainterval 0 < x < 3. Luas daerah yang diarsir:

L = 3

0∫ (y1 – y2) dx

= 3

0∫ ((4 + 2x – x2) – (4 – x)) dx

= 3

0∫ (3x – x2) dx

8. Jawaban: a

L = a

1∫ y dx =

a

1∫ (x + 3) dx

⇔ 10 = a

2

1

1

2x 3x⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

⇔ 10 = (12 a2 + 3a) – (

12 + 3)

⇔ 10 = 12 a2 + 3a – 3

12

⇔ a2 + 6a – 27 = 0⇔ (a – 3) (a + 9) = 0⇔ a – 3 = 0 atau a + 9 = 0⇔ a = 3 atau a = –9Oleh karena a > 1 maka a = 3.Jadi, nilai a = 3.

9. Jawaban: aMenentukan titik potong antara kedua kurva.Substitusikan y = x2 ke dalam persamaan y = x.

x2 = x⇔ x2 – x = 0⇔ x(x – 1) = 0⇔ x = 0 atau x – 1 = 0⇔ x = 0 atau x = 1

L = ∫1

0(x – x2) dx

= 1

2 3

0

1 1

2 3x x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

= (12 –

13 ) – 0 =

16 satuan luas

10. Jawaban: cDaerah yang diarsir berikut merupakan daerahyang dibatasi kurva y = x2 – 4x + 3 dan y = x – 1.


L =4

1∫ (y1 – y2) dx

=4

1∫ ((x – 1) – (x2 – 4x + 3)) dx

=4

1∫ (–x2 + 5x – 4) dx

=4

3 2

1

1 53 2

x x 4x⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

− + −

= –13 × 43 +

52 × 42 – 4 × 4 – (–

13 × 13 +

52 × 12

– 4 × 1)

= (–643 + 40 – 16) – (–

13 +

52 – 4)

=83 – (–

116 )

=166 +

116

=276 =

92 satuan luas

11. Jawaban: cMenentukan titik potong antara kedua kurva.Eliminasi y dari kedua persamaan kurva.y = x2 – x – 2y = x + 1––––––––––––––––– –0 = x2 – 2x – 3⇔ (x + 1)(x – 3) = 0⇔ x + 1 = 0 atau x – 3 = 0⇔ x = –1 atau x = 3

Y

X0 1 2 3 4

3

–1

–2

y2 = x2 – 4x + 3y1 = x – 1



L = 3

0∫ (y1 – y2) dx =

3

0∫ ((x + 1) – (x2 – x – 2)) dx

= 3

0∫ (2x – x2 + 3) dx

= 312 3

3 0x x 3x⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= (9 – 9 + 9) – 0

= 9 satuan luas

12. Jawaban: cMenentukan titik potong kedua kurva.Substitusikan y = 6x – x2 ke dalam persamaany = x2 – 2x.

6x – x2 = x2 – 2x⇔ 2x2 – 8x = 0⇔ 2x(x – 4) = 0⇔ 2x = 0 atau x – 4 = 0⇔ x = 0 atau x = 4

Luas = ∫4

0((6x – x2) – (x2 – 2x)) dx

= ∫4

0(8x – 2x2) dx

= 422 3

3 04x x⎡ ⎤−⎣ ⎦

= 4 × 42 – 32

× 43 – 0

= 64 – 128

3 = 643 satuan luas

13. Jawaban: d3x – 2y = –6⇔ 3x = 2y – 6

⇔ x = 23 y – 2

V = π3

0∫ (

23 y – 2)2 dy

= π3

0∫

32 (

23 y – 2)2 d(

23 y – 2)

= π × 23 ×

13⎡⎢⎣

(23 y – 2)3

3

0

⎤⎥⎦

= 12 π ((

23 × 3 – 2)3 – (

23 × 0 – 2)3)

= 12 π(0 – (–8))

= 4π satuan volume

14. Jawaban: b

V = π ∫3

1(3x – 2)2 dx

= π ∫3

1(9x2 – 12x + 4) dx

= π33 2

13x 6x 4x⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= π((81 – 54 + 12)

– (3 – 6 + 4))= π(39 – 1)= 38π satuan volume

15. Jawaban: bDaerah yang dibatasi garis 2x + y = 4, sumbu X,dan sumbu Y digambarkan sebagai berikut.

Daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y,volumenya:

V = π4

0∫ (2 –

12 y)2 dy

= π4

0∫ (4 – 2y +

14 y2) dy

= π ⎡⎢⎣ 4y – y2 +

112 y3

4

0

⎤⎥⎦

Y

X

y1 = x + 1

y2 = x2 – x – 2

1

–1

–2

0 2 3

Y

X0 2 4y = 6x – x2

y = x2 – 2x

6

y = 3x – 2Y

X0

–232 1 3

OX

Y

2

4

2x + y = 4


= π ⎡⎢⎣ (16 – 16 +

163 ) – 0 ⎤⎥⎦


16. Jawaban: aPersamaan garis melalui titik (–2, 0) dan (0, 4)adalah:4x – 2y = –8⇔ 2y = 4x + 8⇔ y = 2x + 4

Volume benda putar:

V = π2

2−∫ (2x + 4)2 dx

= π2

2−∫

12 (2x + 4)2 d(2x + 4)

= 12 π ×

13⎡⎢⎣ (2x + 4)3

2

2−

⎤⎥⎦

= 16 π((2 × 2 + 4)3 – (2 × (–2) + 4)3)

= 16 π(83 – 0)

= 5126 π =


17. Jawaban: c

V = π ∫−

1

1(x2 – 1)2 dx

= 2π ∫1

0(x2 – 1)2 dx

= 2π ∫1

0(x4 – 2x2 + 1) dx

= 2π1

0

3325

51 xxx ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

= 2π(15 –

23 + 1 – 0)

= 2π(3 10 15

15− +

)


18. Jawaban: dPersamaan parabola dengan puncak (3, 0) danmelalui titik (0, 9) adalah y = (x – 3)2.

V = π3

0∫ (x – 3)4 dx

= 15 π ⎡

⎢⎣ (x – 3)53

0

⎤⎥⎦

= 16 π(0 – (–243))

= 16 π × 243 = 40,5π satuan volume

19. Jawaban: cVolume benda putar:

Vy = π4

2∫ x2 dy = π

4

2∫ ( 2

2y )2 dy

= π4

2∫ 4

4y dy

= π4

2∫ 4y–4 dy

= π 3

4

2

43y

⎤⎡⎥⎢

⎣ ⎦−

= π( 4192− – (– 4

24))

= π(– 148

+ 16

)

= π( 148− + 8

48)

= π( 748

)

= 748

π satuan volume

20. Jawaban: dVolume benda putar:

Vy = π4

0∫ (x1

2 – x22) dy

= π4

0∫ (y –

14 y) dy

= π4

0∫

34 y dy

= π4

2

0

38

y ⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

= π( 38

× 42 – 38

× 02)

= π(6 – 0)= 6π satuan volume

21. Jawaban: b

Y

X10–1

–1

y = x2 – 11

3

–1 0 2 X

Yy1 = x + 3y2 = x2 + 1

Y

X–2 –1 0 1 2

4

y = 4x22

y = x12

y = 4


Volume benda putar:

V = π−∫2

1(y1

2 – y22) dx

= π−∫2

1((x + 3)2 – (x2 + 1)2) dx

= π−∫2

1(x2 + 6x + 9) – (x4 + 2x2 + 1) dx

= π−∫2

1(–x4 – x2 + 6x + 8) dx

= π21 15 3 2

5 3 1x x 3x 8x

−⎡ ⎤− − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

= π(– 15

(25 – (–1)5) – 13 (23 – (–1)3) + 3(22 – (–1)2)

+ 8(2 – (–1))

= π(– 15

(32 – (–1)) – 13 (8 – (–1)) + 3(4 – 1)

+ 8(2 + 1)))

= π(– 15

× 33) – 13 × 9 + 3 × 3 + 8 × 3

= π(–335 – 3 + 9 + 24)

= 117

5 π satuan volume

22. Jawaban: e

V = 3

1∫ (y1

2 – y22) dx

= π 3

1∫ ((4x – 3)2 – (x2)2) dx

= 3

1∫ (16x2 – 24x + 9 – x4) dx

= π316 13 2 5

3 5 1x 12x 9x x⎡ ⎤− + −⎣ ⎦

= π((163 × 33 – 12 × 32 + 9 × 3 –

15 × 35) – (

163 × 13

– 12 × 12 + 9 × 1 – 15 × 15))

= π(144 – 108 + 27 – 2435 –

163 + 12 – 9 +

15 )

= π(66 – 4825 – 5

13 )

= π(13 – (25 +

13 ))

= π(13 – 1115 )

= 124

15 π satuan volume

23. Jawaban: e

Volume benda putar:

V = π1

2−∫ ((4 – x2)2 – (x + 2)2) dx

= π1

2−∫ ((x4 – 8x2 + 16) – (x2 + 4x + 4)) dx

= π1

2−∫ (x4 – 9x2 – 4x + 12) dx

= π⎡⎢⎣

15 x5 – 3x3 – 2x2 + 12x

1

2−

⎤⎥⎦

= π(15 (1 – (–32)) – 3(1 – (–8)) – 2(1 – 4)

+ 12(1 – (–2)))

= π(15 × 33 – 3 × 9 – 2 × (–3) + 12 × 3)

= π(335 – 27 + 6 + 36)

= 108

5 π satuan volume

X

Y

9

y1 = 4x – 3

y2 = x2

–3 –2 –1 0 1 2 3–1

–2

–3

X

Y y = x + 2

y = 4 – x2

2

–2 0 1 2


24. Jawaban: a

V = π2

1−∫ (y1

2 – y22) dx

= π2

1−∫ ((2x + 4)2 – (2x2)2) dx

= π2

1−∫ (4x2 + 16x + 16 – 4x4) dx

= π 24 43 2 53 5 1x 8x 16x x

−⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

= π(43 (23 – (–1)3) + 8(22 – (–1)2) + 16(2 – (–1))

– 45 (25 – (–1)5))

= π(43 (8 + 1) + 8(4 – 1) + 16(2 + 1) –

45 (32 + 1)

= π(43 × 9 + 8 × 3 + 16 × 3 –

45 × 33)

= π(12 + 24 + 48 – 132

5 )

= π(84 – 2625 )


25. Jawaban: a

y = +2x 1⇔ y2 = 2x + 1⇔ 2x = y2 – 1

⇔ x = 12 y2 –

12

dxdy

= y

Panjang kurva x = 12 y2 –

12 dari y = 1 sampai

dengan y = 3 adalah:

S = d

c∫

2dxdy

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dy

= 3

1∫ 21+ y dy

26. Jawaban: dy = x2 – 3x + 2dydx = 2x – 3

Parabola di bawah sumbu X, maka:y < 0⇔ x2 – 3x + 2 < 0⇔ (x – 1)(x – 2) < 0⇔ 1 < x < 2Panjang kurva parabola y = x2 – 3x + 2 dari x = 1sampai dengan x = 2 adalah:

S = b

a∫

2dydx

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dx

= 2

1∫ 21+ (2x 3)− dx

= 2

1∫ 21+ 4x 12x + 9− dx

= 2

1∫ 24x 12x + 10− dx

27. Panjang kurva (x, y) dengan x = 2t + 3 dan y = 2t2

dari t = 1 sampai dengan t = 4 adalah . . . .

a. ∫4

1+ 22 2t dt

b. ∫4

1+ 22 4t dt

c. ∫4

1+ 22 8t dt

d. ∫4

1+ 24 8t dt

e. ∫4

1+ 24 16t dt

Jawaban: e

Turunan dari x = 2t + 3 adalah dxdt

= 2.

Turunan dari y = 2t2 adalah dydt

= 4t.

Panjang kurva (x, y) dengan x = 2t + 3 dan y = 2t2

dari t = 1 sampai dengan t = 4:

S = b

a∫

2 2dx dydt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ dt

= 4

1∫ 2 22 + (4t) dt

= 4

1∫ 24 + 16t dt

X

Yy1 = 2x + 4y2 = 2x2

–2 –1 0 1 2–1

–2


28. Jawaban: b

x = y 3 + 1dxdy

= 3

Panjang garis x = y 3 + 1 dari y = 2 sampaidengan y = 6:

S = d

c∫

2dxdy

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dy

= 6

2∫ 21 ( 3)+ dy

= 6

2∫ 1+ 3 dy

= 6

2∫ 2 dy

= ⎡⎢⎣ 2y6

2

⎤⎥⎦

= 2(6 – 2)= 2 × 4= 8 satuan panjang

29. Jawaban: b

y = x x – 2 = 32x – 2

dydx =

32

12x

Panjang kurva y = x x – 2 dari x = 0 sampaidengan x = 12:

S = b

a∫

2dydx

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dx

= 12

0∫

12

232

1 x⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ dx

= 12

0∫ 9

41 x+ dx

= 12

0∫ (1 + 9

4

12x) dx

= 12

0∫

49

(1 + 94

12x) d(1 + 9

4x)

= ⎡⎢⎣

49

× 3

2

1 (1 + 94

32x)

12

0

⎤⎥⎦

= 8

27( 3

228 – )321

= 8

27(28 28 – 1)

= 8

27(56 7 – 1) satuan panjang

30. Jawaban: b

x = 23 (y2 + 1)

32

dxdy

= 23 ×

32 (y2 + 1)

12 × 2y

= 2y(y2 + 1)12

Panjang kurva x = 23 (y2 + 1)

32 dari y = 1 sampai

dengan y = 4:

S = d

c∫

2dxdy

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dy

= 4

1∫ ( )1

2

221 + 2y(y 1)+ dy

= 4

1∫ 2 21 + 4y (y + 1) dy

= 4

1∫ 4 21 + 4y + 4y dy

= 4

1∫ 2 2(2y + 1) dy

= 4

1∫ (2y2 + 1) dy

= ⎡⎢⎣

23

y3 + y4

1

⎤⎥⎦

= ( 1283

+ 4) – ( 23

+ 1)

= 1283

– 23

+ 4 – 1

= 1263

+ 3 = 42 + 3 = 45 satuan panjang

B. Uraian

1.

x + 4y = 8⇔ 4y = 8 – x

⇔ y = 2 – 14 x


L = 4

0∫ y dx

= 4

0∫ (2 –

14 x)) dx

Y

X

2

0 2 4 6 8 x + 4y = 8

x = 4


= 4

2

0

18

2x x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

− = (8 – 2) – (0 – 0) = 6

Jadi, luas daerah tersebut 6 satuan luas.

2. a. Menentukan titik potong kurva dengansumbu X.

x2 – 4x + 3 = 0⇔ (x – 1)(x – 3) = 0⇔ x – 1 = 0 atau x – 3 = 0⇔ x = 1 atau x = 3

L = – ∫3

1(x2 – 4x + 3) dx

= –31 3 2

3 1x 2x 3x⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= –((9 – 18 + 9) – (13 – 2 + 3))

= –(0 – 113 ) = 1

13 satuan luas

b. Menentukan titik potong kurva dengansumbu X.

8 – 2x2 = 0⇔ 2x2 = 8⇔ x2 = 4⇔ x = ± 4⇔ x = 2 atau x = –2

L = 2

2(8

−∫ – 2x2) dx

= 22 3

3 28x x

−⎡ ⎤−⎣ ⎦

= (8 × 2 – 23 × 23) – (8 × (–2) –

23 × (–2)3)

= (16 – 163 ) – (–16 – (–

163 ))

= 32 – 323

= 2113 satuan luas

3. Daerah yang diarsir dibagi menjadi dua bagian.

Daerah I dibatasi parabola y = 12 x2 dan

sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.Daerah II dibatasi garis y = 4 – x dansumbu X pada interval 2 ≤ x ≤ 4.Luas daerah yang diarsir:L = LI + LII

= 2

0∫

12 x2 dx +

4

2∫ (4 – x) dx

= ⎡⎢⎣

16 x3

2

0⎤⎥⎦ +

⎡⎢⎣4x –

12 x2

4

2⎤⎥⎦

= (86 – 0) + (16 – 8) – (8 – 2)

= 43 + 2

= 313 satuan luas

4.

LI = –0

3−∫ x3 dx

= –0

4

3

1

4x

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= –(14 × 04 –

14 × (–3)4)

= –(0 – 814 ) =

814 satuan luas

Daerah II sama bentuk dan ukuran dengan daerah I

maka LII = LI = 814 satuan luas.

Jadi, L = LI + LII = 814 +

814

= 162

4

= 4012 satuan luas

5. a.

–3 0 3

Y

X

I

II

Y

Xy1 = –x2 + 3x + 4

y2 = x2 – 3x – 4

4

–4

–1 0 4

Daerah D


b. Luas daerah D:

L = −∫4

1(y1 – y2) dx

= −∫4

1((–x2 + 3x + 4) – (x2 – 3x – 4)) dx

= −∫4

1(–2x2 + 6x + 8) dx

= ⎡⎢⎣

–23 x3 + 3x2 + 8x

−

⎤⎥⎦

4

1

= (–128

3 + 48 + 32) – (23 + 3 – 8)

= (–128

3 + 80) – (23 – 5)

= –130

3 + 85

= –130

3 + 2553

= 125

3

= 4123

Jadi, luas daerah D adalah 4123 satuan luas.

6. a.

b. Luas daerah D:

L = ∫4

0((8x – 2x2) – (4x – x2)) dx

= ∫4

0(4x – x2) dx

= ⎡⎢⎣

2x2 – 13 x3 ⎤

⎥⎦

4

0

= (2 × 42 – 13 × 43) – (2 × 02 –

13 × 03)

= (32 – 643 ) – 0

= 1023 satuan luas

7.

a. Volume daerah D diputar terhadap sumbu X:

Vx = π ∫3

0y2 dx

= π ∫3

0(9 – x2)2 dx

= π ∫3

0(81 – 18x2 + x4) dx

= π⎡⎢⎣

81x – 6x3 + 15 x5 ⎤

⎥⎦

3

0

= π((81 × 3 – 6 × 33 + 15 × 35) – 0)

= π(243 – 162 + 2435 )

= π(81 + 2435 )

= π(6485 )


b. Volume daerah D diputar terhadap sumbu Y:

Vy = π ∫9

0x2 dy

= π ∫9

0(9 – y) dy

= π⎡⎢⎣

9y – 12 y2 ⎤

⎥⎦

9

0

= π((9 × 9 – 12 × 92) – 0)

= π(81 – 812 )


Y

X0 4

y = 8x – 2x2

y = 4x – x2

Daerah D

Y

X–3 0 3

y = 9 – x2

9


8.

Volume = π 2

0sin

π

∫ x dx

= π0

π

∫12 (1 – cos 2x) dx

= π0

1 12 4

x sin 2xπ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

−

= π(( 2π

– 14 sin 2π) – (0 –

14 sin 0))

= π( 2π

– 0) – 0)

= 12 π2 satuan volume

9. y = 4x

8 + 2

14x

= 18 x4 +

14 x–2

dydx =

18 × 4x3 +

14 × (–2)x–3

= 12 x3 –

12 x–3

Panjang kurva y = 4x

8 + 2

14x

dari x = 1 sampai

dengan x = 4:

S = b

a∫

2dydx

1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ dy

= 4

1∫ ( )21 13 3

2 21 + x x−− dx

= 4

1∫ 1 1 16 6

4 2 41 + x x−− + dx

= 4

1∫ 1 1 16 6

4 2 4x x−+ + dx

= 4

1∫

23 31 1

2 2x x−⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ dx

=4

1∫ 3 31 1

2 2x x−⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ dx

= ⎡⎢⎣12 ×

14 x4 +

12 ×

12− x–2

4

1

⎤⎥⎦

= ⎡⎢⎣18 x4 – 2

14x

4

1

⎤⎥⎦

= (18 × 44 – 2

14 4×

) – (18 × 14 – 2

14 1×

)

= (32 – 1

64 ) – (18 –

14 )

= 32 – 1

64 – 8

64 + 1654

= 327

64 satuan panjang

10. Turunan dari x = 3 sin 2t adalah dxdt = 6 cos 2t.

Turunan dari y = 3 cos 2t adalah dydt = –6 sin 2t.

Panjang kurva (x, y) dengan x = 3 sin 2t dan

y = 3 cos 2t dari t = 0 sampai dengan t = 14 π:

S = b

a∫

2 2dx dydt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ dt

=

14

0

π

∫ 2 2(6 cos 2t) + ( 6 sin 2t)− dt

=

14

0

π

∫ 2 236 cos 2t + 36 sin 2t dt

=

14

0

π

∫2 236(cos 2t + sin 2t) dt

=

14

0

π

∫ 36 1× dt

=

14

0

π

∫ 6 dt

= ⎡⎢⎣6t

14

π

0⎤⎥⎦

dt

= 6(14 π – 0)

= 32 π satuan panjang

1

0

–12π

23 ππ

Y

X

y = sin x

2π


Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. menentukan integral tak tentu fungsi trigonometri;2. menentukan integral tentu fungsi trigonometri;3. menentukan ciri bentuk integral yang harus diselesaikan menggunakan metode substitusi;4. menentukan hasil integral tak tentu menggunakan metode substitusi;5. menentukan hasil integral tentu menggunakan metode substitusi;6. menemukan ciri bentuk integral yang harus diselesaikan menggunakan metode parsial;7. menentukan hasil integral tak tentu menggunakan metode parsial;8. menentukan hasil integral tentu menggunakan metode parsial.

Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik bersikap teliti dan pantang menyerah ketika mempelajariintegral parsial dan dalam menerapkan di kehidupan sehari-hari.

Integral Parsial

Integral Trigonometri dan Integral Substitusi Integral Parsial

• Menjelaskan integral fungsi trigonometri.• Menentukan integral tak tentu fungsi trigonometri.• Menentukan integral tentu fungsi trigonometri.• Menjelaskan integral substitusi.• Menentukan integral tak tentu menggunakan cara

substitusi.• Menentukan integral tentu menggunakan cara

substitusi.

• Menjelaskan integral parsial.• Menentukan integral tak tentu menggunakan cara

parsial.• Menentukan integral tentu menggunakan cara

parsial.

Bersikap teliti dan pantang menyerah ketika mempelajari integral parsial dan dalammenerapkan di kehidupan sehari-hari.

194 Integral Parsial

A. Pilhan Ganda

1. Jawaban: c

∫ (cos 2x – 2 sin x) dx

= ∫ cos 2x dx – 2 ∫ sin x dx

= 12 sin 2x – 2(–cos x) + c

= 12 sin 2x + 2 cos x + c

2. Jawaban: d

∫ sec x (tan x + sec x) dx

= ∫ (tan x sec x + sec2 x) dx

= ∫ tan x sec x dx + ∫ sec2 x dx= sec x + tan x + c

3. Jawaban: c

∫ cotan (ax + b) cosec (ax + b) dx

= –1a cosec (ax + b) + c

∫ cotan (3x – 4π

) cosec (3x – 4π

) dx

= ∫ cotan (3x + (– 4π

)) cosec (3x + (– 4π

)) dx

= –13 cosec (3x + (– 4

π)) + c

= –13 cosec (3x – 4

π) + c

4. Jawaban: e

13

0

π

∫ (sin 2x + 3 cos x) dx

= 13

0

12

cos 2x 3 sin x)π

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦− +

= (–12 cos

23π

+ 3 sin 3π

) – (–12 cos 0 + 3 sin 0)

= (–12 × (–

12 ) + 3(

12

3 ) – (–12 + 0)

= (14 +

32

3 ) – (–12 )

= 34 +

32

3

= 34 (1 + 2 3 )

5. Jawaban: d

0

π

∫ (sin 3x + cos x) dx

= 0

13

cos 3x sin xπ⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

− +

= (–13 cos 3π + sin π) – (–

13 cos 0 + sin 0)

= (13 + 0) – (–

13 + 0) =

23

6. Jawaban: b

13

π

−π∫ cos (2x +

13 π) dx

= 131 1

2 3sin (2x )

π

−π

⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

+ π

= 12 sin (

23π

+ 13 π) –

12 sin (–2π +

13 π)

= 12 sin π –

12 sin

53

− π

= 0 – 12 (

12

3 )

= –14

3

7. Jawaban: b23

12

π

π∫ cos (3x – π) dx =

23

12

13

sin (3x )π

π

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

− π

= 13 (sin (2π – π) – sin (

32 π – π))

= 13 (sin π – sin

12 π)

= 13 (0 – 1) = –

13

8. Jawaban: e

3

0

π

∫ (sin x + cos x)(sin x – cos x) dx

= 3

0

π

∫ (sin2 x – cos2 x) dx

= 3

0

π

∫ –(cos2 x – sin2 x) dx

= –3

0

π

∫ cos 2x dx


= 3

0

12

sin 2xπ⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

−

= –12(sin

23π – sin 0)

= –12(

12

3 – 0)

= –14

3

9. Jawaban: cMisalkan: u = 2x2 + 8x + 1

⇔ du = (4x + 8) dx

∫ (2x + 4) 22x + 8x + 1 dx

= ∫ 22x + 8x + 1 (2x + 4) dx

= ∫ 22x + 8x + 1 ( 4x 82+

) dx

= ∫ u12 du

= 12 ∫

12u du

= 12 (

23 u

32 ) + c

= 13 u

32 + c

= 13 u u + c

= 13 (2x2 + 8x + 1) 22x + 8x + 1 + c

10. Jawaban: dMisalkan: u = 2x3 – 5

⇔ du = 6x2 dx

∫ 2

3 57

2x

(2x 5)− dx

= ∫ 2x2(2x3 – 5)57

− dx

= ∫ (2x3 – 5)57

−(2x2 dx)

= ∫ u57

− 13 du

= 13 ∫ u

57

− du

= 13 (

72 u

27 ) + c

= 76 u

27 + c

= 76 (2x3 – 5)

27 + c

= 76

3 27 (2x 5)− + c

11. Jawaban: cMisalkan:

u = 3x2 + 9x – 1⇔ du = (6x + 9) dx = 3(2x + 3) dx

⇔ (2x + 3) dx = du3

∫2

2x 3

3x 9x 1

+

+ −dx

= ∫ (3x2 + 9x – 1)12

−((2x + 3) dx)

= ∫ u12

−(

du3 )

= 13 ∫ u

12

− du

= 13 (2u

12 ) + c

= 23

23x 9x 1+ − + c

12. Jawaban: cMisalkan: u = x2 + 1

⇔ du = 2x dx∫12x(x2 + 1)2 dx = 6 ∫ (x2 + 1)2(2x dx)

= 6 ∫ u2 du

= 6 ∫ 13 u3 + c

= 2(x2 + 1)3 + c1

a∫ 12(x2 + 1)3 dx = 14

⇔ 2 3 1a2(x + 1) ⎤⎡⎣ ⎦ = 14

⇔ 2((1 + 1)3 – (a2 + 1)3) = 14⇔ 8 – (a2 + 1)3 = 7⇔ (a2 + 1)3 = 1⇔ a2 + 1 = 1⇔ a2 = 0⇔ a = 0

13. Jawaban: cMisalkan: u = sin 2x

du = 2 cos 2x dx ⇔ 12 du = cos 2x dx

∫ cos 2x sin 2x dx = ∫ (sin 2x)12 (cos 2x dx)

= ∫ u12 (

12 du)

= 12 ∫ u

12 du

= 12 ×

23 u

32 + c

= 13 u u + c

= 13 sin 2x sin 2x + c


14. Jawaban: bMisalkan: u = cos 2x

du = –2 sin 2x dx ⇔ sin 2x dx = –du2

∫ cos4 2x sin 2x dx

= ∫ u4 (–du2 )

= –12 ∫ u4 du

= –12 ×

15 u5 + c

= –1

10 cos5 2x + c

15. Jawaban: a

Misalkan: u = sin x2 ⇔ du = 2 cos

x2 dx

⇔ du2 = cos

x2 dx

∫ sin3 x2 cos

x2 dx

= ∫ u3 (du2 )

= 12 ×

14 u4 + c

= 18 sin4

x2 + c

2π

π∫ sin3 x

2 cos x2 dx

= 2

1 x48 2

sin π

π⎡ ⎤⎣ ⎦

= 18 sin4 2

π –

18 sin4 4

π

= 18 × 14 –

18 × ( 2

2)4

= 18 –

132 =

332

B. Uraian

1. a. ∫ (cos x + 2 sin x) dx

= ∫ cos x dx + 2 ∫ sin x dx= sin x + 2(–cos x) + c= sin x – 2 cos x + c

b. ∫ sin (2x + 23 π) dx

= –12 cos (2x +

23 π) + c

c. ∫ 6 sec2 3x dx = 6 × 13 tan 3x + c

= 2 tan 3x + c

d. ∫ (2 sin 13 x – 3 cos 2x) dx

= 2 ∫ sin 13 x dx – 3 ∫ cos 2x dx

= 2(–3 cos 13 x) – 3(

12 sin 2x) + c

= –6 cos 13 x –

32 sin 2x + c

2. a.2

0

π

∫ (cos 2x + sin 3x) dx

= 2

0

1 12 3

sin 2x cos 3xπ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

−

= (12 sin π –

13 cos

32π

) – (12 sin 0 –

13 cos 0)

= (0 – 0) – (0 – 13 ) =

13

b.2

4

π

π∫ 2 cos ( 4

π – x) dx

= 2

4

21 4sin ( x)

π

ππ⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣− ⎦−

= –2 (sin (– 4π

) – sin 0)

= –2 (–12

2 – 0) = 2

c.3

0

π

∫ 6 sin x cos x dx

= 3

0

π

∫ 3 sin 2x dx

= 3

0

32

cos 2xπ⎤⎡− ⎥⎢⎣ ⎦

= –32 (cos

23π

– cos 0)

= –32 (–

12 – 1)

= –32 (–

32 ) =

94

3. a. f′(x) = 12 cos 2xf(x) = ∫ 12 cos 2x dx

= 12 × 12 sin 2x + c

= 6 sin 2x + c


f 12π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ = 8

⇔ 6 sin 2 12π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ + c = 8

⇔ 6 sin 6π

+ c = 8

⇔ 6 × 12 + c = 8

⇔ 3 + c = 8⇔ c = 5Diperoleh f(x) = 6 sin 2x + 5.

b. f 4π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ = 6 sin 2 4

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ + 5

= 6 sin 2π

+ 5

= 6 × 1 + 5= 11

4. a. Misalkan: u = 5 – x⇔ du = –1 dx ⇔ dx = –du

∫ 25 x− dx = ∫ 2

u (–du)

= –2 ∫ u12

− du

= –2 × 2u12 + c

= –4 5 x− + c

b. Misalkan: u = x2 – 3⇔ du = 2x dx ⇔ 2x dx = du

∫ 2x(x2 – 3)3 dx = ∫ (x2 – 3)3(2x dx )

= ∫ u3 du

= 14 u4 + c

= 14 (x2 – 3)4 + c

c. Misalkan: u = 2x – 3

⇔ du = 2 dx ⇔ dx = du2

∫ (4x – 6) 2x 3− dx

= ∫ 2(2x – 3)(2x – 3)12 dx

= 2 ∫ (2x – 3)32 dx

= 2 ∫ u32 ×

du2

= ∫ u32 du

= 25 u

52 + c

= 25 (2x – 3)2 2x 3− + c

d. Misalkan: u = 4 – 3x2

⇔ du = –6x dx ⇔ x dx = du6−

∫ 2 23x

(4 3x )− dx = 3 ∫ (4 – 3x2)–2(x dx)

= 3 ∫ u–2 (du6− )

= 36− ∫ u–2 du

= –12 ×

11− u–1 + c

= 1

2u + c

= 21

2(4 3x )− + c

= 21

8 6x− + c

5. a. Misalkan: u = x2 – 4x – 1⇔ du = (2x – 4) dx

∫ 2 22 x

(x 4x 1)−

− − dx

= ∫ (x2 – 4x – 1)–2(2 – x) dx

= –12 ∫ (2x2 – 4x – 1)–2(2x – 4) dx

= –12 ∫ u–2 du

= –12 ×

11− u–1 + c

= 1

2u + c

= 21

2(x 4x 1)− − + c

2

0∫ 2 2

2 x(x 4x 1)

−− − dx

= 2

20

12(x 4x 1)− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= 21

2(2 4(2) 1)− − – 2

12(0 4(0) 1)− −

= –1

10 + 12 =

25

b.2

0

π

∫ (1 – cos x) sin x dx

Misalkan: u = 1 – cos x

⇔ dudx = sin x ⇔ du = sin x dx


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cMisalkan:u = 4x ⇔ du = 4 dxdv = (x – 2)3 dx⇔ v = ∫ (x – 2)3 dx

= ∫ (x – 2)3 d(x – 2)

= 14 (x – 2)4

∫ u dv = u v – ∫ v du∫ 4x(x – 2)3 dx

= (4x) × 14 (x – 2)4 – ∫ 1

4 (x – 2)4(4 dx)

= x(x – 2)4 – ∫ (x – 2)4 d(x – 2)

= x(x – 2)4 – 15 (x – 2)5 + c

= 15 (x – 2)4(5x – (x – 2)) + c

= 15 (4x + 2)(x – 2)4 + c

2. Jawaban: aMisalkan:u = 8x ⇔ du = 8 dx

dv = 13(6x 1)− dx

⇔ v = 34 ×

16

43(6x 1)−

= 18

43(6x 1)−

∫ u dv = uv – ∫ v du

∫ 8x13(6x 1)− dx

= 8x × 18

43(6x 1)− – ∫ 1

8

43(6x 1)− × 8 dx

= x43(6x 1)− –

37 ×

16

73(6x 1)− + c

= x43(6x 1)− –

114

73(6x 1)− + c

= 1

14

43(6x 1)− (14x – (6x – 1)) + c

= 1

14

43(6x 1)− (8x + 1) + c

3. Jawaban: a

∫ x dx1 x− = –∫ x

12(1 x)− × (–1) dx

= –∫ x d(212(1 x)− )

= –x × 212(1 x)− + ∫ 2

12(1 x)− dx

= –2x12(1 x)− + 2 ×

23

32(1 x)− + c

= –2x 1 x− + 43

3(1 x)− + c

4. Jawaban: e∫ x2(x + 1)7 dx = ∫ u dvMisalkan: u = x2 ⇔ du = 2x dx

dv = (x + 1)7 dx

⇔ v = 18 (x + 1)8

∫(1 – cos x) sin x dx= ∫ u du

= 12 u2 + c

= 12 (1 – cos x)2 + c

2

0

π

∫ (1 – cos x) sin x dx

= 22

0

12

(1 cos x)π

⎡ ⎤−⎣ ⎦

= 12 (1 – cos 2

π)2 –

12 (1 – cos 0)2

= 12 (1 – 0)2 –

12 (1 – 1)2

= 12 (1) –

12 (0)

= 12


∫ u dv = u v – ∫ v du

= x2 × 18 (x + 1)8 – ∫ 1

8 (x + 1)8 2x dx

= 18 x2(x + 1)8 –

14 ∫ x(x + 1)8 dx

Menentukan ∫ x(x + 1)8 dxMisalkan: u1 = x ⇔ du1 = dx

dv1 = (x + 1)8 dx

⇔ v1 = 19 (x + 1)9

∫ u1 dv1 = u1v1 – ∫ v1 du1

= x × 19 (x + 1)9 – ∫ 1

9 (x + 1)9 dx

= 19 x(x + 1)9 –

19 ×

110 (x + 1)10 + c

= 19 x(x + 1)9 –

190 (x + 1)10 + c

∫ u dv

= 18 x2(x + 1)8 –

14 ∫ x(x + 1)8 dx

= 18 x2(x + 1)8 –

14 (

19 x(x + 1)9 –

190 (x + 1)10 + c

= 18 x2(x + 1)8 –

136 x(x + 1)9 +

1360 (x + 1)10 + c

5. Jawaban: a∫ x sin 2x dx = ∫ u dvMisalkan: u = x ⇔ du = dx

dv = sin 2x dx⇔ ∫ dv = ∫ sin 2x dx

⇔ v = –12 cos 2x

∫ u dv = u v – ∫ v du

= x × (–12 cos 2x) – ∫ – 1

2 cos 2x dx

= –12 x cos 2x +

12 ∫ cos 2x dx

= –12 x cos 2x +

12 ×

12 sin 2x + c

= –12 x cos 2x +

14 sin 2x + c

6. Jawaban: aMisalkan: u = 3x + 1 ⇔ du = 3 dx

dv = cos 2x dx ⇔ v = 12 sin 2x


∫ (3x + 1) cos x dx

= (3x + 1) × 12 sin 2x – ∫ 1

2 sin 2x × 3 dx

= 12 (3x + 1) sin 2x +

34 cos 2x + c

7. Jawaban: d∫ 3x sin (x – 2) dx = ∫ u dvMisalkan: u = 3x ⇔ du = 3 dx

dv = sin (x – 2) dx⇔ v = –cos (x – 2)∫ 3x sin (x – 2) dx= ∫ u dv= ∫ uv – ∫ v du= 3x (–cos (x – 2)) – ∫ –cos (x – 2)(3 dx)= –3x cos (x – 2) + 3 sin (x – 2) + c

8. Jawaban: aFungsi 4x2 cos2 x dipecah menjadi fungsi 2x2 dan2 cos2 x = 1 + cos 2x.Fungsi 2x2 diturunkan sampai diperoleh nilai nol,sedangkan (1 + cos 2x) diintegralkan

∫ 2x2 cos2 x dx

= 2x2(x + 12 sin 2x) – 4x(

12 x2 –

14 cos 2x)

+ 4(16 x3 –

18 sin 2x) + c

= 2x3 + x2 sin 2x – 2x3 + x cos 2x + 23 x3

– 12 sin 2x + c

=23 x3 + x cos 2x + (x2 –

12 ) sin 2x + c

9. Jawaban: b∫ 12x(3x – 2)3 dx = ∫ u dvMisalkan: u = 12x ⇔ du = 12 dxdv = (3x – 2)3 dx

⇔ v = 14 ×

13 (3x – 2)4 + c

= 1

12 (3x – 2)4 + c

Diturunkan

2x2

4x

4

0

Diintegralkan

1 + cos 2x

x + 12 sin 2x

12 x2 – 1

4 cos 2x

16 x3 – 1

8 sin 2x

+

–

+


⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→+

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→–

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→+


= 12x × 1

12 (3x – 2)4 – ∫ 112 (3x – 2)4 × 12 dx

= x(3x – 2)4 – 1212 ×

15 ×

13 (3x – 2)5 + c

= x(3x – 2)4 – 1

15 (3x – 2)5 + c

23

0∫ 12x(3x – 2)3 dx

= 234 5

0

115x(3x 2) (3x 2)⎡ ⎤− − −⎣ ⎦

= (23 (0)4 –

115 (0)5) – (0(–2)4 –

115 (–2)5)

= 0 – 0 – 0 – 3215

= –3215

10. Jawaban: d

∫ (x + 1) 2x 1− dx = ∫ u dvMisalkan: u = x + 1

⇔ du = dx

dv = 2x 1− dx ⇔ ∫ dv = ∫12(2x 1)− dx

⇔ v = 23

32(2x 1)− ×

12

⇔ v = 13

32(2x 1)−


= (x + 1) × 13

32(2x 1)− – ∫ 1

3

32(2x 1)− dx

=13 (x + 1)

32(2x 1)− –

13 ×

25

52(2x 1)− ×

12 + c

=13 (x + 1)(2x – 1) 2x 1− –

115 (2x – 1)2

2x 1− + c

12

1

∫ (x + 1) 2x 1− dx

= 12

121 13 15(x 1)(2x 1)( 2x 1) (2x 1) 2x 1⎡ ⎤+ − − − − −⎣ ⎦

= (13 × 2 × 1 × 1 –

115 × 12 × 1 )

– (13 ×

32 × 0 × 1 –

115 × 02 × 1 )

= 23 –

115 – (0 – 0)

= 1015 –

115

= 9

15

= 35

11. Jawaban: bMenggunakan aturan Tanzalin.Fungsi diuraikan menjadi 2 bagian yaitu f(x) = x2

dan g(x) = x 1− .

Bagian Diturunkan Bagian Diintegralkan

x2 x 1−

2x3

223

(x 1)−

25

2415

(x 1)−

07

28105

(x 1)−

∫ x2 x 1− dx

= x2(23

32(x 1)− ) – 2x ×

415

52(x 1)−

+ 2 × 8

105

72(x 1)− + c

=23 x2

32(x 1)− –

815 x

52(x 1)− +

16105

72(x 1)−

2

1∫ x2 x 1− dx

= 2 22 83 15

x (x 1) x 1 x(x 1) x 1⎡ − − − − −⎣

+ 2

3

1

16105

(x 1) x 1⎤− −⎦

= (23 × 22 × 1 × 1 –

815 × 2 × 12 × 1 +

16105 ×

13 × 1 ) – (23 × 12 × 0 × 0 –

815 × 1 × 02 × 0

+ 16

105 × 03 × 0

= 83 –

1615 +

16105 =

184105

12. Jawaban: a∫ 4x cos 2x = ∫ u dvMisalkan: u = 4x ⇔ du = 4 dx

dv = cos 2x dx


⇔ ∫ dv = ∫ cos 2x dx

⇔ v = 12 sin 2x

∫ u dv = u v – ∫ v du

= 4x(12 sin 2x) – ∫ 1

2 sin 2x × 4 dx

= 2x sin 2x – 4 × 12 ×

12 × (–cos 2x) + c

= 2x sin 2x + cos 2x + c

4

0

π

∫ 4x cos 2x dx

= [ ]40

2x sin 2x cos 2xπ

+

= (2 × 4π

sin 2π

+ cos 2π

) – (2 × 0 sin 0 + cos 0)

= 2π

+ 0 – (0 + 1)

= 2π

– 1

= 12 (π – 2)

13. Jawaban: d

∫ x sin (2x – 2π

) dx = ∫ u dv

Misalkan: u = x ⇔ du = dx

dv = sin (2x – 2π

) dx

⇔ v = –12 cos (2x – 2

π)


= x – 12 cos (2x – 2

π) – ∫ – 1

2 cos (2x – 2π

) dx

= –12 x cos (2x – 2

π) +

14 sin (2x – 2

π) + c

∫ x sin (2x – 2π

) dx =12 x cos (2x – 2

π)

+ 14 sin (2x – 2

π) + c

2

0

π

∫ x sin (2x – 2π

) dx

= 2

0

1 12 2 4 2

x cos (2x ) sin (2x )π

π π⎡ ⎤− + −⎣ ⎦

=12 × 2

π × cos (π – 2

π) +

14 sin (π – 2

π)

– (12 ×

02 cos (0 – 2

π) +

14 sin (0 – 2

π)

= 4π

× cos 2π

+ 14 sin 2

π – 0 –

14 sin (– 2

π)

= 4π

× 0 + 14 × 1 – 0 –

14 × (–1)

= 24

= 12

14. Jawaban: a∫ 12 x sin x cos x dx = ∫ 6x × 2 sin x cos x dx

= ∫ 6x sin 2x dxMisalkan: u = 6x ⇔ du = 6 dxdv = sin 2x dx

⇔ v = –12 cos 2x

∫ 12 x sin x cos dx = ∫ u dv= uv – ∫ v du

= 6x × (–12 cos 2x) – ∫ – 1

2 cos 2x × 6 dx

= –3x cos 2x + ∫ 3 cos 2x dx

= –3x cos 2x + 32 sin 2x + c

3π

π

∫ 12x sin x cos x dx

= 3

32

3x cos 2x + sin 2x π

π⎡ ⎤−⎣ ⎦

= (–3π cos 2π + 32 sin 2π) – (–

33π

cos 23π

+ 32 sin

23 π)

= (–3π × 1 + 32 × 0) – (–

33π

× (–12 ) +

32 ×

12

3 )

= –3π + 0 – 36π

– 34

3

= –3π – 32π

– 34

3

= –72 π –

34

3

15. Jawaban: d∫ x2 cos x dx = ∫ u dvMisalkan: u = x2 ⇔ du = 2x dx

dv = cos x dx⇔ ∫ dv = ∫ cos x dx⇔ v = sin x


∫ x2 cos x dx = ∫ u dv= uv – ∫ v du= x2 × sin x – ∫ sin x × 2x dx= x2 sin x – ∫ 2x sin x dx

∫ 2x sin x dx = ∫ u1 dv1Misalkan: u1 = 2x ⇔ du1 = 2 dxdv1 = sin x dx ⇔ v = –cos x∫ 2x sin x dx = ∫ u1 dv1

= u1v1 – ∫ v1 du1

= 2x(–cos x) – ∫ –cos x 2 dx= –2x cos x + 2 sin x + c

∫ x2 cos x dx = x2 sin x – ∫ 2x sin x dx= x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + c

2

0

π

∫ 12x sin x cos x dx

= 220

x sin x 2x cos x 2 sin xπ

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

= (( 2π

)2 sin 2π

+ 2 × 2π

cos 2π

– 2 sin 2π

)

– (02 sin 0 + 2 × 0 cos 0 – 2 sin 0)

= (2

4π × 1 + 2 × 2

π × 0 – 2 × 1) – (0 + 0 – 2 × 0)

= 14 π2 – 2

B. Uraian

1. a. Misalkan: u = 6x⇔ du = 6 dxdv = (2x + 3)3 dxv = ∫ (2x + 3)3 dx

= 14 (2x + 3)4 ×

12

= 18 (2x + 3)4

∫ 6x(2x + 3)3 dx

= 6x × 18 (2x + 3)4 – ∫ 1

8 (2x + 3)4 × 6 dx

= 34 x(2x + 3)4 –

34 ∫ (2x + 3)4 dx

= 34 x(2x + 3)4 –

34 ×

12 ×

15 (2x + 3)5 + c

= 34 x(2x + 3)4 –

340 (2x + 3)5 + c

b. Misalkan: u = x⇔ du = dx

dv = 12(1 x)− dx

⇔ v = ∫ 12(1 x)− dx

= –23

32(1 x)−

= –23 (1 – x) 1 x−

∫ x 1 x− dx

= –23 x(1 – x) 1 x− – ∫ – 2

3

32(1 x)− dx

= –23 x(1 – x) 1 x− +

23 ∫

32(1 x)− dx

= –23 x(1 – x) 1 x− +

23 × (–

25

52(1 x)− ) + c

= –23 x(1 – x) 1 x− –

415 (1 – x)2 1 x− + c

2. a. Misalkan:u = 3 – 2x ⇔ du = –2 dxdv = sin x dx⇔ v = ∫ sin x dx = –cos x


∫ (3 – 2x) sin x dx= (3 – 2x)(–cos x) – ∫ (–cos x) (–2dx)= –(3 – 2x) cos x – 2 ∫ cos x dx= (2x – 3) cos x – 2 sin x + c

b. Misalkan:u = x2 ⇔ du = 2x dxdv = cos x dx⇔ v = ∫ cos x dx = sin x∫ u dv = uv – ∫ v du= x2 sin x – ∫ (sin x) (2x dx)= x2 sin x – 2 ∫ x (sin x dx)= x2 sin x – 2 ∫ x d(–cos x)= x2 sin x – 2 (x (–cos x) – ∫ (–cos x) dx)= x2 sin x – 2 (–x cos x + ∫ cos x dx)= x2 sin x – 2 (–x cos x + sin x) + c= x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + c= (x2 – 2) sin x + 2x cos x + c

3. a.12

1

∫ x(1 – 2x)5 dx = ∫ u dv

Misalkan: u = x ⇔ du = dxdv = (1 – 2x)5 dx


⇔ v = 16 (1 – 2x)6 ×

12−

= –1

12 (1 – 2x)6

∫ u dv= uv – ∫ v du

= x(–1

12 (1 – 2x)6 – ∫ – 112 (1 – 2x)6 dx

= –1

12 x(1 – 2x)6 + 1

12 × 17 (1 – 2x)7 ×

12− + c

= –1

12 x(1 – 2x)6 – 1

168 (1 – 2x)7 + c

12

1

∫ x(1 – 2x)5 dx

= 1

2

16 71 1

12 168x(1 2x) (1 2x)⎡ ⎤− − − −

⎣ ⎦

= (–1

12 × 1 × (–1)6 – 1

168 (–1)7)

– (–1

12 × 12 × 06 –

1168 × 07)

= –1

12 + 1

168

= –13

168

b.3

1∫ (3x – 1)(x – 3)6 dx = ∫ u dv

Misalkan u = 3x – 1 ⇔ du = 3 dx

dv = (x – 3)6 dx ⇔ v = 17 (x – 3)7


= (3x – 1) × 17 (x – 3)7 – ∫ 1

7 (x – 3)7 × 3 dx

= 17 (3x – 1)(x – 3)7 –

37 ×

18 (x – 3)8 + c

= 17 (3x – 1)(x – 3)7 –

356 (x – 3)8 + c

3

1∫ (3x – 1)(x – 3)6 dx

=3

7 8

1

1 37 56

(3x 1)(x 3) (x 3)⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦

= (17 × 8 × 07 –

356 × 08)

– (17 × 2 × (–2)7 –

356 (–2)8)

= 0 – 0 – (–2567 –

76856 )

=2567 +

76856

=3527 = 50

27

c.5

1∫ 6x 5 x− dx = ∫ u dv

Misalkan: u = 6x ⇔ du = 6 dx

dv = 5 x− dx × v = –23

32(5 x)−


= 6x(–23

32(5 x)− ) – ∫ – 2

3

32(5 x)− × 6 dx

= –4x32(5 x)− –

23 × 6 ×

25

52(5 x)− + c

= –4x32(5 x)− –

85

52(5 x)− + c

5

1∫ 6x 5 x− dx

= 3 5

2 2

5

1

85

4x(5 x) (5 x)⎡ ⎤− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= (–4 × 5 × 320 –

85 ×

520 )

– (–4 × 1 × 322(2 ) –

85 ×

522(2 ) )

= 0 – 0 – (–32 – 2565 )

= 32 + 2565 = 83

15

4. a.0

1−∫ (x + 1) sin x dx = ∫ u dv

Misalkan: u = x + 1 ⇔ du = dxdv = sin x dx ⇔ v = –cos x dx∫ u dv = uv – ∫ v du

= (x + 1)(–cos x) – ∫ –cos x dx= –(x + 1) cos x + sin x + c

0

1−∫ (x + 1) sin x dx

= [ ]01

(x 1) cos x sin x −− + +

= (–(0 + 1) cos 0 + sin 0)– (–(–1 + 1) cos (–1) + sin (–1))


= (–1 × 1 + 0) – (0 – sin 1)= –1 + sin 1= sin 1 – 1

b.3

0∫ (3 – x)2 cos 2x dx = ∫ u dv

Misalkan: u = (3 – x)2

⇔ du = –2(3 – x) dx⇔ du = (2x – 6) dx

dv = cos 2x dx

⇔ v = 12 sin 2x

∫ u dv = uv – ∫ du

= (3 – x)2 × 12 sin 2x

– ∫ 12 sin 2x × (2x – 6) dx

= 12 (3 – x)2 sin 2x –

12 ∫ (2x – 6) sin 2x dx

∫ (2x – 6) sin 2x dx = ∫ u1 dv1Misalkan: u1 = 2x – 6

⇔ du1 = 2 dxdv1 = sin 2x dx

⇔ v1 = –12 cos 2x

∫ u1 dv1 = u1v1 – ∫ v1 du

= (2x – 6)(–12 cos 2x)

– ∫ – 12 cos 2x(2dx)

= –(x – 3) cos 2x + 12 sin 2x + c

∫ u dv = 12 (3 – x)2 sin 2x –

12 ∫ (2x – 6) sin 2x dx

= 12 (3 – x)2 sin 2x –

12 (–(x – 3) cos 2x

+ 12 sin 2x) + c

= 12 (3 – x)2 sin 2x –

12 (3 – x) cos 2x

– 14 sin 2x + c

3

0∫ (3 – x)2 cos 2x dx

= 3

2

0

1 1 12 2 4

(3 x) sin 2x (3 x) cos 2x sin 2x⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦

= (12 × 02 × sin 6 –

12 × 0 × cos 6 –

14 sin 6)

– (12 × 32 sin 0 –

12 × 3 cos 0 –

14 sin 0)

= (0 – 0 – 14 sin 6) – (0 –

32 – 0)

= 32 –

14 sin 6

5. ∫ 4x2 cos2 x dx= ∫ 2x2 2 cos2 x dx= ∫ 2x2(cos 2x + 1) dx= ∫ (2x2 cos 2x + 2x2) dx= ∫ 2x2 cos 2x dx + ∫ 2x2 dx . . . (1)Misalkan: ∫ 2x2 cos 2x dx = ∫ u dvu = 2x2 ⇔ du = 4x dx

dv = cos 2x dx ⇔ v = 12 sin 2x


= 2x2 × 12 sin 2x – ∫ 1

2 sin 2x 4x dx

= x2 sin 2x – ∫ x sin 2x dx . . . (2)Misalkan: ∫ x sin 2x dx = ∫ u1 dv1u1 = x ⇔ du1 = dx

dv1 = sin 2x dx ⇔ v = –12 cos 2x

∫ u1 dv1 = u1v1 – ∫ v1 du1

= x(–12 cos 2x) – ∫ – 1

2 cos 2x dx

= –12 cos 2x +

14 sin 2x . . . (3)

Substitusikan persamaan (3) ke (2).∫ 2x2 cos 2x dx = ∫ u dv

= x2 sin 2x – 2 ∫ x sin 2x dx

= x2 sin 2x – 2 (–12 x cos 2x

+ 14 sin 2x) + c

= x2 sin 2x + x cos 2x – 12 sin 2x + c

2π

π

∫ 2x2 cos 2x dx

= 2

2 12

x sin 2x x cos 2x sin 2x π

π⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

= (π2 sin 2π + π cos 2π – 12 sin 2π) – (( 2

π)2 sin π

+ 2π

cos π – 12 sin π)


= (π2 × 0 + π × 1 – 12 × 0) – (

2

4π × 0 + 2

π × (–1)

– 12 × 0)

= π + ( 2π

+ 12 )

= 32 π +

12

2π

π

∫ 2x2 dx = 2

323

xπ

π⎡ ⎤⎣ ⎦

= 23 π3 –

23 (

3

8π )

= 7

12 π3

2π

π

∫ 4x2 cos2 x dx

= ∫ 2x2 cos 2x dx + ∫ 2x2 dx

= 32 π +

12 +

712 π3

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: b

∫ sin (12 x – π) cos (

12 x – π) dx

= ∫ 12 sin 2(

12 x – π) dx

= 12 ∫ sin (x – 2π) dx

= –12 cos (x – 2π) + c

2. Jawaban: d∫(3 – 6 sin2 x) dx = ∫ 3(1 – 2 sin2 x) dx

= 3 ∫ cos 2x dx

= 3 × 12 sin 2x + c

= 32 × 2 sin x cos x + c

= 3 sin x cos x + c

3. Jawaban: d

∫ sec x cotan2 x dx = ∫ 1

cos x × 2

2cos xsin x dx

= ∫ 2cos xsin x

dx

= ∫ cos xsin x

1sin x dx

= ∫ cotan x cosec x dx= –cosec x + c

4. Jawaban: d∫ (cos4 2x – sin4 2x) dx

= ∫ (cos2 2x + sin2 2x)(cos2 2x – sin2 2x) dx

= ∫ 1 × cos 2(2x) dx= ∫ cos 4x dx

= 14 sin 4x + c

5. Jawaban: c

∫ 8 sin 5x cos 3x dx

= 4 ∫ 2 sin 5x cos 3x dx

= 4 ∫ (sin (5x + 3x) + sin (5x – 3x)) dx

= 4 ∫ (sin 8x + sin 2x) dx

= 4(–18 cos 8x + (–

12 cos 2x)) + c

= –12 cos 8x – 2 cos 2x + c

6. Jawaban: a

2

3

π

π∫ (4 cos 2x – 3 sin 3x) dx

= 2

3

1 12 3

4 sin 2x 3 ( cos 3x)π

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

× − × −

= 2

3

2 sin 2x cos 3xπ

π⎡ ⎤+⎣ ⎦


= (2 sin π + cos 32π

) – (2 sin 23π

+ cos π)

= (0 + 0) – ( 3 + (–1))

= 1 – 3

7. Jawaban: e

∫ 1 cos 2x− dx

= ∫ 22 sin x dx

= ∫ 2 sin x dx

= – 2 cos x + c

0

π

∫ 1 cos 2x−

= 0

2 cos xπ

⎡ ⎤−⎣ ⎦

= – 2 cos π – (– 2 cos 0)

= – 2 × (–1) + 2 × 1

= 2 + 2

= 2 2

8. Jawaban: d12

0

π

∫ (4x – sin x) dx

= ⎡⎣2x2 + cos x12

0

π⎤⎦

= (2(12 π)2 + cos

12 π) – (0 + cos 0)

= (12 π2 + 0) – 1

= 12 π2 – 1

9. Jawaban: b

4

0

π

∫ sin (2x + 4π

) dx = 4

0

1)

2 4cos (2x

π⎤π⎡⎥⎢⎣ ⎦

− +

= –12 (cos

34π

– cos 4π

)

= –12 (–

12 2 – 1

2 2 )

= –12 (– 2 )

= 12 2

10. Jawaban: e

3

0

π

∫ (sin x + cos x)(sin x – cos x) dx

= 3

0

π

∫ (sin2 x – cos2 x) dx

= 3

0

π

∫ –(cos2 x – sin2 x) dx

= –3

0

π

∫ cos 2x dx

= 3

0

12

sin 2xπ⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

−

= –12(sin

23π – sin 0)

= –12(

12

3 – 0) = –14

3

11. Jawaban: dMisalkan: u = 1 + 2x – x2

dudx = 2 – 2x = –2(x – 1)

⇔ (x – 1) dx = du2−

∫ 2 3x 1

(1 2x x )−

+ −dx = ∫ (1 + 2x – x2)–3 × (x – 1) dx

= ∫ u–3 × du2−

= 12− ∫ u–3 du

= –12 ×

12− u–2 + c

= 14 (1 + 2x – x2)–2 + c

= 2 21

4(1 2x x )+ − + c

12. Jawaban: eMisalkan: u = sin 2x

⇔ dudx = 2 cos 2x

⇔ cos 2x dx = du2

∫ sin2 2x cos 2x dx = ∫ u2 × du2

= 12 ∫ u2 du

= 12 ×

13 u3 + c

= 16 sin3 2x + c


13. Jawaban: c

∫ 3x 23x 1+ dx = 12 ∫ 23x 1+ × 6x dx

= 12 ∫

122(3x 1)+ d(3x2 + 1)

= 12 ∫

12u du

= 12 ×

12

32u + c

= 12

322(3x 1)+

1

0∫ 3x 23x 1+ dx =

13

32

12

0(3x 1)

⎤⎡+⎢ ⎥⎣ ⎦

= 13

3 32 2((3 1) (0 1) )+ − +

= 13 (8 – 1)

= 73

14. Jawaban: a

0

π

∫ sin 2x cos x dx

= 0

π

∫ (2 sin x cos x) cos x dx

= 0

π

∫ 2 sin x cos2 x dx

Misalkan: u = cos x

⇔ dudx = –sin x ⇔ sin x dx = –du

∫ 2 sin x cos2 x dx = ∫ 2 u2 (–du)= –2 ∫ u2 du

= –2( 13

u3)

= –2( 13

cos3 x) + c

0

π

∫ 2 sin x cos2 x dx = –2 3

0

13 cos x

π⎡ ⎤⎣ ⎦

= –2(13 (–1)3 –

13 (1)3)

= –2(–13 –

13 )

= –2(–23 )

= 43

15. Jawaban: c∫ x(x – 4)6 dx = ∫ u dvMisalkan: u = x ⇔ du = dx

dv = (x – 4)6 dx ⇔ v = 17 (x – 4)7 + c


= x × 17 (x – 4)7 – ∫ 1

7 (x – 4)7 dx

= 17 x(x – 4)7 –

156 (x – 4)8 + c

16. Jawaban: a∫ 6x dx = ∫ u dvMisalkan: u = 6x ⇔ du = 6 dx

dv = x 1− dx ⇔ v = 23

32(x 1)− + c


= 6x × 23

32(x 1)− – ∫ 2

3

32(x 1)− (6 dx)

= 4x32(x 1)− –

23 × 6 ×

25

52(x 1)− + c

= 4x32(x 1)− –

85

52(x 1)− + c

= 4x(x – 1) x 1− – 85 (x – 1)2 x 1− + c

= (4x – 85 (x – 1))(x – 1) x 1− + c

= (125 x +

85 )(x + 1) x 1− + c

17. Jawaban: b∫ u dv = uv – ∫ v du

= 12x × 212(x 4)− – ∫ 2

12(x 4)− (12 dx)

= 24x12(x 4)− – 24 ×

23

32(x 4)− + c

= 24x x 4− – 16(x – 4) x 4− + c

= (24x – 16(x – 4)) x 4− + c

= (24x – 16x + 64) x 4− + c

= (8x + 64) x 4− + c

18. Jawaban: d

∫ (x + 5) 4 3x− dx = ∫ u dvMisalkan: u = x + 5 ⇔ du = dx

dv = 4 3x− dx

⇔ v = 23

32(4 3x)− ×

13− + c = –

29

32(4 3x)−


⎯⎯⎯⎯⎯→+

⎯⎯⎯⎯⎯→–

⎯⎯⎯⎯⎯→+

⎯⎯⎯⎯⎯→–


= (x + 5)(–29

32(4 3x)− ) – ∫ 2

3

32(4 3x)− dv

= –29 (x + 5)

32(4 3x)− –

23 ×

25

52(4 3x)−

× 13− + c

= –29

32(4 3x)− (x + 5) –

445

52(4 3x)− + c

= –2

45

32(4 3x)− {(5(x + 5) + 2(4 – 3x)} + c

= –2

45

32(4 3x)− (33 – x) + c

19. Jawaban: a∫ (6x + 9) cos 3x dx = u dvMisalkan u = 6x + 9 ⇔ du = 6 dx

dv = cos 3x dx ⇔ v = 13 sin 3x + c


= (6x + 9)(13 sin 3x) – ∫ 1

3 sin 3x (6 dx)

= (2x + 3) sin 3x + 2 × 13 × cos 3x + c

= (2x + 3) sin 3x + 23 cos 3x + c

20. Jawaban: c∫ sin2 x cos3 x dx= ∫ sin2 x cos2 x cos x dx= ∫ sin2 x (1 – sin2 x) cos x dx= ∫ sin2 x cos x dx – ∫ sin4 x cos x dx= ∫ sin2 x d(sin x) – ∫ sin4 x d(sin x)

= 13 sin3 x –

15 sin5 x + c

21. Jawaban: bMenggunakan aturan Tanzalin.

∫ x 4x 1+ dx

= x × 16 (4x + 1)

32 –

160 (4x + 1)

52 + c

= 1

60 (4x + 1)32 (10x – (4x + 1)) + c

= 1

60 (4x + 1)32 (10x – 4x – 1) + c

= 1

60 (6x – 1)(4x + 1)32 + c

22. Jawaban: cMisalkan:u = 4x ⇔ du = 4 dxdv = (x – 2)3 dx⇔ v = ∫ (x – 2)3 dx

= 14 (x – 2)4

∫ u dv = u v – ∫ v du∫ 4x(x – 2)3 dx

= (4x) × 14 (x – 2)4 – ∫ 1

4 (x – 2)4(4 dx)

= x(x – 2)4 – ∫ (x – 2)4 d(x – 2)

= x(x – 2)4 – 15 (x – 2)5 + c

= 15 (x – 2)4(5x – (x – 2)) + c

= 15 (4x + 2)(x – 2)4 + c

23. Jawaban: aMenggunakan aturan Tanzalin.Fungsi diuraikan menjadi 2 bagian yaitu f(x) = 6x3

dan g(x) = (x + 1)5.


6x3 (x + 1)5

18x216 (x + 1)6

36x 142 (x + 1)7

36 1336 (x + 1)8

0 13.024

(x + 1)9

0

1−∫ 6x3(x + 1)5 dx

= 3 6 2 71 16 42

6x (x 1) 18x (x 1) 36x⎡ × + − × + +⎣

+ 0

8 9

1

1 1336 3.024

(x 1) 36 (x 1)−⎤+ − × +⎦

= 0

3 6 2 7 8 9

1

3 3 17 28 84

x (x 1) x (x 1) x(x 1) (x 1)−

⎡ ⎤+ − + + + − +⎣ ⎦

= (03 × 16 – 37 × 02 × 17 +

328 × 0 × 18 –

184 × 19)

– ((–1)3 × 06 – 37 × (–1)2 × 07 +

328 × 08 –

184 × 09)

Turunan

x

1

0

Integral

4x 1+

16

32(4x 1)+

160

52(4x 1)+

------------------------------------------------


= (0 – 0 + 0 – 83 ) – (0 – 0 + 0 + 0)

= –1

84

24. Jawaban: c∫ (x2 + 1) cos x dxMisalkan: u = x2 + 1 ⇔ du = 2x dx

dv = cos x dx ⇔ v = ∫ cos x dx = sin x∫ u dv = uv – ∫ v du∫ (x2 + 1) cos x dx = (x2 + 1) sin x – ∫ sin x (2x dx)Menentukan hasil ∫ 2x sin x dxu1 = 2x ⇔ du1 = 2 dx

dv1 = sin x dx⇔ v1 = ∫ sin x dx = –cos x

∫ 2x sin x dx = ∫ u1 dv1

= u1v1 – ∫ v1 du1

= 2x(–cos x) – ∫ (–cos x) 2 dx= –2x cos x + 2 sin x + c

Sehingga:∫ (x2 + 1) cos x dx= (x2 + 1) sin x + ∫ 2x sin x dx= x2 sin x + sin x + 2x cos x – 2 sin x + c= (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c

0

π

∫ (x2 + 1) cos x dx

= 2

0(x 1)sin 2x cos x

π⎡ ⎤− π +⎣ ⎦

= (π2 – 1) sin π + 2π cos π – ((02 – 1) sin 0+ 2 × 0 cos 0)

= (0 – 2π) – (0 + 0)= –2π

25. Jawaban: dMenggunakan aturan Tanzalin.

∫ x2 sin 2x dx

= ∫ – 12 x2 cos 2x +

12 x sin 2x +

14 cos 2x + c

2

4

π

π∫ x2 sin 2x

= 2

4

1 1 122 2 4

x cos2x x sin2x cos2xπ

π⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

= (–12 ( 2

π)2 cos π +

12 × 2

π sin π +

14 cos π)

– (–12 ( 4

π)2 cos 2

π +

12 × 4

π sin 2

π +

14 cos 2

π)

= –2

8π (–1) + 4

π × 0 +

14 × (–1) +

2

8π × 0

– 8π

× 1 –14 × 0

= 2

8π –

14 – 8

π

= 18 (π2 – π – 2)

B. Uraian

1. a. ∫ (sin 2x – 5 cos x) dx

= –12 cos 2x – 5 sin x + c

b. ∫ 4 sec2 (13 π – 2x) dx

= 4 ∫ sec2 ((–2)x + 13 π) dx

= 4 × 12− tan ((–2)x +

13 π) + c

= –2 tan (13 π – 2x) + c

c. ∫ 2 cosec 2x cotan 2x dx

= 2 × (–12 cosec 2x) + c

= –cosec 2x + c

2. a.3

0

π

∫ 4 sin (2x – 2π

) dx

= 4 3

0

1

2 2cos (2x )

ππ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦

= –2(cos (23π

– 2π

) – cos (0 – 2π

))

= –2(cos 6π

– cos (– 2π

))

= –2(12

3 – 0)

= – 3

Bagian Diturunkan

x2

2x

2

0

Bagian Diintegralkan

sin 32 x

– 12 cos 2x

– 14 sin 2x

18 cos 2x

------------------------

------------------------

------------------------


b.4

2

π

π−∫ (2 sin x + 6 cos x) dx

= [ ]4

3

2cos x 6sinxπ

π−− +

= –2 cos 4π

+ 6 sin 4π

– (–2 cos (– 2π

) + 6 sin (– 2π

))

= –2 (12

2 ) + 6(12

2 ) – (0 – 6)

= – 2 + 3 2 + 6

= 6 + 2 2

3. ∫ 2

4x

2 x− dx

Misalkan: u = 2 – x2 ⇔ du = –2x dx⇔ –2 du = 4x dx

∫ 2

4x

2 x− dx = ∫ 1

2

1

u × (–2) du

= –2 ∫ 12u

− du

= –2 × 12

112u + c

= –412u + c

= –4 u + c

= –4 22 x− + c

4. a. Misalkan:u = x ⇔ du = dxdv = cos x dx⇔ v = ∫ cos x dx = sin x

∫ x cos x dx= ∫ u dv= uv – ∫ v du= x sin x – ∫ sin x dx = x sin x + cos x + c

b. Misalkan:u = 3 – 2x ⇔ du = –2 dxdv = sin x dx⇔ v = ∫ sin x dx = –cos x∫ (3 – 2x) sin x dx= ∫ u dv= uv – ∫ v du= (3 – 2x)(–cos x) – ∫ (–cos x)(–2 dx)= –(3 – 2x) cos x – 2 ∫ cos x dx= (2x – 3) cos x – 2 sin x + c

5.b

a∫ cos x dx = c

⇔b

asin x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= c

⇔ sin b – sin a = cb

a∫ sin 2x dx

= b

a

12

cos 2x⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

−

= b

2

a

12

(1 2 sin x)⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

− −

= b

2

a

12

sin x⎤⎡⎥⎢⎣ ⎦

− +

= (–12 + sin2 b) – (–

12 + sin2 a)

= sin2 b – sin2 a= (sin b – sin a)(sin b + sin a)= c (sin b + sin a) = c (sin a + sin b)

Dapat ditunjukkan bahwa b

a∫ sin 2x dx = c(sin a +

sin b).

6. Misalkan: u = x ⇔ du = dxdv = cos (3x + 1) dx

v = ∫ cos (3x + 1) dx = 13 sin (3x + 1)

∫ x cos (3x + 1) dx

= x × 13 sin (3x + 1) – ∫ 1

3 sin (3x + 1) dx

= x3 sin (3x + 1) –

13 ∫ sin (3x + 1) dx

= x3 sin (3x + 1) +

19 cos (3x + 1) + c

7. Misalkan: u = sin3 xdu = 3 sin2 x cos x dx

⇔ sin2 x cos x dx = 13 du

∫ x sin2 x cos x dx

= ∫ x 13 d(sin3 x)

= x3 sin3 x –

13 ∫ sin3 x dx

= x3 sin3 x –

13 ∫ (1 – cos2 x) sin x dx

= x3 sin3 x +

13 ∫ (1 – cos2 x)d(cos x)

= x3 sin2 x +

13 (cos x –

13 cos3 x) + c

= x3 sin2 x +

13 cos x –

19 cos3 x + c


⎯⎯⎯⎯⎯→+

⎯⎯⎯⎯⎯→–

⎯⎯⎯⎯⎯→+

⎯⎯⎯⎯⎯→+

⎯⎯⎯⎯⎯→–

⎯⎯⎯⎯⎯→+

⎯⎯⎯⎯⎯→+

⎯⎯⎯⎯⎯→–

⎯⎯⎯⎯⎯→+

⎯⎯⎯⎯⎯→–

8. a. Menentukan 2

1∫ 2x2(4 – 2x)4 dx menggunakan

aturan Tanzalin.Misalkan f(x) = 2x2 dan g(x) = (4 – 2x)4


2x2 (x – 2x)4

4x –1

10 (4 – 2x)5

41

120 (4 – 2x)6

0 –1

1.680 (4 – 2x)7

∫ 2x2(4 – 2x)4 dx

= 2x2(–1

10 (4 – 2x)5) – 4x(1

120 (4 – 2x)6)

+ 4(–1

1.680 (4 – 2x)7)

= –15 x2(4 – 2x)5 –

130 x(4 – 2x)6 –

1420 (4 – 2x)7

2

1∫ 2x2(4 – 2x)4 dx

= 2

2 5 6 7x

1

1 1 15 30 420

x (4 2x) (4 2x) (4 2x)⎡ ⎤− − − − − −⎣ ⎦

= (–15 × 22 × 05 –

130 × 2 × 06 –

1420 × 07)

– (–15 × 12 × 25 –

130 × 1 × 26 –

1420 × 27)

= (0 – 0 – 0) – (–325 –

6430 –

128420 )

= 0 – (–928105 )

= 928105

b. Menentukan

13

0∫ (x – 1)2(3x – 1)3 dx meng-

gunakan aturan Tanzalin.Misalkan f(x) = (x – 1)2 dan g(x) = (3x – 1)3


(x – 1)2 (3x – 1)3

2(x – 1)1

12 (3x – 1)4

21

180 (3x – 1)5

0 –1

3.240 (3x – 1)6

13

0∫ (x – 1)2(3x – 1)3 dx

= 1

32 4 5 6

0

1 1 112 180 3.240

(x 1) (3x 1) 2(x 1) (3x 1) 2 (3x 1)⎡ ⎤− × − − − × − + × −⎣ ⎦

= 1

32 4 5 6

0

1 1 112 90 1.620

(x 1) (3x 1) (x 1)(3x 1) (3x 1)⎡ ⎤− − − − − + −⎣ ⎦

= (1

12 × (–23 )2 × 04 –

190 (–

23 ) × 05 +

11.620 × 06)

– (1

12 × (–1)2 × (–1)4 – 1

90 (–1) × (–1)5

+ 1

1.620 (–1)6)

= (0 – 0 + 0) – (1

12 + 1

90 – 1

1.620 )

= –1

12 + 1

90 – 1

1.620

= –59810

9.2

1∫ 24x3(2 – x)5 dx

Misalkan f(x) = 24x3 dan g(x) = (2 – x)5


24x3 (2 – x)5

72x2 –16 (2 – x)6

144x1

42 (2 – x)7

144 –1

336 (2 – x)8

01

3.024 (2 – x)9

∫ 24x2(2 – x)5 dx

= 24x3(–16 (2 – x)6) – 72x2(

142 (2 – x)7)

+ 144x(–1

336 (2 – x)8) – 144(1

3.024 (2 – x)9)

= –4x3(2 – x)6 – 127 x2(2 – x)7 –

37 (2 – x)8

– 121 (2 – x)9

2

1∫ 24x3(2 – x)5 dx

= 2

3 6 2 7 8 9

1

12 3 17 7 21

4x (2 x) x (2 x) (2 x) (2 x)⎡ ⎤− − − − − − − −⎣ ⎦


= (–4 × 23 × 06 –127 × 22 × 07 –

37 × 2 × 08 –

121 × 09)

– (–4 × 13 × 16 –127 × 12 × 17 –

37 × 1 × 18 –

121 × 19)

= 0 – (–4 –127 –

37 –

121 )

= 0 – (–13021 )

= 13021

10. a. Misalkan:u = 4x ⇔ du = 4 dx

dv = 14 x−

dx = (4 – 12x)− dx

⇔ v = ∫ (4 – 12x)− dx

= – ∫ (4 – 12x)− (–1) dx

= – ∫ (4 – 12x)− d(4 – x)

= –2(4 – 12x)


∫ 4x4 x−

dx

= 4x(–2(4 – 12x) ) – ∫ (–2(4 –

12x) ) 4dx

= –8x(4 – 12x) – 8 ∫ (4 –

12x) (–1) dx

= –8x(4 – 12x) – 8 ∫ (4 –

12x) d(4 – x)

= –8x(4 – 12x) – 8 ×

23 (4 –

32x) + c

= –8x 4 x− – 163

3(4 x)− + c

Jadi, ∫ f(x) dx = –8x 4 x− – 163

3(4 x)− + c.

b.3

0∫ f(x) dx = –8x 4 x− –

163

33

0(4 x) ⎤− ⎦

= (–24 – 163 ) – (0 –

1283 )

= –883 +

1283

= 403


Pilihan Ganda

1. Jawaban: aa. x2 – 3 > 6

⇔ x2 – 9 > 0⇔ (x – 3)(x + 3) > 0Pembuat nol:

(x – 3)(x + 3) = 0⇔ x – 3 = 0 atau x + 3 = 0⇔ x = 3 atau x = –3Penyelesaian dalam bentuk diagram:

b. x2 + 2x ≤ 8⇔ x2 + 2x – 8 ≤ 0⇔ (x + 4)(x – 2) ≤ 0Pembuat nol:

(x + 4)(x – 2) = 0⇔ x + 4 = 0 atau x – 2 = 0⇔ x = –4 atau x = 2Penyelesaian dalam bentuk diagram:

Dari penyelesaian (1) dan (2) diperoleh:

Dari irisan kedua diagram di atas diperolehpenyelesaian –4 ≤ x < –3.Jadi, HP = {x | –4 ≤ x < –3, x ∈ R}.

2. Jawaban: cGaris x – y = 3 melalui titik (0, –3) dan (–3, 0).Daerah penyelesaian x – y < 3 di kiri garis putus-putus x – y = 3.Parabola y = –x2 + 2x + 8 memiliki nilai a = –1.Oleh karena a = –1 < 0 maka grafik parabolaterbuka ke bawah.

Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan y ≤ –x2 + 2x + 8diperoleh:0 ≤ –02 + 2 × 0 + 8 ⇔ 0 ≤ 8Oleh karena 0 ≤ 8 bernilai benar maka daerahpenyelesaian dibatasi parabola y = –x2 + 2x + 8dan memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian yangsesuai adalah pilihan c.

3. Jawaban: bDiketahui persamaan x + y = –2 dan y = 2x2 – x – 4.Substitusikan y = 2x2 – x – 4 ke dalam persamaanx + y = 2.

x + y = –2⇔ x + 2x2 – x – 4 = –2⇔ 2x2 – 2 = 0⇔ x2 – 1 = 0⇔ (x – 1)(x + 1) = 0⇔ x – 1 = 0 atau x + 1 = 0⇔ x = 1 atau x = –1Substitusikan x = 1 dan x = –1 ke dalam persamaanx + y = –2.Untuk x = 1 diperoleh:1 + y = –2 ⇔ y = –3sehingga penyelesaiannya (1, –3).Untuk x = –1 diperoleh:–1 + y = –2 ⇔ y = –1sehingga penyelesaiannya (–1, –1).Jadi, HP = {(–1, –1), (1, –3)}.

4. Jawaban: cDiketahui persamaan y = –x2 + kx – 5 dany = x2 + 2x – 3.Substitusikan y = –x2 + kx – 5 ke dalampersamaan y = x2 + 2x – 3.

y = x2 + 2x – 3⇔ –x2 + kx – 5 = x2 + 2x – 3⇔ 2x2 + (2 – k)x + 2 = 0Sistem persamaan memiliki satu penyelesaian jikaD = 0.Persamaan kuadrat 2x2 + (2 – k)x + 2 = 0 memilikinilai a = 2, b = 2 – k dan c = 2.

D = b2 – 4ac = 0⇔ (2 – k)2 – 4 × 2 × 2 = 0⇔ 4 – 4k + k2 – 16 = 0⇔ k2 – 4k – 12 = 0⇔ (k – 6)(k + 2) = 0⇔ k – 6 = 0 atau k + 2 = 0⇔ k = 6 atau k = –2Jadi, nilai k adalah –2 atau 6.

–3 3

–4 –3 2

(1)

(2)

–4 2

+ – +. . . (2)

–3 3

– – +. . . (1)

214 Latihan Ujian Nasional

5. Jawaban: eGrafik fungsi melalui titik (0, 2), (1, 3), dan (2, 5).Fungsi eksponen yang memenuhi adalah y = 2x + 1.Cek beberapa titik.f(0) = 20 + 1 = 1 + 1 = 2 (terpenuhi)f(1) = 21 + 1 = 2 + 1 = 3 (terpenuhi)f(2) = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 (terpenuhi)

6. Jawaban: c3 2x3

4

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2x 564

27

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔3 2x3

4

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3(2x 5)4

3

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔3 2x3

4

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3(2x 5)3

4

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ 3 – 2x = –3(2x – 5)⇔ 3 – 2x = –6x + 15⇔ 4x = 12⇔ x = 3Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3.

7. Jawaban: d2 log (2x – 4) ≤ log (x – 1) + log (x + 4)

⇔ log (2x – 4)2 ≤ log (x – 1)(x + 4)⇔ (2x – 4)2 ≤ (x – 1)(x + 4)⇔ 4x2 – 16x + 16 ≤ x2 + 3x – 4⇔ 3x2 – 19x + 20 ≤ 0⇔ (3x – 4)(x – 5) ≤ 0

⇔ 43 ≤ x ≤ 5 . . . (1)

Syarat numerus:a. 2x – 4 > 0 ⇔ x > 2 . . . (2)b. x – 1 > 0 ⇔ x > 1 . . . (3)c. x + 4 > 0 ⇔ x > –4 . . . (4)Dari syarat (1), (2), (3), dan (4) diperoleh:

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 2 < x ≤ 5.

8. Jawaban: dx3 + 5x2 – 4x ≤ 20

⇔ x3 + 5x2 – 4x – 20 ≤ 0⇔ (x + 5)(x2 – 4) ≤ 0⇔ (x + 5)(x + 2)(x – 2) ≤ 0

Pembuat nol:(x + 5)(x + 2)(x – 2) = 0

⇔ x + 5 = 0 atau x + 2 = 0 atau x – 2 = 0⇔ x = –5 atau x = –2 atau x= 2Penyelesaian dalam bentuk diagram:

Dari diagram di atas diperoleh penyelesaianx ≤ –5 atau –2 ≤ x ≤ 2.Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x ≤ –5 atau–2 ≤ x ≤ 2.

9. Jawaban: bx 2x 3+− ≤ –

2x 3+

⇔x 2x 3+− +

2x 3+ ≤ 0

⇔(x 2)(x 3) 2(x 3)

(x 3)(x 3)+ + + −

− + ≤ 0

⇔2x 5x 6 2x 6

(x 3)(x 3)+ + + −

− + ≤ 0

⇔2x 7x

(x 3)(x 3)+

− + ≤ 0

⇔x(x 7)

(x 3)(x 3)+

− + ≤ 0

Pembuat nol pembilang:x(x + 7) = 0

⇔ x = 0 atau x + 7 = 0⇔ x = 3 atau x = –3Pembuat nol penyebut:

(x – 3)(x + 3) = 0⇔ (x – 3) = 0 atau x + 3 = 0⇔ x = 3 atau x = –3Penyelesaian dalam bentuk diagram:

Dari diagram diperoleh penyelesaian –7 ≤ x < –3atau 0 ≤ x < 3.Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –7 ≤ x ≤ –3atau 0 ≤ x < 3.

10. Jawaban: c|3x – 2| < x + 1

⇔ –(x + 1) < 3x – 2 dan 3x – 2 < x + 1⇔ –x – 1 < 3x – 2 dan 2x < 3⇔ 4x > 1 dan 2x < 3

⇔ x > 14 dan x < 1

12

⇔ 14 < x < 1

12

Jadi, HP = {x | 14 < x < 1

12 }.

43

2

1

–4

5

–5 –2 2

– + – +

–5 –2 2

– + – +


11. Jawaban: dTitik C(1, 2) merupakan titik tengah segmen garis

AB, maka xc = A Bx x2+

dan yc = A By y2+

.

xc = A Bx x2+

⇔ 1 = x 4

2+

⇔ 2 = x + 4⇔ x = –2

yc = A By y2+

⇔ 2 = y 0

2+

⇔ y = 4Jadi, koordinat titik A adalah (–2, 4).

12. Jawaban: e

CD = garis tinggiAD = pMenurut dalil proyeksi berlaku:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB × p⇔ 102 = 122 + 82 – 2 × 12 × p⇔ 100 = 144 + 64 – 24p⇔ 24p = 108⇔ p = 4,5 cmΔADC siku-siku di D, maka berlaku dalilPythagoras:

CD2 = AC2 – AD2

⇔ CD2 = 82 – p2

⇔ CD2 = 64 + (4,5)2

⇔ CD2 = 64 – 20,25⇔ CD2 = 43,75

⇔ CD2 = 175

4

⇔ CD2 = 1754

⇔ CD2 = 254

7×

⇔ CD2 = 52 7

Luas ΔABC = 12 × AB × CD

= 12 × 12 ×

52 7

= 3 × 5 7 = 15 7

Jadi, luas segitiga adalah 15 7 cm2.

13. Jawaban: asin 65° – sin 55° = m

⇔ 2 cos (65 55

2° + °

) sin (65 55

2° − °

) = m

⇔ 2 cos 60° sin 5° = m

⇔ 2 × 12 × sin 5° = m

⇔ sin 5° = mcos 10° = 1 – 2 sin2 5°

= 1 – 2m2

14. Jawaban: ef(x) = x4 – 2x3 + ax2 + 7x – 1f(x) dibagi x – 2 sisanya 17, berarti f(2) = 17.f(2) = 17⇔ 24 – 2 × 23 + a × 22 + 7 × 2 – 1 = 17⇔ 16 – 16 + 4a + 14 – 1 = 17⇔ 4a = 4⇔ a = 1Diperoleh: f(x) = x4 – 2x3 + x2 + 7x – 1f(–1) = (–1)4 – 2 × (–1)3 + (–1)2 + 7 × (–1) – 1

= 1 + 2 + 1 – 7 – 1 = –4Jadi, f(x) dibagi (x + 1) sisanya –4.

15. Jawaban: cPersamaan parabola x2 – 14x – 8y + 41 = 0 memilikivariabel x2, maka grafik parabola tegak sehinggapersamaan direktriksnya sejajar sumbu X.Titik fokus dan persamaan direktriks paraboladapat dicari dengan cara manipulasi aljabar berikut.x2 – 14x – 8y + 41 = 0⇔ x2 – 14x = 8y – 41⇔ x2 – 14x + 49 = 8y – 41 + 49⇔ (x – 7)2 = 8y + 8⇔ (x – 7)2 = 8(y + 1)Persamaan parabola (x – 7)2 = 8(y + 1) memilikititik puncak P(7, –1) dan 4p = 8 ⇔ p = 2.Titik fokus parabola adalah F(7, –1 + p) =F(7, –1 + 2) = F(7, 1).Persamaan direkstriks adalah y = –1 – p = –1 – 2= –3.Jadi, titik fokus parabola adalah F(7, 1) danpersamaan direktriksnya y = –3.

16. Jawaban: dEllips berpusat di titik O(0, 0).Fokus ellips adalah F(0, –2) berada pada sumbu Y,

maka persamaan ellips berbentuk 2

2xb

+ 2

2ya

= 1.

F(0, –2) maka c = 2.Panjang sumbu mayor = 8 maka:2a = 8 ⇔ a = 4.b2 = a2 – c2

= 42 – 22

= 16 – 4 = 12

Jadi, persamaan ellips adalah 2x

12 +

2y16

= 1.

8 cm

12 cm

10 cm

A Bp D


17. Jawaban: cPersamaan parabola dapat dituliskan dalam bentuk

umum 2

2(x h)

a− –

2

2(y k)

b− = 1 dengan cara sebagai

berikut.3x2 – y2 – 24x + 45 = 0

⇔ 3x2 – 24x – y2 = –45⇔ 3(x2 – 8x) – y2 = –45

⇔ (x2 – 8x) – 2y

3= –15

⇔ (x2 – 8x + 16) – 2y

3= –15 + 16

⇔ (x – 4)2 – 2y

3= 1

⇔2

2(x 4)

1− –

2

2y

( 3) =1

Dari persamaan hiperbola di atas diperoleh:titik puncak P(4, 0).a2 = 12 ⇔ a = 1

b2 = ( 3 )2 ⇔ b = 3Persamaan asymtot hiperbola:

(y – 0) = ± ba (x – 4)

⇔ y = ± 31

(x – 4)

⇔ y = ± 3 (x – 4)Jadi, persamaan asymtot hiperbola adalah

y = ± 3 (x – 4).

18. Jawaban: dKedudukan dua lingkaran tersebut dapat diketahuidengan cara membandingkan antara jarak keduapusat lingkaran dan selisih atau jumlah kedua jari-jari lingkaran.Titik pusat dan jari-jari kedua lingkaran dapat dicaridengan cara membentuk persamaan lingkaranmenjadi (x – a)2 + (y – b)2 = r2.Persamaan lingkaran ini memiliki titik pusatP(a, b) dan jari-jari r.Persamaan lingkaran L1:

x2 + y2 – 8x – 4y + 16 = 0⇔ (x2 – 8x) + (y2 – 4y) = –16⇔ (x2 – 8x + 16) + (y2 – 4y + 4) = –16 + 16 + 4⇔ (x – 4)2 + (y – 2)2 = 4⇔ (x – 4)2 + (y – 2) = 22

Dengan demikian, lingkaran L1 memiliki titik pusatP(4, 2) dan jari-jari r1 = 2.

Persamaan lingkaran L2:

x2 + y2 – 14x – 4y + 52 = 0⇔ (x2 – 14x) + (y2 – 4y) = –52⇔ (x2 – 8x + 49) + (y2 – 4y + 4) = –52 + 49 + 4⇔ (x – 7)2 + (y – 2)2 = 1⇔ (x – 7)2 + (y – 2) = 12

Dengan demikian, lingkaran L2 memiliki titik pusatP2(7, 2) dan jari-jari r2 = 1.Jarak kedua pusat lingkaran:

|P1P2| = 1 2 1 2

2 2P P P P(x x ) (y y )− + −

= 2 2(4 7) (2 2)− + −

= 2 2( 3) 0− +

= 9= 3

r1 + r2 = 2 + 1 = 3Oleh karena |P1P2| = r1 + r2 maka kedua lingkaranbersinggungan di luar.

19. Jawaban: bPersamaan lingkaran yang berbentuk x2 + y2 – Ax

– By + C = 0 memiliki titik pusat P(–12 A, –

12 B)

dan jari-jari r = 1 12 22 2

( A) ( B) C− + − − .

Dengan demikian, diperoleh:Titik pusat lingkaran L1

P1 (–12 × (–6), –

12 × 2) = P1(3, –1)

Jari-jari lingkaran L1:

r1 = 2 23 ( 1) 6+ − −

= 9 1 6+ −

= 4= 2

Titik pusat lingkaran L2:

P2(–12 × (–10), –

12 × 2) = P2(5, –1)

Jari-jari lingkaran L2:

r2 = 2 25 ( 1) 22+ − −

= 25 1 22+ −

= 4= 2


Sketsa kedudukan kedua lingkaran sebagaiberikut.

Persamaan lingkaran yang akan dicari memiliki titikpusat P3(4, –1) dan jari-jari r3 = |AP3|.r3 = |AP3|

= 2 21 1 3(AP ) (P P )−

= 2 22 1−

= 4 1−

= 3Persamaan lingkaran yang berpusat di P3(4, –1)

dan berjari-jari r3 = 3 sebagai berikut.(x – xP3

)2 + (y – yP3)2 = r3

2

⇔ (x – 4)2 + (y + 1)2 = ( 3 )2

⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = 3⇔ x2 + y2 – 8x + 2y + 17 – 3 = 0⇔ x2 – y2 – 8x + 2y + 14 = 0Jadi, persamaan lingkaran adalah pilihan b.

20. Jawaban: aPenyelesaian sistem persamaan dicari mengguna-kan determinan matriks.Dari SPLT diperoleh matriks koefisien

1 2 00 3 12 1 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

D =

1 2 0 1 20 3 1 0 32 1 1 2 1

− −

−

= 1 × 3 × (–1) + (–2) × 1 × 2 + 0 × 0 × 1 – 0 × 3 × 2 – 1 × 1 × 1 – (–2) × 0 × (–1)= –3 – 4 + 0 – 0 – 1 – 0= –8

Dx =

0 2 0 0 21 3 1 1 37 1 1 7 1

− −

−

= 0 × 3 × (–1) × (–2) × 1× 7 + 0 × 0 × 1 – 0 × 3 × 7 – 0 × 1 × 1 – (–2) × 1 × (–1)= 0 – 14 + 0 – 0 – 0 – 2= –16

Dy =

1 0 0 1 00 1 1 0 12 7 1 2 7−

= 1 × 1 × (–1) + 0 × 1× 2 + 0 × 0 × 7 – 0 × 1 × 2 – 1 × 1 × 7 + 0 × 0 × (–1)= –1 + 0 + 0 – 0 – 7 – 0= –8

Dz =

1 2 0 1 20 3 1 0 32 1 7 2 1

− −

= 1 × 3 × 7 + (–2) × 1 × 2 + 0 × 0 × 1 – 0 × 3 × 2 – 1 × 1 × 1 – (–2) × 0 × 7= 21 – 4 + 0 – 0 – 1 – 0= 16


x = xDD =

168

−− = 2

y = yD

D =

88

−− = 1

z = zDD =

168− = –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{(2, 1, –2)}.

21. Jawaban: dMisalkan bayangan titik A(–8, 3) setelah

ditransformasikan oleh matriks M = 4 2

0 1−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah A′(x′, y′), maka:

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 4 2

0 1−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4 2

0 1−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

83−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4 ( 8) + 2 30 ( 8) + 1 3− × − ×⎛ ⎞⎜ ⎟× − ×⎝ ⎠

= 32 + 60 + 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 383

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Jadi, bayangan titik A adalah A′(38, 3).

Y

X

B

A

P1

2

1

–1

–2

–3

–4–5

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8P2P3

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +

– – – + + +


22. Jawaban: eMisalkan titik(x, y) pada garis x – 2y = 2 danbayangan titik (x, y) setelah ditransformasi

olrhmatriks M = 3 22 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

adalah (x′, y′), maka:

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

= 3 22 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 13 2

2 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= –11 22 3

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 2

2 3−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

⇔xy⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= x + 2y

2x 3y

′ ′−⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′−⎝ ⎠

Dari kesamaan matriks diperoleh:x = –x′ + 2y′ dan y = 2x′ – 3y′Substitusikan x dan y ke dalam persamaan garisx – 2y = 2.

x – 2y = 2⇔ –x′ + 2y′ – 2(2x′ – 3y′) = 2⇔ x′ + 2y′ – 4x′ + 6y′ = 2⇔ –5x′ + 8y′ = 2Jadi, persamaan bayangan garis adalah –5x + 8y= 2.

23. Jawaban: da = 2 i + 3 j + kb = i + 2 j + 3 kDiperoleh:

a + b = (2 i + 3 j + k) + ( i + 2 j + 3 k)

= 3 i + 5 j + 4k a – b = (2 i + 3 j + k) – ( i + 2 j + 3 k)

= i + j – 2 kMisalkan α merupakan besar sudut antara vektor( a – b ) dan vektor ( a + b ) sehingga:

cos α = (a + b) (a b)| a + b | | a b |

⋅ −−

= 2 2 2 2 2 2

3 1+ 5 1+ 4 2)

3 + 5 + 4 1 + 1 + ( 2)

× × × −

−

(

= 2 2 2 2 2 2

3 + 5 8

3 + 5 + 4 1 + 1 + ( 2)

−

−

= 0

Oleh karena cos α = 0 maka α = 2π

.

Jadi, besar sudutnya adalah 2π

.

24. Jawaban: bVektor p tegak lurus dengan q sehingga:

p · q = 0⇔ a × 4 + 2 × 2 + 4 × 2 = 0⇔ 4a + 4 + 8 = 0⇔ 4a + 12 = 0⇔ a = –3Diperoleh p = − + +3i 2j 4k .

Misalkan a merupakan vektor proyeksi p pada

r , maka:

a = ⋅2

p r| r |

r

= 2 2 2 2

3 4 2 2 4 6

( 4 2 6 )

− × + × + ×

+ ++ +(4i 2j 6k)

= 2

12 4 24( 16 4 36)− + +

+ ++ +(4i 2j 6k)

= 1656 + +(4i 2j 6k)

= 27 + +(4i 2j 6k)

= 87 i +

47

j + 127 k

Jadi, vektor proyeksi p pada r adalah 87 i +

47

j

+ 127 k .

25. Jawaban: cDiketahui:M = 5.000.000i = 2% = 0,02 per bulann = 1 tahun = 12 bulanJumlah uang yang harus dikembalikan = M12.M12 = M(1 + i)12

= 5.000.000 (1 + 0,02)12

= 5.000.000 × (1,02)12

= 5.000.000 × 1,2682= 6.341.000

Jadi, jumlah uang yang harus dikembalikan BuDewi setelah 1 tahun adalah Rp6.341.000,00.

26. Jawaban: aDiketahui:Banyak percobaan n = 10 kali.Kejadian yang diharapkan = muncul mata dadu 2sebanyak 5 kali, maka x = 5.

Peluang muncul mata dadu 2 = 16 .

Peluang tidak muncul mata dadu 2 = 1 – 16 =

56 .

Peluang muncul mata dadu 2 sebanyak 5 kali= P(X = 5)

= P(5; 10; 16 )


= 10C5 × (16 )5 × (

56 )10 – 5

= 0,0130Jadi, peluang muncul mata dadu 2 sebanyak 5kali adalah 0,0130.

27. Jawaban: b

A(x, y) =⎯⎯⎯⎯→y xM A′(y, x)

A(–4, 8) =⎯⎯⎯⎯→y xM A′(8, –4)

xy

′⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

°⎯⎯⎯⎯⎯⎯→R[P(4, 3), 90 ] xy

′′⎛ ⎞⎜ ⎟′′⎝ ⎠

xy

′′⎡ ⎤⎢ ⎥′′⎣ ⎦

= cos 90° sin 90°sin 90° cos 90°

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

x 4y 3

′ −⎛ ⎞⎜ ⎟′ −⎝ ⎠

+ 43⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0 11 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

8 44 3−⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠ +

43⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0 11 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

47

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

+ 43⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 74⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 43⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 117

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Jadi, bayangan titik A adalah A′′(11, 7).

28. Jawaban: a

Jarak titik H ke garis DP adalah HQ.EFGH berupa persegi dengan panjang sisi 6 cm,maka panjang diagonalnya = HF = EG = 6 2 cm.

HP = 12 HF

= 12 × 6 2

= 3 2 cmSegitiga DHP siku-siku di H, maka:

DP = 2 2DH HP+

= 2 2(6 2) (3 2)+

= 72 18+

= 90

= 3 10 cm

Segitiga DHP siku-siku di H. Luas segitiga DHP

dapat dirumuskan L = 12 × DP × HQ atau

L = 12 × DH × HP. Dari kedua rumus luas segitiga

DHP tersebut diperoleh:12 × DP × HQ =

12 × DH × HP

⇔ 12 × 3 10 × HQ =

12 × 6 2 × 3 2

⇔ HQ = 6 2 × 3 2

3 10

= 1210 ×

1010

= 1210 10

= 65 10 cm

Jadi, jarak titik H ke garis DP adalah 65 10 cm.

29. Jawaban: c

Sudut antara bidang TBC dan ABC sama dengansudut antara garis TD dan AD dengan D titik tengahBC, yaitu ∠ADT = α.ΔABC siku-siku di A, maka:

BC = 2 2AB AC+

= 2 26 6+

= 36 36+

= 72

= 6 2 cm

BD = 12 BC =

12 × 6 2 = 3 2 cm

ΔABD siku-siku di D, maka:

AD = 2 2AB BD−

= 2 26 (3 2)−

= 36 18−

= 18

= 3 2 cm

A B

E

H G

CD

P

F 6 2

66

PH

Q

D

A

B

C

D

T

A D

T

α


ΔTAD siku-siku di A, maka:

TD = 2 2TA AD+

= 2 2(3 2) (3 2)+

= 18 18+

= 36= 6 cm

sin α = TATD = 3 2

6 =

12 2

Jadi, nilai sinus sudut antara bidang TBC dan ABC

adalah 12 2 .

30. Jawaban: a

α sudut lancip dan sin α = 35 , maka:

x = 2 25 3−

= 25 9−

= 16= 4

Diperoleh cos α = 45 .

β sudut lancip dan cos β = 1213 , maka:

y = 2 213 12−

= 169 64−

= 25= 5

Diperoleh sin β = 5

13 .sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

= 35 ×

1213 +

45 ×

513

= 3665 +

2065

= 5665

Jadi, nilai sin (α + β) = 5665 .

31. Jawaban: a

sin 135° sin 15°cos 135° + cos 15°

−=

135° + 15° 135° 15°2 2

135° + 15° 135° 15°2 2

2 cos sin

2 cos cos

−

−

= sin 60°cos 60°

= 12

12

3

= 3

32. Jawaban: e

1 2 3 4

0x (x + 1) dx∫ = ∫

1

0

13 × 3x2(x3 + 1)4 dx

= 13

1 3 4 3

0(x + 1) d(x + 1)∫

= 13

11 3 55 0

(x + 1)⎡ ⎤⎣ ⎦

= 1

15

13 5

0(x + 1)⎡ ⎤⎣ ⎦

= 1

15 ((13 + 1)5 – (03 + 1)5)

= 1

15 (25 – 1)

= 1

15 (32 – 1)

= 3115 = 2

115

33. Jawaban: cDaerah yang diarsir dapat dibagi menjadi dua, yaitudaerah di bawah sumbu X dan daerah di atassumbu X.Daerah I di bawah sumbu X berada pada interval–2 ≤ y ≤ 0, dibatasi kurva x2 + y2 = 4 dan sumbu Y.Daerah II di atas sumbu X berada pada interval 0≤ y ≤ 2, dibatasi kurva x2 + y2 = 4 dan(y – 1)2 – x = 1.Dari x2 + y2 = 4 diperoleh persamaan

x1 = – 24 y− .

Dari (y – 1)2 – x = 1 diperoleh persamaanx2 = (y – 1)2 – 1.Luas daerah I:

LI = –−∫0

2x1 dy

= –−∫0

2(– 24 y− ) dy

= −∫0

224 y− dy

Luas daerah II:

LII = 2

0∫ (x2 – x1) dy

= 2

0∫ [((y – 1)2 – 1) – (– 24 y− )] dy

= 2

0∫ ((y – 1)2 – 1 + 24 y− ) dy

3

x

5

α

y

12

13

β


= 2

0∫ ((y – 1)2 – 1) dy +

2

0∫ 24 y− dy

= 2

0∫ (y2 – 2y) dy +

2

0∫ 24 y− dy


= −∫0

224 y− dy +

2

0∫ (y2 – 2y) dy

+ 2

0∫ 24 y− dy

= −∫2

224 y− dy +

2

0∫ (y2 – 2y) dy

34. Jawaban: d

Volume benda putar:

V = π 2

0∫ ((2x)2 – (x2)2) dx

= π 2

0∫ (4x2 – x4) dx

= π 24 13 5

3 5 0x x⎡ ⎤−⎣ ⎦

= π 5 54 1( 0)3 5

2 2⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

× ×

= π 32 323 5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠


35. Jawaban: b∫ x2 cos 2x dx merupakan integral parsial. Hasilintegral dapat dicari dengan cara sebagai berikut.

∫ x2 cos 2x dx = x2 × 12 sin 2x – 2x × (–

14 cos 2x)

+ 2 × (–18 sin 2x) + c

= 12 x2 sin 2x +

12 x cos 2x

– 14 sin 2x + c

36. Jawaban: d

xlim→ ∞ ((2x – 1) – 24x 6x 5− − )

= xlim→ ∞ ((2x – 1) – 24x 6x 5− − ) ×

2

2

(2x 1) + 4x 6x 5

(2x 1) + 4x 6x 5

− − −

− − −

= xlim→ ∞

2 2 2

2

(2x 1) ( 4x 6x 5)

(2x 1) + 4x 6x 5

− − − −

− − −

= xlim→ ∞

2 2

2

4x 4x + 1 (4x 6x 5)

(2x 1) + 4x 6x 5

− − − −

− − −

= xlim→ ∞ 2

2x + 6

(2x 1) + 4x 6x 5− − −

= xlim→ ∞

2

6x

6 51xx x

2 +

2 + 4− − −

= 2 + 02 0 + 4 0 0− − −

= 2

2 + 2

= 12

37. Jawaban: d

x 0lim→ 2

(1 cos 4x) sin xx tan 3x

−

= x 0lim→

2

2(2 sin 2x) sin x

x tan 3x

= x 0lim→

2 sin 2x · sin 2x · sin xx · x · tan 3x ·

xx

= x 0lim→ 2 · x 0

lim→

sin 2xx ·

sin 2xx ·

sin xx ·

xtan 3x

= 2 × 21 ×

21 ×

11 ×

13 =

83

38. Jawaban: dMisalkan u = x2 dan v = sin 3x.u′ = 2xv′ = 3 cos 3xf′(x) = u′v + uv′

= 2x sin 3x + x2 × 3 cos 3x= 2x sin 3x + 3x2 cos 3x

Jadi, turunan dari f(x) = x2 sin 3x adalah f′(x) =(2x sin 3x + 3x2 cos 3x.

Y

X

4

0 2

y = 2xy = x2

Bagian yang Diturunkan Bagian yang Diintegralkan

x2

2x

2

0

cos 2x12 sin 2x

– 14 cos 2x

– 18 sin 2x

▲▲

▲

+

–

+


39. Jawaban: cf(x) = x3 – 2x2 + 3Gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 3x2 – 4x.Gradien garis singgung kurva di titik x = 2:m = f′(2) = 3 × 22 – 4 × = 12 – 8 = 4Ordinat titik singgung:y = f(2) = 23 – 2 × 22 + 3 = 8 – 8 + 3 = 3Koordinat titik singgung (2, 3).Persamaan garis singgung kurva di titikA(2, 3) dan bergradien m = 4:

y – yA = m(x – xA)⇔ y – 3 = 4(x – 2)⇔ y – 3 = 4x – 8⇔ y = 4x – 5Jadi, persamaan garis singgungnya y = 4x – 5.

40. Jawaban: dSuatu akar persamaan kuadrat f(x) = 0 terletakpada interval a < x < b jika f(a) dan f(b) berbedatanda.Misalkan f(x) = x2 – x – 4.

Dari tabel di atas diperoleh nilai f(2) = –2 danf(3) = 2. Oleh karena f(2) dan f(3) berbeda tandamaka salah satu akar x2 – x – 4 = 0 terletak padainterval 2 < x < 3.

x Nilai f(x) = x2 – x – 4

–4–3–2–1234

f(–4) = 14f(–3) = 8f(–2) = 2f(–1) = –2f(2) = –2f(3) = 2f(4) = 8

najamudin17.files.wordpress.com · matematika kelas xii 1 setelah mempelajari bab ini, peserta...

Documents