04/21/2304/21/23 11

MATEMATIKAKELAS VIII

SEMESTER SATU/GANJIL MATERI DAN LATIHANBAB II

RELASI DAN FUNGSI4 jam ( 2 kali pertemuan)

04/21/2304/21/23 22

Standar Kompetensi : memahami bentuk Standar Kompetensi : memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.lurus.

Kompetensi Dasar : mamahami relasi dan Kompetensi Dasar : mamahami relasi dan fungsi, menentukan nilai fungsi, serta fungsi, menentukan nilai fungsi, serta membuat sketsa grafik, fungsi aljabar membuat sketsa grafik, fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat cartesius.sederhana pada sistem koordinat cartesius.

04/21/2304/21/23 33

Oleh :Siti Zubaidah

04/21/2304/21/23 44

A. RELASIA. RELASI

1. Pengertian Relasi1. Pengertian Relasi Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B

adalah pemasangan anggota-anggota A adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.dengan anggota-anggota B.

Relasi dalam matematika misalnya : lebih Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya .dari , dan sebagainya .

Contoh :Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1,

2, 3 } . Jika2, 3 } . Jika himpunan A ke himpunan B dinyatakan himpunan A ke himpunan B dinyatakan

relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :

04/21/2304/21/23 55

Diagram disamping dinamakan diagram panah . Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah

“ kurang dari “

1 .2 .3 .4 .

.1 .2 .3

BAKurang dari

04/21/2304/21/23 66

2. Menyatakan RelasiRelasi antara dua himpunan dapat

dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan . a. Diagram Panah Contoh : 1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola . Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga .

04/21/2304/21/23 77

. Voli

. Basket

. Bulutangkis

. Sepakbola

Anto .

Andi .

Budi .

Badri .

BA Suka akan

04/21/2304/21/23 88

2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan 2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram diagram panah yang menyatakan relasi panah yang menyatakan relasi dari P dari P dan Q dengan hubungan : dan Q dengan hubungan : a. Setengah dari a. Setengah dari b. Faktor dari b. Faktor dari Jawab : a. Jawab : a.

1

. 2

. 4

. 6

. 8

1 .

2 .

3 .

4 .

QPSetengah dari

04/21/2304/21/23 99

b.b.

. 2

. 4

. 6

. 8

1 .

2 .

3 .

4 .

QPFaktor dari

04/21/2304/21/23 1010

b. Diagram b. Diagram CartesiusCartesiusContoh :Contoh :

Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } danDiketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan

B = { 1, 2, 3, …, 10 }.B = { 1, 2, 3, …, 10 }.

Gambarlah diagram cartesius yang Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B denganmenyatakan relasi A ke B dengan

hubungan : hubungan :

a. Satu lebihnya daria. Satu lebihnya dari

b. Akar kuadrat darib. Akar kuadrat dari

04/21/2304/21/23 1111

Jawab Jawab : : a . Satu lebihnya dari a . Satu lebihnya dari

1

1 2 3 4 5 6 7 98 100

2

34

5

6

7

8

9

10

Him

pu

nan

B

Himpunan A

04/21/2304/21/23 1212

Jawab :Jawab : b. Akar kuadrat dari b. Akar kuadrat dari

1

1 2 3 4 5 6 7 98 100

2

34

5

6

7

8

9

10

Him

pu

nan

B

Himpunan A

04/21/2304/21/23 1313

CC. Himpunan pasangan . Himpunan pasangan berurutanberurutan

Contoh :

Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan

B = { 1, 2, 3, … , 10 } .

Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan :

a. kuadrat dari

b. dua kali dari

c. Satu kurangnya dari

04/21/2304/21/23 1414

Jawab : Jawab : a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4),

(25,5) }(25,5) }

b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (10,5), (12,6), (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) }}

c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) } (7,8), (8,9), (9,10) }

04/21/2304/21/23 1515

B. B. FUNGSIFUNGSI1. Pengertian Fungsi

Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut .

Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut :

04/21/2304/21/23 1616

Contoh : Contoh :

Perhatikan diagram panah dibawah Perhatikan diagram panah dibawah ini :ini :

. 1

. 2

. 3

. 4

. 5

0 .

2 .

4 .

6 .

BA

Daerah kawan/kodomain

Daerah asal/Domain

Daerah hasil/Range

04/21/2304/21/23 1717

DDari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : ari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa :

1. 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang

memasangkan setiap anggota A dengan memasangkan setiap anggota A dengan

tepat satu anggota B.tepat satu anggota B.

2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah

asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } }

disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan

{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

04/21/2304/21/23 1818

2. Notasi Fungsi Fungsi/ pemetaan dapat

dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x

ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari

x digunakan untuk menunjukkan

bahwa y adalah fungsi dari x .

04/21/2304/21/23 1919

SSuatu fungsi juga dapat dinyatakan uatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan tiga cara yaitu dengan diagram dengan diagram panah , diagram cartesius , dan panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .himpunan pasangan berurutan .

Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B =

{ 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang

menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a

1 , i 2 , u 1 , e 4 , o 2 . b. Nyatakan pula dengan diagram

cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan .

04/21/2304/21/23 2020

Jawab :

a . Diagram panah

. 1

. 2

. 3

. 4

a .

i .

u .

e .

o .

BA

04/21/2304/21/23 2121

b. Diagram cartesiusb. Diagram cartesius

1

a i u e o0

2

34

5

6

7

8

9

10

04/21/2304/21/23 2222

{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }

c. Himpunan pasangan berurutan

04/21/2304/21/23 2323

3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab

Contoh :Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }

04/21/2304/21/23 2424

c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1}d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c }e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b}f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3}g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5}

Jawab : a. n(A) = 1 , n(B) = 1 Banyak pemetaan 11 = 1 b. n(C) = 1 , n(D) = 2 Banyak pemetaan 21 = 2

04/21/2304/21/23 2525

c. n(E) = 2 , n(F) = 1 Banyak pemetaan 12 = 1 d. n(G) = 1 , n(H) = 3 Banyak pemetaan 31 = 3 e. n(I) = 2 , n(J) = 2 Banyak pemetaan 22 = 4 f. n(K) = 5 , n(L) = 3 Banyak pemetaan 35 = 243 g. n(M) = 4 , n(N) = 5 Banyak pemetaan 54 = 625

04/21/2304/21/23 2626

f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x) . Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y . Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < x << 6, x 6, x A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !

4. Merumuskan suatu fungsi

04/21/2304/21/23 2727

a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2 f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3 f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4 f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5 f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai

x = 13

Jawab :

04/21/2304/21/23 2828

Uji Kompetensi 4

1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, }

Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka :

a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,…), (…,2), (…,…) } b. Diagram Panah BA

04/21/2304/21/23 2929

PembahasanPembahasan 1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,1), (4,2), (5,3) } b. Diagram Panah BA

.0

. 1

. 2

. 3

2 .3 .4 .5 .

Dua lebihnya dari

04/21/2304/21/23 3030

2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan diagram panah. Kemudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi ! a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) } c. { (3,4), (5,6), (7,8) } d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

04/21/2304/21/23 3131

PembahasanPembahasan

a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } bukan fungsi karena ada anggota x yang berpasangan lebih dari satu dengan anggota y . . 2

. 3

. 4

. 5

1 .2 .3 .

Bukan fungsi

yx

04/21/2304/21/23 3232

b. { (1,1), (2,2), (3,3) }

1 .

2 .

3 .

. 1

. 2

. 3

Fungsi

BA

04/21/2304/21/23 3333

c. { (3,4), (5,6), (7,8) }

. 4

. 6

. 8

3 .

5 .

7 .

Fungsi

P Q

04/21/2304/21/23 3434

d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

. 3

. 4

. 5

2 .

3 .

4 .

Fungsi

K L

04/21/2304/21/23 3535

3 . Fungsi f : x x + 3 mempunyai domain { -2, -1, 0, 1, 2 } . a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah . b. Nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan . c. Tulis range dari f .

04/21/2304/21/23 3636

PembahasaPembahasann

a. Fungsi f : x x + 3 , jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1 x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2 x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3 x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4 x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5

. 1 . 2 . 3 . 4 . 5

-2 .-1 . 0 . 1 . 2 .

x+3x

04/21/2304/21/23 3737

b. Himpunan pasangan berurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) }

c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 )

04/21/2304/21/23 3838

4. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x + 1 dengan daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 } . Tentukan : a. Daerah hasil / bayangan . b. Himpunan pasangan berurutan .

04/21/2304/21/23 3939

Pembahasan : a. f(x) = ½ x + 1

f(2) = ½ . 2 + 1 = 1 + 1 = 2 f(4) = ½ . 4 + 1 = 2 + 1 = 3 f(6) = ½ . 6 + 1 = 3 + 1 = 4 f(8) = ½ . 8 + 1 = 4 + 1 = 5 f(10) = ½ . 10 + 1 = 5 + 1 =

6 Jadi Range / daerah hasil /

daerah bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 }

b. Himpunan pasangan berurutan

{ (2,2), (4,3), (6,4), (8,5), (10,6) }

04/21/2304/21/23 4040

5. Dengan tanpa membuat diagram 5. Dengan tanpa membuat diagram panahnya terlebih dahulu , tentukan panahnya terlebih dahulu , tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin banyaknya pemetaan yang mungkin dari :dari :

a. A = {a, b, c} B = {1, 2}a. A = {a, b, c} B = {1, 2}

b. A = {1, 2} B = {a, b, c}b. A = {1, 2} B = {a, b, c}

c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3}c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3}

d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4}d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4}

e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}

04/21/2304/21/23 4141

PembahasanPembahasan

a. A = {a, b, c} B = {1, 2} ------ 2a. A = {a, b, c} B = {1, 2} ------ 233 = 8 = 8

b. A = {1, 2} B = {a, b, c} ----- 3b. A = {1, 2} B = {a, b, c} ----- 322 = 9 = 9

c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} ------- 3c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} ------- 333 = = 2727

d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} ----- 4d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} ----- 433 = = 6464

e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d} ----- 4e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d} ----- 422 = = 1616

04/21/2304/21/23 4242