penyelesaian model linear programming · pdf fileprogram studi agribisnis. ... contoh soal 3:...

Click here to load reader

Post on 01-Mar-2018

352 views

Category:

Documents

15 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Prof. Dr. Ir. ZULKIFLI ALAMSYAH, M.Sc.

    PROGRAM STUDI AGRIBISNISFAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS JAMBI

    Maximize or MinimizeZ = f (x,y)

    Subject to:g (x,y) = c

    PENYELESAIAN MODEL LINEAR PROGRAMMING SECARA GRAFIK

    B

    C

    2X1 = 8

    4

    D

    A

    Daerah feasible

    X2

    X10

    3X2 = 155

    6X1 + 5X2 = 30

  • Prinsip dan Langkah-langkah

    Hanya dilakukan untuk model yang hanya terdiri dari 2(dua) variabel keputusan.

    Gambarkan setiap fungsi kendala dalam bentuk kurva

    1. Untuk kemudahan, ubah semua fungsi kendala dengantanda atau menjadi tanda = sehinggamemberikan persamaan garis lurus.

    2. Gambarkan persamaan dalam bentuk garis tersebutdalam bentuk kurva dalam satu salib sumbu siku-sikuyang sama.

    3. Tentukan titik-titik perpotongan kurva dengan sumbuvertikal dan sumbu horizontal, dengan cara sbb:

    Untuk menentukan titik potong dengan sumbuvertikal, dimisalkan nilai pada sumbu horizontalsama dengan nol. Demikian juga berlakusebaliknya.

    zulkifli_alamsyah 2

  • Prinsip dan Langkah-langkah

    4. Tentukan daerah yang memenuhi persyaratan setiapkendala.

    Tanda pada fungsi kendala menunjukkan daerahkendala dari fungsi tersebut berada mulai dari garishingga daerah yang berada disebelah kanan garis.

    Berlaku sebaliknya untuk tanda pada fungsi kendala Tentukan daerah yang memenuhi persyaratan semua kendala

    (daerah kalayakan berproduksi; feasible region)

    5. Tentukan koordinat titik-titik sudut daerah kelayakan (titikekstrim) dengan cara menghitung titik potong 2 gariskendala pada titik tersebut.

    6. Hitung nilai fungsi tujuan pada setiap titik ekstrim.7. Nilai fungsi tujuan terbesar pada titik ekstrim menunjukkan

    solusi optimal untuk persoalan maksimisasi. Demikiansebaliknya untuk persoalan minimisasi, solusi optimal diperoleh pada titik ekstrim dengan nilai terendah.

    zulkifli_alamsyah 3

  • Prinsip dan Langkah-langkah

    Gambarkan setiap fungsi kendala dalam bentuk kurva1. Tentukan titik-titik perpotongan kurva dengan sumbu vertikal

    dan sumbu horizontal, dengan cara sbb: Untuk menentukan titik potong dengan sumbu vertikal,

    dimisalkan nilai pada sumbu horizontal sama dengannol. Demikian juga berlaku sebaliknya.

    2. Tentukan daerah yang memenuhi persyaratan setiapkendala. Tanda atau .

    Tentukan daerah yang memenuhi persyaratan semuakendala (daerah kalayakan berproduksi) dan tentukantitik-titik sudutnya (titik ekstrim).

    Cari koordinat pada setiap titik ekstrim dengan caramenentukan titik potong antara dua kurva kendala.

    Hitung nilai fungsi tujuan pada setiap titik ekstrim danteteapkan titik yang memberikan nilai fungsi tujuanterbesar (utk maksimisasi) atau terkecil (utk minimisasi)

    zulkifli_alamsyah 4

  • 5Magister Agribisnis UNJA Zulkifli Alamsyah

    ProsesWaktu yang dibutuhkan per unit Total jam

    tersediaMeja KursiPerakitan 4 2 60Pemolesan 2 4 48Laba/unit 80.000 60.000

    Model Linear Programming:Maks.: Laba = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp.10. 000)Dengan kendala:

    4M + 2K 60 2M + 4K 48

    M 0K 0

    Perhatikan kembali persoalan sebagai berikut (Kuliah ke-2):

  • Penyelesaian secara grafik:

    Gambarkan masing-masing fungsi kendala pada salib sumbu yang sama.

    34

    32

    28

    24

    20

    16

    12

    8

    4

    4 8 12 16 20 24 28 32 34M

    K

    4M + 2K 60

    2M + 4K 48B(12,6)

    C(15,0)

    A(0,12)

    Pada A: M = 0, K = 12Laba = 6 (12) = 72

    Laba: Z = 8M + 6K

    Pada B: M = 12, K = 6Laba = 8(12) + 6(6) = 132

    Pada C: M = 15, K = 0Laba = 8 (15) = 120

    O

    Feasible Region

    M=0 K=12K=0 M=24

    M=0 K=30K=0 M=15

    Keputusan:M = 12 dan K = 6Laba yg diperoleh = 1.320.000

    zulkifli_alamsyah 6

    Penentuan Solusi Optimal dengan persamaan Fungsi Tujuan.

  • Penyelesaian secara grafik:

    Penentuan Titik Optimal dengan kurva Fungsi Tujuan.

    34

    32

    28

    24

    20

    16

    12

    8

    4

    4 8 12 16 20 24 28 32 34M

    K

    4M + 2K 60

    2M + 4K 48B(12,6)

    C(15,0)

    A(0,12)

    O

    Feasible Region

    M=0 K=12K=0 M=24

    M=0 K=30K=0 M=15

    Laba: Z = 8M + 6K

    atau

    K = Z /6 8/6 M

    Slope kurva FT = - 8/6 = - 4/3

    Gambarkan kurva FT pada sembarang titikdgn slope -4/3.

    Geser secara paralelkurva FT sampai padatitik ekstrim terluar daridaerah feasibel (titik B)

    Titik yang diperolehadalah kombinasiproduksi yang optimal.

    zulkifli_alamsyah 7

  • Reddy Mikks Co. mempunyai sebuah pabrik kecil yang menghasilkan 2 jenis cat yaitu utk eksterior dan interior. Bahanbaku utk cat tsb adalah bahan A dan bahan B, yg masing2 tersedia maksimum 6 ton dan 8 ton per hari. Kebutuhan masing2 jenis cat per ton thdp bahan baku disajikan pd tabel berikut:

    Contoh soal 2: Perusahaan Cat.

    Bahan bakuKebuthn bahan baku per

    ton cat KetersediaanMaksimum (ton)

    Eksterior InteriorBahan A 1 2 6Bahan B 2 1 8

    Permintaan harian cat interior lebih tinggi dari permintaan cateksterior, tetapi tdk lebih dari 0.5 ton per hr. Sedangkanpermintaan cat interior maksimum 2 ton per hari. Keuntunganper ton cat interior dan eksterior masing-masing Rp 3 juta danRp. 2 juta..Berapa masing-masing cat harus diproduksi oleh perusahaanuntuk memaksimumkan pendapatan kotor?

    zulkifli_alamsyah 8

  • Definisi variabel keputusan: CE = jmlh cat eksterior yg diproduksi (ton/hari)CI = jmlh cat interior yg diproduksi (ton/hari)

    Perumusan persoalan kedalam model LP

    Perumusan fungsi tujuan: Maks.: Pdpt kotor, Z = 2 CE + 3 CI (dlm ribuan)

    Perumusan Fungsi Kendala: Kendala ketersediaan bahan baku A:

    CE + 2 CI 6

    Kendala ketersediaan bahan baku B:2 CE + CI 8

    Kendala Permintaan :CI - CE 0.5 : jml maks Kelebihan CI thdp CE

    CI 2 : permintaan maks CI

    Kendala non-negatif:CI 0; CE 0.

    zulkifli_alamsyah9

  • 8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1 2 3 4 5 7 8 CE

    CI

    2CE + CI 8

    CE + 2CI 6

    Pada A:Z = 2(0) + 3(0.5) = 1.5

    Pendapatan kotor:Z = 2 CE + 3 CI

    O

    Keputusan:CE = 3.33 dan CI = 1.87Pendapatan kotor:

    Z = 12.17 juta.

    CI - CE 0.5

    CI 2

    A (0, 0.5) D (3.33, 1.84)B (1.5, 2) E (4, 0)C (2, 2)

    Pada B:Z = 2(1.5) + 3(2) = 9

    Pada C:Z = 2(2) + 3(2)= 10

    Penyelesaian secara grafik:

    zulkifli_alamsyah 10

    D

    E

    Pada D:Z = 2(3.33)+3(1.84)= 12.17

    Pada E:Z = 2(4) = 8

    B

    A

    C

    Feasible Region

  • Seorang petani berusaha memanfaatkan lahan pertanian yangdimilikinya seluas 3 hektar secara swadaya. Ada 3 kemungkinankomoditi yang dapat diusahakan pada lahan tersebut, yaitu karet,kelapa sawit dan kakao. Pada saat ini modal yg tersedia pada petanisebanyak Rp. 10 juta dan jam kerja yg tersedia dlm keluarga sebanyak60 jam per minggu.

    Kebutuhan sumberdaya dan keuntungan untuk setiap hektar komoditiadalah sbb:

    Rumuskanlah persoalan tersebut kedalam model Linear Programming?

    Uraian Karet Kelapa Sawit KakaoModal Rp 4 juta Rp 5 juta Rp 8 jutaJam Kerja/Mg 20 jam 24 jam 30 jamKeuntungan/ha Rp 6 juta Rp 8 juta Rp 10 juta

    Latihan 2: Perumusan model

    zulkifli_alamsyah 11

  • Carilah solusi dari persoalan berikut menggunakan grafik.

    Latihan 3: Penyelesaian soal secara grafik

    MAX 12 X1 + 15 X2ST.

    3 X1 + 5 X2 43X1 + X2 12X1 3

    X2 5X1, X2 0

    MAX 20 X1 + 25 X2 (dalam satuan Rp. juta)ST.

    4 X1 + 5 X2 403 X1 + 4 X2 31

    X1 + X2 10X2 5

    X1, X2 0

    [a]

    [b]

    zulkifli_alamsyah 12

  • Carilah solusi dari persoalan berikut menggunakan grafik.

    Latihan 4: Penyelesaian soal secara grafik

    [a]

    [b] Max. 3X1 + 4X2Subject to

    2X1 + X2 600X1 + X2 2255X1 + 4X2 1000X1 + 2X2 150X1 , X2 0

    Max. 30X1 + 25X2Subject to

    2X1 + X2 40X1 + 3X2 45X1 12X1 , X2 0

    zulkifli_alamsyah 13

  • Beberapa konsep penting dalam penyelesaianpersoalan Linear Programming secara Grafik

    Extreem points:Titik-titik sudut daerah kelayakan (feasbile region)

    Infeasible Solution: Tidak ada solusi karena tdk semua kendala terpenuhi.

    Unbounded Solution: Solusi yang disbebabkan karena fungsi tujuan dibuat tanpabatas dan tdk melanggar funggsi kendala.

    Redundancy: Redundancy terjadi karena adanya kendala yg tdkmempengaruhi daerah kelayakan.

    Alternative optima:Solusi yang tdk memberikan nilai yang unik, terjadi bilagaris fungsi tujuan berimpit dgn garis salah satu kendala.

    zulkifli_alamsyah 14

  • Persoalan Minimisasi:

    Min.: Biaya = 20 M + 8 K (dlm satuan Rp.10. 000)Dengan kendala:

    4M + 2K 60 (kendala sumberdaya)2M + 4K 48 (kendala sumberdaya)

    M 2 (kendala target)K 4 (kendala target)

    Bila pada contoh sebelumnya, biaya produksi setiap unit meja dan kursi masing-masing Rp.200.000 dan Rp. 80.000, dan perusahaan bertujuan utk meminimumkan biaya produksi, maka persoalan yang dihadapi adalah persoalan MINIMISASI.

    Dengan biaya minimum untuk menghasilkan output tertentu. Diperlukan batasan mengenai target yang akan dicapai Secara umum tanda ketidak-samaan adalah (harus ada)

    Contoh soal 3: Industri Meubel

    zulkifli_alamsyah 15

  • 34

    32

    28

    24

    20

    16

    12

    8

    4

    4 8 12 16 20 24 28 32 34M

    K

    4M + 2K 60

    2M +