DERET

DERET HITUNG DAN DERET UKURP. Leunupun, SE., MM

T. mahmudin, SE.,MSc

M. Silooy, SEMMTujuan Instruksional Khusus:1. Dengan mempelajari deret, diharapkan mahasiswa dapat menghitung tingkat diskonto(bunga majemuk).

2. Diharapkan dapat menghitung jumlah uang yang ditabung selama waktu tertentu.

.Materi Pembahasan:1. Deret Hitung

2. Deret Ukur

3. Bunga Majemuk

A. PENDAHULUANDeret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada pola perubahan bilangan-bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya.

Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret digolongkan atas deret berhingga dan deret tak berhingga. Deret berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tertentu, sedangkan deret tak berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tidak terbatas. Dilihat dari pola perubahan bilangan pada suku- sukunya, deret bisa dibeda-bedakan menjadi deret hitung, deret ukur dan deret harmoni.

B. DERET HITUNGDeret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku- suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

Contoh:

1. 7, 12, 17, 22, 27, 32 (pembeda 5)

2. 93, 83, 73, 63, 53, 43 (pembeda 10)

1. Suku ke-n dari Deret HitungBesarnya suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus.

Contoh: 7, 12, 17, 22, 27, 32

S1 S2 S3 S4 S5 S6Sn = a + ( n - 1) b Dimana :

a : suku pertama atau S1 b : pembeda

n : indeks suku

Berdasarkan rumus di atas kita dapat menghitungnilai suku tertentu. Sebagai contoh, hitunglah nilai suku ke 10 dari deret hitung.

Sn = a + (n 1) b

S10 = 7 + (10 1) 5

= 52

Contoh lain:4, 6, 8, 10, 12, 14, b = 2

Tentukan suku ke-10 dan suku ke-36 dari deret hitung tersebut

Jawab:

S10 = 4 + (10 1) 2

S10 = 4 + 18

S10 = 22S36 = 4 + (36 1) 2

S36 = 4 + 70

S36 = 74

Contoh lain:6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, .. b = 5

Tentukan suku ke-12 dan suku ke-32 dari deret hitung tersebut! Jawab:

S12 = 6 + (12 1) 5

S12 = 6 + 55

S12 = 61

S32 = 6 + (32 1) 5

S32 = 6 + 155

S32 = 161

2. Jumlah n sukuJumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampai suku ke n (Sn) yang bersangkutan.

n

Jn = Si = S1 + S2 + S3 + + Sni= 1

Berdasarkan rumus Sn = a + ( n 1) b sebelumnya, maka masing-masing Si dapat diuraikan. Dengan menguraikan masing-masing Si maka Ji juga dapat diperoleh dan pada akhirnya dapat diperoleh Jn. Rumus:

nn

Jn = na +

2(n 1) batau Jn = { 2a + (n - 1) b }2

Rumus ini masih dapat disederhanakan:

n

Jn = ( a + Sn )2

Contoh 14, 6, 8, 10, 12, 14, b = 2

Tentukan jumlah 11 suku pertama dan 36 suku pertama dari deret hitung tersebut! Jawab:

J10 = 10/2 (4 + 22) J10 = 5 (26)

J10 = 130

J36 = 36/2 (4 + 74) J36 = 18 (78)

J36 = 1404

Contoh 26, 11, 16, 21, 26, 31, 36, .. b = 5

Tentukan jumlah 12 suku pertama dan 32 suku pertama dari deret hitung tersebut! Jawab:

J12 = 12/2 (6 + 61) J12 = 6 (67)

J12 = 402

J32 = 32/2 ( 6 + 161) J32 = 16 (167)

J32 = 2672

Contoh Soal Penerapan Ekonomi Deret Hitung:1. Perusahaan sepatu XYZ memperoleh penerimaan penjualan barang sebesar Rp.

200 juta pada tahun ke-3 dan Rp 300 juta pada tahun ke-5. Apabila perkembangan penerimaan penjualan berpola seperti Deret Hitung, berapa pertambahan penerimaan penjualan per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama? Dan pada tahun ke berapa penerimaannya Rp 400 juta?

2. Pabrik pensil memproduksi 12.000 pensil apda tahun ke-4 operasinya.

Peningkatan penjualan menyebabkan produksinya terus bertambah secara konstan. Sehingga pada tahun ke-7 produksi mencapai 21.000 pensil.

a. Berapa peningkatan produksi per tahun?

b. Pada tahun ke berapa pabrik tersebut mencapai produksi 45.000 pensil?

Penyelesaian:1. S3 = Rp 200 juta = a + 2b

S5 = Rp 300 juta = a + 4b

Rp 100 juta = 2bb = Rp 50 jutaRp 200 juta = a + 2b

Rp 200 juta = a + 2 . Rp 50 juta

Rp 200 juta = a + Rp 100 juta

a = Rp 100 jutaSn = Rp 400 juta

Rp 400juta = a +(n 1) Rp 50 juta

Rp 400juta = Rp 100juta + Rp 50 juta n Rp 50 juta

Rp 400juta = Rp 50juta + Rp 50 juta n

Rp 350 juta = 50juta n

n = 72. S4 = 12000 = a + 3b

S7 = 21000 = a + 6b

9000 = 3b

b = 3000a + 3b = 12000

a = 12000 3. 3000

a = 3000Sn = 45000

45000 = a + (n 1) b

45000 = 3000 + (n 1) 3000

45000 = 3000 + 3000n 3000

45000 = 3000n

n = 15C. DERET UKURDeret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku- suku sebuah deret ukur disebut pengganda yang merupakan hasilbagi nilai suatu suku terhadap nilai suku didepannya.

Contoh:

1) 5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda 2)

2) 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda 0.5)

1. Suku ke n dari Deret UkurUntuk dapat menghitung suku tertentu dari sebuah deret ukur,dengan menggunakan rumus:

Sn = apn-1 dimana:

a = suku pertama p = pengganda

n = indeks sukuContoh:

1. 5, 10, 20, 40, 80, 160 2. 512, 256, 128, 64, 32, 16

Berdasarkan soal soal di atas, carilah S10 nya.

RUMUS : Sn = apn-1 JAWAB :

1. S10 = (5)(2)10-1 = (5)(2)9 = 2560

2. S10 = (512)(0.5)10-1 = (512)(0.5)9 = (512)(1/512) = 1

2. Jumlah n SukuJumlah n suku adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke n yang bersangkutan.

n

Jn = Si = S1 + S2 + S3 + + Sn

i=1

Berdasarkan Sn = ap n-1, maka masing-masing Si dapat dijabarkan sehingga: Jn = a + ap + ap2 + + ap n-2 + ap n-1 (1)

Jika persamaan di atas kita kalikan dengan bilangan pengganda p, maka:

pJn = ap + ap 2 + ap3 +. .. + ap n-1 + apn (2)

Dengan mengurangkan persamaan I dan II,diperoleh selisih antara kedua persamaan ini.

Jn pJn = a apnJn (1-p) = a (1- pn)

Dari sini, kita dapat membentuk rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke n, yakni:

Jn = Jn = Dalam hal p< 1, penggunaan rumus yang disebelah kiri akan lebih mempermudah perhitungan. Dilain pihak jika | p | > 1, perhitungan akan menjadi lebih mudah dengan menggunakan rumus yang disebelah kanan.

Untuk kasus deret ukur dalam contoh di atas, dimana a= 5 dan p= 2, jumlahnya sampai suku ke 10 adalah:

J10 = 5(210 - 1) = 5(1023) = 5115 2-1 1

Contoh:

Keuntungan dari suatu perusahaan telah menunjukkan kenaikan 4 persen pertahun. Asumsi bahwa keadaan pasar saat ini kontinyu, berapa keuntungan perusahaan di tahun ke-5, jika telah diketahui bahwa keuntungan tahun pertama adalah Rp 20.000. Tentukanlah juga total keuntungan pada 5 tahun pertama ? Jawab:Diketahui a = Rp 20.000 dan n = 5, karena profit meningkat dengan 4 persen pertahun, dengan cara p ( 1+ i)n-1 kita peroleh p = 1.04, jadi profit dalam 5 tahun adalah:

a5 = 20.000(1.04)n-1= 20.000 (1.04) 5-1= 20.000 (1.04)4 = Rp 23.397,20,-Keuntungan total untuk periode 5 tahun pertama:

1 (1.04)5D5 = 20 000

1 1.04= Rp 108.325

Model Bunga MajemukKegunaan dari model bunga majemuk ini adalah untuk kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Rumusnya adalah:

Fn = P (1 + i)ndimana:

Fn = Future value ke n

P = Present value i = tingkat bunga

n = periode waktu

atau

Fn = P (1 + i/m)mndimana:

m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

(1 + i) dan (1 + i/m) dalam dunia bisnis dinamakan faktor bunga majemuk (coumponding interest factor), adalah suatu bilangan lebih besar dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang.

1/(1 + i)n dan 1/(1 + i/m)mn adalah faktor diskonto (discount factor), yaitubilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah di masa datang.

Contoh 1:Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp 5.000.000 untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikannya pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus dikembalikan?

Penyelesaian:Fn = P (1+i)nF3 = 5.000.000 (1+0,02)3F3 = 5.000.000 (1,02)3F3 = 5.000.000 (1,061208) F3 = 5.306.040

Jadi pada saat pelunasan, setelah tiga tahun, nasabah tadi secara keseluruhan harus mengembalikan sebanyak Rp 5.306.040.

Jika bunga diperhitungkan dibayarkan tiap semester; m = 2, maka: Fn = P (1 + i/m)mnF3 = 5.000.000 (1+0,02/2)3.2F3 = 5.000.000 (1,01)6F3 = 5.000.000 (1,06152) F3 = 5.307.600

Jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih besar Rp 5.307.600

Contoh 2:Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi Rp 532.400 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini?

Penyelesaian:P = Fn/(1+i)nP = 532.400/(1,1)3P = 400.000

Jadi besarnya tabungan sekarang adalah Rp 400.000

Model Pertumbuhan PendudukKegunaan model pertumbuhan penduduk ini adalah untuk penaksiran jumlah penduduk. Rumusnya adalah:

Pt = P1. Rt1Dimana: R = 1 + r

Contoh:Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhan nya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlah 11 tahun kemudian?

Penyelesaian:P2006 = P16 = 1.000.000 (1,04)15P16 = 1.000.000 (1,800943) P16 = 1.800.943

P 11 tahun kemudian = 1.800.943 (1,025)10= 2.305.359 jiwa

Perlu diingat bahwa suatu deret jika jumlah suku-sukunya terbatas, maka deret tersebut dinamakan sebagai deret terhingga (finite),sedangkan jika jumlah suku-sukunya tak terbatas, maka deret disebut tak hingga (infinite)

Prinsip deret hitung banyak diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan, sedangkan prinsip deret ukur bersama-sama dengan konsep logaritma,sering digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbuhan.

Latihan Soal:1. Jika a = 100 dan S7 = 160, berapa:

a. b ? c. n untuk Sn = 250 b. S11 d. J162. Berapa a dan b jika J3 = 180 dan S4 = 0 ?

3. Deret ukur X mempunyai nilai a = 512 dan p = 0.5, sedangkan deret ukur Y mempunyai nilai S3 = 16 dan p = 4. Pada suku ke berapa nilai suku-suku dari kedua deret tersebut sama ?

4. Nita memulai suatu perkiraan tabungan dengan mendepositokan Rp 200 000 pada minggu pertama, dan pada setiap minggu berikutnya dia mendepositokan lebih dari Rp 50 000 dibandingkan minggu sebelumnya. Berapakah uang yang akan dia peroleh dari perkiraannya setelah 10 minggu

? (tanpa bunga)

5. Seorang penjual di suatu departemen store telah menjual produknya seharga Rp 200 000 pada hari pertamanya. Pada setiap hari kerja berikutnya dia menjual lebih dari Rp 20 000 dibandingkan dengan hari sebelumnya. Berapakah jumlah penjualannya selama 15 hari ?

10