BAB I

KESENAMBUNGAN

A. Dua Bangun Yang Sama dan Sebangun (Kongruen)

1. Segiempat ABCD sama dan sebangun dengan segiempat PQRS, bisa ditulis segiempat ABCD ≅ segiempat PQRS (simbol ≅ = kongruen).

2. sinα ± sin β=2 sin12

(α ± β )cos12

(α∓ β )STU.

Contoh :

Selidiki apakah bangun PQRS dan ABCD kongruen?

Jawab :

Ingat syarat dua bangun yang kongruen

- Sisi yang sama panjangPQ =RSQR = ADRS = CDSP = BC

- Sudut yang sama besar

1

D C

BA

RD

P Q D

K D

M D

L D

T T

U D

S D

B T

C T

D T

RT

S

PT

A

∠P = ∠B, ∠Q = ∠A, ∠R = ∠D, ∠S=∠CBangun tersebut memenuhi kedua syarat, maka bangun PQRS kongruen dengan bangun ABCD (PQRS≅ ABCD).

B. Dua Bangun yang SebangunBangun yang kongruen pasti sebangun tetapi bengun yang sebangun belum

tentu kongruen. Dua bangun yang sebangun tidak harus memiliki sisi yang sama tetapi mempunyai perbandingan yang sama.

D

Contoh :

14 cm 17 cm

14 cm

Diketahui dua buah persegi panjang ABCD dan EFGH dengan ukuran seperti gambar berikut. Tentukan apakah kedua bangun berikut sebangun.

Jawab:

AB : EF = 28 : 14 BC : FG = 14 : 7

= 2 : 1 = 2 : 1

∠A = ∠E ∠B = Ð F

∠C = ∠G ∠D = Ð H

Bangun persegi panjang ABCD dan persegi panjang EFGH, memiliki sisi yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian yang sama besar. Jadi persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang EFGH.

C. Menentukan Panjang Sisi yang Belum Diketahui dari Dua BangunDua bangun dikatakan sebangun jika sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.

Dari prinsip perbandingan ini, maka bisa dipakai untuk mencari panjang sisi yang belum diketahhui.

2

DN

K LA B

C M(i) (ii)

P

RS

Q

W

T U

V

B

D C

A28 cm

GH

E F

Q K

Contoh :Diketahui gambar bangun KLM dan PQRS sebangunTentukan panjang PQJawab:Karena KL = MN dan LM = NK, maka:MN = NK

MNQR

= NKPQ

2412

= 8x

x = 9624

= 4 cmJadi, panjang PQ = 4 cm

D. Kesebangunan Dua Segitiga1. Segitiga-segitiga yang sama dan sebangun (kongruen)

Segitiga-segitiga yang sama dan sebangun (kongruen) mempunyai syarat yang samadengan bangun datar yang kongruen

PQ = KL ∠P = ∠L

QR = JK ∠Q = ∠KPR = JL ∠R = ∠J

Bangun hasil pencerminan (bayangan) dari suatu bangun akan mempunyai bentuk yang sama persis dengan bangunnya. Bangun yang sama dan sebangun disebut juga bangun kongruen.

Contoh:Perhatikan gambar.Buktikan bahwa AEC dan DEB kongruen.Jawab:

3

L

R Q

PO

MN

K

24 cm

8 cm

12 cm

L

J

P

R

5 5

CB

∠A = ∠DAE = DE∠AEC = ∠ DEB (bertolak belakang)Karena dua sisi yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang maka:∆ AEC ≌ ∆DEB2. Dua Segitiga Sebangun

Syarat dua bangun dikatakan sebangun jika sisi yang bersesuaian sebanding dengan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Hal ini juga berlaku untuk bangun segitiga.Perhatikan gambar.∠A = ∠P∠B = ∠Q∠C = ∠RABPQ =

BCQR = CA

RP

Segitiga ABC sebangun dengan segitiga PQR.Contoh :Pada gambar diketahui panjang AC= 10 cm, BC = 5 cm, besar sudut C = 90°, PR= 24 cm, RQ = 12 cm, dan R = 90°.Jelaskan bahwa kedua segitiga itu sebangun!

3. Menghitung Panjang Sisi yang Belum Diketahui Pada Segitiga SebangunCara menghitung panjang segitiga yang belum diketahui sama dengan menentukan panjang sisi pada bangun datar lain.Contoh :Pada segitiga ABC dan EFG, ABC=35∠BCA = 65°, ∠EFG = 100°,BC = 32 cm, dan GI = 6 cm,Tentukan panjang BA.Jawab :∠ABC = ∠EFG = 35°CBEF

= ABGF

328

= AB6

4

AD

A

RC

B P Q

A B

C

R P

Q

10 12

245

C B FG

EA

8 cm

6 cm32 cm

AB = 24 cm

4. Penggunaan Konsep Kesenambungan dalam Pemecahan MasalahUntuk menyelesaikan soal cerita tentang kesenambungan, kita bisa menggambar sketsa dari soal yang dimaksud.Contoh:

Panjang bayangan gedung dan pohon yang disinari matahari masing-masing 6 m dan 4 m, jika tinggi gedung sebenarnya 15m, berapa tinggi pohon sebenarnya?Jawab:15t =

64 t =

606 t = 10

Jadi tinggi pohon sebenarnya 10 cm.

5

15 cm ?

4cm6 cm

POHON

GEDUNG

BAB IIBANGUN RUANG SISI LENGKUNG

A. Unsur-Unsur Bangun ruang Sisi LengkungBangun ruang sisi lengkung merupakan bangun ruang yang memiliki salah satu sisi berbentuk lengkung. Yang termasuk bangun ruang sisi lengkung adalah tabung, kerucut, dan bola.1. Tabung

Tabung (silinder) mempunyai tiga buah sisi yaitu sisi alas dan sisi atas yang berbentuk lingkaran sejajar dan kongruen serta sisi lengkung (selimut tabung) dan dua buah rusuk yang berupa lingkaran. Tabung juga mempunyai jari-jari lingkaran alas dan lingkaran atas yang besarnya sama. Tinggi tabung (t) adalah jarak antara titik pusat lingkaran atas dan titik pusat lingkaran alas.

Sisi lengkung

t t

Sisi alas

Tabung jaring-jaring tabung

2. KerucutKerucut mempunyai dua buah sisi yaitu sisi alas yang berbentuk lingkaran dan

sisi lengkung yang disebut selimut, dan sebuah rusuj yang berupa lingkaran. Kerucut juga mempunyai garis pelukis yang terdapat pada selimutnya. Tinggi kerucut adalah jarak antara pusat llingkaran alas kerucut.

s

t

3. BolaBola adalah sebuah bangun ruang yang dibatasi oleh satu bidang lengkung

yang jaraknya ke titik pusat selalu sama. Jarak antara pusat bola dan bidang lengkung

6

Sisi atas

Sisi lengkung

Garis pelukis (s)

Rusuk lengkungSisi alas

disebut jari-jari bola (r), tali busur yang melalui pusat bola disebut diameter (d). Ciri khas bola adalah tidak memiliki titik sudut dan rusuk.

B. Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Lengkung1. Tabung

Luas permukaan tabung = 2 x luas lingkaran + Luas selimut tabung (luas persegipanjang ABCD)= 2 x πr² + AB x BC= 2 x πr² + πr x 2= 2πr (r + t)Jadi, luas permukaan tabung adalah Sebagai berikut.

Contoh:

Hitunglah luas permukaan tabung jika diketahui luas diameter alas 20 cm dan tingginya

12 cm.

Jawab:

d = 2 . r r = 10 cm

L permukaan = 2πr (r + t)

= 2 . 3, 14 . 10 (10 + 12)

= 1381,6 cm²

2. KerucutUntuk menentukan luas permukaan kerucut,Kita cari luas selimut kerucut yang berbentukJuring AQA’ sebagai berikut.

luas juring AOA ´luas lingkaranO

= Panjang Busur ABA´keliling lingkaranO

7

2πr (r + t)

Luaas selimut tabung = 2πrt

A

D C

B

luas juring AOA ´π

= Panjang Busur ABA´

2πr

luas juring AOA ´πs ² = 2πr

2πs

luas juring AOA ´πs ²

= πs ² x 2πr2πs

= πrs

Jadi, luas selimut kerucut = πrs.Luas permukaan kerucut = luas selimut + luas alas

= πrs + πr ²= πr (s + r)

Jadi, dimana : r = jari-jari lingkaran alas s = garis pelukis

Contoh:Hitung luas permukaan kerucut yang berjari-jari 15 cm panjagn garis pelukisnya 25 cm.Jawab:L permukaan = π r (r + s)

= 3,14 . 15 (15 + 25)= 1.884 cm

3. BolaLuas permukaan bola= 4 x luas lingkaran

= 4 x πr ² = 4 πr ²

Contoh:Hitunglah luas permukaan bola jika panjang diameternya 28 cm.Jawab:d = 2r r = 14 cmluas permukaan bola = 4 πr ²

= 4 . 227

. 14 . 14

= 2.464 cm²

C. Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung

8

Luas permukaan kerucut = πr (s + r)

1. TabungSecara geometris, tabung dapat dikategorikan sebagai prisma tegak.

Dengan demikian rumus volume tabung dapat diturunkan dari volume prisma.Volume tabung = volume prisma

= Luas alas x tinggi= luas lingkaran x tinggi= πr ² x t

Jadi,

Contoh:Diketahui tabung dengan ukuran seperti pada gambar berikut.

10 cm

Berapakah volume tabung tersebut?

Jawab:

V tabung = πr ² t

= 227

x 14 x 14 x 10

= 6.6160 cm

2. KerucutKerucut merupakan limas beraturan yang rusuj alasnya diperbanyak

sehingga membentuk lingkaran. Dengan demikian, volume kerucut mempunyai rumus yang sama dengan volume limas.

Volume kerucut = 13 x luas alas x tinggi

= 13 x luas lingkaran x tinggi

= 13 x πr ² x t =

13 πr ² t

9

Volume tabung = πr ² x t

Contoh:

12 cm

10 cm

3. Bola

Contoh:Hitunglah volume bola dengan jari-jari 6 cm.Jawab:

V bola = 43

πr ³

= 43

x 3,14 x 6 x 6 = 150,72 cm³

D. Unsur-Unsur Bangun Ruang Sisi LengkungUntuk memecahkan soal yang berbentuk cerita, bisa dibuat sketsa gambarnya agar

lebih mudah dalam pengerjaannya.Contoh:1. Sebuah bak air yang berbentuk tabung dengan jari-jari lingkaran alasnya 1 m dan

tinggi 1 m akan diisi penuh dengan air. Jika setiap 12 menit dapat mengisi bak air

sebanyak 12 liter. Tentukan:

a. Volume bak airb. Waktu yang diperlukan untuk mengisi bak air

Jawab:

a. Volume bak = La x t 1m= π . 1 . 1 . 1= 3,14 m³ 1m= 3.140

b. Waktu = 3.140 menit

10

Diketahui kerucut seperti gambar di samping.Berapa volume kerucut tersebut?Jawab:

V kerucut = 13

πr ² t

= 13

. 3.14 . 10. 10 . 12 = 1.256 cm³

Jadi volume kerucut 1.256 cm³

Volume bola = 43

πr ³

6 cm

BAB III

STATISTIKA

A. Data Statistika1. Pengertian Data

Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari cara-cara mengumpulkan data, menyajikan data, menganalisis data dan cara mengambil kesimpulan yang logis sehingga dapat diambil keputusan yang akurat.Data adalah keterangan atau informasi dari sebuah penelitian atau pengarahan tergadap suatu objek.Ada dua jenis data yaitu data kategori dan data numerik.a. Data Kategori

Data yang diperoleh dari pengamatan sifat suatu objek.Contoh:- Pekerjaan orang tua siswa (pegawai negeri, pegawai perusahaan,

wiraswasta, atau TNI-Polri).- Jenis kendaraan untuk berangkat ke sekolah (bus, angkutan kota, mobil

pribadi, sepeda motor, atau sepeda)b. Data Numerik

Data yang diperoleh dari hasil pengukuran yang bersifat numerik (angka)- Berat badan (50kg, 48kg, 57kg, atau 67kg).- Umur (1,13 atau 14 tahun).

2. Pengumpulan DataSetiap tahap awal dalam kegiatan statistika perlu dilakukan pengumpulan data. Kegiatan pengumpulan data dapat dilakukan dengan cara berikuta. Dengan cara mencacah

Contoh:Untuk mengumpulkan data tentang cara siswa sampai di sekolah (naik bus kota, angkutan kota, mobil pribadi, sepeda atau berjalan kaki), maka dapat dilakukan dengan cara menceceh dan membilang.

b. Dengan cara pengukurContoh:Untuk mengumpulkan data tentang berat badan siswa dapat dilakukan dengan cara mengukur dengan menggunakan timbangan/neraca.

c. Dengan cara mencatat data dengan turus (tally)Contoh:Untuk mengumpulkan data tentang pekerjaan orang tua siswa dapat dilakukan dengan mencatat dengan turus seperti ditunjukan oleh tabel berikut:

No Pekerjaan Orang Tua Turut atau Tally Jumlah

1. Pegawai

11

NegeriPegawai

2. PerusahaanNegara

3. PerusahaanSwasta

4. TNI

5. POLRI

6.Lain-lain

3. Mengumpulkan Data (Data Tunggal)Data statistik yang terkumpul umumnya masih tersebar dan tak berurutan ukurannya. Untuk penyajian dan pengolahan data, maka data diurutkan dari ukuran terkecil (nilai terendah) sampai dengan ukuran tersebar (nilai tertinggi) sehingga dapat diketahui penyebaran atau pencarannya.Contoh:Tentukan nilai tertinggi dan terendah dari 5, 6, 4, 7, 9, 3, 7, 8, 6, 4, 8, 9.Jawab:Data terurut : 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9Nilai tertinggi = 9Nilai terendah = 3

4. Sampel Dan Populasia. populasi adalah kumpulan seluruh objek yang lengkap yang akan dijadikan objek penelitian.b. sampel adalah bagian dari populasi yang benar-benar diteliti atau didatai.ContohDepartement Pendidikan Nasional melakukan penelitian mengenai hasil Ujian Akhir Nasional UAN) SMP di suatu provinsi. Tentukan populasi dan sampelnya?Jawab:Populasi : Seluruh siswa SMP di provinsi tersebutSampel : beberapa siswa disetiap SMP di provinsi tersebut.

B. Ukuran Pemusatan Data TunggalDalam suati penelitian, ada tiga nilai (ukuran) statistik yang dapat mewakili data

tersebut yaitu sebagai berikut.1. Rata-rata Hitung (mean)

12Mean = jumlah semuanilai

banyak data

Atau

Contoh:

= 35+40=35=37=34=43=45

n

= 312n8 =39

Jadi, rata-rata berat badan siswa-siswa di atas adalah 39 kg.

2. Modus (nilai yang paling banyak muncul)Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi terbesar.Contoh:Tentukan modus dari data berikut.2, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 3, 4, 4Jawab:Nilai yang paling sering muncul dari data di atas adalah 4Modus dari data di atas adalah 4.

3. MedianMedian adalah nilai yang membagi data terurut menjadi sua bagian yang sama banyak atau nilai tengah setelah data diurutkan.Jika data telah disajikan dalam daftar distribusi frekuensi tunggal, maka:

a. Median = data ke n+1

2 , untuk n ganjil.

b. Median = data ke−n

2+data ke ( n

2+1)

n8 ,

Untuk n genap dengan n adalah banyaknya data.Contoh:Tentukan median dari data berikut.1, 3, 5, 4, 3, 2, 5, 6, 3, 2Jaawab:Data di atas diurutkan terlebih dahulu, menjadi:1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6

1 2 2 3 4 5 5 6

Median

13

3 3

Nilaiterendah

Q1 Q1

(median)Q1 Nilai

tertinggi

Median = 3+3

2 =

62 = 3

C. Ukuran Pancaran data TunggalUkuran pusat seperti mean, modus, dan median merupakan nilai-nilai statistik yang dapat dipakai untuk mewakili data statistik sehingga dadpat memberikan gambaran mengenai data tersebut. Tetapi untuk meberikan gambaran yang lebih jelas lagi perku ditambah data keterangan mengenai penyebaran (pencaran) data.1. Jangkauan data

Jangkauan data adalah selisih nilai tertinggi dengan nilai terendah dari suatu data. Jangkauan sering juga disebut rentangan atau range.

Contoh:Tentukan jangkauan dari 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9Jawab:Nilai data tertinggi = 9Nilai data terendah = 3Jadi jangkauan = 9 – 3

= 62. Jangkauan Quartil

Quartil yaitu membagi data yang telah diurutkan menjadi empat baigan yang sama, maka akan terdapat tiga nilai. Quartil pertama atau quartil bawah dilambangkan dengan Q1, Quartil kedua atau quartil tengah (median) dilambangkan dengan Q2. Quartil ketiga atau quartil atas dilambangkan dwngan Q3.

Quartil-quartil suatu data dapat ditentukan dengan cara berikut.a. Urutkan data menurut garis lurusb. Tentukan quartil tengah Q2 atau medianc. Tentukan quartil bawah Q1 yang terletak diantara nilai terendah dan Q2

d. Tentukan quartil atas Q3 yang terletak antara Q2 dan nilai tertinggi.Contoh: Tentukan quartil dari data 3, 6, 7, 2, 5, 8, 10, 8, 9Jawab:2 3 5 6 7 8 9 10

14

Jangkauan (rentangan) = Nilai tertinggi – nilai terendah

Jangkauan Interquartil = Q3 - Q1

Jangkauan Semi Interquartil = 12 (Q3 - Q1)

Q1 Q2 Q3

Quartil bawah (Q1) = 3+5

2 =

82 = 4

Quartil tengah (Q2) = 7

Quartil atas (Q3) = 8+9

2 = 8,5

3. Jangkauan InterquartilJangkauan interquartil adalah selisih antara quartil atas (Q3) dengan quartil bawah (Q1)

Contoh :Tentukan jangkauan interquartil dari 3, 7, 4, 10, 6, 15, 16, 9, 12, 14, 18,Jawab:3 4 6 7 9 10 12 14 15 16 18

Q1 Q2 Q3

Q1 = 6Q2 = 10Q3 = 15Maka, jangkauan interquartilnya = Q2 - Q1

= 15 -6= 9

4. Jangkauan Semi InterquartilJangkauan Semi Interquartil adalah setengah kali quartil atsa dikurangi quartil bawah

Contoh:Tentukan jangkauan semi quartil dari 2, 5, 3, 7, 10, 8, 6, 9Jawab:

2 3 5 6 7 8 9 10

Q1 Q2 Q3

15

Jadi: Quartil bawah (Q1) = 4

Quartil tengah (Q2) = 6+7

2 = 6,5

Quartil atas (Q3) = 8+9

2 = 8,5

Jadi jangkauan semmi interquartil adalah:

= 12 (Q3 - Q1) =

12 (8,5-4)

= 12 (4,5) = 2,25

D. Penyajian DataSetelah data statistik dikumpulkan dan disusun sesuai denan kebutuhannya, maka data tersebut perlu disajikan dalam bentuk yang mudah untuk dibaca dan dipahami.Data statistik dapat disajikan dalam bentuk tabel atau daftar dan dalam bentuk diagram atau grafik sehingga data akan lebih mudah untuk dibaca dan dipahami.1. Penyajian data dalam bentuk tabel atau daftar

Contoh:

Berat badan (kg) Turus Frekuensi3537383940

||||||||||| |||||||

54642

Jumlah 20 Tabel di atas adalah data berat badan dari 20 siswa.Dari daftar (tabel) di atas dengan mudah dapat diketahui sebagai berikut.a. Berat badan terkecil adalah 35 kg ada 5 siswab. Berat badan terbesar adalah 40 kg ada 2 siswa

2. Penyajian data dalam bentuk diagram3. Jenis-jenis diagram dalam penyajian data antara lain diagram lambang atau

piktogram, diagram garis, diagram batang, dan diagram lingkaran.a. Diagram lambang atau piktogram

Piktogram adalah diagram uang disajikan dalam bentuk lambang-lambang. Dalam piktogram, lambang-lambang yang digunakan harus sesuai dengan objek yang diteliti. Misalnya data untuk hasil panen digunakan lambang buah, data untuk jumlah siswa digunakan lambang orang dan sebagainya.Contoh:

Desa Jumlah

16

Duka MakmurSambi RejoKarang MojoRandu AsriTalang Baru

3.5003.0002.0002.5001.500

Daftar di atas ini adalah junlah rumah pada tahun 2009 disuatu kecamatan yang terdiri dari 5 desa.Buatlah piktogram berdasarkan data di atas.Jawab:

Desa Jumlah Rumah

Suka makmur :Sambi Rejo :Karang Mojo :Randu Asri :Talang Baru :

Keterangan : mewakili 500 rumahb. Diagram garis

Diagram garis umumnya digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh dari waktu-waktu secara teratur dalam jangka waktu tertentu. Misalnya data rataa-rata nilai UAN suatu sekolah dari tahun ke tahun, banyak siswa di suatu sekolah dan sebagainya.Contoh:

Tahun Jumlah Siswa200120022003200420052006200720082009

600650625675700675700725750

Jumlah siswa SMA 1 disuatu kota dari tahun 201 sampai tahun 2009, seperti daftar di atas.Buatkan diagram garisnya!Gambar giagram garisnya:

800750700650600

500

17

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Tahun

Jumlah Siswa

Hasil Panen (ton)

400

300

200

100

c. Diagram batangDiagram batang adalah cara p[enyajian data yang diagramnya berbentuk persegi panjang tegak atau persegi panjang mendatar. Letak batang yang satu dengan batang lainnya saling berdampingan dibuat terpisah.Contoh:

Tahun Hasil Panen2003200420052006

28402047

Data di atas adalah data hasil panen kelapa sawit dari tahun 2003-2006. Buatlah diagram batang berdasarkan data di atas.Jawab: 50

40

30

20

10

2003 2003 2003 2003 Tahun

d. Diagram lingkaranDiagram lingkaran adalah diagram yang menggunakan daerah lingkaran untuk menggambarkan atau membandingkan besar ukuran data. Biasanya untuk menyajikan data dan frekuensinyadinyatakan dalam persen atau derajat dapat menggunakan diagram lingkaran.Contoh:

Buah FrekuensiApelJeruk

158

18

manggaJerukmanggis

AnggurManggisMangga

634

Jumlah 36

Daftar di atas adalah data yang menyatakan buah favorit dari siswa SMP kelas IXA. Buatlah diagram lingkaran bergasarkan data tersebut.Jawab:

Apel = 1536

x 360 = 150°

Jeruk = 8

36 x 360 = 80°

Anggur = 6

36 x 360 = 60°

Menggis = 3

36 x 360 = 30°

Mangga = 4

36 x 360 = 40°

Diagram lingkarannya seperti gambar disamping.

19

Apel

Anggur

BAB IVPELUANG

A. Pengertian Peluang1. Frekuensi Relatif dan Peluang

Jika suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali dan kejadian munculnya A sebanyak k kali, maka frekuensi relatif munculnya kejadian A adalah sebgai berikut.

Contoh:Bannyaknya percobaan pelemparan mata uang (n) adalah 30 kali.Banyaknya kejadian muncul angka pada pelemparan mata uang (k) = 12 kali.

Jadi, peluang munculnya angka: = banyaknyakejadianmunculnya angka Abanyaknya kejadiansuatu percobaan

= kn

= 1230

= 25

2. PeluangPeluang munculnya kejadian = banyak kejadian (hasil) yang di maksud : banyak kejadian (hasil) yang mungkin terjadi.

Atau

Contoh:Jika sebuah dadu dilempar (ditos) satu kali. Tentukan peluang kejadian muncul bilangan prima.Jawab:Banyak kejadian yang dimaksud adalah: 2, 3, 5, jadi ada 3 kejadian.N(a) = n (prima) = 3Benyak kejadian yang mungkin terjadi afalah 1, 2, 3, 4, 5, 6. Jadi ada 6 kemungkinan n (S) = 6.Maka peluang mmuncul prima:

P (prima) = n(A)n (S)

= 36 =

12

3. Ruang Sampel dan Titik SampelPada pelempaaran sebuah mata uang logam yang mungkin terjadi adalah muncul angka (A) atau gambar (G). Himpunan semua kejadian yang mungkin terjadi, yaitu (A, G) disebut ruang sampel (S) dari suatu percobaan adalah himpunan semua kejadian (hasil) yang mungkin terjadi .sedangkan setiap anggota dari detiap ruang

20

Frekuensi relatif (nisbi) = banyaknyakejadianmunculnya angka Abanyaknya kejadiansuatu percobaan

= kn

P(A) = n(A)n (S)

Dengan :n(A) = banyak kejadian An(S) = keladian yang mungkin terjadi

sampel disebut titik sampeldalam beberapa percobaan, ruang sampel dapat ditentukan dengan menggunakan diagram pohon atau tabel, sehingga angota-anggota ruang sampel dapat didaftarkan secara mudah dan teratur. Pada pelemparan pada sebuah mata uang diperoleh 2 titik sampel dan pada pelemparan sebuah dadu diperoleh 6 titik sampelo, sedangkan pada pelemparan sebuah mata uang dan sebuah dadu secara bersamaan diperoleh 2 x 6 = 22 titik sampel.

B. Kisaran suatu Kejadian1. Peluang suatu Kejadian

Peluang kejadian A dengan ruang sampel S adalah sebagai berikut.

Contoh:Sebuah dadu di lemparkan satu kali. Tentukan peluang:a. Munculnya mata 2, danb. Munculnya mata dadu genap.

Jawab:a. n(S) = 6

n(2) = 1

p(2) = n (2)n(S)

= 16

b. n(S) = 6kejadian mata dadu genap = 2,4,6), n(genap) = 3

p(genap) = n(genap)

n (S) = 36 =

13

a) Pelemparan dua mata uangRuang sampel pada pelemparan dua mata uang logam dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut.1. Diagram pohon 2. Tabel

A (A, A)

A

G (A, G)

A (G, A)

A

A G

(A, A) (A, G)

(G, A) (G, G)

Mata uang kedua

21

P(A) = n(A)n (S)

Mata uangyang

pertama

mata uang

G (G, G)

Jadi ruang sampelnya adalah S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G). Sedangkan titik sampelnya adalah: (A, A), (A, G), (G, A) dan (G, G).Pada pelemparan sebuah mata uang diperoleh 2 x 2 = 4 titik sampel.

b) Pelemparan dua daduDadu kedua

1 2 3 4 5 6(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Ruang sampel dari pelemparan dua dadu dapat ditentukan dengan mudah jika menggunakan tabel.pada tabel di atas ruang sampelnya berupa himpunan pasangan berurutan dengan elemen pertama merupakan mata dadi yang muncul dan elemen kedua merupakan mata dadu ke dua yang muncul. Jadi titik sampel (3,2) berarti dadu pertama muncul mata 3 dan dadu ke dua muncul mata 2. Pada pelemparan sebuah dadu terdapat 6 titik sampel, sedangkan pada pelemparan dadu dihasilkan 6 x6 = 36 titik sampel.

c) Pelemparan mata uang dan daduDadu

1 2 3 4 5 6

A (A, 1) (A, 2) (A, 3) (A, 4) (A, 5) (A, 6)

G (G, 1) (G, 2) (G, 3) (G, 4) (G, 5) (G, 6)

Ruang sampel dari pelemparan sebuah mata uang dan sebuah dadu dapat ditentukan dengan tabel berikut.Dari tabel diperoleh riang sampel S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)}.

2. Batas-batas Peluanga. Kapastian dan Kemustahilan

Jika suatu kejedian A tidak mungkin (musthil) terjadi, maka P (A) = 0, sedangkan suatu kejadian yang pasti terjadi maka P(A) = 1Contoh;Pada pelemparan sebuah dadu peluang munculnya mata dadu 9 merupakan kejadian yang mustahil P(9) = 0

22

Dadu pertama

P(A) + P(bukan A) = 1

Frekuensi harapan kejadian A = P(A) x banyak pecobaan

b. Komponen Suatu KejadianKomponen kejadian A adalah bukan A atau bukan kejadian A.Perhatikan tabel berikut.

No Percobaan P(A) P(bukan A)P(A) +

P(bukan A)

1.Pelemparan sebuah mata uang

P(G) = 12

P(bukan G = 12

12

+ 12

= 1

2.Pelemparan sebuah dadu

P(prima) = 36

= 12

P(bukan

prima) = 12

12

+ 12

= 1

3.Pelemparan dua buah dadu

P(jumlah 11) = 12

= 1

18

P(bukan jumlah 11) = 3436

= 1718

1

18 +

1718

= 1

4.Pelemparan dua mata uang

P(sua gambar) = 14

P(bukan dua

gambar) = 34

14

+ 34

= 1

Untuk setiap kejadian A berlaku:

Atau P(A) + P T (A) = 1 atau P T (A) = 1 – P(A)

Contoh:Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu dilempar bersama-sama. Tentukan peluang:a. Pada mata uang muncul gambarb. Pada mata uang muncul bukan gambar

Jawab:

a. Kejadian muncul gambar pada mata uang adalah A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), maka n (A) = 6Banyak anggota ruang sampel S, n(S) = 6 x 2 = 12

Jadi, P (gambar) = n(A)n (S) =

612

= 12

b. P(bukan gambar) = 1 – P(gambar)

= 1 - 12 =

12

C. Frekuensi HarapanFrekuensi harapan adalah banyaknya kejadian yang diharapkan dalam suatu percobaan, maka

23

Peluang kejadian A atau B = P (AUB) = P (A) + P(B)

Contoh:Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 420 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu ganjil?Jawab:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}N(S) = 6

Kejadian muncul mata dadu ganjil adalah A = {1, 3, 5}, n(A) = 3

P(A) = n(A)n (S) =

36 =

12

Frekuensi harapan:FH = P(A) x banyak percobaan

= 12 x 420 kali = 210 kali

D. Dua Kejadian Majemuk1. Kejadian majemuk A dan B atau kedua-duanya

a. Kejadian saling lepasKejadian saling lepas A dan B yaitu kejadian A dan kejadian B tidak terjadi bersama-sama, maka diperoleh hubungan bahwa:

Contoh:Dua buah dadu merah dan putih dilemparkan bersama-sama. Tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 3 atau berjumlah 6.Jawab:Kejadian mata dadu berjumlah 3 adalah:A = {(1, 2), (2, 1)}n(A) = 2Kejadian mata dadu berjumlah 6 adalah:B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}n(B) = 5dua buah dadu n(S) = 36 maka

P(S) = n(A)n (S)

= 2

36

P(B) = n(B)n(S) =

536

Jika gambar pada diagram Venn bahwa A dan B tidak memiliki anggota yang sama, sehingga A dan B saling lepas.P(berjumlah 3 atau 6) = P (A ∪ B)

= P (A) + P(B)

24

B (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1)

A (1, 2) (2, 1)

S

P (A dan B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

Peluang kejadian A atau B = P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A B)

= 2

36 + 52

= 7

36

b. Kejadian tidak saling lepasKejadian tidak saling lepas A dan B yaitu jika kejadian A dan kejadian B memiliki anggota persekutuan, maka diperoleh hubungan bahwa:

Contoh:Pada pelemparan sebuah dadu satu kali, berapa peluang muncul mata dadu genap atau mata dadu prima?Jawab:Kejadian mata dadu genap adalah A = {2, 4, 6}, n(A) = 3Kejadian mata dadu prima adalah B = {2, 3, 5}, n(B) = 3Karena A dan B memiliki anggota persekutuan yaitu 2, meka kejadian A dan B tidak saling lepas, n(A∩B) = 1Jika gambar pada diagram venn, bahwa A dan B memiliki anggota yang sama.Maka:

P(A) = n(A)n (S)

= 36 =

12

P(B) = n(B)n(S) =

36 =

12

P(A∩B) = n(A∩B)n(S)

= 16

Jadi, P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 12 +

12 - 1

6 =

56

2. Kejadian majemuk A dan B

Kejadian majemuk A dan B disebut juga kejadian saling bebas. Kejadian saling bebas terjadi jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian BJika A dan B adalah kejadian saling bebas, berlaku:

Contoh:

25

B2 3

5

A 4 6

S

Dua buah dadu merah dan putih dilempar bersama-sama, berapa peluagn muncul mata dadu 3 pada dadu merah dan 5 pada dadu putih.Jawab:

Kejadian muncul 1 mata dadu 3 pada dadu merah adalah:A = {(3. 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}n(A) = 6

Kejadian muncul mata dadu 5 pada dadu putih adalah:B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}n(B) = 6peluang muncul mata dadu 3 pada dadu merah dan 5 pada dadu putih = P(A dan B) maka P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

= 3

3 6 x 3

3 6 = 1

3 6

26