Download - MATEMATIKA KELAS VIII
04/21/2304/21/23 11
MATEMATIKAKELAS VIII
SEMESTER SATU/GANJIL MATERI DAN LATIHANBAB II
RELASI DAN FUNGSI4 jam ( 2 kali pertemuan)
04/21/2304/21/23 22
Standar Kompetensi : memahami bentuk Standar Kompetensi : memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.lurus.
Kompetensi Dasar : mamahami relasi dan Kompetensi Dasar : mamahami relasi dan fungsi, menentukan nilai fungsi, serta fungsi, menentukan nilai fungsi, serta membuat sketsa grafik, fungsi aljabar membuat sketsa grafik, fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat cartesius.sederhana pada sistem koordinat cartesius.
04/21/2304/21/23 33
Oleh :Siti Zubaidah
04/21/2304/21/23 44
A. RELASIA. RELASI
1. Pengertian Relasi1. Pengertian Relasi Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B
adalah pemasangan anggota-anggota A adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.dengan anggota-anggota B.
Relasi dalam matematika misalnya : lebih Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya .dari , dan sebagainya .
Contoh :Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1,
2, 3 } . Jika2, 3 } . Jika himpunan A ke himpunan B dinyatakan himpunan A ke himpunan B dinyatakan
relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :
04/21/2304/21/23 55
Diagram disamping dinamakan diagram panah . Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah
“ kurang dari “
1 .2 .3 .4 .
.1 .2 .3
BAKurang dari
04/21/2304/21/23 66
2. Menyatakan RelasiRelasi antara dua himpunan dapat
dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan . a. Diagram Panah Contoh : 1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola . Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga .
04/21/2304/21/23 77
. Voli
. Basket
. Bulutangkis
. Sepakbola
Anto .
Andi .
Budi .
Badri .
BA Suka akan
04/21/2304/21/23 88
2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan 2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram diagram panah yang menyatakan relasi panah yang menyatakan relasi dari P dari P dan Q dengan hubungan : dan Q dengan hubungan : a. Setengah dari a. Setengah dari b. Faktor dari b. Faktor dari Jawab : a. Jawab : a.
1
. 2
. 4
. 6
. 8
1 .
2 .
3 .
4 .
QPSetengah dari
04/21/2304/21/23 99
b.b.
. 2
. 4
. 6
. 8
1 .
2 .
3 .
4 .
QPFaktor dari
04/21/2304/21/23 1010
b. Diagram b. Diagram CartesiusCartesiusContoh :Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } danDiketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan
B = { 1, 2, 3, …, 10 }.B = { 1, 2, 3, …, 10 }.
Gambarlah diagram cartesius yang Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B denganmenyatakan relasi A ke B dengan
hubungan : hubungan :
a. Satu lebihnya daria. Satu lebihnya dari
b. Akar kuadrat darib. Akar kuadrat dari
04/21/2304/21/23 1111
Jawab Jawab : : a . Satu lebihnya dari a . Satu lebihnya dari
1
1 2 3 4 5 6 7 98 100
2
34
5
6
7
8
9
10
Him
pu
nan
B
Himpunan A
04/21/2304/21/23 1212
Jawab :Jawab : b. Akar kuadrat dari b. Akar kuadrat dari
1
1 2 3 4 5 6 7 98 100
2
34
5
6
7
8
9
10
Him
pu
nan
B
Himpunan A
04/21/2304/21/23 1313
CC. Himpunan pasangan . Himpunan pasangan berurutanberurutan
Contoh :
Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan
B = { 1, 2, 3, … , 10 } .
Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan :
a. kuadrat dari
b. dua kali dari
c. Satu kurangnya dari
04/21/2304/21/23 1414
Jawab : Jawab : a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4),
(25,5) }(25,5) }
b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (10,5), (12,6), (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) }}
c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) } (7,8), (8,9), (9,10) }
04/21/2304/21/23 1515
B. B. FUNGSIFUNGSI1. Pengertian Fungsi
Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut .
Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut :
04/21/2304/21/23 1616
Contoh : Contoh :
Perhatikan diagram panah dibawah Perhatikan diagram panah dibawah ini :ini :
. 1
. 2
. 3
. 4
. 5
0 .
2 .
4 .
6 .
BA
Daerah kawan/kodomain
Daerah asal/Domain
Daerah hasil/Range
04/21/2304/21/23 1717
DDari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : ari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa :
1. 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan memasangkan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B.tepat satu anggota B.
2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah
asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } }
disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan
{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).
04/21/2304/21/23 1818
2. Notasi Fungsi Fungsi/ pemetaan dapat
dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x
ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari
x digunakan untuk menunjukkan
bahwa y adalah fungsi dari x .
04/21/2304/21/23 1919
SSuatu fungsi juga dapat dinyatakan uatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan tiga cara yaitu dengan diagram dengan diagram panah , diagram cartesius , dan panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .himpunan pasangan berurutan .
Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B =
{ 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang
menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a
1 , i 2 , u 1 , e 4 , o 2 . b. Nyatakan pula dengan diagram
cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan .
04/21/2304/21/23 2020
Jawab :
a . Diagram panah
. 1
. 2
. 3
. 4
a .
i .
u .
e .
o .
BA
04/21/2304/21/23 2121
b. Diagram cartesiusb. Diagram cartesius
1
a i u e o0
2
34
5
6
7
8
9
10
04/21/2304/21/23 2222
{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }
c. Himpunan pasangan berurutan
04/21/2304/21/23 2323
3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab
Contoh :Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }
04/21/2304/21/23 2424
c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1}d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c }e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b}f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3}g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5}
Jawab : a. n(A) = 1 , n(B) = 1 Banyak pemetaan 11 = 1 b. n(C) = 1 , n(D) = 2 Banyak pemetaan 21 = 2
04/21/2304/21/23 2525
c. n(E) = 2 , n(F) = 1 Banyak pemetaan 12 = 1 d. n(G) = 1 , n(H) = 3 Banyak pemetaan 31 = 3 e. n(I) = 2 , n(J) = 2 Banyak pemetaan 22 = 4 f. n(K) = 5 , n(L) = 3 Banyak pemetaan 35 = 243 g. n(M) = 4 , n(N) = 5 Banyak pemetaan 54 = 625
04/21/2304/21/23 2626
f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x) . Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y . Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < x << 6, x 6, x A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !
4. Merumuskan suatu fungsi
04/21/2304/21/23 2727
a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2 f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3 f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4 f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5 f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai
x = 13
Jawab :
04/21/2304/21/23 2828
Uji Kompetensi 4
1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, }
Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka :
a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,…), (…,2), (…,…) } b. Diagram Panah BA
04/21/2304/21/23 2929
PembahasanPembahasan 1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,1), (4,2), (5,3) } b. Diagram Panah BA
.0
. 1
. 2
. 3
2 .3 .4 .5 .
Dua lebihnya dari
04/21/2304/21/23 3030
2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan diagram panah. Kemudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi ! a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) } c. { (3,4), (5,6), (7,8) } d. { (2,3), (3,4), (4,5) }
04/21/2304/21/23 3131
PembahasanPembahasan
a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } bukan fungsi karena ada anggota x yang berpasangan lebih dari satu dengan anggota y . . 2
. 3
. 4
. 5
1 .2 .3 .
Bukan fungsi
yx
04/21/2304/21/23 3232
b. { (1,1), (2,2), (3,3) }
1 .
2 .
3 .
. 1
. 2
. 3
Fungsi
BA
04/21/2304/21/23 3333
c. { (3,4), (5,6), (7,8) }
. 4
. 6
. 8
3 .
5 .
7 .
Fungsi
P Q
04/21/2304/21/23 3434
d. { (2,3), (3,4), (4,5) }
. 3
. 4
. 5
2 .
3 .
4 .
Fungsi
K L
04/21/2304/21/23 3535
3 . Fungsi f : x x + 3 mempunyai domain { -2, -1, 0, 1, 2 } . a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah . b. Nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan . c. Tulis range dari f .
04/21/2304/21/23 3636
PembahasaPembahasann
a. Fungsi f : x x + 3 , jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1 x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2 x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3 x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4 x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5
. 1 . 2 . 3 . 4 . 5
-2 .-1 . 0 . 1 . 2 .
x+3x
04/21/2304/21/23 3737
b. Himpunan pasangan berurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) }
c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 )
04/21/2304/21/23 3838
4. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x + 1 dengan daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 } . Tentukan : a. Daerah hasil / bayangan . b. Himpunan pasangan berurutan .
04/21/2304/21/23 3939
Pembahasan : a. f(x) = ½ x + 1
f(2) = ½ . 2 + 1 = 1 + 1 = 2 f(4) = ½ . 4 + 1 = 2 + 1 = 3 f(6) = ½ . 6 + 1 = 3 + 1 = 4 f(8) = ½ . 8 + 1 = 4 + 1 = 5 f(10) = ½ . 10 + 1 = 5 + 1 =
6 Jadi Range / daerah hasil /
daerah bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 }
b. Himpunan pasangan berurutan
{ (2,2), (4,3), (6,4), (8,5), (10,6) }
04/21/2304/21/23 4040
5. Dengan tanpa membuat diagram 5. Dengan tanpa membuat diagram panahnya terlebih dahulu , tentukan panahnya terlebih dahulu , tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin banyaknya pemetaan yang mungkin dari :dari :
a. A = {a, b, c} B = {1, 2}a. A = {a, b, c} B = {1, 2}
b. A = {1, 2} B = {a, b, c}b. A = {1, 2} B = {a, b, c}
c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3}c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3}
d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4}d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4}
e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}
04/21/2304/21/23 4141
PembahasanPembahasan
a. A = {a, b, c} B = {1, 2} ------ 2a. A = {a, b, c} B = {1, 2} ------ 233 = 8 = 8
b. A = {1, 2} B = {a, b, c} ----- 3b. A = {1, 2} B = {a, b, c} ----- 322 = 9 = 9
c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} ------- 3c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} ------- 333 = = 2727
d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} ----- 4d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} ----- 433 = = 6464
e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d} ----- 4e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d} ----- 422 = = 1616
04/21/2304/21/23 4242