soluc libro mate 2009
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SOLUCIONARIO
Matemática 2009
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3
SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
CAPÍTULO 1
Conjuntos Numéricos1. La alternativa correcta es C
13
36
15
615
26
36
315
615
569
1556
159
56
53
2518
+
+
+
+
⋅
⋅
, amplificamos para igualar denominador
, sumamos
, ordenamos la fracción compuesta
, simplificamos y multiplicamos.
2. La alternativa correcta es C
34
18
58
14
68
18
58
28
7878
1
188
+
+
+
+
=
=
, amplificamos para igualar denominadores
, sumamos
, adecuando a la alternativa
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3. La alternativa correcta es A
213
413
614
214
73
133
254
94
63
16463
416
24
−
−
−
−
−
− ⋅
−
− 448
, transformamos los números mixtos a fracciones
, restamos
, desarrollamos la fracción compuesta
, simplificamos
, amplificamos para adecuarnos a la alternativa
4. La alternativa correcta es C
Reemplazamos los valores
( )23
19
173
79
37
13
+ ⋅
⋅
, sumamos y ordenamos
, simplificamos
5. La alternativa correcta es C
Transformamos los decimales periódicos a fracciones
0 626299
0 62 0 62
6299
6299
12499
,
, ,
=
+
+ , sumamos
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5
capítulo 1 Solucionario Matemática
6. La alternativa correcta es C
1530
1426
47
121
12
713
1321
12
13
3 26
16
− ⋅ +
− ⋅
−
− =
( )
( )
, simplificamos y sumamos en el interior del paréntesis
, simplificamos
, restamos
7. La alternativa correcta es E
Transformamos los decimales a fracción
0 559
0 2525 2
902390
59
2390
7390
,
,
=
= − =
+
, entonces
, sumamos
8. La alternativa correcta es A
Del enunciado
b c
bc
= ⋅
=
3
3
, despejamos el número 3
, 3 es un número primo
9. La alternativa correcta es D
I. Para que –P sea un número negativo, necesariamente P es un entero positivo.II. De lo anterior P es un elemento de INIII. Falso
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10. La alternativa correcta es E
Se trabaja desde abajo hacia arriba
1) 112
32
1132
123
53
1153
135
85
1185
158
+ =
+ = + =
+ = + =
+ = + == 138
2)
3)
4)
11. La alternativa correcta es D
Reemplazando los valores
13
1118
23
52
13
1118116
13
13
23
23
69
0 6
−−
−−
+
= =
[ ]
( )
,
, desarrollando el paréntesis
, ordenando y simplificando
, sumamos
, amplificamos y transformamos a decimal
12. La alternativa correcta es C
Del enunciado se tiene
15
12
1543
2
⋅ ⋅ ⋅ , simplificamos y el resultado es:
Cpec
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capítulo 1 Solucionario Matemática
13. La alternativa correcta es D
Reemplazando los valores
2 2 2 121
12
232
223
43
+ − ⋅
−
⋅
( ) , realizamos las operaciones
, ordenamos
, multiplicamos
14. La alternativa correcta es E
Del enunciando se tiene:
213
512
18
5 6
30
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
, simplificando
, multiplicando
15. La alternativa correcta es D
Por definición, la fracción es la W-ava parte de V
16. La alternativa correcta es D
Primero se determina el valor de a, b y c
a
b
c
= ⋅ =
= ⋅ =
=
−
−
29
59
1081
110
99
110
102 1090
25 290
( )
( ))
c
c
= ⋅
=
9290
9023
4
, simplificamos
Por lo tanto:
41081
110
⟩ ⟩
⟩ ⟩c a b
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17. La alternativa correcta es D
Tenemos que
13
0 312
0 51327
0 48= = =, , ,
Por lo tanto:
0 41327
, y están entre 13
12
y
18. La alternativa correcta es D
I. Falso, 24 es el menor de los número propuestos pero no es el m.c.m. de ellosII. Verdadero, por definiciónIII. Verdadero, el mayor número que divide en forma exacta a los cuatro números propuestos es el 3.
19. La alternativa correcta es E
I. FalsoII. Verdadero, para que una fracción este indeterminada, su denominador debe ser igual a cero.III. Verdadero, al reemplazar los valores en ambos casos de cómo resultado 2
20. La alternativa correcta es D
Del enunciado
( )
( )
[(
a
a
a
b
b
b
a
+ + =+ ==
− − =− ==
⋅
3 1 14
4 14
10
5 1 6
6 6
12
2 ++ +⋅ + +⋅
b) ]
[( ) ]
[ ]
1
2 10 12 1
2 23
46
, despejemos a
, despejemos b
, reemplazando los valores
, sumando
, multiplicando
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
Potencias y Raíces
1. La alternativa correcta es D
Utilizando multiplicación de potencias en el denominador tenemos:
a
a
n
n
+
+=
1
11
2. La alternativa correcta es B
Simplificando y utilizando propiedad de división de potencia:
3
3
3 1 5 2 2 3
2 7 1
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
− − − −
−
a b c
a b c
( ) [ ( )] ( )
3. La alternativa correcta es A
Distribuyendo los términos de la expresión:
15
5
5
5
3 1
−
−
, por división de raíces de igual índice.
4. La alternativa correcta es D
Antes de Aplicar la potencia, se debe trabajar en el interior del paréntesis:
( )
( )
2 3
1
1
2
2
−−
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5. La alternativa correcta es C
La expresión se puede escribir de la siguiente manera:
6 6 3 3 2
6 3 6 3 2
18 6 6
1
2 2 2
2 2
2 2
n n
n
n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
−
−
( ) ( )
88n
, por multiplicación de potencias de
igual exponente.
, por multiplicación de potencias de igual base.
6. La alternativa correcta es B
Utilizando potencia de 10 y simplificando:
16 10 8
32 104 10
10
4 10
4 10
3
5
3
5
3 5
⋅ ⋅⋅⋅
⋅⋅
−
−
−
−
− − −[ ( ))
22
, Simplificando
, por división de potencias de igual base
7. La alternativa correcta es C
Tenemos: 4 8
22 2
22 2
22
2
2
22 2
1
6 3
8
2 6 3 3
8
12 9
8
12
8
9
8
4
+
+
+
+
+
( ) ( )
66 2
18
+
, realizando cambio de base
, aplicando potencia de potencia
, distribuyendo
, por división de potencia de igual base ,desarrollando la potencia
8. La alternativa correcta es D
Recordemos que cuando la base de una potencia es negativa el resultado es negativo sólo si el exponen-te es impar y que en la recta numérica un número negativo es menor mientras su módulo es mayor.
tenemos que:
x
x
= −
=
1214
2
x
x
3
4
18
116
= −
=
entonces: − ⟨− ⟨ ⟨12
18
116
14
x x x x⟨ ⟨ ⟨3 4 2
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capítulo 1 Solucionario Matemática
9. La alternativa correcta es E
La potencia ( )ax12 se puede escribir como una raíz de la forma:
ax
xax
ax
a x ax
xax ax
=
⋅ =
⋅ =1 3
, entonces
I. , verdadero
II. , verdadero
III. , verdadero
10. La alternativa correcta es D
Reemplazando X por 2, tenemos
= ⋅+
=
=
=
2 22 2242
22
3
4
4
2
2
, por multiplicación de potencia de igual base
, realizamos cambio de base
, por división de potencias de igual base.
11. La alternativa correcta es E
Reemplazando los valores 3 12 1
3 12 1
36 1
6 1 7
4 2
2
⋅ +
⋅ +
++ =
( )
, por propiedad de raíces
, multiplicamos raíces de igual índice
, desarrollamos
12. La alternativa correcta es B
La finalidad de la racionalización es eliminar la raíz enésima del denominador, como la raíz presente
es 45 podemos racionalizar por 445
4 4 4 45 54
55⋅ = = , pero no esta presente en las alternativas. Realizaremos cambio de base 4 25 25=, lo que permite racionalizar por 235 .
2 2 225 35⋅ = , 235 , no se encuentra directamente en la alternativa pero desarrollando la potencia
tenemos que: 2 835 5=
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13. La alternativa correcta es D
Si factorizamos por 511
5 5 1 5 24 6 4 511 2 11 11( )− = ⋅ = ⋅ ⋅
entonces, la expresión es divisible por 6 y 511
14. La alternativa correcta es D
I. Es verdadero por definición del conjunto de los números irracionales.
II. Es falso ya que los números reales es un conjunto que contiene infinitos elementos de los cuales muchos no cumplen con dicha proposición.
III. Es verdadero ya que estos números son elementos del conjunto de los imaginarios.
15. La alternativa correcta es A
Por definición de volumen, aplicamos raíz cúbica para determinar el valor de la arista.
54 2 27 3 233 33 3µ µ µ= ⋅ ⋅ =
16. La alternativa correcta es A
Reemplazando los valores en la ecuación
π ⋅ = ( ) ⋅ = ⋅ ⋅ =R22
2 43 3 3 3 3 3 3 cm2
17. La alternativa correcta es C
Si se sabe que han transcurrido 12 horas y que cada 3 horas la cantidad de bacterias se duplica, tene-mos que
1) 3 horas = 5 ∙ 22) 6 horas = 5 ∙ 2 ∙ 23) 9 horas = 5 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 24) 12 horas = 5 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
Entonces al cabo de “n” horas tendremos que el número de bacterias serán 5 x 23n
en este caso
5 2 5 2 5 16 80123 4⋅ = ⋅ = ⋅ = Bacterias
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capítulo 1 Solucionario Matemática
18. La alternativa correcta es C
De la proporción (1), tenemos que n =0, reemplazando el valor en la expresión nos queda que:
a0 = 1 ; con a ≠ 0
a0 = indefinido con a = 0
Con (1) por sí sola no podemos contestar con certeza, pero si agregamos la información de la proposi-ción (2) podemos contestar satisfactoriamente.
19. La alternativa correcta es C
De la proposición (1) podemos inferir que (a-1)4 será un par positivo salvo en el caso que a = 1.
La proposición (2) complementa a la (1) con la cual se puede señalar que (a-1)4 siempre toma el valor de un par positivo.
20. La alternativa correcta es D
Igualamos las bases de todas las identidades subradicales
5
3
3
3 3 3
3
23
23
43 3
3
=
I
II
III
Ahora racionalizaremos con cada una de las expresiones propuestas
5
3
3
3
5 3
3
5 3
3 3
5
3
3 3
3 3
15 3
23
23
23
23
43
23
3
23
3
3
3
⋅ = =
⋅ =33 3
15 33 3
5
3
3
3
5 33
33
3
23
3
3
3
=⋅
⋅ =
, no se racionaliza
, sí se racionaliza
, sí se racionaliza
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
CAPÍTULO 2
Álgebra1. La alternativa correcta es B)
Aplicamos la definición del enunciado
[ ] [ ]
[ ]
13
13
1
1 23 9
13
1 2
1 23
2 2
22
+ − +
+ + − + +
+ +
bb
b bb b
b bbb
b
b b
b
2 2
2 2
2
913
23 3
113 9 3
23
29
− − −
− + −
−
, desarrollamos los cuadrados de binomios
, multiplicamos
, operamos con términos semejantes
2. La alternativa correcta es A)
Si A es un cuadrado perfecto tenemos que:
A = + 60xy + 25y2
a2 2ab b2
a) b) c)
b y
b y
b y
2 2
2 2
25
5
5
==
=( )
2 60
2 5 60
6
ab xy
a y xy
a x
=⋅ =
=
a x
a x
2 2
2 2
6
36
==
( )
Por lo tanto, el término que falta es 36x2
3. La alternativa correcta es C)
Si Z = 1 se tiene que
( ) ( )x x x ax
x x x ax
x
+ ⋅ − = − −− − = − −
−
12 13 156
156 156
2
2 2
== −=
ax
a 1
, multiplicamos los binomios
, despejando a
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4. La alternativa correcta es B)
El área de un rectángulo se obtiene al multiplicar lado por lado, entonces:
A a b
x x x b
ctánguloRe
( )
= ⋅− + = − ⋅2 11 18 2
b debe ser un binomio compuesto por x y por un número que sumado con (-2) de cómo resultado (-11) y que multiplicado por (-2) el producto sea (18), por lo cual.
b = (x - 9)
5. La alternativa correcta es A)
Debemos recordar el producto notable
a b a b a ab b
x x
a x
3 3 2 2
3 3 38 27 2 3
2
+ = + ⋅ − ++ = +
=
( ) ( )
( ) ( )
bb
x x x
x x x
=
+ ⋅ − ⋅ ++ ⋅ − +
3
2 3 2 2 3 3
2 3 4 6 9
2 2
2
( ) ( )
( ) ( )
, entonces
, sustituyendo
6. La alternativa correcta es A)
− + + − + +− + + − + + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a b a b a b
a b a b a ab
2 2 2
2 2 2 2 bb
a b a b a ab b
a b a a ab b b
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
− − + − + + +− − + + + + −−− − + +
− − + +( )− − + ⋅ +
a b a ab
a b a ab
a b a a b
2 2
2 2
2
2
2
2
( ) ( )
aa a b a b( )+ − −
, desarrollamos el cuadrado de binomio
, juntamos términos semejantes
, asociamos términos
, factorizamos , ordenamos
7. La alternativa correcta es A)
− + ⋅ − − − −− + − − − +−
{ ( ) ( ( ))}
{ ( )}
a b a c bc ab
a ba bc bc ab
{{ }a
a−
, desarrollamos desde dentro hacia fuera
, eliminamos términos semejantes
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capítulo 1 Solucionario Matemática
8. La alternativa correcta es C)
x x x a x b
x x x a x
2 23 112
7 16
− + = − ⋅ +− ⋅ − = − ⋅
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ++− = −=− = +
= −
b
x x a
a
x x b
b
)
( ) ( )
( ) ( )
7
7
16
16
, factorizamos
, comparamos
, despeamos a
, despejamos b
9. La alternativa correcta es A)
7 3 2 8 2 7 23 35
21 14 16 56 2
( ) ( )y x x y x y
y x x y
+ − − + + −+ + − + 33 35
14 16 23 21 56 35
53 70
x y
x x x y y y
x y
−+ + + − −−
, multiplicamos
, términos semejantes
10. La alternativa correcta es E)
( ) ( )a b a b aba b
a ab b a b aba b
+ − − −+
+ + − + −+
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
22 2ba b+
, desarrollamos el cuadrado de binomio
, eliminamos términos semejantes
11. La alternativa correcta es D)
( ) ( )
( ) ( )( )(
a b a ba b
a b
a b a ba ba
+ ⋅ −+−
+ ⋅ − ⋅ −+
2
2 2
22 2
bb
a b a b a ba b a b
a b
a b
)
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −+
+ ⋅ (( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
a b a b a b
a b a b
a b
− ⋅ + ⋅ −− ⋅ −−
2 2 2 2
2 2 2
, ordenamos la fracción compuesta
, factorizamos
, simplificamos
, aplicamos suma por su diferencia
, finalmente
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12. La alternativa correcta es B)
A a
x x a
x x a
x
cuadrado =− + =− ⋅ − =
2
2 2
2
4 12 9
2 3 2 3
2
( ) ( )
( −− =− =
− +−− = − +
3
2 3
2 3 2
2 1
2 1 4 4 1
2 2
2 2
)
( )
( )
a
x a
x
x
x x x
, si conocemos el área podemos determinar el lado
, factoricemos
, si aumentamos el lado en 2 unidades
, determinemos la nueva área
Realicemos la diferencia de las áreas
4 4 1 4 12 9
4 4 1 4 12 9
8 8
2 2
2 2
x x x x
x x x x
x
− + − − +− + − + −
−
( )
, términos semejantes
Por lo tanto, la superficie aumenta (8x - 8) unidades cuadradas.
13. La alternativa correcta es A)
x xy y
x y x y
x xy y
x y x xy y
2 2
3 3
2 2
2 2
1− ++ +
− ++ ⋅ − +
:
( )
( ) ( )):
( )
( ):
( )
1
1 11
x y
x y x y
+
+ +=
, factorizamos x3 + y3
, simplificamos
14. La alternativa correcta es A)
Recordemos que:
Volumen de un cubo = a3 x x x a
x a
x a
x
x
x
3 2 3
3 3
3 3 1
1
1
1 2
3
3
− + − =− =
− =− −−−
( )
( )
( )33 3 29 27 27= − + −x x x
, factorizamos , el lado del cubo es
, disminuimos el lado en 2 unidades , Determinamos el nuevo volumen
Realizamos la diferencia de los volúmenes
x x x x x x
x x x x
3 2 3 2
3 2 3
3 3 1 9 27 27
3 3 1 9
− + − − − + −− + − − +
( )
xx x
x x
2
2
27 27
6 24 26
− +− +
, términos semejantes
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capítulo 1 Solucionario Matemática
15. La alternativa correcta es E)
[( ) : ( )]
[( ) : ( )]
[(
1 1
1 1
2
2 1
2 2
2
1
ab
ab
a b
a
aba
− +
− +
−
−
111
1 11
2 2
2
1
2
− ⋅+
− + ⋅+
−a b
a
aab
ab ab
a
aab
) ( )]
[( )( )
( ))]
[ ]
−
−−
−
1
11
1
aba
aab
, realizamos las operaciones al interior de los paréntesis
, ordenamos la división
, factorizamos la suma por su diferencia
, simplificamos
, por propiedad de potencia ( )ab
ba
− =1
16. La alternativa correcta es C)
( ):
( ) ( )( ) ( )
:(
a b
a b a ba b a ba b a b a
+− −+ ⋅ ++ ⋅ − −
2
2 2
1
1bb
a ba b a b
a ba b
a b
a b
)
( )( )
:( )
( )( )
( )
( )
+− −+−
⋅ −
+
1
, factorizamos
, simplificamos
, ordenamos la división
, simplificamos
17. La alternativa correcta es C)
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
(
a ba b
a b
a ba b
a b a b
a
+−
⋅ −
+−
⋅ + ⋅ −
+
2 2
bb a b
a b
) ( )
( )
⋅ ++ 2
, factorizamos
, simplificamos
, finalmente
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18. La alternativa correcta es D
x
x
4
2
4
2
−+
=
(Primero factorizamos el numerador con suma por su dife-rencia)
x x
x
2 2
2
2 2
2
−( ) +( )+
=
(Simplificando)
x2 2−
19. La alternativa correcta es D
x x x
x x
2
2
4 4 2
4 2
+ +( ) −( )−( ) +( )
=
(Factorizando la expresión x2 + 4x + 4 con cuadrado de binomio y la expresión x2 - 4 con suma por su diferencia)
x x x
x x x
+( ) +( ) −( )−( ) +( ) +( ) =
2 2 2
2 2 2
(Simplificando, se observa que se “eliminan” todos los bino-mios, con lo que el resultado es 1)
1
20. La alternativa correcta es D
El área de un cuadrado se calcula elevando a 2 el lado del cuadrado, entonces si factorizamos con cuadrado de binomio el área x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ,descubrimos que el lado del cuadrado es (x + 1).
Al aumentar su lado 2 unidades el nuevo lado del cuadrado es:
(x + 1) + 2 = (Sumando) x + 3
Finalmente para encontrar el área, elevamos al cuadrado el lado del nuevo cuadrado
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
CAPÍTULO 2
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones lineales
1. La alternativa correcta es C)
3 23
33 2
2x x xx
− = −+
; multiplicando cruzado
3 2 3 2 3 3
9 4 9 3
43
2
2 2
x x x x
x x x
x
+( ) −( ) = −( )− = −
=
; desarrollando la suma por su diferencia y multiplicando el 3 por el binomio
; reduciendo términos semejantes y despejando
2. La alternativa correcta es C)
1
21
31
61
3 2 16
1
26
1
2613
x x x
x
x
x
x
− + =
− + =
=
=
=
; sacando el m.c.m. entre las fracciones
; resolviendo el numerador
; despejando la incógnita “x”
; simplificando
3. La alternativa correcta es E)
a x a x a a
ax a x a a
ax x a
x a
( ) ( )
(
+ − = + ++ − = + +− = +−
1 1
1
1
2 2
11 1
11
) ( )= +
= +−
a
xaa
; multiplicando “a” por cada paréntesis
; reduciendo términos semejantes
; factorizando por “x” en un lado de la igualdad
; despejando la incógnita
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4. La alternativa correcta es A)
Ph
hP h h
P Ph h
P h Ph
P h P
PP
h
=−
− =− == += +
+=
11
1
1
( )
( )
; para despejar “h” multiplicamos cruzado
; multiplicamos “P” por el binomio
; despejamos “h” reuniéndolas en un lado de igualdad
; factorizando por “h” y despejando
5. La alternativa correcta es D)
ax
ab
ba
ax
a bab
a b x a b
a b
a bx
= −
= −
= −( )
−=
2 2
2 2 2
2
2 2( )
; sacando el m.c.m y realizando la resta de fracciones
; multiplicando cruzado en la igualdad
; despejando “x”
6. La alternativa correcta es C)
a b c
c a b
b a a b
b a
b a
b
+ + == − −− + − − =− =− =
−
0
3 5
2 2 5
2 5
( )
( )
aa = 52
; en la primera igualdad despejamos “c”
; reemplazamos este término en la segunda igualdad
; reduciendo términos semejantes y factorizando
; despejando el término pedido
7. La alternativa correcta es B)
x y
x y
+ =− =
1
0 ; resolvemos por reducción
2 1
12
x
x
=
=
; despejamos “x”
, reemplazamos este valor en la primera ecuación
12
1
112
1212
12
0
+ =
= −
=
∴ − =
y
y
y
; despejando “y”
; realizando la diferencia entre las variables
En este caso no es necesario resolver el sistema, como x e y son solución, la respuesta está plantea-da en el enunciado x - y = 0
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8. La alternativa correcta es E)
23
39
6
39
23
7
x y
x y
+ =
+ =
; escribimos el sistema en forma fraccionaria
; simplificando
23 3
6
323
7
x y
x y
+ =
+ = ; multiplicando por el denominador común
2 18
2 21
x y
x y
+ =+ = ; amplificamos la segunda ecuación para resolver por
reducción
( )
( )
a x y
b x y
2 18
2 4 42
+ =− − = − ; sumando
− = −=+ ==
=
3 24
8
2 8 18
2 10
5
y
y
x
x
x
, despejando “y”
; reemplazamos este valor en la ecuación (a)
, despejamos “x”
9. La alternativa correcta es E)
( )
( )
( )
a x y
b x z
c y z
+ =+ =+ =
16
22
28
; ordenamos el sistema
; despejamos “y” de la ecuación (c)
y z
a x z
x z
d x z
x z
= −+ − =
− = −− = −
+ =
28
28 16
16 28
12
( ) ( )
( )
222
12x z− = −
, reemplazamos esto en la ecuación (a)
; despejamos las variables y llamamos (d) a esta nueva ecuación
; armamos un sistema entre (b) y (d)
; resolvemos por reducción
2 10
5
5 22
17
17 28
11
5 11 17
x
x
z
z
y
y
x y z
==+ ==+ ==
∴ + + = + + == 33
; despejamos “x” y reemplazamos en (b)
; despejamos “z” y reemplazamos en (c)
; despejamos “y”
; sumamos x, y, z
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10. La alternativa correcta es E)
2 6
0
+ + =− =
y z
y z ; tomamos el valor de “x”, lo reemplazamos en la pri-
mera ecuación y despejamos las variables de los factores numéricos
( )
( )
a y z
b y z
+ =− =
4
0
; armamos el sistema y lo resolvemos por reducción
2 4
2
2 4
2
y
y
z
z
==
+ ==
; despejamos el valor de “y”
; reemplazamos este valor en (a)
; despejamos z
11. La alternativa correcta es C)
Sea x = cantidad de gallinas ; 2x = total de patas de gallinas y = cantidad de conejos ; 4y = total de patas de conejos
al escribir el sistema de ecuaciones nos queda
( )
( )
a x y
b x y
+ =+ =
50
2 4 134 ; amplificamos la ecuación (a) para resolver por reduc-
ción
− − = −+ =
2 2 100
2 4 134
x y
x y ; sumamos y despejamos “y”
2 34
17
17 50
33
y
y
x
x
==+ ==
; reemplazamos este valor en (a)
; despejamos “x”
12 . La alternativa correcta es B)
x = número central (x - 1) = el antecesor de x (x + 1) = el sucesor de x
así la suma de tres números consecutivos será:
( ) ( )
( )
x x x
x
x
− + + + ==
==
1 1 45
3 45
15
15 2252
; reduciendo términos semejantes ; despejando “x”
; elevando al cuadrado el valor de “x”
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capítulo 1 Solucionario Matemática
13. La alternativa correcta es A)
Sea: w y x
z y x
= +
= −
( )
( ) ; escribimos el sistema con las variables auxiliares “w” y “z”
( )
( )
a w z
b w z
2 3 3
5 3 18
− =+ =
; resolvemos el sistema por reducción
7 21
3
2 3 3 3
6 3 3
1
3
1
2
2
w
w
z
z
z
y x
y x
==
− =− ==
= + ( )= − ( )
( )
; despejando “w”
, reemplazamos este valor en (a)
;despejando “z”
;reemplazamos los valores de “w” y “z” en la definición de las variables y elevamos al cuadrado
( )
( )
c y x
d y x
9
1
= += −
; resolvemos por reducción
10 2
5
9 5
4
=== +=
y
y
x
x
; despejamos “y”
; reemplazamos este valor en (c)
; despejamos “x”
14. La alternativa correcta es B)
Escribimos el sistema reemplazando la tercera igualdad en la primera y segunda ecuación:
( )
( )
a k y
b y k
yk
kk
kk
k k
+ ==
=
+
=
+ =
+
2 0
4
4
24
0
20
222
0
3 0
0
=
==
k
k
; despejamos “y” en la ecuación (b)
; reemplazamos “y” en la ecuación (a)
; multiplicamos y simplificamos
; sacamos m.c.m
; sumamos y despejamos
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15. La alternativa correcta es D)
Definiremos las variables, sea x = cantidad del tipo A en litros
y = cantidad del tipo B en litros 200 = cantidad de la mezcla en litros 1.500x = valor de la cantidad del tipo A utilizado en la mezcla 900y = valor de la cantidad del tipo B utilizado en la mezcla 200(1.140) = valor de la mezcla obtenida
( ) . ( )
( )
.
a x y
b x y
x
1 500 900 200 1140
200
1 500 90
+ =+ =
+ 00 228 000
200
200
1 500 200 900
y
x y
x y
y y
=+ =
= −− + =
.
. ( ) 2228 000
300 000 1 500 900 228 000
300 000
.
. . .
.
− + =−
y y
2228 000 600
72 000 600
120
120 200
80
.
.
==
=+ ==
y
y
y
x
x
; escribiendo el sistema con el valor total de la mezcla
; despejamos “x” de la ecuación (b)
; reemplazamos “x” en la ecuación (a)
; multiplicamos y reducimos términos semejantes
; despejamos “y”
; remplazamos el valor de “y” en (b)
; despejamos
16. La alternativa correcta es B)
Sea “x” la cantidad de hermanas de Pablo e “y” la cantidad de hermanos de Pablo, tenemos:
Pablo x = 3 y ; armamos una ecuación con la información de Pablo
Angélica y +1 = x -1 ; si Angélica es hermana de Pablo, quiere decir que en el análisis aumenta un varón y disminuye una mujer en la relación planteada
y y
y
y
x
x
+ = −====
1 3 1
2 2
1
3 1
3
( )
; reemplazamos la relación de Pablo en la de Angélica
; despejamos “y”
; buscamos el valor de “x”
La cantidad de hombres es 2 ya que debemos agregar a Pablo, y la de mujeres 3
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capítulo 1 Solucionario Matemática
17. La alternativa correcta es D)
Cuando la moto alcanza al auto, los dos cuerpos llevan la misma distancia recorrida.
Sea x = cantidad de horas que demora el automóvil (x-2) = cantidad de horas que demora la moto en recorrer la misma distancia 80 x = distancia recorrida por el automóvil 120(x-2) = distancia recorrida por la moto
La ecuación nos queda:
80 120 2
80 120 240
240 120 80
240 40
x x
x x
x x
x
= −= −= −=
( )
66 = x
; multiplicando el paréntesis
; ordenando la ecuación
; reduciendo términos semejantes
; despejando
Luego, la moto demora 4 horas en alcanzar al automóvil desde que está en movimiento, compartió 2 horas después , a las 6 horas alcanza al automóvil. El automóvil partió a las 3 de la tarde, por lo cual son las 9 de la noche cuando se encuentran.
18. La alternativa correcta es E)
Se tiene como información dos ecuaciones y tres incógnitas, es imposible resolver el sistema.
19. La alternativa correcta es D)
Con la primera información “ x es el doble de y” y la ecuación dada, se plantea un sistema de ecua-ciones que si se puede resolver:
( )
( )
( )
( )
a x y
b x y
y y
y y
y
x
=− =
− =− =
==
2
2 3 4
2 2 3 4
4 3 4
4
2 4
xx = 8
; planteamos el sistema
; reemplazamos (a) en (b)
reducimos términos semejantes
; reemplazamos “y” en (a)
Con la segunda información se puede armar otro sistema de ecuaciones:
( )
( )
( )
a x y
b x y
x
x
y
y
2 3 28
2 3 4
4 32
8
2 8 3 4
16 3
+ =− =
==
− =− ===
=
4
12 3
4
y
y
; planteamos el sistema
; resolvemos por reducción
; despejamos “x”
; reemplazamos en (b)
; reunimos términos semejantes
; despejamos
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20. La alternativa correcta es C)
Sea Z = cuenta por pagar
Con la primera información podemos plantear una ecuación con tres variables; sea
x = cobro del consumo en m3
3500 = cobro por el uso del alcantarillado Z x y= + +3500
y = arriendo del medidor
Con la segunda información podemos plantear una segunda ecuación y una igualdad;
35002
1000
=
=
x
y
Al unir las dos informaciones podemos reemplazar en la primera ecuación los valores dados en la segunda:
Z
Z
= + +=
7000 3500 1000
11500
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
CAPÍTULO 2
Razones y proporciones, porcentaje e interés
1. La alternativa correcta es D)
La media proporcional geométrica es el término que se repite en una proporción continua, por lo cual
28
16
16
4
2 2
2
xMP
MPx
x MP
x MP
x MP
=
=
==
( )
; escribimos la proporción con el término repetido
; multiplicamos cruzado
; sacamos raíz cuadrada para eliminar el exponente de la in-
cógnita
; obtenemos el valor buscado
2. La alternativa correcta es E)
Sean x e y los números buscados;
;escribiendo la información se tiene
;despejando “x” en la segunda ecuación
x y
xy
xy
yy
y y
y
y
− =
=
=
− =
− =
=
=
48
95
95
95
48
9 55
48
45
48
4 2440
60
60 48
108
y
x
x
=− ==
; reemplazando en la primera ecuación
; sacamos el m.c.m.
; reducimos términos semejantes
; multiplicamos cruzado
; despejamos “y”
; reemplazamos este valor en la primera ecuación
; despejamos “x”
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3. La alternativa correcta es A)
Sean x e y las cantidades de dinero que le corresponden a cada persona; así
x y
x y
+ ==
2500
2 3: :
; al escribir la información como ecuación nos queda
; por propiedades de proporción
x y k
k
k
k
x y
+ = +=
=
=
= ∧ =
( )
( )
2 3
2500 5
25005
500
2500
35000
1000 1500
1500 1000 500
x y= ∧ =− =
; remplazando de la primera igualdad
; despejando k
; reemplazando la constante de proporcionalidad en las igual-
dades iniciales
; haciendo la diferencia entre los números
4. La alternativa correcta es C)
Sea : x = cantidad de varones, y = cantidad de mujeres x + y = 500
Escribiendo la proporción entre las variables
3515
35 1550050
10
3510 350
= =
++
=
=
=
= → =
xy
k
x yk
k
k
xx
y115
10 150
200
= → =
− =
y
x y
; escribimos la proporción
, por propiedades
; reemplazamos la cantidad total de personas
; dividimos y obtenemos el valor de la constante k
; reemplazamos la constante en cada razón
; obtenemos “x” e “y”
; buscamos la diferencia entre varones y mujeres
5. La alternativa correcta es A)
Por definición la cuarta proporcional geométrica es el o los números diferentes que puede tener una propor-
ción ; así
x
x
x
24145624 14
56122
6
=
= ( ) ( )
= =
; multiplicando cruzado
; resolviendo
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capítulo 1 Solucionario Matemática
6. La alternativa correcta es B)
a% de b se escribe : ab100
23=
b% de a se escribe : ba100
= ?
; de la primera igualdad
ab =
=
2300
2300100
23
; reemplazamos en la segunda
; simplificamos y obtenemos el resultado
7. La alternativa correcta es D)
Definamos: X = edad de Juan
Y = edad de hermano
X
X Y
Y
y
Y
==
=
⋅ =
=
24
3 4
24 34
24 43
32
: :
; escribimos la información del problema
; reemplazamos la primera igualdad en la segunda
; multiplicamos cruzado y simplificamos
8. La alternativa correcta es B)
Aumentando el numerador de la fracción e igualamos con 0,75 escrito como fracción.
5
875
1005
834
20 4 24
4 4
1
5 100
1
1
+ =
+ =
+ ==
===
x
x
x
x
x
%
?%
0005
20= %
; simplificando
; multiplicamos cruzado
; despejamos el valor de “x”
; escribimos la relación de porcentajes
; resolvemos “ 1 qué porcentaje es de 5 ”
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9. La alternativa correcta es D)
Reconocemos las variables de la fórmula para el interés simple :
C = 1.050.000 K= 350.000 r = 10%
; escribiendo la ecuación y reemplazando los valores
C K nr
n
n
= += +
= +
( )
. . . ( %)
1
1 050 000 350 000 1 10
3 1101000
210100
200 10
20
=
==
n
n
n
; despejando “n” y escribiendo el porcentaje como fracción
10. La alternativa correcta es C)
Por fórmula la MP geométrica es :
54
0 20
54
20100
1040
12
( , ) =
⋅ =
=
=
MP
MP
MP
MP
; reemplazando los valores en la fórmula
; transformando el decimal a fracción
; multiplicamos y simplificamos
; sacamos la raíz cuadrada
11. La alternativa correcta es D)
Sea x = edad de Ricardo
y = edad de Mónica
; escribimos la información entregada
x y
x y
y y
y
y
= ++ =
+ + =+ =
+ =
6
2 60
2 6 60
2 2 6 60
4 12 60
( )
( )
( )
; reemplazamos la primera igualdad en la segunda ecuación
; reducción de términos semejantes
; multiplicamos
; despejamos “y”
4 48
12
12 6
18
1812
32
y
y
x
x
xy
=== +=
= =
; reemplazamos este valor en la primera igualdad
; sumamos y escribimos la razón entre los valores encontra-
dos
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12. La alternativa correcta es C)
Sea x = dinero que lleva e y = valor del artículo
68
32 48 000
6810032100
48 000
4
%
% .
.
⋅ =⋅ =
=
=
=
x y
x
xy
x
x.. .
.
( . )
800 00032
150 000
1725
17 150 00025
1
x
xy
y
=
=
=
77 6 000
102 000
( . )
.
==
y
y
; escribimos la información
; pasamos el porcentaje a fracción
; despejamos x de la segunda ecuación
; dividimos
;tomamos la primera ecuación y la simplificamos
, reemplazamos el valor de “x” en la ecuación
; multiplicamos y simplificamos
13. La alternativa correcta es B)
Definimos a x como dinero de la deuda; entonces:
38
24 000
3 24 000 8
3 192 000
64 000
x
x
x
x
=
==
=
.
( . )( )
.
.
; de la primera información se obtiene
; despejamos “x”
; escribimos el resto de la deuda como lo que le falta a 3/8 para
el entero; es decir 5/8, así los 45
del resto de la deuda es:
45
58
48
1212
64 000 32 000
x x
x
=
⋅ =. .
; simplificamos
; reemplazamos el valor de “x”
Luego, el total de lo que se ha pagado es $24.000 + $32.000 = $56.000, por lo tanto, falta por pagar
$64.000 - $56.000 = $8.000.
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14. La alternativa correcta es E)
A de B
A B
a A B
A B Ax
b A B x
=
=
=
+ =
+ =
25
25100
14
100
%
( )
( ) ( ) 1100
14
10014
54
25
25 45
2
A
B B x B
B x B
x
x
( ) ( )
( )
( )
+ =
=
=
= 00
; escribimos la información como fracción
; simplificamos
; buscamos que % es A de (A+b)
; multiplicamos cruzado
; reemplazamos (a) en (b)
; sumamos y simplificamos
; simplificamos y despejamos “x”
15. La alternativa correcta es A)
Y kX
k
k
X
X
X
=
=
=
=
==
35
34
45
2045
100 4
25
; escribimos la proporcionalidad directa
; reemplazamos los valores de X y de Y
; despejamos la constante de proporcionalidad k
; con el valor de k =constante, reemplazamos el nuevo valor de
Y
, despejando obtenemos el nuevo valor de X
16. La alternativa correcta es C)
1
150 7507501505
=
=
=
x
x
x
; escribimos la proporcionalidad entre los valores
; despejamos
17. La alternativa correcta es D)
5 obreros 2 horas ; escribimos la relación que nos dan
(5-3 ) obreros x horas
; al ser una proporción inversa multiplicamos hacia el lado
5 2
25
⋅ =
=
x
x
; simplificamos
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18. La alternativa correcta es E)
El C.P.G son los términos diferentes de una proporción;
23
6
9
23 6
4
326
1
=
=
=
=
=
=
xx
x
x
x
x
; escribimos la primera proporción posible y despejamos el
primer valor de x
; escribimos la segunda proporción y despejamos x
; escribimos la tercera proporción y despejamos x
Luego, la respuesta correcta es: I, II y III.
19. La alternativa correcta es C)
a b
Ia b a b
k
IIb a b a
k
IIIa
: :
.
.
.
=
= → + =
= → − =
=
2 3
2 3 5
3 2 1
2bb
a b
a b3
3 2
6 4
→ =
=
; por las propiedades de proporciones, escribimos
; si (a+b) = 5 significaría que a =2 y b=3 ,lo que no se cumple
siempre , ya que si a=10 y b=15 tienen igual proporción
; si (a-b) = 1 significaría que a=2 y b=3, no se cumple siempre
por la misma explicación anterior
; la amplificación de una proporción la mantiene siempre
igual
Luego, la respuesta correcta es: Sólo III.
20. La alternativa correcta es D)
Sea x el precio del comestible y V el precio final de venta, entonces:
x x x x V
x x x x V
x x
− + − =
− + − =
−
25 20 25
14
15
14
4 14
% %( % )
( )
++ − =
+ − =
+ =
+ =
15
120
34
420
34
320
15 320
x x V
x x xV
x xV
x xVV
xV
xV
de x V
1820
91090
=
=
=%
; escribimos el planteamiento del precio de venta
; transformamos los porcentajes a fracciones simplificadas y
sacamos m.c.m.
; sumamos
; sacamos m.c.m
; simplificamos
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Solucionario Matemática
CAPÍTULO 2
Desigualdades e Inecuaciones lineales
1. La alternativa correcta es A)
Al graficar los intervalos en una misma recta numérica nos quedan:
-6 0 5 10
La solución final corresponde al intervalo [ -6 , +∞ ]
2. La alternativa correcta es E)
-6 0-2 3
La solución final es ] –2 , 3 ]
3. La alternativa correcta es D)
-3 0 4 6 8 12
La solución final es [ -3 , +∞ [
4. La alternativa correcta es B)
2 18
3 43
3 2 1 8 3 4
6 3 24 32
3 32 1
x x
x x
x x
+ < −
+ < −+ < −
+ <
( ) ( )
88
3518
3518
x
x ó x< >
; multiplicando cruzado
; distribuimos cada factor en el binomio respectivo
; reunimos términos semejantes
; despejamos la incógnita
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5. La alternativa correcta es B)
6 11
26 9 3
6 11 122
9 3
6 23 18 6
23 18
xx
xx
x x
+ + > +
+ + > +
+ > +
>
; sacamos común denominador
; multiplicamos cruzado
; reunimos términos semejantes y la incógnita “x” se elimina
; obtenemos una desigualdad verdadera lo que significa que se
cumple para todos los reales
6. La alternativa correcta es D)
15
99
9 59
9
9 5 81 9
14 81 10
− − < +− − < +
− + < +
− <
−
xx
xx
x x
x
( )
667 10
6710
<
− <
x
x
; sacamos común denominador
; multiplicamos cruzado
; reunimos términos semejantes
; despejamos “x”
; graficamos la solución y la afirmación x < 5
0 5-6710
La solución final es ] -6710
, 5[
7. La alternativa correcta es A)
Para que la expresión represente un número no real, la cantidad sub-radical debe ser menor
que cero.
3 12
3 12 0
3 12
4
4 x
x
x
x
−− <<
<
; despejamos la incógnita “x”
8. La alternativa correcta es A)
Para que la cantidad sub-radical sea un número real debe ser mayor o igual a cero
−− ≥ −
≤
x
x
x
0 1
0
/ ( )
; multiplicamos por (-1) para eliminar el negativo de la incóg-
nita lo que hace además que se invierta el signo de la desigual-
dad
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9. La alternativa correcta es D)
Para que la fracción sea real, el denominador debe ser distinto de cero y la cantidad
sub-radical mayor que cero
7
33 0
3 3
−− >> <
xx
x ó x
; escribimos la desigualdad
; despejamos la incógnita
10. La alternativa correcta es C)
I. a > c ; se cumple, por propiedades
II. 1a
< 1c
; se cumple, por propiedades
III. -3ab > - 3bc ; no se cumple, por propiedades
11. La alternativa correcta es A)
x x x
x x x x
x x
−( ) ≤ − +
− + ≤ − +− + ≤ − +−
1 4 8
2 1 4 8
2 1 4 8
2
2
2 2
( )
xx x
x
x
+ ≤ −≤
≤
−∞
4 8 1
2 7
7272
,
; desarrollamos el cuadrado de binomio
; eliminamos el término “ x2 ”
; reunimos términos semejantes
; despejamos “x”
; escribimos el resultado como intervalo según el dibujo
0 72
12. La alternativa correcta es D)
a xx
b x x
)
)
3 12
3
2 5 3 1
− ≥ +
+ < −
; resolvemos cada desigualdad por separado
a x
x
x x
x
x
)
,
3 16
26 2 6
5 8
85
85
− ≥ +
− ≥ +≥
≥
+∞
; sacamos el denominador común y multiplicamos cruzado
; reunimos términos semejantes
; despejamos “x”
; escribimos la solución como intervalo
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b x x
x
x
)
/ ( )
,
2 3 1 5
6 1
6
6
− < − −− < − −
>+ ∞
; reunimos términos semejantes
; multiplicamos por (-1) para eliminar el signo negativo de la
incógnita, invirtiendo así la desigualdad
; escribimos la solución como intervalo
La solución final es la intersección de ambas soluciones 85
6, ,+∞
∩ +∞
Gráficamente tenemos:
0 685
Entonces, el resultado es ]6, +∞[
13. La alternativa correcta es E)
a x
b x
).
).
2 3 3
2 4
+ <− >
; se resuelve cada desigualdad por separado
a x
x
x
b x
x
)
)
2 3 3
2 0
0
4 2
6
< −<
<> +>
0 6
La intersección de las desigualdades es − ∞ ∩ + ∞ = ∅, ,0 6
14. La alternativa correcta es A)
Sea X = número buscado
2X = doble del número buscado
planteamos la desigualdad
2 1 1
2 1 1
2
x x
x x
x
− < +− < +
<
; reunimos términos semejantes
; despejamos “x”
Como el número buscado debe ser natural, el natural menor a 2 es 1
15. La alternativa correcta es C)
Si x = lado del cuadrado, el perímetro de un cuadrado es 4x; si el perímetro no puede ser menor que 50 cm,
quiere decir que puede ser 50 cm o más, así la desigualdad nos queda:
4 50
504
12 5
x
x
x cm
≥
≥
≥ ,
; despejamos “x”
; dividimos
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capítulo 1 Solucionario Matemática
16. La alternativa correcta es B)
Sea (2n + 1) = número impar
(2n + 3) = impar consecutivo
planteamos la desigualdad
2 1 2 3 60
2 1 2 3 60
4 4 60
4 60 4
4
n n
n n
n
n
+( ) + +( ) <
+ + + <+ << −
nn
n
n
n
<
<
<∴ =
⋅ + =
56
564
14
13
2 13 3 29( )
;eliminamos paréntesis
; reunimos términos semejantes
; despejamos n
; encontramos el mayor valor de n que sea menor que 14
; reemplazamos n en el mayor impar y obtenemos el resultado
final
17. La alternativa correcta es C)
Sea X = cantidad de monedas que se tiene en un bolsillo
X + 5 = cantidad de monedas en el otro bolsillo
2X + 5 = total de monedas en ambos bolsillos
planteamos la desigualdad
2 5 35
2 35 5
302
15
x
x
x
x
+ ≥≥ −
≥
≥
; despejamos y reunimos términos semejantes
; dividimos
18. La alternativa correcta es E)
Sean : P = Pablo, J = Joaquín, M = Marcelo
planteamos las desigualdades para cada información tratando de encontrar quién es mayor
( )
( )
1 1
2
P J
M P
= +
≥
, con esta única información no podemos saber quién es
mayor
, con esta información sólo sabemos que Marcelo puede tener
la misma edad de Pablo o ser mayor.
Si unimos las dos informaciones podemos asegurar que Pablo es mayor que Joaquín pero no que Marcelo es
mayor que Pablo; se requiere información adicional.
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19. La alternativa correcta es C)
Sea L = cantidad de tarros de pintura utilizados en el living
C = 1,5 cantidad de tarros de pintura utilizados en la cocina
X = cantidad de tarros de pintura utilizados para la casa completa
(1) de la primera información podemos plantear L = 2C, lo que nos dice que en el living se utilizaron 3
tarros, pero no nos informa sobre X (2) de la segunda información podemos plantear X ≥ 3 (L + C), que por sí sola no nos proporciona el valor
mínimo de X.
(1) y (2) juntas nos proporciona la desigualdad con la que podemos encontrar X
X
X
X
≥ +≥≥
3 3 1 5
3 4 5
13 5
( , )
( , )
,
20. La alternativa correcta es C)
Sea X = cantidad de pares de zapatos
(1) de la primera información podemos escribir:
XX
XX
X X
X
X
− >
− >
− >
>
>
402
240
22
40
240
80
; sacamos el m.c.m.
; reducimos términos semejantes.
; multiplicamos cruzado.
Nos dice que el zapatero hizo más de 80 pares de zapatos; pero no la cantidad exacta que
hizo
(2) de la segunda información podemos escribir:
X
X
− <<
35 47
82
Nos dice que el zapatero hizo menos de 82 pares de zapatos; pero no la cantidad exacta de zapatos
(1) y (2) nos da la información ya que 82 < X < 80; lo que se traduce en que X = 81
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
CAPÍTULO 3
Relaciones y funciones
1. La alternativa correcta es C)
Las relaciones a R b pedidas, son aquellas en que el segundo término es múltiplo del primero, entonces al
escribir todas las relaciones a R b tenemos:
(2,4); (2,6); (3,4); (3,6); (4,4); (4,6)
Observamos que la primera relación, la segunda, la cuarta y la quinta relación cumplen la condición pedi-
da.
2. La alternativa correcta es E)
En la relación x R y se pide que los pares ordenados (x , y) no cumplan la condición x = y2
Comprobamos cada par ordenado:
a) 2 = 42
; se cumple la condición
b) 8 = 162
; se cumple la condición
c) 6 = 122
, se cumple la condición
d) 4 = 82
; se cumple la condición
e) 10 ≠ 52
; no se cumple la condición
3. La alternativa correcta es A)
En la relación a R b , la condición es que el primer término sea múltiplo del segundo. Se cumple en
a) 6 = 3 · 2
4. La alternativa correcta es B)
En una función a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto
de llegada, lo que significa que si tomamos el elemento a de salida no puede este tener dos elementos de llega-
da, basándose en esto, la opción II no es función ya que el elemento de partida “a “ esta con tres elementos
del conjunto de llegada. (a,a); (a,b); (a,c); esta opción es relación.
Por lo tanto, las opciones I y III cumplen la definición de función.
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5. La alternativa correcta es C)
f u x u
f x
f x
f f x
( )
( )
( )
( ) ( ) (
= += += +− = + −
3
3 3 3
0 3 0
3 0 3 3 33 0
3 0 3 3 3 0
3 0 3
x
f f x x
f f
+− = + − −− =
)
( ) ( )
( ) ( )
; reemplazamos en la función la variable “u” por el número ; hacemos lo mismo con el 0
; finalmente restamos
; cambiamos signos dentro de paréntesis
; resolvemos
6. La alternativa correcta es E)
f x x
x
x
x
x
( ) = −− == +=
=
3 5
3 5 6
3 6 5
3 11
113
; igualamos la función dada al valor que se indica
; reunimos términos semejantes
; reducimos términos
; despejamos “x”
7. La alternativa correcta es E)
f
f
g
f f
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 4
3 2 3 6
5 2 5 10
2 3
= == == =− ++ = − + =g( )5 4 6 10 8
; evaluamos cada variable “x” con el valor indicado en las
funciones respectivas
; finalmente realizamos la operación indicada
8. La alternativa correcta es D)
La función g[f(x)] es una función compuesta, lo que significa que el valor de f(-2) se reemplaza en la función
g(x) para obtener el resultado final así:
g f g g[ ( )] [ ] [ ] ( )− = − + = = + =2 2 3 1 5 1 7 12
9. La alternativa correcta es C)
Opción I: En esta opción se observa que a cada elemento de partida tiene un sólo elemento de llegada, sin
importar que sea el mismo; es función
Opción II: En la opción se observa que hay un elemento en el conjunto de partida que no tiene elemento en
el conjunto de llegada, no es función ya que todos los elementos deben tener un elemento de llegada
Opción III: Hay un elemento en el conjunto de partida que tiene dos elementos en el conjunto de llegada, no
es función ya que debe tener uno sólo
Opción IV: Es función ya que es uno a uno, es decir, a un elemento de partida le corresponde sólo uno de
llegada
Luego, la respuesta correcta es I y IV.
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capítulo 1 Solucionario Matemática
10. La alternativa correcta es D)
En el gráfico si elegimos puntos en el eje x (conjunto de partida), vemos que a cada valor le corresponde sólo
un valor en el eje y (conjunto de llegada); es función
Gráfico I: Y
X
En el gráfico, al mismo elemento de partida (eje x) le corresponde varios puntos de llegada(eje y); no es
función
Gráfico II: Y
X
En el gráfico se elige un elemento de partida, y se ve que a cada uno le corresponde uno de llegada; se grafica
una recta que siempre es función.
Gráfico III: Y
X
11. La alternativa correcta es D)
Evaluamos en la función f x x x( ) = − +2 3 1 los valores entregados en cada alternativa para ver cual no se
cumple
a f verdadera
b f
) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( )
0 0 3 0 1 1
5 5
2
2
= − + =− = − − 33 5 1 25 15 1 41
2 2 3 22
( )
) ( ) ( ) (
− + = + + == −
verdadera
c f ))
) ( ) ( ) ( )
+ = − + = −− = − − − +
1 4 6 1 1
1 1 3 1 12
verdadera
d f == + + == − + = − + = −
1 3 1 5
1 1 3 1 1 1 3 1 12
falsa
e f ve) ( ) ( ) ( ) rrdadera
12. La alternativa correcta es C)
En el gráfico si tomamos el valor 0 en el x, se obtiene 0 en el y; es decir f(0) = 0 , cuando tomamos el valor 3
en el eje x , obtenemos 5 en el eje y; es decir f(3) =5, finalmente al tomar el valor –3 en el eje x , encontramos
el valor –1 en el eje y; es decir f(-3) = -1
Entonces, f f f( ) ( ) ( ) ( )0 3 3 0 5 1 6+ − − = + − − =
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13. La alternativa correcta es D)
Analizamos cada alternativa
a) Por definición una función es biyectiva cuando es inyectiva y epiyectiva; por lo tanto es verdadera
b) En una función inyectiva a cada elemento del dominio, le corresponde un único valor en el recorrido,
así f(x) = x + 5 es inyectiva ya que para cada valor de “x” obtendremos un valor distinto de “y”; luego es
verdadera
c) Por la definición explicada en la alternativa a), la alternativa es verdadera.
d) En una relación un elemento de partida puede tener dos de llegada, en las funciones no; por lo tanto es
falsa
e) f g f f( ( )) ( ) ( )2 2 2 4 4 1 5= + = = + = ; verdadera
14. La alternativa correcta es A)
Si f x x( ) = − 3 y g x x( ) = −1 al buscar g f x( ( )) buscamos la función compuesta, para ello tomamos
f(x) y la reemplazamos en g(x), así:
g f x g x x x x( ( )) ( ) ( )= − = − − = − − = −3 3 1 3 1 4
15. La alternativa correcta es C)
Si la función es f u u x( ) = + 2 en “u” reemplazamos los valores entregados; así:
f x x x x
f x x x x
f x f x x x
( )
( )
( ) ( )
= + == + =
+ = + =
2 3
2 2 2 4
2 3 4 77x
entonces,
16. La alternativa correcta es D)
Para ver si los pares ordenados satisfacen o no una función, tomamos cada par ordenado y reemplazamos en
la función verificando si se cumple o no la igualdad. Recuerda que el primer número del par ordenado repre-
senta x y el segundo y, así:
Par x y( , ) ;
( )
− − → = − = −− = − −− = −− = −
1 3 1 3
3 1 4
3 1 4
3 3
2
; definimos el valor de x e y ; reemplazamos estos valores en la función recordando que
f(x)=y ; verificamos la igualdad
; verdadera
Par x y( , ) ;
( )
− → = − == − −= −=
2 0 2 0
0 2 4
0 4 4
0 0
2
; definimos los valores de x e y ; reemplazamos en la función
; verificamos la igualdad
; verdadera
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capítulo 1 Solucionario Matemática
Par x y( , ) ;
( )
− → = − == − −= −=
3 5 3 5
5 3 4
5 9 4
5 5
2
; definimos los valores de x e y ; reemplazamos en la función
; verificamos la igualdad
; verdadera
Par x y( , ) ;
( )
0 4 0 4
4 0 4
4 4
2
→ = == −≠ −
; definimos los valores de x e y ; reemplazamos y verificamos la igualdad
; falsa
Par x y( , ) ;
( )
2 0 2 0
0 2 4
0 4 4
0 0
2
→ = == −= −=
; definimos los valores de x e y , reemplazamos en la función
; verificamos la igualdad
; verdadera
17. La alternativa correcta es A)
En la función f x x( ) = +2 1 reemplazamos los puntos dados en cada gráfico para ver si se cumple la igual-
dad respectiva
En el gráfico a) tenemos que si:
x y
x y
x y
= = → = += = → = += = → =
1 3 3 2 1 1
2 5 5 2 2 1
0 1 1 2
; ( )
; ( )
; (( )0 1+
; para los tres valores de x e y se cumple la igualdad, por lo
cual el gráfico buscado es el primero
18. La alternativa correcta es B)
En la función dada, reemplazamos (a + b) y luego (a) para finalmente realizar la operación que se indica;
entonces:
f a b a a b a b a
f a b a ab a
( ) ( ) ( )
( )
+ = + − + ++ = + − −
2 5 5
2 2 5 52 bb a
f a b a ab b
f a a a a a
f a
++ = + −
= − +
5
2 2 5
2 5 5
2( )
( ) ( ) ( )
( ))
( )
( ) ( )
= − +=
+ − = + −
2 5 5
2
22 2 5
2
2
2
a a a
f a a
f a b f ab
a ab bb ab
f a b f ab
ab bb
b ab
f a
−
+ − = − = −
22
22 5
22 52
2
( ) ( ) ( )
( ++ − = −b f ab
a) ( )2
2 52
; multiplicamos cada factor por el binomio correspondiente
; reducimos términos semejantes
; multiplicamos los factores por cada binomio
; reducimos términos semejantes
; escribimos la expresión que nos piden
; reducimos términos semejantes
; factorizamos y simplificamos
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19. La alternativa correcta es D)
En la función dada, reemplazamos (a + b) y luego (b) , para finalmente realizar la diferencia entre estos dos
resultados
f a b a b a a b
f a b a b a ab
f b b a
( ) ( ) ( )
( )
( )
+ = + − ++ = + − −
= −
2
(( )
( )
( ) ( ) ( )
(
b
f b b ab
f a b f b a b a ab b ab
f
= −
+ − = + − − − −2
aa b f b a b a ab b ab
f a b f b a a a
+ − = + − − − +
+ − = − =
) ( )
( ) ( )
2
2 (( )1− a
; multiplicamos por “a” el paréntesis.
; multiplicamos por “a” el paréntesis.
; reemplazamos los resultados en la expresión que nos piden
; cambiamos los signos por el negativo que está fuera del pa-
réntesis y reducimos términos semejantes
; factorizamos por “a”
20. La alternativa correcta es C)
Si f(a) = 2, entonces reemplazamos por “a” la incógnita “x” e igualamos todo a 2 para encontrar el valor
de “a”, es decir:
f xx
a
f aa
aa a
a a
( )
( )
( )
= +
= + =
+ =+ ==
3 22
3 22
2
3 2 2 2
3 2 4
3 44 2
3 2
32
a a
a
a
−=
=
; reemplazamos x por “a” e igualamos a “2”
;multiplicamos cruzado
; resolvemos y reunimos términos semejantes
; reducimos términos semejantes
; despejamos “a”
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Solucionario Matemática
Funciones de Variable Real
1. La alternativa correcta es C)
Sea n = número positivo y (n+1) su consecutivo, así:
n n
n n
n n
n n
n
( )
( )( )
+ =+ =+ − =+ − =
1 272
272
272 0
17 16 0
2
2
++ = − == − =17 0 16 0
17 161 2
ó
y
n
n n
; multiplicamos cada término
; formamos la ecuación de segundo grado
; resolvemos por factorización
; encontramos los números que deben ser positivos
Entonces, al reemplazar n=16 en (n+1) = 16 + 1 = 17.
Por tanto, los números buscados son: 16 y 17.
2. La alternativa correcta es A)
x x
x x
x x x
x x
+ = −+ = −+ = − += − +
7 5
7 5
7 10 25
0 10
2
2
2
2
/ ( )
( )
225 7
0 11 18
0 2 9
2 0 9 0
2
1
− −= − += − −− = − =
x
x x
x x
x x
x
( )( )
ó
== =∴ =
2 9
92y
sólo es solución
x
x
; elevamos al cuadrado toda la expresión
; desarrollamos el cuadrado de binomio
;reunimos todos los términos en una lado de la igualdad y los
reducimos
; resolvemos la ecuación de segundo grado por factorización
; encontramos los resultados de la ecuación
, ya que al comrpobar en la ecuación original,
√9 + 7 = 9 - 5
√16 = 4, nos da como resultado la raíz principal.
3. La alternativa correcta es C)
Si yx x x x
x x x x x x
x
1 2 1 2
21 2 1 2
2
4 3
0
4
+ = − ⋅ =
− + + ⋅ =
− −
( )
( ))x
x x
+ =+ + =
3 0
4 3 02
; por definición de propiedades
; reemplazando los valores dados
; ordenando encontramos la ecuación cuadrática
CAPÍTULO 3
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4. La alternativa correcta es A)
5 10 2 6 0 5
22 6
50
2 65
2
2
x x k
x xk
k
− + + =
− + +
=
+
/ :
= ⋅
+
= ⋅
+ == −
= −
x x
kx
k
k
k
1 2
1
2 65
0
2 6 0
2 6
3
; dividimos por 5
; reunimos los términos que corresponden a C en la ecuación
cuadrática
; igualamos por propiedades de las raíces
; reemplazamos el valor de la raíz nula
; despejamos k en la igualdad
5. La alternativa correcta es A)
Sean
según la ecuación representa el c
x y x
m1 22 3= − =
ooeficiente y
representa el coeficiente
b
m c( )− −7
aa)
b)
− + = − → = −
= −
− ⋅ = → − = − + → −
2 3 11
1
2 3 67
1
ba
m
m
ca
m( )66 7
1
+ = −
= −
m
m
; dadas las raíces utilizamos las propiedades de la raíces
; comprobamos utilizando las dos propiedades
6. La alternativa correcta es D)
x x
ca
k
k
k
k
1 2 48
48
7 11
48
7 1 48
7 49
7
⋅ =
=
− =
− ==
=
; utilizando la propiedad de las raíces
; reemplazamos el coeficiente c y a en la propiedad
; despejamos la incógnita
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capítulo 1 Solucionario Matemática
7. La alternativa correcta es B)
Si la hipotenusa es c , los catetos serán (c-8) y ( c-1 ). Entonces por el teorema de pitágoras tenemos que:
c c c
c c c c c
c c
2 2 2
2 2 2
2
8 1
16 64 2 1
0
= −( ) + −( )= − + + − +
= − + 22 2
2
16 64 2 1
0 18 65
0 5 13
− + + − += − += − −−
c c c
c c
c c
c
( )( )
55 0 13 0
5 13
= − == =
ó
y
c
c c
; planteamos el teorema de Pitágoras
; resolvemos cada cuadrado de binomio
; igualamos a cero la ecuación cuadrática
; reducimos términos semejantes
; resolvemos por factorización
; despejamos los posibles valores de c
; se descarta el valor de 5 por no poder existir una longitud
negativa
(c-8)
c
(c-1)
8. La alternativa correcta es D)
a
b ; Si a y b son los lados del rectángulo
(ab) será el área y (2a + 2b) será el perímetro
; escribimos el sistema de ecuaciones
; dividimos por 2 en la segunda ecuación
a b
a b
⋅ =+ =
61
2 60( )
a b
a b
⋅ =+ =
61
30 ; despejamos a en la primera ecuación
; reemplazamos esto es la segunda ecuación
; sacamos común denominador
ab
bb
bb
b b
b b
=
+ =
+ =
+ =− + =
61
6130
6130
61 30
30 61 0
2
2
2
; multiplicamos por b la igualdad
; escribimos la ecuación cuadrática
; resolvemos por factorización
( )( )b b
b b
b b
− − =− = − == =
7 23 0
7 0 23 0
7 23
ó
y
; despejamos la variable b
; nos quedamos con el menor valor que es 7
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9. La alternativa correcta es E)
Verificamos cada afirmación
I. log ,
log ,
, ,
9 0 31808
13
9 0 31808
13
0 95424 0 31
3 =
=
( ) = 8808
0 31808 0 31808
900 2 95424
, ,
log ,
= →
=
verdadera
llog( ) ,
log log ,
,
9 100 2 95424
9 100 2 95424
0 954
⋅ =+ =224 2 2 95424
81 1 90848
9 9
+ = →
=⋅
,
log ,
log(
verdadera
)) ,
log log ,
( , ) ,
=+ =
=
1 90848
9 9 1 90848
2 0 95424 1 908448 → verdadera
; aplicamos la propiedad de potencias en el logaritmo
; reemplazamos el valor de log 9
; resolvemos
; comprobamos la igualdad
II. ; escribimos el log como producto
; aplicamos la propiedad del producto
; reemplazamos y resolvemos
; comprobamos la igualdad
III. ; escribimos como producto el logaritmo
;aplicamos la propiedad del producto
; reemplazamos y resolvemos
; comprobamos la igualdad
10. La alternativa correcta es E)
; escribimos el sistema aplicando las propiedades del logarit-
mo de un cuociente y escribiendo el decimal como fracción
x y
x y
+ =− =
27 5
1
,
log log
x y
xy
+ =
=
27510
10log log ; resolvemos la ecuación logarítmica
xy
x y= → =10 10 ; despejamos x de esta ecuación para reemplazar en la primera
ecuación
; reunimos términos semejantes
10552
11552
5522
52
105522
55022
27
y y
y
y
x
x
+ =
=
= =
=
= = 5511
27511
52
62 5
⋅
= ,
; despejamos el valor de y
; reemplazamos este valor en la ecuación logarítmica
; resolvemos y encontramos el valor de x
; realizamos el producto ( x y), encontrando la solución
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capítulo 1 Solucionario Matemática
11. La alternativa correcta es C)
Partimos de un logaritmo conocido que es log 10
log log( )
log log log
, log
10 5 2
10 5 2
1 0 69897 2
= ⋅= +
= +11 0 69897 2− =, log
; aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto
; reemplazamos y despejamos lo que se busca
12. La alternativa correcta es D)
En la parábola el intervalo creciente será desde el vértice hacia la derecha y será decreciente desde el vértice
hacia la izquierda.
El vértice está en el centro de la parábola, es decir en el punto medio de las raíces de la ecuación que son, 1 y
5; por lo tanto el punto que se busca será 1 52
3+ =
∴ +∞ 3, es el intervalo buscado
13. La alternativa correcta es C)
El eje de simetría corresponde al valor en el eje x que determina el centro de la parábola y nos da el punto
medio de las raíces, es decir los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la parábola.
eje simetría = − = − + −
−−
= →
ba
si f x x x2
4 3
42 1
2 2
2( )
( ),++∞
; reemplazamos las variables b y a en la ecuación de
simetría
14. La alternativa correcta es D)
U
U
=
=
(log )(log )(log ).....(log )
log2 3 4 15
1
3 4 5 16
00
10
10
10
10
10
3
2
4
3
5
4log
log
log
log
log......
l⋅ ⋅ ⋅
oog
log
log
log
log
log
10
10
10
10
2
2
16
15
16
2
16
U
U
U
=
=
= 22
4 2
4
4
2U
U
==
log
; cambiamos base de cada logaritmo
; simplificamos los logaritmos
; cambiamos base
; escribimos como potencia
; aplicamos la propiedad del logaritmo de una poten-
cia
; resolvemos
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15. La alternativa correcta es E)
En la ecuación f xxq
x q q( ) ;= − + − <2
4 3 0 encontramos que si
a
qb c q= − = = −1
4 3, y
a) la parábola corta al eje y en –3q, es decir el número positivo de 3q
b) la parábola mira hacia arriba ya que –1/q es mayor que cero
c) la parábola tiene como eje de simetría −−
=42
2
q
q , como q < 0,
entonces 2q es negativo.
Según esto no existe ningún gráfico que corte al eje y en -3q o en el valor positivo de 3q, y que tenga como
eje de simetría el valor 2q.
16. La alternativa correcta es D)
Si f x x( ) = − −3 1 cuando la función intercepta al eje de la ordenadas x = 0, entonces:
y
y
y
y
= − −
= − −
= −=
0 3 1
3 1
3 1
2
; aplicamos la definición de valor absoluto
; resolvemos y nos quedamos con el valor que cumple la igual-
dad, es decir y=2
Luego, el punto buscado es (0,2)
17. La alternativa correcta es D)
En la función R(x) = -0,15x2 + 4,5x encontramos el valor máximo en el punto máximo de la parábola, es
decir:
pto. máximo y como y tendremos:: , ,− = = −b
ab a
24 5 0 15
ppto. máximo = −−
= =4 52 0 15
4 50 3
15,
( , ),,
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capítulo 1 Solucionario Matemática
18. La alternativa correcta es C)
Comprobaremos cada afirmación:
I. Al comprar 5000 unidades se paga $1800 por cada artículo; al comprar 2300 unidades cada persona
pagará $2000 por cada artículo, entonces
5000($1800) = $9000000
2300(2000) = $4600000 c/p $9200000 en total verdadera
II. Al comprar 6000 unidades se pagará $1700 por cada artículo y al comprar 5800 unidades se paga $1800
por cada artículo, entonces:
6000($1700) = $10200000 5800($1800) = $10440000 verdadera
III. Al comprar 4000 unidades se pagan $1800 por unidad y no $2000 como se afirma
Afirmación falsa
19. La alternativa correcta es C)
Para saber la concavidad de una parábola necesitamos conocer el coeficiente “a” de su función y para ello
tendremos que formar la función , analizaremos las informaciones:
(1) Esta información nos da x1= -2 y x2= 3, sólo nos da los puntos por los cuales la parábola corta al eje x.
(2) Esta información nos da el punto donde la parábola corta al eje y; es decir c = -6, entonces, con ambas
juntas sabemos que la parábola tiene concavidad positiva
20. La alternativa correcta es A)
(1) Esta información nos da el valor inicial que necesitamos para saber que en 5 horas habrá
5000(25) = 160000 bacterias
donde (25)=32 representa la duplicación en la cantidad de horas
(2) Con esta información sólo sabremos la cantidad final en función de la inicial, pero no sabemos la inicial
Nos quedamos con sólo (1) ya que es suficiente para responder la pregunta
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
Combinatoria y Probabilidad.1. La alternativa correcta es E)
Al tener tres números, el 3, el 2 y el 5, existen tres posibilidades para cada cifra ya que estos se podrían repe-
tir; es decir:
3 x 3 = 9
2. La alternativa correcta es D)
Existen dos números, el 1 y el 2 los cuales deben formar números de 10 cifras, entonces estos se pueden
repetir, así 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210
3. La alternativa correcta es D)
Es una combinación ya que se escoge un grupo de 4 elementos de un total de 10 sin importar el orden en que
se escojan, así:
4
10
C
4. La alternativa correcta es E)
Es una permutación de elementos ya que las personas pueden ingresar de diferentes maneras y no se puede
repetir, entonces cualquiera de las 8 personas puede ingresar primero, luego cualquiera de las 7 que quedan
y así sucesivamente...así
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = P8
5. La alternativa correcta es B)
Al querer formar grupos de hombres y mujeres de un total de personas, se trata de una combinación ya que
el orden no es importante, entonces nos queda:
3
7
C representa el grupo de 3 hombres dentro de un grupo de 7
2
5
C representa el grupo de 2 mujeres de un total de 5
CAPÍTULO 4
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Como queremos formar un grupo que este formado por hombres y mujeres, multiplicamos estas combinaci-
nes y tendremos la combinación total
3
7
2
5
77 3 3
55 2 2
74 3
53
C C⋅
− ⋅⋅
− ⋅
⋅⋅
⋅
!( )! !
!( )! !
!! !
!! 22
7 6 5 44 3
5 4 33 2
7 6 53 2 1
5 42
!
!! !
!! !
⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅⋅ ⋅
⋅ ⋅⋅⋅
⋅1
35 10
350
(Desarrollando el factorial de un número)
(Simplificando)
(Multiplicando y simplificando)
(Multiplicando)
6. La alternativa correcta es C)
Los menús que se forman están compuestos de sólo dos opciones: entrada y plato de fondo.
Hay 5 entradas y 6 platos de fondo, así tenemos que las posibilidades de formar el menú están dadas por el
producto de entradas por platos de fondo
5 x 6 =30
7. La alternativa correcta es A)
Cuando ordenamos letras de una palabra que repite letras, estamos frente a una permutación con repetición,
entonces la permutación con repetición de la palabra CEPECH está dada por:
2 2
6 62 2
6 5 4 3 2 12 1 2 1
180,
!! !P =⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
=
8. La alternativa correcta es E)
Una ordenación de elementos es una permutación, entonces:
P5 = 5!=5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
9. La alternativa correcta es B)
Al ordenar todos los posibles números que existen con dígitos repetidos, estamos frente a una permutación
con repetición ya que de las siete cifras , tres son el número 2 y las otras cuatro cifras serán iguales al 5.
3 4
7 73 4
7 6 5 43 2 1 4
35,
!! !
!!P =
⋅= ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅=
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capítulo 1 Solucionario Matemática
10. La alternativa correcta es E)
Esta combinación no se puede calcular ya que no tenemos la cantidad total de hombres ni de mujeres para
formar los grupos posibles
11. La alternativa correcta es A)
Sea PA igual a la probabilidad de que ocurra el suceso A , esta está definida por:
P Acasos favorables
casos posibles
n
nA( ) = =
a). casos favorables = total de combinaciones en que se tenga Cara-Sello-Sello
1
3
C combinaciones totales para obtener una cara d= ee tres en total
2
2
C combinaciones totales para obtener dos sello= ss de dos que quedan
( recordar que ya hay una moneda con cara y son tres en total)
1
3
2
2 33 1 1
22 2 2
3C C⋅ =− ⋅
⋅− ⋅
=!( )! !
!( )! !
b). casos posibles = total de combinaciones que se obtienen con tres monedas
Como cada moneda tiene 2 posibilidades, se tiene 2 x 2 x 2 = 8
P A( ) = 3
8
12. La alternativa correcta es B)
Calcularemos la Probabilidad de sacar una Azul y luego de sacar una Blanca, como un evento o el otro nos
da la probabilidad total, sumamos cada probabilidad individual
P azulbolas azulesbolas totales
( ) = = 515a)
b) P blancabolas blancasbolas totales
( ) = = 715
P azul oblanca( ) = + = =5
157
151215
45
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13. La alternativa correcta es D)
La probabilidad de responder correctamente cada pregunta es 15
, se tienen 20 preguntas en total,
entonces para lograr acertar a todas se tiene 15
20
14. La alternativa correcta es D)
Primero buscamos todas las posibles combinaciones de números en que la diferencia de las pintas sea 2 y
luego buscamos todas la combinaciones posibles al tirar los 2 dados
a). Casos favorables = al tener dos dados pueden aparecer las combinaciones
1 –3 , 2 – 4 , 3 –5 , 4 – 6 y las mismas pero al revés, es decir
3 – 1 , 4 – 2 , 5 – 3 , 6 – 4 ya que al ser dos dados puede darse el caso
contrario. Así tenemos 8 casos favorables
b). Casos posibles = al lanzar dos dados se pueden obtener 6 x 6 combinaciones posibles, es decir 36
Finalmente la probabilidad del evento será P = =836
29
15. La alternativa correcta es C)
La probabilidad de que este evento ocurra será la P = P(blanca) x P(roja)
a) P blancabolitas blancasbolitas totales
( ) = = 27
b) P rojabolitas rojas
bolitas totales que quedan( ) =
aal sacar y no poner= 5
6
P = ⋅ =2
756
521
16. La alternativa correcta es C)
La probabilidad de la certeza es 1, entonces que la probabilidad de que algo ocurra más la probabilidad de que
no ocurra es 1, así
15
45
1+ = , por lo tanto, si 15
= probabilidad de ocurrencia
y
45
= probabilidad que no ocurra
si en dos jugadas seguidas no logra el puntaje máximo, la probabilidad de que esto ocurra será
P = ⋅ =4
545
1625
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capítulo 1 Solucionario Matemática
17. La alternativa correcta es C)
Para ganar el premio, Jimena tiene que acertar al talonario y luego al número;
como existen 20 talonarios la probabilidad de acertar al premiado será 120
y
la probabilidad de acertar al número será 1
10, así la probabilidad de acertar a ambos, talonario y número
será P = ⋅ = =120
110
1200
0 005,
18. La alternativa correcta es D)
La probabilidad que existe entre los atletas que gane uno o el otro está dada por la suma de ambas probabili-
dades ya que son eventos mutuamente excluyentes
Así P = + = + =15
16
6 530
1130
19. La alternativa correcta es A)
Si el alumno tiene probabilidad 16
de egresar, tendrá 56
de no hacerlo.
de la misma forma si tiene probabilidad 25
de casarse, tiene 35
de no hacerlo.
La probabilidad de que salga y no se case será P = ⋅ =16
35
110
20. La alternativa correcta es E)
Al elegir un estudiante al azar entre tres carreras, la probabilidad de que hubiese finalizado sería la suma de
las probabilidades de egresar de cada carrera ya que son sucesos excluyentes entre ellos.
a) Probabilidad de egresar en Construcción Civil = 25% ⋅ 20% = 15 ⋅
14 =
120
b) Probabilidad de egresar en Derecho = 25% ⋅ 25% = 14 ⋅
14 =
1
16
c) Probabilidad de egresar en Enfermería = 50% ⋅ 15% = 12 ⋅
320 =
340
P = + + = =120
116
340
1580
316
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
CAPÍTULO 4
Estadística Descriptiva
1. La alternativa correcta es C)
La media de datos no agrupados es el promedio de todos los datos, así:
X = =6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3
6
30
6= 5
2. La alternativa correcta es E)
La moda es el término que más se repite entre todos los datos, en este caso el número 6.
3. La alternativa correcta es D)
La mediana es el término que esta en el centro de todos los datos, como tenemos datos no agrupados lo primero
que hacemos es ordenarlos y luego buscamos el número, entonces nos queda que en los datos 6,6,6,5,4,3
el término central corresponde al promedio de los dos números centrales Me =6 + 5
2= 5, 5.
4. La alternativa correcta es C)
La desviación típica o estándar de datos no agrupados es:
σ
σ
=
=
∑
− ⋅ + − + − + −
( - )=1
2x x
i
n
n
i
( ) ( ) ( ) (6 5 3 5 5 4 5 32 2 2
552
)
6
8
6
4
3= =
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5. La alternativa correcta es D)
En un polígono de frecuencias, el número de datos es la suma de todas los valores que se encuentran en las
ordenadas, es decir:
2 + 2 + 3 + 7 + 9 + 7 +2 = 32
6. La alternativa correcta es C)
La moda del gráfico es el número que tiene mayor frecuencia, es decir 500 ya que tiene frecuencia de 9.
7. La alternativa correcta es D)
Al puntaje de 600 le corresponde la frecuencia de 7.
8. La alternativa correcta es C)
La media es el promedio, entonces tenemos
Xa a a a a a
=+ + + +
=3 6 7 2
5
19
5
9. La alternativa correcta es D)
La relación que tendremos que resolver es X = 15, 25 =x1 + x2 + x3 + x4
4 donde buscaremos que números debemos considerar para obtener un promedio o media de 15,25
61 = x
1 + x
2 + x
3 + x
4 con los números dados se tiene que el único número que no nos sirve para esta igualdad
es el 21 ya que el resto debería sumar 40.
10. La alternativa correcta es B)
Al ordenar los datos se tiene 1, 1, 1, 5, 5, 5, 6, 7, 10, 10, 15 la mediana es el dato del centro, luego es el 5.
11. La alternativa correcta es D)
Como se aprueba con una nota mínima de 4,0, los alumnos que obtuvieron esta nota o más corresponde a las
frecuencias de los intervalos desde [4,5] a [6,7] entonces corresponde a 17 alumnos, como el total de alumnos
es 20, el porcentaje será 17•100%
20 =85%
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capítulo 1 Solucionario Matemática
12. La alternativa correcta es B)
Por definición
13. La alternativa correcta es E)
El promedio aritmético es la media, la ecuación nos queda
18= 20 + 15 +X
3
3
18•3= 35 + X3
54 - 35= X3
19= X3
14. La alternativa correcta es A)
El número de alumnos corresponde a la frecuencia de los intervalos de notas, por lo tanto 7 es la frecuencia
del intervalo entre 4 y 7
15. La alternativa correcta es C)
Si n = 600 representa el total de elementos y la sección B representa 60° en el gráfico, por lo que corresponde
a 16
del gráfico, luego, 16
de los elementos son:
elementos = 600
6 = 100
16. La alternativa correcta es C)
Si existe mayor desviación estándar o típica significa que hay mayor dispersión (por definición), entonces
como todos tienen la misma media o promedio, la mayor dispersión es en el caso III
17. La alternativa correcta es B)
Como el promedio es 4,0 con 6 notas nos queda:
4,0 = 21,3 + X
6
24 - 21,3 = X
2,7 = X
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18. La alternativa correcta es D)
x = 197
197 ⋅ 5 = suma de estaturas
Como sale una persona e ingresa otra, a la suma de las estaturas restamos 170 cm y sumamos 205 cm y finalmente
calculamos el nuevo promedio
X cm= = 197 5 - 170 + 205
5204
⋅
19. La alternativa correcta es E)
Tenemos una tabla de datos agrupados donde la suma de todas las frecuencias no da el número total de datos,
en este caso 520 datos distribuidos en diferentes intervalos de notas.
De las afirmaciones
I. Las notas desde 4 a 7 suman 120 alumnos, la primera afirmación es falsa
II. La nota promedio se obtiene con la fórmula de media de datos agrupados para la cual necesitamos sacar
la marca de clase de cada intervalo, así:
Nota Frecuencia Marca de clase
[1-2,5]
(2,5-4]
(4-5,5]
(5,5-7]
250
150
100
20
1,75
3,25
4,75
6,25
(1,75)(250) + (3,25)(150) + (4,75)(100) + (6,25)(20)
520
X = =6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3
6
30
6= 5
X = =6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3
6
30
6= 5437,5 + 487,5 + 475 + 125
520 = 2,93
La nota promedio si está en el intervalo (2,5 – 4], la afirmación es verdadera
III. El total de alumnos corresponde a la frecuencia total. La afirmación es verdadera
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capítulo 1 Solucionario Matemática
20. La alternativa correcta es E)
Verificaremos las afirmaciones
I. La media de los datos es X = =1 + 3 + 5 + 7 + 9
5
25
5= 5 al sumar 12 a cada término la suma de
25 aumenta en (12)(5) = 60, entonces tenemos X = =25 + 60
5 17 Afirmación verdadera
II. La mediana aumenta en 12 por sumar este número a cada dato. Inicialmente era 5 ahora será 17-.
Afirmación falsa
IV. Utilizando la fórmula de desviación se obtiene
σ =(13 - 17) + (15 - 17) (17 - 17) (19 - 17) (21 - 1
2 2 2 2+ + + 77)
5
40
58
2
σ = =
Afirmación verdadera
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Solucionario Matemática
CAPÍTULO 5
Ángulos
1. La alternativa correcta es A
El complemento de un ángulo sexagesimal se expresa de la forma:
αc = (90º - α)
El suplemento de un ángulo sexagesimal se expresa de la forma:
αs = (180º - α)
Recordemos que: ángulo recto 90° ; ángulo extendido 180° , por lo cual del enunciado se obtiene:
(90° - 90°) + (180°-180°)0° + 0°
0°
2. La alternativa correcta es C
Como L1//L2, se cumple que:
β
L1
L2
x
L4
L3
60º
80º100º
β = 80º, luego, x = 80º + 60º x = 140º
3. La alternativa correcta es E
Como L1//L2 se cumple que:
α = 180º + 75º
45º 60º 120º
75º
L1
L2
120º
135º
α
α = 255º
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capítulo 5
4. La alternativa correcta es E
Como L1//L2 podemos utilizar ángulos alternos externos y nos queda:
x + β = 180ºx = 180º - β
L1
L2
x
α
β
5. La alternativa correcta es D
Del enunciado y utilizando ángulo alterno interno se tiene que:
x + 30º = 180º
L1
L2
L4
L3
120º
x
x = 180º - 30ºx = 150º
6. La alternativa correcta es B
Tenemos que:
α + β + 60º = 180ºα + β = 120º, como α : β = 1 : 2
Tenemos que:
k k
k
k
k
+ = °= °
= °
= °
2 120
3 120
1203
40
L
1
L2
60ºα
β
60º
Luego, α = 40º
7. La alternativa correcta es C
Como L1//L2
L1
L2
x
L4
L3
α
β
180º -x
α = β + (180º - x), despejando xx = 180º - α + β
β
30º
30º
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capítulo 1 Solucionario Matemáticacapítulo 5
8. La alternativa correcta es E
Como L1//L3
α + β = 90º
L1
L2
L3
β
α
α = 90º - βα = 20º
9. La alternativa correcta es C
Como L1//L2, por propiedad de paralelas y ángulos adyacentes se tiene que:
1 105
2 180
135 180
180 135
)
)
z y
z x
y
y
y
+ = °+ = °+ ° = °= ° − °== °
+ ° = °= ° − °= °° + = °=
45
45 105
105 45
60
60 180
1
z
z
z
x
x 880 60
120
120 45 60 105
° − °= °+ − = ° + ° − ° = °
x
x y z
L
1
L2
105º
z
135ºy
x
, además
, por lo cual
, reemplazando en (1)
, reemplazando en (2)
, por lo tanto
10. La alternativa correcta es E
Como L1//L2
100º = 30º + x L1
L2
x
100º
30º
L3
L4
70º = x
11. La alternativa correcta es C
Como L1//L2, tenemos que
2x + 15º + x = 180º L
1
L2
2x + 15º x
2x + 15º
3x = 165ºx = 55º
αβ
x
75º
zx
x
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12. La alternativa correcta es B
Recordemos que un pentágono regular tiene 5 lados y todos sus ángulos interiores son iguales.
Ángulo interior = 180 2
180 5 25
36 3
108
° ⋅ −
° ⋅ −
° ⋅°
( )
( )
nn
, reemplazando n por 5
, simplificando
, multiplicando
Por lo tanto, el suplemento es:
180º - 108º = 72º
13. La alternativa correcta es E
El número de diagonales que se puede trazar a partir de un vértice de un polígono se determina a través de
d = (n - 3)
Con “n” números de lados del polígono y d = número de diagonales (12)
12 = n - 315 = n
14. La alternativa correcta es A
Del pentágono regular se desprende que
36º + α + 36º = 108ºα = 108º - 72º
α
108º
36º 36º
36º
36º 108ºα = 36º
15. La alternativa correcta es D
Del enunciado tenemos que:
25º + 2y + 2x = 180º
y y xx25º A
B
CD
E
FO
2y + 2x = 155º ; dividiendo todo por 2
y + x = 77,5º
Por lo tanto, el ángulo BOD es igual a 77,5º
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capítulo 1 Solucionario Matemáticacapítulo 5
16. La alternativa correcta es B
Recordemos que los ángulos recorridos por el horario (H) y el minutero (m) están en la razón 1 : 12, ya que en una hora el horario avanza 30º y el minutero 360º.
H : m = 1 : 12, luego a las 10 horas el ángulo formado por los punteros es 60°
60º
; a las 10 horas 5 minutos, el minutero(m) ha recorrido 30°. Si el horario no se mueve los punteros forman un ángulo de 90°
H
H
301
123012
2 5
=
= = °,
; determinamos los ángulos recorridos por el horario
Por lo tanto, el menor ángulo formado por los punteros a las 10 horas 5 minutos es:
90º - 2,5º = 87,5º
17. La alternativa correcta es C
Primero determinaremos el número de lados del polígono ya que se conoce la suma de sus ángulos interiores.
900 180 2
7
32
7 7 32
14
º º ( )
( )
( )
= ⋅ −=
= ⋅ −
= ⋅ −
=
n
n
Dn n
D
D
; despejando n y simplificando
; como conocemos el número de lados del polígono podemos determinar el número total de diagonales que se pueden trazar en su interior
; reemplazando en n
18. La alternativa correcta es C
I. Falso, ya que en cualquier polígono la suma de sus ángulos exteriores es de 360°.II. Falso, ya que además debe tener todo sus ángulos interiores iguales.III. Verdadero, por definición.
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19. La alternativa correcta es D
Con la proposición (1) se puede determinar el valor de “x” ya que ABCD sería un paralelógramo.
Con la proposición (2) se puede determinar el valor de “x” ya que ABCD sería un paralelógramos.
20. La alternativa correcta es C
Para poder contestar satisfactoriamente este ejercicio se necesita de ambas proposiciones ya que, por sí solas no se podría determinar el valor del ∠ACB
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Solucionario Matemática
CAPÍTULO 5
Triángulos
1. La alternativa correcta es B
El complemento de un ángulo es lo que le falta a éste para formar un ángulo recto.
En gradianes un ángulo recto corresponde a 100g , por lo tanto:
100g - 50g = 50g ; 50g es el complemento.
2. La alternativa correcta es D
A partir de la información y del análisis de los triángulos RQT y SQT se tiene que:
2β β
S RQ
T
120º
βα
a
b
)
)
2 120 180
2 120
ββ α
+ ° = °+ = °
Despejamos β de a) β=30°
Reemplazamos en b) y despejamos α
2 30 120
120 60
60
⋅ ° + = °= ° − °= °
( ) ααα
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3. La alternativa correcta es A
El área de un triángulo se determina como:
Ab h∆ = ⋅
2
Como el área del triángulo isósceles del problema es conocida (S) y la base también (b), reemplazamos en la ecuación.
Sb h
Sb
h
hS
b
= ⋅
⋅ =
= ⋅
22
2
, despejamos h
4. La alternativa correcta es C
Del dibujo se desprende que:
αα
α αα
= ∠ + ∠= ∠ + ∠
∠ + ∠ + ∠ + ∠+
1 2
3 4
1 2 3 4
2
, y
, entonces
Por lo tanto: ∠ + ∠ + ∠ + ∠ =1 2 3 4 2α
5. La alternativa correcta es A
Analizando la información y los triángulos del dibujo tenemos que:B
A D
EC
x
60º 60º
βα α
βα βααα
= °+ = °= ° − °= °+ = °
= °
60
110
110 60
50
2 180
180
x
x −− ⋅ °= °
2 50
80
( )
x
, como
, reemplazando β y despejamos α
, finalmente
, despejando x y reemplazando α
Por lo tanto: x = 80º
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6. La alternativa correcta es B
C
A D
E
B40º
x
De la información tenemos que el ∆ ABC es isósceles de base AC , por lo cual:
∠ACB = ∠BAC = 70º, como EA es bisectriz del ∠BAC.
* = 35º
El ∠DAC = 90º 90 70
20
° = ° + ∠° = ∠
DAB
DAB
, despejando
En el ∆ ADE se tiene : ∠ + ∠ + ∠ = °° + ° + = °= °
DAE EDA AED
x
x
180
55 90 180
35
, reemplazando los valores correspondientes.
Por lo tanto:
El ángulo AED es igual a 35°
7. La alternativa correcta es B
40º
A B
D Cx
Como AB//DC, utilizando ángulos alternos internos:
x = 40º
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**
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8. La alternativa correcta es B
z
25º
25º25º15º
y
x
L1 L3
L4
L5
L2
x
Utilizando triángulos:
a
b
c
)
)
)
z
y
x
+ ° + ° = °+ ° + ° = °+ ° + °
75 90 180
50 90 180
25 90 == °180
Despejamos z de a):z
z
= ° − °= °
180 165
15
Despejamos y de b):y
y
= ° − °= °
180 140
40
Despejamos x de c)x
x
= ° − °= °
180 115
65
x+y+z = 65°+40°+15°x+y+z = 120°
9. La alternativa correcta es B
β
α
L2L1
x x Utilizando las paralelas para “desplazar” x tenemos que:
α β+ + = °
+ + = °
= °
= ° ⋅
=
x
x xx
x
x
x
180
4 4180
64
180
180 23
1200°
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10. La alternativa correcta es C
El perímetro de un triángulo equilátero es igual a:
P a
a cm
a cm
∆ =
=
=
3
3 16 3
163
3
[ ]
[ ]
, por lo tanto
, despejando “a”
Como se conoce el lado del triángulo podemos determinar su área.
Aa
A
A
A
∆
∆
∆
∆
=
=⋅
= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
= ⋅
2
2
2
34
163
3 3
4
16 16 3 33 3 4
4
( )
116 3 33 3
643
3 2
⋅⋅
=A cm∆ [ ]
, reemplazando “a”
, simplificando
, simplificando y multiplicando
11. La alternativa correcta es C
α20º
20ºCA D
B ∠BCA = 20º + 20º (Teo. ángulo exterior)
Del triángulo BAD se tiene:
90 20 20 180
180 130
50
° + + ° + ° = °= ° − °= °
ααα
12. La alternativa correcta es B
El área de un triángulo equilátero se determina por:
Aa
a
a
a
∆ =
=
==
2
2
2
34
16 33
464
8
, como se conoce el área despejamos
, aplicamos √vv
Por lo tanto, el perímetro es 3 3 8 24a cm= ⋅ = [ ]
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h P
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13. La alternativa correcta es D
El área achurada se determina por la diferencia entre área del cuadrado y del triángulo equilátero
Área cuadrado ABED – Área triángulo equilátero.
aa2
2 34
−
14. La alternativa correcta es D
p q
C
DA B
√10h=3
Utilizando Pitágoras en el triángulo CDB, podemos determinar DB
h DB BC
q
q
q
22 2
210 9
10 9
1
+ =
= −= −=
( )
, reemplazando los valores y despejando q
En el ∆ ACB tenemos que:
Utilizando Euclides
a) h p q
p
p
c p q
c
2
9 1
9
10
= ⋅= ⋅=
= +=
, reemplazando los valores y despejando p
b) , reemplazando los valores de p y q
Utilizando Pitágoras
c) AC CB AB
AC
AC
AC
AC
2 2 2
2 22
2
10 10
10 100
90
9
+ =
+ =
+ =
=
=
( )
⋅⋅
= ⋅
10
3 10AC
, reemplazando los valores
, despejando AC
, descomponiendo
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capítulo 1 Solucionario Matemáticacapítulo 5
15. La alternativa correcta es E
BA D
C
4 cm4 cm
2k
Gx
k
√97
a) Como CD es bisectriz del ángulo distinto del triángulo ABC (isósceles), es coincidente con todas las rectas notables, es decir: altura, transversal de gravedad y simetral.
b) Si G es centro de gravedad, la recta CD se divide en la proporción 2:1
CG : GD = 2 : 1
c) Además CD es altura por lo que el ∆ ADC y ∆ GDB son rectángulos.
Apliquemos Pitágoras en el ∆ ADC
4 97
97 16
81
9
22
2+ =
= −
=
=
DC
DC
DC
DC cm
( )
[ ]
, despejamos DC
Del punto b) se tiene que:
CG GD
CG GD
k k
k
k
GD cm
: :
[ ]
=
+ =+ ==
=
=
2 1
9
2 9
3 9
3
3
, como
, se obtiene que
, por lo cual
Utilizando una serie Pitagórica en el ∆ GDB se tiene que:
x = 5[cm]
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16. La alternativa correcta es D
1 cm
C
A B2 cm
x y
Este triángulo rectángulo es semejante al triángulo siguiente.
30º
60º
a
a2
a2
3
Entonces por semejanza de triángulos:
Ángulo BAC = 60° Ángulo CBA = 30° , por ángulos adyacentes suplementarios. x = 120° y = 150°
Por lo tanto, la razón entre los ángulos x e y es:
xy
xy
= °°
=
120150
45
, simplificando
17. La alternativa correcta es C
Por propiedad de las transversales de gravedad se tiene que:C
D
A B
GE
F
DG GB
DG GB
k k
k
k
GB k cm
: :
[ ]
=
+ =+ =
==
= =
1 2
3
2 3
3 3
1
2 2
, como DB =3[cm]
, entonces
, por lo tanto
CF es altura y además transversal de gravedad en el triángulo ACB. Utilizaremos el teorema de Pitá-goras en el triángulo BFG
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capítulo 1 Solucionario Matemática
FG FB BG
FG
FG
2 2 2
22 21 2
3
+ =
+ =
=
, reemplazando los valores correspondientes
, despejando FG
Como FG : GC = 1 : 2, se tiene que la medida de CG = 2√3 , por lo que CF es igual a 3√3 . Calcula-mos el área del triángulo ABC
Ab h
A
A cm
∆
∆
∆
= ⋅
= ⋅
=
2
2 3 32
3 3 2[ ]
, reemplazando los valores
18. La alternativa correcta es A
Del dibujo se tiene que:
x y
x y
+ ° + = °= ° −
90 180
90
, despejamos x
a) si x tomase el mínimo valor
28 90
62
° = ° −= °
y
y
, el máximo valor de y sería
b) si x tomase el máximo valor
56 90
34
° = ° −= °
y
y
, el mínimo valor de y sería
19. La alternativa correcta es D
Con la proposición 1) es suficiente ya que conocida el área del triángulo equilátero ( a2√3 4
) se puede determinar las medidas de sus lados y con esta información se determina la altura
h
a= ⋅ 32
La proposición 2), también es suficiente.
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20. La alternativa correcta es C
Para responder satisfactoriamente la pregunta se deben utilizar ambas proposiciones juntas.
Se obtiene que el ∠DCB mide 25º puesto que por A, B y C pasa una circunferencia y la condición AD = DB dice que DB = radio = DC y ΔDBC es isósceles de base BC .
A BD
C
25ºα
90º
25º
Si el triángulo ABC es rectángulo y D punto medio de la hipotenusa, se tiene que:
αα
+ ° = °= °
25 90
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capítulo 5
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
CAPÍTULO 5
Trigonometría
1. La alternativa correcta es B
Si asociamos los valores con un triángulo rectángulo tenemos:
12
513
α
Un cateto mide 5 y la hipotenusa 13, el otro cateto mide 12, esto se demuestra utilizando el teorema de Pitágoras.
Por definición de cotangente.
Ctgcateto adyacentecateto opuesto
Ctg
α
α
=
= 5112
2. La alternativa correcta es D
Sen CosTg Sec
Sen CosSen
2 2
2 2
α βα βα βα
−⋅−
CCos Cosα β⋅
−
1
22
12
22
2 2
222
1
12
24
14
1 2142
18
⋅
−
⋅
=
, por definición.
; como:
Sen Sen
Cos Cos
Cos Cos
α
α
β
= ° =
= ° =
=
452
2
452
2
60012
° =
, Reemplazamos
, Desarrollamos
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3. La alternativa correcta es C
Del enunciado
P x y
x y
x y
∆ = + += + += +
20
48 20
28
; reemplazando
; por lo cual
Además por definición de tangente
Tgcateto opuesto
cateto adyacente
Tgxy
α
α
=
=
0,,75
34
3
4
28
28 3 4
28 7
4
=
=
=== += +=
=
xy
xy
x k
y k
x y
k k
k
k
x == ⋅ =3 4 12 m
; reemplazando
; transformando el decimal a fracción
; es decir
; reemplazando
; despejando k
; por lo tanto
4. La alternativa correcta es C
Por definición de Cos α
Coscateto adyacente
hipotenusa
CosAB
Dia
α
α
=
=mmetro
Cos α = 513
; reemplazando los valores
5. La alternativa correcta es D
i. Como α y β son ángulos complementarios se cumple que Sen α = Cos β. Verdadero.
ii. Por identidad trigonométrica. Verdadero.
iii. Como α y β son ángulos complementarios se cumple que Sen α = Cos β, por lo tanto TgSenCos
β ββ
=, por definición. Verdadero.
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capítulo 1 Solucionario Matemática
6. La alternativa correcta es A
Si llevamos los valores a un triángulo rectángulo y aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos que:
4
35
α
Reemplazando los valores en:
Sen Sen Cos
Sen
Sen
( )
( )
( )
2 2
2 245
35
22
α α α
α
α
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= 4425
7. La alternativa correcta es A
Sen Tg SecCos Co
SenSenCos Cos
α α αα α
α αα
⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅
sec3
1αα
αα
αα
αα
α
CosSen
Sen
CosSenCos
Tg
⋅
=
13
3
33
; por definición
; operando
; por propiedad de raíces
8. La alternativa correcta es A
4
2
α
2 √3
Este triángulo es semejante con
a
a2
30º
a2
√3
60º Por lo tanto, α es igual a 30°
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9. La alternativa correcta es D
De la información y de la semejanza de este triángulo con el del ejercicio anterior, tenemos que:
h
D F
E BA
C
30º
30º
60º
60º
h
h
10 cm
10 √3 cmh √3 De la figura
h h
h
h
3 10 3
3 1 10 3
10 3
3 1
3 1
+ =
+
=
=+
⋅−
−
= −−
= −
= −
3 1
30 10 33 1
30 10 32
15 5 3
h
h
h
; factorizando
; despejando “h”
; racionalizando
; simplificando
Para determinar el área achurada se debe realizar la siguiente operación.
Área cuadrado Área círculo
a R
hh
-2 2
2
2
− ⋅
−
π
π
−
−
−
⋅ −
2
22
2
2
4
14
15 5 3 14
hh
h
π
π
π
; dejando todo en función de “h”
; factorizando
; reemplazando por el valor de “h”
cm2
10. La alternativa correcta es C
En ΔAED, ctg α = 5 20
40
10
y
y
=
= En ΔABC, ctg α = 5 20
40
10
y
y
=
= 41,8 mx
15 m
20 m
1,8
40 m
15 my
5 m Igualando:
5 2040
10
y
y
=
=
; despejando “y”
Como
x y
x
x m
= += +=
1 8
1 8 10
11 8
,
,
,
AD
C
BEα
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capítulo 1 Solucionario Matemática
11. la alternativa correcta es D
Utilizando las características de un triángulo rectángulo 30°,60° y 90°, tenemos que:
h
BA
C
30ºh √3
h
BA
D
60º
C
9
(h + 9) √33
De las figuras se desprende que:
hh
h h
h
h m
39 3
33 9
2 9
4 5
=+( ) ⋅
= +=
= ,
; simplificando
; despejando “h”
; por tanto la altura del acantilado es:
12. La alternativa correcta es B
La distancia del bote con respecto al acantilado es:
h
m
3
4 5 3,
; reemplazando
13. La alternativa correcta es D
Utilizando el teorema de Pitágoras y analizando la información se tiene que:
B 15 cm
10 cm
C
D A20 cm
y
x (20 - x)
15 cm
En Δ EDC, cos α = x15
En Δ FCB, cos α = 20 - x10
Igualando.
x x
x x
x x
x
x cm
1520
10
320
22 60 3
5 60
12
= −
= −
= −=
=
; simplificando
; despejando “x”
En Δ EDC, ctg α = xy
En Δ EAF, ctg α = 20 15
Igualando.
xy
y
y cm
=
=
=
2015
12 2015
9
; reemplazando el valor de “x”
; simplificando y despejando “y”
Por lo tanto, el área del rectángulo ABCD es: Área Rectángulo = 9 · 8 = 72 cm2
α
α
E
F
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14. La alternativa correcta es C
Al trazar “h” en el triángulo isósceles ABC se forma un triángulo rectángulo 30°, 60° y 90°, del cual ya se conocen sus propiedades.
A B
C
30º 30º
2 cm
1 cm
√3cm √3cm Por lo tanto, AB = 2 3 cm
15. La alternativa correcta es B
Analizamos alternativa por alternativa hasta encontrar la igualdad correcta.
A) Sen Tg Cos Ctg
SenSenCos
CosCos
α α α α
α αα
α α⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅
1
SSenSen Cos
αα α⋅ ≠ 1
; aplicamos definición
; simplificando
B) Tg CtgSen Cos
SenCos
CosSen Sen
α αα α
αα
αα α
+ =⋅
+ =⋅
1
1CCos
Sen CosCos Sen Sen Cos
Cos S
αα αα α α α
α
2 2 1
1
+⋅
=⋅
⋅ een Sen Cosα α α=
⋅1
; aplicamos definición
; sumando
; por identidad trigonométrica
Por lo tanto, B es la alternativa correcta.
16. La alternativa correcta es A
i. Tg Ctg
SenCos
CosSen
α ααα
αα
⋅ =
⋅ =
=
1
1
1 1
; aplicamos definición
; simplificamos
;correcto
ii. ;del enunciado
Sen w
Sen Cos
Sen Cos
2 2
2 2
2 2
1
1
1
1 1
αα αα α
= −= −+ =
=
; por identidad trigonométrica
; correcto
iii. Cow
Sen w
Sen Cos
sec α
α
α α
=
=
=
1
1 1
1 1
; aplicamos definición
; del enunciado
; incorrecto
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17. La alternativa correcta es C
Tenemos que:
Senx
x Sen
x
x cm
Cosy
3018
18 30
1812
9
301
º
º
=
= ⋅ °
= ⋅
=
=
8818 30
182
9 3
2
y Cos
y
y cm
x y
= ⋅
= ⋅
=
+
º
3
Por lo tanto:
== + ⋅
+ = +
9 2 9 3
2 9 18 3x y cm
; despejando “x”
; Sen 1
302
° =
; despejando “y”
; Cos 303
2° =
18. La alternativa correcta es E
De la figura se desprende que:
a
2a
α
β
a√3
2 3
23
23
3
33
3
3
⋅ − ⋅
⋅
−
−
−
Sen Tg
aa
a
a
α β
33 33
3 3 0
⋅
− =
; por definición
; simplificando
; racionalizamos
; simplificando
19. La alternativa correcta es E
Sen Cos Tg 30 60 45
12
12
1
2
° + ° + °
+ +
; reemplazamos
; sumamos
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20. La alternativa correcta es D
1
√2 2
√2 2
A B
C
Sen
Cos
Cos
452
452
0 1
° =
° =
° =
2
2
i.
De ser rectángulo en C, se debe cumplir que:
22
22
1
24
24
1
1 1
2 2
2
+
=
+ =
=
; teorema de Pitágoras
; es un triángulo rectángulo
√3 2
A B
C
1 2
1
Sen
Cos
Sen
90 1
303
2
3012
° =
° =
° =
ii.
De ser rectángulo, en B, se debe cumplir que:
12
32
1
14
34
1
44
1
1 1
2 2
2
+
=
+ =
=
=
; teorema de Pitágoras
; es rectángulo
A B
C
1 2
√3
iii.
Tg
Tg
Tg
45 1
2 45 2
60 3
° =⋅ ° =
° =
De ser rectángulo, en A, se debe cumplir que:
1 3 2
1 3 4
4 4
22
2+ ( ) =
+ ==
; es rectángulo
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
Cuadriláteros
1. La alternativa correcta es D
Se debe recordar dos propiedades del rombo. Las diagonales son:
i. Perpendiculares
ii. Bisectrices
βα
D C
BAβ
Por la suma de los ángulos interiores de un triángulo se tiene que:
α + β = 90º
2. La alternativa correcta es E
Las diagonales de un cuadrado son:
i. Perpendiculares
ii. Bisectrices
A B
CD
α
δ
β
δ De la figura se desprende que:
α = δ = 45º β = 90º
Por lo tanto, las tres afirmaciones son correctas.
3. La alternativa correcta es D
Las diagonales de un rectángulo al intersectarse forman triángulos isósceles.
Utilizando propiedad de triángulos: Q P
NM
x
40º
x
40º
x + 40º + 40º = 180º ; despejando “x” x = 100º
CAPÍTULO 5
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4. La alternativa correcta es E
Este es un ejercicio donde se nos pide poner mucha atención en la información. En este caso uno tiende a creer
que la figura representa un rectángulo, sin embargo la información entregada no es suficiente para determinar
de qué tipo es el cuadrilátero ABCD representado en la figura.
5. La alternativa correcta es E
El enunciado no entrega la información suficiente para determinar que el cuadrilátero PQRT es un cuadrado
o bien qué tipo de cuadrilátero es.
6. La alternativa correcta es B
De la información se puede determinar el valor de la altura del trapecio isósceles.
4 cm
5 cm
3 cm
D C
BA
4 cm h
4 cm
3 cm
Por lo tanto, el área es:
b bh
cm
1 2
2
2
4 102
4
28
+
⋅
+
⋅
; reemplazando los valores respectivos.
; desarrollando, el valor del área es:
7. La alternativa correcta es B
De la información dada y analizando la figura se tiene:
i. ∆EAC isósceles de base EC
ii. ∆DBC isósceles de base DC
x
A B
DE
C
15º 15º6060
15º 15º
Como el triángulo ABC es equilátero:
15º + x + 15º = 60º ; despejando “x” x = 30º
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capítulo 1 Solucionario Matemática
8. La alternativa correcta es C
Se debe determinar la razón:
Área del triángulo CFEÁrea del rectángulo A
BBCD
B
; aplicando fórmulas
aase Altura
ancho
⋅
⋅2
largo ; de la figura
FC DE
AB
⋅
⋅2
BBC y reemplazando; ,AB FC AD ED
FC DE
= =
⋅
2 2
222 2FC ED⋅
; simplificando
1
2 2 2⋅ ⋅ ; desarrrollando
18
9. La alternativa correcta es C
Si se proyectan los lados de la zona achurada hacia los lados del cuadrado, éstos corresponden directamente,
por lo cual el perímetro de esta zona coincide con el del cuadrado.
10. La alternativa correcta es B
Por definición I y III son incorrectas, por lo cual sólo II es correcta.
11. La alternativa correcta es C
El área achurada corresponde a la 34
del área del rectángulo, superponiendo las figuras
D C
A BE
F
Por lo cual:
34
48 362 2⋅ =cm cm
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12. La alternativa correcta es D
Se debe determinar:
Área del triángulo ABCÁrea trapecio ABCD
⋅1000%
La altura del triángulo y del trapecio son coincidentes por lo cual se simplifican de la siguiente expresión:
AB h
AB DCh
⋅
+
⋅
⋅2
2
100% ; simplificando y reemplazando loos valores
42
4 12
100+
⋅ % ; desarrollando
252
⋅⋅ = ⋅ =10045
100 80% % %
13. La alternativa correcta es C
Al unir los puntos medios F,E,H y G estamos trazando medianas, es decir:
HG BCD
EH
es mediana del triángulo
es medianaa del triángulo
es mediana del trián
ADC
FE ggulo
es mediana del triángulo
BAD
GF ABC
H
E
G
D
C
BA F
120º
60º
Por lo cual utilizando la propiedad que dice que la longitud de una mediana es la mitad de la longitud del lado
paralelo, se tiene que:
HG DB
EH AC
FE DB
GF AC
=
=
=
=
1212
1212
Calculando el perímetro del cuadrilátero FGHE
12
12
12
12
DB AC DB AC+ + + ; términnos semejantes.
DB AC+ ; reemplazando loos valores dados.
10 6 12, cm cm+
22 6, cm
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14. La alternativa correcta es B
Con los datos se puede determinar el valor de la mediana MN
MNb b
=+1 2
2 ; reeemplazando los valores
MN
MN
= +
=
3 52
4
Ahora debemos determinar la razón:
S
S1
2
b
; por la fórmula
1 +
⋅
+
MNh
MN
2
bbh2
2
⋅
; ssimplificando
b MN
MN b1
2
+
+ ; reemplazando los valores
33 44 579
++
15. La alternativa correcta es A
Utilizando el teorema de Pitágoras se determina la magnitud de un lado que da como resultado 5 m
15 m
4 m
3 m
4 m
15 m
5 m
El perímetro de la figura es de 42 m pero como se debe descontar los 3 m que corresponden a las puertas, el
total de malla a utilizar es de 39 m.
16. La alternativa correcta es E
El área total corresponde a dos cuadrados de lados “a”. Por lo cual el área será igual a 2a2.
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17. La alternativa correcta es D
Como FH y CG corresponden a las alturas de triángulos rectángulos podemos determinar su magnitud a
partir de:
FH CG
Lado triángulo= = ⋅
; reem
32
pplazando
FH = =6 32
3 3
Traspasando los datos a la figura.
A B
FC
ED G
10 m
6 m 4 m 6 mH
3 √3 m 3 √3 m
Por lo cual el perímetro del rectángulo CGHF es:
10 3 3 10 3 3
20 6 3
+ + +
+( )m
18. La alternativa correcta es A
De la información presente en el dibujo se puede determinar que los catetos de los triángulos isósceles mi-
den:
1
2− a
Pero sin embargo por análisis de la figura se infiere que los triángulos isósceles formados en las esquinas son
rectángulos de hipotenusa igual “a”. Entonces utilizando el teorema de Pitágoras tenemos que:
cateto cateto ; operando2 2 2
2
+ = a
⋅⋅ =cateto ; desp2 2a eejando el valor del cateto
cateto 22
2= a
; aplicando y racioonalizando.
cateto = a 22
1m a
a (1-a)
2
a√22
Finalmente tenemos que:
12
22
− =a a ; simplifiicando y ordenando.
1 2= +a a ; factorizando por
" "
( )
a
a1 2 1= + ; despejando " "a
1
2 ++=
1a ; racionallizando
1
2 1
2 1
2 1
2 12 1
2 1
( )
( )
( )
( )
+⋅ −
−=
−−
=
− =
a
a
m a
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19. La alternativa correcta es C
Ordenando la información en la figura.
dh=
23 d
D C
BA7 cm
2 cm 2 cm
3 cm
Utilizando Pitágoras.
h d2 2 22+ = ; dejaando en función de " " " "d h
h h2
2
432
+ = ⋅
hh h2 2494
+ = ⋅ ; multiiplicando por 4 y ordenando
4 16 9
16 9
2 2h h
h
+ == 22 24− h ; términos ssemejantes
16 5 2= h ; despejamos
" "h
h
2
2165
= ; aplicando
165
== h ; raciionalizando
el valor de es
4 55
4 55
=
∴
h
h cm
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20. La alternativa correcta es D
A B
CD
E
α
ααα
i. Del triángulo BCE se tiene que: ∠ = ° −BCE 180 2α
ii. Del triángulo DCE se tiene que: ∠ = ° − +∠ = ° −
DCE
DCE
180 2
180
α αα
iii. Como ABCD es un rombo y DB corresponde a una diagonal: ∠ = ° − ∠ = −BDC o BDC180
290
2α α
iv. El triángulo CDE es isósceles de base DE , ∠EDC ≅ ∠CED.
∠EDC + ∠CED + ∠DCE = 180º
2 ∠EDC + 180º - α = 180º
∠EDC = α2
Finalmente el: ∠ = ∠ − ∠
∠ = ° − −
∠ = ° −
BDE BDC EDC
BDE
BDE
902 2
90
α α
α
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
Circunferencia y círculo
1. La alternativa correcta es B
Como el triángulo ACB está inscrito en una semicircunferencia es rectángulo en C. Además de la informa-ción, tenemos.
30º 60º2R
R
Por lo visto en triángulos:
∠x = 30º
2. La alternativa correcta es D
Como z e y son ángulos inscritos que sustienden un mismo arco, miden lo mismo.
z = y
Entonces:
x y z- - ; dejandoo todo en función de , ángulo del centro " "
-
x
xxx x2 2
- ; desarroollando.
x x-
0 0º
3. La alternativa correcta es D
El sector achurado corresponde a:
1
13
415
15
− + +
; igualanddo denominadores
15
154
153
15- + +
; sumando
11215
- ; restando
315
CAPÍTULO 5
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4. La alternativa correcta es D
“L” corresponde al perímetro de la circunferencia:
L R R
LR
=
=
2
2
π
π
; despejando
5. La alternativa correcta es A
Por ángulos inscritos: ∠ACB = ∠ADB
Entonces,
45 70
25
° + = °= °
x
x
x ; despejamos 45º
45º
70º
x
CB
DA
45º
6. La alternativa correcta es D
Todas las figuras achuradas tienen como parte de su perímetro cuatro semicircunferencias y ocho lados rec-tos de longitudes iguales. Lo que indica que sus perímetros son iguales.
P1 = P2 = P3
7. La alternativa correcta es C
A B
CD 8
8
8
8
Se tiene que esta zona achurada corresponde al área de un cuadrado menos el área de un cuarto del círculo. Como en la figura del problema se tienen dos zonas idénticas ésta corresponderá a la mitad de la superficie pedida.
Área Achurada
Área Achurada
= − ⋅ =
=
814
8 3
64
2 2π π;
−− == ⋅ =48 16
2 16 32 2Área Achuradapedida cm
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capítulo 1 Solucionario Matemática
8. La alternativa correcta es B
Recordemos que los ángulos recorridos por el horario y el minutero de un reloj están en la razón 1:12, ya que en una hora el horario avanza 30º y el minutero 360º. Si se toma como referencia las 12 horas, los punteros forman un ángulo de 0°. A las 12 horas 30 minutos el minutero recorre 180°, lo que no implica que los pun-teros formen un ángulo extendido ya que el horario también se mueve.
Para determinar la cantidad de grados que recorre el horario en este tiempo plantearemos la siguiente propor-ción:
112 180
=°
x ; despejamos "xx
x
"
= °°
18012
; simpliificando
x = °15
Es decir, que el ángulo formado por los punteros se determina realizando la diferencia entre los ángulos barridos por el minutero y el horario.
180º - 15º = 165º
9. La alternativa correcta es C
De la información se desprende que:
Ra=2
; radio de la circunferrencia
El área achurada se obtiene a partir de:
Área cuadrado - Área círculo
8 ; por fórmula
aa
a
2
2
2
8
2
−
=π
−− a2
48
π=
; factorizando por a
a
2
2 14
−
π
8= factoriizamos por
18
81
4
2a −
π
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10. La alternativa correcta es B
Por teorema de las cuerdas:
AE EC BE ED⋅ = ⋅ ; reemplazaando valores
9 9 3⋅ = ⋅ ED ; despejamos ED
cm ED27 =
Por lo tanto, el diámetro de la circunferencia es:
d BE ED= + ; reemplazaando valores
; d cm cm= +3 27 ssumando
d cm= 30
Por definición:
R = 15 cm
11. La alternativa correcta es B
Del análisis de la información se tiene que el triángulo ABO es equilátero. El área de este triángulo corres-ponde a la cuarta parte del área del rectángulo ABCD
i. Área Equilátero ; ∆ = a2 34
con
Área Equilátero
a cm
cm
=
=
4
4 3∆
ii. Área rectángulo Área Equilátero
Ár
ABCD = ⋅4 ∆
eea rectángulo
Área rectángu
ABCD cm= ⋅4 4 3 2
llo ABCD cm= 16 3 2
12. La alternativa correcta es D
Si decimos que el ∠BOD = α tenemos que:
B
A
D
C
O
α α
αβ
A partir del triángulo COA se infiere que:
α β αβ α
β+ ==
2 ; despejamos
ββ = ∠BOD
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capítulo 1 Solucionario Matemática
13. La alternativa correcta es B
Como el triángulo DOB es isósceles.
AB
CD
O100º 100º
40º
40º
Por lo que se tiene que el área del sector circular corresponde a:
Área sector circular = ⋅ ⋅100360
2π r
Área sector
; simplificamos
circular = ⋅518
2π r
14. La alternativa correcta es A
La propiedad de los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia y de la tangente se tiene que:
100º
BA
O
30º50ºx
F
C
Por lo que el ángulo OCA es igual a:
x + 50º = 90º
x = 40º
15. La alternativa correcta es E
O15R
11
5
Aplicando el teorema de las secantes:
16 11 15 15⋅ = + ⋅ −( ) ( )R R ; desarrrollando suma por su diferencia
176 225 2= - R ; despejanndo
R
R
2
2 49= ; aplicando
R cm= 7
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16. La alternativa correcta es E
Este ejercicio se responde con el sólo echo de manejar adecuadamente los conceptos asociados a circunferen-cia.
17. La alternativa correcta es C
De la primera parte del enunciado:
P P1 2 4− = π ; reemplazando por la ecuación de perímetro
22 2 41 2π π π⋅ − ⋅ =R R ; simplifiicando por
2
21 2
πR R− =
; despejando
Lueg
R
R R1
1 21 2) = +oo:
; A A1 2 20- = π reemplazando por la ecuación de área
π ⋅ R12 −− ⋅ =π πR2
2 20 ; simplificando por
π
2 2012
22) R R− =
; de 1) en 2)
( ) -2 2022
22+ =R R ; desarrollando el cuadrado de binomio
4 4 202 22
22+ + =R R R- ;; términos semejantes.
4 4 202+ =R ; simplificamos y desppejamos
R
R2
2 4= ; de 1)
R
R1
1
2 4
6
= +=
18. La alternativa correcta es A
Se puede determinar el área del menor círculo.
A R cm1 12 2 25 25= ⋅ = ( ) =π π π
Del enunciado:
A cm
A cm2
2
32
50
100
=
=
π
π
Es decir que el área del mayor círculo es:
100
10
23
2π πcm R= ⋅ ; simplificamos
00
10
23
2cm R= ; aplicamos
ccm R= 3
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capítulo 1 Solucionario Matemática
19. La alternativa correcta es C
La única forma de conocer la medida del ángulo α es con ambas juntas (1) y (2). Esto porque al conocer los dos ángulos se puede completar por propiedad de ángulo inscrito la figura de la siguiente forma.
B
E D
A
C α
60º 80º
80º
140º
20. La alternativa correcta es C
Con ambas juntas (1) y (2) se determinan los datos de un triángulo rectángulo que son 3, 3√3 y 6, luego los ángulos opuestos son 30º, 60º y 90º. Luego, se puede calcular el área pues se tiene el ángulo y el radio.
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
Geometría de Proporción, cuerpos geométricos
1. La alternativa correcta es B
Aplicando Thales
3 3 618x
= + ; desarrollamoss y simplificamos
3 918
3 12
x
x
=
= ; multiplicamos cruzadoo
x = 6
2. La alternativa correcta es D
El volumen de un paralelepípedo es:
largo ancho alto ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ −25 2 2 3( ) ( )b b cm ;desarrollando la suma por su diferencia
laargo ancho alto ⋅ ⋅ = ⋅ −25 22 3( )b cm
3. La alternativa correcta es C
Por definición de sección áurea
4. La alternativa correcta es B
Por definición de figuras equivalentes
CAPÍTULO 5
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5. La alternativa correcta es D
Por definición de razón determinada interiormente se tiene:
AQ
QB= 7
5 ; reemplazando el vallor de
; despejan
QB
AQ35
75
= ddo
; simplificando
AQ
AQ
AQ
= ⋅
=
35 75
449
49 35
Entonces mide:
cm
AB AQ BQ
AB cm cm
AB
= +
= +
AAB cm= 84
6. La alternativa correcta es B
Utilizando el teorema de Apolonio
3 5
35
x y
xy
=
=
; ordenando
Como el triángulo de la figura es rectángulo uttilizando el teorema de Pitágoras se sabe qque:
Utilizando la proporción, tenemos
x y+ = 4
que:
Por lo cual:
3 5 4
8 4
4812
3
k k
k
k
k
x k
+ ==
=
=
= ⋅ = 332
552
y k= ⋅ =
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capítulo 1 Solucionario Matemática
7. La alternativa correcta es E
Utilizando Thales
AB
CD
OA
OD= ; reemmplazando por la información
b a
ab
x+⋅
= ⋅2
2 ; multiplicamos ccruzado
; despejamos x b a a b⋅ + = ⋅ ⋅( ) "4 xx
xa b
b a
"
( )= ⋅ ⋅
+4
8. La alternativa correcta es B
V V
r r he c
. esfera . cono
=
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅43
13
3 2π π
; simplificamos
4 3 2⋅ = ⋅r r he c ; despejamos " "r
rr
e
e3 = cc
ec
h
rr h
2
2
3
4
4
⋅
=⋅
Utilizaremos Pitágoras para determinar la altura del cono:
Reempl
h cm= 8
aazando los valores en la ecuación, obtenemoos
re
rr h
r
ec
e
=⋅
= ⋅
2
3
23
4
6 84
; simplificamos
re = ⋅9 83 ; desarrollaamos
r cme = ⋅2 93
9. La alternativa correcta es B
Utilizando Thales para determinar CD
EA
AB
EC
CD= ; reemplazandoo por la información
5 2
5 2
10 2=x
; despejamos
Por lo tanto, el
" "x
x = 10 2
pperímetro del mide:∆
∆
∆
= + +
=
CDE
P
P
10 2 10 2 10 2
300 2
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10. La alternativa correcta es B
Utilizando el teorema de Apolonio
8 7
4AE= ; multiplicammos cruzado
; des 7 8 4⋅ = ⋅AE ppejamos AE
AE = 327
11. La alternativa correcta es C
A r. esfera = ⋅ ⋅4 1
2π
; del enunciado
12 4 12⋅ = ⋅ ⋅π π r ; simplificamos
3 1= r 22
; aplicamos
3 1cm r= ; del enunciadoo
Volumen Esfera = ⋅ ⋅43 2
3π r ; reemplazamos los valores
Volumen Esfera == ⋅ ⋅ ; desarrollando el p43
3 3 3π ( ) aarentesis
Volumen Esfera = ⋅ ⋅ ⋅43
27 3 3π ; simplificamos y multiplicamos
Volumen Essfera = ⋅ ⋅108 3 3π cm
12. La alternativa correcta es C
Este ejercicio se reduce a determinar la razón AD
DB , ya que los triángulos tienen la misma altura, la razón de
sus áreas será igual a la razón de sus bases.
Sea y ; utilizamos Euclides parAD p DB q= = aa determinar el valor de
" " " "p y q
a p c2 = ⋅
b q c
p c q
2
2 28 16
= ⋅= ⋅ = ⋅ cc
pc
qc
AD
DB
= =8 162 2
Finalmente
== pq
AD
DB
; reemplazando
==
8
16
2
2c
c
; ordenando la fraacción compuesta
; AD
DB cc= ⋅8
16
2
2ssimplificamos
AD
DB= 1
4
8
D
16
A B
C
p q
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capítulo 1 Solucionario Matemática
13. La alternativa correcta es D
Sabemos que la superficie total de un cubo es:
6 2⋅ a ; como se eliimina una de las caras
6 2 2⋅ −a a
Por lo tant
; términos semejantes
5 2⋅ a
oo, la superficie a pintar es 5 2a
14. La alternativa correcta es A
El largo de la malla de alambre corresponde al perímetro de la superficie rectangular.
P m= 480 ; ppor definición de perímetro
2 480( )a b m+ = ; simplificamos
a b+ = 2440m
Se nos pide que la razón de los lados seea por lo cual
a b
k k
: :=
+ =5 3
5 3 240 ; términos semejantes
8k ===
= == =
240
30
5 150
3 90
k
a k
b k
Es decir:
Por lo tantto, la superficie del rectángulo será:
a b⋅ = 1150 90 13500 2⋅ = m a ∙ b = 150 ∙ 90 = 13.500m2
15. La alternativa correcta es C
Sabemos que la razón entre las áreas del triángulo ABF y FBC es igual a la razón entre AF y FC
A ABFA FBC
AF
FC
∆∆
= ; utilizando el teorema de Apolonnio
AF
FC= 6
12
; simplificamos
AF
FC= 1
2 ; del enunciado
A ABC A ABF A FBC∆ = ∆ + ∆224 2 ; por m A ABF A FBC= ∆ + ∆ pproporción
24 22m k k= +
; términos semejantes
24 m22 3= k
; despejamos k
m k8 2 = ; por úúltimo
A ABF k m∆ = = 8 2
6 m
F
12 m
A
B
C
α α
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16. La alternativa correcta es A
Recordamos que:
Área del Cubo ;= 6 2a reemplazamos
23
62 2m a= ; despejamos " "a
m a
2
2 219
= ;; aplicamos
Volumen del cubo
13
3
m a
a
=
= ; reemplazamos el valor dde
Volumen del cubo
Volumen d
" "a
m=
13
3
eel cubo
Finalmente como se tiene c
=1
273
27
m
uubos, el volumen del cubo mayor es:
Volumen == ⋅271
271
3
3
m
mVolumen=
17. La alternativa correcta es B
Volumen CuboVolumen Esfera
=
⋅ ⋅=
21
43
21
3
3
a
rπ ; reemplazamos los datos
( )1
43
3
21
3
3
m
r⋅ ⋅= ; simplificamos y despejamos r
m
3
318
== r3 ; aplicammos
Como conocemos el radio de la es
3
12
m r=
ffera podemos determinar su superficie
Área EEsfera ; reemplazando = ⋅ ⋅4 2π r llos valores
Área Esfera = ⋅ ⋅
4 3
12
2
m ; desarrollamos el parentesís
Área Esfera == ⋅ ⋅4 314
2m ; simplificamos
Área Esfeera = 3 2m
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capítulo 1 Solucionario Matemática
18. La alternativa correcta es A
Por definición
V.cilindro:V.cono:V.esfera = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π πr h r h2 21
3: :
443
3π π⋅ r ; simplificamos todo por ⋅⋅
=
r
h h r
2
13
43
V.cilindro:V.cono:V.esfera : : ; amplifficando todo por
V.cilindro:V.cono:V.esfe
3
rra = 3 4h h r: :
19. La alternativa correcta es D
La información (1) es suficiente ya que las alturas de un triángulo equilátero son congruentes y cumplen con
todas las características de las rectas notables.
La información (2) es suficiente ya que si G es centro de gravedad y por la figura también es ortocentro, se
tiene que el Δ es equilátero.
20. La alternativa correcta es D
Cada información por sí sola permite determinar el valor de la arista por ende, su volumen.
1) La diagonal AB , corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a y a√2 . Utilizan-
do el teorema de Pitágoras se puede determinar a (longitud de las aristas del cubo) y posteriormente el
volumen a3.
2) Si reconocemos la magnitud de la superficie del cubo se puede obtener la medida de la arista del cubo y
así posteriormente su volumen.
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Solucionario Matemática
Geometría Analítica y transformación isométrica.
1. La alternativa correcta es D
La pendiente de una recta se determina de la siguiente forma:
my y
x x
m
=−−
= −− −
2 1
2 1
6 32 4
( )
m
m
=
=
3612
; reemplazano los valores
; desarrollando
2. La alternativa correcta es C
Sólo existen tres polígonos regulares que permiten teselar un plano.
• Triángulo equilátero
• Cuadrado
• Hexágono regular
3. La alternativa correcta es C
Un punto definido en un sistema tridimensional tiene el orden:
• (abscisa, ordenada, cota) ; es decir (x,y,z)
4. La alternativa correcta es D
Por definición.
CAPÍTULO 5
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5. La alternativa correcta es A
Determinamos las coordenadas del punto M.
; reemplazando los valores
Mx x y y
M
=+ +
= − +
1 2 1 2
2 2
3 32
6 22
,
,
= ( )
M 0 4,
; desarrollando
Para determinar la distancia entre M y A se utiliza:
d x x y y= − + −( ) ( )2 12
2 12 ; reemplazando los valores
d
d
= − + −
= +
=
( ) ( )0 3 4 2
13
2 2
9 4d
; desarrollamos
6. La alternativa correcta es D
Tenemos tres puntos: A(-6,1); B(-3,4); C(-2,1).
Si realizamos la traslación propuesta.
; operando
; operando
; operando
; punto planteado en las alternativas
T
T
T
A
A
B
( , )− + +
+ +
6 2 1 5
(-4 , 6)
(-3 2 , 4 5)
(-1 , 9)
(-2 2 , 1 5)
(0 , 6)
TB
T
T
C
C
+ +
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capítulo 1 Solucionario Matemática
7. La alternativa correcta es C
El polígono formado entre los dos triángulos corresponde a un rectángulo.
El área de un rectángulo es:
A a b
A
A
= ⋅= ⋅=
2 4
8
; de la figura
4
A 1
A,-1
-4
C
,C-6 -3 -2
•
• •
•• •
••
8. La alternativa correcta es E
La distancia entre dos puntos se obtiene a partir de:
; Reemplazando los datos
D x x y y
a
= − + −
= − + −
( ) ( )
( ) ( )
2 12
2 12
2 25 5 2 6
25 (5- )
25 (
2= + −
=
a ( )4 2
55- )
2a
a
a
+
= −= −
16
9 5
3 5
2( )
2a =
; Elevando el cuadrado
; Operando
; Aplicamos √64
; Despejamos a
9. La alternativa correcta es D
Para determinar el área del polígono ACDB podemos dividirlo en dos triángulos.
Área ACBD A A
Área ACBD
ACD ADB
= +
= ⋅ + ⋅∆ ∆
6 52
6 32
ÁÁrea ACBD
Área ACBD
= +=
15 9
24
; De la figura •
Y
X(–2, 0)
A
5
-3
(2, 5)C
(4, 0)
D
B(4,–3)
•
•
•
10. La alternativa correcta es D
Por definición de pendiente y coeficiente de posición.
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11. La alternativa correcta es D
El polígono de la figura se puede dividir en dos triángulos.
Área Polígono A A
Área Polígono
= +
= ⋅ +
∆ ∆1 2
6 32
6 ⋅⋅
= +=
32
9 9
18
Área Polígono
Área Polígono
; De la figura
; Desarrollando
x
y
(2, 1)
(5,4)
(2, 7)
(-1, 4)12
12. La alternativa correcta es E
Por definición de traslación.
T a b
T x a y bP
( ,
( )
)
, + +
A partir del problema se tiene que:
T a b A
a bA ( ) '( )4 6 0 2+ + =+ = + =
, ,
4 0 y 6 22
-4 y -4a b= =
; Analizando
; Despejando a y b
Por lo tanto, la traslación estaría dada por:
T(-4,-4)
13. La respuesta correcta es D
Por definición de rotación o giro
14. La alternativa correcta es E
Por definición de simetría axial.
2
8-8
A
y
A
S
• •,(8,2)
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capítulo 1 Solucionario Matemática
15. La alternativa correcta es C
Sea z el ángulo entre x e y, la figura queda
x z y
A
B
CC’
B’
Como ΔABC ≅ ΔAB’C’ (por definición de rotación)
entonces: x + z = z + y /-z x = y
16. La alternativa correcta es E
Construyendo la figura correspondiente y por definición de simetría central.
a
2a
2
a
2
a
2
P
P : centro de Simetría
17. La alternativa correcta es D
Por definición sólo II y III.
18. La alternativa correcta es D
Ordenamos las igualdades planteadas y graficamos.
I
-3
y
xy = -x
3
3
y
x
y= x
3
II y III
∴ Todas las igualdades son correctas
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122
Solucionario Matemática
19. La alternativa correcta es B
Graficando los puntos se obtiene un romboide.
Área Romboide base altura
Área Romboide
= ⋅= ⋅4 55
20Área Romboide =
(-1,4) (3,4)
(2,-1)(-2,-1)
••
• •4
5
20. La alternativa correcta es C
De (1), no se puede, pues los puntos son colineales.
De (2), no se puede determinar un plano con un solo punto.
Con (1) y (2) se puede determinar un plano, pues para determinar un plano se necesitan tres puntos no coli-
neales.