bab 6 geometri - jejakseribupena.files.wordpress.com · sebagai berikut. - menggunakan tiga buah...

182 | Jejak Seribu Pena, Geometri SD

BAB 6

GEOMETRI

1. BANGUN DATAR

A. Sudut

Sudut adalah bagian bidang yang dibatasi oleh dua garis

berpotongan.

Garis AB dan AC dinamakan kaki sudut. Titik A dinamakan titik

sudut. Titik sudut ditulis huruf kapital.

a. Nama Sudut

Sudut diberi tanda “ ” (dibaca “sudut”). Suatu sudut dapat diberi nama dengan cara

sebagai berikut.

- Menggunakan Tiga Buah Huruf Kapital

Dalam penamaan sudut menggunakan tiga buah huruf kapital, titik sudutnya harus di

tengah. Misalnya BAC atau CAB (A adalah titik sudut).

- Menggunakan Sebuah Huruf Kapital

Dalam penamaan sudut menggunakan sebuah huruf kapital, namanya diambil dari

titik sudutnya. Misalnya A (A adalah titik sudut).

- Menggunakan Nomor

Untuk menyingkat nama sudut dapat digunakan nomor.

BAC dapat ditulis 1A

CAD dapat ditulis 2A

BAD dapat ditulis 21 ,A

b. Satuan Sudut

Satuan sudut yang akan diperkenalkan adalah satuan sudut sistem sexasimaal dan radian.

1. Satuan Sudut Sistem Sexasimaal

Satuan sudut sistem sexasimaal (sistem dasar 60-an) memiliputi derajat, menit, dan

detik.

Definisi:

Besar sudut

A B

C

A B

C D

1 2


Satu derajat ditulis 1o adalah besarnya sudut yang dihasilkan oleh perputaran sejauh

360

1 keliling lingkaran. Jadi, putaran

360

11 atau 360putaran1 .

Untuk memperhalus pengukuran diadakan pembagian besar satuan sudut, yaitu:

1 derajat = 60 menit, ditulis 1o = 60

1 menit = 60 detik, ditulis 1 = 60

Alat pengukur sudut adalah busur derajat.

Contoh:

1. Nyatakan sudut-sudut 30o dalam putaran.

Solusi:

putaran12

1putaran

360

13030

2. Nyatakan sudut-sudut 12

5putaran dalam derajat.

Solusi:

15036012

5putaran

12

5

3. Ubahlah sudut 63,54o ke dalam ukuran derajat-menit-detik.

Solusi:

63,54o = 63

o + 0,54

o = 63

o + 0,54 × 60 = 63

o + 32,4 = 63

o + 32 + 0,4 = 63

o + 32

+ 0,4 × 60 = 63o + 32 + 24 = 63

o3224

Jadi, 63,54o = 63

o3224.

4. Ubahlah sudut 125o2035 ke dalam ukuran derajat.

Solusi:

xoyz

3600

60 zyx

125o2035

3600

356020125 3,0125 3,125

2. Satuan Sudut Radian (Radial)

Definisi:

1 radian (radial), ditulis 1 rad atau 1 adalah besarnya sudut yang dihasilkan oleh

perputaran sebesar jari-jari lingkaran. Jadi, 180radπ , dengan = 3,14.

Contoh:

1. Nyatakan sudut-sudut 315o dalam radian.


Solusi:

radian4

π5

180

π315315

2. Nyatakan sudut-sudut radian6

π5dalam radian.

Solusi:

150π

180

6

π5radian

6

π5

c. Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Sudut dengan Bilangan Real dengan

Satuan Sudut

Dua buah sudut atau lebih dapat dijumlahkan, dikurangkan, atau dikalikan dengan

bilangan real.

Contoh:

Hitunglah

a. 65o2035 + 26

o4854

b. 86o15 53,5

o

c. 2

1× 145

o35

Solusi:

a. 65o2035 + 26

o4854 = 65

o +

20 + 35 + 26

o + 48 + 54

= 81o +

68 + 89

= 81o +

60 + 8 + 60 + 29

= 81o +

1

o + 8 + 1 + 29

= 82o + 9 + 29

= 82o929

b. 86o15 53,5

o = 86

o15 53

o30

= 85o + 1

o + 15 (53

o + 30)

= 85o + 60 + 15 53

o 30

= 32o + 45

= 32o 45

c. 2

1× 145

o35 =

2

1× (145

o35) =

2

1× (145

o + 35) = 72,5

o + 17,5

= 72o + 0,5

o + 17 + 0,5 = 72

o + 30

+ 17 + 30


= 72o + 47

+ 30 = 72

o 4730

d. Jenis-jenis Sudut

Jenis sudut ditentukan oleh besarnya sudut yang bersangkutan.

1. Sudut Lancip (sudut runcing) adalah sudut yang

besarnya berkisar antara 0o dan 90

o.

900 BAC .

2. Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90o.

90BAC

3. Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya

berkisar antara 90o dan 180

o. 18090 BAC

4. Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 180o.

180AOB .

5. Sudut refleks adalah sudut yang besarnya


o.

360180 BAC

Contoh:

Tentukan jenis-jenis sudut-sudut 45o, 90

o, 120

o, 180

o, dan 300

o.

Solusi:

45o adalah sudut lancip, karena 90450 .

90o adalah sudut siku-siku.

120o adalah sudut tumpul, karena 18012090 .

180o adalah sudut lurus.

300o adalah sudut refleks, karena 360300180 .

e. Sudut pada Jarum Jam

Sudut yang dibentuk oleh jarum jam (jarum menit dan

jarum jam) saat bergerak satu putaran adalah 360o. Karena

jam dibagi menjadi 12 bagian yang sama, maka sudut tiap

bagian masing-masing besarnya adalah

3012

360.

Pada gambar di samping, jarum jam menunjukkan pukul

3.00. Jarum jam telah berputar seperempat lingkaran, maka

Sudut lancip

A B

C

Sudut siku-siku

A B

C

Sudut tumpul

A B

C

Sudut lurus

A B

O

Sudut refleks A

B

C

12 11

10

9

8

7 6 5

4

3

1

2


sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua jarum itu =

90303

Contoh:

Tentukan besar sudut terkecil yang menunjukkan pukul 2.30, 9.00, dan 19.00, kemudian

tentukan jenis sudutnya.

Solusi:

Pada gambar (a):

Pada pukul 2.30, jarum panjang dan jarum pendek membentuk sudut terkecil =

135305,4 yang merupakan jenis sudut tumpul.

Pada gambar (b):


90303 yang merupakan jenis sudut siku-siku.

Pada gambar (c):


60302 yang merupakan jenis sudut lancip.

f. Sudut Berpelurus dan Sudut Berpenyiku

1. Sudut Berpelurus

Pelurus adalah sudut tambahan supaya menjadi sudut lurus

atau 180o.

Dua buah sudut saling berpelurus (bersisian) adalah jika

salah satu kaki dari kedua sudut itu berimpit dan kaki-kaki

yang lainnya bersambung membentuk garis lurus.

Sudut berpelurus (bersisian) berjumlah 180o.

Jadi, 18021 AA

A B

C

1 2

D

12 11

10

9

8

7 6 5

4

3

1

2

(c)

12 11

10

9

8

7 6 5

4

3

1

2

(b)

12 11

10

9

8

7 6 5

4

3

1

2

(a)


1A dinamakan pelurus 2A dan sebaliknya 2A dinamakan pelurus 1A .

1A dan 2A dikatakan pula sudut bersisian.

Dengan demikian, jika dua buah sudut berjumlah 180o, maka sudut yang satu

merupakan pelurus dari sudut yang lain.

Sudut-sudut bersisian pasti saling berpelurus, tetapi sudut-sudut yang saling berpelurus

tidak selalu bersisian.

Contoh:

Perhatikan gambar di samping.

501A , 1102B , dan 1002C .

Tentukan besar 2A , 1B , dan 1C . Kemudian

Tunjukkan bahwa 180111 CBA .

Solusi:

13050180180 12 AA

70110180180 21 BB

80100180180 21 CC

180807050111 CBA (qed)

Catatan: qed = quod erat demonstrandum (terbukti)

2. Sudut Berpenyiku

Penyiku adalah sudut tambahan supaya menjadi sudut

lurus atau 90o.

Jika dua buah sudut berjumlah 90o, maka salah satu

sudutnya dinamakan penyiku dari sudut yang lainnya.

Dua buah sudut dikatakan saling berpenyiku jika salah satu

kakinya berimpit dan kaki-kaki yang lainnya saling tegak

lurus atau membentuk sudut siku-siku atau sudut 90o.

Jadi, 9021 AA .

1A dinamakan penyiku 2A dan sebaliknya 2A dinamakan penyiku 1A .

Dengan demikian, jika dua buah sudut berjumlah 90o, maka sudut yang satu merupakan

penyiku dari sudut yang lain.

Contoh:

1 2 1

1

2

2 A B

C

A B

C

1 2

D

E


Perhatikan gambar di samping.

Sudut AOC adalah sudut lurus, 25BOC ,

90COE , dan 30DOE .

Carilah besar COD , AOB , dan AOE .

Solusi:

603090DOECOECOD (sudut berpenyiku)

15525180BOCAOCAOB (sudut berpelurus)

9090180COEAOCAOE

3. Hubungan Sudut Berpelurus dan Sudut Berpenyiku

1A adalah penyiku 2A .

3,2A adalah pelurus 1A .

90323,2 AAA

Jadi, selisih pelurus dan penyiku sebuah sudut adalah 90o.

g. Sudut Bertolak Belakang

Dua buah sudut adalah bertolak belakang, jika dan hanya jika

kaki-kaki sudut yang satu merupakan perpanjangan dari kaki

susut yang lainnya.

Sifat Sudut Bertolak Belakang:

Dua sudut bertolak belakang sama besar.

Jadi, 31 AA dan 42 AA .

Contoh:

Carilah sudut-sudut x, y, p, dan z.

Solusi:

6010x (sudut bertolak belakang)

501060x

35y (sudut bertolak belakang)

70)8030(180p (sudut berpelurus)

702 pz (sudut bertolak belakang)

352:70z

A

B

D

C

E

25o

30o

O

A

1 2

3 4

3

2

1

A

A

(x +10o) y

60o

2z

B

C

30o

35o

80o

p


h. Dua Garis Sejajar Yang Dipotong Garis Ketiga

Garis a sejajar dengan garis b dipotong oleh garis c di

titik A dan B, maka terjadilah 8 buah sudut, yaitu

1A , 2A , 3A , 4A , 1B , 2B , 3B , dan 4B .

1. Sudut Sehadap

Aksioma:

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut-sudut sehadapnya

sama besar.

Pasangan sudut sehadap adalah 11 dan BA , 22 dan BA , 33 dan BA , dan

44 dan BA .

Jadi, 11 BA , 22 BA , 33 BA , dan 44 BA .

Aksioma Kebalikannya:

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, sehingga sudut sehadapnya

sama besar, maka garis-garis itu sejajar.

2. Sudut Dalam Berseberangan

Sifat Sudut Dalam Berseberangan:

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut-sudut dalam

berseberangan sama besar.

Pasangan sudut dalam berseberangan adalah 31 dan BA dan 42 dan BA .

Jadi, 31 BA dan 42 BA .

Sifat Kebalikannya:

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, sehingga sudut dalam

berseberangan sama besar, maka dua garis itu sejajar.

3. Sudut Luar Berseberangan

Sifat Sudut Luar Berseberangan:

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut-sudut luar

berseberangan sama besar.

Pasangan sudut luar berseberangan adalah 13 dan BA dan 24 dan BA .

Jadi, 13 BA dan 24 BA .

Sifat Kebalikannya:

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, sehingga sudut luar

berseberangan sama besar, maka dua garis itu sejajar.

4. Sudut Dalam Sepihak

A

B

1 2

3 4

2

3

1

4

a

b

c


Sifat Sudut Dalam Sepihak:

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut dalam sepihak

berjumlah 180o.

Pasangan sudut dalam sepihak adalah 41 dan BA dan 32 dan BA .

Jadi, 18041 BA dan 18032 BA .

Sifat Kebalikannya:

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, sehingga sudut dalam sepihak

jumlahnya 180o, maka dua garis itu sejajar.

5. Sudut Luar Sepihak

Sifat Sudut Luar Sepihak:

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, maka sudut luar sepihak

berjumlah 180o.

Pasangan sudut luar sepihak adalah 14 dan BA dan 23 dan BA .

Jadi, 18014 BA dan 18023 BA .

Sifat Kebalikannya:

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, sehingga sudut luar sepihak

jumlahnya 180o, maka dua garis itu sejajar.

Contoh:

1. Perhatikan gambar di atas, jika 401B , hitunglah 2A , 3A , 4A , 1B ,

2B , 3B , dan 4B .

Solusi:

4011 BA (sudut sehadapap)

14040180180 12 AA (sudut berpelurus)

14022 AB (sudut sehadap)

4013 AA (sudut bertolak belakang)


14024 AA (sudut bertolak belakang)


2. Perhatikan gambar di samping ini. 80A dan 40B . Hitunglah BCD ,

DCE , dan ACB .


Solusi:

80BACDCE (sudut sehadap)

40ABCBCD (sudut dalam berseberangan)

60)8040(180)(180 DCEBCDACB (sudut berpelurus)

B. Teorema Pythagoras dan Tripel Pythagoras

a. Teorema Pythagoras

Teorema atau dalil Pythagoras berbunyi: “Dalam segitiga siku-siku berlaku bahwa

kuadrat sisi miring atau hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi siku-sikunya”.

Untuk ABC siku-siku di C berlaku:

c = sisi miring atau hipotenusa

a = sisi siku-siku terpendek

b = sisi siku-siku terpanjang

1. 222 ACBCAB atau 222 bac

2. 222 ACABBC atau 222 bca

3. 222 BCABAC atau 222 acb

b. Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan asli yang mewakili satuan panjang hipotenusa dan

dua sisi siku-siku dari suatu segitiga siku-siku yang mengikuti aturan teorema

Pythagoras.

Untuk memperoleh tripel Pythagoras dapat digunakan rumus sebagai berikut.

22 nm , mn2 , 22 nm , dengan nm

Sebagai ilustrasi:

Untuk m = 2 dan n = 1, diperoleh tripel Pytagoras: 3, 4, 5.



A B

C D

E

A

B

C

a

b

c




Kelipatan dari tripel-tripel Pythagoras adalah juga tripel Pythagoras. Sebagai ilustrasi:

kelipatan 3, 4, 5 adalah 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12, 16, 20; dan sebagainya adalah juga tripel

Pythagoras.

Contoh:

Diketahui segitiga ABC siku-siku di C, dengan AB = 20 cm,

AC = 16 cm, dan CD = 9,6 cm. Hitunglah panjang BC, BD,

dan AD.

Solusi:

1442564001620 22222 ACABBC

12144 BC cm

84,5116,921446,912 22222 CDBCBD

2,784,51 BD cm

8,122,720 BDABAD cm atau

84,16316,922566,916 22222 CDACAD

8,1284,163 AD cm

C. Segitiga

Definisi:

Suatu segitiga adalah bangun ilmu ukur yang dibentuk oleh tiga

titik yang tidak segaris dan tiga ruas garis yang menghubungkan

ketiga titik itu.

Jika ketiga titik itu diberi nama A, B, dan C, maka segitiga yang

terbentuk dinamakan segitiga ABC ditulis dengan lambang

ABC. Segitiga itu dapat dinamakan ACB, BAC, BCA,

CAB, atau CBA.

1) Sisi Segitiga

BC = a , AB = b, dan AB = c dinamakan sisi-sisi ABC. Sisi-sisi a, b, dan c merupakan

sisi segitiga di depan atau dihadapan A , B , dan C .

2) Alas dan Kaki Segitiga

A

B

C

D

A B

C


C = AB dinamakan alas (garis alas atau sisi alas) ABC. BC = a dan AB = b masing-

masing dinamakan kaki (sisi tegak) ABC.

3) Titik Sudut Segitiga

A, B, dan C (huruf kapital) masing-masing dinamakan titik sudut ABC.

4) Sudut Segitiga

A , B , dan C dinamakan sudut-sudut ABC.

5) Sudut Alas dan Sudut Puncak Segitiga

A dan B dinamakan sudut-sudut alas ABC dan C dinamakan sudut puncak ABC.

a. Jenis-jenis Segitiga

1. Jenis-jenis Segitiga Berdasarkan Panjang Sisinya

Segitiga ditinjau dari panjang sisinya ada 3 jenis, yaitu segitiga sama kaki, segitiga

sama sisi, dan segitiga sebarang.

1) Segitiga Sama Kaki

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua

sisi yang sama panjang.

Jadi, BCAC (kaki ABC)

2) Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang sisi-sisi yang

sama panjang.

Jadi, BCACAB .

3) Segitiga Sebarang

Segitiga sebarang adalah segitiga yang mempunyai sisi-

sisi tidak sama panjang.

Jadi, BCACAB .

2. Jenis Segitiga Berdasarkan Besar Sudutnya

Segitiga ditinjau dari panjang besar sudutnya ada 3 jenis , yaitu segitiga lancip,

segitiga siku-siku, dan segitiga tumpul.

1) Segitiga Lancip

Segitiga lancip atau segitiga runcing adalah segitiga

yang mempunyai besar sudut-sudutnya berkisar antara 0o

dan 90o atau besar sudut-sudutnya lancip.

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C


Jadi, 900 A , 900 B , dan

900 C atau A , B , dan C masing-masing

bersudut lancip.

2) Segitiga Siku-siku

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai

sudut terbesar 90o (siku-siku) dan kedua sudut lainnya

adalah sudut lancip.

Jadi, 90A ( A sudut siku-siku), 900 B

( B sudut lancip), dan 900 C ( C sudut

lancip).

3) Segitiga Tumpul

Segitiga tumpul adalah segitiga yang mempunyai sudut


o dan kedua sudut lainnya

adalah sudut lancip.

Jadi, 18090 A ( A sudut tumpul),

900 B ( B sudut lancip), dan 900 C

( C sudut lancip).

3. Jenis Segitiga Berdasarkan Panjang Sisi-sisinya dan Besar Sudut-sudutnya

Jenis segitiga dapat ditinjau sekaligus dari panjang sisi-sisinya dan dan besar sudut-

sudutnya.

1) Segitiga Siku-siku Sama Kaki

Segitiga siku-siku sama kaki adalah segitiga yang

mempunyai panjang sisi-sisi yang mengapit sudut

sebesar 90o (siku-siku) sama panjang.

Jadi, 90A ( A sudut siku-siku) dan ACAB .

2) Segitiga Tumpul Sama Kaki

Segitiga tumpul sama kaki adalah segitiga yang

mempunyai panjang sisi-sisi yang mengapit sudut yang


o (sudut tumpul) sama

panjang.

Jadi, 18090 A ( A sudut tumpul) dan ACAB .

Catatan:

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C


1. Tidak ada nama segitiga tumpul sama sisi.

2. Tidak ada nama segitiga siku-siku sama sisi.

3. Tidak ada nama segitiga lancip sama sisi, tetapi lazim dinamakan segitiga sama

sisi.

4. Tidak ada segitiga lancip sama kaki, tetapi lazim dinamakan segitiga sama kaki.

b. Jumlah Sudut-sudut Segitiga

Jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah 180o.

Pada ABC berlaku:

180CBA

Dengan demikan,

)(180 CBA

)(180 CAB

)(180 BAC

Catatan:

A , B , dan C maksudnya adalah sudut-sudut dalam ABC .

Contoh:

1. Diketahui ABC , dengan ACBD (dibaca: BD tegak lurus

AC), 55BAC , 50CBO dan 20ACE .

Hitunglah besar BEC , ABD , BOC , dan BCE .

Solusi:

Perhatikan ACE :

105)2055(180)(180 ACEAAEC

75105180180 AECBEC

Perhatikan ADB siku-siku di D:

35)9055(180)(180 ADBAABD atau

35559090 AABD

Perhatikan CDO siku-siku di D:

70)2090(180)(180 DCODCOD atau

70209090 DCOCOD

11070180180 CODBOC (sudut berpelurus)

Perhatikan BCE :

)(180)(180 CBOABDBECBBECBCE

20)503575(180 atau

A B

C

C D

B

A

E O


Perhatikan BOC :

20)50110(180)(180 CBOBOCBCE

2. Diketahui ABC , dengan xA 2 , 203xB , dan 405xC . Hitunglah

besar sudut-sudut ABC .

Solusi:

180CBA

1804052032 xxx

1802010x

2018010x

20010x

2010:200x

402022xA

8020203203xB

6040205405xC

c. Sudut Luar Segitiga

Besar sudut luar pada suatu segitiga sama dengan jumlah

besar sudut dalam yang tidak bersisian dengan sudut luar

tersebut.

Pada ABC , AA 1 , BB 1 , dan CC 1

adalah sudut-sudut dalam, sedangkan 2A , 2B , dan

2C adalah sudut-sudut luar. Dengan demikian,

berlakulah hubungan:

CBCBA 112

CACAB 112

BABAC 112

Contoh:

1. Diberikan segitiga ABC, dengan 351B dan

651C . Hitunglah 1A , 2A , 2B dan 2C .

Solusi:

80)6535(180)(180 111 CBA

10080180180 12 AA (sudut berpelurus) atau

A B

C

1

1 1

2

2 2

A

B

C

1

1 1

2

2

2


1006535112 CBA (rumus sudut luar)

14535180180 12 BB (sudut berpelurus) atau

1456580112 CAB (rumus sudut luar)

10565180180 12 CC (sudut berpelurus) atau

1053580112 BAC (rumus sudut luar)

2. Diberikan segitiga ABC, dengan 80A ,

20BCD , xC 3 , dan AB = AD. Hitunglah

nilai x.

Solusi:

)180(2

1AACDADC

50)80180(2

1

BCDDBCADC (rumus sudut luar)

20350 x

20350 x

20503 x

303 x

103:30 x

Jadi, nilai 10x .

d. Garis-garis pada Segitiga

Garis-garis pada segitiga meliputi garis sumbu, garis tinggi, garis berat, dan garis bagi.

1. Garis Sumbu

Garis sumbu adalah garis yang tegak lurus di tengah-tengah ruas garis (segmen garis)

atau sisi.

Cara Melukis Garis Sumbu

1. Buatlah lingkaran 1 dengan pusat A.

2. Buatlah lingkaran 2 dengan pusat B.

3. Hubungkan perpotongan lingkaran 1 dan 2,

maka akan diperoleh garis 3 yang yang

memotong garis AB di titik O. Garis 3

dinamakan garis sumbu.

A B

C

D

80o

3xo

20o

A B

1 2

3

O


Perhatikan garis sumbu (garis 3) memotong ruas garis AB tegak lurus di titik O

dan membagi ruas garis AB menjadi dua bagian yang sama panjang (AO = BO)

Ciri-ciri Garis Sumbu

1. Garis sumbu pada suatu ruas garis tegak lurus pada ruas garis itu.

2. Garis sumbu pada suatu ruas garis membagi ruas garis itu menjadi dua bagian

yang sama panjang.

2. Garis Tinggi

Garis tinggi pada suatu segitiga adalah garis yang

dibuat dati titik sudut segitiga itu tegak lurus pada sisi

de depannya.

Pada ABC lancip, garis-garis tingginya adalah AD,

BE, dan CF. Ketiga garis tinggi ini berpotongan di titik

O. Titik O dinamakan titik tinggi.

Pada ABC tumpul, garis-garis tingginya adalah AP,

BQ, dan CR. Ketiga garis tinggi ini berpotongan di

titik O. Titik O dinamakan titik tinggi.

Pada ABC siku-siku, garis-garis tingginya adalah

AC, BC, dan CD. Ketiga garis tinggi ini berpotongan

di titik C. Titik C dinamakan titik tinggi.

3. Garis Berat

Garis berat pada suatu segitiga adalah garis yang ditarik

dari titik sudut ke pertengahan sisi didepannya.

Pada ABC garis-garis beratnya adalah AC, BC, dan CD.

Ketiga garis berat ini berpotongan di titik Z. Titik Z

dinamakan titik berat.

4. Garis Bagi

Garis bagi pada suatu segitiga adalah garis yang membagi

sudut menjadi dua bagian sama besar .

B F

C

A

E

O

D

B R

C

A

Q

O

P

A

B

C

D

B F

C

A

E

Z

D

B F

C

A

E

O

D


Pada ABC garis-garis baginya adalah AC, BC, dan CD.

Ketiga garis bagi ini berpotongan di titik O. Titik O

dinamakan titik bagi.

Contoh:

Diketahui ABC , dengan 80A dan 45B . Garis

bagi A adalah AD. Carilah C dan 1D .

Solusi:

40802

1

2

1ABAD

95)4540(180)(1802 BBADD

8595180180 21 DD (sudut berpelurus)

atau

8545401 BBADD

e. Segitiga-segitiga Iatimewa

Segitiga istimewa adalah segitiga yang mempunyai cirri-ciri khusus, misalnya panjang

sisinya sama, sudutnya sama besar, atau sudutnya siku-siku dan sebagainya. Segitiga

istimewa meliputi segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, dan segitiga sama sisi.

1. Segitiga Siku-siku

1) Segitiga Siku-siku Sama Kaki atau Segitiga Siku-siku dengan Sudut-sudut

90o 45

o 45

o

Jika sisi-sisi suatu segitiga berbanding sebagai

aaa ::2 atau 1:1:2 , maka segitiga itu adalah

segitiga siku-siku samaka kaki, dengan

perbandingan sudut-sudutnya 45:45:90 .

Jika sudut-sudut suatu segitiga berbanding sebagai

45:45:90 atau 2 : 1 : 1, maka segitiga itu

adalah segitiga siku-siku sama kaki dengan

perbandingan sisi-sisinya adalah aaa ::2 atau

1:1:2 .

B

C

A

D

1

2

a

2a a

45o

45o


2) Segitiga dengan Sudut-sudut 90o 60

o 30

o

Jika sisi-sisi suatu segitiga berbanding sebagai

aaa :3:2 atau 1:3:2 , maka segitiga itu adalah

segitiga siku-siku, dengan perbandingan sudut-

sudutnya 30:60:90 atau 3 : 2 : 1.

Jika sudut-sudut suatu segitiga berbanding sebagai

30:60:90 atau 3 : 2 : 1, maka segitiga itu

adalah segitiga siku-siku, dengan perbandingan

sisi-sisinya adalah aaa :3:2 atau 1:3:2 .

Contoh:

Diketahui ABC , dengan CD adalah garis tinggi,

30CAD , dan AC = 12 cm. Hitunglah

a. besar ACD , BCD , dan DBC .

b. Panjang CD, AD, BD, AB, dan BC.

Solusi:

a. Perhatikan ADC siku-siku di D.

60309090 AACD

Kerena BD = CD dan 90D , maka BDC adalah segitiga siku-siku sama

kaki. Akibatnya 45DBCBCD .

b. 6122

1

2

1 ACCD cm

363122

13

2

1 ACAD cm

6CDBD cm

316636 BDADAB cm

262 CDBC cm

2. Segitiga Sama Kaki

Sifat-sifat Segitiga Sama Kaki:

1. Segitiga sama kaki mempunyai dua sisi yang sama panjang.

Pada ABC sama kaki, AC = BC.

2. Segitiga sama kaki mempunyai sudut alas yang sama besar.

a

3a 2a 30

o

60o

B

C

A D

30o

12 cm

A B

C


Pada ABC sama kaki, )180(2

1CBA atau AC 2180

B 2180 .

3. a. Garis tinggi dari puncak suatu segitiga sama kaki merupakan garis bagi dan

garis berat.

b. Garis bagi dari puncak suatu segitiga sama kaki merupakan garis tinggi dan

garis berat.

c. Garis berat dari puncak suatu segitiga sama kaki merupakan garis tinggi dan

garis bagi.

Kesimpulan:

Dalam segitiga sama kaki garis tinggi, garis bagi, dan garis berat dari puncak

adalah berimpit.

Contoh:

Diketahui ABC, dengan AD = CD = BD dan

70A Hitunglah besar C.

Solusi:

702 AC .

4014018070218021802 AD (sifat segitiga sama

kaki)

14040180180 21 DD

20)40(2

1)140180(

2

11CB

90702021 CCC

3. Segitiga Sama Sisi

Sifat-sifat Segitiga Sama Sisi:

a. Segitiga sama sisi mempunyai sisi-sisi yang sama

panjang.

Pada ABC sama sisi, AB = BC = AC.

b. Segitiga sama sisi mempunyai sudut-sudut yang

sama besar.

Pada ABC sama sisi, 60CBA . A B

C

60o

60o

60o

A B

C

D

1

1

2

2


c. Dalam segitiga sama sisi garis tinggi, garis bagi, dan garis berat dari tiap titik

sudut adalah berimpit.

Contoh:

Diketahui besar 70CAB . Hitunglah

besar CEF dan EFB

Solusi:

Perhatikan ABC adalah segitiga sama

kaki, dengan AC = BC. Akibatnya

401401807021802180 CABACB

Perhatikan ACE dan BCF masing-masing adalah segitiga sama sisi, maka

60BCFACE .

160604060BCFACBACEECF

Perhatikan ECF adalah segitiga sama kaki, maka

10)20(2

1)160180(

2

1)180(

2

1ECFCFECEF

501060CFEBFCEFB

f. Keliling dan Luas Segitiga

1. Keliling Segitiga

Keliling suatu segitiga adalah jumlah sisi-sisi segitiga itu.

Perhatikan ABC , dengan BC = a, AC = b, dan AB = c.

Keliling ABC dilambangkan dengan huruf K

dirumuskan sebagai:

cbaABACBCK

1) Keliling Segitiga Siku-siku Sama Kaki

1. Keliling segitiga siku-siku sama kaki yang diketahui panjang sisi siku-

sikunya dirumuskan sebagai:

sikusikusisipanjang22 K

2. Keliling segitiga siku-siku sama kaki yang diketahui panjang hipotenusanya

dirumuskan sebagai:

hipotenusapanjang21 K

2) Keliling Segitiga Sama Sisi

A B

C

E F

A B

C

a b

c


Keliling segitiga sama sisi yang diketahui panjang sisinya dirumuskan

sebagai:

sisipanjang3K

2. Luas Segitiga

Luas suatu segitiga yang dilambangkan dengan huruf L dirumuskan sebagai

tinggialas2

1L

1) Luas ABC Lancip

ADBCL 2

1ata

2

1

BEACL 2

1btb

2

1

CFABL 2

1ctc

2

1

2) Luas ABC Tumpul

APBCL 2

1ata

2

1

BQACL 2

1btb

2

1

CRABL 2

1ctc

2

1

3) Luas ABC Siku-siku

ACBCL 2

1ba

2

1

CDABL 2

1ctc

2

1

4) Luas Segitiga Siku-siku Sama Kaki

1. Luas segitiga siku-siku sama kaki yang diketahui panjang sisi siku-sikunya

dirumuskan sebagai:

2siku)sikusisi(panjang2

1L

2. Luas segitiga siku-siku sama kaki yang diketahui panjang hipotenusa

dirumuskan sebagai:

B F

C

A

E

O

D

ta tb

tc

ta

tb

tc

B R

C

A

Q

O

P

A

B

C

D

tc


2)hipotenusa(panjang4

1L

5) Luas Segitiga Sama Sisi

1. Tinggi segitiga sama sisi dirumuskan sebagai:

3)sisi(panjang2

1t

2. Luas segitiga sama sisi dirumuskan sebagai:

3)sisi(panjang4

1 2L

6) Luas Segitiga Jika Diketahui Sisi-sisinya

Diketahui ABC , dengan BC = a, AC = b, dan AB = c.

Setengah keliling ABC dinyatakan dengan s yang dirumuskan sebagai:

)(2

1cbas

Luas ABC dinyatakan dengan L yang dirumuskan sebagai:

))()(( csbsassL (yang dinamakan rumus Heron)

Contoh:

1. Diketahui ABC , dengan BC = 20 cm, AC = 16 cm, dan AB = (4x – 8) cm. Jika

keliling ABC adalah 48 cm. Carilah nilai x dan tunjukkan bahwa ABC adalah

segitiga siku-siku.

Solusi:

ABACBCK

84162048 x

x42848

x420

54:20 x

1285484 xAB cm

222 ABACBC

222 121620

144256400

400400 (pernyataan yang bernilai benar)

Karena bilangan-bilangan 20, 16, dan 12 merupakan tripel Pythagoras, maka

ABC merupakan segitiga siku-siku, dengan 90A .


2. Diketahui segi empat ABCD, dengan 90DA , AD = 12 cm, CD = 9 cm,

dan AC = 13 cm. Hitunglah keliling dan luas ABC.

Solusi:

Perhatikan ADC siku-siku di D.

Menurut Teorema Pythagoras:

15225912 2222 CDADAC cm

9CDAE cm

12 ADCE cm

Perhatikan BEC siku-siku di E.

5251213 2222 CEBCBE cm

1459 EBAEAB cm

42151314 ACBCABK cm

8412142

1

2

1 CEABL cm

2

Jadi, keliling ABC = 42 cm dan luas ABC = 84 cm2.

3. Diketahui ABC , dengan panjang sisi-sisinya adalah BC = a = 13 cm, AC = b =

14 cm, dan AB = c = 15 cm. Hitunglah luas ABC dan garis-garis tingginya.

Solusi:

21)151413(2

1)(

2

1 cbas cm

))()(( csbsassL )1521)(1421)(1321(21

)6)(7)(8(21 327273 3 422 273 84273 2 cm2

ataL 2

1

13

1212

13

8422

a

Lta cm

btbL 2

1 12

14

8422

b

Ltb cm

ctcL 2

1 2,11

15

8422

c

Ltc cm

Jadi, luas ABC = 84 cm2 dan garis-garis tinggi pada sisi a, sisi b, dan sisi c

berturut-turut adalah 13

1212 cm, 12 cm, dan 11,2 cm.

A B

C D

E

12 cm

9 cm

13 cm


4. Diketahui ABC siku-siku di A, dengan AB = 20

cm dan BC = 25 cm. Hitunglah luas ABC dan

garis tinggi AD.

Solusi:


22 ABBCAC 22 2025 15225 cm

15020152

1

2

1 ABACL cm

2

ADBCL 2

1

AD 252

1150

1225

2150

AD cm

Jadi, luas ABC = 150 cm2 dan garis tinggi AD = 12 cm.

D. Jajargenjang

Definisi:

Segi empat yang kedua pasang sisinya yang berhadapan sejajar

dinamakan jajargenjang.

a. Sifat-sifat Jajargenjang:

1. Pada jajargenjang sisi-sisi yang berhadapan adalah sejajar

dan sama panjang.

Pada jajargenjang ABCD, CDAB // dan AB = CD; dan

BCAD // dan AD = BC.

Kebalikannya:

Jika pada suatu segi empat ABCD, sisi AB = CD dan sisi

BC = AD, maka segi empat ABCD adalah jajargenjang.

2. Pada jajargenjang sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

Pada jajargenjang ABCD, CA dan DB .

Kebalikannya:

C

B

A

D

A B

C D

A B

C D

E


Jika pada suatu segi empat ABCD, CA dan DB , maka segi empat ABCD

adalah jajargenjang.

3. Pada jajargenjang kedua diagonalnya (garis sudut menyudut) berpotongan di tengah-

tengah.

Pada jajargenjang ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di titik E, sehingga AE = CE

= AC2

1 dan BE = DE = BD

2

1.

Kebalikannya:

Jika pada suatu segi empat kedua diagonalnya berpotongan di tengah-tengah, maka segi

empat itu adalah jajargenjang.

4. Pada jajargenjang jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180o.

Pada jajargenjang ABCD, 180BA , 180DA , 180CB , dan

180DC .

Contoh:

1. Diketahui jajargenjang ABCD, diagonal AC dan BD

berpotongan di titik E. Jika 120B , 352A , dan

552B . Hitunglah A , C , D , 1A , 1B ,

1C , 2C , 1D , 2D , 1E , 2E , 3E , dan 4E

Solusi:

180BA

180120A

60A

60AC

120BD

25356021 AAA

655512021 BBB

2511 AC (sudut dalam berseberangan)

3522 AC (sudut dalam berseberangan) atau

35256012 CCC

6511 BD (sudut dalam berseberangan)

A B

C D

1 2

1 2 1

1

2

1 2

3 4 E

2


5522 BD (sudut dalam berseberangan) atau

556512012 DDD

)(180 121 BAE 80)6535(180

8013 EE (sudut bertolak belakang)

10080180180 12 EE (sudut berpelurus)

10024 EE (sudut bertolak belakang)

2. Dikeathui jajargenjang ABCD, dengan diagonal-diagonal AC dan BD berpotongan di

titik E, 60A , BD = 13 cm, dan AD = 8 cm. Carilah panjang AB dan BE.

Solusi:

482

1

2

1 ADAF cm

34382

13

2

1 ADDF cm

Menurut Pythagoras dalam BFD :

2222 3413 DFBDFB 1112148169 cm

15114 FBAFAB cm

5,6132

1

2

1 BDBE cm

b. Keliling dan Luas Jajargenjang

1. Keliling Jajargenjang

Keliling suatu jajargenjang adalah jumlah semua

sisi-sisinya atau dua kali jumlah sisi-sisi yang

berlainan.

Keliling jajargenjang ABCD yang dilambangkan

dengan huruf K adalah

ADCDBCABK

Karena AB = CD dan AD = BC, maka

)(2)(2 ADCDBCABK

2. Luas Jajargenjang

Luas suatu jajargenjang yang dilambangkan dengan huruf L adalah

tinggialas L

A B

C D

E 60

o

F

8 cm

A B

C D

E

F


Pada jajargenjang ABCD, alasnya adalah AB atau CD dan BC atau AD sedangkan

tingginya DE dan DF.

Luas jajargenjang ABCD adalah

DEABL

DFBCL

Contoh:

1. Dikeathui jajargenjang ABCD, dengan BD =

15 cm, AB = 14 cm, garis tinggi DF = 12 cm.

Carilah keliling jajargenjang itu.

Solusi:

Menurut Pythagoras dalam BFD :

2222 1215 DFBDFB 981144225 cm

5914 FBABAF cm

Menurut Pythagoras dalam AFD :

2222 512 AFFDAD 1316925144 cm

13 ADBC cm

54)1314(2)(2 BCABK cm

Jadi, keliling jajargenjang itu adalah 54 cm.

2. Diberikan jajargenjang ABCD (lihat gambar di atas), dengan ABDE ,

BCDF , AB = 40 cm, DE = 24 cm, dan keliling jajargenjang ABCD = 140

cm. Hitunglah panjang BC, luas jajargenjang ABCD, dan panjang garis tinggi

DF .

Solusi:

)(2 BCABK

)40(2140 BC

702:14040 BC

304070 BC cm

9602440 DEABL cm2

DFBCL

DF 30960

3230:960 DF cm

Jadi, panjang BC = 30 cm, luas jajargenjang ABCD = 960 cm2, dan panjang

garis tinggi DF = 32 cm.

A B

C D

F

15 cm

12 cm


E. Persegi Panjang

Definisi:

Jajargenjang yang mempunyai sebuah sudut siku-siku dinamakan

persegi panjang. atau

Persegi panjang adalah segi empat yang mempunyai dua pasang

sisi berhadapan yang setiap pasangnya sejajar dan sama panjang,

serta keempat sudutnya siku-siku.

a. Sifat-sifat Persegi Panjang:

1. Diagonal-diagonal persegi panjang sama panjang.

Pada persegi panjang ABCD, AC = BD.

Kebalikannya:

Jika pada suatu jajargenjang kedua diagonalnya sama

panjang, maka jajargenjang itu persegi panjang.

2. Diagonal-diagonal persegi panjang saling membagi dua sama panjang atau kedua

diagonal persegi panjang berpotongan di tengah-tengah.

Pada persegi panjang ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di titik E, sehingga AE =

CE = AC2

1 dan BE = DE = BD

2

1.

3. Sisi-sisi persegi panjang yang berhadapan sejajar dan sama panjang.

Pada persegi panjang ABCD, AB // CD dan AB = CD; dan AD // BC dan AD = BC.

4. Semua sudut persegi panjang sama besar yang masing-masing besarnya 90o.

Pada persegi panjang ABCD, 90DCBA .

Contoh:

1. Diketahui segi empat ABCD, dengan kedua diagonalnya

berpotongan di titik E dan 32CAB . Hitunglah

ACB dan ABC .

Solusi:

Karena AEB adalah segitiga sama kaki, maka

32CABEBAEAB .

1163221802180 CABAEB

Karena BEC adalah segitiga sama kaki, maka ACBEBCECB .

EBCACBAEB

ACB 2116

A B

C D

A B

C D

E

A

B

C

D

E


58ACB

90)5832(180)(180 ACBCABABC

2. Diketahui persegi panjang ABCD, dengan diagonal AC dan BD berpotongan di titik E,

30BAC dan AB = 12 cm. Hitunglah panjang AC, AB, dan AE.

Solusi:

241222 BCAC cm

3123 BCAB cm

12242

1

2

1 ACAE cm

b. Keliling dan Luas Persegi Panjang

1. Keliling Persegi Panjang

Keliling suatu persegi panjang adalah jumlah semua


berlainan.

Persegi panjang biasanya mempunyai ukuran

panjang p dan lebar l. Karena sepasang-sepasang

sisi persegi panjang adalah sama panjang, maka

keliling persegi panjang yang dilambangkan dengan

huruf K adalah

lebar)2(panjangK

Keliling jajargenjang ABCD dilambangkan dengan huruf K adalah

ADCDBCABK

)(2 lpK

2. Luas Persegi Panjang

Luas suatu persegi panjang yang dilambangkan dengan huruf L adalah

lebarpanjangL

Jika persegi panjang ABCD yang mempunyai panjang p dan lebar l, maka luasnya

adalah

Luas persegi panjang ABCD adalah

BCABL

pllpL

Contoh:

A B

C D

E

30o

12 cm

A B

C D

p

l


1. Diketahui persegi panjang ABCD, dengan panjang diagonal AC = 17 cm dan

panjang AB = 15 cm. Carilah keliling persegi panjang itu.

Solusi:


222 ACBCAB

222 1715 BC

642252892 BC

864 BC cm

46)815(2)(2 lpK cm

Jadi, keliling persegi panjang itu adalah 46 cm.

2. ABCD adalah persegi panjang, dengan AB = 72 cm,

AD = 48 cm, AP = CR = 48 cm, dan BQ = DS = 20 cm.

Carilah rasio luas segi-4 PQRS dan luas persegi

panjang ABCD.

Solusi:

72 ABp cm dan 48 ADl cm

34564872 lpLABCD cm2

PQRS adalah jajargenjang dengan, tingginya adalah t = AD = 48 cm dan alasnya

adalah 4)2048(72)( BQAPABPQ cm.

192484 tPQLPQRS cm2.

18:13456:192: ABCDPQRS LL

Jadi, rasio luas segi-4 PQRS dan luas persegi panjang ABCD adalah 1: 18.

3. Panjang dan lebar suatu persegi panjang berbanding sebagai 3 : 2. Jika

panjangnya 24 cm, hitunglah keliling dan luas persegi panjang itu.

Solusi:

2:3: lp

16243

2

3

2 pl cm

80)1624(2)(2 lpK cm

3841624 plL cm2

A B

C D

17 cm

15 cm

A B

C D

P Q

R S


Jadi, keliling dan luas persegi panjang berturut-turut adalah 80 cm dan 384 cm2.

4. Luas suatu persegi panjang adalah 432 cm2. Jika panjang dan lebarnya

berbanding sebagai 4 : 3, hitunglah keliling persegi panjang itu.

Solusi:

Karena 3:4: lp , maka 4

3pl

plL

4

3432

pp

5764323

42 p

24576 p cm

24p 184

243

4

3

pl cm

84)1824(2)(2 lpK cm

5. Jika keliling persegi panjang ABCD yang dibangun

dari 5 persegi panjang yang kongruen (sama

sebangun) adalah 48 cm. Carilah luas masing-

masing persegi panjang kecil.

Solusi:

Misalnya persegi panjang kecil mempunyai lebar = a

cm dan panjangnya = b cm, maka

aaaab 3 ……… (1)

48 baabaabaaa

4837 ba ……………. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

48)3(37 aa

4816 a

3a

3a 9)3(33 ab

Persegi panjang mempunyai lebar 3 cm dan panjang 9 cm.

2793 abL cm2

Jadi, luas persegi kecil adalah 27 cm2.

A B

C D

A B

C D

a a

a

a

a

b

b


F. Persegi

Definisi:

Persegi atau bujur sangkar adalah segi empat yang semua sisinya

sama panjang dan salah satu sudutnya sudut siku-siku. atau

Persegi atau bujur sangkar adalah persegi panjang khusus yang ke

empat sisinya sama panjang.

a. Sifat-sifat Persegi

1. Sisi-sisi persegi yang berhadapan sejajar dan sama panjang.

Pada persegi ABCD, AB // CD dan AB = CD; dan AD // BC

dan AD = BC.

2. Setiap sudut persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal-

diagonalnya.

3. Diagonal-diagonal persegi berpotongan saling tegak lurus.

Pada persegi ABCD, BDAC .

4. Diagonal-diagonal persegi sama panjang.

Pada persegi ABCD, AC = BD.

5. Diagonal-diagonal persegi saling membagi dua sama panjang atau kedua diagonal

persegi berpotongan di tengah-tengah.

Pada persegi ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di titik E, sehingga AE = CE

= AC2

1 dan BE = DE = BD

2

1.

6. Semua sudut persegi sama besar yang masing-masing besarnya 90o.

Pada persegi ABCD, 90DCBA .

Contoh:

Diketahui ABCD adalah persegi dan CDE adalah segitiga

sama sisi. Hitunglah 1A , 2A , 1E , 2E , dan 3E .

Solusi:

Karena ABCD adalah persegi, maka besar sudut-sudutnya

masing-masing adalah 90o.

Karena CDE adalah segitiga sama sisi, maka besar sudut-

sudutnya adalah 60o.

150609021 DDD

Karena AD = ED, maka ADE adalah segitiga sama kaki, sehingga

2

1

1

2

1

2

1 2

3

A B

C D

E

A B

C D

A B

C D

E


15)150180(2

1)180(

2

11 DA

75159090 11 AA

1511 AE

Karena AE = BE, maka ABE adalah segitiga sama kaki.

30)7521802180 21 AE

15)3015(60)( 213 EEEE

b. Keliling dan Luas Persegi

1. Keliling Persegi

Keliling suatu persegi adalah jumlah semua sisi-sisinya atau

empat kali sisinya.

Keliling suatu persegi dilambangkan dengan huruf K. Karena

persegi mempunyai sisi-sisi yang sama panjang, maka

kelilingnya adalah

)sisi(panjang4K

Keliling persegi ABCD yang mempunyai panjang sisi p adalah

ADCDBCABK

pK 4

Jika dari suatu persegi diketahui panjang diagonalnya adalah p, maka kelilingnya

adalah

2diagonal)(panjang2 K

22 pK

2. Luas Persegi

Luas suatu persegi yang dilambangkan dengan huruf L adalah

2sisi)(panjangL

Luas persegi ABCD yang mempunyai panjang p adalah

BCABL

2pL

Jika dari suatu persegi diketahui panjang diagonalnya adalah p, maka luasnya adalah

2agonal)(panjangdi2

1L

A B

C D

p


2

2

1pL

Contoh:

1. Sebuah persegi mempunyai panjang diagonal 16 cm. Hitunglah keliling dan luas

persegi itu.

Solusi:

2l)adiagon(panjang2

1sisiPanjang 282)16(

2

1 cm

Keliling persegi adalah

2322844 pK cm atau

2diagonal)(panjang2 K 2322)16(2 cm

Luas persegi adalah

2si)(panjangsiL 128282

cm2 atau

2agonal)(panjangdi2

1L 128256

2

1)16(

2

1 2 cm2

2. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan keliling sebuah persegi. Jika luas

persegi adalah 1.600 cm2 dan panjang persegi panjang adalah 48 cm, tentukan

keliling persegi dan rasio luas persegi panjang dengan persegi.

Solusi:

2sL 401600 LS cm

Panjang sisi persegi adalah 40 cm.

)sisi(panjang4K 160)40(4 cm

Keliling persegi panjang = keliling persegi

160)48(2 l

8048 l

32l cm

536.13248 plL cm2

Jadi, keliling persegi adalah 160 cm dan rasio luas persegi panjang dengan persegi

adalah 1.560 : 1.600 = 24 : 25.

3. Panjang sisi persegi yang besar adalah 12 cm dan

keliling persegi yang kecil adalah 32 cm. Tentukan

rasio persegi yang kecil, luas persegi yang besar, dan

luas segitiga yang diarsir.

l

p = 48 cm

S

L =1600 cm2

32 cm

A B C

D

F G

E


Solusi:

144122 ABEGL cm2

84:324: Kp cm

6482 BCDEL cm2


2121212 2222 FGFBBG cm

2888 2222 CDBCBD cm

Perhatikan bahwa BDG adalah segitiga siku-siku, dengan 90DBG .

96212282

1

2

1 BGBDL BDG cm

2

Jadi, luas persegi yang kecil : luas persegi yang besar : luas segitiga yang diarsir =

144 : 64 : 96 = 9 : 4 : 6

G. Belah Ketupat

Definisi:

Belah ketupat adalah suatu jajargenjang yang sisi-sisinya sama

panjang. Atau

Belah ketupat adalah segi empat yang kedua pasang sisi

berhadapannya sejajar dan sama panjang, serta kedua

diagonalnya saling membagi dua sama panjang dan saling tegak

lurus.

1. Sifat-sifat Belah Ketupat

1. Semua sisi belah ketupat sama panjang dan sepasang-

sepasang sejajar.

Pada belah ketupat ABCD, AB = BC = CD = AD dan AB

// CD dan AD // BC.

2. Diagonal-diagonal belah ketupat merupakan garis bagi

sudut-sudutnya.

Pada belah ketupat ABCD, DCABCADACBAC dan

CDBADBCBDABD

3. Diagonal-diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling

berpotongan tegak lurus.

A B

C D

A B

C D

E


Pada belah ketupat ABCD, BDAC dan ACCEAE2

1 dan BDDEBE

2

1 .

4. Sudut-sudut belah ketupat yang berhadapan sama besar.

Pada belah ketupat ABCD, CA dan DB .

5. Sudut-sudut berdekatan pada belah ketupat berjumlah 180o.

Pada belah ketupat ABCD, 180BA dan 180DC .

Contoh:

1. Diketahui belah ketupat ABCD, dengan panjang diagonal AC = 30 cm dan BD = 16

cm. Hitunglah panjang sisi belah ketupat itu.

Solusi:

15302

1

2

1 ACAE cm

8162

1

2

1 BDBE cm

Perhatikan ABE siku-siku di E.

17289815 2222 BEAEAB cm

Jadi, pajang sisi belah ketupat itu adalah 17 cm.

2. Diketahui belah ketupat ABCD, dengan 60A dan AB = 18 cm. Hitunglah

panjang diagonal AC dan BD .

Solusi:

Perhatikan ABE siku-siku di E.

30602

1

2

1ABAE

60309090 BAEABE

9182

1

2

1 ABBE cm

18922 BEBD cm

393182

13

2

1 ABAE cm

3183922 AEAC cm

Jadi, panjang diagonal 38AC cm dan 18BD cm.

A B

C D

E

15

15 8

8

A B

C D

E

18

30o

30o


b. Keliling dan Luas Belah Ketupat

1. Keliling Belah Ketupat

Keliling suatu belah ketupat adalah jumlah semua sisi-

sisinya atau empat kali sisinya.

Keliling suatu belah ketupat dilambangkan dengan huruf

K. Karena belah ketupat mempunyai sisi-sisi yang sama

panjang, maka kelilingnya adalah

)sisi(panjang4K

Keliling persegi ABCD yang mempunyai panjang sisi p

adalah

ADCDBCABK

pK 4

Jika dari suatu belah ketupat diketahui panjang diagonal-diagonalnya 1d dan 2d ,

maka

a. panjang sisinya adalah 22

21

2

1ddp

b. kelilingnya adalah 22

212 ddK

2. Luas Belah Ketupat

Luas suatu belah ketupat adalah setengah panjang diagonal-diagonalnya.

Luas persegi ABCD yang mempunyai panjang diagonal 1dAC dan 2dBD , maka

luas belah ketupat itu yang dilambangkan dengan huruf L adalah

BDACL 2

1

212

1ddL

Contoh:

1. Dari sebuah belah ketupat diketahui panjang diagonal-diagonalnya adalah 10 cm

dan 24 cm. Hitunglah panjang sisi, keliling, dan luas belah ketupat itu.

Solusi:

Panjang sisi belah ketupat adalah

22

21

2

1ddp 22 2410

2

1 676

2

1 1326

2

1 cm

Keliling belah ketupat adalah

A B

C D

E

p


521344 pK cm atau

522626762241022 2222

21 ddK cm

Luas belah ketupat adalah

12024102

1

2

121 ddL cm

2

2. Diketahui belah ketupat ABCD, dengan 120A dan AC = 12 cm. Hitunglah

keliling dan luas belah ketupat itu. Kemudian tentukan panjang AE, yaitu garis

tinggi dari titik A pada sisi BC

Solusi:

Perhatikan ABE siku-siku di E dan

60BAE , maka

12622 AEAB cm

363 AEBE cm

3123622 BEBD cm

Keliling belah ketupat adalah

481244 pK cm

Luas belah ketupat adalah

372312122

1

2

1 BDACL cm

2

12 ABBC cm

AEBCL

AE12372

3612:372 AE cm

H. Trapesium

Definisi:

Segi empat yang dua buah sisinya sejajar dinamakan

trapesium.

ABCD adalah trapesium, dengan AB // CD.

AB = alas (sisi alas)

CD = sisi atas

AD dan BC = kaki (sisi tegak)

B C

D A

E 6

60o

60o

6

A B

C D

E F


DE dan CF = tinggi (garis tinggi)

a. Jenis-jenis Trapesium

Ada 3 jenis trapesium, yaitu trapesium sebarang, trapesium siku-siku, dan trapesium

sama kaki.

1. Trapesium Sebarang

Trapesium sebarang dapat dibentuk dari beberapa bangun datar.

Trapesium ABCD sebarang yang dibentuk oleh persegi panjang CDEF dan dua

segitiga siku-siku, yaitu ADE dan BCF .

Trapesium PQRS sebarang yang dibentuk oleh jajargenjang PTRS dan TQR

2. Trapesium Siku-siku

Trapesium ABCD yang dibentuk dari persegi panjang AECD dan EBC siku-siku.

AB // CD dan 90DA .

Trapesium PQRS dibentuk oleh persegi panjang PTRS dan TQR siku-siku. PQ //

RS dan 90SP .

3. Trapesium Sama Kaki

Trapesium ABCD sama kaki yang dibentuk oleh persegi EFCD dan dua segitiga

kongruen, yaitu AED siku-siku, dan FBC siku-siku. Trapesium PQRS sama kaki

A B

C D

E F P Q

R S

T

P Q

R S

T

P Q

R S

U T

A B

C D

E

A B

C D

F E


dibentuk oleh persegi panjang TURS dan dua segitiga kongruen, yaitu PTS siku-

siku dan UQR siku-siku.

b. Sifat-sifat Trapesium

1. Sifat-sifat Trapesium Sama Kaki

a. Sudut alas sama besar.( BA )

b. Diagonal-diagoanalnya sama panjang. (AC = BD)

Sifat-sifat Kebalikanya:

a. Jika dalam suatu trapesium sudut-sudut alasnya sama besar, maka trapezium itu

adalah trapezium sama kaki.

Jika ABCD trapesium dengan BA , maka AD = BC. Akibatnya ABCD

adalah trapesium sama kaki.

b. Jika dalam suatu trapezium diagonal-diagonalnya sama panjang , maka trapesium

itu sama kaki.

Jika ABCD trapesium dengan BDAC , maka AD = BC. Akibatnya ABCD

adalah trapesium sama kaki.

2. Sifat-sifat Trapesium Siku-siku

Trapesium siku-siku mempunyai tepat dua sudut

siku-siku ( BA = 90o).

3. Garis Jajar Tengah pada Trapesium

Garis yang menghubungkan tengah-tengah sisi tegak

suatu trapesium, sejajar dengan sisi-sisinya yang

sejajar, dan panjangnya setengah jumlah sisi-sisi yang

sejajar itu.

)(2

1CDABPQ (PQ = garis jajar tengah)

Contoh:

1. Diketahui trapezium ABCD, dengan AB // CD, kedua diagonalnya berpotongan di

titik E, sehingga AE = BE, CE = DE, 80ADB , dan 40BAC . Hitunglah

besar A dan D .

Solusi:

Karena AE = BE, maka ABE adalah sama

kaki. Akibatnya 40BACABE .

A B

C D

A B

C D

A B

C D

P Q

A B

C D

40o

E 80o


1004021802180 BACAEB

ADEEADAEB

80100 EAD

20EAD

604020BACEADA

Karena AB // CD dan AC = BD, maka ABCD adalah trapezium sama kaki.

12060180180 AD atau

100AEBDEC

Karena CE = DE, maka DEC adalah segitiga sama kaki. Akibatnya

40)100180(2

1)180(

2

1DECECDEDC

1204080EDCADBD

2. Diketahui trapesium ABCD sama kaki, dengan AB // CD, 30BAC ,

90ACB , dan AB = 12 cm. Carilah besar C , panjang BC, panjang CD, dan

panjang garis jajar tengah PQ.

Solusi:

60309090 BABC

12060180180 BC

6122

1

2

1 ABBC cm

362

1

2

1 BCFB cm

3 FBAE cm

6)33(12)( FBAEABEF cm

6 EFCD cm

9)612(2

1)(

2

1 CDABPQ cm

Jadi, besar 120C , panjang BC = 6 cm, panjang CD = 6 cm, dan panjang garis

jajar tengah PQ = 9 cm.

c. Keliling dan Luas Trapesium

1. Keliling Trapesium

Keliling suatu trapesium adalah jumlah semua

sisi-sisinya.

A B

C D

30o

E F

P Q

A B

C D

E

P Q


Keliling trapesium ABCD dilambangkan

dengan huruf K dan dirumuskan sebagai:

ADCDBCABK

2. Luas Trapesium

Luas trapesium adalah setengah jumlah sisi-sisi yang sejajar dikalikan dengan

tingginya atau jajar tengah dikalikan tingginya.

Pada trapezium ABCD, AB // CD, DE = garis tinggi dan PQ = garis jajar tengah.

Luas trapesium ABCD dilambangkan dengan huruf K dan dirumuskan sebagai:

DECDABL )(2

1

DEPQL

Contoh:

1. Diketahui trapesium siku-siku ABCD, dengan diagonal-diagonalnya berpotongan

tegak lurus di titik E, 90BA , AB // CD, AC = 15 cm, BC = 26 cm,

60BAC . Hitunglah panjang garis jajar tengah, keliling dan luas trapesium

ABCD.

Solusi:

8162

1

2

1 ACAF cm

8 AFCD cm

383162

13

2

1 ACCF cm

38CFAD cm

22 CFBCFB

22484192676382622 cm

30228 FBAFAB cm

Panjang garis jajar tengah = setengah jumlah sisi-sisi yang sejajar

19)830(2

1)(

2

1 CDABPQ cm

Keliling trapezium ABCD adalah

ADCDBCABK 3883882630 cm

Luas trapesium ABCD adalah

A B

C D

26 16

60o

E

F


DECDABL )(2

1315238)830(

2

1 cm atau

DEPQL 31523819 cm2

2. Diketahui trapesium ABCD dengan AB // CD, dibuat garis jajar tengah PQ. AB =

12 cm, CD = 4 cm, dan tinggi trapesium itu 9 cm. Hitunglah luas trapesium

ABCD, trapesium PQCD , dan trapesium ABQP.

Solusi:

8)412(2

1)(

2

1 CDABPQ cm

DECDABLABCD )(2

1

729)412(2

1 cm

2

DECDPQLPQCD2

1)(

2

1 279

2

1)48(

2

1 cm

2

DEPQABLABQP2

1)(

2

1 459

2

1)812(

2

1 cm

2 atau

452772 PQCDABCDABQP LLL cm2

3. Layang-layang

Definisi:

Layang-layang adalah segi empat yang sisinya sepasang-

sepasang (berdekatan) sama panjang dan sepasang sudut

yang berhadapan sama besar.

a. Sifat-sifat Layang-layang

1. Sisi-sisi laying-layang sepasang-sepasang (yang

berdekatan) sama panjang.

Pada layang-layang ABCD, AB = AD dan BC = DC.

2. Sepasang sudut yang berhadapan pada layang-layang sama besar.

Pada layang-layang ABCD, DB .

3. Salah satu diagonal pada layang-layang membagi sudut yang berhadapan tidak sama

besar menjadi dua bagian yang sama besar atau salah satu diagonal layang-layang

merupakan sumbu simetri.

4

9

12 A B

C D

E

P Q

A

B

C

D

O


Diagonal AC merupakan sumbu simetri yang membagi dua sama besar laying-layang

ABCD atau diagonal AC membagi A dan C masing-masing menjadi dua bagian

yang sama besar.

4. Salah satu diagonal membagi dua sama panjang dan tegak lurus diagonal yang lain.

Pada layang-layang ABCD, diagonal BD terbagi dua sama panjang oleh diagonal AC

dan AC tegak lurus BD atau BDAC .

Contoh:

Diketahui layang-layang ABCD, dengan diagonal AC dan BD berpotongan di titik O,

OD = 8 cm, 45ADO , dan 60CDO . Tentukan OB, OC, OA, AB, BC,

BAD , ADC , ABC , dan BCD .

Solusi:

8ODOB cm

383 ODOC cm

8ODOA cm

282 ODAD cm

28 ADAB cm

16822 ODCD cm

16CDBC cm

Karena ADO adalah segitiga sama kaki, maka

45ADODAO

Karena ABO dan ADO adalah kongruen, maka

45DAOBAO

904545BAODAOBAD

1056045CDOADOADC

Karena ADC dan ABC adalah kongruen, maka

105ADCABC

Perhatikan CDO siku-siku di O.

30609090 CDODCO

Karena CDO dan CBO kongruen, maka

30BCODCO

603030BCODCOBCD

b. Keliling dan Luas Layang-layang

A

D

C

B O

8

45o

60o


1. Keliling Layang-layang

Keliling layang-layang adalah jumlah semua


berlainan.

Keliling layang-layang ABCD dilambangkan

dengan huruf K dan dirumuskan sebagai:

ADCDBCABK

Karena AB = AD dan BC = DC, maka

)(2)(2 DCADBCABK

b. Luas Layang-layang

Luas layang-layang adalah setengah perkalian diagonal-diagonalnya.

Luas laying-layang ABCD dilambangkan dengan huruf L dan dirumuskan sebagai:

BDACL 2

1

Contoh:

Diketahui layang-layang ABCD, dengan OC = 15 cm, OD = 8 cm, dan CD = 10 cm.

Hitunglah panjang sisi, diagonal-diagonal, keliling, dan luas layang-layang itu.

Solusi:

Perhatikan ADO siku-siku di O.

17289815 2222 DOAOAD cm

17 ADAB cm

Perhatikan ADO siku-siku di O.

17289815 2222 DOAOAD cm

17 ADAB cm

10 BCDC cm

Perhatikan DCO siku-siku di O.

636810 2222 DOCDOC cm

Panjang diagonal: 21615 OCAOAC cm

Panjang diagonal: 16822 ODBD cm

Keliling layang-layang ABCD adalah

54)1017(2)(2 BCABK cm

Luas layang-layang ABCD adalah

A

B

C

D

O

A

B

C

D O 8

10

15


8416212

1

2

1 BDACL cm

2

bab 6 geometri - jejakseribupena.files.wordpress.com · sebagai berikut. - menggunakan tiga buah...

Documents