logika - fpb & aritmatika modulo 2015

Download Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

Post on 23-Feb-2018

225 views

Category:

Documents

4 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    1/37

    1

    Teori Bilangan

    1

    FPB & ARITMATIKA MODULO

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    2/37

    2

    Bilangan Bulat

    Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak

    mempunyai pecahan desimal, misalnya 8,

    21, 8765, -34, 0

    Berlaanan dengan bilangan bulat adalah

    bilangan riil yang mempunyai titik desimal,seperti 8!0, 34!25, 0!02!

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    3/37

    3

    Sifat Pembagian pada Bilangan Blat

    "isalkan adan bbilangan bulat, a0!

    a !abi" membagi b #a divides b$ %ika terdapatbilangan bulat c sedemikian sehingga b & ac!

    '(tasi) a* b %ika b& ac, c#dan a0!

    $onto! 1) 4 * 12 karena 12 ) 4 & 3 #bilangan bulat$atau 12 & 4 3! +etapi 4 * 13 karena 13 ) 4 & 3!25#bukan bilangan bulat$!

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    4/37

    4

    Teorema %lidean

    Teorema 1 'Teorema %lidean()

    "isalkan m dan n bilangan bulat, n 0!

    ika m dibagi dengan n maka terdapatbilangan bulat unik q #quotient$ dan r

    #remainder$, sedemikian sehingga

    m& nq. r #1$dengan 0 r/ n!

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    5/37

    5

    $onto! *)#i$ 1877 & 20, sisa 47)

    187 & 7 20 . 47

    #ii$ 223 & 8, sisa 2)22 & 3#8$ . 2

    tetapi 22 & 3#7$ 1 salah

    karena r& 1 #syarat 0 r/ n)

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    6/37

    6

    Pembagi Ber"ama Terbe"ar 'FPB(

    "isalkan adan bbilangan bulat tidak n(l!

    embagi bersama terbesar #B greate"tommon di+i"or atau gcd$ dari a dan b adalah

    bilangan bulat terbesar dsedemikian hingga d * a

    dan d* b!

    alam hal ini kita nyatakan baha B#a, b$ & d!

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    7/377

    $onto! ,)

    akt(r pembagi 45) 1, 3, 5, , 15, 45

    akt(r pembagi 36) 1, 2, 3, 4, , 12, 18, 36akt(r pembagi bersama dari 45 dan 36

    adalah 1, 3,

    B#45, 36$ & !

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    8/378

    Teorema *) "isalkan m dan n bilangan bulat,

    dengan syarat n 0 sedemikian sehingga

    m& nq. r , 0 r/ n

    maka B#m, n$ & B#n, r$

    $onto! ,) m& 60, n& 18,

    60 & 18 3 . 6

    maka B#60, 18$ & B#18, 6$ & 6

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    9/379

    Algoritma %lidean

    +u%uan) alg(ritma untuk mencari B dari

    dua buah bilangan bulat!

    enemu) uclid, se(rang matematikaan

    unani yang menuliskan alg(ritmanya

    tersebut dalam buku,Element!

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    10/3710

    "isalkan mdan nadalah bilangan bulat tak negati9 dengan

    mn! "isalkan r0& mdan r1& n!

    :akukan secara berturut-turut pembagian untuk memper(leh

    r0& r1q1. r2 0 r2/ r1,

    r1& r2q2. r3 0 r3/ r2,

    rn 2& rn1qn1 . rn 0 rn/ rn1,

    rn1 & rnqn . 0

    "enurut +e(rema 2,

    BB#m, n$ & BB#r0, r1$ & BB#r1, r2$ & ; &BB#rn 2, rn 1$ & BB#rn 1, rn$ & BB#rn, 0$ & rn

    adi, BB dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak n(l dari

    runtunan pembagian tersebut

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    11/3711

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    12/3712

    procedure Euclidean(input m, n : integer,

    output PBB : integer)

    { Mencari PBB(m, n) dengan syarat m dan n bilangan tak-

    negatif dan m n

    Masukan: m dan n, m n dan m, n 0

    Keluaran: PBB(m, n)}

    Kamus

    r : integer

    Algoritma:

    while n0 do

    r m mod n

    m n

    n r

    endwhile

    { n = 0, maka PBB(m,n) = m }

    PBB m

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    13/3713

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    14/3714

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    15/3715

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    16/3716

    >elati9 rima

    ua buah bilangan bulat adan bdikatakan relatifprima%ika B#a, b$ & 1!

    $onto! .)

    #i$ 20 dan 3 relati9 prima sebab B#20, 3$ & 1!

    #ii$ 7 dan 11 relati9 prima karena B#7, 11$ & 1!#iii$ 20 dan 5 tidak relati9 prima sebab B#20, 5$

    & 5 1!

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    17/3717

    ika adan brelati9 prima, maka terdapat bilangan

    bulat mdan nsedemikian sehingga ma. nb & 1

    $onto! /)Bilangan 20 dan 3 adalah relati9 prima

    karena B#20, 3$ &1, atau dapat ditulis

    2 ! 20 . #13$ ! 3 & 1 #m& 2, n& 13$

    +etapi 20 dan 5 tidak relati9 prima karena B#20,

    5$ & 5 1 sehingga 20 dan 5 tidak dapat

    dinyatakan dalam m! 20 . n ! 5 & 1!

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    18/3718

    Aritmeti-a Modlo

    "isalkan adan mbilangan bulat #m 0$! ?perasi

    am(d m#dibaca @am(dul( mA$

    memberikan sisa %ika adibagi dengan m!

    '(tasi) am(d m& r sedemikian sehingga

    a& mq. r, dengan 0 r/ m!

    m disebut modl" atau modlo, dan hasilaritmetika m(dul( m terletak di dalam himpunan0, 1, 2, ;, m 1C #mengapaD$!

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    19/3719

    $onto! 0)Beberapa hasil (perasi dengan (perat(rm(dul()

    #i$ 23 m(d 5 & 3 #23 & 5 4 . 3$

    #ii$ 27 m(d 3 & 0 #27 & 3 . 0$

    #iii$ 6 m(d 8 & 6 #6 & 8 0 . 6$

    #iE$ 0 m(d 12 & 0 #0 & 12 0 . 0$

    #E$ 41 m(d & 4 #41 & #5$ . 4$

    #Ei$ 3 m(d 13 & 0 #3 & 13#3$ . 0$

    Penjelasan untuk (v):

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    20/3720

    Kongruen

    "isalnya 38 m(d 5 & 3 dan 13 m(d 5 & 3, makadikatakan 38 13 #m(d 5$

    #baca) 38 k(ngruen dengan 13 dalam m(dul( 5$!

    "isalkan a dan b bilangan bulat dan m adalahbilangan 0, maka a b #m(d m$ %ika m habismembagi a b!

    ika atidak k(ngruen dengan bdalam m(dulus m,maka ditulis a /b#m(d m$ !

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    21/3721

    $onto! )

    17 2 #m(d 3$ ( 3 habis membagi 1 ! " # 1$)

    7 15 #m(d 11$

    (11 habis membagi ! ! 1$ # !"")

    12 2 #m(d 7$

    ( tidak habis membagi 1" ! " # 1% )

    7 15 #m(d 3$

    (3 tidak habis membagi ! ! 1$ # !"")

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    22/37

    :atihan

    +entukan sisa pembagian 7103(leh 10

    22

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    23/37

    Gisa pembagian 7103(leh 10 merupakan

    bilangan satuan

    "encari nilai satuan yang dimaksud dapat

    menggunakan m(dul( 10

    Gatuan dari 7103& 7103#"(d 10$

    & #72$51H 71#"(d 10$

    & #-1$51#"(d 10$ H 7 #"(d 10 $

    & #-1$ #"(d 10$ H 7 # "(d 10 $& #-7$ #"(d 10$ & 3

    adi sisa pembagian 7103(leh 10 adalah 3

    23

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    24/37

    24

    ab#m(d m$ dapat dituliskan sebagai

    a& b. km #kadalah bilangan bulat$

    $onto! 12)

    17 2 #m(d 3$ 17 & 2 . 5 3

    7 15 #m(d 11$ 7 & 15 . #2$11

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    25/37

    25

    am(d m& r dapat %uga ditulis sebagai

    a

    r#m(d m$

    $onto! 11)

    #i$ 23 m(d 5 & 3 23 3 #m(d 5$

    #ii$ 27 m(d 3 & 0 27 0 #m(d 3$

    #iii$ 6 m(d 8 & 6 6 6 #m(d 8$

    #iE$ 0 m(d 12 & 0 0 0 #m(d 12$

    #E$ 41 m(d & 4 41 4 #m(d $

    #Ei$ 3 m(d 13 & 0 3 0 #m(d 13$

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    26/37

    26

    Teorema 3) "isalkan madalah bilangan bulat

    p(siti9!

    1!ika a b #m(d m$ dan c adalah sembarangbilangan bulat maka

    #i$ #a. c$ #b. c$ #m(d m$

    #ii$ acbc #m(d m$#iii$ apbp#m(d m$ ,pbilaagn bulat tak-negati9

    2! ika ab#m(d m$ dan cd#m(d m$, maka

    #i$ #a. c$ #b. d$ #m(d m$

    #ii$ acbd#m(d m$

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    27/37

    27

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    28/37

    28

    $onto! 1*)

    "isalkan 17 2 #m(d 3$ dan 10 4 #m(d 3$,

    maka menurut +e(rema 4,

    17 . 5 & 2 . 5 #m(d 3$ 22 & 7 #m(d 3$

    17 ! 5 & 5 2 #m(d 3$ 85 & 10 #m(d 3$

    17 . 10 & 2 . 4 #m(d 3$ 27 & 6 #m(d 3$

    17 ! 10 & 2 4 #m(d 3$ 170 & 8 #m(d 3$

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    29/37

    29

    +e(rema 4 tidak memasukkan (perasi pembagian

    pada aritmetika m(dul( karena %ika kedua ruas

    dibagi dengan bilangan bulat, maka kek(ngruenantidak selalu dipenuhi!

    =(nt(h)

    10 4 #m(d 3$ dapat dibagi dengan 2

    karena 102 & 5 dan 42 & 2, dan 5 2 #m(d 3$

    14 8 #m(d 6$ tidak dapat dibagi dengan 2,karena 142 & 7 dan 82 & 4, tetapi 7 4 #m(d 6$!

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    30/37

    30

    Balikan Modulo (modulo invers)

    i dalam aritmetika bilangan riil, inEersi#inverse$ dari perkalian adakah pembagian!

    =(nt(h) InEersi 4 adalah 14,

    sebab 4 14 & 1!

    i dalam aritmetika m(dul(, masalahmenghitung inEersi m(dul( lebih sukar!

  • 7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015

    31/37

    31

    ika adan mrelati9 prima dan m 1, mak