matematika 2 - slide week 3 - integral substitusi trigonometrik
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Modul ke:
Fakultas
Program Studi
Matematika 2Integral Substitusi Trigonometrik
Beny Nugraha, MT, M.Sc
03
FAKULTAS TEKNIK
TEKNIK ELEKTRO
Definisi
• Integral adalah proses kebalikan dari diferensiasi.
•Apabila diberikan suatu fungsi f(x) dan diinginkan
untuk mencari hasil integrasi F(x) sedemikian sehingga:
Definisi
• Setiap fungsi F(x) tersebut dinamakan suatu anti-derivatif dari fungsi f(x) dan dinotasikan dengan persamaan:
Definisi
• f (x) dinamakan integran (yang diintegralkan) dan x dinamakan integrator. Integral di atas dinamakan integral tak tentu sebab tidak merujuk pada nilai numerik tertentu, atau tidak menunjuk suatu batas tertentu untuk daerah integrasi.
• Nilai c disebut juga sebagai konstanta integrasi
Definisi
• Integral dari fungsi nol secara tepat adalah semua fungsi konstan. Dituliskan dengan persamaan berikut:
Integral Tak Tentu
• Telah disebutkan bahwa integral tak tentu adalah integral yang tidak dibatasi oleh suatu interval, dan dinotasikan sebagai berikut:
• Di mana nilai c disebut juga sebagai konstanta integrasi.
• Untuk menghitungnya digunakan rumus:
Integral Tak Tentu
Contoh:1. ∫x5 dx
Jawab:Dengan rumus:
Maka:
Integral Tak Tentu
Contoh:2. ∫(2x3 + 3x2 + x + 7) dx
Jawab:
Integral Tak Tentu
Beberapa Rumus Integral Tak Tentu:
Integral Tak Tentu
Contoh:3. ∫sin 3x sin 2x dxJawab:Dengan rumus trigonometri:
Maka:
Integral Tak Tentu
Contoh:4. ∫e4x dxJawab:
∫e4x dx = ¼ e4x + c
Integral Tak Tentu
Contoh:5. ∫ x2 (2x3 + 3)1/2 dxJawab:
Aturan Dalam Integral
• Aturan Perkalian Konstan:Jika suatu fungsi f (x) mempunyai anti-derivatif, maka untuk sembarang bilangan riil c, dipunyai:
Aturan Dalam Integral
• Aturan Penjumlahan:Jika f (x) dan g (x) mempunyai antiderivatif, maka:
Aturan Dalam Integral
• Contoh penggunaan dua aturan di atas:6. ∫(x3 + 3x + 1) dxJawab:
Integrasi Parsial
• Integrasi parsial dinotasikan sebagai berikut:
Integrasi Parsial
Contoh:7. ∫x cos (x) dx
Jawab:Untuk menghitung integral di atas, diambil u = x dan dv = cos (x) dx dengan du = dx dan v =∫cos(x) dx = sin (x) + k, konstanta k dihilangkan karena hanya dibutuhkan bagian sin(x) saja.
Integrasi Parsial
Dengan u = x dan dv = cos (x) dx & du = dx dan v =∫cos(x) dx = sin (x) + k. Maka:
Integral Tentu
• Integral tentu adalah integral yang memiliki interval. Integral ini dinotasikan sebagai berikut:
• Di mana nilai a & b adalah interval atau batasnya.
Integral Tentu
Contoh:8. Hitung hasil dari integral berikut:
Jawab:
Integral Substitusi Trigonometri• Untuk menyelesaikan integral yang memuat
bentuk akar kuadrat maka diperlukan substitusi trigonometri agar bentuk akarnya hilang.
• Apabila peubahnya telah diganti dengan fungsi trigonometri yang sesuai, maka bentuknya akan berubah menjadi fungsi trigonometri biasa.
Integral Substitusi Trigonometri• Bentuk konversinya adalah:
Integral Substitusi TrigonometriContoh:1. Selesaikan
Jawab:Dilihat pada tabel, substitusikan x = 3 sin θ dx = 3 cos θ dθ. Sehingga:
Integral Substitusi TrigonometriContoh:2. Selesaikan
Jawab:Dilihat pada tabel, substitusikan x = 2 tan θ dx = 2 sec2 θ dθ. Sehingga:
PR!!!!
Selesaikan
Terima KasihBeny Nugraha, MT, M.Sc