DEMENSI TIGA

Setelah mempelajari diharapkan anda dapat:1. Menjelaskan unsur-unsur dalam ruang2. Menggambar jaring-jaring bangun ruang,3. Menentukan luas permukaan bangun ruang,4. Menentukan volume bangun ruang,5. Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang,6. Menentukan jarak antara dua garis dalam ruang,7. Menentukan besar sudut dalam ruang,8. Menggunakan konsep bangun ruang dalam penyelesaian

masalah.

KOMPETENSIPeserta diklat memiliki kemampuan memfasilitasi siswanya untuk menguasai pengetahuan dan keterampilan mereka dalam menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari dan di dunia kerja yang berkait dengan pengetahuan tentang Geometri Dimensi Dua dan Tiga

SUB KOMPETENSI

1. Peserta diklat memiliki kemampuan memfasilitasi siswanya untuk menguasai pengetahuan dan keterampilan yang berkait dengan transformasi bangun datar Peserta diklat memiliki kemampuan memfasilitasi siswanya untuk menguasai pengetahuan dan keterampilan yang berkait dengan luas permukaan dan volum bangun ruang

2. Peserta diklat memiliki kemampuan memfasilitasi siswanya untuk menguasai pengetahuan dan keterampilan yang berkait dengan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang

KD INDIKATOR MATERI

1. Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsur nya

2. Menghitung luas permukaan bangun ruang

3. Menerapkan konsep volum bangunruang

4. Menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang

a. Unsur-unsur bangun ruang diidentifikasi berdasar ciri-cirinya.

b. Jaring-jaring bangun ruang digambar pada bidang datar.

a. Luas permukaan bangun ruang dihitung dengan cermat.

a. Volum bangun ruang dihitung dengan cermat.

c. Jarak antar unsur dalam ruang dihitung sesuai ketentuan

d. Besar sudut antar unsur dalam ruang dihitung sesuai ketentuan

1. Bangun ruang dan unsur-unsurnya

2. Jaring-jaring bangun ruang

3. Permukaan bangun ruang dihitung luasnya

4. Volum bangun ruang

5. Hubungan antar unsur dalam bangun ruang

MACAM-MACAM BANGUN RUANGKUBUS

Adalah bangun ruang yang di batasi oleh enam sisi yang kongruen dan tiap-tiap sisi berbentuk persegi

ciri-ciri kubus• Semua bidang sisi kongruen dan tiap-tiap sisi

sebangun• Semua rusuk sama panjang• Semua diagonal ruang sama panjang• Semua bidang diagonal kongruen

SEBUTKAN

1. Bidang diagonal kubus2. Diagonal sisi kubus3. Diagonal ruang kubus4. Sisi kubus5. Titik sudut kubus6. Titik tengah kubus7. Rusuk kubus

Jaring-jaring kubus

• Anda dapat membedah suatu kubus dan meletakkan sisinya sedemikan hingga sisi-sisi tersebut terletak pada satu bidang seperti terlihat pada gambar berikut, yang disebut jaring-jaring kubus.

Contoh: jaring jaring kubus

Diketahui kubus ABCD PQRSgambarlah 2 jaring –jaring kubus yang berbeda

Soal latihan

Luas Permukaan Kubus

Karena permukaan kubus terdiri dari 6 persegi dan sisi persegi menjadi rusuk kubus, maka luas permukaan kubus yang panjang rusuknya s adalah 6 s2. Jika luas permukaan kubus dinyatakan sebagai L, maka

L = 6 s2

Contoh:Tentukan luas permukaan kubus yang panjang rusuknya 5 cm.

Penyelesaian: L = 6 s2 = 6 x 52 = 150Jadi luas permukaan kubus yang panjang rusuknya 5 cm adalah 150 cm2

Volume Kubus

Misal panjang, lebar, dan tinggi kubus adalah s . Dengan kata lain panjang rusuk kubus adalah s. Jika volume kubus dinyatakan dengan V dan rusuknya s, maka V = s3

Contoh:

Sebuah bak berbentuk kubus dengan panjang rusuk 1 m.Jika tebal bak tersebut 10 cm hitunglah: a.Volum bak tersebut b. Harga minyak dalam, jika harga I liter

Rp.8000,00. !

Jawab:a.Tinggi bak (t) = 90 cm Lebar bak (L) = 80 cm Panjang bak (p) = 80 cm Volum = p . l. t = 80 . 80 .90 = 576.000 cm3

= 576 liter

Harga minyak dalam bak

= Rp.8.000,00 576= Rp.4.608.000,00

Jarak garis ke garis, garis ke bidangContoh:

Diketahui sebuah kubus dengan panjang 8 cm, titik p pertengahan rusuk CG, Hitunglah:a. Jarak titik A ke titik Bb.Jarak titik A ke titik Cc. Jarak titik A ke titik Dd.Jarak titik A ke titik Ge. Jarak titik A ke titik BCf. Jarak titik C ke titik FHg. Jarak titik P ke titik BD

Jawab:a. Jarak titik A ke titik B = panjang garis AB = 8 cmb. Jarak titik A ke titik C = panjang diagonal AC = 8 cmc. Jarak titik A ke titik D = panjang garis AD = 8 cmd. Jarak titik A ke titik G = panjang garis AG = = =

= 8 cme. Jarak titik A ke garis BC = panjang garis AB = 8 cm

f. Jarak titik C ke garis FH =CO, dimana titik O adalah titik pertengahan FHPerhatikan COF, CF= 8 cm ,OF = 4

CO = =

= = 4 cm

g. Jarak titik P ke garis BD =PR, dimana titik R adalah titik pertengahan BD

Perhatikan RCP, siku-siku di C, RC= 4 cm ,PC = 4PR = =

= = 4 cm

∆

∆

IRISAN KUBUS dg sb afinitas

Pengertian sumbu afinitas :

1. Sumbu afinitas atau Garis Dasar atau Garis Kaliniasi adalah garis

persekutuan antara bidang datar dengan bidang alas bangun ruang

2. Sumbu afinitas diperoleh apabila telah ditemukan dua titik persekutuan antara bidang pengiris dengan bidang alas.Penentuan dua titik persekutuan itu tergantung pada apa yang diketahui didalam soal

3. Jika telah ditemukan ,selanjutnya sumbu afinitas tsb dapat digunakan untuk menentukan titik-titik sudut bidang irisan sehingga bidang irisan yang ditanyakan dapat di peroleh

Contoh menggambar irisan bidang dengan sumbu afinitas

H

A

E

G

D

B

C

Berbentuk segi lima

Suatu kubus ABCD.EFGH di iris oleh suatu bidang

F

H

A

D

B

C

E

G

F

H

A

E

G

F

D

menggambar irisan bidang dengan sumbu afinitasDiketahui kubus ABCD.EFHG dengan titik-titik P,Q dan R masing-masing titik tengah rusuk AE, EH, dan AB. Lukislah irisan limas dengan bidang PQR

B

P

Q

RK

LS

M

T

U

Buat garis melalui KR sehingga memotong rusuk BC di titik S dan perpanjangan DH di titik L

Buat garis melalui PQ sehingga memotong perpanjangan DA di titik K dan perpanjangan DH di titik M

Buat garis melalui ML sehingga memotong rusuk GH di titik U dan rusuk CG di titik T

Bidang PQRSTU yang terjadi adalah bidang irisan yang dimaksudkan

C

Langkah-langkah

Soal latihanPada kubus ABCD,EFGH dengan panjang rusuk a satuan,titik p terletak pada AE sehingga EP :PA = 1:2 dan titik Q pada CG sehingga GQ :QC = 1:2 Gambarlah dan tentukan luas irisan antara bidang BPQ dan kubus.

Soal latihanTunjukkan bahwa bidang AFH dan bidang BDG pada kubus ABCD.EFGH adalah dua bidang yang sejajar.

Jawab:• Bidang ADHE // bidang BCGF. Bidang ABGH

memotong kedua bidang menurut garis AH dan BG, maka AH // BG.......(1)

• Perhatikan bidang ABCD dan EFGH. Kedua bidang dipotong bidang BDHF berturut-turut pada garis BD dan HF. Karena itu BD // HF....(2).

• Dari (1) dan (2) didapat bidang AFH // bidang BDG.

Soal latihan

a.Rangka kubus di buat dari kawat dan menghabiskan kawat sepanjang 48 cm.berapakah volum kubus tersebut ?

b. Luas bidang yang diarsir adalah

6 cm6 cm

Sudut antara dua bidangSudut antara dua bidang yg berpotongan pada garis AB adalah sudut antara dua garis yang terletak bidang yang masing masing tegak lurus pada AB dan berpotongan pada satu titik.Bidang V dan M berpotongan pd garis AB. Diperoleh PQ tegak lurus AB dan RQ tegak lurus AB .Sudut PQR adalah sudut yang terbentuk antara bidang V dan bidang M

CONTOHDiketahui kubus ABCD,EFGH .Tentukan besar sudut antara bidang ABCD dengan bidang ADGF Penyelesaian :AF dan AB berpotongan di A AF pada bidang ADGF dan tegak lurus ADAB pada bidang ABCD dan tegak lurus ADMaka sudut yang terbentuk antara bidang ABCD dan ADGF adalah FAB = ½ sudut siku siku

= ½ 900

= 450

SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANGCONTOH

Diketahui kubus ABCD,EFGH dengan panjang rusuk 8 cm,tentukan besar sudut antara garis AH dengan bidang BFHD

88

8

H

M C

B

B

8

8

8

A

C

A M

H

8

4

INGATSin A = 3/5

COS A = 4/5

Tg A = 3/4

Soal latihan1. Berapa banyak kubus satuan yang masih

diperlukan untuk memenuhi kotak pada gambar berikut ini? [98 kubus]

2. Pada kubus ABCDEFGH, M dan N berturut-turut adalah titik-titik tengah sisi-sisi DC dan EF. Berbentuk apakah AMGN?

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan luas permukaan kubus. [A. 36 cm2, B. 108 cm2, C. 200 cm2, D. 216 cm2, E. 612 cm2]

Soal latihan

1. Gambarlah jaring jaring kubus yang bisa di buat

2. Buatlah sebanyak-banyaknya jaring-jaring kubus tanpa tutup dengan pola yang berlainan. Berapa banyak macam semua jaring-jaring kubus tanpa tutup?

3. Go to animasi kubus

Soal latihan

1. Pada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 4 cm; maka besar sudut antara bidang ABH dengan bidang ABCD adalah sebesar ... [A. 30°; B. 45°; C. 60°; D. 75°; E. 90°]

BALOKAdalah bagian ruang yang di batasi oleh tiga pasang sisi yang sepasang-sepasang kongruen

ABCD = EFGHABFE = DCGHADHE = BCGF

Tiga kelompok rusuk masing-masing sama panjangAB =DC = EF = HGAD = BC = EH = FGAE = BF = CG = DH

L= 2(p.l + p.t + l.t)

Luas permukaan balok

V = p.l.t = A.t Volum Balok

Contoh:Diketahui suatu balok ABCD.EFGHdengan panjang 8 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 5 cm. Tentukan panjang: diagonal bidang dan diagonal ruangnya.

Jawab:Panjang = AB = 8 cm Lebar = BC = 6 cmTinggi = AE = 5 cmDiagonal bidang = AC= = = 10 cm.Diagonal ruang = CE= = = = = 5 cm.

Contoh:Suatu kotak perhiasan berbentuk balok dengan panjang 20 cm, lebar 10 cm, dan tinggi 5 cm. Tentukan lebar kain minimal yang dapat digunakan untuk melapisi seluruh permukaan kotak perhiasan tersebut.

Jawab:A = 2 ((20 x 10 ) + ( 5 x 20 ) + ( 5 x 10)) = 2 ( 200 + 100 + 50) = 700Jadi kain pelapis yang diperlukan minimal 700 cm2.

Jaring-jaring balok

Go to jaring balok

Jaring-jaring balokBalok memiliki tiga pasang sisi yang ukurannya berbeda. Macam-macam jaring-jaring balok

IRISAN BALOK

Tentukan irisan balok melalui titik p, q, r

SOAL LATIHAN

1. Gambarlah jaring-jaring balok yang panjangnya 5 cm, lebarnya 4 cm, dan tingginya 6 cm.

2. Diketahui suatu balok ABCD.EFGH dengan panjang 8 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 5 cm. Tentukan panjang: diagonal bidang dan diagonal ruangnya.

Soal latihan

3. Tentukan luas balok dengan panjang 24 mm, lebar 18 mm, dan tinggi 5 mm.

4. Pada balok ABCD.EFGH, panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm dan EA = 10 cm. Tentukan luas bidang ACGE. [A. 100 cm2, B. 130 cm2, C. 144 cm2, D. 156 cm2, E. 169 cm2]

Soal latihan

1. Berat batu bata dengan volume 1 m3 adalah 2,25ton. Ada berapa batu bata berukuran 25 cm × 12,5cm × 10cm dapat dibawa truk yang kapasitasnya 13,5ton. [9.600 buah]

Kunci jawaban• Diagonal bidang AC = 5 cm• Diagonal ruang AG = 5

PRISMA• Prisma adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh dua

bidang sejajar yang berbentuk segi-n serta beberapa bidang yang saling berpotongan menurut garis-garis yang sejajar. Dua bidang yang sejajar tersebut dinamakan bidang alas dan bidang atas, sedangkan bidang-bidang lainnya disebut dengan bidang tegak, sedangkan jarak antara kedua bidang disebut tinggi prisma. Prisma yang rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang alasnya disebut prisma tegak. Jika tidak tegak lurus, disebut dengan prisma miring/condong

PRISMA TEGAK

Adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang segi-n yang beraturan dan sejajar (disebut alas dan atas ) dan bidang –bidang yang lain (di sebut bidang sisi tegak)

Contoh prisma tegak

VOLUM PRISMAV = L alas Tinggi

Luas Permukaan Prisma

Luas A ditentukan oleh :A = L1 H + L2 H + L3 H + L4 H + L5 H + L6 H + 2 x luas alas = ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 ) H + 2 x luas alas = keliling alas x tinggi + 2 x luas alas

Luas permukaan prisma

Luas permukaan prisma =( keliling alas x tinggi ) + ( 2 x luas alas )

Contoh

Gambarlah jaring-jaring prisma berikut.Setelah itu, tentukan luasnya.

Jawab:

Lanjutan

Jaring-jaring prisma tersebut adalah:  Luas alas = ( x 12 x 16) x 96Keliling alas = 12 + 16 + 20 = 48Jadi luas prisma = { ( 48 x 9 ) + 2 (96) } cm2 = 624 cm2.

Contoh

Sebuah prisma tegak ABC.DEF, dengan alas segitiga siku-siku di titik B. Jika panjang AB = 5 cm, BC = 12 cm, AC = 13 cm dan AD = 10 cm, volum prisma tersebut adalah ... cm2. [A. 300, B. 325, C. 600, D. 650, E. 780]

Contoh• Prisma segi – 4 beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk

6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong diagonal AC dan BD adalah T, jarak titik D ke TH = … cm.

a. 12/41 √41

b. 24/41 √41

c. 30/41 √41

d. 36/41 √41

e. 2√41

Jaring jaring prisma segi tiga

Go to jaring prisma

Jaring –jaring prisma segi lima

Go to soal lat prisma

Go to tes prisma

LIMAS

Limas adalah bangun ruang yang di batasi sebuah segi-n beraturan (alas) dan oleh bidang –bidang sisi tegak yang berbentuk segi tiga sama kaki

limasLimas T.ABCDE mempunyai 6 sisi, yaitu: ABCDE sebagai alas dan sisi tegak ABT, BCT, DET, AET Limas T.ABCD mempunyai 6 titik sudut, yaitu T sebagai puncak dan titik-titik A, B, C, D, dan E. 

Limas T.ABCDE mempunyai 10 rusuk, yaitu AB, BC, CD, DE, dan AE rusukrusuk yang terletak pada bidang alas dan TA, TB, TC, TD, dan TE yang merupakan rusuk tegak.

LIMAS• Limas adalah suatu bangun ruang yang

dibatasi oleh suatu daerah segi-n (yang disebut dengan bidang alas) dan beberapa segitiga (yang disebut dengan sisi tegak) yang memiliki satu titik sudut persekutuan (yang disebut dengan puncak).

Jaring limas segi tiga

Jaring limas segi empat

VOLUM LIMAS

V = Luas alas Tinggi

Luas limas

L = Luas alas + Luas seluruh sisi tegak

Contoh:Limas segi empat beraturan dengan panjang rusuk alas 6 cm dan tinggi 19 cm.Hitung volume limas tersebut !Jawab: r = 6 cm t = 10 cm

L.a = rr = 66 = 36V = La t = 36 10

= 360 cm3

CONTOHDiketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan rusuk AB = 12 cm dan tinggi limas 8 cm. Tentukan luas limas.

AB = 12 cmOF = EB = AB = 6 cmTO = 8 cm. TF = Tinggi ∆ BCT = cm = cm = 10 cm

LANJUTAN

L. persegi ABCD = ( 12 × 12 ) cm2 = 144 cm2.

L. limas T. ABCD = luas alas + luas seluruh sisi tegak= ( 144 +( 4 x 60 )) cm2 = 284 cm2.

Luas ∆ ABT = luas ∆ CDT = luas ∆ ADT = L.∆BCT = ( x BC x TF)cm2 = = ( x 12 x 10) cm2 = 60 cm2

TabungLuas Permukaan TabungGambar (a) berikut menunjukkan dua lingkaran yang berjari-jari sama, r, dan persegi panjang dengan lebar h dan panjang 2 x r, yang merupakan keliling lingkaran. Untuk membentuk silinder atau tabung di gambar (b), anda dapat menggulung persegi panjang sehingga sisi AB dan CD berimpit. Kedua lingkaran yang berjari-jari sama menjadi alas dan tutup tabung. Persegi panjang tersebut menjadi selimut tabung.

tabung

TABUNGTabung atau silinder adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh dua daerah kurva tertutup yang sejajar dan kongruen dan dibatasi juga oleh himpunan (atau tempat kedudukan) garis-garis sejajar yang memotong kedua kurva tertutup tersebut.

RUMUS

Luas selimut tabung = luas persegi panjang = 2 π r h

Luas alas dan tutup tabung masing-masing adalah π r2

Jika luas permukaan tabung L, maka L = 2 π r h + 2 π r2

L = 2 π r ( h + r )

VOLUM TABUNG

V =

V = volum = t = tinggi r = jari-jari

Volum Tabung = A.t = × r × r × t πdi mana r adalah jari-jari alas tabung dan t adalah tingginya

Contoh:Sebuah tangki bensin berbentuk tabung dengan tinggi 5 m dan jari-jari 140 cm.a. Hitunglah volum tabung tersebut

dalam literb. Berapa kg berat bensin tsb jika 1 liter

sama dg 0,75 kgc. Berapa jumlah harga bensin dalam

tangki jika 1 liter Rp.5000,00

Contoh:

Diameter atau garis alas suatu silinder 14 cm. Sedangkan tinggi silinder 10 cm.Tentukan luas silinder.

π = r = = 7 dan h = 10

A = 2 r ( h + r ) = { 2 x x 7 x (10 + 7 )} = 748πJadi luas silinder adalah 748 cm2

Jawab:

JAWAB:a) Volum tabung = V = =

= 30.800 liter

b) Berat bensin = 0,75 . 30.800 = 23.100 kg

c) Jumlah harga bensin = 30.800 Rp.5000,00 = Rp. 154.000.000,00

KERUCUT

kerucutKerucut adalah limas beraturan yang memiliki sisi alas berupa lingkaran.Ciri - ciri

a. Memiliki dua buah sisi yang berupa sisi alas berbentuk lingkaran dan satu buah sisi lengkung

b.Memiliki satu buah rusuk yang berupa keliling lingkaran

c. Memiliki satu buah titik puncak yaitu T

KERUCUT

Kerucut mempunyai 2 permukaan, yaitu bidang lengkung, yang disebut selimut kerucut, dan alas yang berbentuk lingkaran. Gambar di samping menunjukkan kerucut dengan: T sebagai titik puncak, alas lingkaran g, M proyeksi T pada alas, dan TM merupakan tinggi kerucut.

Juring Bila selimut kerucut tersebut Anda buka dan kemudian Anda bentangkan pada suatu bidang datar, maka Anda memperoleh bentuk berikut.

Bentuk ini berupa juring lingkaran yang berjari-jari a, yang disebut apotema, dan panjang busur sama dengan keliling lingkaran alas yang jari-jarinya R. Keliling lingkaran alas = 2 π R.

KERUCUT

Kerucut adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh suatu daerah kurva tertutup (yang disebut bidang alas) dan dibatasi juga oleh himpunan (atau tempat kedudukan) garis-garis yang melalui suatu titik (yang disebut puncak) dan melalui lingkaran tadi.

Jaring kerucut

Luas selimut kerucut=

¿𝜋 𝑅𝑎

Luas Kerucut

Luas kerucut = luas selimut + luas alasL = π r a + π r2

L = π r ( s + r )T = titik puncak kerucutt = tinggi kerucutr = jari – jari alas kerucuts = apotema ( sisi miring ) kerucut

Contoh: 1Sebuah kerucut mempunyai diameter 12 cm dan tingginya 8 cm.tentukanlah luas permukaan kerucut tersebut !penyelesaian

s2 = t2 + r2

= 82 +62

= 64 + 36 = 100 nilai s = 10 cm

Luas permukaan adalahL = π r ( s + r ) = (3,14 ) (6) ( 10 + 6) = 301,44Jadi luas permukaan kerucut adalah 301,44 cm2

CONTOH :2Selimut sebuah kerucut yang telah dibuka berupa setengah lingkaran yang berjari-jari 4 cm. Hitung luas kerucut.

Penyelesaian:

Keliling lingkaran alas = setengah keliling lingkaran yang berjari-jari 4 cm.

LANJUTANKeliling lingkaran alas = ( 4 ) = 4π

Keliling lingkaran alas = 2 π r.Jadi jari-jari lingkaran alas = 2 cm.Luas alas kerucut = π 22 cm2 = 4 π cm2.

Luas selimut kerucut = π R a cm2.

= π 2 (4) cm2 = 8 π cm2

Jadi luas kerucut = ( 4 π + 8 π ) cm2 = 12 π cm2.

Volum kerucut

Volum Kerucut = rrπ t, = π r2t

r adalah jari-jari alas kerucut, t adalah tingginya

BOLA

Luas Permukaan BolaJika L menyatakan luas permukaan bola yanga berjari-jari R, maka

L = 4 π r 2

contohTentukan luas bola yang berjari-jari 7.Penyelesaian π =

Luas Bola = 4 π r2

= 4 × x 72

= 616

Contoh:Tentukan luas bola yang berjari-jari 10.

Penyelesaian

Luas Bola = 4 π r2 = 4 × x 102

= 400 π

Volum bola

V =

V = Volume

r = jari -jari = 3,14 atau

Contoh:Hitunglah volume bola yang berjari-jari 100 cmPenyelesaian r = 100 cmV =

= . 3,14 . 1003

= . 3140000

= 4186666,67