INVERS MATRIKSSISTEM PERSAMAAN LINIERMATRIKSVEKTOR & SKALARDIFERENSIAL VEKTORDETERMINANINTEGRAL VEKTORTEOREMA GREEN & STOKESTRANSFORMASI LINIERMATEMATIKA IIIGRADIEN, DIVERGENSI & CURLMATRIKSMATRIKSDEFINISI DEFINISI MATRIKSMATRIKSBentuk umumA=(aij) ,i= 1,2,...m J=1,2,...ma11a12a1n baris 1a21a22..a2n baris 2 Am1 am2amnbaris m Kolom nKolom 2Kolom 1

Matriks di atas mempunyai m buah baris dan n buah kolom maka dikatakan ukuran matriks tersebut adalah (mxn).Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)Kesamaan dua matriksKesamaan dua matriks1 2 42 1 3A =1 2 42 1 3B =1 222 1 3C =2 1 22 1 3D =1 2 42 2 2E =x 2 42 2 2F =2 2 24 5 69 0 7G =H =? ? ?? ? ?? ? ?A = BC DE = F jika x = 1G = H2 2 24 5 69 0 7Dua buah matriks A=(aDua buah matriks A=(aij ij) dan B=(b) dan B=(bij ij) dikatakan sama ) dikatakan sama A=B, jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aA=B, jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij ij=b=bij ij.. Contoh penjumlahan matriks:Contoh penjumlahan matriks:Operasi pada Matriks1. Penjumlahan / PenguranganSyarat = kedua matriks tersebut berukuran sama A + B 1 2 63 2 4 63 A =B =+ = 36+=612 PENGURANGAN MATRIKSPENGURANGAN MATRIKS A - B 1 2 63 2 4 63 A =B =- = -1 -2-=00 2. Perkalian scalar terhadap matriks Jika suatu scalar dari A=(aij) maka A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan Contoh:1]1

1]1

1]1

/ 11 - 1 / 11/ 11 1 / 1 1A111 - 1 111 1 11A 1 maka1 - 1 11 1 1A3. Perkalian Matriks3. Perkalian MatriksDua buah matriks A&B dapat dikalikan jika: Dua buah matriks A&B dapat dikalikan jika:Jumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah barisJumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah baris matriks kedua (B). matriks kedua (B).Misal. A(mxp) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp). Misal. A(mxp) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp).C B Ap x m p x n n x m A=(aij) dengan i=1,2,3,,m dan j=1,2,3,,nB=(bjk) dengan j=1,2,3,,n dan k=1,2,3,,pC=(cik) dengan i=1,2,3,,m dan k=1,2,3,,pMaka :A x B = (aij) x (bjk)=(cik) Contoh:Contoh: 1 3 50 0 12A B 2 4 1 21 0 = = A x B = -4 4 x + x + x = 9 1 3 50 2 4 1 3 50 2 4 0 12 1 21 0 -4 4 x + x + x = 16x+ x +x = 3 1 2 3 0 4 5 x x xx x xx x x+++ +++ ===13814 1 4 0 -4 2 1 1 2 3 0 4 5 0 1 2 0 1 2 TransposeTransposeDefinisi:Transpose mariks A adalah matriks AT dimana kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.4 2 6 75 3-9 7A =AT = A = 4 5 2 36-9 7 7Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran [AT]ij = [A]ji n x mSifat-sifat transpose matriksSifat-sifat transpose matriksAAT(AT)T(AT )T = A 1. Transpose dari A transpose adalah A:4 2 6 75 3-9 74 5 2 36-9 7 74 5 2 36-9 7 7= AContoh:Sifat-sifat transpose matriksSifat-sifat transpose matriks2. (A+B) 2. (A+B)T=T= A ATT + B + BTT A+B(A+B)TTBTBTATAT==++Sifat-sifat transpose matriksSifat-sifat transpose matriks3. (kA) 3. (kA)T T = k(A) = k(A) T T untuk skalar k untuk skalar kkA(kA)T =k(A)TATTkSifat-sifat transpose matriksSifat-sifat transpose matriks4. (AB) 4. (AB)T T = B = BT T A AT T (AB)T ABTTA BT=AB = BTATJenis Matriks KhususJenis Matriks Khusus1. Matriks bujur sangkar1. Matriks bujur sangkarAdalah suatu matriks dengan banyaknya Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolombaris sama dengan banyaknya kolomContoh: elemen diagonal utamax 11 x 11 1 1 11 - 1 11 1 1,1 11 1111]1

1]1

2. Matriks Nol 2. Matriks NolAdalah matriks yang semua elemennya nol Adalah matriks yang semua elemennya nol

2x23x32x23x33. Matriks Diagonal 3. Matriks DiagonalAdalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalahAdalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol nolContoh: Contoh:111]1

1 1 11 1 11 1 11]1

1]1

1 1 11 1 1

1 11 14. Matriks Identitas 4. Matriks IdentitasAdalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua=1 Adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua=1Contoh: Contoh:5. Matriks Skalar 5. Matriks SkalarAdalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=K Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=KContoh: Contoh:6. Matriks Segitiga Bawah 6. Matriks Segitiga BawahAdalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonalAdalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utama=0 utama=0Contoh: Contoh:1I1 1 11 1 11 1 1111]1

111]1

1 1 11 1 11 1 1111]1

1 1 11 1 11 1 17. Matriks Segitiga Atas 7. Matriks Segitiga AtasAdalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonalAdalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utama=0 utama=0Contoh: Contoh:8. Matriks Simetris 8. Matriks SimetrisAdalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri. Adalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri.(A=A (A=AT T). ).Contoh: Contoh:111]1

111]1

1 1 11 1 11 1 1A1 1 11 1 11 1 1AT9. Matriks Anti Simetris 9. Matriks Anti SimetrisAdalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya. Adalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya.Contoh: Contoh:10. Matriks Hermitian 10. Matriks HermitianAdalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan dirinyaAdalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri sendiriContoh: Contoh:1111]1

1111]1

1 1 1 11 1 1 1 -1 1 - 1 11 1 1 - 1A ,1 1 1 11 1 1 - 11 - 1 1 1 -1 - 1 - 1 1AT1]1

+1]1

+1 11 1A ,1 11 1ATiiii11. Matriks Invers 11. Matriks InversMisal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka dikatakan BMisal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka dikatakan B invers dari A B=A invers dari A B=A -1 -1 atau A invers dari B A=B atau A invers dari B A=B -1 -1Contoh: Contoh:12. Matriks Komutatif 12. Matriks KomutatifJika A dan B matriks-matriks bujur sangkar danberlakuJika A dan B matriks-matriks bujur sangkar danberlaku AB=BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. AB=BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. Contoh: Contoh:I BxA AxB1 1 11 1 11 1 - 1B ,1 1 11 1 11 1 1A 111]1

111]1

1]1

1]1

1]1

1 11 11 11 1 1 11 1AxB1]1

1]1

1]1

1 11 11 11 1 1 11 1BxA1]1

1]1

1 11 1B ,1 11 1ATransformasiElementerTransformasiElementerYang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasiYang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasi sbb: sbb:1. B 1. Bij ij: Pergantian baris ke i dengan baris ke j : Pergantian baris ke i dengan baris ke j2. K 2. Kij ij: Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j : Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j3. Bi 3. Bi( ( ) ): Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan: Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan denganskalar denganskalar 0 04. Ki 4. Ki( ( ) ): Elemen-elemen kolom ke j masing-masing : Elemen-elemen kolom ke j masing-masing dikalikan dengan skalardikalikan dengan skalar 0 05. Bij 5. Bij( ( ) ): Elemen-elemen baris ke i masing-masing di : Elemen-elemen baris ke i masing-masing di tambah dengantambah dengan kali baris ke j kali baris ke j6. Kij 6. Kij( ( ) ): Elemen-elemen kolom ke i masing-masing di : Elemen-elemen kolom ke i masing-masing di tambah dengan tambah dengan kali kolom ke j kali kolom ke jContoh: Contoh:Di ketahui matriks Di ketahui matriks, maka: , maka: 111]1

1 1 11 1 11 1 1BMatriks EkivalenMatriks Ekivalen Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen(A Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen(A ~B) jika matriks yang~B) jika matriks yang satu dapat di peroleh dari matriks yang lain dengan transformasisatu dapat di peroleh dari matriks yang lain dengan transformasi baris dan atau kolom. baris dan atau kolom.Contoh: Contoh:B1 1 1 11 1 1 1B1 1 1 11 1 1 1 K1 1 1 11 1 1 1K1 1 1 11 1 1 1A~11~) 1 (11~) 1 (111]1

1]1

1]1

1]1

1]1

1]1

1 1 1 11 1 1 1B dan 1 1 1 11 1 1 1AAdalah ekivalen karena:Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat di Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat di rubah menjadi matriks eselon dengan rubah menjadi matriks eselon dengan menggunakan Transformasi Elementer.menggunakan Transformasi Elementer.Matriks eselon yang memenuhi bahwa elemen-Matriks eselon yang memenuhi bahwa elemen-Elemen yang sekolom dengan setiap elemen Elemen yang sekolom dengan setiap elemen tidak nol terkiri semuanya nol (kecuali elemen 1 tidak nol terkiri semuanya nol (kecuali elemen 1 terkirinya) disebut terkirinya) disebut Matriks EselonMatriks EselonMatriks EselonMatriks EselonKondi si -kondi simatri ks bentuk esel on bari s Kondi si -kondi simatri ks bentuk esel on bari s dan esel on bari s tereduksi :dan esel on bari s tereduksi :Elemen pertama yang tidak nol adalah 1 (satu utama) Satu utama baris berikutnya berada lebih kanan dari baris sebelumnya Baris nol berada di paling bawah Elemen di atas satu utama nol semua 1 0 2 4 0 1 3 6 0 0 1 01 0 2 40 0 1 60 1 0 0 1 0 2 4 0 1 3 6 0 0 1 00 1 6 0 0 10 0 0 1 0 60 0 0 0 1 50 0 0 0 0 01 0 2 40 0 000 1 6 01 0 2 40 1 6 00 0 00 1 0 2 4 0 3 160 0 1 01 0 2 40 0 1 60 0 0 1Ya TidakMatri ks dal am bentuk esel on bari s Matri ks dal am bentuk esel on bari s (eb) dan esel on bari s tereduksi(ebt)(eb) dan esel on bari s tereduksi(ebt)Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut matriks Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut matriks berbentuk berbentuk esel on bari sesel on bari s. . Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks dalam bentuk dalam bentuk esel on bari stereduksiesel on bari stereduksi. . *** ****1 utamaSembarang nilaiNol *** ***eselon baris.eselon baris tereduksiRank MatriksRank MatriksSetiap matriks dapat dijadikan matriks Setiap matriks dapat dijadikan matriks eselon atau eselon tereduksi dengan eselon atau eselon tereduksi dengan menggunakan transformasi elementer.menggunakan transformasi elementer.Jumlah elemen satu terkiri pada matriks Jumlah elemen satu terkiri pada matriks eselon atau jumlah baris yang tidak eselon atau jumlah baris yang tidak sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada matriks eselon disebut pada matriks eselon disebut Rank Rank MatriksMatriks..111]1

1 1 11 1 11 1 1~) 1 (11H~) 1 (11H111]1

1 1 11 1 11 1 1~) 1 (11H111]1

1 1 11 1 11 1 1Contoh :Contoh :Tentukan rank matriks di bawah ini :Tentukan rank matriks di bawah ini :

Jawab :Jawab :

22

matrik eselonmatrik eselonJadi rank matriks diatas adalah 2Jadi rank matriks diatas adalah 2111]1

1 1 11 1 11 1 1Sistem Persamaan linierSistem Persamaan linierPersamaan linierPersamaan linierDefinisiDefinisiN buah variable x N buah variable x1 1, x , x2 2, , xn yang dinyatakan dalam bentuk: , , xn yang dinyatakan dalam bentuk:a a1 1x x11 + a + a2 2x x2 2++ a ++ an n x xn n=b =bdisebut persamaan linier, dengan a disebut persamaan linier, dengan a1 1, a , a2 2, ,a , ,an n dan b adalah konstanta- dan b adalah konstanta-konstanta riil. konstanta riil.Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable :Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable : a a1 1=k =k1 1, x , x2 2=k =k2 2 x xn n=k =kn n sedemikian sehingga persamaan tersebutsedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k1 1, k , k2 2, k , kn n) disebut) disebut himpunan penyelesaian (solusi set). himpunan penyelesaian (solusi set).Contoh Contoh2 2x1x1 + x + x22 + 3 + 3x3 x3=5 =5x x1 1=1; x =1; x2 2=0; x =0; x3 3=1 =1 (1,0,1) solusi(1,0,1) solusi x x1 1=0; x =0; x2 2=5; x =5; x3 3=0 =0 (0,5,0) solusi (0,5,0) solusix x1 1=2; x =1; x =2; x =1; x3 3=0 =0 (2,1,0) solusi (2,1,0) solusisuatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1. suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1.DefinisiDefinisiSebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linierSebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier didalam n variable: x didalam n variable: x1 1, x , x2 2, , x , , xn n disebut sistem persamaandisebut sistem persamaan linier.linier.

Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi disebut Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi disebutinconsisten. Sedangkan sistem persamaan linier yanginconsisten. Sedangkan sistem persamaan linier yang mempunyai paling sedikit sebuah solusi disebut consisten. mempunyai paling sedikit sebuah solusi disebut consisten.Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel. Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel.P P1 1: a : a1 1x x1 1+ a + a2 2x x2 2=b =b1 1 (a (a1,1, a a2 20) 0)P P2 2: a : a1 1x x1 1+ a + a2 2x x2 2=b =b2 2 (c (c1,1, c c2 20) 0)

Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka:dalam grafik, maka:U2X1U2X1U2X1P1P2InconsistenP1 P2P2KonsistenPenyaji an SPL dengan persamaan matri ksPenyaji an SPL dengan persamaan matri ksa11x1 + a12x2 + a13x3 ++a1nxn=b1a21x1 + a22x2 + a23x3 ++a2nxn =b2 :am1x1 + an2x2 + an3x3 + +annxn=bmx = b=matriks koefisienSPL umum:a11 a12a13a1na21 a22a23a2n:am1 am2am3amnx1x2:xmb1b2:bmA =Ax = bPenyajian SPL sebagai matriks augmentedPenyajian SPL sebagai matriks augmenteda11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2:am1x1 + am2x2 + am3x3 + + amnxn= bmmatriks augmenteda11a12 a13

a1nb1a21a22 a23 a2nb2:.am1 am2 am3 amnbm

SUSUNAN PERSAMAAN LINIERHOMOGENAX=0NON HOMOGENAX=B, B0SELALU ADA JAWAB TAK PUNYA JAWABR(a)r(A,B)MEMPUNYAI JAWABJAWAB HANYA JAWAB TRIVIAL(NOL);R=NSELAIN JAWAB TRIVIAL, ADA JUGA JAWAB NONTRIVIAL R