BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Dalam pembelajaran matematika, kita mengenal berbagai macam permasalahan. Permasalahan

tersebut dapat berupa logika atau abstrak. Salah satunya adalah dalam ruang tiga dimensi.

Dalam makalah ini kami berusaha menjelaskan dan menerangkan tentang beberapa permasalahan

bangun ruang tiga dimensi. Kami juga menyertakan beberapa latihan soal sehingga dapat

digunakan sebagai lathian masing-masing.

B. RUMUSAN MASALAH

1. Bagaimana kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang ?

2. Bagaimana cara menggambar bangun ruang ?

3. Ada berapa macam bangun ruang dalam tiga dimensi ?

4. Bagaimana jarak pada bangun ruang ?

5. Apakah besar sudut pada bangun ruang ?

6. Bagaimana proyeksi pada bangun ruang ?

C. TUJUAN

1. Untuk mengetahui kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang

2. Untuk mengetahui cara menggambar bangun ruang

3. Untuk mengetahui macam-macam bangun ruang dalam tiga dimensi

4. Untuk mengetahui jarak pada bangun ruang

5. Untuk mengetahui besar sudut pada bangun ruang

6. Untuk mengetahui proyeksi pada bangun ruang

D. MANFAAT

Dengan membaca makalah ini diharapkan dapat lebih memahami pembelajaran mengenai

Ruang Tiga Dimensi.

1 | P a g e

BAB II

PEMBAHASAN

A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM BANGUN

RUANG

1. PEGERTIAN TITIK, GARIS DAN BANGUN

a. Titik

Suatu titik ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai besaran. Sebuah titik

dilukiskan dengan noktah dan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital.

contoh : 1.) ●A,●B

2.) Lihat Kubus ABCD.EFGH di sampingTitik-titik pada kubus

ABCD.EFGH tersebut adalah:A, B, C, D, E, F, G, dan H

b. Garis

Garis adalah himpunan dari titik-titik yang mempunyai panjang tak terhingga tapi

tidak memiliki lebar atau panjang.

Contoh : 1. Lihat kubus ABCD.EFGH di samping garis-

garis pada kubus ABCD.EFGH antara lain AB,CG,BG

(diagonal sisi),AG (diagonal ruang)

2 | P a g e

c. Bidang

Bidang adalah himpunan titik-titik yang luas tak terhingga. Wakil bidang adalah

bagian dari bidang yang memiliki ukuran panjang dan lebar.

Contoh : 1. Contoh pada bidang kubus

ABCD.EFGH

- Bidang ABCD

- Bidang DCGH

- Bidang BDG

Demikian konsep titik, garis dan bidang. Dari pengertian titik, garis, dan bidang akan

memunculkan aksioma atau postulat tentang titik, garis dan bidang yaitu:

1. Melalui dua buah titik sembarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah

garis lurus.

2. Melalui satu titik dan garis yang tidak melewati titik tersebut dapat dibuat sebuah

bidang.

3. Melalui dua buah garis sejajar atau garis yang saling berpotongan dapat dibuat

sebuah bidang. 

4. Jika suatu garis dan suatu bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu

seluruhnya terletak pada bidang

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP GARIS DAN BIDANG

a. Kedudukan titik terhadap garis

Kedudukan titik terhadap garis dibedakan menjadi dua yaitu titik terletak pada garis dan

titik terletak di luar garis.

3 | P a g e

Kedudukan titik terletak pada garis dan titik terletak di luar

garis dapat dianalogikan seperti burung yang hinggap di kabel

listrik, seperti gambar disamping.Sekarang coba perhatikan

gambar di samping. Gambar tersebut merupakan segerombolan

burung yang hinggap di kabel listrik. Misalkan burung-burung

tersebut adalah sebuah titik dan kabel tersebut merupakan garis,

maka burung yang hinggap di kabel listrik (dilingkari merah) dapat dikatakan sebagai titik

terletak pada garis. Jadi, sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat

dilalui oleh garis, seperti gambar di bawah ini.

Sekarang coba perhatikan gambar burung yang terbang dan akan hinggap di kabel listrik

(dilingkari warna biru) dapat dikatakan sebagai titik terletak diluar garis. Sebuah titik

dikatakan terletak di luar garis, jika titik tersebut tidak dapat dilalui garis, seperti gambar

di bawah ini.

Contoh Soal :

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

Jika garis AB sebagai wakil dari garis g, maka tentukan: a). titik sudut

kubus yang terletak pada garis g; b). titik sudut yang berada di luar garis g.

Penyelesaian:

Berdasarkan gambar tersebut maka

1). titik sudut kubus yang terletak pada garis g adalah A dan B

4 | P a g e

2). titik sudut yang berada di luar garis g adalah D, E, F, G, dan H

b. Kedudukan titik terhadap bidang

Kedudukan titik terhadap bidang dibedakan menjadi dua yaitu titik terletak pada bidang

dan titik terletak di luar bidang. Untuk lebih mudah memahami konsep kedudukan titik

terhadap bidang, coba perhatikan gambar di samping.Gambar di samping

merupakan lima orang yang mengadakan penyuluhan tentang cara menanam

padi dan ditonton oleh tiga anak-anak. Jika orang dewasa dan anak-anak

tersebut kita misalkan titik dan lahan atau tanah yang akan ditanami padi kita

sebut sebagai bidang, maka orang dewasa yang menanam padi di areal

persawahan dapat kita sebut sebagai titik-titik yang terletak pada bidang.

Sedangkan anak-anak yang sedang menonton yang berada di luar areal yang

ditanami padi kita sebut sebagai titik-titik yang berada luar bidang.

Jadi, sebuah titik dikatakan terletak pada bidang, jika titik tersebut dapat dilalui oleh

bidang, seperti gambar di bawah ini.

Sebuah titik dikatakan terletak di luar bidang, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh

bidang, seperti gambar di bawah ini.

Contoh Soal :

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

 Bidang DCGH sebagai bidang u, tentukan: a) titik sudut apa saja yang

terletak pada bidang u; b) titik sudut apa saja yang berada di luar bidang u.

5 | P a g e

Penyelesaian:

Berdasarkan gambar tersebut maka:

a) titik sudut yang berada bidang u adalah D,C,G dan H

b) titik sudut yang berada di luar bidang u adalah A, B, E, dan F

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP GARIS DAN BIDANG

a. Kedudukan garis terhadap garis

1. Dua garis sejajar 

Pernahkah Anda memerhatikan rel atau lintasan kereta api? Apabila kita perhatikan

lintasan kereta api tersebut, jarak antara dua rel akan selalu tetap (sama) dan tidak pernah

saling berpotongan antara satu dengan lainnya. Apa yang akan terjadi jika jaraknya

berubah? Apakah kedua rel itu akan berpotongan?

Berdasarkan gambaran tersebut, selanjutnya apabila dua buah rel kereta api kita anggap

sebagai dua buah garis, maka dapat kita gambarkan seperti gambar di samping.Garis m

dan garis n di atas, jika diperpanjang sampai tak berhingga maka

kedua garis tidak akan pernah berpotongan. Keadaan seperti ini

dikatakan kedua garis sejajar. Dua garis sejajar dinotasikan dengan

“//”.

 

Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis-garis tersebut terletak pada satu

bidang datar dan tidak akan pernah bertemu atau berpotongan jika garis tersebut

diperpanjang sampai tak berhingga.

Aksioma/Postulat Dua Garis Sejajar

Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dibuat sebuah garis yang

sejajar dengan garis itu.

6 | P a g e

Contoh Soal :

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini

Pada gambar di atas, rusuk AB sebagai wakil dari garis g. Sebutkan rusuk

kubus yang: (a). berpotongan dengan garis g; (b). sejajar dengan garis g;

dan (c). bersilangan dengan garis g

Penyelesaian:

Rusuk kubus yang:

(a). berpotongan dengan garis g adalah AD, AE, BF, dan

BC

(b). sejajar dengan garis g adalah DC, EF, HG

(c). bersilangan dengan garis g adalah CG, DH, EH dan FG.

2. Dua garis berpotongan 

Agar Anda memahami pengertian garis berpotongan, perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar disamping tersebut menunjukkan gambar kubus

ABCD.EFGH. Amatilah garis AB dan garis BC. Tampak

bahwa garis AB dan BC berpotongan di titik B dimana

keduanya terletak pada bidang ABCD. Dalam hal ini garis

AB  dan BC dikatakan saling berpotongan.

Dua garis dikatakan saling berpotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang

datar dan mempunyai satu titik potong.

3. Dua garis berimpit

Agar dapat memahami pengertian garis berimpit, perhatikan gambar di samping.

Pada Gambar di samping menunjukkan garis AB dan garis CD yang

saling menutupi, sehingga hanya terlihat sebagai satu garis lurus

7 | P a g e

saja. Dalam hal ini dikatakan kedudukan masing-masing garis AB dan CD terletak pada

satu garis lurus. Kedudukan garis yang demikian dinamakan pasangan garis yang

berimpit.

Dua garis dikatakan saling berimpit apabila garis tersebut terletak pada satu garis lurus,

sehingga hanya terlihat sebagai satu garis lurus saja.

4. Dua garis bersilangan

Agar Anda memahami pengertian garis bersilangan, perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di samping menunjukkan sebuah balok ABCD.EFGH. Perhatikan garis AC

dan garis HF. Tampak bahwa kedua garis tersebut tidak terletak pada satu bidang

datar. Garis AC terletak pada bidang ABCD, sedangkan

garis HF terletak pada bidang EFGH. Selanjutnya apabila

kedua garis tersebut, masing-masing diperpanjang, maka

kedua garis tidak akan pernah bertemu. Dengan kata lain,

kedua garis itu tidak mempunyai titik potong. Kedudukan garis yang demikian

dinamakan pasangan garis yang saling bersilangan.

Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis-garis tersebut tidak terletak pada satu

bidang datar dan tidak akan berpotongan apabila diperpanjang.

5. Garis Horizontal dan Garis Vertikal

Perhatikan gambar di bawah ini. 

Gambar tersebut menunjukkan sebuah neraca dengan

bagian-bagiannya. Perhatikan bagian tiang penyangga

dan bagian lengan yang berada di atasnya. Kedudukan

bagian tiang dan lengan tersebut menggambarkan garis

horizontal dan vertikal. Bagian lengan menunjukkan

kedudukan garis horizontal, sedangkan tiang penyangga

8 | P a g e

menunjukkan kedudukan garis vertikal. Arah garis horizontal mendatar, sedangkan garis vertikal

tegak lurus dengan garis horizontal.

b. Kedudukan garis terhadap bidang

Kedudukan garis terhadap bidang dapat dibedakan menjadi tiga yakni:

garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, dan garis memotong (menembus) bidang.

Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika setiap titik pada

garis tersebut juga terletak pada bidang, seperti gambar di samping.

Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang tidak mempunyai satu pun titik

persekutuan, seperti gambar di samping.

Sebuah garis dikatakan memotong (menembus) bidang, jika garis dan

bidang mempunyai satu titik persekutuan yang dinamakan titik potong

atau titik tembus, seperti gambar di samping.

Contoh Soal :

Perhatikan kubus ABCD.EFGH pada gambar di bawah ini.

Bidang DCGH sebagai bidang u, sebutkan rusuk kubus yang: (a).

terletak pada bidang u, (b). sejajar dengan bidang u, dan (c). memotong

atau menembus bidang u.

Penyelesaian:

(a). Rusuk yang terletak pada bidang u adalah DC, CGm GH, dan DH

(b). Rusuk kubus yang sejajar dengan bidang u adalah AB, FE, EA, dan FB

(c). Rusuk kubus yang menembus atau memotong bidang u adalah AD, BC, FG dan EH.

9 | P a g e

Dalil – dalil tentang kedudukan garis terhadap garis dan garis terhadap bidang:

1. Jika garis a sejajar garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar dengan

garis c.

2. Jika garis k memotong garis h, garis g juga memotong garis h, garis k sejajar gaaris g,

maka garis h, k, dan g terletak pada satu bidang.

3. Jika garis k sejajar dengan garis l dan garis l menembus bidang, maka garis k juga

menembus bidang.

KEDUDUKAN DUA BUAH BIDANG

perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan gambar sebuah lorong di suatu sekolah. Lorong tersebut diapit oleh

dua buah dinding. Bagaimana kedudukan kedua dinding tersebut? Untuk menjawab

pertanyaan tersebut Anda harus paham dengan konsep kedudukan bidang terhadap

bidang lainnya. Kedudukan bidang terhadap bidang lain ada tiga kemungkinan, yaitu

berimpit, sejajar, dan berpotongan.

Dua Bidang Berimpit

10 | P a g e

Dua bidang dikatakan berimpit, jika setiap titik terletak pada kedua bidang,

seperti gambar di samping.

Dua Bidang Sejajar

Dua bidang dikatakan sejajar, jika kedua bidang tersebut tidak mempunyai satu pun titik

persekutuan, seperti gambar di samping.

Dua Bidang Berpotongan

Dua bidang dikatakan berpotongan, jika kedua bidang tersebut

mempunyai sebuah garis persekutuan, seperti gambar di samping.

Contoh Soal 1

Perhatikan kubus ABCD.EFGH pada gambar di bawah ini.

a) Sebutkan tiga pasang bidang yang sejajar.

b) Sebutkan dua pasang bidang yang berpotongan.

Penyelesaian:

a) Bidang ABCD sejajar dengan bidang EFGH, bidang ABFE sejajar dengan bidang CDHG, dan

BCGF sejajar dengan bidang ADHE.

b) Bidang ABGH berpotongan dengan bidang CDEF dan bidang BCHE berpotongan dengan

bidang ADGF.

Contoh Soal 2

Perhatikan kubus di bawah ini.

11 | P a g e

Bidang sisi CDHG sebagai wakil bidang u. Tentukan bidang sisi kubus

yang:

a. berimpit dengan bidang u

b. sejajar dengan bidang u

c. berpotongan dengan bidang u

Penyelesaian:

Bidang sisi kubus yang:

a. berimpit dengan bidang u adalah sisi CDHG

b. sejajar dengan bidang u adalah ABFE

c. berpotongan dengan bidang u adalah ABCD

B. CARA MENGGAMBAR BANGUN RUANG

Jika kita ingin menggambar bangun ruang ada beberapa konsep dasar yang harus anda

kuasai yakni bidang gambar, bidang frontal, garis frontal, bidang orthogonal, garis

orthogonal, sudut surut dan perbandingan proyeksi. Sekarang perhatikan gambar

bangun kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

1. Bidang Gambar

Bidang gambar adalah bidang atau suatu tempat permukaan untuk menggambar atau

melukis bangun ruang. Biasa di notasikan dengan α, β, dan γ serta mempunyai

kekhususan selalu menghadap muka pengamat. Misalnya dalam kehidupan nyata

dicontohkan dengan papan tulis, buku tulis, kain kanvas, dan lain-lain. Bidang gambar

pada gambar di atas adalah bidang α.

2. Bidang Frontal

12 | P a g e

Bidang frontal adalah bidang yang sejajar dengan bidang tempat gambar (kertas).

Semua bangun yang terletak pada bidang frontal digambar dengan bentuk dan ukuran

sesuai dengan ukuran sebenarnya. Pada gambar di atas yang merupakan bidang frontal

adalah ABFE dan DCGH.

3. Garis Frontal

Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal. Berdasarkan arahnya garis

frontal dibedakan menjadi garis frontal horizontal dan garis frontal vertikal. Pada

gambar di atas yang merupakan garis frontal horizontal adalah AB, EF, CD dan GH.

Sedangkan garis frontal vertikalnya adalah AE, BF, CG, dan DH.

4. Bidang Orthogonal

Bidang orthogonal adalah bidang yang tegak lurus pada bidang frontal ke arah depan

atau ke arah belakang secara horizontal dan vertikal. Pada gambar di atas yang

merupakan bidang orthogonal adalah ABCD, EFGH, BCGF dan ADHE.

5. Garis Ortogonal

Garis ortogonal adalah garis yang tegak lurus bidang frontal. Pada gambar di atas yang

merupakan garis orthogonal adalah AD, ED, BC dan FG.

6. Sudut Surut

Sudut surut adalah sudut pada gambar antara garis frontal horizontal arah ke kanan

dengan garis ortogonal arah belakang. Pada gambar di atas yang merupakan sudut

surut adalah sudut yang dibentuk oleh garis AB dan AD, maka pada gambar di atas

besar sudut surut adalah 120°.

7. Perbandingan Proyeksi

Perbandingan proyeksi adalah perbandingan antara panjang ruas garis ortogonal pada

gambar dengan panjang ruas garis itu sebenarnya. Pada gambar di atas perbandingan

proyeksinya adalah 2 : 6 = 1 : 3

Contoh Soal :

Lukislah sebuah kubus PQRS.TUVW dengan ketentuan TUVW frontal, TW horizontal, panjang

rusuk 9 cm, sudut surut 70°, dan perbandingan orthogonal 2:3!

Penyelesaian:

=>Lukis bidang frontal TUVW dengan TW horizontal dan panjang rusuknya 9 cm

13 | P a g e

=>Lukis garis PT yang membentuk sudut 70° dengan garis TW. Panjang garis PT pada gambar =

2/3 x 9 cm = 6 cm

=>Lukis garis SW dan PS untuk melengkapi bidang orthogonal TWSP

=>Lukis garis vertikal PQ dan RS yang panjangnya 9 cm

=>Lukis bidang orthogonal horizontal VUQR

Hasil gambarnya:

C. BANGUN RUANG DALAM TIGA DIMENSI

Bangun ruang merupakan sebutan untuk bangun-bangun tiga dimensi atau bagian

ruang yang dibatasi oleh himpunan titik-titik yang terdapat pada seluruh permukaan

bangun tersebut. Ada beberapa macam bangun ruang diantaranya yaitu :

1. BALOK

Balok adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk

oleh tiga pasang persegi atau persegi panjang dengan

paling tidak satu pasang diantaranya berukuran berbeda.

Balok memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut.

Elemen balok : 

Panjang (p) adalah rusuk terpanjang dari alas balok.

Lebar (l) adalah rusuk terpendek dari sisi alas balok.

Tinggi (t) adalah rusuk yang tegak lurus terhadap panjang dan lebar balok

     a.        Ciri-ciri Balok :

1. Alasnya berbentuk segi empat

14 | P a g e

2. Terdiri dari 12 rusuk

3. Mempunyai 6 bidang sisi

4. Memiliki 8 titik sudut

5. Seluruh sudutnya siku-siku

6. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang

  b. Rumus pada balok  

Luas permukaan

Volume

Panjang diagonal ruang

Panjang diagonal bidang

2. KUBUS

Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh enam

bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar. Kubus memiliki 6 sisi, 12

15 | P a g e

rusuk dan 8 titik sudut. Kubus juga disebut bidang enam beraturan, selain itu juga merupakan

bentuk khusus dalam prisma segiempat.

a.       Ciri - ciri Kubus :

1. Jumlah bidang sisi ada 6 buah yang berbentuk bujur sangkar (ABCD,

EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE,)

2. Mempunyai 8 titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H)

3. Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang (AB, CD, EF, GH, AE, BF,

CG, DH, AD, BC, EH, FG)

4. Semua sudutnya siku-siku

5. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang (4     diagonal

ruang = garis AG, BH, CE, DF dan 12 diagonal bidang = garisAC,

BD, EG, FH, AH, DE, BG, CF, AF, BE, CH, DG)

b.Rumus pada kubus

Luas

Volume

3. TABUNG 

16 | P a g e

Dalam geometri, tabung atau silinder adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh

dua buah lingkaran identik yang sejajar dan sebuah persegi panjang yang mengelilingi

kedua lingkaran tersebut. Kubus memiliki 3 sisi dan 2 rusuk.

Kedua lingkaran disebut sebagai alas dan tutup tabung serta persegi panjang yang

menyelimutinya disebut sebagai selimut tabung.

a. Ciri-ciri:

1. Mempunyai 2 rusuk

2. Alas dan atapnya berupa lingkaran

3. Mempunyai 3 bidang sisi ( 2 bidang sisi lingkaran atas dan bawah, 1 bidang

selimut)

b.   Rumus tabung:

Luas alas

Luas selimut

Luas permukaan

17 | P a g e

                      

                                                                          

Volume

4. LIMAS

Dalam geometri, limas adalah bangun ruang tiga dimensi yang

dibatasi oleh alas berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk

segitiga.

Kerucut dapat disebut sebagai limas dengan alas berbentuk

lingkaran.

Limas dengan alas berupa persegi disebut juga piramida

a.       Ciri-ciri :

1. Alasnya berbentuk segiempat (BCDE)

18 | P a g e

2. Mempunyai 5 bidang sisi (BCDE, ABC, ACD,ABE, ADE)

3. Mempunyai 5 titik sudut ( A, B,C,D,E)

4. Mempunyai 8 rusuk (AB, AC,AD,AE,BC,CD,DE,BE)

b.      Rumus limas segiempat

Luas permukaan

Luas permukaan limas dengan alas segi-n dapat dihitung dengan rumus berikut:

Volume

5. KERUCUT

Dalam geometri, kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas

lingkaran. Kerucut memiliki 2 sisi dan 1 rusuk.

Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang lengkung

yang disebut selimut kerucut.

a.       Ciri-ciri :

1. Mempunyai 2 bidang sisi (1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut)

19 | P a g e

2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut

b.   Rumus kerucut:

Luas alas

                                                                  L = πr2   

Luas selimut

Luas permukaan

6. BOLA

Dalam geometri, bola adalah bangun ruang tiga dimensi yang

dibentuk oleh tak hingga lingkaran berjari-jari sama panjang dan

berpusat pada satu titik yang sama. Bola hanya memiliki 1 sisi.

a.       Ciri-ciri :

 1. Hanya mempunyai 1 bidang sisi

2. Tidak mempunyai sudut dan tidak mempunyai rusuk

b.      Rumus bola:

20 | P a g e

Luas permukaan

Volume

7. Prisma Tegak segitiga siku-siku

Prisma Tegak segitiga siku-siku Adalah prisma yang rusuk tegaknya

tegak lurus pada bidang alas. Pada paralelepipedum, ketiga rusuk yang

bertemu disebuah titik sudut disebut rusuk-rusuk utama.

Ciri-ciri:

1. Terdiri dari 6 titik sudut

2. Mempunyai 9 buah rusuk

3  Mempunyai 5 bidang sisi

 b.  Rumus Prisma tegak segitiga siku – siku

  Ø  Luas sisi prisma : jumlah panjang rusuk alas x tinggi + luas 2 tutup

  Ø  Volume prisma : luas alas x tinggi 

D. JARAK PADA BANGUN RUANG

1. Jarak antara titik dengan titik

21 | P a g e

Perhatikan gambar disamping.

Gambar di samping merupakan dua buah titik yaitu titik A dan

titik B. Jarak dari titik A dan titik B dapat dicari dengan cara

menghubungkan titik A ke titik B sehingga terjadi sebuah

garis. Jarak kedua titik tersebut ditentukan oleh panjang garis itu. Jadi, jarak antara dua

titik merupakan panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.

Contoh Soal

Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini.Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8

cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung

jarak:

a) titik W ke titik P

b) titik W ke titik X

c) titik W ke titik Q

d) titik T ke titik X

Penyelesaian:

a) titik W ke titik P merupakan panjang garis PW. Garis PW merupakan panjang diagonal sisi

kubus, maka dengan menggunakan teorema phytagoras:

PW =√(TW2 + PT2)

PW =√(82 + 82)

PW =√(64 + 64)

PW =√128

PW =8√2

22 | P a g e

b) titik W ke titik X merupakan panjang garis WX. Panjang PX sama dengan setengah panjang

rusuk PQ, maka:

PX = ½ PQ = ½ 8 cm = 4 cm

Dengan menggunakan teorema phytagoras:

WX =√(PW2 + PX2)

WX =√((8√2)2 + 42)

WX =√(128 + 16)

WX =√144

WX =12 cm

c) titik W ke titik Q merupakan panjang garis QW. Garis QW merupakan panjang diagonal ruang

kubus, maka dengan menggunakan teorema phytagoras:

QW =√(PW2 + PQ2)

QW =√((8√2)2 + 82)

QW =√(128 + 64)

QW =√192

QW =8√3 cm

d) titik T ke titik X merupakan panjang garis TX. Panjang PX sama dengan setengah panjang

rusuk PQ, maka:

PX = ½ PQ = ½ 8 cm = 4 cm

Dengan menggunakan teorema phytagoras:

23 | P a g e

TX =√(PT2 + PX2)

TX =√(82 + 42)

TX =√(64 + 16)

TX =√80

TX =4√5 cm

2. Jarak antara titik dengan garis

Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas merupakan sebuah titik A dan sebuah garis g. Jarak antara titik A dan garis g dapat dengan membuat garis dari titik A ke garis g, memotong garis di titik P sehingga terjadi garis AP yang tegak lurus garis g. Jarak titik A ke garis g adalah panjang dari AP. Jadi, jarak antara titik dengan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut tegak lurus

terhadap garis itu.Contoh Soal 2

Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini.

Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan

pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak:

a) titik X ke garis ST

b) titik X ke garis RT

Penyelesaian:

Perhatikan gambar di samping

a) titik X ke garis ST merupakan panjang garis dari titik X ke titik M

(garis MX) yang tegak lurus dengan garis ST, seperti gambar berikut.

ST = PW dan MT = ½ ST = ½ PW = 4√2

Dengan menggunakan teorema phytagoras:

24 | P a g e

MX =√(TX2 – MT2)

MX =√((4√5)2 – (4√2)2)

MX =√(80 – 32)

MX =√48

MX =4√3 cm

b) titik X ke garis RT merupakan panjang garis dari titik X ke titik N (garis NX) yang tegak lurus

dengan garis RT, seperti gambar berikut.

RT = QW dan NT = ½ RT = ½ QW = 4√3

Dengan menggunakan teorema phytagoras:

NX =√(TX2 – NT2)

NX =√((4√5)2 – (4√3)2)

NX =√(80 – 48)

NX =√32

NX =4√2 cm

3. Jarak antara titik dengan bidang

Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan sebuah tiktik A dan bidang α. Jarak titik A

ke bidang α dapat dicari dengan menghubungkan titik A secara tegak

lurus dengan bidang α. Jadi, jarak suatu titik ke suatu bidang adalah

jarak dari titik tersebut ke proyeksinya pada bidang tersebut.

Contoh Soal

Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini.

25 | P a g e

Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan

pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak titik X ke bidang

RSTU

Penyelesaian:

Perhatikan gambar di bawah ini

titik X ke bidang RSTU merupakan panjang garis dari titik X ke titik Z (garis MX) yang tegak

lurus dengan bidang RSTU. XZ = ½ PW =4√2 cm

4. Jarak antara garis dengan garis

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar disamping terdapat dua buah garis yaitu garis f dan

garis g. Dari kedua garis itu ditarik sebuah garis yang tegak lurus

dengan garis f dan garis g, sehingga terbentuk garis AP. Panjang

garis AP ini merupakan jarak garis f dengan garis g.

Jadi jarak garis ke garis merupakan jarak terpendek antara dua garis itu, atau panjang garis

yang memotong tegak lurus kedua garis itu. Syarat agar bisa menghitung jarak dari garis

ke garis adalah kedua garis tersebut harus sejajar atau bersilangan.

Contoh Soal :

26 | P a g e

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

Diketahui panjang rusuk kubus di atas 8 cm dan titik P , titik Q, titik R,

serta titik S berada di tengah-tengah rusuk kubus tersebut. (a)

Hitunglah jarak garis PQ ke garis EG dan (b) hitunglah jarak garis PQ

ke garis RS!

Penyelesaian:

(a) Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan garis PQ dan garis EG! Garis tersebut dihubungkan sebuah

garis XY yang merupakan jarak garis PQ dengan garis EG. Untuk

mencari garis tersebut Anda harus paham dengan konsep teorema

Phytagoras. Sekarang cari panjang PQ dimana PB = ½ AB = 4 cm,

maka:

PQ = √(BP2 + BQ2)

PQ = √(42 + 42)

PQ = √(16 + 16)

PQ = √32

PQ = 4√2 cm

Sekarang cari panjang BY dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di Y di mana QY =

½ PQ = 2√2 cm, maka:

BY = √(BQ2 – QY2)

BY = √(42 – (2√2)2)

BY = √(16 – 8)

BY = 2√2 cm

Sekarang cari panjang FX yang merupakan setengah panjang EG, maka:

EG = √(EF2 + FG2)

EG = √(82 + 82)

EG = 8√2 cm

27 | P a g e

FX = ½ EG = 4√2 cm

Jika digambarkan akan menjadi seperti gambar berikut ini.

Sekarang cari panjang UX:

UX = FX – BY

UX = 4√2 cm – 2√2 cm

UX = 2√2 cm

Terakhir hitung panjang XY:

XY = √(UY2 + UX2)

XY = √(82 + (2√2)2)

XY = √(64 + 8)

XY = √72

XY = 6√2 cm

Jadi panjang garis PQ dengan garis EG adalah 6√2 cm.

(b) Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

 

Perhatikan garis PQ dan garis RS! Garis tersebut dihubungkan

sebuah garis WY yang merupakan jarak garis PQ dengan garis EG.

Untuk mencari garis WY tersebut Anda harus paham dengan konsep

teorema Phytagoras. Kita ketahui panjang BY = 2√2 cm, EG = FH =

8√2 cm dan panjang BY = HW,

maka gambarnya akan menjadi:

Sekarang cari panjang UW dengan menggunakan gambar di atas, yakni:

UW = FH – BY – HW

28 | P a g e

UW = 8√2 – 2√2 – 2√2

UW = 4√2 cm

Terakhir hitung panjang WY:

WY = √(UY2 + UW2)

WY = √(82 + (4√2)2)

WY = √(64 + 32)

WY = √96

WY = 4√6 cm

Jadi panjang garis PQ dengan garis RS adalah 4√6 cm.

5. Jarak antara garis dengan Bidang

Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar di samping merupakan sebuah bidang α dengan garis k.

Kemudian garis k dan bidang α tersebut dihubungkan sebuah garis

AB yang tegak lurus dengan garis dan bidang tersebut. Jarak garis

AB tersebut merupakan jarak garis k dengan bidang α. Jarak garis

ke bidang adalah panjang garis proyeksi garis pada bidang. Untuk memantapkan

pemahaman anda tentang jarak garis ke bidang.

Contoh Soal :

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

 

29 | P a g e

Diketahui panjang rusuk kubus di atas 8 cm dan titik P , titik Q, titik R, serta titik S berada di

tengah-tengah rusuk kubus tersebut. Hitunglah jarak garis PQ ke bidang DRS!

Penyelesaian:

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan bidang DRS dan garis PQ! Garis YZ merupakan jarak

antara bidang DRS dengan garis PQ di mana DX tegak lurus dengan

garis YZ. Dengan menggunakan contoh soal no 1, maka HX = BY =

2√2 cm, DY = 6√2 cm dan XY = 4√6 cm

Sekarang cari panjang DX dengan teorema Phytagoras, yakni:

DX = √(DH2 + HX2)

DX = √(82 + (2√2)2)

DX = √(64 + 8)

DX = √72

DX = 6√2 cm

Maka gambarnya menjadi:

Sekarang cari panjang DO dengan menggunakan teorema phytagoras,

yakni:

DO = √(DY2 – OY2)

DO = √((6√2)2 – (2√6)2)

DO = √(72 – 24)

DO = √48

DO = 4√3 cm

Dengan menggunakan konsep luas segitiga maka:

DX . YZ = XY . DO

6√2 . YZ = 4√6 . 4√3

6√2 . YZ = 16√18

6√2 . YZ = 16 . 3√2

YZ = 16/2

YZ= 8 cm

Jadi jarak garis PQ ke bidang DRS adalah 8 cm.

30 | P a g e

6. Jarak antara bidang dengan bidang

perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar disamping terdapat dua buah bidang yaitu bidangα

dan bidang β. Dari kedua garis itu ditarik sebuah garis yang tegak

lurus dengan bidang α dan bidang β, sehingga terbentuk garis AB

yang tegak lurus dengan kedua bidang tersebut. Panjang garis AB

ini merupakan jarak bidang α dengan bidang β.

Jadi jarak bidang ke bidang merupakan jarak terpendek antara dua buah bidang itu, atau

panjang garis yang memotong tegak lurus kedua bidang itu. Syarat agar bisa menghitung

jarak dari bidang ke bidang adalah kedua bidang tersebut harus sejajar.

Contoh Soal

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

Diketahui panjang rusuk kubus di atas 12 cm dan titik P , titik Q, titik

R, serta titik S berada di tengah-tengah rusuk kubus tersebut.

Hitunglah jarak bidang FPQ ke bidang DRS!

Penyelesaian:

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan bidang FPQ dan bidang DRS! Untuk mencari jarak kedua

bidang tersebut Anda harus mencari panjang DY dan FY pada bangun

datar jajargenjang DYFX.

Sekarang cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:

PQ = √(BP2 + BQ2)

PQ = √(62 + 62)

31 | P a g e

PQ = √(36 + 36)

PQ = 6√2 cm

Sekarang cari panjang BY dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di Y di mana QY =

½ PQ = 3√2 cm, maka:

BY = √(BQ2 – QY2)

BY = √(62 – (3√2)2)

BY = √(36 – 18)

BY = 3√2 cm

Sekarang cari panjang FY dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di B, maka:

FY = √(BY2 + BF2)

FY = √((3√2)2 + 122)

FY = √(18 + 144)

FY = 9√2 cm

Sekarang cari panjang BD dengan konsep diagonal bidang yakni:

BD = √(AB2 + AD2)

BD = √(122 + 122)

BD = 12√2 cm

DY = BD – BY

DY = 12√2 cm – 3√2 cm

DY = 9√2 cm

Jajargenjang DYFX jika digambarkan akan menjadi seperti gambar berikut ini.

Di mana DY = FX = 9√2 cm, DX = FY = 9√2 cm dan OX = BF = 12 cm,

sekarang cari panjang YZ:

DX . YZ = DY . OX

9√2 . YZ = 9√2 . 12 cm

YZ = 12 cm

Jadi jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah 12 cm

E. BESAR SUDUT PADA BANGUN RUANG

32 | P a g e

1. Sudut antara garis dengan garis

perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar disamping terdapat dua buah bidang yaitu bidang α

dan bidang β. Dari kedua garis itu ditarik sebuah garis yang tegak

lurus dengan bidang α dan bidang β, sehingga terbentuk garis AB

yang tegak lurus dengan kedua bidang tersebut. Panjang garis AB

ini merupakan jarak bidang α dengan bidang β.

Jadi jarak bidang ke bidang merupakan jarak terpendek antara dua buah bidang itu, atau

panjang garis yang memotong tegak lurus kedua bidang itu. Syarat agar bisa menghitung

jarak dari bidang ke bidang adalah kedua bidang tersebut harus sejajar.

perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di samping merupakan kedudukan dua buah garis yang

saling sejajar dan dua buah garis saling berimpit. Sudut yang

dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar dan garis yang berimpit

adalah 0°

Sekarang perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

Perhatikan garis AB (garis v) dan AE (garis u)! Kedua garis tersebut (garis u dan garis v)

berpotongan di titik A dan sudut yang dibentuk adalah ∠A atau biasanya ditulis ∠(u,v).

Jadi, sudut antara dua garis yang berpotongan merupakan sudut

yang berada di titik potong antara dua garis itu dan sinar

garisnya sebagai kaki sudut.

33 | P a g e

Perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan garis BD (garis y) dan garis FH (garis x)! Kedua garis tersebut saling

bersilangan. Garis BD (garis y) sejajar dengan garis FH (garis z) dan garis x dan garis z

saling berpotongan. Jadi, sudut antara dua garis bersilangan

(misalkan x dan y bersilangan) merupakan sudut yang berada di titik

potong antara garis x dengan garis z, di mana garis z sejajar dengan

garis y, dan garis x bersilangan dengan garis z.

Sudut antara garis x dengan garis y dilambangkan dengan ∠ (x,y)

Jika besar ∠ (x,y) = 90° serta x dan y berpotongan, maka garis x dan y dikatakan

berpotongan tegak lurus; dan x dan y bersilangan, maka garis x dan x dikatakan

bersilangan tegak lurus.

Contoh Soal

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

Jika titik P berada di tengah-tengah rusuk AB, titik Q berada di tengah-

tengah diagonal sisi BD, dan panjang rusuk kubus 10 cm. (a) Tentukan

besar sudut antara garis AF dan garis FP. (b) Tentukan besar sudut garis

AG dengan GQ!

Penyelesaian:

(a) Perhatikan gambar di bawah ini.

 Sudut yang dibentuk oleh garis AF dengan garis FP adalah ∠α. Untuk

mencari besar ∠α Anda harus mencari panjang AF, panjang FP, dan

panjang AP.

AP = ½ AB

AP = ½ 10 cm

AP = 5 cm

Cari panjang AF dengan rumus panjang diagonal sisi kubus yakni:

AF = s√2

34 | P a g e

AF = 10√2 cm

Cari panjang FP dengan teorema phytagoras yakni:

FP = √(BF2 + BP2)

FP = √(102 + 52)

FP = √125

FP = 5√5 cm

Cari besar ∠α dengan aturan cosines yakni:

AP2 = AF2 + FP2 – 2AF.FP.cos α

52 = (10√2)2 + (5√5)2 – 2. 10√2. 5√5.cos α

25 = 200 + 125 – 100√10.cos α

100√10.cos α = 200 + 125 – 25

100√10.cos α = 300

cos α = 300/(100√10)

cos α = 3/√10

cos α = 3√10/10

arc cos 3√10/10 = 18,43° (Gunakan kalkulator di sini)

Jadi, besar sudut antara garis AF dan garis FP adalah 18,43°

(b) Perhatikan gambar di bawah ini.

Sudut yang dibentuk oleh garis AG dengan garis GQ adalah ∠β. Untuk

mencari besar ∠β Anda harus mencari panjang AG, panjang GQ, dan

panjang AQ. Panjang AC = DB yang merupakan diagonal sisi kubus,

yakni:

AC = s√2

AC = 10√2

AQ = ½ AC

AQ = ½ 10√2 cm

AQ = 5√2 cm

35 | P a g e

Cari panjang AG dengan rumus panjang diagonal ruang kubus yakni:

AG = s√3

AG = 10√3 cm

Cari panjang GQ dengan teorema phytagoras yakni:

GQ = √(CQ2 + CG2)

GQ = √((5√2)2 + 102)

GQ = √150

GQ = 5√6 cm

Cari besar ∠β dengan aturan cosines yakni:

AQ2 = AG2 + GQ2 – 2AG.GQ.cos β

(5√2)2 = (10√3)2 + (5√6)2 – 2. 10√3. 5√6. cos β

50 = 300 + 150 – 100√18. cos β

50 = 450 – 300√2. cos β

300√2. cos β = 450 – 50

300√2. cos β = 400

cos α = 400/(300√2)

cos β = 4/3√2

cos β = 4√2/6

cos β = 2√2/3

arc cos 2√2/3 = 19,47°

Jadi, besar sudut garis AG dengan GQ adalah 19,47°

2. Sudut antara garis dengan bidang

perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di samping merupakan kedudukan garis terletak di

bidang atau berimpit dengan bidang dan kedudukan garis sejajar

dengan bidang. Kita ketahui bahwa bidang adalah himpunan

garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis

(silahkan baca: pengertian titik, garis dan bidang). Kita juga

36 | P a g e

ketahui bahwa sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar dan garis yang

berimpit adalah 0° (silahkan baca: sudut antara garis dan garis dalam bangun ruang).

Maka sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang yang saling sejajar dan saling berimpit

adalah 0°.

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. 

Pada gambar di atas merupakan sebuah garis g yang

menembus bidang ABCD di titik O. Proyeksi gari g akan

membentuk garis EF yang berimpit dan sejajar dengan

bidang ABCD. Besar sudut yang dibentuk oleh garis g

dengan bidang ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis

g dengan garis proyeksinya yaitu sebesar β. Jadi, sudut

antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis tersebut dengan

proyeksinya pada bidang.

Kita telah ketahui bahwa kedudukan bidang terhadap bidang lain ada tiga kemungkinan, yaitu dua

bidang yang saling berimpit, sejajar, dan berpotongan.

Contoh Soal

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH disamping. 

Diketahui panjang rusuk kubus di atas 4 cm, titik P berada di tengah rusuk

AB dan titik Q berada di tengah rusuk BC. Jika titik potong garis BD

dengan garis PQ adalah R. (a) Hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh

garis DR dengan bidang HPQ dan hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh

garis HR dengan bidangn FPQ!

Penyelesaian:

(a) Perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan garis DR dan bidang HPQ! Besar sudut yang dibentuk oleh

garis DR dengan bidang HPQ adalah α.

Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:

PQ = √(BP2 + BQ2)

37 | P a g e

PQ = √(22 + 22)

PQ = √(4 + 4)

PQ = 2√2 cm

Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ =

√2 cm, maka:

BR = √(BP2 – PR2)

BR = √(22 – (√2)2)

BR = √(4 – 2)

BR = √2 cm

Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni:

BD = s√2

BD = 4√2 cm

Cari panjang DR

DR = BD – BR

DR = 4√2 cm –√2 cm

DR = 3√2 cm

tan α = DH/DR

tan α = 4 cm/(3√2 cm)

tan α = 4√2/6

tan α = 2√2/3

arc tan 2√2/3 = 43,31°

Jadi besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah 43,31°.

(b) Perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan garis HR dan bidang FPQ! Besar sudut yang dibentuk oleh garis

DR dengan bidang HPQ adalah β.

38 | P a g e

Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:

PQ = √(BP2 + BQ2)

PQ = √(22 + 22)

PQ = √(4 + 4)

PQ = 2√2 cm

Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ =

√2 cm, maka:

BR = √(BP2 – PR2)

BR = √(22 – (√2)2)

BR = √(4 – 2)

BR = √2 cm

Cari panjang FR, yakni:

FR = √(BR2 + BF2)

FR = √((√2)2 + 42)

FR = √18

FR = 3√2 cm

Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni:

BD = s√2

BD = 4√2 cm

Cari panjang DR

DR = BD – BR

DR = 4√2 cm –√2 cm

DR = 3√2 cm

Cari panjang HR dengan teorema phytagoras juga yakni:

HR = √(DH2 + DR2)

HR = √(42 + (3√2)2)

HR = √34 cm

39 | P a g e

Cari besar ∠β dengan aturan cosinus yakni:

FH2 = HR2 + FR2 – 2.HR.FR.cos β

42 = (√34)2 + (3√2)2 – 2.√34.3√2. cos β

16 = 34 + 18 – 6√68. cos β

16 = 52 – 12√17. cos β

12√17. cos β = 52 – 16

12√17. cos β = 36

cos β = 36/(12√17)

cos β = 3/√17

cos β = 3√17/17

arc cos 3√17/17 = 36,04°

Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis HR dengan bidangn FPQ adalah 36,04°

3. Sudut antara bidang dengan bidang

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan kedudukan bidang terhadap bidang

lainnya. Gambar pertama merupakan kedudukan dua buah bidang

yang saling berimpit dan gambar kedua merupakan kedudukan dua

buah bidang yang saling sejajar. Kita ketahui bahwa pengertian

bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari

lebih dari satu buah garis (silahkan baca: pengertian titik, garis dan bidang). 

Kita juga ketahui bahwa sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar atau garis yang

berimpit adalah 0° (silahkan baca: sudut antara garis dan garis dalam bangun ruang). Selain

itu sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang yang sejajar dan yang berimpit adalah 0° (silahkan

baca: sudut antara garis dan bidang dalam bangun ruang. Maka sudut yang dibentuk oleh dua

bidang yang saling sejajar atau saling berimpit juga sama dengan 0°.

4. Besar sudut antara bidamg dengan bidang

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

40 | P a g e

Gambar di atas merupakan dua buah bidang yang saling

berpotongan, di mana bidang ABCD saling berpotongan dengan

bidang EFGH di garis g. Adapun cara menentukan sudut yang

dibentuk oleh dua bidang ABCD dan bidang EFGH di atas

adalah sebagai berikut :

=>Membuat garis IJ yang tegak lurus dengan garis g dan berimpit dengan bidang ABCD serta

berpotongan di titik M

=>Membuat garis LK yang tegak lurus juga dengan g dan berimpit dengan garis EFGH serta

bepotongan di titik M

=>Sudut lancip yang dibentuk oleh garis IJ dan LK (sudut α) merupakan sudut yang dibentuk

oleh dua bidangn tersebut.

Jadi, sudut antara dua bidang yang berpotongan merupakan sudut yang dibentuk oleh dua garis

yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang yang

lainnya), garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut.

Contoh Soal

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH 

Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 4 cm, jika α adalah sudut yang dibentuk oleh ACF dan

ACGE, maka tentukan nilai sin α dan hitung besar sudut α

Penyelesaian:

Perhatikan gambar disamping.

41 | P a g e

Cari panjang BD dengan rumus panjang diagonal bidang kubus yakni:

BD = s√2

BD = 4√2 cm

Cari panjang FS dengan teorema phytagoras, di mana panjang BS merupakan setengah panjang

diagonal bidang BD.

BS = ½ BD = ½ . 4√2 cm = 2√2 cm

FS = √(BS2 + BF2)

FS = √((2√2)2 + 42)

FS = √24

FS = 2√6 cm

sin α = FT/FS (FT = BS)

sin α = (2√2)/(2√6)

sin α = √2/√6

sin α = 1/√3

sin α = (1/3)√3

arc sin (1/3)√3 = 35,26°

Jadi, nilai sin α dan besar sudut α adalah (1/3)√3 dan 35,26°

F. PROYEKSI PADA BANGUN RUANG

1. Proyeksi titik pada bidang

Jika titik A diluar bidang H, maka proyeksi A pada bidang H ditentukan sebagai berikut :

a. Dari titik A dibuat garis g yang tegak lurus bidang H

b. Tentukan titik tembus garis g terhadap bidang H, misalnya titik B. Proyeksi titik A

pada bidang H adalah B.

42 | P a g e

A

2. Proyeksi garis pada bidang

Menentukan proyeksi garis pada bidang sama dengan menentukan proyeksi dua buah titik

yang terletak pada garis ke bidang itu, dan proyeksi garis tadi pada bidang merupakan

garis yang ditarik dari titik-titik hasil proyeksi.

a. Jika sebuah garis tegak lurus pada bidang maka proyeksi garis ke bidang itu berupa

titik.

b. Jika garis sejajar bidang maka proyeksi garis ke bidang merupakan garis yang

sejajar dengan garis yang diproyeksikan.

Contoh : Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 5 cm dan TA = 8 cm.

Hitunglah panjang proyeksi :

a. TB pada bidang ABCD

b. TB pada bidang TAC

43 | P a g eA B

CD

T

O

B

a. Proyeksi T pada bidang ABCD adalah titik O. Jadi proyeksi TB pada bidang ABCD =

BOBO = ½ .AC

= ½

= ½

= ½

= cm

b. Proyeksi TB pada bidang TAC = TO

TO =

=

=

= cm

44 | P a g e

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Ini hanyalah sebagian kecil permasalahan dalam matematika. Permasalahan matematika

tidaklah mencakup hal yang sempit tetapi juga mencakup hal yang lebih luas.

Demikian yang dapat kami paparkan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam

makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahannya, karena terbatasnya

45 | P a g e

pengetahuan dan kurangnya rujukan atau refrensi yang ada hubungannya dengan judul

makalah ini

Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman dapat memberikan kritik dan saran

yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan penulisan makalah

di kesempatan-kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis

khususnya dan juga para pembaca.

B. SARAN

pada materi tiga dimensi ini diharapkan supaya kita sebagai siswa untuk belajar

lebih giat hal ini dikarenakan materi tiga dimensi ini sangat penting untuk

dipelajari.

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta :

PT. Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.

MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, Semarang : CV.

Jabbaar Setia.

46 | P a g e

http://mafia.mafiaol.com/2014/04/cara-menentukan-sudut-antara-bidang-dan-bidang-pada-

bagun-ruang.html

http://muhammadredo29.blogspot.com/2013/10/proyeksi.html

http://media.p4tkmatematika.org/proyeksi-titik-pada-garis/

http://mafia.mafiaol.com/2014/04/cara-mencari-besar-sudut-antara-garis-dan-bidang.html

http://mafia.mafiaol.com/2014/04/cara-menghitung-sudut-antara-garis-dan-garis.html

http://mafia.mafiaol.com/2014/04/cara-menghitung-jarak-bidang-ke-bidang.html

47 | P a g e