matematika 3 sipil
TRANSCRIPT
INVERS MATRIKS
SISTEM PERSAMAAN
LINIER
MATRIKS
VEKTOR & SKALAR
DIFERENSIAL VEKTOR
DETERMINAN
INTEGRAL VEKTOR
TEOREMA GREEN & STOKES
TRANSFORMASI LINIER
MATEMATIKA III
GRADIEN, DIVERGENSI &
CURL
MATRIKSMATRIKS
DEFINISIDEFINISI MATRIKSMATRIKS
Bentuk umumA=(aij) ,i= 1,2,...m J=1,2,...m a11 a12……a1n baris 1 a21 a22…..a2n baris 2 Am1 am2…amn baris m
Kolom n Kolom 2 Kolom 1
Matriks di atas mempunyai m buah baris dan n buah kolom maka dikatakan ukuran matriks tersebut adalah (mxn).
Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)
Kesamaan dua matriksKesamaan dua matriks
1 2 4
2 1 3A =
1 2 4
2 1 3B =
1 2 2
2 1 3C =
2 1 2
2 1 3D =
1 2 4
2 2 2E =
x 2 4
2 2 2F =
2 2 2
4 5 6
9 0 7
G = H =
? ? ?
? ? ?
? ? ?
A = B
C ≠ D
E = F jika x = 1
G = H2 2 2
4 5 6
9 0 7
Dua buah matriks A=(aDua buah matriks A=(a ijij) dan B=(b) dan B=(bijij) dikatakan sama A=B, jika ukurannya ) dikatakan sama A=B, jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku asama (mxn) dan berlaku a ijij=b=bijij..
Contoh penjumlahan matriks:Contoh penjumlahan matriks:
Operasi pada Matriks
1. Penjumlahan / Pengurangan Syarat = kedua matriks tersebut berukuran sama
A + B 1 2
6 3
2 4
6 3 A = B =
+ = 3 6
+ = 6 12
PENGURANGAN MATRIKSPENGURANGAN MATRIKS
A - B 1 2
6 3
2 4
6 3 A = B =
- = -1 -2
- = 00
2. Perkalian scalar terhadap matriks Jika λ suatu scalar dari A=(aij) maka λ A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan λ
Contoh:
1/2-03/2
7/22/32A
2
1
3-09
219123A maka
1-03
734A
3. Perkalian Matriks3. Perkalian MatriksDua buah matriks A&B dapat dikalikan jika:Dua buah matriks A&B dapat dikalikan jika:
Jumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah Jumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah baris matriks kedua (B).baris matriks kedua (B).
Misal. A(mxp) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp).Misal. A(mxp) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp).
CBApxmpxnnxm
A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n
B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p
C=(cik) dengan i=1,2,3,…,m dan k=1,2,3,…,p
Maka :A x B = (aij) x (bjk)=(cik)
Contoh:Contoh:
1 3
5 0
0
1 2 A
B
2
4
1
2 1 0
= =
A x B =
-4
4
x + x + x = 9
1 3
5 0
2
4
1 3
5 0
2
4
0
1 2
1
2 1 0
-4
4
x + x + x = 16
x + x + x = 3
1 2 3
0 4 5
x x x
x x x
x x x
+
+
++
+
+ =
=
=
13
8
14
1
4
0
-4
2
1
1 2 3
0 4 5
0
1
2
0
1
2
TransposeTranspose
Definisi:Transpose mariks A adalah matriks AT dimana kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.
4 2 6 7
5 3 -9 7
A = AT = A’ =
4 5
2 3
6 -9
7 7
Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT
berukuran ……
[AT]ij = [A]ji n x m
Sifat-sifat transpose Sifat-sifat transpose matriksmatriks
A AT (AT)T
(AT )T = A
1.Transpose dari A transpose adalah A:
4 2 6 7
5 3 -9 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
= A
Contoh:
Sifat-sifat transpose Sifat-sifat transpose matriksmatriks2. (A+B)2. (A+B)T = T = AAT T + B+ BT T
A+B
(A+B)T
T
BT
B
T
A
T
AT
=
=
+
+
Sifat-sifat transpose Sifat-sifat transpose matriksmatriks3. (kA)3. (kA)TT = k(A) = k(A) T T untuk skalar k untuk skalar k
kA
(kA)T = k(A)T
A
T T
k
Sifat-sifat transpose Sifat-sifat transpose matriksmatriks
4. (AB)4. (AB)TT = B = BTT A ATT
(AB)T
AB
T T
AB
T
=
AB = BTAT
Jenis Matriks KhususJenis Matriks Khusus
1. Matriks bujur sangkar1. Matriks bujur sangkar
Adalah suatu matriks dengan Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolombanyaknya kolom
Contoh:
elemen diagonal utama
3x3 2x2
012
1-31
210
, 21
02
2. Matriks Nol2. Matriks Nol
Adalah matriks yang semua elemennya nolAdalah matriks yang semua elemennya nol
2x2 3x32x2 3x3
3. Matriks Diagonal3. Matriks Diagonal
Adalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama Adalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalah noladalah nol
Contoh:Contoh:
400
020
001
000
000
00
00
4. Matriks Identitas4. Matriks Identitas
Adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya Adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua=1semua=1
Contoh:Contoh:
5. Matriks Skalar5. Matriks Skalar
Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=Kutama=K
Contoh:Contoh:
6. Matriks Segitiga Bawah6. Matriks Segitiga Bawah
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utama=0diagonal utama=0
Contoh:Contoh:
3I
100
010
001
200
020
002
311
022
001
7. Matriks Segitiga Atas7. Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utama=0diagonal utama=0
Contoh:Contoh:
8. Matriks Simetris8. Matriks Simetris
Adalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya Adalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri.(A=Asendiri.(A=ATT).).
Contoh:Contoh:
340
412
021
A
340
412
021
A T
9. Matriks Anti Simetris9. Matriks Anti Simetris
Adalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya.Adalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya.
Contoh:Contoh:
10. Matriks Hermitian10. Matriks Hermitian
Adalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan Adalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan dirinya sendiridirinya sendiri
Contoh:Contoh:
0142
1031-
43-01
211-0
A ,
0142
103-1
4-301-
2-1-10
A T
42
23A ,
42
23A T
i
i
i
i
11. Matriks Invers11. Matriks Invers
Misal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka Misal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka dikatakan B dikatakan B
invers dari A→B=Ainvers dari A→B=A-1-1 atau A invers dari B→A=B atau A invers dari B→A=B-1-1
Contoh:Contoh:
12. Matriks Komutatif12. Matriks Komutatif
Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku
AB=BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama AB=BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain.lain.
Contoh:Contoh:
IBxAAxB
101
011
32-6
B ,
421
331
321
A
75
57
31
13
21
12AxB
75
57
21
12
31
13BxA
31
13B ,
21
12A
Transformasi ElementerTransformasi Elementer
Yang di maksud Transformasi Elementer pada matriks Yang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasi sbb:adalah operasi sbb:
1. B1. Bijij : Pergantian baris ke i dengan baris ke j: Pergantian baris ke i dengan baris ke j
2. K2. Kijij : Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j: Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j
3. Bi3. Bi((λλ) ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing : Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan dikalikan dengan skalar dengan skalar λ≠λ≠00
4. Ki4. Ki((λλ)) : Elemen-elemen kolom ke j masing-masing : Elemen-elemen kolom ke j masing-masing
dikalikan dengan skalar dikalikan dengan skalar λ≠λ≠00
5. Bij5. Bij((λλ)) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing di : Elemen-elemen baris ke i masing-masing di
tambah dengan tambah dengan λλ kali baris ke j kali baris ke j
6. Kij6. Kij((λλ)) : Elemen-elemen kolom ke i masing-masing di : Elemen-elemen kolom ke i masing-masing di
tambah dengan tambah dengan λλ kali kolom ke j kali kolom ke j
Contoh:Contoh:
Di ketahui matriksDi ketahui matriks , maka: , maka:
103
112
413
B
Matriks EkivalenMatriks Ekivalen
Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen(ADua matriks A dan B dikatakan ekivalen(A ~B) jika matriks ~B) jika matriks yang satu dapat di peroleh dari matriks yang lain dengan yang satu dapat di peroleh dari matriks yang lain dengan transformasi baris dan atau kolom.transformasi baris dan atau kolom.
Contoh:Contoh:
B1203
1315B
1315
1203
K2303
1215K
2314
1203A
~12
~
)1(42
~
)1(12
1203
1315Bdan
2314
1203A
Adalah ekivalen karena:
Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat di di
rubah menjadi matriks eselon dengan rubah menjadi matriks eselon dengan
menggunakan “Transformasi Elementer”.menggunakan “Transformasi Elementer”.
Matriks eselon yang memenuhi bahwa Matriks eselon yang memenuhi bahwa elemen-elemen-
Elemen yang sekolom dengan setiap elemen Elemen yang sekolom dengan setiap elemen
tidak nol terkiri semuanya nol (kecuali tidak nol terkiri semuanya nol (kecuali elemen 1 elemen 1
terkirinya) disebut terkirinya) disebut Matriks EselonMatriks Eselon
Matriks EselonMatriks Eselon
Kondisi-kondisi matriks bentuk eselon Kondisi-kondisi matriks bentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi:baris dan eselon baris tereduksi:
• Elemen pertama yang tidak nol adalah 1 (satu utama)
• Satu utama baris berikutnya berada lebih kanan dari baris sebelumnya
• Baris nol berada di paling bawah
• Elemen di atas satu utama nol semua
1 0 2 4 0 1 3 6 0 0 1 0
1 0 2 40 0 1 60 1 0 0
1 0 2 4 0 1 3 6 0 0 1 0
0 1 6 0 0 10 0 0 1 0 60 0 0 0 1 50 0 0 0 0 0
1 0 2 40 0 0 00 1 6 0
1 0 2 40 1 6 00 0 0 0
1 0 2 4 0 3 1 6 0 0 1 0
1 0 2 40 0 1 60 0 0 1
Ya Tidak
Matriks dalam bentuk eselon baris Matriks dalam bentuk eselon baris (eb) dan eselon baris tereduksi (eb) dan eselon baris tereduksi (ebt)(ebt)Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut
matriks berbentuk matriks berbentuk eselon bariseselon baris. .
Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks dalam bentuk matriks dalam bentuk eselon baris tereduksieselon baris tereduksi. .
**
* **
**
1 utamaSembarang nilai
Nol
**
* **
*
eselon baris. eselon baris tereduksi
Rank MatriksRank Matriks
Setiap matriks dapat dijadikan Setiap matriks dapat dijadikan matriks eselon atau eselon matriks eselon atau eselon tereduksi dengan menggunakan tereduksi dengan menggunakan transformasi elementer.transformasi elementer.
Jumlah elemen satu terkiri pada Jumlah elemen satu terkiri pada matriks eselon atau jumlah baris matriks eselon atau jumlah baris yang tidak sama dengan nol (tidak yang tidak sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada matriks dapat di nolkan) pada matriks eselon disebut eselon disebut Rank MatriksRank Matriks..
462
231
321~
)1(21H
~
)2(31H
220
110
321~
)2(32H
000
110
321
Contoh :Contoh :
Tentukan rank matriks di bawah ini :Tentukan rank matriks di bawah ini :
Jawab :Jawab :
22
matrik eselonmatrik eselon
Jadi rank matriks diatas adalah 2Jadi rank matriks diatas adalah 2
462
231
321
Sistem Persamaan Sistem Persamaan linierlinier
Persamaan linierPersamaan linierDefinisiDefinisiN buah variable xN buah variable x11, x, x22, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk:, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk:
aa11xx1 1 + a+ a22xx22+…+ a+…+ ann x xnn=b=b
disebut persamaan linier, dengan adisebut persamaan linier, dengan a11, a, a22, … ,a, … ,ann dan b adalah konstanta- dan b adalah konstanta-
konstanta riil.konstanta riil.
Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable : Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable :
aa11=k=k11, x, x22=k=k22 … x … xnn=k=knn sedemikian sehingga persamaan tersebut sedemikian sehingga persamaan tersebut
terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (kterpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k11, k, k22, … k, … knn) disebut ) disebut
himpunan penyelesaian (solusi set).himpunan penyelesaian (solusi set).
ContohContoh
22x1 x1 + x+ x2 2 + 3+ 3x3x3=5=5
xx11=1; x=1; x22=0; x=0; x33=1=1 (1,0,1) solusi (1,0,1) solusi
xx11=0; x=0; x22=5; x=5; x33=0=0 (0,5,0) solusi (0,5,0) solusi
xx11=2; x =1; x=2; x =1; x33=0=0 (2,1,0) solusi (2,1,0) solusi
suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1.suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1.
DefinisiDefinisi
Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier didalam n variable: xpersamaan linier didalam n variable: x11, x, x22, …, x, …, xnn disebut sistem persamaan linier. disebut sistem persamaan linier.
Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi
disebut inconsisten. Sedangkan sistem persamaan disebut inconsisten. Sedangkan sistem persamaan linier yang mempunyai paling sedikit sebuah solusi linier yang mempunyai paling sedikit sebuah solusi disebut consisten.disebut consisten.
Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel.Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel. PP11: a: a11xx11+ a+ a22xx22=b=b11 (a (a1, 1, aa22≠0)≠0) PP22: a: a11xx11+ a+ a22xx22=b=b22 (c (c1, 1, cc22≠0)≠0)
Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka:dalam grafik, maka:
U2
X1
U2
X1
U2
X1
P1
P2
Inconsisten
P1P2
P2
Konsisten
Penyajian SPL dengan persamaan Penyajian SPL dengan persamaan matriksmatriks
a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+a2nxn = b2
:
am1x1 + an2x2 + an3x3 + …+annxn = bm
x = b =
matriks koefisien
SPL umum:
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2n
:
am1 am2 am3 amn
x1
x2
:
xm
b1
b2
:
bm
A =
Ax = b
Penyajian SPL sebagai matriks Penyajian SPL sebagai matriks augmentedaugmented
a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +… + a2nxn = b2
:am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn =
bm
matriks augmented
a11 a12 a13 … a1n b1
a21 a22 a23 … a2n b2
:
.
am1 am2 am3 … amn bm
SUSUNAN PERSAMAAN LINIER
HOMOGENAX=0
NON HOMOGENAX=B, B≠0
SELALU ADA JAWAB TAK PUNYA JAWABR(a)≠r(A,B)
MEMPUNYAI JAWAB
JAWAB HANYA JAWAB TRIVIAL
(NOL);R=N
SELAIN JAWAB TRIVIAL, ADA JUGA JAWAB NONTRIVIAL R<N
JAWAB UNIK(TUNGGAL)
R=N
BANYAK JAWAB
R<N
Untuk menyelesaikan persamaan linier menggunakan metode ”Gauss. Untuk menyelesaikan persamaan linier menggunakan metode ”Gauss. Jordan” yaitu: merubah matriks Jordan” yaitu: merubah matriks augmented augmented (A|B) menjadi matriks eselon (A|B) menjadi matriks eselon terreduksi dengan cara melakukan transformasi elementer.terreduksi dengan cara melakukan transformasi elementer.
Bentuk umum:Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0 Ax = B, dimana B≠0
Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila :Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila :
Rank(A) = Rank(A|B)Rank(A) = Rank(A|B)
Contoh ;Contoh ;
1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 31. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3
Jawab: Jawab:
-3x+6y=-9-3x+6y=-9
x-2y=3x-2y=3
Dalam bentuk matriks=Dalam bentuk matriks=
0:00
3:21B
9:63
3:21B
3:21
9:63-B)|(A
BxA 3
9
21
63
~
(3)21
~12
atauy
x
R(a)=r(A|B)=1 r<nJumlah variabel=2 1<2
Jadi jawabnya tidak tunggal.
Sistem Persamaan Linier Non Homogen
2. Selesaikan sistem persamaan linier non 2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogenhomogen
Di bawah ini :Di bawah ini :
Jawab :Jawab :
ContohContoh
4 2x 4x 2x
3 x 3x 4x
1 2x x 3x
2 x 2x x
321
321
321
321
B xA
4
3
1
2
x
x
x
242
134
213
121
3
2
1
4242
3134
1213
2121~
)3(21B
~
)4(31B
~
)2(41B
0000
55110
5550
2121~
)5/1(2B
0000
55110
1110
2121
~
)5/1(2B
0000
55110
1110
2121~
)2(12B
)11(32B
0000
6600
1110
0101~
)6/1(3B
0000
1100
1110
0101~
)1(13B
)1(23B
0000
1100
0010
1001
Rank (A) = R (A|B) = 3 =banyaknya variabelRank (A) = R (A|B) = 3 =banyaknya variabel
Jadi jawabnya tunggalJadi jawabnya tunggal
Matriks lengkap di atas menyatakan:Matriks lengkap di atas menyatakan:
Sehingga sebagai penyelesaiannya : Sehingga sebagai penyelesaiannya :
1 x 1 x 0x 0x
0 xatau 0 0x x 0x
1 x 1 0x 0x x
3321
2321
1321
1
0
1
x
x
x
x
3
2
1
Sistem Persamaan Linier HomogenSistem Persamaan Linier Homogen
bentuk umum: Ax = 0, yaitu:bentuk umum: Ax = 0, yaitu:
aa11 11 xx1 1 + a+ a12 12 xx2 2 + ... a+ ... a1n 1n xxn n = 0= 0
aa21 21 xx2 2 + a+ a22 22 xx2 2 + ... a+ ... a2n 2n xxn n = 0= 0
aam1 m1 xxmm+a+am2 m2 xxm m + ... a+ ... amn mn xxn n = 0= 0
Atau=Atau=
0
0
0
2
1
2
22221
11211
nmnmmn
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
Matriks A berukuran (m x n)Matriks x berukuran (n x 1)Matriks o berukuran (m x 1)Karena matriks lengkapnya (A|Õ) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A|Õ). Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten).
ContohContoh1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :
Jawab :Jawab :
Sehingga solusinya :Sehingga solusinya :
Yaitu solusi trivial atau Yaitu solusi trivial atau
0 x 2x x
0 2x x x
0 x x x
321
321
321
0
0
0
x
x
x
121
211
111
atau
3
2
1
0121
0211
0111
0)|(A~
)1(21B
)1(31B
0010
0100
0111~23B
0100
0010
0111 ~
)1(12B
)1(13B
0100
0010
0001
0 x 0x 0x
0 0x x 0x
0 0x 0x x
321
321
321
0 x, 0 x, 0 x 321
0 x
2. Selesaikan sistem persamaan linier di 2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini :bawah ini :
Jawab :Jawab :
0 x x2x
0 4x 2x 3x x
0 x x x x
431
4321
4321
0
0
0
x
x
x
x
1102
4231
1111
atau
4
3
2
1
01102
04231
01111
0)|A(~
)1(21B
)2(31B
03120
03120
01111~
)1(32B
Rank (A) = (A|0) = 2< n Rank (A) = (A|0) = 2< n = 4= 4
jadi solusinya tidak jadi solusinya tidak tunggaltunggal
(banyak)(banyak)
00000
03120
01111~
)2/1(2B
00000
02/32/110
01111~
)1(12B
00000
02/32/110
02/12/101
0 x2
3 x
2
1 x 0x
0 x2
1 x
2
1 0x x
4321
4321
432
431
x2
3 x
2
1 x
x2
1 x
2
1x
Dimana : xDimana : x33 dan x dan x44 bebas. bebas.
Sehingga :Sehingga :
Berlaku untuk setiap bilangan riil a & bBerlaku untuk setiap bilangan riil a & b
b 2
3 a
2
1- x
b 2
1 a
2
1- didapat x
b dan x a untuk x
2
1
43
1
0
3/2-
1/2
b
0
1
1/2-
1/2-
a
b0a
0ba
3/2b-1/2a-
1/2b1/2a-
x
x
x
x
x
4
3
2
1
DeterminanDeterminan
DeterminanDeterminanSetiap matriks bujur sangkar A yang Setiap matriks bujur sangkar A yang
berukuran berukuran
(nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang yang
disebut determinan matriks tersebut dan disebut determinan matriks tersebut dan ditulis ditulis
dengan det(A) atau |A|.dengan det(A) atau |A|.
Untuk menghitung determinan ordo n terlebih Untuk menghitung determinan ordo n terlebih
dahulu diberikan cara menghitung determinan dahulu diberikan cara menghitung determinan
ordo 2ordo 2
Menghitung determinanMenghitung determinan
3 1
4 2
1 2
2 4
2 1 3
3 1 2
Det(A) = (3) (-2) – (1)(4) = -10
Det(B) = (1)(4) – (2)(2) = 0
Det(C) = tidak didefinisikan
A =
B =
C =
Hitunglah determinan matriks berikut ini:
Aturan SarrusAturan SarrusAA11 = =
Det(ADet(A11) = (a) = (a1111.a.a22)22) – (a – (a1212.a.a2121) )
AA2 2 ==
Det(ADet(A22) = a) = a1111.a.a2222.a.a3333 + a + a1212.a.a2323.a.a3131 + a + a1313.a.a2121.a.a3232 – – (a(a1313.a.a2222.a.a3131 + a + a1111.a.a2323.a.a3232 + a + a1212.a.a2121.a.a3333))
2221
1211
aa
aa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
2221
1211
aa
aa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
a11 a12
a21 a22
a31 a32
+-
+++- - -
Aturan Sarrus (lanjt)Aturan Sarrus (lanjt)
M = M =
K = K =
Pertanyaan: Apakah Pertanyaan: Apakah metode di atasmetode di atas dapat diterapkan pada dapat diterapkan pada matriks 4x4, 5x5 dst?matriks 4x4, 5x5 dst?
3 1
4 2
3 2 2
1 2 3
4 4 5
3 2
1 2
4 4- - - + ++
Det(M) = 3.-2 – (1.4) = -10
Det(K) = 3.2.5+2.3.4+2.1.4- (2.2.4 + 3.3.4 + 2.1.5) = 30 + 24 +8 – (16+36+10) = 62 – 62 = 0
Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n≥3 perlu lebih dahulu definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb :
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i
kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
A =
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :an1 an2……anj……. ann
Mij= det
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :an1 an2……anj……. ann
Cij =(-1)i+j Mij
MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN KOFAKTOR
Definisi determinan matriks Definisi determinan matriks dengan kofaktordengan kofaktor
n
ij iji=1
a Cn
ij ijj=1
a C
Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau ekspansi kolom ke j) adalah :
A=
Mij det matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke j matriks A.
Cij=(-1)i+jMij
Det(A) = =
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :an1 an2……anj……. ann
Contoh: Minor dan kofaktorContoh: Minor dan kofaktor
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
A = M13 = det
Cij = (-1)i+jMij
C13 = (-1)1+3M13
a21 a22
a31 a32
A = M13 = det
C13 = (-1)1+3M13
a21 a22
a31 a32
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
Contoh:Contoh:Hitunglah semua minor dan kofaktor matriks berikut ini:Hitunglah semua minor dan kofaktor matriks berikut ini:
3 0 0 1 2 0 4 4 5
M11=
C22=
M13=
C23=
C32=
M12=
C31=
C21= + - + - + - + - +
C33=
Det 2 0
4 5
= 10
Det 1 0
4 5
= 5
Det 1 2
4 4
= -4
0
15
-12
0
0
6
?
?
?
?
?
?
C11= (-1)1+1 10 = 10C12= (-1)1+2 5 = -5
C13= (-1)1+3 -4 = -4
Menghitung determinan dengan Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolomekspansi baris/kolom
AA = =
(1 1) (1 2) 1 311 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )a a a a a a a a a a a a a a a Det(A) =
Det(A) =
Det(A) =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31a a a a a a a a a a a a a a a a a a
11 11 12 12 13 13a C a C a C
21 21 22 22 23 23a C a C a C
Det(A) =
C11 C12 C13
Ekspansi baris
pertamaEkspansi baris kedua
MenghitungMenghitung determinan dengan ekspansi determinan dengan ekspansi baris/kolombaris/kolom
AA = =
Det(A) =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 11 12 12 13 13a C a C a C
=
=
21 21 22 22 23 23a C a C a C
21 21 22 22 23 23a C a C a C
11 11 21 21 31 31a C a C a C
21 21 22 22 23 23a C a C a C
21 21 22 22 23 23a C a C a C
=
=
=
ekspansi baris pertamaekspansi baris keduaekspansi baris ketigaekspansi kolom pertama
?
?
Contoh:Contoh:3 0 0 1 2 0 4 4 5
C11= 10
C22= 15
C13= -4 C23= -12
C32= 0 C12= -5
C31= 0
C33= 6
C21= 0
Determinan A dengan ekspansi baris ketiga:Det(A) = 4x0 + 4x0 + 5x6 = 30
Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga:Det(A) = 5x6 = 30
ada 9 (= 3x3) kofaktor
Determinan matriks 4x4 dengan Determinan matriks 4x4 dengan kofaktorkofaktor
11 11 12 12 13 13 14 14a C +a C +a C +a C
1
n
ij ijj
a C
31 31 32 32 33 33 34 34a C +a C +a C +a C
11 12 13
21 22 23
41 42 43
a a a
a a a
a a a
A= M34= det C34=(-1)3+4M34
Ada berapa banyak kofaktor? Ada 16 kofaktor Cij, i, j = 1, 2, 3, 4
Det(A) = ekspansi baris pertama
ekspansi ………=
Ada ……. cara menghitung determinan A dengan kofaktor
8 baris ke tiga
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
Menghitung determinan matriks 4x4 Menghitung determinan matriks 4x4 dengan kofaktordengan kofaktor matriks 4x4matriks 4x4 berikut: berikut:
Ekspansi baris 1:Ekspansi baris 1:
11418.130.170.156.1)( ADet
4113
3124
2311
1111
A
1414131312121111 ....)( CaCaCaCaADet
413
312
231
11
C
2100
770
231 210
77 56)7014(
413
314
231
12
C
1080
5110
231
108
511
70)40110(
433
324
211
13
C
1060
560
211
106
56
303060
133
124
311
14
C
860
1160
311
86
116
18)6648(
SIFAT - SIFAT SIFAT - SIFAT DETERMINANDETERMINANSifat 1Sifat 1
det(Adet(Att) = det(A)) = det(A)Contoh :Contoh :
det(A) = 7 det(Adet(A) = 7 det(Att) = ) = 77
Sifat 2Sifat 2Jika matriks B adalah hasil dari matriks A Jika matriks B adalah hasil dari matriks A
dengan menukarkan dua baris sebarang, makadengan menukarkan dua baris sebarang, maka
det(B) = - det(A)det(B) = - det(A)
34
25A
32
45tA
ContohContohDiberikan matriksDiberikan matriks
maka det(A) = 6.maka det(A) = 6.
JikaJika , maka det(B) = -det(A) = - , maka det(B) = -det(A) = -6.6.
213
312
321
A
213
321
312
B
Sifat 3Sifat 3
Jika matriks B diperoleh dari matriks A Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengalikan bil.real k dengan satu dengan mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari matriks A, makabaris (kolom) dari matriks A, maka
det(B) = k.det(A)det(B) = k.det(A)
Contoh:Contoh:Diberikan matriks Diberikan matriks dgn det(A) = 12dgn det(A) = 12
Jika Jika det(B) = 2.det(A) = 2.12 = det(B) = 2.det(A) = 2.12 = 2424
011
624
321
A
011
312
321
2B
Sifat Sifat 44
Jika matriks B diperoleh dari matriks A Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real sebarang kemudian dgn bil.real sebarang kemudian menambahkannya ke baris (kolom) lain, menambahkannya ke baris (kolom) lain, makamaka
det(B) = det(A)det(B) = det(A)
Contoh :Contoh :
Diberikan matriks Diberikan matriks , det(A) = , det(A) = 12.12.
Jika Jika , maka det(B) = det(A) = , maka det(B) = det(A) = 1212
011
624
321
A
310
624
321
B
Sifat 5Sifat 5
Jika suatu matriks terdiri dari dua baris Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom) yang elemen – elemennya (kolom) yang elemen – elemennya sama, maka determinannya adalah nol.sama, maka determinannya adalah nol.
ContohContoh
Matriks Matriks mpy determinan nol. mpy determinan nol.
Sifat 6Sifat 6
Jika suatu matriks terdiri dari satu baris Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom) dengan elemen nol, maka (kolom) dengan elemen nol, maka determinannya adalah nol.determinannya adalah nol.
111
320
111
A
Sifat 7Sifat 7Jika matriks A=[aJika matriks A=[aijij], 1], 1 i i n, 1 n, 1 j j n, n, adalah matriks segitiga atas (bawah) adalah matriks segitiga atas (bawah) makamaka
det(A) = adet(A) = a1111.a.a2222. . … .a… .annnn
Contoh :Contoh :
Diberikan matriksDiberikan matriks makamaka
det(A) = 1.(-2).2 = -4det(A) = 1.(-2).2 = -4
200
120
321
A
Sifat 8Sifat 8 Jika matriks A dan B dapat Jika matriks A dan B dapat dikalikan,makadikalikan,maka
det(AB) = det(A).det(B)det(AB) = det(A).det(B)
Sifat 9Sifat 9 Jika matriks Jika matriks AA invertible, maka invertible, maka
det(det(AA-1-1) = ) = )det(
1
A
Determinan matriks sederhanaDeterminan matriks sederhana
a11 a12…a1j …a1n
0 a22 …a2j…a2n : : : :0 0 …aij….ain
: : :0 0… 0 .... ann
a11 0 …0 … 0
0 a22 …0 … 0 : : :0 0 …aij
… 0: : :0 0… 0 .... ann
Matriks diagonal
Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri diagonal
utama.
A=Det(A) = a11a22a33…ann
Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0), kecuali a11a22a33…ann.
Det(B) = a11a22a33…ann
B=
Matriks segitiga
Determinan matriks dengan Determinan matriks dengan baris/kolom nolbaris/kolom nol
Pertanyaan: apakah matriks yang tidak mempunyai inverse determinannya no?
Matriks dengan baris / kolom nol
A= Det(A) = 0
Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0). Jadi semua hasil kali elementer adalah nol.
Det(B) =0
B=
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :0 0…… 0……. 0
a11 0…….a1j ……a1n
a21 0……a2j…….a2n : : : :ai1 0……aij…….. ain
: : : :an1 0……anj……. ann
Contoh :Contoh :Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini:Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini:
12 27 56 11
13 1 23 90
11 35 11 41
0 0 0 0
B
14 98 0 42
15 11 0 54
70 42 0 31
82 74 0 66
K
41 10 14
41 10 14
0 9 1
M
19 0 0
0 0 0
0 0 18
D
Det(D) =0
Det(B) =0
Det(K) =0
Det(M) =0
Determinan dan operasi Determinan dan operasi baris elementerbaris elementer
Pengaruh tukar baris pada nilai Pengaruh tukar baris pada nilai determinandeterminan
1 3A'
2 4
3 3 6
B' 2 0 1
1 4 2
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R1 R2
Det(A’) = 2
Det(B’) = -45
R1 R3
menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer
bertanda berubah determinannya (-1) kali determinan
semula.
det(X’) = -det(X)X X’ dengan tukar baris
Pengaruh perkalian baris dengan skalar Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinanpada nilai determinan
1 3A'
20 40
1 4 2
B' 2 0 1
1 1 2
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R2 10 R2
Det(A’) = -20
Det(B’) = 15 = 1/3 det(B)
R3 1/3 R3
satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali
elementer bertandanya dikalikan k determinannya adalah
k kali determinan matriks semula.
det(X’) = kdet(X)X X’ dengan mengalikan baris dengan k
Pengaruh jumlahan baris dengan Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris lain pada nilai determinankelipatan baris lain pada nilai determinan
1 3A'
4 10
1 4 2
B' 3 1 3
3 3 6
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R2 R2 + 2R1
Det(A’) = -2
Det(B’) = 45 = det(B)
R2 R2 +1/3 R3
Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak
mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai
determinannya tidak berubah.det(X’) =
det(X)X X’ dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain:
Pengaruh operasi baris elementer Pengaruh operasi baris elementer pada nilai determinan pada nilai determinan Kesimpulan:Kesimpulan:
menukar dua baris menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer tanda dari setiap hasil kali elementer
bertanda berubah bertanda berubah determinannya (-1) kali determinan determinannya (-1) kali determinan
semula.semula.
satu baris dikalikan dengan konstanta k satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali setiap hasil kali
elementer bertandanya dikalikan k elementer bertandanya dikalikan k determinannya adlah determinannya adlah
k kali determinan matriks semula.k kali determinan matriks semula.
Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak
mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai
determinannya tidak berubah.determinannya tidak berubah.
Menghitung determinan dengan Menghitung determinan dengan operasi baris elementer (OBE)operasi baris elementer (OBE)
Det(I) = 1
A mempunyai inverse
A I
Det(A)r kali tukar baris
s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks),
t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain
Det(I) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A) 1 = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)Det(A) = (-1)r / (k1 k2 k3 … ks)
Bentuk ebt A
A mempunyai inverse maka det(A) ≠ 0
Menghitung determinan dengan Menghitung determinan dengan operasi baris elementeroperasi baris elementer
Det(A’) = 0
A TIDAK mempunyai inverse
A
Det(A)r kali tukar baris
s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks),
t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain
Det(A’) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A) 0 = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
Det(A) = 0
0 0 … 0
A TIDAK mempunyai inverse
Bentuk ebt A Mempunyai
baris nol
Contoh: menghitung determinan Contoh: menghitung determinan dengan operasi baris elementerdengan operasi baris elementer
B2 =
R2 ¼ * R2
R1 R2
B2 direduksi menjadi matriks identitas dengan2 kali tukar baris, sekali mengalikan dengan konstanta ¼
Det(B2) = (-1) 2 1/( ¼ )
= (+1) . 1/(1/4) = 1/( ¼ ) = 4
0 4 0
0 0 1
1 0 0
R2 R3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 4 0
0 0 1
0 4 0
1 0 0
0 0 1
I
Aplikasi determinan: Aplikasi determinan: Aturan CramerAturan Cramer
Aplikasi determinan untuk Aplikasi determinan untuk menyelesaiakan Sistem menyelesaiakan Sistem
Persamaan LinierPersamaan Linier
Metode-metode Penyelesaian Metode-metode Penyelesaian SPLSPL
A-1 A x = b
Sebutkan metode-metode penyelesaian SPL yang kamu ketahui! Jawab:
• Metode Eliminasi Substitusi
• Metode Geometris
• Eliminasi Gauss-Jordan
Diberikan SPL Ax = b, dengan A matriks persegi. Jika A mempunyai inverse, maka SPL dapat diselesaikan dengan menggunakan A-1 dan menggunakan determinan (Aturan Cramer).
Dengan menggunakan inverse SPL sbb:Kalikan kedua ruas dengan A-1
A-1
I x = A-1bPenyelesaian SPL
Penyajian SPL dengan persamaan Penyajian SPL dengan persamaan matriksmatriks
a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+ a2nxn = b2
:
an1x1 + an2x2 + an3x3 + …+ annxn = bn
x = b =
matriks koefisien
SPL
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
:
an1 an2 an3 … ann
x1
x2
:
xn
b1
b2
:
bn
A =
Ax = b
Aturan CramerAturan Cramer
x = b =
a11 a12 … a1j … a1n
a21 a22 … a2j … a2n
:
an1 an2 … anj … ann
x1
x2
:
xn
b1
b2
:
bn
A =
b1 a12 … a1j … a1n
b2 a22 … a2j … a2n
:
bn an2 … anj … ann
A1 =
a11 a12 … b1 … a1n
a21 a22 … b2 … a2n
:
an1 an2 … bn … ann
Det(Aj) =
Penyelesaian SPL:
xj = det(Aj)/ det(A)
j = 1, 2, …, n
Contoh:Contoh:x + y + z =2
2x - y - z =1
x - y + 2z =-3
SPL
SPL dalam persamaan matriks
1 1 22 -1 -11 -1 2
x
yz
1
1-3
=
A1=
A2=
1 1 21 -1 -1
-3 -1 2
1 1 22 1 -11 -3 2
A3=
1 1 12 -1 11 -1 -3
A
X = det(A1)/det(A) =-10/(-10) = 1
y = det(A2)/det(A) =-20/(-10) = 2
z = det(A3)/det(A) = 10/(-10) = -1
Det(A1) = -10
Det(A2) = -20
Det(A3) = 10
Det(A) = 10
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan?Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan?Karena menggunakan determinan matriks koefisien Karena menggunakan determinan matriks koefisien sebagai pembagi, maka Aturan Cramer dapat diterapkan sebagai pembagi, maka Aturan Cramer dapat diterapkan jika matriks koefisiennya persegi dan determinannya tidak jika matriks koefisiennya persegi dan determinannya tidak nol (atau matriks koefisien mempunyai inverse.nol (atau matriks koefisien mempunyai inverse.
xj = det(Aj)/ det(A) j = 1, 2, …, n
SPL: Ax = b
Dengan Aturan Cramer, penyelesaian dapat diperoleh dengan rumus berikut ini
Invers matriksInvers matriks
INVERS MATRIKSINVERS MATRIKS• Definisi :Definisi :
Jika A dan B adalah sebarang matriks Jika A dan B adalah sebarang matriks bujur sangkar sedemikian sehingga bujur sangkar sedemikian sehingga AB=BA=I. Maka B merupakan invers dari AB=BA=I. Maka B merupakan invers dari A atau AA atau A-1-1 dan sebaliknya. Matriks yang dan sebaliknya. Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau mempunyai invers disebut invertible atau non singular.non singular.
• Untuk mendapatkan AUntuk mendapatkan A-1-1, dapat dilakukan , dapat dilakukan dengan cara : dengan cara : 1. Metode Matriks Adjoint / Determinan1. Metode Matriks Adjoint / Determinan2. Metode Operasi Baris Elementer (OBE) 2. Metode Operasi Baris Elementer (OBE)
atau Operasi Kolom Elementer (OKE)atau Operasi Kolom Elementer (OKE)
Mencari Invers dengan Matriks Adjoint
Ingat kembali sifat matriks adjoint, yaitu :A adj(A) = adj(A) A = |A| I
Jika |A| ≠ 0, maka :
A = A = I
||
)(
A
Aadj
||
)(
A
Aadj
||
)(
A
Aadj
Menurut definisi matriks invers :
A A-1 = A-1 A = I
Ini berarti bahwa :
A-1 = dengan |A| ≠ 0
Carilah invers dari A =
dc
ba
Solusi :C11 = M11 = d
C12 = - M12 = - c
C21 = - M21 = - b
C22 = M22 = a
adj(A) =
2212
2111
CC
CC=
ac
bd
| A | = ad – bc
A-1 = ||
)(
A
Aadj=
ac
bd
bcad 1
Carilah invers dari A =
321
231
442
Solusi : C11 = M11 = - 5
C12 = - M12 = 1
C13 = M13 = 1
C21 = - M21 = 4
C22 = M22 = - 2
C23 = - M23 = 0
C31 = M31 = - 4
C32 = - M32 = 0
C33 = M33 = 2
adj(A) =
332313
322212
312111
CCC
CCC
CCC
=
201
021
445
|A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2
A-1 = ||
)(
A
Aadj=
2
1
201
021
445
=
10
01
22
21
21
25
Mencari invers dengan OBE
Jika A matriks persegi non singular, dengan OBE terhadap A dapatdireduksi menjadi bentuk normal I sedemikian hingga :
P A = I
dengan P hasil penggandaan matriks elementer (baris).
Selanjutnya, P A = IP-1 P A = P-1 II A = P-1
A = P-1
Ini berarti A-1 = P
Dengan demikian hasil penggandaan matriks elementer (baris) ini padahakekatnya adalah invers dari matriks A.
Teknis pencarian invers dengan OBE :
(A | I) ~ (I | A-1)
Mencari invers dengan OKE
Jika A matriks persegi non singular, dengan OKE terhadap A dapatdireduksi menjadi bentuk normal I sedemikian hingga :
A Q = I
dengan Q hasil penggandaan matriks elementer (kolom).
Selanjutnya, A Q = IA Q Q-1 = I Q-1
A I = Q-1
A = Q-1
Ini berarti A-1 = Q
Dengan demikian hasil penggandaan matriks elementer (kolom) ini padahakekatnya adalah invers dari matriks A.
Teknis pencarian invers dengan OKE :
~
I
A
1A
I
Carilah invers dari B =
321
231
442dengan melakukan OBE !
Solusi :
(B | I) =
100321
010231
001442 H13
001442
010231
100321 H21(1)
201200
110110
100321
H31(2)
H1(-1)
H3(-1/2)
10100
110110
100321
21
H13(-3)
H23(1)
10100
01010
20021
21
21
23 H12(-2)
10100
01010
22001
21
21
25
= (I | B-1)
Jadi B-1 =
10
01
22
21
21
25
~ ~ ~
~~
Carilah invers dari B =
321
231
442dengan melakukan OKE !
Solusi :
I
B=
100
010
001321
231
442K21(-2)
K31(-2)
100
010
221101
011
002K12(-1)
100
011
223101
010
002K13(-1)
101
011
225100
010
002K1(1/2)
10
01
22100
010
001
21
21
25
K3(-1)
10
01
22100
010
001
21
21
25
=
1B
I
~ ~ ~ ~
~
Jadi B-1 =
10
01
22
21
21
25
Sifat-sifat Matriks Invers
(1) Matriks invers (jika ada) adalah tunggal (uniqe)
Andaikan B dan C adalah invers dari matriks A, maka berlaku :AB = BA = I, dan jugaAC = CA = ITetapi untuk : BAC = B(AC) = BI = B ....................(*)
BAC = (BA)C = IC = C .....................(**)Dari (*) dan (**) haruslah B = C.
(2) Invers dari matriks invers adalah matriks itu sendiri.
Andaikan matriks C = A-1, berarti berlaku :AC = CA = I (*)Tetapi juga berlaku C C-1 = C-1 C = I (**)Dari (*) dan (**) berarti :C-1 = A(A-1)-1 = A.
Sifat-sifat Matriks Invers
(3) Matriks invers bersifat nonsingular (determinannya tidak nol )
det (A A-1) = det (A) det (A-1)det (I) = det (A) det (A-1)1 = det (A) det (A-1) ; karena det (A) 0 , maka :
det (A-1) =
ini berarti bahwa det (A-1) adalah tidak nol dan kebalikan dari det (A).)det(
1
A
(4) Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi berdimensi n, dan berturut-turut A-1 dan B-1 adalah invers dari A dan B, maka berlaku hubungan : (AB)-1 = B-1 A-1
(AB) (AB)-1 = (AB)-1 (AB) = I (*)di sisi lain :(AB) (B-1 A-1) = A(BB-1) A-1 = A I A-1 = A A-1 = I(B-1 A-1) (AB) = B-1(A-1A) B = B-1 I B = B-1 B = I (**)
Menurut sifat (1) di atas matriks invers bersifat uniqe (tunggal), karena itu dari (*) dan (**) dapatlah disimpulkan bahwa (AB)-1 = B-1 A-1 .
Sifat-sifat Matriks Invers
(5) Jika matriks persegi A berdimensi n adalah non singular, maka berlaku (AT)-1 = (A-1)T .
Menurut sifat determinan : AT = A 0, oleh sebab itu (AT)-1 ada, dan haruslah :(AT)-1 AT = AT (AT)-1 = I (*)Di sisi lain menurut sifat transpose matriks :(A A-1)T= (A-1)T AT
IT= (A-1)T AT
(A-1)T AT = I, hubungan ini berarti bahwa (A-1)T adalah juga invers dari AT. Padahal invers matriks bersifat tunggal, oleh karena itu memperhatikan (*),haruslah :(A-1)T = (AT)-1 .
Vektor dan SkalarVektor dan Skalar
VektorVektor adalah Besaran yang mempunyai besar adalah Besaran yang mempunyai besar dan arah.dan arah.Contoh :Contoh :• Kecepatan, momentum, berat, percepatan, Kecepatan, momentum, berat, percepatan,
gaya dan lain-laingaya dan lain-lain
SkalarSkalar adalah besaran yang mempunyai besar adalah besaran yang mempunyai besar tapi tanpa arah.tapi tanpa arah.Contoh :Contoh :• Volume, massa, panjang, waktu dan lain-lainVolume, massa, panjang, waktu dan lain-lain
Vektor dan Skalar
Penyajian VektorPenyajian Vektor• Ekor panah disebut ttk pangkalEkor panah disebut ttk pangkal
• Arah panah menentukan Arah panah menentukan
arah vektorarah vektor
• Panjang panah menentukanPanjang panah menentukan
arah vektorarah vektor
• Ujung panah disebutUjung panah disebut
ttk ujungttk ujung
• Maka vektor v =Maka vektor v =
VV = AB = AB
98
Aljabar VektorAljabar Vektor
1. Vektor-vektor yang panjang dan 1. Vektor-vektor yang panjang dan arahnya samaarahnya sama
vv = = ww = = zz
2. Vektor negatif Adalah vektor yang 2. Vektor negatif Adalah vektor yang besarnya sama tetapi arahnya besarnya sama tetapi arahnya terbalik/berlawananterbalik/berlawanan
3. Vektor Nol Vektor yang panjangnya nol Dinyatakan dengan O
4. Penjumlahan Vektor
+
5. Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya (k*panjang v)dan yang arahnya sama dengan arah v jika k>0 dan berlawanan arah dengan v jika k< 0
Jika a, b dan c adalah vektor-vektor serta m dan n Jika a, b dan c adalah vektor-vektor serta m dan n adalah skalar, maka :adalah skalar, maka :1. a + b = b + a 1. a + b = b + a ; Hukum Komutatif ; Hukum Komutatif untuk penjumlahanuntuk penjumlahan2. a + (b+c) = (a+b)+c ; Hukum Assosiatif 2. a + (b+c) = (a+b)+c ; Hukum Assosiatif
untuk untuk penjumlahanpenjumlahan3. ma = am ; Hukum Komutatif untuk 3. ma = am ; Hukum Komutatif untuk perkalian perkalian 4. m(na) = (mn)a ; Hukum Asosiatif untuk 4. m(na) = (mn)a ; Hukum Asosiatif untuk perkalianperkalian5. (m+n) a = ma + na ; Hukum Distributif5. (m+n) a = ma + na ; Hukum Distributif6. m (a + b) = ma + mb ; Hukum Distributif6. m (a + b) = ma + mb ; Hukum Distributif
Hukum Aljabar Vektor
1.1. Vektor dalam bidangVektor dalam bidang
OP = a (sepanjang OX) + b (sepanjang OY)OP = a (sepanjang OX) + b (sepanjang OY)
Jika i sebagai vektor satuan dalam arah oxJika i sebagai vektor satuan dalam arah ox
j sebagai vektor satuan dalam arah OYj sebagai vektor satuan dalam arah OY
maka : a = ai dan b = bjmaka : a = ai dan b = bj
Dengan demikian vektor OP = dapat ditulis Dengan demikian vektor OP = dapat ditulis sebagai :sebagai :
R = ai + bjR = ai + bj
y
xo
rp
Ѳa
b
Komponen-Komponen Vektor
2. Vektor dalam ruang2. Vektor dalam ruang Vektor OP dalam ruang atau dalam sistem koordinat OX, OY, Vektor OP dalam ruang atau dalam sistem koordinat OX, OY,
OZ dapat dilihat pada gambar berikut:OZ dapat dilihat pada gambar berikut:
Misal : OP = ai + bj + ck, maka : |r | = panjang vektor OP =OP = a² + b² + c²
x
y
p
z
o
b
c
a
r
HASIL KALI TITIK DAN SILANGHASIL KALI TITIK DAN SILANG
1. Hasil kali titik1. Hasil kali titik
Hasil kali titik (skalar) dua vektor A dan B Hasil kali titik (skalar) dua vektor A dan B
didefinisikan : didefinisikan :
A A B = B = AA BB cos cos dengan : dengan : AA dan dan BB masing-masing panjang vektor A masing-masing panjang vektor A
dan Bdan B adalah sudut antara vektor A dan B ( 0 adalah sudut antara vektor A dan B ( 0
) )
Hukum-hukum yang berlaku pada perkalian skalar
1. A B = B A2. A (B+C) = A B + A C3. m (A B) = (mA) B = A (mB) , m adalah
skalar4. i i = j j = k k = 1 , i j = j k = k i = 05. Jika A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i +
b2 j + b3 k maka A B = a1 b1 +a2 b2 + a3 b36. Jika A B = 0 dan A , B bukan vektor nol,
maka A dan B tegak lurus.
Hasil kali silang (vektor) dari A dan B adalah vektor C yang arahnya tegak Hasil kali silang (vektor) dari A dan B adalah vektor C yang arahnya tegak lurus vektor A dan B dengan mengikuti kaidah tangan kanan yang lurus vektor A dan B dengan mengikuti kaidah tangan kanan yang didefinisikan sebagai berikut :didefinisikan sebagai berikut :
A x B = A x B = AABB sin sin u u dengan :dengan :
- - adalah sudut antara A dan B ( 0 adalah sudut antara A dan B ( 0 ) )
- u adalah vektor satuan yang menunjukkan - u adalah vektor satuan yang menunjukkan
arah dari Carah dari C
2. Hasil Kali Silang
Hukum-hukum yang berlaku pada perkalian
silang (vektor) :1. A x B = - B x A
2. A x (B+C) = A x B + A x C
3. m (A x B) = (mA) x B = A x (mB) = (A x B)m, m adalah skalar
4. i x i = j x j = k x k = 0 , i x j = k , j x k = i , k x i = j
5. jika A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i + b2 j + b3 k , maka :
= (a2b3 - b2a3) i - (a1b3 - b1a3) j + (a1b2 - b1a2) k
6. Besarnya A x B = luas jajaran genjang dengan sisinya vektor A dan B
7. Jika A x B = 0 dan A = B 0 maka A dan B sejajar.
321
321
bbb
aaa
kji
BA x
ContohContohDiketahui Vektor A = 2i – 3j + k Diketahui Vektor A = 2i – 3j + k
B = – i + 4j + 5kB = – i + 4j + 5k
Maka :Maka :
1. A + B = (2 – 1) i + (–3 + 4) j + (1 + 5) k1. A + B = (2 – 1) i + (–3 + 4) j + (1 + 5) k
= i + j + 6k= i + j + 6k
2. A – B = (2 + 1) i + (–3 – 4) j + (1 – 5) k2. A – B = (2 + 1) i + (–3 – 4) j + (1 – 5) k
= 3i – 7j – 4k= 3i – 7j – 4k
3. A . B = (2)(-1) + (-3)(4) + (1)(5)3. A . B = (2)(-1) + (-3)(4) + (1)(5)
= -2 – 12 + 5 = -9= -2 – 12 + 5 = -9
4. 4.
= { (-3)(5) – (1)(4) }i – { (2)(5) – (1)(-= { (-3)(5) – (1)(4) }i – { (2)(5) – (1)(-1) }j 1) }j
+ { (2)(4) – (-1)(-3) }k+ { (2)(4) – (-1)(-3) }k
= (-15 – 4)i – (10 + 1)j + (8 – 3)k= (-15 – 4)i – (10 + 1)j + (8 – 3)k
= -19i – 11j + 5k= -19i – 11j + 5k
541-
13-2
kji
BA x
Hasil Kali Tripel dari Vektor A, B dan CHasil Kali Tripel dari Vektor A, B dan C
Hasil kali titik dan silang dari 3 buah Hasil kali titik dan silang dari 3 buah vektor A, B, dan C vektor A, B, dan C
dapat berbentuk :dapat berbentuk :
a. (A a. (A B) B) xx C C berupa vektorberupa vektor
b. A b. A (B (B xx C) C) berupa berupa skalarskalar
c. A c. A xx (B (B xx C) C) berupa berupa vektorvektor
Hasil Kali Tripel SkalarHasil Kali Tripel Skalar
xx
y
Ѳ = Sudut antara = Sudut antara dan
B & A B x A
C
C
B
A
B x A
Hasil kali tripel skalar dari vektor A,B & C adalah
Dimana = Luas jajaran genjang
= Tinggi paralelepipidum
jadi = merupakan volume paralelepipidum
cos|C|sin |B | | A|
cos |C||B x A| C).B x A(
sin |B | | A| cos|C|
C).B x A(
Ø
JikaJika
Karena perkalian skalar bersifat komutatif, Karena perkalian skalar bersifat komutatif, maka :maka :
Menurut sifat determinan, diperoleh :Menurut sifat determinan, diperoleh :
Hasil kali tripel skalar memenuhi hukum : Hasil kali tripel skalar memenuhi hukum :
maka ,k c j c i c C
k b j b i b B
k a j a i a A
321
321
321
321
321
321
ccc
bbb
aaa
(BxC) .A
C . BA x C x B .A
B) (A x . C A) x (C . B C) x (B .A
sebidang Cdan B , A
vektor- vektorjika hanya & jika 0 C) x (B .A
Hasil Kali Tripel VektorHasil Kali Tripel VektorHasil kali tripel vektor dapat dinyatakan :Hasil kali tripel vektor dapat dinyatakan :
Untuk membuktikan pernyataan tersebut digunakan Untuk membuktikan pernyataan tersebut digunakan
Perhitungan sebagai berikut =Perhitungan sebagai berikut =
A B) . C( - B )A . C( C x )B x A(
C )B . A( - B )C . A( )C x B( x A
maka ,k c j c i c C
k b j b i b B
k a j a i a A Misalkan
321
321
321
122131132332
321
321
321321
cb cbcb - cbcb - cb
aaa
kji
ccc
bbb
kji
xk) a j a i(a )C x B( x A
Medan SkalarMedan Skalar Ø Ø adalah jika pada tiap-tiap adalah jika pada tiap-tiap titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang dikaitkan sebuah bilangan atau skalar dikaitkan sebuah bilangan atau skalar Ø Ø (x,y,z).(x,y,z).
contoh:contoh:
1. Temperatur pada setiap titik didalam 1. Temperatur pada setiap titik didalam atau di atas atau di atas
permukaan bumi pada suatu saat tertentu permukaan bumi pada suatu saat tertentu
mendefinisikan sebuah medan skalar.mendefinisikan sebuah medan skalar.
2. Ø (x,y,z) = x2. Ø (x,y,z) = x33 y - z y - z33 mendefinisikan sebua mendefinisikan sebua medan medan
skalar. skalar.
Medan Skalar
Medan Vektor U adalah jika pada tiap-tiap titik Medan Vektor U adalah jika pada tiap-tiap titik (x,y,z) dar suatu daerah R dalam ruang dikaitkan (x,y,z) dar suatu daerah R dalam ruang dikaitkan sebuah vektor V(x,y,z).sebuah vektor V(x,y,z).
Contoh:Contoh:
1. Jika kecepatan pada setiap titik (x,y,z) dalam 1. Jika kecepatan pada setiap titik (x,y,z) dalam
sebuah fluida yang sedang bergerak diketahui sebuah fluida yang sedang bergerak diketahui
pada suatu saat tertentu, maka sebuah medan pada suatu saat tertentu, maka sebuah medan
vektor terdefinisi.vektor terdefinisi.
2. 2.
medefinisikan sebuah medan vektormedefinisikan sebuah medan vektor
Medan Vektor
k z x jz2y iy x z)y,V(x, 232
Diferensial VektorDiferensial Vektor
DIFERENSIAL VEKTORDIFERENSIAL VEKTOR
Fungsi VektorFungsi VektorJika untuk setiap nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor Jika untuk setiap nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor V, maka V dinamakan suatu fungsi dari t dan dinyatakan V, maka V dinamakan suatu fungsi dari t dan dinyatakan dengan V(t). dengan V(t). Dalam tiga dimensi kita menulis :Dalam tiga dimensi kita menulis :
V(t) = VV(t) = Vxx(t) i + V(t) i + Vyy(y) j + V(y) j + Vzz(t) k(t) k
Suatu vektor fungsi t secara grafik dilukiskan sebagai Suatu vektor fungsi t secara grafik dilukiskan sebagai lengkung dalam ruang, yaitu :lengkung dalam ruang, yaitu :
z
xy
y
t2
P(R, Y, Z)
t1
Turunan Fungsi VektorTurunan Fungsi Vektor
Turunan dari vektor fungsi V = V(t) didefinisikan Turunan dari vektor fungsi V = V(t) didefinisikan
sebagai limit :sebagai limit :
Dalam gambar berikut dapat dijelaskan sbb :Dalam gambar berikut dapat dijelaskan sbb :
o
V (t+
Δt) ΔV
P1
dt
vd
P(x,y,z))(tv
t
v lim
t
(t)v- t)(tv lim
dt
vd
0t
0t
dV/dt = dVdV/dt = dVxx/dt i + dV/dt i + dVyy/dt j + dV/dt j + dVzz/dt k/dt k
Rumus Diferensial :Rumus Diferensial :
1.1.d(A+B)/dt = dA/dt + dB/dtd(A+B)/dt = dA/dt + dB/dt
2.2.d(Ad(AB)/dt = dA/dt B)/dt = dA/dt B + A B + A dB/dt dB/dt
3.3.d(Ad(AxxB)/dt = dA/dt B)/dt = dA/dt xx B + A B + A xx dB/dt dB/dt
4.4.d(d(A)/dt = dA/dt A)/dt = dA/dt + + dA/dt dA/dt
5.5.d(Ad(ABxC)/dt = dA/dt BxC)/dt = dA/dt BxC + A BxC + A dB/dt x C + A dB/dt x C + A B x dC/dt B x dC/dt
6.6.d(Ax(BxC))/dt = dA/dt x (BxC) + A x (dB/dt x C) + A x (B x d(Ax(BxC))/dt = dA/dt x (BxC) + A x (dB/dt x C) + A x (B x dC/dt)dC/dt)
Jika lim V/t = dV/dt ada , maka limitnya akan berupa sebuah vektor yang searah dengan garis singgung pada kurva ruang di (x,y,z) dan dinyatakan sebagai :
Contoh :Contoh :
Bila sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah kurva yang Bila sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah kurva yang persamaan parameternya adalah : persamaan parameternya adalah :
x = ex = e-t-t , y = 2 cos 3t dan z = 2 sin 3t dalam t waktu, maka , y = 2 cos 3t dan z = 2 sin 3t dalam t waktu, maka ::
1.1.tentukan kecepatan dan percepatan pada setiap saat !tentukan kecepatan dan percepatan pada setiap saat !
2.2.hitung besar kecepatan dan percepatan pada waktu t = 0 !hitung besar kecepatan dan percepatan pada waktu t = 0 !
Jawab :a. Vektor posisi r dari partikel adalah : r = x i + y j + z k
r = e-t i + 2 cos 3t j + 2 sin 3t k Kecepatan V = dr/dt = -e-t i – 6 sin 3t j + 6 cos 3t k Percepatan a = dV/dt = e-t i - 18 cos 3t j – 18 sin 3t k b. Untuk t = 0 maka V = -i + 6k V = (-1)2 + 62 = 37 dan a = i – 18 j a = (1)2 + (-18)2 = 325
Turunan Parsial VektorTurunan Parsial Vektor
Jika sebuah vektor yang bergantung lebih dari pada satu Jika sebuah vektor yang bergantung lebih dari pada satu variabel skalar, misal variabel skalar, misal x,yx,y dan dan zz yang ditulis : yang ditulis :
Turunan parsial terhadap Turunan parsial terhadap x,y x,y dandan z z jika limitnya ada, jika limitnya ada, didefinisikan:didefinisikan:
A A x y z ( , , )
A
A
x
A x x y z A x y z
xx
lim( , , ) ( , , )
0
A
y
A x y y z A x y z
yy
lim( , , ) ( , , )
0
A
z
A x y z z A x y z
zz
lim( , , ) ( , , )
0
Untuk turunan yang lebih tinggi didefinisikan sbb.:Untuk turunan yang lebih tinggi didefinisikan sbb.:
2
2
2
2
2
2
A
x x
A
x
A
y y
A
y
A
z z
A
z
, ,
2 2A
x y x
A
y
A
y x y
A
x
,
3
3
2
2
3 2A
z z
A
z
A
x y z x
A
y zdst
, ,.........., .
Aturan-aturan untuk turunan parsial dari vektor-vektor mirip Aturan-aturan untuk turunan parsial dari vektor-vektor mirip dengan yang dipergunakan dalam kalkulus elementer dari dengan yang dipergunakan dalam kalkulus elementer dari fungsi-fungsi skalar.fungsi-fungsi skalar.
Jadi jika dan adalah fungsi-fungsi dari x,y dan z, maka :Jadi jika dan adalah fungsi-fungsi dari x,y dan z, maka :
1. 1.
2.2.
3.3.
Contoh:Contoh:
1. Jika A=(2x1. Jika A=(2x22y-xy-x44)i + (e)i + (exyxy – y sin x)j + (x – y sin x)j + (x22cos y)kcos y)k
tentukan : tentukan :
A B
2
2
2
2
2
2xA B
A
xB A
B
x( , )
2
2
2
2
2
2xA B
A
xB A
B
x( , )
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2y xA B
y xA B
y
A
xB A
B
x( , ) ( )
A
x
A
y
A
x
A
y
A
x y
A
y x, , , , ,
2
2
2
2
2 2
Contoh:Contoh: Jika A=(2xJika A=(2x22y-xy-x44)i + (e)i + (exyxy – y sin x)j + (x – y sin x)j + (x22cos y)kcos y)k
tentukan : tentukan :
jawab :jawab :
A
x
A
y
A
x
A
y
A
x y
A
y x, , , , ,
2
2
2
2
2 2
ky cos2x j x)cosy e(y i )4x -(4xy xy3 x
A
ky sin x- j sin x) e(x i 2x 2xy2 y
A
ky cos 2 j sin x)y e(y i )12x -(4y xy222
2
x
A
ky cos x- j e x 2xy22
2
y
A
ky sin 2x - j x)cos exy (e i4x xyxy2
yx
A
ky sin 2x j x)cos e xy (e i4x xyxy2
xy
A
Gradien, Divergensi & Gradien, Divergensi & CurlCurl
Gradien, Divergensi dan CurlGradien, Divergensi dan Curl
GradienGradienMis.Mis. (x,y,z) terdefinisi & differensiabel pada (x,y,z) terdefinisi & differensiabel pada tiap-tiap titik (x,y,z) dalam suatu daerah tiap-tiap titik (x,y,z) dalam suatu daerah tertentu dari ruang, maka gradien tertentu dari ruang, maka gradien , , didefinisikan sebagai berikut:didefinisikan sebagai berikut:
Grad. Grad. = =
Komponen dari Komponen dari dalam arah sebuah dalam arah sebuah vektor satuan a diberikan oleh vektor satuan a diberikan oleh ..aa dan dan disebut turunan arah dari disebut turunan arah dari pada arah pada arah aa..Secara fisis, ini adalah laju perubahan Secara fisis, ini adalah laju perubahan pada (x,y,z) dalam arah pada (x,y,z) dalam arah aa..
x
iy
jz
k
contohcontohJika , carilah (atau grad )pada Jika , carilah (atau grad )pada
titiktitik
(1,-2,-1).(1,-2,-1).
Jawab :Jawab :
232 zy -y 3x z)y,(x,
)zy -y (3x k) z
j y
i x
( 232
)zy -y (3x z
k )zy -y (3x y
j )zy -y (3x x
i 232232232
k z2y - j )zy3(3x ixy 6 3222
k 12)2( j })1()2(3 {3(1) i )2)(1(6 3222
k 16 - 9j - 12i-
Carilah vektor satuan yang tegak lurus terhadap Carilah vektor satuan yang tegak lurus terhadap permukaan permukaan
xx22y + 2xz = 4 pada titik (2,-2,3)y + 2xz = 4 pada titik (2,-2,3)
Jawab:Jawab:
(x(x22y + 2xz - 4 = (2xy + 2z)i + (xy + 2xz - 4 = (2xy + 2z)i + (x22)j + (2x)k)j + (2x)k
= ( -2i + 4j + 4k) pada us (2,-2,3)= ( -2i + 4j + 4k) pada us (2,-2,3)
Maka vektor satuan terhadap permukaan atas :Maka vektor satuan terhadap permukaan atas :
= =
Contoh :Contoh :
Jika Jika (x,yz) = 3x (x,yz) = 3x22y-yy-y22zz22, contoh , contoh (grad (grad ) pada titik (1,-2,-1)) pada titik (1,-2,-1)
Jawab:Jawab:
= =
= (6xy)i + (3x= (6xy)i + (3x22 – 3y – 3y22zz22)j – (2y)j – (2y33z)kz)k
= -12 i – 9 j – 16 k.= -12 i – 9 j – 16 k.
2 4 4
2 4 4
1
3
2
3
2
32 2 2
i j ki j k
( )
x
iy
jz
k x y y z
3 2 3 2
Cari lah sudut antara pemukaan xCari lah sudut antara pemukaan x22 + y + y22 + z + z22 = 9 = 9
Dan z = xDan z = x22 +y +y22 – 3, pada titik (2,-1,2) – 3, pada titik (2,-1,2)
Jawab :Jawab :Normal terhadap xNormal terhadap x22 + y + y22 + z + z22 = 9 di (2,-1,2) = 9 di (2,-1,2)
adalah : adalah : xx11 = = (x (x22 + y + y22 + z + z22) = 2x i + 2y j + ) = 2x i + 2y j + 2z k = 4i – 2j +4k2z k = 4i – 2j +4k
Normal terhadap xNormal terhadap x22 + y + y22 – z = 3 di (2,-1,2) – z = 3 di (2,-1,2) adalah : adalah : xx22 = = (x (x22 + y + y22 – z) = 2x i + 2y j – k = – z) = 2x i + 2y j – k = 4i – 2j – k 4i – 2j – k
0
222222
21
21
54 0,5819 cosax jadi
0,5819 63
218
216
4- 4 16
(-1) (-2) 4 . 4 (-2) 4
k)- 2j - (4i . 4k) 2j - (4i
|x| . |x|
)x( . )x( cos
DivergensiDivergensi
Misal V(x,y,z) = VMisal V(x,y,z) = V11 i + V i + V22 j + V j + V33 k terdefinisi dan k terdefinisi dan
diferensiabel pada daerah tertentu dari ruang.diferensiabel pada daerah tertentu dari ruang.
Maka divergensi V di tulis atau div.V di Maka divergensi V di tulis atau div.V di
definisikan oleh :definisikan oleh :
V.
z
V
y
V
x
V
)k V jV iV ( )k z
jy
ix
( V.
321
321
Tentukan konstanta a sehingga Tentukan konstanta a sehingga vektor : V = (x +3y) i + vektor : V = (x +3y) i + (y – 2z) j + (x + az) k adalah (y – 2z) j + (x + az) k adalah solenoidal jawab :solenoidal jawab :
sebuah vektor adalah soleoidal jika sebuah vektor adalah soleoidal jika divergensinya nol. divergensinya nol.
2- a apabila 0 2 a V . maka
a 2 a 1 1
ay) x (z
2z) y (y
3y) x (x
V .
Contoh :
CurlCurlJika V(x,y,z) adalah sebuah Jika V(x,y,z) adalah sebuah xx dan vektor deferensiabel, dan vektor deferensiabel, maka Curl atau rotasi dari V ditulis : Curl V atau Rot V, maka Curl atau rotasi dari V ditulis : Curl V atau Rot V, didefinisikan oleh :didefinisikan oleh :
==
==
==
xv
xi
yj
zk V i V j V k
1 2 3
i j k
v v vx y z
1 2 3
y z x z x y
v vi
v vj
v vk
2 3 1 3 1 2
ky
v
x
vj
z
v
x
vi
z
v
y
v
121323
ContohContoh Jika V = w x r, buktikan wJika V = w x r, buktikan w
dimana w = sebuah vektor konstantadimana w = sebuah vektor konstanta
jawab :jawab :
misal w = wmisal w = w11 i + w i + w22 j + w j + w33 k k
r = x i + y j + z k , maka :r = x i + y j + z k , maka :
V curl2
1
zyx
www
kji
x r) x (wx xV V curl 321
k )x w-y (w j )z w-x (w i y) w- z(wx 211332
x w-y wz w-x wy w- zwzyx
kji
211332
ContohContoh Jika V = w x r, buktikan wJika V = w x r, buktikan w
dimana w = sebuah vektor konstantadimana w = sebuah vektor konstanta
jawab :jawab :
misal w = wmisal w = w11 i + w i + w22 j + w j + w33 k k
r = x i + y j + z k , maka :r = x i + y j + z k , maka :
V curl2
1
zyx
www
kji
x r) x (wx xV V curl 321
k )x w-y (w j )z w-x (w i y) w- z(wx 211332
x w-y wz w-x wy w- zwzyx
kji
211332
Saat ini menunjukan bahwa curl dari Saat ini menunjukan bahwa curl dari sebuah sebuah
medan vektor mempunyai hubungan medan vektor mempunyai hubungan dengan dengan
sifat-sifat rotasi dari medan.sifat-sifat rotasi dari medan.
2w k)w j w i(w 2 321
V curl 2
1 V x
2
1 wmaka
Carilah turunan berarah dari :Carilah turunan berarah dari :
= x= x22yz + 4xzyz + 4xz22
Pada titik (1,-2,-1) dalam arah Pada titik (1,-2,-1) dalam arah 2i – j – 2k2i – j – 2k
Jawab:Jawab:
= = ((xx22yz + 4xzyz + 4xz22))
= (= (2xyz + 4z2xyz + 4z22) ) ii + ( + (xx22z)jz)j + ( + (xx22yy + + xzxz)k)k
dititik (1,-2,-1) maka :dititik (1,-2,-1) maka :
= = 8i – j – 10k8i – j – 10k
Vektor satuan dalam arah Vektor satuan dalam arah 2i – j –2k2i – j –2k adalah : adalah :
maka turunan berarah yang dikehendaki adalah :maka turunan berarah yang dikehendaki adalah :
= (= (8i – j – 10k8i – j – 10k))
==
Ai j k
i i k
2 2
2 1 2
2
3
1
3
2
32 2 2( ) ( )
A16
3
1
3
20
3
37
3
23
13
23i j k
Mis. V(x,y,z)= VMis. V(x,y,z)= V11i + Vi + V22j + Vj + V33k terdefinisi dan diferensiabel pada daerah k terdefinisi dan diferensiabel pada daerah tertentu dari ruang. Maka divergensi V ditulis tertentu dari ruang. Maka divergensi V ditulis .V atau div. V didevinisikan .V atau div. V didevinisikan oleh :oleh :
Jika A dan B adalah fungsi-fungsi vektor yang dideferensiabel dan Jika A dan B adalah fungsi-fungsi vektor yang dideferensiabel dan dan dan fungsi-fungsi SKALAR dari kedudukan (x,y,z) yang diferensiabel, maka :fungsi-fungsi SKALAR dari kedudukan (x,y,z) yang diferensiabel, maka :
1.1. ((++) = ) = ++2.2. .(A+B) = .(A+B) = .A + .A + .B.B3.3. x(A+B) = x(A+B) = xA + xA + xBxB4.4. .(.(A) = (A) = ().A + ).A + .A).A)5.5. x(x(A) = (A) = ()xA + )xA + ((.A).A)6.6. .(AxB) = B.( .(AxB) = B.( xA) – A.( xA) – A.( xB)xB)7.7. x(AxB) = (B.x(AxB) = (B.)A – B()A – B(.A) – (A. .A) – (A. )B + A()B + A(.B).B)8.8. (A.B) = (B. (A.B) = (B. )A + (A. )A + (A. )B + Bx()B + Bx(xA) + Ax(xA) + Ax(xB)xB)
9.9. .(.() = ) =
dimana , dimana , disebut operator laplace disebut operator laplace
10. 10. x(x(..) = 0, curl dari gradien ) = 0, curl dari gradien adalah Nol adalah Nol 11. 11. .(.(xA) = 0 , Difergen dari curl A adalah NolxA) = 0 , Difergen dari curl A adalah Nol12. 12. x(x(xA) = xA) = ((-A)- -A)- 22A A
22
2
2
2
2
2
x y z
22
2
2
2
2
2
x y z
Integral vektorIntegral vektor
Integral vektorIntegral vektorIntegral biasa dari vektorIntegral biasa dari vektorMis. R(t)=rMis. R(t)=r11 (t)I + r (t)I + r22 (t) j + r (t) j + r33 (t) k sebuah vektor (t) k sebuah vektor
yang tergantung pada variabel skalar t, dimana ryang tergantung pada variabel skalar t, dimana r11 (t), (t), rr22 (t) + r (t) + r33 (t) kontinu dalam internal yang (t) kontinu dalam internal yang ditentukan, maka:ditentukan, maka:
disebut integral tak tentu dari R(t). Bila terdapat disebut integral tak tentu dari R(t). Bila terdapat sebuah vektor s(t) sehingga R(t)= , maka:sebuah vektor s(t) sehingga R(t)= , maka:
dimana c adalah dimana c adalah konstanta sembarang. Integral tertentu dari R(t) konstanta sembarang. Integral tertentu dari R(t) dari t=a ke t=b didefinisikan sebagai berikut:dari t=a ke t=b didefinisikan sebagai berikut:
dttRkdttRjdttRidttr )()()()( 321
dt
tsd ))((
ctsdttsdt
ddttR )()(()(
)()()]())(()( asbstsdttsdt
ddttR b
a
b
a
Contoh:Contoh:1.1. Jika R(t)=(t-tJika R(t)=(t-t2)2) ) i+2t ) i+2t33 j-3k. j-3k.
carilah:carilah:
a.a.
b. b.
2. Percepatan sebuah partikel pada setiap saat t ≥ 0 2. Percepatan sebuah partikel pada setiap saat t ≥ 0 diberikan oleh: a=12 cos 2t i-8 sin 2t j+16t k diberikan oleh: a=12 cos 2t i-8 sin 2t j+16t k
jika kecepatan v dan pergeseran r adalah nol pada jika kecepatan v dan pergeseran r adalah nol pada t=0, carilah v dan r pada setiap saat.t=0, carilah v dan r pada setiap saat.
3. Jika A(t)=t i- t3. Jika A(t)=t i- t22 j+(t-1)k j+(t-1)k
B(t)=2tB(t)=2t22 i+6tk i+6tk
Hitunglah:Hitunglah:
a. B.a. B.
dttR )(
2
1
)( dttR
2
0
.BdtA dt 2
0Axb
INTEGRAL GARISINTEGRAL GARIS
Di dalam integral Garis kita akan mengintegralkan Di dalam integral Garis kita akan mengintegralkan
sepanjang kurva C di dalam ruang (Bidang) dan yang di sepanjang kurva C di dalam ruang (Bidang) dan yang di Integralkan akan merupakan fungsi yang terdefinisi Integralkan akan merupakan fungsi yang terdefinisi pada setiap sisi dari C.pada setiap sisi dari C.
Integral Garis yang lazim adalah panjang Busur, yang Integral Garis yang lazim adalah panjang Busur, yang dinyatakan dengan :dinyatakan dengan :
Jika C adalah kurva tertutup (kurva yang memotong Jika C adalah kurva tertutup (kurva yang memotong dirinya sendiri), maka integral mengelilingi C yang dirinya sendiri), maka integral mengelilingi C yang sering ditunjukkan oleh:sering ditunjukkan oleh:
dsc
c
ds
Contoh : 1.Hitunglah (xy2dx + x2y dy), dengan C adalah Busur Parabola y = x2 dari (-1,1) sampai (0,0) Jawab:
(xy2dx + x2y dy) :
=
= =
c
xy x y dy dx dx2 2
1
0
. /
x x x x x dx. . .4 2 2
1
0
2
x x x x x dx. . .5 5 2
1
0
2 2 3
3
6
1
25 6
1
0
1
0
x dx x
]
2. Hitunglah , dengan C adalah 2. Hitunglah , dengan C adalah segitiga dengan ujung-ujung (1,0), (1,1) dan (0,0)segitiga dengan ujung-ujung (1,0), (1,1) dan (0,0)
Jawab: Jawab:
sebagai parameter dapat digunakan variabel X, sebagai parameter dapat digunakan variabel X, integral C terdiri atas 3 potong garis sehingga. integral C terdiri atas 3 potong garis sehingga. Membentuk 3 integral, yaitu =Membentuk 3 integral, yaitu =
)( 22 dyxdy x
y
x(0,0)
(1,1)
IIIII
y=x
I (1,0)
y=xdy=dx
3
1
3
210
3
2
3
22
)(
10.)(
00.0)(
22
0
13
0
1
2
0
1
20
1
22)0,0(
)1,1(
2
1
0
1
0
1
1
22)1,1(
)0,1(
2
1
0
1
0
22)0,1(
)0,0(
2
dyxdxyjadi
xdxx
dyxdxydyxdxy
ydyydyxdxy
xdxdyxdxyI.
II.
III.
Integral Garis Sebagai Integral Integral Garis Sebagai Integral VektorVektor
Mis. Mis. rr(t)i + y(t)j + z(t)k, dimana (t)i + y(t)j + z(t)k, dimana rr(t) adalah vektor posisi dari ((t) adalah vektor posisi dari (xx,y,z) ,y,z) mendefinisikan sebuah kurva yang menghubungkan titik-titik Pmendefinisikan sebuah kurva yang menghubungkan titik-titik P11 dan dan PP22..
Mis. A(Mis. A(xx,y,z) = A,y,z) = A11ii + A + A22jj + A + A33kk sebuah fungsi vektor dari posisi yang sebuah fungsi vektor dari posisi yang didefinisikan dan kontinu sepanjang C, maka didefinisikan dan kontinu sepanjang C, maka integeral garisintegeral garis sepanjang C dan Psepanjang C dan P11 ke P ke P22, ditulis sebagai :, ditulis sebagai :
Jika A adalah gaya F pada sebuah partikel yang bergerak sepanjang C, Jika A adalah gaya F pada sebuah partikel yang bergerak sepanjang C, maka integeral garis ini menyatakan usaha yang dilakukan oleh gaya.maka integeral garis ini menyatakan usaha yang dilakukan oleh gaya.
Jika C adalah kurva tertutup, maka integeral yang mengelilingi C Jika C adalah kurva tertutup, maka integeral yang mengelilingi C ditunjukan oleh :ditunjukan oleh :
A dr A dr A dx A dy A dzccP
P
1 2 3
1
2
dzadyadxAdrA 321
Contoh:Contoh:1. Carilah usaha total yang dilakukan untuk menggerakan sebuah 1. Carilah usaha total yang dilakukan untuk menggerakan sebuah
partikel dalam medan gaya yang diberikan oleh F = 3partikel dalam medan gaya yang diberikan oleh F = 3xxyi – 5 zj + yi – 5 zj + 10 10 xxk sepanjang kurva x = tk sepanjang kurva x = t22 + 1, y = t + 1, y = t22, z = t, z = t33 dari t = I hingga t dari t = I hingga t = 2= 2
Jawab :Jawab :
Usaha total = Usaha total =
= 3= 3xxy dx – 5z dy + 10y dx – 5z dy + 10xx dz dz
==
= =
c
drf .
c
)()1(10)2()(5)1()2()1(3 3223222
1
2 tdttdttdttt
2
1
2345 303)30121012( dttttt
2. Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah 2. Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya F=3xpartikel dalam medan gaya F=3x22 i+(2xz-y)j+zk sepanjang i+(2xz-y)j+zk sepanjang
(a). Garis lurus (0, 0, 0) ke (2, 1, 3)(a). Garis lurus (0, 0, 0) ke (2, 1, 3)
(b). Kurva ruang x=2t(b). Kurva ruang x=2t22 ,y=t ,y=t , z=4t , z=4t22 -t dari t=0 ke t=1 -t dari t=0 ke t=1
(c). Kurva yang didefinisikan oleh:(c). Kurva yang didefinisikan oleh:
xx22 = 4y, 3x = 4y, 3x33 =8z dari x=0 ke x=2 =8z dari x=0 ke x=2
Jawab:Jawab:
(a).gaus lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 3) (a).gaus lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 3) dalamdalam
bentuk parameter diberikan oleh: x=2t, y=t dan z=3tbentuk parameter diberikan oleh: x=2t, y=t dan z=3t
F=3xF=3x22 i + (2xz-y 2j+zk i + (2xz-y 2j+zk
=12t=12t22 i+ (12t i+ (12t22 – t)j+3 z k – t)j+3 z k
dr=dx i+dy.j + d z k =(2i + j + 3k) dtdr=dx i+dy.j + d z k =(2i + j + 3k) dt
16412)412(
)836(
)81224
}3)3()12(2)12{(.
10
23
1
0
2
21
0
2
21
0
2
tt
attt
dittt
dittttdrFc
(b).(b).
1,1344
30
5
88
)44
30
5
88(
)1230848(
)8)(4()28(4)12{(.
)18( i 4
d
)4()28(12
)2(3
10
3456
2341
0
5
1231
0
44
2344
2
tttt
dttttt
ttttttttdrF
dttkdtjtdt
zkdyjidxdr
kttjtttit
zkjyxzixF
c
(c).(c).
162
1
2
188)
3264.6
51(
)864
513(
8
9.
8
3
2).
58
3..2(,3(.
8
9,
8
383
2,
44
20
463
35
2
0
2
232
32
0
2
233
22
xxx
dxx
xx
dxxxdxxx
xxdxxdrF
dxxdzxzzx
dxx
dyx
yyx
c x
Ketidaktergantungan Integeral Garis Pada Ketidaktergantungan Integeral Garis Pada LintasanLintasan
Jika fungsi P(Jika fungsi P(xx,y,z) dan Q(,y,z) dan Q(xx,y,z) dan R(,y,z) dan R(xx,y,z) didefinisikan dan ,y,z) didefinisikan dan kontinu dalam Domain D.kontinu dalam Domain D.
Integeral garis Integeral garis P dx + Q dy + R dz dikatakan tidak tergantung P dx + Q dy + R dz dikatakan tidak tergantung pada lintasan di D, jika untuk setiap pasang titik – titik ujung A dan pada lintasan di D, jika untuk setiap pasang titik – titik ujung A dan B di D, nilai integeral garisnya adalah :B di D, nilai integeral garisnya adalah :
sama untuk semua lintasan C dari A dan B. Nilai integeral hanya sama untuk semua lintasan C dari A dan B. Nilai integeral hanya
tergantung pada pemilihan A dan B, tetapi tidak pada jenis tergantung pada pemilihan A dan B, tetapi tidak pada jenis lintasan yang menghubungkan titik A dan B, seperti yang lintasan yang menghubungkan titik A dan B, seperti yang ditunjukan pada gambar dibawah ini:ditunjukan pada gambar dibawah ini:
Nilai integeral pada lintasan c1, c2 dan c3 adalah sama. Nilai integeral pada lintasan c1, c2 dan c3 adalah sama.
P dx Q dy R dzA
B
A
BC1
C2
C3
D
TeoremaTeoremaJika A=Jika A=ΔΦΔΦ Pada semua titik dalam suatu daerah J dari Pada semua titik dalam suatu daerah J dari ruang, yang didefinisikan oleh : aruang, yang didefinisikan oleh : a11 , ≤, x ≤ a , ≤, x ≤ a2 2 b b11 ≤ y ≤ ≤ y ≤ bb22 , c , c11 ≤ z ≤ c ≤ z ≤ c22 , dimana , dimana ΦΦ (x,y,z) berharga tunggal dan (x,y,z) berharga tunggal dan memiliki turunan-turunan yang kontinu dalam R, maka:memiliki turunan-turunan yang kontinu dalam R, maka:
1. =tidak tergantung pada lintasan C dalam 1. =tidak tergantung pada lintasan C dalam R R yang menghubungkan p yang menghubungkan p11 dan p dan p22
2. mengelilingi setiap kurva tertutup C dalam 2. mengelilingi setiap kurva tertutup C dalam R.R.
Dalam hal demikian A disebut sebuah medan vektor Dalam hal demikian A disebut sebuah medan vektor konservatif dan konservatif dan ΦΦ adalah potensial skalarnya. adalah potensial skalarnya.
jadi sebuah medan vektor A adalah konservatif jika dan jadi sebuah medan vektor A adalah konservatif jika dan hanya jika hanya jika ΔΔxA=0, atau juga ekivalen dengan A=xA=0, atau juga ekivalen dengan A=ΔΦΔΦ. .
2
1
.p
p
drA
0. c
drA
Contoh:Contoh:1.1. Diketahui F=( 2xy+zDiketahui F=( 2xy+z3 3 ) i + x ) i + x2 2 j+3x z j+3x z22 k k
a. tunjukan bahwa F sebuah medan gaya konservatifa. tunjukan bahwa F sebuah medan gaya konservatif
b.carilah potensial skalarb.carilah potensial skalar
c.carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakan c.carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakan sebuah benda dalam . Medan ini dari (1, -2, 1) ke (3, 1, 4).sebuah benda dalam . Medan ini dari (1, -2, 1) ke (3, 1, 4).
Jawab:Jawab:
a. a. syarat perlu dan cukup agar sebuah daya konservatif syarat perlu dan cukup agar sebuah daya konservatif adalah adalah
Curl F=Curl F=ΔΔxf=0xf=0
0Fk bahwa terbukti
0)22()33(
322
2
2
2
2
2 22
223
kxxjzzoi
xzxzxYzyx
kji
DxF
b.b.
integrasikan (1), (2), dan (3), diperoleh masing-masingintegrasikan (1), (2), dan (3), diperoleh masing-masing
Dengan memilih F(y,z)=0, G(x,z)=xzDengan memilih F(y,z)=0, G(x,z)=xz33 dan H(x,y) =x dan H(x,y) =x22 y, y, maka diperoleh:maka diperoleh:
Φ=xΦ=x22 y +x z y +x z33 dengan tambahan sembarang konstanta. dengan tambahan sembarang konstanta.
223
223
32
2(3).
2
2(2). 2
2
2 (1).
3)2(2
2
2
2
2
2
xzz
xy
zxyk
kxzJxizxykz
Jy
ix
F
),(
),(
),(
3
2
32
yxHxz
zxGyx
zyFxzyx
c.c.
2021201
)12()64,39(
F.dr
:adalah dilakukan yang usaha
2
2
2
2
2
2
..
)4,1,3(
)1,2,1(321
2
p2
p1
2
1
zxyx
d
ddzz
dyy
dxx
drdrF
pp
p
p
Contoh:Contoh: Jika A = ( 4 x y – 3 k 2 z 2 ) i + 2 x 2 j – 2 x 3 z k Buktikan bahwa tidak tergantung lintasan c yang menghubungkan dua titik. Jawab : Jika tidak tergantung lintasan , maka A adalah medan konservatif.
Kalau A medan konservatif , maka akan berlaku x A = 0.
x A =
= i ( 0 ) – j ( - 6x 2 z + 6 x 2 z ) + k ( 4 x – 4 x ) = 0
c
drA
c
drA
zxxzxxyzyx
kji
3222 2234
INTEGRAL LUASINTEGRAL LUASMisalkan S sebuah permukaan bersisi dua , seperti terlihat Misalkan S sebuah permukaan bersisi dua , seperti terlihat
dalam gambar di bawah ini:dalam gambar di bawah ini:
Jika S merupakan permukaan tertutup , Mis , permukaan bola , maka vektor normal disembarang titik S mempunyai dua arah.Arah positif adalah arah keluar Bola dan negatif merupakan arah ke dalam bola.Sebuah vektor satuan di sembarang titik S disebut satuan normal positif jika arahnya keatas.Vektor ds yang besarnya sama dengan d s dan arahnya samadengan , dinyatakan oleh hubungan : d = d s
z
x
y
R
s
ds
n
_
n
Integral luas:Integral luas:
A . d = A . n d s A . d = A . n d s
adalah sebuah contoh integral luas yang disebut Flux dari A adalah sebuah contoh integral luas yang disebut Flux dari A terhadap S.terhadap S.
integral permukaan lainnya:integral permukaan lainnya:
d s , d s , d s , A x ds dengan d s , A x ds dengan adalah adalah skalar.skalar.
Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksikan s pada salah satu bidang koordinat.dengan memproyeksikan s pada salah satu bidang koordinat.
S
s S
S
S
S
n
Jika s diproyeksikan pada bidang x y , maka : A . d s = A . Jika s diproyeksikan pada bidang x z , maka : A . d s = A . Jika s diproyeksiakn pada bidang yz , maka : A . d s = A .
S
n S
n|.| kn
dydx
S
n S
n|.| jn
dzdx
S
n S
n|.| in
dzdy
1. Hitunglah A . n ds , dimana A = z i + x j – 3 y 1. Hitunglah A . n ds , dimana A = z i + x j – 3 y 22 z k dan S z k dan S adalah permukaan selinder adalah permukaan selinder xx 22 + y + y 22 = 16 yang terdapat = 16 yang terdapat dalam oktan pertamaa antara z = 0 dan z = 5.dalam oktan pertamaa antara z = 0 dan z = 5.
Jawab :Jawab :
Proyeksikan Proyeksikan SS pada bidang pada bidang xxz seperti terlihat pada gambar z seperti terlihat pada gambar dibawah ini..dibawah ini..
.4).
4(.
)(4
1)
4).(3(.
16 ,.4.4.2
22
)2()2(
22
|.|
.
22)(
2
22
22
_
22
yJ
yjxiJN
xyxzyjxi
zkyxjziNA
yxkarenayjxiyixi
yx
yixin
yjxiyx
jn
dzdxnAdsnA
s s
x4
0 4
y
z
5
nds
dxdz
Batas integeralBatas integeral
xx = 0 hingga = 0 hingga xx = 4 (km. y = 0 ) = 4 (km. y = 0 )
z = 0 hingga z = 5z = 0 hingga z = 5
==
==
= =
A ndx dz
n j
xz xy
ydx dz
s
4
4
0
4
0
5
xz xy
ydx dz
xz x
xdx dz
( )
16 20
4
0
5
0
4
0
5
( ) ( )] z x x dz z dz161
24 82 2
0
5
0
4
0
5
2 8 50 40 902
0
5z z ]
Integral VolumeIntegral VolumeUntegeral volume atau integeral ruang sebuah volume V yang Untegeral volume atau integeral ruang sebuah volume V yang
ditutup oleh permukaan tertutup dan ruang dinyatakan :ditutup oleh permukaan tertutup dan ruang dinyatakan :
contoh:contoh:
Misalkan Misalkan = 45 = 45 xx22y dan v menyatakan ruang tertutup yang dibatasi y dan v menyatakan ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang-bidang oleh bidang-bidang xx = 0, = 0,
y = 0, z = 0 dan 4y = 0, z = 0 dan 4xx + 2y + z = 8 + 2y + z = 8
hitunglah : hitunglah :
Jawab:Jawab:
Batas Integeral:Batas Integeral:
z = 0 hingga z = 8-4z = 0 hingga z = 8-4xx-2y-2y
y = 0 hingga y = 4-2y = 0 hingga y = 4-2xx (z = 0) (z = 0)
xx = 0 hingga = 0 hingga xx = 2 (z = 0, y = 0) = 2 (z = 0, y = 0)
A dv atau dvvv
dvv
dv x y dz dy dxx
45 2
0
z
(0,08) 8
(2,0, 0)
xy
(0,4,0)
4
2
45 2
0
8 4 2
0
4 2
0
2
x y dz dy dxx yx
= = 45
= =
=
=
x yz dydz x y x y dydxx y
xx2
0
8 4 2 2
0
4 2
0
2
0
4 2
0
2
45 4 2
] (8 )
45 2 4 22 2 2
0
4 2
0
2
( ( ) )x x y x y dy dxx
45 2 22
32 2 2 2
0
4 2
0
2
( ( )( )]x x y x y dxx
45 2 2 4 2 451
34 22 3
0
22
0
23( ( )( ) ( )x x x dx x x dx
452
34 2 4 2 1283 2 2
0
2x x x x( ) ( ) ]
Teorema Green & StokesTeorema Green & Stokes
TEOREMA GREEN, STOKES DAN DIVERGENSITEOREMA GREEN, STOKES DAN DIVERGENSI
1. Teorema Green Dalam Bidang1. Teorema Green Dalam Bidang
Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xyxy yang dibatasi oleh kurva tertutup C dan jika M yang dibatasi oleh kurva tertutup C dan jika M dan N adalaj fungsi-fungsi kontinu dari x dan y dan N adalaj fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, makamaka
dimana C dilintasi dalam arah positif (berlawanan dimana C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah putaran jarum jam). Bila tidak ada pernyataan arah putaran jarum jam). Bila tidak ada pernyataan lain, kita akan selalu menganggap berarti bahwa lain, kita akan selalu menganggap berarti bahwa integeralnya dimaksud dalam arah positif.integeralnya dimaksud dalam arah positif.
M dx NdyN
x
M
ydx dy
RC
Contoh :Contoh :
1. Hitunglah (1. Hitunglah (xxy + yy + y22)dx + )dx + xx22dy, dimana C adalah dy, dimana C adalah kurva tertutup dari daerah yang dibatasi oleh y = kurva tertutup dari daerah yang dibatasi oleh y = xx dan y = dan y = xx22 dengan dengan menggunakan dengan dengan menggunakan teorema Green dalam bidang.teorema Green dalam bidang.Jawab:
=
=
M
y yxy y x y ( )2 2
N
x xx x ( )2 2
N
x
M
ydx dy x x y dy dx
x
x
R
( ( ))2 2
20
1
( ) ( )]x y dy dx xy y dxx
x
x
x 2 2
0
1
0
1
2
2
1
5
1
4
1
5
1
4
1
205 4
0
1x x
]
Cara lain / cara biasaSepanjang y = x2, integeral garisnya adalah =
Sepanjang y = x dari (1,1) hingga (0,0)
=
maka integral lintasannya
=
( )( ) ( )( )x x x dx x x dx2 4
0
12 2 ( )3
19
203 4
0
1
x x dx
( )( )x x x dx x dx x dx 2 2
0
12
1
0
3 1
19
201
1
20
2. Teorema Stokes2. Teorema Stokes
Jika S adalah suatu permukaan terbuka bersisi dua yang Jika S adalah suatu permukaan terbuka bersisi dua yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup C yang tidak dibatasi oleh sebuah kurva tertutup C yang tidak memotong dirinya curva tertutup sederhana , maka jika A memotong dirinya curva tertutup sederhana , maka jika A memiliki turunan memiliki turunan
– –turunan kontinu,turunan kontinu,
dimana c dilintasi dalam arah positif.dimana c dilintasi dalam arah positif.
Arah dari c disebut positif jika seseorang pengamat Arah dari c disebut positif jika seseorang pengamat berjalan pada daerah batas dan s dalam arah ini berjalan pada daerah batas dan s dalam arah ini dengan kepalanya menunjuk pada arah normal dengan kepalanya menunjuk pada arah normal positif terhadap. S , maka ia mendapatkan positif terhadap. S , maka ia mendapatkan permukaan disebelah kirinya.permukaan disebelah kirinya.
A dr A ds A n dsssc
( ) ( )
Contoh:Periksalah kebenaran teorema stokes untuk A=(2x-y)i-yx2j-y2zk, diamana S adalah separuh dari permukaan bola : x2 + y2+ z2 = 1 bagian atas dan C batasnya.
Jawab :Jawab :
Batas Batas CC dari S adalah sebuah lingkaran dalam bidang dari S adalah sebuah lingkaran dalam bidang xyxy yang yang berjari-jari satu dan berpusat di titik asal . Mis. berjari-jari satu dan berpusat di titik asal . Mis. xx = cos t, = cos t, yy = sin t, = sin t, zz = 0, 0<t<2 = 0, 0<t<2 adalah persamaan – persamaan parameter dari C, adalah persamaan – persamaan parameter dari C, maka :maka :
= =
dengan menggunakan teorema stokesdengan menggunakan teorema stokes
= (-2yz + 2yz)i – oj + k = k= (-2yz + 2yz)i – oj + k = k
S diperoyeksikan pada bidang S diperoyeksikan pada bidang xyxy sehingga diperoleh : sehingga diperoleh :
= = xxi + yj + zk.i + yj + zk.
n . k = (n . k = (xi + yj + zkxi + yj + zk) . k = z) . k = z
(( x A) . n = k . ( x A) . n = k . (xxi + yj + zk) = zi + yj + zk) = z
==
A dr x y dx yz dy y z dzcc
( )2 2 2( cos sin )( sin )2
0
2
t t t dt
A
i j k
x y zx y yz y z
2 2 2
( ) ( ) A n ds A n
dy dx
n ks s
nxi yj zk
x y z
0 2 2 2
2 2 2 2
4 1 2
0
1
x dx
3. Teorema Divergen Gauss3. Teorema Divergen Gauss
Teorema divergensi yang disebut pula teorema green dalam ruang Teorema divergensi yang disebut pula teorema green dalam ruang menyatakan bahwa: “ jika V volume yang dibatasi oleh suatu permukaan menyatakan bahwa: “ jika V volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan A sebuah vektor yang adalah fungsi dari kedudukan dengan tertutup S dan A sebuah vektor yang adalah fungsi dari kedudukan dengan turunan – turunan yang kontinu, makaturunan – turunan yang kontinu, maka
dimana n adalah normal positif dari S yang mengarah keluar dan dimana n adalah normal positif dari S yang mengarah keluar dan membentuk sudut dengan sumbu-sumbu positif membentuk sudut dengan sumbu-sumbu positif xx, y dan z, yaitu : , y dan z, yaitu :
Contoh :Contoh :
Tunjukanlah kebenaran dari teorema divergensi untuk A = (2Tunjukanlah kebenaran dari teorema divergensi untuk A = (2xx – z)i + – z)i + xx22 yj – yj – xxzz22k terhadap daerah yang dibatasi oleh k terhadap daerah yang dibatasi oleh xx = 0, = 0, xx = 1, = 1, y y = 0, = 0, y y = 1, = 1, z z = 0, = 0, z z = 1. = 1.
Mula-mula di hitung : , dengan S adalah permukaan-permukaan Mula-mula di hitung : , dengan S adalah permukaan-permukaan kubus.kubus.
A dv A n ds A dsSSV
, ,
n i j k cos cos cos
A n ds
Contoh:Contoh:1. Hitunglah 1. Hitunglah
1
0
1
0
10z
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
v
2
2
2
3 )2( | 2
)4()4(
)()()4(dV .
dengan-sama dimintakan yang integral,divergensi teoremadari
1.z 0,z 1,y 0,y 1, x0,x
oleh dibatasi yang kubuspermukaan adalah Sdan 4 dim,dS .
x yx y
v x y z
v
s
dxdyydxdyyzz
dYdZyzdVyz
dVyzz
yy
xzx
F
yzkjyxziFananF
Transformasi Transformasi LinierLinier
Transformasi LinierTransformasi LinierMisal dalam ruang vektor V atas field F ada vektor-vektor Misal dalam ruang vektor V atas field F ada vektor-vektor
dan dan
sedemikian sehingga mempunyai hubungansedemikian sehingga mempunyai hubungan
= A , yaitu:= A , yaitu:
Hubungan = A merupakan suatu pemetaan atau Hubungan = A merupakan suatu pemetaan atau
transformasi Yang mematakan vektor ke vektor . transformasi Yang mematakan vektor ke vektor . Matriks Matriks
A disebut A disebut MATRIKS TRANSFORMASI MATRIKS TRANSFORMASI vektor di sebut vektor di sebut
““peta/bayangan” vektorpeta/bayangan” vektor
x y
y x
n
2
1
nnn2n1
2n2221
1n1211
n
2
1
x
x
aaa
aaa
aaa
y
y
y
x
xy
x
x yy
ContohContoh
Diketahui transformasi linier =Diketahui transformasi linier =
vektor di petakan kevektor di petakan ke
vektor di petakan kevektor di petakan ke
vektor di petakan kevektor di petakan ke
vektor di petakan kevektor di petakan ke
y x43
21
2
3x1
17
7
2
3
43
21y1
5
1x2
23
11
5
1
43
21y2
7
4)xx( 21
40
18)yy( 21
4
6x 2
34
14
Transformasi linier non Singular Transformasi linier non Singular
Jika A matriks non singular, maka persamaan Jika A matriks non singular, maka persamaan linierlinier
akan akan mempunyai jawab tunggal, akan akan mempunyai jawab tunggal, sehinggasehingga
untuk setiap satu vektor mempunyai satu peta untuk setiap satu vektor mempunyai satu peta ke ke
vektorvektor
pada transformasi linier non singular , jikapada transformasi linier non singular , jika
linier independen, maka petanyalinier independen, maka petanya
linier independen.linier independen.
y xA x
.y
xA y
n21 x,.....,x,x
n21` y,....,y,y
Pada transformasi linier non singular Pada transformasi linier non singular karena karena
A mempunyai invers AA mempunyai invers A-1-1 , maka dapat dibuat , maka dapat dibuat
transformasi linier baru atautransformasi linier baru atau
yang merupakan transformasi linier non singular yang merupakan transformasi linier non singular
juga dan disebut juga dan disebut transformasi Liniertransformasi Linier dari dari
transformasitransformasi
Jadi: memetakan vektor-vektor basis Jadi: memetakan vektor-vektor basis
ke kolom-kolom A.ke kolom-kolom A.
memetakan kolom-kolom A ke memetakan kolom-kolom A ke
vektor-vektor basisvektor-vektor basis
,xA y
.1_
yAx
xA y xA y n21 e,...,e,e:E
y Ax -1n21 e,...,e,e:E
x-1-1 A A y A
ContohContohDalam ruang vektor RDalam ruang vektor R22 , carilah transformasi linier , carilah transformasi linier
Yang memetakan: basis W: wYang memetakan: basis W: w11 : ke : ke
Basis Basis
Jawab:Jawab:
Transformasi yang di nyatakan:Transformasi yang di nyatakan:
memetekan wmemetekan w11 ke e ke e11 dan dan
memetakan wmemetakan w22 ke e ke e2 2
4
3 w;
3
22
1
0e ;
0
1 eE; 21
23
34
23
34
1
1w
43
32)w,(ww 1-
21
x wy -1
x 23
34-y
Product TranspormasiProduct TranspormasiMisal. Dalam ruang vektor v terjadi Misal. Dalam ruang vektor v terjadi transformasi linier sebagai berikut:transformasi linier sebagai berikut:
Transformasi Transformasi
Transformasi Transformasi
Transformasi Transformasi
Maka : Transformasi Maka : Transformasi
TransformasiTransformasi
____
y ke x memetakan ,xAy ____
z ke ymemetakan ,yBz ____
w ke zmemetakan ,zCw ____
z ke xmemetakan ,XBAz __
zCw ___
w ke xmemetakan ,xCBA
X Y Z WA B C
CB
BA
CBA
Jadi berdasarkan hal tersebut diatas, dapat dicari Jadi berdasarkan hal tersebut diatas, dapat dicari transportasi linier non singular yang memetakan transportasi linier non singular yang memetakan basis U= ubasis U= u11 ,u ,u22 , … u , … un n ke basiske basis
W= wW= w11 ,w ,w22 , … w , … wn n yaitu dengan menggunakan yaitu dengan menggunakan bentukan basis E, sebagai berikut:bentukan basis E, sebagai berikut:
Jadi transformasi linier , akan Jadi transformasi linier , akan memetakan basis U ke basis W.memetakan basis U ke basis W.
U1
U2
:
Un
e1
e2
:
en
w1
w2
:
wn
u-1w
wu-1
_1
_
xwuy
Contoh:Contoh:
Carilah transformasi linier non singular yang Carilah transformasi linier non singular yang memetakan basis:memetakan basis:
Jawab:Jawab:
3
2,
2
1w: wbasic ke
2
3,
1
12121 wuau
u1
u2
e1
e2
w1
w2
u-1
wwu-1
Jadi transformasi : Jadi transformasi :
memetakan basis U ke basis Wmemetakan basis U ke basis W
31
10
11
32
32
21
32
21),(
11
32
21
31),(
1
_
2
_
1_
2
_
uw
www
auuu
,31
10yatau
___1
_
xxwuy
Nilai dan Vektor Nilai dan Vektor EigenEigen
Mengingat kembali: perkalian Mengingat kembali: perkalian matriksmatriks• Diberikan matriks Diberikan matriks AA2x22x2 dan vektor-vektor dan vektor-vektor uu, , vv, dan , dan ww
• Hitunglah Hitunglah AAuu, , AAww, , AAv. v. Manakah dari hasil kali tersebut yang Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semulahasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula
2 0 1 0 5
4 1 4 4 4A v w u
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh hh
2 0 5 10
4 1 4 24
untuksemua
Au k u
k R
2 0 1 2 12 2
4 1 4 8 4Av v
2 0 0 01.
4 1 4 4Aw w
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
v dan Av sejajar Jawab:
w dan Aw sejajar
u dan Au TIDAK sejajar
Mengingat kembali: SPL homogen dan Mengingat kembali: SPL homogen dan determinandeterminan
1.1. AA adalah matriks adalah matriks nnxxnn dan SPL dan SPL AxAx = 0 = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Apa mempunyai penyelesaian trivial saja. Apa kesimpulanm tentang kesimpulanm tentang AA??
2. 2. AA adalah matriks nxn dan SPL adalah matriks nxn dan SPL AxAx = 0 = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa kesimpulanmu tentang kesimpulanmu tentang A A dan det(dan det(AA)?)?
Jawaban:
A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0
Jawaban: A tidak mempunyai inverse. Det(A) = 0
Ax
Perkalian vektor dengan matriksPerkalian vektor dengan matriks
A x = xλ
x
Ax
x
x dan Ax sejajar
Perkalian vektor dengan Perkalian vektor dengan matriksmatriks
y
x
14
y
x
y
x
28
04
1
4
= 22 0
4 1
1
4
2 0
4 1
0
4
=10
4
2 0
4 1
5
4
=
10
24
5
4
k
54
1024
Au = 2u
Av = v Aw ≠ kw
Definisi: Nilai dan Vektor Definisi: Nilai dan Vektor EigenEigenDefinisi:Definisi:
Diberikan matriks Diberikan matriks AA nxnnxn, vektor tak nol , vektor tak nol v v didi RRnn disebut disebut vektor eigen dari vektor eigen dari AA jika terdapat skalar sedemikian jika terdapat skalar sedemikian hingga hingga
AAvv = = λλvv..
λλ disebut nilai eigen, disebut nilai eigen, xx adalah vektor eigen dari adalah vektor eigen dari A A yang yang
bersesuaian dengan bersesuaian dengan λλ . .
Syarat perlu: Syarat perlu: v ≠ 0v ≠ 0
(1) λ ≥ 1 (2) 0 ≤ λ ≤ 1
(3) -1 ≤ λ ≤ 0
(4) λ ≤ - 1
Masalah Vektor EigenMasalah Vektor EigenDiberikan matriks persegi Diberikan matriks persegi A,A,
Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar
dengan x).
atau
Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu skalar λ
A x sejajar x
A x = xλ
Masalah Nilai EigenMasalah Nilai EigenDiberikan matriks persegi Diberikan matriks persegi A.A.
A =
Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu vektor tak nol x.
atau
Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan
Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol
x λ x
x vektor tak nol
Ax = λx
Pernyataan-pernyataan Pernyataan-pernyataan ekuivalenekuivalen
Jika Jika AA matriks persegi matriks persegi nnxxnn, maka kalimat-kalimat berikut , maka kalimat-kalimat berikut ekuivalenekuivalen
1.1. nilai eigen nilai eigen AA
2. 2. terdapat vektor tak nol terdapat vektor tak nol x x sedemikian hingga sedemikian hingga AAxx = = xx
3.3. SPL (SPL (A – A – II))xx = = 0 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial)mempuyai solusi tidak nol (non-trivial)
4. 4. adalah penyelesaian persamaan det( adalah penyelesaian persamaan det(A – A – II) = 0) = 0
Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian persamaan det(I-A) = 0
Persamaan KarakteristikPersamaan KarakteristikJika diuraikan, Jika diuraikan, det((det((A - A - λλII) ) merupakan suku banyak berderajat merupakan suku banyak berderajat nn dalam dalam λλ, , p(p(λλ ) = ) = λλⁿn + + ccnn-1-1λλnn-1-1 +c +cnn-2-2 λ λnn-2-2 + …+ + …+ cc11λλ+ c+ c00 suku suku banyak karakteristikbanyak karakteristik
Persamaan detPersamaan det((((A - A - λλII) = ) = λλⁿn + + ccnn-1-1λλn-1n-1 +c +cnn-2-2 λ λnn-2-2 + …+ + …+ cc11λλ+ c+ c00 = = 0 0 disebut disebut persamaan karakteristikpersamaan karakteristik
Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen.
A-λIdet λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0
λIA -
= = 0
•persamaan karakteristik
A-λI=
Contoh Contoh
Mencari semua nilai eigen Mencari semua nilai eigen A=A=2 0
4 1
Mencari semua penyelesaian persamaan
Mencari penyelesaian persamaan karakteristik
Nilai eigen A adalah 1
2
2,
1
det2 - λ 0
= 04 1 - λ
( )( ) = 0
2 - λ
1 - λ4
0
2 - λ1 - λ
Prosedur: menentukan nilai Prosedur: menentukan nilai eigeneigenDiberikan matriks persegi Diberikan matriks persegi AA. . Nilai-nilai eigen Nilai-nilai eigen AA dapat diperoleh sebagai berikut: dapat diperoleh sebagai berikut:1.1. Tentukan persamaan karakteristik det((Tentukan persamaan karakteristik det((A - A - λλII) = 0) = 0 tuliskan tuliskan AA dan matriks yang elemen diagonal dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi utamanya dikurangi λλ
2.2.(Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke ke
dalam persamaan sukubanyak karakteristik:dalam persamaan sukubanyak karakteristik: λλⁿn + + ccnn-1-1λλnn-1-1 +c +cnn-2-2 λ λnn-2-2 + …+ + …+ cc11λλ+ c+ c00 = = 00
• Selesaikan persamaan yang diperoleh pada Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di langkah di
atas. Nilai-nilai eigen merupakan penyelesaian atas. Nilai-nilai eigen merupakan penyelesaian persamaan tersebut.persamaan tersebut.
Contoh: Menentukan nilai Contoh: Menentukan nilai eigeneigenDiberikan matriks persegi Diberikan matriks persegi
1.1.Tentukan persamaan karakteristik det(Tentukan persamaan karakteristik det(A - A - λλII) = 0) = 0
22. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan . Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:sukubanyak karakteristik:
3. 3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen eigen
1 1 1
0 3 3
2 1 1
A
2
1 1 1
det( ) det 0 3 3
2 1 1
(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 )
A I
2(1 ) (3 ) (3 ) 0
2(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 ) 0
( 2)(3 ) 0 Nilai-nilai eigen A:
λ1 = 0 λ2 = 2 λ3 = 3
Nilai-nilai eigen A:λ1 = 0
λ2 = 2 λ3 = 3
Nilai eigen matriks Nilai eigen matriks diagonal diagonal Diberikan matriks diagonal Diberikan matriks diagonal
2 0 0 0
0 5 0 0
0 0 6 0
0 0 0 1
A
2 0 0 0
0 5 0 0
0 0 6 0
0 0 0 1
A I
Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal utamanya.
•Persamaan karakteristik:•Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1 (merupakan entri diagonal utama)
(2 )(5 )(6 )(1 ) 0
Bagaimana menentukan apakah suatu skalar Bagaimana menentukan apakah suatu skalar merupakan nilai eigen?merupakan nilai eigen?
Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen AA..
Jawab:Jawab:
Bentuk det(Bentuk det(AA--λλI) untuk I) untuk λλ = 2, 0, 4. Jika = 2, 0, 4. Jika det(det(AA--λλI) ≠ 0, maka merupakan nilai I) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0, maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen eigen, kalau = 0, maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen AA, 0 , 0 bukan nilai eigen bukan nilai eigen AA..
2 adalah nilai eigen 2 adalah nilai eigen AA
0 bukan nilai eigen 0 bukan nilai eigen AA
4 nilai eigen 4 nilai eigen AA
2 2 0
0 4 0
0 1 0
A
2 2 2 0
det( 2 ) det 0 4 2 0 0
0 1 0 2
A I
2 4 2 0
det( 4 ) det 0 4 4 0 0
0 1 0 4
A I
2 0 2 0
det( 0 ) det 0 4 0 0 8 0
0 1 0 0
A I
Kelipatan skalar vektor Kelipatan skalar vektor eigeneigen• Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen AA yang yang
bersesuaian dengan nilai eigen 2. Selidiki apakah 1/2bersesuaian dengan nilai eigen 2. Selidiki apakah 1/2xx, 10, 10x, x, 55x x juga juga vektor-vektor eigen vektor-vektor eigen AA1 1 1
0 3 3 ,
2 1 1
A
1 1 1 4 8
0 3 3 6 12 2
2 1 1 2 4
Ax x
1 1 1 40 80
(10 ) 0 3 3 60 120 2(10 )
2 1 1 20 40
A x x
12
2
3
1
x
4
6
2
x
20
5 30
10
x
40
10 60
20
x
Ax = 2 x A(10x) = 2 (10x)
A =x λ x
A =(10)
λ (10)
xx
Kelipatan skalar vektor Kelipatan skalar vektor eigeneigen1 1 1
0 3 3 ,
2 1 1
A
1 1 1 4 8
0 3 3 6 12 2
2 1 1 2 4
Ax x
1 12 2
1 1 1 2 4
( ) 0 3 3 3 6 2( )
2 1 1 1 2
A x x
12
2
3
1
x
4
6
2
x
Ax = 2 x A(1/2 x) = 2 (1/2 x)
A =x λ x
Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah vektor eigen terhadap
nilai eigen yang sama
A =(1/2)
λ (1/2)
xx
Menentukan semua vektor Menentukan semua vektor eigen Eeigen Eλλ Diberikan vektor matriks Diberikan vektor matriks AA dan salah satu nilai eigennya, misalnya dan salah satu nilai eigennya, misalnya λλ. Tentukan . Tentukan
semua vektor eigen yang bersesuaian dengan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λλ..
Vektor-vektor eigen Vektor-vektor eigen AA yang bersesuaian dengan yang bersesuaian dengan λλ = 3 dapat diperoleh dengan = 3 dapat diperoleh dengan menyelesaikan SPL (menyelesaikan SPL (AA - - λλ I) I)x = 0x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(. Vektor eigen adalah anggota Null(AA - - λλ I I))
Null(A - λ I)
Null(A - λ I)-{0}
Himpunan semua penyelesaian SPL (A - λ
I)x = 0
Himpunan semua vektor eigen bersesuaian
dengan λ 0
Ruang EigenRuang Eigen
0
Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0
Null(A - λ I)x
Ruang Eigen Eλ
Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol
Null(A - λ I) = Eλ
Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL
(A - λ I)x = 0
Menentukan ruang eigen EMenentukan ruang eigen Eλλ
• Diberikan vektor matriks Diberikan vektor matriks AA dan salah satu nilai eigennya, misalnya dan salah satu nilai eigennya, misalnya λλ = = 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λλ = 3. = 3.
1 2 3
3
1 2 3
2 0
3 0
2 2 0
x x x
x
x x x
1
2
3
2
0
x a
x a
x
1
2 ,
0
a a R
1
2
3
1 3 1 1 0
( 3 ) 0 3 3 3 0
2 1 1 3 0
x
A I x x
x
SPL (A - 3 I)x = 0
Penyelesaian
Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 :
Himpunan penyelesaian
1
2 , 0,
0
a a a R
1 3 1 1
0 3 3 3
2 1 1 3
A I
1 1 1
0 3 3
2 1 1
A