GEOMETRI

Soal dan Penyelesaian

SUDUT

Nama : Gita Cahyaningtyas

NIM : 06081381419048

Latihan halaman 82!

1. Pada kubus ABCD.EFGH, hitunglah sudut antara garis BG dengan bidang ACGE dan

BA dengan ACGE.

2. P.ABCD merupakan limas beraturan. Panjang sisi persegi adalah 2 cm dan panjang rusuk

tegak PA adalah √3 cm. Jika 𝛼 adalah sudut antara bidang PAB dan bidang PCD.

Hitunglah sin 𝛼.

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4. Titik T pada perpanjangan CG sehingga

CG = GT. Jika sudut antara TC dan bidang BDT adalah 𝛼, maka tan 𝛼 = … (UMPTN

1999)

4. Pada bidang empat T.ABC, bidang alas ABC merupakan sama sisi, TA tegak lurus pada

bidang alas, panjang TA sama dengan 1 dan besar sudut TBA adalah 30°. Jika 𝛼 adalah

sudut antara bidang TBC dan bidang alas, maka tan 𝛼 = … (UMPTN 1998)

5. Diketahui bidang empat T.ABC. TA segitiga = TB = 5, TC = 2, CA = CB = 4, AB = 6.

Jika 𝛼 sudut antara TC dan bidang TAB, maka cos 𝛼 = … (UMPTN 1992)

Penyelesaian:

1. a) Diketahui kubus ABCD.EFGH

Maka, didapatlah sudut dalam segitiga:

Dik : 𝐵𝐺 = 𝑎√2

𝐵𝐺′ =1

2𝐵𝐷 =

1

2𝑎√2

sin 𝛼 = 𝐵𝐺′

𝐵𝐺

=

1

2𝑎√2

𝑎√2

= 1

2

𝛼 = 30°

Jadi, sudut antara garis BG dengan bidang ACGE adalah 𝟑𝟎° .

b) Diketahui kubus ABCD.EFGH

Maka, didapatlah sudut dalam segitiga:

Dik: 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎

𝐴𝐶 = 𝑎√2

sin 𝛼 = 𝐵𝐶

𝐴𝐶

= 𝑎

𝑎√2

= 1

√2 .

√2

√2

= 1

2√2

𝛼 = 45°

Jadi, sudut antara garis BA dengan bidang ACGE adalah 𝟒𝟓° .

2. P.ABCD

Maka, didapatlah sudut 𝛼 = 2𝛽 dalam segitiga ∆𝑃𝑄𝑅 :

Dik: 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐴 = 2𝑐𝑚

𝑃𝐴 = √3 𝑐𝑚

Mencari panjang PQ

Panjang PQ dapat dicari dengan menggunakan ∆𝑃𝑄𝐴

Dik:

𝑃𝐴 = √3 𝑐𝑚

𝐴𝑄 = 1

2. 𝐴𝐵 =

1

2. 2 = 1 𝑐𝑚

PQ = √𝑃𝐴2 − 𝐴𝑄2

PQ = √(√3 )2

− 12

PQ = √3 − 1

PQ = √2 𝑐𝑚

Karena ∆𝑃𝑄𝑅 merupakan segitiga samasisi, maka panjang PR = PQ = √2 𝑐𝑚.

Mencari panjang QR

Berdasarkan gambar, QR // AD // BC. Maka panjang QR = AD = BC = 2 cm.

Mencari sin 𝛽

sin 𝛽 = 𝑄𝑂

𝑃𝑄

= 1

√2 .

√2

√2

= 1

2√2

𝛽 = 45°

Kita ketahui bahwa 𝛼 = 2𝛽, maka:

𝛼 = 2𝛽

𝛼 = 2. 45°

𝛼 = 90°

sin 𝛼 = 1

Jadi, nilai sin 𝜶 sama dengan 1.

3. Kubus ABCD.EFGH

Maka, didapatlah sudut 𝛼 dalam segitiga ∆𝐶𝑇𝑂:

dengan

TC = 8cm

𝑂𝐶 = 1

2. 𝐴𝐶 =

1

2. 4√2 = 2√2 𝑐𝑚

tan 𝛼 = 𝑂𝐶

𝑇𝐶

= 2√2

8

= 1√2

4

= 1

4√2

Jadi, nilai tan 𝜶 sama dengan 𝟏

𝟒√𝟐 .

4. T.ABC

Mencari panjang TB

TA = a = 1

< 𝐵 = sin a = 30°

< 𝐴 = sin b = 90°

𝑇𝐵 = b =?

mencari TB menggunakan aturan sinus:

𝑎

sin 𝑎 =

𝑏

sin 𝑏

1

sin 30° =

𝑏

sin 90°

11

2

= 𝑏

1

b = 11

2

b = 2

Mencari panjang AB

TA = 1

TB = 2

AB = √𝑇𝐵2 − 𝑇𝐴2

AB = √22 − 12

AB = √4 − 1

AB = √3

Karena ∆𝐴𝐵𝐶 merupakan segitiga samasisi, maka AB = AC = BC = √3 .

Mencari panjang AO

AC = √3

CO = 1

2𝐵𝐶 =

1

2√3

AO = √𝐴𝐶2 − 𝐶𝑂2

AO = √(√3 )2 − (1

2√3)2

AO = √3 −3

4

AO = √12

4−

3

4

AO = √9

4

AO = 3

2

Mencari tan 𝛼

tan 𝛼 = 𝑇𝐴

𝐴𝑂

= 13

2

= 2

3

Jadi, nilai tan 𝜶 sama dengan 𝟐

𝟑 .

5. T.ABC

Dik:

TA = TB = 5cm

TC = 2cm

CA = CB = 4 cm

AB = 6cm

Mencari panjang CD

AC = 4cm

AD = 3cm

CD = √𝐴𝐶2 − 𝐴𝐷2

CD = √42 − 32

CD = √16 − 9

CD = √7

Mencari panjang TD

TA = 5

AD = 3

TD = √𝑇𝐴2 − 𝐴𝐷2

TD = √52 − 32

TD = √25 − 9

TD = √16

TD = 4

Mencari cos 𝛼

TC = 2cm

TD = 4cm

CD = √7 cm

cos 𝛼 = 𝑇𝐷2+ 𝑇𝐶2− 𝐶𝐷2

2.𝑇𝐷.𝑇𝐶

= 42+ 22− √7

2

2.4.2

= 16+ 4 − 7

16

= 13

16

Jadi, nilai cos 𝜶 sama dengan 𝟏𝟑

𝟏𝟔 .