pe model an mate ma tika

PEMODELAN MATEMATIKA

I. Pengertian

Model adalah :

Suatu konsep atau objek yang digunakan untuk menyatukan atau mengekspresikan

sesuatu.

Model Matematika adalah :

Deskripsi dan verifikasi dari suatu fenomena yang dicoba atau diperoleh dengan

menggunakan bahasa matematika.

Model matematika terdiri dari himpunan kesalahan yang terobsevasi dari relasi – relasi

yang terdapat dalam suatu fenomena.Dalam model matematika ada dua kesalahan

kuantitatif yaitu variabel dan parameter yang dikaitkan dalam suatu relasi misalnya

persamaan, ketidaksamaan dan lain – lain.Model matematika dapat juga diartikan suatu

model yang terdiri dari konsep matematika seperti konstanta variabel fungsi persamaan,

pertidaksamaan dan lain – lain.

Jenis – jenis model :

a. Dilihat dari strukturnya :

1. Model Deskriptif.

Model yang menjelaskan atau memprediksikan bagaimana sesuatu berjalan atau

bekerja dengan semestinya.

Contoh : model program dinamik

2. Model Preskriptif

Model yang membantu memilih cara yang terbaik untuk bekerja atau berjalan.

Contoh : model rantai markov

Perbedaan kedua model ini bukan pada bahasa matematika yang digunakan tetapi

pada penggunaannya. Model preskriptif disebut juga alat untuk membuat suatu

keputusan sedangkan model deskriptif untuk menjelaskan apa yang membuat

keputusan tersebut berjalan.

b. Menurut strukturnya :

1. Analog

2. Ekonik

3. Simbolik

c. Menurut referensi kepastian :

1. Model Probalistik

Model – model yang menyangkut distribusi peluang dari suatu proses dan

menghasilkan deretan harga paling tidak satu peubah yang disertai dengan

kemungkinan – kemungkinan harga tersebut dan biasanya model ini disebut

juga model resiko.

2. Model Game

Model yang menggambarkan mengenai pengembangan solusi – solusi optimum

dalam menghadapi situasi yang tidak pasti.

Jurusan MatematikaFakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan Alam

Universitas Sriwijaya

1

d. Menurut generalitas :

1. Model Umum.

Model yang dapat menyatakan suatu kondisi secara umum

2. Model Khusus.

Model yang dapat menyatakan suatu kondisi tertentu saja

e. Menurut informasi atau data model matematika :

1. Model Deterministik.

Model berdasarkan cukupnya informasi pada setiap tahap dalam proses.

Sehingga proses atau sistem dapat diprediksi dengan tepat.

2. Model Skokastik.

Model yang menjelaskan sistem secara protabilistik ( informasi yang dapat

diambil secara acak ).

f. Menurut kekontinuan besaran kuantitatif :

1. Model Kontinu.

Berdasarkan pada kekontinuan besaran kuantitatif dalam model.

2. Model Diskrit.

Berdasarkan pada kekontinuan besaran kuantitatif dari besaran kuantitatif

g. Dilihat dari penyelesaiannya :

1. Model Analistik.

Model yang kesimpulannya dapat dinyatakan dalam bentuk analitik.

2. Model Simulasi.

Model yang diperoleh dari simulasi model yang seharusnya.

Suatu model dapat diukur dari komponen berikut :

1. Akurat

Model dikatakan akurat jika penyelesain model dapat menggambarkan

fenomena dengan akurat.

2. Realistik Diskriptif

Jika asumsi – asumsi yang dibenarkan adalah benar.

3. Tepat

Apabila prediksi menggunakan bilangan tertentu atau istilah – istilah

matematika seperti gambar geometri.

4. Awet

Apabila model tidak terpengaruh oleh galas dalam input data.

5. Umum

Apabila model dapat digunakan dalam berbagai situasi yang lebih luas.

6. Berguna

Apabila komplusi bermanfaat dan dapat dipakai untuk menghasilkan model

yang baik.

Tujuan penyelesaian model :

1. Untuk mengetahui dan mencari keterkaitan antara objek – objek yang

dihubungkan.



2

2. Untuk melakukan pendugaan untuk memperbaiki keadaan objek.

3. Untuk mengadakan optimalisasi dalam suatu objek.

Manfaat Model :

1. Untuk menghemat waktu.

2. Untuk menghemat biaya.

3. Untuk menghemat tenaga kerja.

4. Untuk dapat menentukan alat yang tepat yang akan digunakan.

5. Untuk mengurangi resiko ( semakin tinggi spekulasi, maka semakin besar

resikonya).

A. Model Gravitasi Gallileo

Masalah yang ditinjau adalah mengenai gravitasi atau bagaimana gravitasi bekerja.

Gallileo ingin menjelaskan bahwa suatu objek memperoleh kecepatan saat jatuh. Dua

masalah yang diperhatikan adalah :

1. Apakah rumus menjelaskan bagaimana suatu benda memperoleh kecepatan saat

jatuh.

2. Apakah rumus menjelaskan sejauh mana suatu benda jatuh dalam waktu yang

diberikan.

Gallileo merumuskan 3 faktor :

1. Jarak

2. Waktu

3. Kecepatan

Asumsi 1

Jika suatu benda jatuh dalam keadaan diam maka kecepatan setiap waktu akan sama

dengan jarak yang ditempuh.

Perumusan Model Matematika

Misalkan X(t) jarak yang ditempuh benda pada posisi semula pada saat t = 0, X(0) = 0.

Sedangkan jarak yang ditempuh pada waktu to ke to + h adalah X(to + h ) = X(to). Maka

kecepatan rata – rata benda adalah X(to + h ) – X(t o)

Dengan h → 0, maka kecepatan pada saat t = 0 adalah V(to) to

= ax,

= a dt

ln x = at + C

= aat+c

= ec.eat, ec = k

= k eat , X = 0 → k = 0

Asumsi 2

Jika benda jatuh dari keadaan diam, maka kecepatan disetiap titik sebanding dengan waktu

jatuhnya. Khusus untuk satiap detik jatuhnya benda, benda mendapatkan kecepatan sebesar



3

X(t) = 5t2

X(t) = 5t2 + V0t

Rumus model matematika

= at , = 10t

maka didapatkan :

X(t) = 5t2 + C , X(0) = 0 + C →C = 0

Contoh :

Suatu benda jatuh dalam keadaan diam selama 2 detik

Tentukan :

a. Berapa jauh objek jatuh dan kecepatan selama 2 detik

b. Berapa lama objek jatuh sejauh 45 meter

Penyelesaian :

a. X(t) 2 detik

X(t)

V(t)

b. t 45 meter

X(t)

45 → t2 → t

Misalkan benda jatuh bukan dari keadaan diam, tetapi mempunyai kecepatan awal (Vo),

maka model dapat dimodifikasikan dan asumsi gallileo menjadi asumsi 3.

Asumsi 3

Kecepatan pada setiap titik atas penambahan kecepatan terhadap gravitasi ditambah dengan

kecepatan awal.

Rumus model matematika

= Dx

= 10t + Vo , Dx = (10t + Vo) Dt

Catatan :

Perbedaan turunan dan persamaan diferensial

= 2x → Turunan

dy = 2x dx → Diferensial

dy – 2xdx = 0 → Persamaan Diferensial

Maka :

= 10t + Vo

X(t) =

X(t) = 0 + C → C = 0

X(t) = , , jika C = 0

B. Model Populasi



4

Misalkan P(t) menyatakan banyaknya penduduk pada saat t dan B(t) banyaknya

kelahiran dalam 1 tahun dari tahun t ke t + 1, D(t) banyaknya kematian dalam 1 tahun dari

tahun t ke t + 1.

Asumsi 1

= d , laju kematian dalam 1 tahun dari tahun t ke t + 1

= b, laju kelahiran dalam 1 tahun dari tahun t ke t + 1

Laju kematian (d) dan laju kelahiran (b) adalah konstanta

Asumsi 2

Tidak terjadi imigrasi dari luar ( perubahan banyaknya penduduk hanya tergantung pada

banyaknya kelahiran dan kematian )

Model matematika

Untuk t ≥ 0, r = 1 + b – d , Maka :

= =

= =

Dengan → laju pertumbuhan / parameter mathus

Dengan industri diperoleh :

P1 = rP0

P2 = rP1= r2P0

P3 = rP2= r3P0

Dengan demikian Pn = rnP0 artinya P(t) = P0.rt

Contoh :

Misalkan populasi di indonesia saat ini 230 juta dan laju kelahirannya adalah 2 % dan laju

kematiannya adalah 1 %.

Tentukan :

1. Berapa jumlah penduduk dalam 10 tahun.

2. Berapa tahun agar populasi menjadi 2 kali lipat

3. Berapa banyak yang lahir di periode t = 7 ke t = 8

4. Berapa banyak yang meninggal di periode :t = 7 ke t = 8

Penyelesaian :

Dik : P0 = 230.106

b = 0.02

d = 0,01

r = 1 + ( b – d ) = 1 + ( 0,02 – 0,01 ) = 1,01

Dit :

1. Berapa jumlah penduduk dalam 10 tahun :

P10 = r10 P0

P10 = ( 1,01 )10 . 230.106 = ( 1,1046 ) ( 230.106 ) = 254,058 .106

2. Berapa tahun agar populasi menjadi 2 kali lipat ( t =............? )

Pt = rt . P0 , jika Pt = 2P0

2P0 = rt . P0



5

2 = ( 1,01 )t

log 2 = t log 1,01

t = = 69,66 = 70 tahun

3. Berapa banyak yang lahir di periode :

a. t = 7 ke t = 8

B(7) = b . P(t) = 0,02 . ( 1,01 )7. ( 230.106 ) = 4,9 juta jiwa

4. Berapa banyak yang meninggal di periode :

a. t = 7 ke t = 8

D(7) = d . P(t) = 0,01 . ( 1,01 )7. ( 230.106 ) = 2,5 juta jiwa

C. Model Populasi Metrik Lesly

Matrik ini menyelidiki berapa banyak penduduk P1 ke P2 , P1< P2 dalam kelompok

umur 10 tahunan. Misalnya kelompok umur antara 65 – 75 dibagi atas n kelompok umur

[ 0,d ] , [ d,2d ] , [ 2d,3d ], ... [ ( n – 1 )d , nd ]

d = Merupakan lebar kelompok umur

n = Bilangan asli yang tergantung pada d

Misal :

d = 5 dan n = 20

maka model yang diperoleh :

t = 2d , t = 3d , t = nd

Vektor ini disebut vektor distribusi pada saat t

Misalkan laju kematian pada tiap kelompok diketahui r1 , maka laju kematian yang masih

hidup P1=1 - r1 , berlaku untuk t = 0, d, 2d, 3d, . . . ,nd

Mi = konstanta dan tergantung pada nilai d

Jika d = 5 maka m0 , m2, . . . , m8 > m0 = m1 , . . . , mn-1 = 0

Dari persamaan diatas dibuat sebagai berikut :

F ( t + d ) = M . F(t) ; t = 0, d, 2d, . . .

Fd = M . Fo

F2d = M . Fd = M ( M . Fo ) = M2 . Fo

F3d = M . F2d = M (M2 . Fo ) = M3 . Fo

•

•

•

F( n – 1 )d = M(n – 1) . Fo



6

Misalkan kelompok umur dibagi menjadi 3 kelompok

Laju kedewasaan m0 = 0 ; m1= 1 ; m2= 2

Laju bertahan ( masih hidup) ;

Tentukan :Fd =…………………? , F2d =…………………? , F3d =…………………?

Penyelesaian :

a. Fd = M . Fo = =

b. F2d = M2 . Fo =

= =

c. F3d = M3 . Fo =

=

= =

F3d = M3 . F2d = =

II. MODEL SISTEM PERSAMAAN

Misalkan laju kelahiran dan laju kematian disajikan dalam distribusi usia dengan

mengelompokkan menjadi 3 :

1. Usia 0 – 14 tahun

2. Usia 15 – 39 tahun

3. Usia 40 tahun keatas

Jika laju kelahiran dan laju kematian untuk kelompok usia berturut – turut b1, b2, b3

dan dimisalkan tiap kelompok usia banyak individu seusia adalah profesional, maka

interval waktu (∆t) menyatakan banyaknya individu yang masuk ke kelompok – 1 adalah :

1. Individu – individu hasil proses dari usia kelompok pertama, kedua, dan ketiga.

2. Individu – individu kelompok usia pertama yang mampu mempertahankan

hidupnya selama interval waktu (∆t) masih masuk dalam kelompok usia pertama.

Sedangkan banyaknya individu yang masuk ke kelompok – 2 setelah interval waktu

(∆t) adalah :



7

1. Individu – individu pada saat t masuk usia kelompok pertama dan mampu

mempertahankan hidupnya selama interval waktu (∆t) tersebut masih masuk dalam

kelompok usia kedua.

2. Individu – individu yang masuk kelompok usia kedua yang mampu

mempertahankan hidupnya selama interval waktu (∆t) dan pada akhirnya interval

waktu (∆t) tersebut masih masuk dalam kelompok usia ketiga.

Banyaknya individu yang masuk ke kelompok ketiga setelah interval waktu (∆t) adalah :

1. Individu – individu yang masuk kelompok usia kedua yang mampu

mempertahankan hidupnya selama interval waktu (∆t) dan pada akhirnya interval

waktu (∆t) telah berusia 40 tahun keatas..

2. Individu yang masuk kelompok usia ketiga yang mampu mempertahankan hidupnya

selama interval waktu (∆t).

Misalkan :

N1(t) = banyaknya individu yang masuk kelompok usia pertama

N2(t) = banyaknya individu yang masuk kelompok usia kedua

N3(t) = banyaknya individu yang masuk kelompok usia ketiga

Untuk (∆t) = 1 tahun, maka diperoleh persamaan :

N1(t) (∆t) = b1 N1(t) + b2 N2(t) + b3 N3(t) + ( 1 – d1) N1(t)

N2(t) (∆t) = ( 1 – d1) N1(t) + ( 1 – d2) N2(t)

N3(t) (∆t) = ( 1 – d2) N2(t) + ( 1 – d3) N3(t)

N(t) = A=

Maka sistem persamaan diatas dapat diubah menjadi : N(t + ∆t) = A . N(t) ........................pers (1)

Pers (1) merupakan model matematika pertumbuhan populasi dengan distribusi

usia dengan laju kelahiran dan kematian dianggap konstan. Dan banyaknya individu sesuai

dengan suatu kelompok usia adalah profesional. Dalam bentuk umum dapat ditulis :

N(t + ∆t) = An . N(t)

Contoh soal :

Pada tahun 1975 diketahui distribusi populasi berdasarkan usia, banyaknya individu usia 0

– 14 adalah 13.1 juta jiwa, usia ≥ 15 adalah 48.9 juta jiwa.

Jika diketahui kelahiran hanya terjadi pada individu kelompok ke-2 dan banyaknya

individu yang meninggal dari usia kelompok ke-1 sebesar jumlah kematian

sebelumnya.

Misal :

N1(t) = banyaknya individu dengan uisa 0 – 14 tahun



8

N2(t) = banyaknya individu dengan uisa ≥ 15 tahun

to = 1975

∆t = 1 tahun

Maka diperoleh N1(to) = 13.100.000 . N2(to) = 42.900.000

= 125 = = 0,0125 , = 1,19 = = 0,0119

N(t) adalah bilangan keseluruhan individu

N(t) = 13,1 juta jiwa + 42,9 juta jiwa = 56 juta jiwa

B1 = 0 → karena tidak ada kelahiran pada kelompok usia pertama

B2 = = = 0,0163

D1 = = = 0,0025

D2 = = = 0,0148

A = = =

N(t + ∆t) = A . N(t)

N(1976) = = =

N(t + ∆t) = A2 . N(t)

N(1977) = =

=

III. MATEMATIKA DALAM BIDANG EKONOMI

Dalam bidang ekonomi yang dikenal dengan fungsi permintaan dan penawaran.

y y = ax + b

a>0

a < 0

x



9

Fungsi Permintaan :

Hubungan antara jumlah atau banyak barang yang diminta dengan harga barang.

Ps = a + bQ , s = supply

Fungsi Penawaran :

Hubungan antara jumlah dan banyak barang ditawarkan dengan harganya.

Pd = a – bQ , d = demond

Titik Permintaan ( Ekuibilibrim ) :

Jika harga naik, maka permintaan turun dan jika harga turun, permintaan akan naik.

Ps = Pd

Fungsi Penerimaan :

Banyaknya barang terjual (x) dikali harga (y) atau R = xy

Fungsi Biaya :

Biaya total (Tc = total cost) dapat dianggap terdiri dari biaya tetap (FC = fixed cost)

Jadi : TC = VC + FC

Biaya rata – rata :

Biaya total dibagi banyaknya barang yang diproduksi (x) sehingga dapat diperoleh :

A =

Titik Impas ( breakeven poin = BEP )

Misal :

C = kurva biaya total ( TC )

R = kurva penerimaan total ( R )

Maka titik potong C dan R dinamakan titik impas (BEP)

y

C

B R = TC

R xFungsi Pertumbuhan :

Fungsi pertumbuhan yang banyak disoroti dalam bidang ekonomi adalah

pertumbuhan penduduk dan pendapatnnya, modal yang dibungakan, hukum logistik, dan

lain – lain.

1. Bunga majemuk.

Misalkan modal Mo dibungakan secara majemuk dengan suku bunga I = r % per tahun.

Jika waktu pembungaan 1 tahun adalah t tahun. Maka modal tersebut akan menjadi

Mt = Mo ( 1 + I )t

Jika waktu dibuat tahun, berarti dalam 1 tahun akan berbunga n kali, jika suku bunga

adalah perjangka waktu dalam t tahun

Mt = Mo ( 1 + )tn



10

2. Distribusi Pareto.

Berdasarkan pengalaman pareto, dia menulis rumus N =

N = banyaknya orang yang berpendapatan sebesar x atau lebih

x = besaran produksi

A = tetap / konstan

α = tetap ( 1,5 )

maka N merupakan fungsi dalam x

contoh :

dalam suatu populasi berlaku hukum pareto N = dengan N juta orang dan x rupiahX N

0,5 141,4

0,6 107,5

1 50

2 17,7

3 9,6

4 6,3

6 3,4

60 0,1

1357,7 0,006

Artinya untuk x = 60 didapat N = 0,1 diartikan ada 100.000 orang yang berpendapatan

≥ 60 juta pertahun ( minimal 5 juta perbulan ) , sedangkan untuk x = 0,6 didapat N =

107,5 artinya ada 107.500.000 orang berpendapatan 600.000 pertahun (sebulan 50.000).

3. Kurva Gompertz.

Mempunyai persamaan N = C . art

Dengan :

N = besar populasi pada saat tC = batas atas populasit = waktu ( tahun )r = rangka pertumbuhana = perbandingan populasi awal terhadap keadaan jenuh ( 0 < a < 1 )

Catatan :

Garis N = C adalah asimtot mendatar kekanan

Garis N = 0 adalah asimtot mendatar ke kiri

4. Kurva Logistik.

Bentuk kurva logistik memperoleh persamaan y = ( fungsi komponen ).

Fungsi N digunakan untuk pertumbuhan produksi, besar konsumsi suatu barang.

Contoh soal :

1. Diketahui fungsi permintaan y = dan f penawaran y = . tentukan harga

keseimbangan pasar beserta banyaknya orang yang bersesuaian.

Penyelesaian :

y = , y =

( = ) 12x

24 = x2 + 2x

x2 + 2x – 24 = 0



11

( x + 6 ) ( x – 4 ), x = -6 / Vx = 4

y = = 3 , jadi harga keseimbangan adalah ( 4,3 )

2. Diketahui fungsi permintaan y = 6 – , fungsi biaya tetap (FC) = 9 dan fungsi biaya

berubah (VC) = . Tentukan fungsi penerimaan, fungsi biaya total dan titik impas

interval. 0 ≤ x ≤ 5.Penyelesaian :

Dik : y = 6 – ,VC = , FC = 9 , 0 ≤ x ≤ 5

Dit : R = ................? , TC = ................? , BEP = ................?

Jawab

R = xy = x (6 – ) = 6x – 2x2

TC = FC + VC = + 9

BEP = titik potong antara R dan TC, R = TC

6x – 2x2 = + 9 = 0.....................x 4

24x – 8x2 = x2 + 36 = 0

3 x2 – 24x + 36 = 0

x2 – 8x + 12 = 0

( x – 6 ) ( x – 2 )

x = 6 / Vx = 2

untuk x = 2 , y = 6(2) - =12 – 2 = 10 , maka titik impas (BEP) terpenuhi pada

(2,10)

3. Gunakan hukum pareto dengan A = 6 juta orang, α = 1,48 juta rupiah. Berapa banyak

warga negara yang berpenghasilan 5 juta rupiah dalam setahun.

Penyelesaian :

A = 6 juta orang, α = 1,48 juta rupiah

N = .............?

N = = = 0,0007305 = 730,5 = 731 orang

4. Pada tahun 1970 sebuah pabrik memulai produksi dengan modal sejumlah mesin,

ternyata setiap tahun ada P mesin dari jumlah tahun yang sebelumnya yang rusak dan

tidak dapat diperbaiki lagi. Bila pada tahun 1973 ada 103 mesin baik dan dapat

diperbaiki, pada tahun 1975 tinggal 93 yang masih baik. Berapa P dan berapa jumlah

mesin dalam pembelian pertama.

Penyelesaian :

1970 → x

1973 → 103

1975 → 93

Po = jumlah mesin mula – mula =103

Pt = jumlah mesin pada t tahun = 93



12

t = lamanya

P = % barang yang rusak

Pada tahun 1975, t = 2

Pt = Po ( 1 – P )t

93 = 103 ( 1 – P )2

( 1 – P )2 = = 0,9029

1 – P = 0,9562

P = 0,04978 = = 5 %

Pada tahun 1970, t = 3

Pt = Po ( 1 – P )t =>103 = Po ( 1 – 0,05 )3 = Po ( 0,8575 ) = = 120 mesin

Elastisitas Permintaan (d) terhadap harga (P)

Ditulis ήop (ή = neta )

ήop = tambahan permintaan yang dibagi dengan pertambahan harga (%)

ήop = = , ini disebut juga dengan elastisitas penawaran.

Secara umum dapat ditulis elastisitas u terhadap V

ήop = = = , jika y = harga dan x = permintaan , maka dapat ditulis

ήxy = = , sedangkan ήyx = = atau ήyx =

Contoh :

1. Fungsi permintaan y = 12 – 3x, elastisitas permintaan = - 3. Tentukan elastisitas

permintaan terhadap harga.

Penyelesaian :

ήxy = = = = =

sedangkan elastisitas harga terhadap permintaan

ήxy = = = = = =

2. Fungsi penerimaan x = 25 – 5y2, pada saat harga = 2 ada kenaikan harga sebanyak 10%.

Tentukan elastisitas permintaan tersebut.

Penyelesaian :

y1 = 2 , ∆y = = 0,2 , y2 = ∆y + y1= 2,2

x1 = 25 – 5 . 4 = 5 , x2 = 25 – 5 . (2,2)2 = 0,8

∆x = x2 – x1 = 0,8 – 5 = - 4,2

Elastisitas : ήxy = = = = = - 8,4

Biaya Marginal ( Penerimaan Marginal )

Bila C = C(x) menyatakan fungsi biaya dengan C = Biaya produksi dan x = besar produksi.

Maka biaya marginal (MC) = = C(x)

Bila R = R(x) menyatakan fungsi penawaran dengan R = penawaran dan x = besar

permintaan. Maka penerimaan marginal (MR) = = R(x)



13

Biaya rata – rata minimum : A = A(x) =

Keuntungan maksimum : P = R – C Dengan :

P = Keuntungan

C = fungsi biaya

R = Penerimaan

R = xy, maka syarat dan cukup Pmax adalah R` dan C` atau R``< C``

Surplus Konsumen dan Surplus Produsen

Misalkan kurva permintaan (D)dengan persamaan y = D(x) dan kurva penawaran

(S) = S(x) dan titik keseimbangan = E (x0,y0), maka jika ada pembeli yang sesuai dengan

permintaan sebesar x1 mau membayar seharga y0 > y0, juga sesuai dengan x2, mau

membayar seharga x0 , mau membayar seharga y2. maka luas daerah BEP merupakan

kelebihan yang dibayar konsumen disebut surplus konsumen (SK). Sebaliknya jika ada

produsen dengan penawaran x3 melepas barang dengan harga y3<y0, sehingga kluas daerah

BEP menggambarkan uang kelebihan dari pihak produsen tersebut surplus produsen (SP)

Contoh soal :

1. Diketahui fungsi biaya total C = , tentukan fungsi biaya marginalnya (MC).

Penyelesaian :

C = = , MC = .......?

MC = C`(x)

= . 12

=

2. Diketahui fungsi permintaan y = 10e-x, tentukan fungsi penerimaan marginal (MR) jika

diketahui fungsi penerimaan R(x) =10x.e-x

Penyelesaian :

y = 10e-x , R(x) =10x.e-x

MR = 10e-x + 10x(-1)e-x

MR = 10e-x – 10x.e-x

MR = 10 e-x (1 – x )

3. Diketahui MC = , tentukan fungsi biaya total dan fungsi biaya rata – rata jika

diketahui biaya total mencapai 100 untuk tingkat produksi sebesar 8.

Penyelesaian :

MC = , C = 100 , untuk x = 8 , C(x) = ...? , A = ....?

MC = C`(x)



14

SK = , SP =

C`(x) = = , C (x) =

C (8) =

4. Diketahui fungsi permintaan y = 12 – x2 dan fungsi biaya total (C) = 6 – x2, tentukan

keuntungan maxsimal.

Penyelesaian :

y = 12 – x2 , (C) = 6 – x2 , Pmax = .........?

P = R – C

R = xy

P = 12x – x3 – ( 6 – x2 ) = 12x – x3 – 6 + x2 = x3 + x2 + 12x – 6 , untuk Pmax, P` = 0

P` = - x3 + x2 + 12x – 6

3x2 + 2x – 12 = 0

X12 = = = =

X1 = = 2,43 , X2 = = -1,76

5. Diketahui fungsi permintaan y = 10x . e-2x dan fungsi biaya rata – rata (A) = , tentukan

x supaya keuntungan mencapai maksimal.

y = 10x . e-2x , (A) = , x ? agar Pmax

Syarat Pmax : R = C , C = A . x

R = xy = x(10x . e-2x ) C = .x = 1

R = C

10x . e-2x + 10x (-2) . e-2x = 10x . e-2x - 20x. e-2x

x = =

6. jika fungsi penawaran y = dan x = 21y – 21 , hitung surplus konsumen dan

surplus produsen.

y = dan x = 21y – 21 ...............(1)

y2 = 25 – x

x = y2 + 25................................................(2)

(1) dan (2)

21y – 21 = y2 + 25 → y2 + 21y – 46 = 0

( y + 23 ) ( y – 2 ) =0 → y = - 23 / y = 2

y = 2 → x = 21(2) – 21 = 21 , E ( 21 , 2 )

SK = =



15

SK = = =

= 36

SP = = =

SP =

Model Optimasi

Teorema 1 :

Jika fungsi x kontinu pada interval tertutup S, maka f tertentu mempunyai

maksimum dan minimum dalam S. Dalam interval tertutup S terdapat 3 jenis fungsi ekstrim

yang mungkin terjadi, yaitu :

1. Ekstrim S dititik kritis (stationer)

2. Ekstrim batas yang terjadi pada batas interval

3. Ekstrim dititik dengan f(x) tidak kontinu

Untuk jenis 1, jika x = x0 maka x`(x0) = 0 dan f`(x0) > 0, maka f(x) mempunyai titik

minimum di x = x0

jika f`(x0) > 0, maka f(x) mempunyai titik minimum di x = x0

jika f`(x0) < 0, maka f(x) mempunyai titik minimum di x = x0

jika f`(x0) = 0, maka f(x) belum tentu di x = x0

Teorema 2 :

Fungsi f(x) yang terdeferensial dalam daerah fisibel S akan memenuhi :

1. Mungkin tidak mempunyai ektrim.

2. Mungkin mempunyai ektrim kritis

3. Mungkin mempunyai ektrim batas yang termasuk dalam S

Contoh :

1. f(x) = 3 – 2x untuk x > 0 tidak mempunyai ekstrim tetapi mempunyai ektrim batas S =

(0,5), fungsi g(x) = 8 – x2 mempunyai maksimum kritis di x = 0 dan minimum batas di x

= -1 dan x = 2. jika ditentukan S mempunyai interval (-1,2).

2. Sebuah karton berbentuk bujur sangkar dengan sisi 8 dm akan dipotong sudut –

sudutnya untuk kemudian dilipat tepinya dan menghasilkan kotak yang terbuka bagian

atasnya. Berapa potongan sisi bujur sangkar supaya volume kotak maksimum.

Penyelesaian :

x

x

Misalkan t = potongan , V = L – t = s2.t

Didapat : S = (8 – 2x) , t = x

Maka : V = (8 – 2x)2x = (64 – 32x + 4x3)x = 64x – 32x2 + 4x3

Nilai maksimum didapat V` = 0

64 – 64x + 12x2 = 0

16 – 16x + 3x2 = 0



16

(3x – 4) (x – 4) = 0 , x = atau x = 4

V`` = - 64 + 24x = - 64 + 24 ( ) = - 32

V`` = - 64 + 24x = - 64 + 24 (4) = 32

Pada x = , V`` < 0 berarti V maksimum

Maka S = 8 – 2( ) = , Vmax = S2 . t = ( )2 . = dm3

3. Dalam suatu produksi laba (y) merupakan fungsi besar produksi (x) dengan rumus yang

mendekati y = ln . Berapa besar biaya produksi supaya laba maksimum.

Penyelesaian :

y` = = 0

= 0

1 – ln x = 0 , ln x = 1 → x = e

syarat y``<0

y`` = = = < 0 ( ymax)

x = e → = , jadi titik max ( e , )

Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Teorema 1 :

Bila f kontinu dalam daerah fisibel S yang terbatas dan memuat semua titik batasannya

(tertutup) maka terdapat maksimum dan minimum f dalam S.

Teorema 2 :

Bila semua f adalah dalam S, maka ekstrimnya mungkin :

1. Tidak ada.

2. Terjadi titik kritis, dimana = 0

3. Terjadi titik batas S yang menjadi anggota S

Untuk fungsi dengan 2 peubah z = f(x,y),

Syarat perlu dan cukupnya :

a. = = 0 → syarat kritis

b. H = > 0 , H < 0 titik kritis bukan titik exstrim , H = 0 belum ada

ketentuan

> 0 → ekstrim minimum , < 0 → ekstrim maksimum

Contoh :Jurusan Matematika

Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan AlamUniversitas Sriwijaya

17

1. Jika fungsi z = f(x,y) = 15x + 12y – 3x3 – 3xy2, maka tentukan exstrim z?

2. Tentukan titik – titik yang menyebabkan fungsi berikut max dan min z = f(x,y) = x2 – y2

= 4x + 2y dengan kendala x ≤ 0 , y ≤ 0 , x + y + 4 ≥ 0

3. Tentukan titik optimal dari z = x2 = 4y2 dengan kendala x ≥ 4 , y ≥ - 2

Penyelesaian :

1. = 15x – 3x3 – 3y2 , = 12 – 6 xy

= 0 dan = 0

15 – 3x2 – 3y2 = 0.......................(1)

12 – 6 xy = 0.......................(2)

Persamaan (2) : 12 – 6 xy = 0

x =

subtitusi ke persamaan (1)

15 – 3( )2 – 3y2 = 0

15 – 2 – 3y2 = 0

15 y2 – 12 – 3y4 = 0

y2 – 5y2 + 4 = 0

(y2 – 4 ) (y2 – 1 ) = 0

y2 = 4 → y1 = 2 , y2 = - 2

y2 = 1 → y3 = 1 , y4 = - 1

y1 = 2 , x1 = 1 → (1,2) , y2 = - 2 , x2 = -1 → (-1,-2)

y3 = 1 , x3 = 2 → (2,1) , y4 = - 1 , x4 = -1 → (-2,-1)

= -6x dan = -6x , = -6x dan = -6x

H = = 36x2 – 36y2

Titik A = (1,2) , H = 36 – 144 = - 108 < 0....(TM)

Titik B = (-1,-2), H = 36 – 144 = - 108 < 0...(TM)

Titik C = (2,1) , H = 144 – 106 = -108 > 0....(M)

Titik D = (-2,-1) , H = 144 – 36 = 108 > 0.....(M)

Titik yang memenuhi adalah C dan D :

(2,1) → = -6(2) = -12 < 0 (max) , (-2,-1) → = -6(-2) = 12 > 0 (min)

Z min di (-2,-1) dengan z = -28 , Z max di ( 2, 1) dengan z = 28

2. Z = f(x,y) = x2 – y2 = 4x + 2y dengan kendala x ≤ 0 , y ≤ 0 , x + y + 4 ≥ 0

Titik kritis : f`x = 0 , f`y = 0

= 2x + 4 = 0 , = -2y + 2 = 0

2x = - 4 → y = -2 , 2y = -2 → y = -1

= 2 = 2



18

= 0 = 0

H = = 4 > 0 , titik (-2,-1) adalah titik kritis

= 2 > 0 → ekstrimya min

Maka Zmin di (-2,-1) dengan Z = 5

Titik batas : x + y = -4

x = 0 → y = -4 ( 0,-4 ) , y = 0 → x = -4 ( -4,0 )

Maka Zmax di (0,4) dengan Z = 8

3. Z = x2 = 4y2 dengan kendala x ≥ 4 , y ≥ - 2

= 2x → x = 0 , = 8y → y = 0

= 2 = 8 , = 0 = 0

H = = 16 > 0 , titik (0,0) titik kritis → tidak fisibel

Titik batas :

x = 4 → ( 4,0 ) dengan f = 16 (min) , y = -2 → ( 0,-2 ) → tidak fisibel

( 4,-2 ) → f = 32

y

0 (4,0) x

2 (4,-2)

Jadi, f min = 16 tercapai dari titik (4,0) sedangkan f max tidak ada karena f dapat menjadi

besar tak hingga ( tak terbatas )

Optimal secara umum

1. Tanpa kendala :menentukan nilai optimal (ekstrim)

Z = f(xj) = j = 1, 2, ...n

2. Dengan Kendala.

a. berbentuk persamaan dengan menentukan ekstrem Z = f(xj) = j = 1, 2, ...n

b. berbentuk pertidaksamaan dengan menentukan ekstrem Z = f(xj) = j = 1, 2, ...n



19

fungsi Z = f(x,y) yang dioptimalkan disebut fungsi sasaran nilai (xj) yang memenuhi

kendala disebut penyelesaian fisibel (PF), sedang kan fisibel yang mengoptimalkan f

sasaran disebut

penyelesaian optimal (PO).

Untuk ekstrim titik kritis syarat sebagai berikut :

Bila f(z) mempunyai definitif dearajat dua disekitar Xo dan di penuhi :

maka f(x) maksimal lokal dan dipenuhi.

H(x) disebut definitif negatif bila x` Hx < 0

Contoh :

1. Sebuah perusahaan mebel dan kayu menghasilkan 3 barang B1 = meja kursi, B2 =

almari, B3 = tempat tidur. Bila permintaan untuk masing – masing dianggap tidak

saling mempengaruhi tetapi fungsi kosongnya bergabung, maka pengusahanya ingin

menentukan besar produksi masing – masing yang memaksimalkan keuntungan total.

Diketahui bahwa fungsi permintaan untuk B1 ,B2 ,B3 berturut – turut adalah :

P1 = 21 – 5x1 , P2 = 77 – 10x2 , P3 = 30 – 2x3 ,

sedangkan fungsi ongkosnya C = 2x1x2 + x1x3 + 3x2x3 maka akan dicari x1 , x2 , x3 yang

memaksimalkan keuntungan total dan harga masing – masing, ongkos total dan

keuntungan maksimal

Penyelesaian :

Diketahui : P1 = 21 – 5x1 , P2 = 77 – 10x2 , P3 = 30 – 2x3

Ditanya :

a. x1 , x2 , x3 =....................?

b. P1, P2, P3 =....................?

c. C =....................?

d. Pmax =....................?

Jawab :

Penerimaan untuk B1 → R1 = Pixi

R1 = 21x1 – 5x12 , R2 = 77x2– 10x2

2 , R3 = 30 x3 – 2x32

R = R1 + R2 + R3 = 21x1 – 5x12 + 77x2– 10x2

2 + 30 x3 – 2x32

P = R – C

C = P – R = 21x1 – 5x1+ 77x2 – 10x2 + 30 x3 – 2x3 – 21x1 – 5x1

2 + 77x2– 10x22 + 30 x3 – 2x3

2

Syarat perlu = 0

= 21 – 10x1 – 2x2 – x3 = 0.......................(1)

= 77 – 10x2 – 2x2 – x3 = 0.......................(2)

= 30 – 4x31 – 2x1 – x2 = 0.......................(3)

Eliminasi (1) dan (2)

28x1 – 14x2 = -14.......................(4)

Eliminasi (1) dan (3)Jurusan Matematika

Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahan AlamUniversitas Sriwijaya

20

39x1 – 5x2 = 54,,......................(5)

Eliminasi (1) dan (3)

30x1 – 5x2 = 686......................(6)

x1 = 1

Subtitusi ke persamaan (4)

28(1) – 14x2 = – 14

– 14x2 = – 42

x2 = 3

Subtitusi ke persamaan (1)

10(1) + 2(3) + x3 = 21

x3 = 5

= -10 , = -2 , = -1

= - 20 , = -2 , = -3

= -14 , = -1 , = -3

H = , syarat maksimal : H definitif negatif, jika x`Hx

< 0

x = , x` = [ 1,3,5 ] , x`Hx = [ 1,3,5 ] = -

402 < 0 (definitif negatif )Penyebab keuntungan :

x1 = 1 x2 = 3 , x3 = 5

P1 = 21 – 5x1 = 21 – 5 = 16

P2 = 77 – 10x2 = 77 – 30 = 47

P3 = 30 – 2x3 = 30 – 10 = 20

C = 2x1 – x2 + x1 x3 + 3x2 x3 = 2(1)(3) + (1)(5) + 3(3)(5) = 56

P = P1x1 – x2 + x1 x3 + 3x2 x3 = 2(1)(3) + (1)(5) + 3(3)(5) = 56

P = P1x1 – P1x1 + P1x1= 16 + 5 + 45 = 56 → P = 201

Model Program Linear

Dalam optimasi terkendala dapat dirumuskan sebagai berikut ;Mencari vektor x = x1

2 , x22,… xn yang memenuhi gi(x) 0 dan memaksimalkan

dan meminimalkan Z =f(x). bila gi dan f semua linear, maka modelnya menjadi program linear

dan dirumuskan sebagai berikut

Mencari xj ≥ 0, j = 1, 2, …, n yang memenuhi b1, b2 , ..., n

Dengan max/min kan dengan syarat xj ≥ 0

Contoh :



21

1. Tersedia dua macam kapsul obat flu, yaitu merek fluin dan fluon, yang masing – masing

memuat unsur – unsur utama, aspirin, bikarbonat, dan kodein. sedangkan unsur yang

lain adalah tambahan saja. Kandungan unsur dalam tiap kapsul dan kebutuhan minum

pasien supaya sembuh tertera dalam tabel berikut.

UnsurSatu Kapsul

Kebutuhan Minum SatuanFluin Floun

Aspirin 2 1 12 Gram

Bikarbonat 5 8 74 Gram

Kodein 1 6 24 Gram

Harga satuan 60 90 Rupiah

Penyelesaian :

Masalah yang timbul bagi pasien yang ingin memenuhi syarat dari dokter tetapi juga

ingin meminimalkan uang pembelian total. Jadi berapa kapsul fluin dan floun yang

harus dibeli supaya sembuh dan uang yang keluar totalnya minimum.

Misal :

x1 ( banyaknya kapsul fluin yang dibeli ) dan x2 ( banyaknya kapsul floun yang dibeli )

mencari x1≥ 0 x2 ≥ 0 yang memenuhi

2x1 + 2x2 ≥12 ,5x1 + 8x2 ≥74 ,x1 + 6x2 ≥ 24 dan meminimalkan f(x1,x2)= 60x1 + 90 x2

Bahan Perbandingan :

Misalkan si pasien tidak mengenal pil dan ingin lekas sembuh, mungkin dia berpikir

beli fluin saja atau fluon saja. Untuk pilihan

a. dari aspirin dia cukup membeli 6 kapsul, tetapi ini tidak mengandungbikarbonat,

dia harus 15 kapsul, tetapi jumlah ini pun belum memuat kodien dengan jumlah

yang dibutuhkan, akhirnya dia harus membeli minimal 24 kapsul dengan harga

1440.

b. Dari pengalaman menghitung jumlah minimum fluin, dapat diringkas bahwa

jumlah minimal fluon yang harus dibeli adalah max = 12 kapsul

dengan harga Rp. 1080 (lebih murah) inilah yang akan dikerjakan pasien. tetapi jika

pasien sempat menghitung pembelian gabungan fluin dan floun, ternyata masih ada

kombinasi yang lebih hemat. Ini dikerjakan dengan cara mendaftar (tabulasi)

semua kombinasi yang relatif murah dan memungkinkan. Lalu bandingkan rupiah

yang sesuai untuk dicari yang paling murah.

Kombinasi yang hematRupiah

Fluin Fluon

24

18

12

10

9

7

6

4

2

4

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

10

12

1140

1170

900

870

900

870

900

870

840

960

1080



22

Dari tabel diatas terlihat bahwa kombinasi yang paling hemat adalah fluin 2

kapsul dan fluon 8 kapsul dengan total uang Rp 840

2. Rumuskan soal berikut ini ke dalam P > L . sebuah perusahaan rumah kayu rakitan

mempunyai 3 pabrik P1 , P2 , P3 yang m,asing – masing dapat memproduksi dalam

ukuran besar (B), sedang (S), dan kecil (K). Satu unit B yang terjual memberikan

keuntungan Rp 120.000 , S = Rp 100.000 , K = Rp 90.000. P1 , P2 , P3 berturut –

turut mempunyai kapasitas produksi 500, 600, dan 300 unit permeter tanpa

mengingat ukuran. Gudang penampungan produksi terbatas. P1 hanya mempunyai

ruang 4500 m2 , P2 =4000 m2, P3 = 1750 m2 sedangkan 1 unit B, S, K berturut – turut

memakan tempat 10 m2 , 7 m2, 6 m2 . dari pengalaman dapat diprediksi bahwa

persemester dapat terjual 600 unit B, 800 unit S, dan 500 unit K. Pimpinan

perusahaan harus menentukan program produksi persemester agar keuntungan total

maksimum.

Penyelesaian :

Misal :

P1= banyak B yang di produksi oleh pabrik i

S1= banyak S yang di produksi oleh pabrik i2

K1= banyak K yang di produksi oleh pabrik i2

Kendala kapasitas untuk masing – masing pabrik

b1+ S1+ K1 ≤ 500

b2+ S2+ K2 ≤ 600

b3+ S3+ K3 ≤ 300

Kendala ruang penampungan untuk masing – masing pabrik

10b1 + 7,5S1 + 6K1 ≤ 4500

10b2 + 7,5S2 + 6K2 ≤ 4000

10b3 + 7,5S3 + 6K3 ≤ 1750

Kendala hasil penjualan

b1+ b2+ b3 ≤ 600

S1+ S2+ S3 ≤ 800

K1+ K2+ K3 ≤ 500

Kendala tak negative

b1+ b2+ b3 + S1+ S2+ S3 + K1+ K2+ K3 dan memaksimumkan f sasaran

f = (b1+ b2+ b3 ) + 100(S1+ S2+ S3 ) . 90 (K1+ K2+ K3 )



23

pe model an mate ma tika

Documents