BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Linear Programing merupakan metode matematik dalam mengalokasikan

sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan

keuntungan dan meminimumkan biaya. Linear Programing banyak diterapkan dalam

masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. Konsep dasar Linear

Programing telah ada pada jenjang pendidikan dasar, yang dimulai pengenalan

lambang bilangan yang direpresentasikan melalui gambar benda di sekitar siswa,

kemudian penjumlahan, pengurangan, perkalian serta membandingkan banyaknya

benda. Di Sekolah Menengah Pertama (SMP) konsep diperluas melalui

pembelajaran materi Sistem Persamaan Linier Satu Variabel (SPLSV), kemudian

ditingkatkan melalui materi Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV), di

Sekolah Menengah Atas (SMA) telah diperkenalkan sistem pertidaksamaan linier

dan materi khusus Linear Programing yang menyajikan persoalan sehari-hari,

kemudian menerjemahkan permasalahan ke dalam model matematika,

menyelesaikan sistem pertidaksamaan yang merupakan kendala atau pembatas,

mencari penyelesaian optimum, menjawab permasalahan. Metode yang digunakan

adalah metode grafik dengan menggunakan uji titiksudut dan garis selidik. Pada

tingkat universitas, terdapat mata kuliah khusus Linear Programing yang membahas

metode penyelesaian Linear Programing yang tujuannya mencari keuntungan

maksimum dan mengeluarkan biaya minimum. Metode yang diberikan pada

universitas adalah metode grafik, metode simpleks, metode analisis dual, metode

transportasi.

Dengan melihat pengalaman dan kenyataan tersebut, tampak menarik apabila

dikaji secara khusus mengenai materi yang berkaitan dengan Linear Programing.

Pada kesempatan ini penulis akan membahas pada materi yang berkaitan dengan

Linear Programing di satuan pendidikan SMA/MA dan materi-materi yang terkait

pada Linear Programing pada satuan pendidikan SD/MI, SMP/MTs, dan Perguruan

Tinggi.

BAB II

PEMBAHASAN

A. LINEAR PROGRAMING

Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam

mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti

memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan

dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. PL berkaitan dengan

penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang

terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.

a. Formulasi Permasalahan

Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan

mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas.

Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber

daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas),

batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan

bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.

Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam

formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi

anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan

dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.

b. Pembentukan model matematik

Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan

optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan

konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model

matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita

diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi

kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel

keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian

pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan

bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan

solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu.

Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan.

Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan

tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.

Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber

daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau

pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain.

Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas

maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika

mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan

secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematik

menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat

struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu

mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi

yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan

mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model

matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer

kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.

Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua

karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi

matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang

penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang

dibutuhkan.

Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut :

Fungsi tujuan :

Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Sumber daya yang membatasi :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2

…

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm

x1, x2, …, xn ≥ 0

Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel

keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang

dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-

masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan

pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit

variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai

koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bmmenunjukkan

jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan

tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif.

Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut

kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni

akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.

Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang

penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya.

Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk

maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan

pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang

lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan

koefisien pada fungsi pembatas.

B. METODE SIMPLEKS

Pada bagian terdahulu masalah Linear Programing dengan dua peubah

keputusan masih dapat diselesaikan dengan metode grafik. Akan tetapi pada

kenyataannya masalah Linear Programing yang dihadapi kebanyakan lebih dari dua

peubah keputusan dengan berbagai macam batasan, sehngga dipandang tidak

efisien bila menggunakan metode grafik untuk mencari penyelesaian optimumnya.

Menghadapi masalah Linear Programing yang memiliki peubah keputusan lebih dari

dua, metode simpleks yang lebih efisien. Metode simpleks merupakan

pengembangan metode aljabar yang hanya menguji sebagaian dari jumlah

penyelesaian yang layak dalam bantuan tabel. Penggunaan dalam bentuk tabel ini

membuat metode simpleks lebih siap untuk digunakan dengan bantuan komputer.

a. Bentuk-Bentuk Masalah Linear Programing

Kendala utama masalah Linear Programing dapat berbentuk ≤ atau = , I = 1,2,3,4,…

m (ada m banyaknya kendala, k peubah keputusan) kendala yang berbentuk

pertidaksamaan dapat diubah menjadi persamaan beberapa cara sebagai berikut

(i) Bentuk kendala xj ≤ bi. dapat diubah dengan menyisipkan peubah tambahan

st pada ruas kiri sedimikian hingga + st= bt dengan st ≥ 0. Dalam hal ini, st = 0, bila =

bi dan sj > 0 bila <>i

(ii) <>i, dapat diubah dengan menyisipkan peubah tambahan c1 pada ruas kanan

sedemikian sehingga = + ti atau i, dengan bi ≥ 0

Sesuai dengan fungsinya, s1 disebut peubah kekurangan (slack variabel) dan

t1 disebut peubah kelebihan (surplusvariabel).

Berdasarkan perubahan di atas, himpunan kendala utama akan berubah menjadi

susunan persamaan linear.

 = bi, i = 1, …, m

ialah dengan memberi lambang peubah-peubah kekurangan atau kelebihan dengan

xj dimulai dari j = k + 1 samapi j = n. supaya penyelesaian susunan ini menjadi layak

masih harus dipenuhi kendala tidak negative

Xj ≥ 0, j = 1, …, n

Pada umumnya susunan persamaan linear (1) di atas termasuk jenis yang

mempunyai peyelesaian tidak terhingga banyaknya. Di antara peyelesaian (1) dicari

yang juga memenuhi kendala tidak negative (2), dan inipun pada umumnya masih

tidak terhingga banyaknya. Kemudian, diantara penyelesaian layak yang tidak

terhingga banyaknya ini, kita mencari yang mengoptimumkan fungsi tujuan, utnuk

memperoleh penyelesaian yang optimum

Untuk menyesuaikan dengan bentuyk kendala yang baru, fungsi tujuan yang semula

berbentuk

Z = dilengkapi menjadi

Z = dengan ck+1 = ck+2 = ck+3 …= cn = 0

Oleh karena itu, masalah Linear Programing dapat digambarkan dalam berbagai

bentuk seperti maksimasi atau minimasi dan dengan kendala dapat pula berbentuk

lebih kecil atau sama dengan, sama dengan, atau lebih besar atau sama dengan (≤,

=, ≥), maka diperlukan suatu bentuk baku yang dapat memenuhi prosedur

penyelesaian yang optimum. Bentuk baku yang sudah umum digunakan untuk

meyelesaikan model Linear Programing dapat dikemukakan sebagai berikut

1. bentuk baku

bentuk baku dari masalah Linear Programing dengan m kendala dan n peubah,

merupakan bentuk umum Linear Programing. Keutamaan dari bentuk baku ini

adalah: (a) fungsi tujuan berbentuk maksimum atau minimum, (b) semua

kendala utama digambarkan dalam bentuk persamaan, (c) semua peubah

keputusan tidak negative, dan (d) nilai ruas kanan setiap kendala tidak negative .

dalam bentuk baku maslah Linear Programing dapat digambarkan bentuk soal

sebagai berikut

mencari xj, j = 1, …, n

yang memenuhi = bi I = 1, …, m

atau memaksimumkan atau meminimumkan

Z =

Apabila fungsi tujuan diamaksimumkan maka soal disebut berpola maksimum  ,

dan bila fungsi tujuan diminimumkan maka soal disebut berpola minimum.

2. bentuk kanonik

bentuk kanonik mempunyai karakteristik sebagai berikut: (a) fungsi tujuan

berbentuk maksimasi atau minimasi, (b) semua kendala utama berbentuk lebih

kecil atau sama dengan (≤) untuk fungsi tujuan maksimum atau semua kendala

utama berbentuk lebih besar atau sama dengan (≥) untuk fungsi tujuan

minimum, (c)semua peubah keputusan tidak negative. Dalam bentuk kanonik

masalah Linear Programing dapat digambarkan bentuk soal sebagai berikut :

mencari xj, j = 1,2 …n

yang memenuhi , I = 1, … , m

x1 ≥ 0

untuk maksimumkan Z =

hubungan dalam semua kendala utama berbentuk disebut berbentuk kanonik

maksimum

mencari xj, j = 1,2 …n

yang memenuhi , i = 1, … , m

x1 ≥ 0

untuk maksimumkan Z =

hubungan dalam semua kendala utama berbentuk ≥ disebut berbentuk kanonik

minimum

Contoh

Tulis bentuk baku dari soal yang berbunyi :

Mencari x,y yang memenuhi

5x + 4y ≤ 200

3x + 6y = 180

8x + 5y ≥ 160

x, y ≥ 0 kendala tidak negative

untuk meminimumkan Z = 4x + 5y

penyelesaian :

sisipkan peubah s pada kendala pertama dan peubah t pada kendala ketiga

sehingga soal menjadi:

mencari x, y, s, t yang memenuhi

5x + 4y + s = 200

3x + 6y = 180

8x + 5y - t = 160

x, y, s, t ≥ 0 kendala tidak negative

untuk meminimumkan Z = 4x + 5y + 0s + 0t

soal ini sudah berbentuk baku dengan x,y peubah asli, s peubah kekurangan dan t

peubah kelebihan

b. Tahapan-Tahapan Penyelesaian Metode Simpleks

1. Tahap pra analisis

i. mengenali masalah PL yang diajukan :

beberapa keterangan yang perlu diajukan pada tahap ini, yaitu apakah fungsi tujuan

meminimumkan atau memaksimumkan?

Terdapat berapa banyak peubah asli?

Terdapat berapa banyakkendala utama?

ii. Konversi semua kendala kedalam bentuk baku (system persamaan)

Masukkan peubah kekurangan (slack) atau,

Masukkan peubah kelebihan (surplus) atau,

Masukkan peubah semu (artifisial)

2. Tahap analisis

i Tentukan pemecahan layak dasar (basis) awal

ii Sajikan data masalah PL ke dalam tabel simpleks awal

iii Tentuka kolom peubah yang akan masuk dalam dasar, kolom ini disebut kolom

kunci. Apabila masalah PL berpola maksimum keuntungan, maka

penentuan kolom kunci  ini ditandai oleh nilai pada baris zj – cj yang memepunyai

nilai negative terbesar (zj – cj ¸0). Dan apabila berpola minimum biaya,

maka kolom kunciditandai oleh nilai pada baris zj – cj yang mempunyai nilai positif

terbesar (zj – cj > 0)

iv Tentukan peubah yang akan keluar dasar (disebut baris kunci) dengan Ri yang

terkecil.

v  Cari unsur baru yang terdapat pada baris kunci dengan cara membagi semua

unsur yang terdapat pada baris kunci dengan unsur kunci. Unsur kunci adalah

unsur yang terdapat pada persilangan pada baris kunci dengan kolom kunci.

vi  Mencari unsur baru pada baris yang laindengan aturan unsur pada baris baru =

unsur pada baris lama dikurangi dengan hasil kali unsur pada kolom kunci

dengan unsur baru baris kunci.

vii  Apabila penyelesaian optimum belum trcapai pada tabel yang bersangkutan,

maka ulangi kembali langkah (iii) sampai dengan ditemukannya penyelsaian

optimum. Penyelesaian optimum tercapai bila zj – cj ≤ 0 untuk semua j pada pola

minimum.

Untuk mengoperasikan data-data soal dan menerapkan tahapan-tahapan di atas

disusun tabel yang kemudian disebut tabel simpleks sebagai berikut

Tabel simpleks

Maks/Min

Ci

CB XB X1 X2 …. xn bn R1

CB1

CB2

.

.

.

CBM

XB1

XB2

.

.

.

XBM

a11

a21

.

.

.

am1

a12

a22

.

.

.

am2

….

….

….

….

….

….

a1n

a2n

.

.

.

amn

b1

b2

.

.

.

bm

R1

R2

.

.

.

Rm

Zj Z1 Z2 …. Zmn z

Zj - Cj Z1 – c1 Z2 – c2 …. Zn - Cn

Keterangan tabel :

CJ : koefisien ongkos dari fungsi tujuan dan koefisien peubah kekurangan/ kelebihan/semu

CB : Koefisien ongkos untuk peubah dasar XB

XB : Peubah yang menjadi dasar dalam tabel yang ditinjauXj : Peubah-peubah lengkap (asli/kekurangan/kelebihan/semu)aij : koefisien teknisbi : suku tetap (tidak negatif) atau nilai ruas kanan setiap kendalazj :  (hasil kali dari CB dengan kolom aij )z :  (hasil kali dari CB dengan bi

zj - cj : selisih zj dengan cj

Apabila tabel bersangkutan belum optimal dan Xb terpilih sebagai dasar baru maka

dibuat kolom Ri yang diperoleh dengan Ri = , hanya untuk aek > 0.

c. Pemecahan awal yang layak

Penyelesaian masalh Linear Programing dengan metode simpleks, menghendaki

adanya pemecahan awal yang layak pada awal perhitungan.tanpa adanya

pemecahan awal yang layak (dasar awal yang layak), maka tabel simpleks tidak

dapat dibentuk. Hal demikian tentu saja tidak dapat ditemui pad setiap permasalahn

Linear Programing. Untuk dapat menyelesaikan permasalahn Linear Programing

sehingga didapat pemecahan awal yang layak. Pendekatan dasar yangdapat

ditempuh adalah dengan penambahan peubah semu (artificial variabel).

Contoh

Tentukan x1 dan x2 tidak negative dan maksimumkan X = 4x1+5x2 yang memenuhi

5x1 + 4x2 ≤ 200

3x1 + 6x2 = 180

8x1 + 5x2 ≥ 160

X1, x2 ≥ 0

Soal diatas diuba ke bentuk baku dengan menyisipkan peubah kekurangan ke

dalam kendala ke-1 dan peubah kelebihan ke dalam kendala ke-3, sedang kendala

ke-2 tidak memerlukan karena sudah berbentuk persamaan, jadi aoal sekarang

adalah

Tentukan x1, x2, x3, x4 tidak negative dan

Maksimumkan Z = 4x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4

5x1+ 4x2 + x3 = 200

3x1 + 6x2 = 180

8x1 + 5x2 - x4 = 160 dan

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

sekarang dipeiksa apakah semua kendala utama tersebut memliki peubah

dasar yang layak?

Kendala ke-1 : memiliki peubah dasar yang layak yaitu x3

Kendala ke-2 : belum memiliki peubah dasar

Kendala ke-3 : memiliki peubah dasar tapi tidak layak, karena memuat

nilai negative untuk -x4

Oleh karena itu, tabel awal simpleks belum dapat dibuat. Untuk mendapatkan

pemecahan awal yang layak, maka kendala ke-2 dan ke-3 perlu ditambahkan

peubah semu yang bertindak sebagi peubah dasar yang layak.

Sebagai akibat, timbul syarat perlu supaya soal asli mempunyai penyelesaian

optimum ialah bahwa dalam tabel optimum peubah semu harus bernilai nol.

Denagn demikian diharapkan bahwa peubah semu segera keluar dari dasar karena

koefisien ongkosnya negative besar, sehingga soal menjadi:

Tentukan x1, x2, x3, x4 tidak negative dan

Maksimumkan Z = 4x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 – Mx5 – Mx6

5x1+ 4x2 + x3 = 200

3x1 + 6x2 -x5 = 180

8x1 + 5x2 - x4 -x6 = 160 dan

x1, x2, x3, x4 , x5, x6 ≥ 0

sekarang soal sudah siap untuk dimasukan ke dalam tabel simpleks awal

C. ANALISIS PRIMAL - DUAL

Setiap persoalan Linear Programing selalu mempunyai dua macam analisis,

yaitu : analisis primal dan analisis dual yang biasanya disebut analisis primal-dual.

Model Umum Persoalan Primal - Dual

Bentuk Primal:

Maksimumkan : 

syarat ikatan : ≤ bi untuk i= 1, 2, 3, ...,m.

dan Xj ≥ 0, j = 1, 2, ... , n

Kalau akan dinyatakan menjadi Bentuk Dual :

Minimumkan : F = 

syarat ikatan : ≥ Cj , untuk j= 1, 2, 3, ...,n.

Yi ≥ 0, I = 1,2,… m

Dimana: Zopt = adalah samadengan Fopt =

Aturan umum dalam perumusan persoalan Linear Programing menyangkut Bentuk

Primal dan Dual adalah :

Bentuk Primal Bentuk Dual

Memaksimumkan fungsi tujuan

Meminimumkan fungsi tujuan, dan

sebaliknya.

Koefisien fungsi tujuan (Cj )

Nilai Sebelah Kanan (NSK) fungsi

kendala

NSK fungsi kendala primal-primal

(bi ) Koefisien fungsi tujuan

Koefisien peubah ke-j Koefisien kendala ke-j

Koefisien kendala ke-i Koefisien peubah ke-i

Peubah ke-j yang positif (≥ 0)

Kendala ke-j dengan tandaketidaksam

aan “lebih

besar daripada atau sama dengan “

(≥).

Peubah ke-j tandanya tidak dibatasi

Kendala ke-j yang bertanda sama

dengan

Kendala ke-i yang bertanda sama

dengan Peubah ke-i tandanya tidak dibatasi

Kendala ke-i yang bertanda

ketidaksamaan (≤) Peubah ke-i yang positif (≥)

D. METODE TRANSPORTASI

Metode Transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk

mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama ke

tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah .

Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya-

biaya alokasi dari satu sumber atau beberapa sumber ke tempat tujuan yang

berbeda.

Tabel awal dapat dibuat dengan dua metode, yaitu:

1. Metode North West Corner (NWC) => dari pojok kiri atas ke pojok kanan

bawah

Kelemahan : tidak memperhitungkan besarnya biaya sehingga kurang efisien.

2. Metode biaya terkecil => mencari dan memenuhi yang biayanya terkecil dulu.

Lebih efisien dibanding metode NWC.

Setelah tabel awal dibuat, tabel dapat dioptimalkan lagi dengan metode:

1. Stepping Stone (batu loncatan)

2. Modified Distribution Method (MODI)

Selain metode-metode di atas masih ada satu metode yang lebih sederhana

penggunaannya yaitu metode Vogel’s Approximation Method (VAM).

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Berdasarkan kajian materi di atas, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa konsep

dasar materi Linear Programing telah diperkenalkan pada jenjang pendidikan dasar

yaitu di SD/MI yang dimulai dari pengenalan lambang bilangan yang

direpresentasikan melalui gambar yang ada di sekeliling siswa, melaukan

penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian serta membandingkan

banyaknya benda. Di jenjang pendidikan menengah yaitu SMP/MTs telah

diperkenalkan persamaan linier satu variabel dan persamaan linier dua variabel

serta system persamaan linier dua variabel. Pada tingkat SMA/MA terdapat materi

khusus di kelas XII yaitu Linear Programing yang membahas menerjemahkan

permasalahan ke dalam model matematika, menyelesaikan system pertidaksamaan

yang merupakan kendala atau pembatas, mencari penyelesaian optimum,

menjawab permasalahan. Metode yang digunakan adalah metode grafik dengan

menggunakan uji titik sudut dan garis selidik. Pada tingkat universitas, terdapat mata

kuliah khusus Linear Programing yang membahas metode penyelesaian Linear

Programing yang tujuannya mencari keuntungan maksimum dan mengeluarkan

biaya minimum. Metode yang diberikan pada universitas adalah metode grafik,

metode simpleks, metode analisis dual, metode transportasi.

DAFTAR PUSTAKA

Tiro Arif, Bernard. 2004. Pengenalan Manajemen Sains. Andira Publisher. Makassar

Wahyuni Tri dan Nuharini Dewi. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya.

Departemen Pendidikan Nasional. Usaha Makmur. Surakarta.

https://id.wikipedia.org/wiki/Pemrograman_linier (di akses 10 november 2015)

lagaknya.blogspot.com/2010/09/linear-programming.html ( di akses 10 november

2015)

http://kuliah-manajemen.blogspot.co.id/2009/12/linear-programming-metode-

grafik.html (di akses 10 november 2015)