MODUL MATEMATIKA

SUKU BANYAK

DISUSUN OLEH :SANATI, SPd

NIP. 197510102007012022

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI (2)

PENGANTAR (3)

PETUNJUK (3)

STANDAR KOMPETENSI (3)

KOMPETENSI DASAR (3)

INDIKATOR (3)

KEMAMPUAN PRASYARAT (3)

PRETEST (3)

Kegiatan belajar 1 : Teorema sisa (4)

Kegiatan belajar 2 : Teorema factor (9)

Kegiatan belajar 3 : Penyelesaian suku banyak (12)

PENUTUP (14)

KUNCI JAWABAN UJI KOMPETENSI (15)

DAFTAR PUSTAKA (19)

PENGANTAR

Selamat berjumpa kembali dengan modul matematika. Mudah – mudahan kita selalu sehat walafiat dan dalam lindungan Allah SWT. Modul yang akan anda pelajari ini berisi materi “ SUKU BANYAK” ini adalah merupakan modul yang mengkaji tentang menentukan hasil bagi dan sisa, serta menentukan faktor dan akar-akar dari suatu suku banyak.

PETUNJUK

Modul ini terdiri dari tiga kegiatan belajar yaitu :

Kegiatan belajar 1 : Teorema sisa

Kegiatan belajar 2 : Teorema factor

Kegiatan belajar 3 : Penyelesaian suku banyak

STANDAR KOMPETENSI

4. Menggunakan aturan sukubanyak dal KOMPETENSI DASAR

4.2 Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah

INDIKATOR

Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat* Menentukan sisa pembagian suku-banyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan

teorema sisa.* Menentukan faktor linear dari suku-banyak dengan teorema faktor.

* Menyelesaikan persamaan suku-banyak dengan menggunakan teorema faktor.

KEMAMPUAN PRASYARAT Untuk mempermudah dalam memahami materi yang ada pada modul ini, anda diharapkan sudah dapat menentukan pembagian dari suku banyak.

PRETES

Untuk mengetahui kemampuan awal anda , jawablah beberapa pertanyaan berikut ini :Dengan menggunakan metode bagan atau metode bersusun pendek tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak berikut :

1. 3x - 2x + 1 dibagi oleh x – 22. x - 4x + 10x + 8 dibagi oleh x - 1

MATEMATIKAKELOMPOK 8

“ Menentukan Faktor Rasional ”

Disusun oleh :

Abdul Hatta Gunawan W (01)

Crhistopher Fernando (08)

Depriyan Dermawan (09)

Haidar Ali (16)

Menentukan Faktor Rasional

Dua hal yang dibahas dibagian awal yaitu menyelidiki kemungkinan - kemungkinan faktor rasional dan menyelidiki banyaknya faktor real positif dan negatif, dapat mempermudah kita untuk menemukan faktor-faktor rasional yang ada dalam suatu suku banyak.

I. Menentukan Faktor Rasional Dari Suku BanyakUntuk menentukan faktor – faktor suku banyak dapat ditentukan

dengan menggunakan langkah – langkah sebagai berikut: Langkah 1 :

Jika ( x – k ) adalah faktor dari suku banyak f(x) = a x + a x + ... + a x +a x + a maka nilai – nilai k yang mungkin adalah faktor – faktor bulat dari a.

Langkah 2 :Dengan cara coba – coba, substitusi nilai x = k sehingga diperoleh f(x) = 0 atau dapat menggunakan cara Horner dengan sisa = 0. Jika demikian maka ( x – k ) adalah faktor dari f(x). Akan tetapi jika f(k) ≠ 0 maka ( x – k ) bukan faktor dari f(x).

Langkah 3 :Setelah diperoleh sebuah faktor ( x – k ), faktor – faktor yang lain dapat ditentukan dari sukubanyak hasil bagi f(x) oleh ( x – k ).

II. Contoh Soal Tentukan factor-factor dari p(x) = 2x³ - x² - 7x + 6

Diketahui (x-2) adalah factor p(x) = 2x³ + x² + ax – 6. salah satu factor yang lain adalah …

Penyelesain : Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi

bulat dari 6 ada 8 yaitu nilai-nilai k itu kita substitusikan ke p(x), misalnya k = 1 diperoleh p(x) = 2x³ - x² - 7x + 6 p(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6

= 2 - 1 - 7 + 6 = 0

oleh karena p(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu factor dari p(x) = 2x³ - x² - 7x + 6. untuk mencari factor yang lain, kita tentukan hasil bagi p(x) oleh (x – 1) dengan pembagian sintetis :

Koefisen sukubanyak p(x) = 2x3 – x2 -7x + 6 adalah 2 -1 -7 6

K = 1 2 1 -6 + 2 1 -6 0

Hasil baginya: H(x) = 2x² + x – 6

Karena hasil baginya adalah H(x) = 2x² + x – 6 = (2x – 3)(x + 2 ) dengan demikian 2x³ - x² - 7x + 6 = (x – 1)(2x² + x – 6)2x³ - x² - 7x + 6 = ( x -1)( 2x – 3)( x + 2)Jadi faktor - faktor nya adalah ( x -1), ( 2x – 3), ( x + 2)

Dit : (x-2) adalah factor p(x) = 2x³ + x² + ax – 6 Dik : salah satu factor yang lainnya….? Jawab :kita tentukan terlebih dahulu koefisien x² yaitu a = ? Jika (x – 2) maka p(2) = 0

⇒ 2.23 + 22 + 2a – 6 = 0 16 + 4 + 2a – 6 = 0 2a + 14 = 0 2a = - 14 a = - 7 p(x) = 2x³ + x² + (-7)x – 6 ⇒2x³ + x²- 7x - 6 berarti koefisien p(x) adalah :

2 1 -7 -6 K = 2 4 10 6 +

2 5 3 0 Hasil baginya : H(x) = 2x² + 5x + 3 = (2x + 3)( x + 1) Jadi faktor lainnya adalah (2x + 3) dan ( x + 1)

KEGIATAN 2

4.3 TEOREMA FAKTOR 4.3.1 Pengertian Faktor dan Teorema Faktor Teorema 3

Teorema faktor itu dapat dibaca sebagai berikut :1. Jika ( x – k ) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0 dan2. Jika f(k) = 0 maka ( x – k ) adalah faktor dari f(x)

Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak, ( x – k ) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0

BUKTI : 1. Misalkan ( x – k ) adalah faktor dari f(x), maka f(x) dapat dituliskan sebagai f(x) = ( x – k ) . H(x) Dengan H(x) adalah suku banyak hasil bagi dengan bentuk tertentu. Substitusi nilai x = k ke dalam persamaan f(x) = ( x – k ) . H(x), sehingga

diperoleh: f(k) = ( k – k ) . H(k) f(k) = 0 . H(x) f(k) = 0 Jadi, jika ( x – k ) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 02.Misalkan f(x) dibagi dengan ( x – k ) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa f(k).

Dengan menggunakan teorema 1, pernyataan ini dapat dituliskan sebagai f(k) = ( x – k ) . H(x) + f(k) untuk f(k) = 0, persamaan di atas berubah menjadi f(x) = ( x – k ) . H(x) Hubungan ini menunjukkan bahwa ( x – k ) adalah faktor dari f(x).Berdasarkan uraian 1 dan 2 tersebut terbukti bahwa : ( x – k ) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0

Contoh 1 Tunjukkan bahwa x – 4 adalah faktor dari 2x - 9x + 5x - 3x - 4 Jawab : Dengan cara Horner atau substitusi ditunjukkan bahwa nilai f(4) = 0 Cara substitusi : f(4) = 2(4) - 9(4) + 5(4) - 3(4) - 4 = 256 - 576 + 80 - 12 – 4 = 0 Karena f(4) = 0 , maka (x – 4) adalah faktor dari 2x - 9x + 5x - 3x – 4

Contoh 2 Tentukan nilai a, jika f(x) = x + ax - 11x + 30 mempunyai faktor (x + 3) Jawab : f(x) = x + ax - 11x + 30 mempunyai faktor (x + 3), syaratnya f(-3) = 0 f(-3) = (-3) + a(-3) - 11(-3) + 30

0 = -27 + 9a + 33 + 30 -36 = 9a a = -4 Jadi f(x) = x + ax - 11x + 30 mempunyai faktor (x + 3) untuk nilai a = -4

4.3.2 Menentukan Faktor – Faktor Suatu Sukubanyak Untuk menentukan faktor – faktor sukubanyak dapat ditentukan dengan menggunakan langkah – langkah sebagai berikut:langkah 1Jika ( x – k ) adalah faktor dari sukubanyak f(x) = a x + a x + ... + a x +a x + a maka nilai – nilai k yang mungkin adalah faktor – faktor bulat dari a .Langkah 2Dengan cara coba – coba, substitusi nilai x = k sehingga diperoleh f(x) = 0 atau dapat menggunakan carra Horner dengan sisa = 0. Jika demikian maka ( x – k ) adalah faktor dari f(x). Akan tetapi jika f(k) 0 maka ( x – k ) bukan faktor dari f(x) .

Langkah 3Setelah diperoleh sebuah faktor ( x – k ), faktor –faktor yang lain dapat ditentukan dari sukubanyak hasil bagi f(x) oleh ( x – k ).

Contoh 3 Tentukan faktor – faktor linier dari sukubanyak f(x) = x + 4x - 36x - 16x + 128Jawab :f(x) = x + 4x - 36x - 16x + 128, suku tetapan a = 128Nilai k yang mungkin adalah faktor – faktor bulat dari a = 128 yaitu 1, 2, 4,

8. Dengan mencoba satu persatu bilangan diatas, maka kita tentukan sisa pembagaian 0, untuk k = 2 dan 4

2 1 4 -36 -16 128

2 12 -48 128 1 6 -24 -64 0 -2 -2 -8 64 1 4 -32 0 x + 4x – 32 =0 ( x + 8 ) ( x – 4 ) =0Jadi faktor – faktor dari suku banyak f(x) = x + 4x - 36x - 16x + 128 adalah ( x – 2), ( x + 2 ), ( x + 8 ), ( x – 4 )

Contoh Soal 1. Dengan menggunakan teorema faktor tunjukkan bahwa : a.( x + 5 ) adalah faktor dari 4x + 8x - 15x + 45x – 900

2. Tentukan nilai a sehingga x + 4x - ax + 4x + 1 mempunyai faktor x + 1

3. Hitunglah nilai a dan b jika ( x - x – 2 ) adalah faktor dari x3 - 2x2 + ax + b

4. Tentukan faktor – faktor linier yang mungkin dari setiap suku banyak berikut ini a. x - 7x + 6

b. 2x - 7x - 2x + 13x + 6

KUNCI JAWABAN

1. a) ( x + 5 ) adalah faktor dari 4x + 8x - 15x + 45x - 900 Dengan substitusi diperoleh f( -5 ) = 4(-5) + 8(-5) - 15(-5) + 45(-5) – 900 = 900 + 600 – 375 – 225 – 900 = 0Karena f( -5 ) = 0, maka( x + 5 ) merupakan faktor dari 4x + 8x - 15x + 45x –900

2. Nilai a sehingga x + 4x - ax + 4x + 1 mempunyai faktor x + 1 -1 1 4 -a 4 1

-1 -3 a+3 -a-7

1 3 -a-3 a+7 -a-6 = 0

-a = 6 a = -6

Jadi nilai a = -6

3. Nilai a dan b jika ( x - x – 2 ) adalah faktor dari x3 - 2x2 + ax + b ( x - x – 2 ) = ( x + 1) (x – 2) f(-1) = (-1)3 - 2(-1)2 + a(-1) + b = 0 = -1 - 2 - a + b = 0 = -3 - a + b = 0

= a + b = 3 .....................pers.1

f (2) = (2)3 - 2(2)2 + a(2) + b = 0 8 - 8 + 2a + b = 0 2a + b = -12 ......................pers.2

Dari pers.1 dan pers.2 diperoleh : -a + b = 3 2a + b = -12 -3a = 15 a = 5 maka disubtitusikan ke pers. 1

-a + b = 3(-5)+ b = 3 b = 8

Jadi, nilai a dan b masinng-masing adalah = 5 dan 8

4a) Faktor – faktor dari x2 - 7x + 6

x x -6 -1

Jadi faktor –faktor dari x2 - 7x + 6 adalah ( x – 6 ) , ( x – 1).

b) Faktor – faktor dari 2x - 7x - 2x + 13x + 6

Koefisiennya : 2,-7,-2,13,6 dimasukan ke cara Horner.

-1 2 -7 -2 13 6

-2 9 -7 -6

2 2 -9 7 6 0

4 -10 -6 2 -5 -3 0

(x + 1)(x – 2)(2x - 5x – 3) =0

(x + 1)(x – 2)(2x + 1)(x – 3) =0

Jadi faktor – faktor dari 2x - 7x - 2x + 13x + 6 adalah (x + 1), (x – 2), (2x + 1), (x – 3)

DAFTAR PUSTAKA

Sartono wirodikromo, MATEMATIKA , Jakarta, Erlangga

B.K Noormandiri, MATEMATIKA, Jakarta, Erlangga

Drs. Sumadi dkk, MATAMATIKA, Jakarta, Tiga Serangkai