lapprak pemodelan oseanografi ii

Laporan Praktikum Pemodelan Oseanografi I

(OS3103)

Modul II

PENYELESAIAN NUMERIK METODE BEDA HINGGA PERSAMAAN

ADVEKSI 1 DIMENSI

Oleh :

Nama : Trie Lany Putri Y (12909003)

Zahra Akbari Ariadji (12909006)

Shift: 1

Asisten Praktikum: Putri Kemili (12907014)

PROGRAM STUDI OSEANOGRAFI

FAKULTAS ILMU DAN TEKNOLOGI KEBUMIAN

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

BANDUNG

2009

BAB I

TEORI DASAR

1.1. FTCS

Persamaan beda hingga dengan metode FTCS ini adalah pendekatan beda maju untuk

turunan waktu dan beda pusat untuk turunan ruang ( Forward in Time and Central in Space –

FTCS). Bila :

Indeks n untuk waktu

Indeks m untuk ruang

u adalah kecepatan aliran yang dianggap konstan terhadap ruang dan waktu

maka persamaannya dideskritisasikan menjadi :

Fmn+1=Fm

n− uΔt2 Δx (Fm+1

n −Fm−1n )

Pada dasarnya metode beda hingga ini tidak stabil secara numerik

1.2. Leapfrog

Persamaan beda hingga dengan metoda ini adalah pendekatan beda pusat untuk

turunan waktu dan beda pusat untuk turunan ruang (Central in Time and Central in Space –

CTCS), persamaannya dapat dideskritisasi menjadi :

Fmn+1=Fm

n−1−uΔtΔx (Fm+1

n −Fm−1n )

Khusus pada awal langkah (t = 0) deskritisasi persamaan diatas menggunakan beda

maju untuk waktu dan beda pusat untuk ruang (metode FTCS) maka pada t = ∆t atau n =1

desritisasi yang digunakan adalah :

Fm1 =Fm

0 − uΔt2Δx (Fm+1

0 −Fm−10 )

Dimana F0 diambil dari nilai awal yang diberikan di semua ruang

Kriteria stabilitas untuk menyelesaikan persamaan adveksi dengan menggunakan

metode beda hingga eksplisit adalah :

λ=uΔtΔx

≤1 .0

1.3. Upstream

Pada metode ini digunakan pendekatan metode beda maju untuk turunan terhadap

waktu, sedangkan untuk turunan terhadap ruang dilakukan dengan melihat arah kecepatan u.

Jika u > 0, turunan terhadap ruang menggunakan pendekatan beda mundur

∂F∂ t

=−u∂F∂ x

Fmn+1−Fm

n

Δt=−u

(Fmn −Fm−1n )

Δx

Fmn+1=Fm

n−uΔtΔx (Fm+1

n −Fm−1n )

Jika u < 0, turunan terhadap ruang menggunakan pendekatan beda maju

∂F∂ t

=−u∂F∂ x

Fmn+1−Fm

n

Δt=−u

(Fm+1n −Fm

n )Δx

Fmn+1=Fm

n−λ (Fm+1n −Fm

n )

Jika kedua persamaan tersebut digabungkan, maka deskritisasi persamaan adveksi dengan

metode upstream menjadi :

Fmn+1=Fm

n−(1−|u| ΔtΔx )+ uΔt2 Δx ( (u+|u|) Fm−1

n + (|u|−u )Fm+1n )

Kriteria stabilitas yang harus dipenuhi :

λ=uΔtΔx

≤1 .0

1.4. Implisit Crank Nicholson

Kelemahan dari metoda eksplisit adalah adanya kriteria stabilitas yang harus dipenuhi,

untuk mengurangi ketidakbergantungan pada kriteria stabilitas itu, digunakan metoda crank –

nicholson, yaitu metoda implisit dimana turunan kedua fungsi didekati dengan harga rata-rata

pada langkah waktu ke-(n+1) dan ke-n.

Metoda ini menggunakan beda maju untuk turunan terhadap waktu dan beda pusat

untuk turunan terhadap ruang (FTCS) dengan perata-rataan terhadap waktu.

Persamaannya didesritisasikan jadi :

Fmn+1−Fm

n

Δt=−

12 [u Fm+1

n+1 −Fm−1n−1

2 Δx+uFm+1n −Fm−1

n

2 Δx ]

BAB II

METODOLOGI

1.1 Flowchart

1.1.1. FTCS

1.1.2. Leapfrog

1.1.3. Upstream

1.1.4. Crank Nicholson

1.2 Skenario

Kelompok 11

L (m) : 1000

dx (m) : 50

dt (s) : 2

u1 (m/s) : 0.45

u2 (m/s) : -0.75

Konsentrasi polutan

kontinu di grid (2,10) : 50

diskontinu di grid (2,13) : 100

1.3 Print Screen

1.1.1. FTCS

1.1.1.1.Diskontinu

1.1.1.2. Kontinu

1.1.1.3. Diskontinu-Kontinu

1.1.2.Leapfrog

1.1.2.1. Diskontinu

1.1.2.2. Kontinu

1.1.3.Upstream

1.1.3.1. Diskontinu

1.1.3.2. Kontinu

1.1.4.Crank Nicholson

1.1.4.1. Diskontinu

1.1.4.2. Kontinu

BAB III

HASIL DAN ANALISIS

1.2. Grafik

1.2.1. FTCS

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

FTCS Diskontinu u1 terhadap ruang

t=2t=22t=57t=72t=97t=147t=172

GRID

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

FTCS Diskontinu u1 terhadap waktu

Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19

Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

FTCS Diskontinu-Kontinu u2 terhadap ruang

t=2t=17t=32t=47t=62t=77t=98

Grid RUANG

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

FTCS Diskontinu-kontinu u2 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

FTCS Diskontinu-kontinu u1 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

FTCS Diskontinu-Kontinu u1 terhadap ruang

t=2t=22t=57t=72t=97t=147t=172

Grid RUANG

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

FTCS Diskontinu u2 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

FTCS Diskontinu u2 terhadap ruang

t=2t=17t=32t=47t=62t=77t=98

GRID RUANG

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

FTCS Kontinu u1 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

FTCS Kontinu u1 terhadap ruang

t=2t=52t=90t=128t=166t=242t=266

GRID

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100109118127136145154163172

-60

-40

-20

0

20

40

60

FTCS Kontinu u2 terhadap waktu

grid 1grid 4grid 7grid 10grid 13grid 16grid 19

WAKTU

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

FTCS Kontinu u2 terhadap ruang

t=2t=22t=57t=72t=97t=147t=175

GRID

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

1.2.2. Leapfrog

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CTCS Kontinu u1 terhadap ruang

t=2t=52t=90t=128t=166t=220t=263

GRID RUANG

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CTCS Kontinu u1 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CTCS Kontinu u2 terhadap ruang

t=2t=22t=57t=87t=117t=147t=172

GRID RUANG

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CTCS Kontinu u2 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CTCS Diskontinu u2 terhadap ruang

t=2t=17t=32t=47t=62t=77t=96

GRID RUANG

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CTCS Diskontinu u2 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CTCS Diskontinu u1 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CTCS Diskontinu u1 terhadap ruang

t=2t=22t=57t=72t=97t=147t=170

WAKTU

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CTCS Diskontinu-Kontinu u2 terhadap ruang

t=2t=17t=32t=47t=62t=77t=96

GRID

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CTCS Diskontinu-kontinu u2 terhadap waktu


Waktu

Kons

entr

asi p

olut

an

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CTCS Diskontinu-Kontinu u1 terhadap ruang

t=2t=22t=57t=72t=97t=147t=170

GRID

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CTCS Diskontinu-kontinu u1 terhadap waktu


Waktu

Polu

tan

1.1.1. Upstream

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

Upstream Diskontinu u2 terhadap ruang

t=2t=22t=57t=92t=125t=157t=176

GRID RUANG

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

UPSTREAM Diskontinu u2 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

UPSTREAM Diskontinu u1 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

Upstream Diskontinu u1 terhadap ruang

t=2t=15t=35t=55t=75t=95t=109

GRID RUANG

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

UPSTREAM Diskontinu-kontinu u2 terhadap waktu


WaktuKON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

Upstream Diskontinu-Kontinu u2 terhadap ruang

t=2t=15t=35t=55t=75t=95t=113

GRID RUANG

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

UPSTREAM Diskontinu-kontinu u1 terhadap waktu


Waktu

Kons

entr

asi P

olut

an

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

Upstream Diskontinu-Kontinu u1 terhadap ruang

t=2t=15t=35t=55t=75t=95t=109

GRID RUANG

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

Upstream Kontinu u1 terhadap ruang

t=2t=52t=80t=128t=158t=186t=222

GRID RUANG

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

UPSTREAM Kontinu u1 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

Upstream Kontinu u2 terhadap ruang

t=2t=15t=35t=55t=75t=95t=113

GRID RUANG

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

UPSTREAM Kontinu u2 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N


0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CRANK NICHOLSON Diskontinu-kontinu u1 terhadap ruang

t=2t=22t=57t=92t=125t=157t=186

GRID RUANG

KONS

ENTR

ASI P

OLUT

AN

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CRANK NICHOLSON Diskontinu-kontinu u2 terhadap ruang

t=2t=15t=35t=55t=75t=95t=113

GRID RUANG

KONS

ENTR

ASI P

OLUT

AN

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CRANK NICHOLSON Diskontinu u1 terhadap ruang

t=2t=22t=57t=92t=125t=157t=186

GRID RUANG

KONS

ENTR

ASI P

OLUT

AN

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CRANK NICHOLSON Diskontinu u2 terhadap ruang

t=2t=15t=35t=55t=75t=95t=113

GRID RUANG

KONS

ENTR

ASI P

OLUT

AN

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CRANK NICHOLSON Kontinu u1 terhadap ruang

t=2t=52t=90t=128t=160t=220t=265

GRID RUANG

KONS

ENTR

ASI P

OLUT

AN

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CRANK NICHOLSON Kontinu u2 terhadap ruang

t=2t=22t=57t=86t=125t=157t=169

GRID RUANG

KONS

ENTR

ASI P

OLUT

AN

2.

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CRANK NICHOLSON Diskontinu u1 terhadap waktu


WaktuKON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CRANK NICHOLSON Diskontinu u2 terhadap waktu


WaktuKON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CRANK NICHOLSON Kontinu u1 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CRANK NICHOLSON Kontinu u2 terhadap waktu


Waktu

KON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CRANK NICHOLSON Diskontinu-kontinu u1 terhadap waktu


WaktuKON

SEN

TRAS

I PO

LUTA

N

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

CRANK NICHOLSON Diskontinu-kontinu u2 terhadap waktu


Waktu

Kons

entr

asi P

olut

an

2.1. Analisis

Analisis Trie Lany Putri Y (12909003)

a. Yang mana yang lebih stabil?

Menurut teori, urutan metode dari yang paling stabil sampai paling tidak stabil yaitu

crank nicholson, upstream, leapfrog, dan FTCS.

b. Bagaimana pengaruh syarat kestabilan?

Syarat kestabilan terlihat berfungsi ketika melihat perbedaan kestabilan grafik FTCS

dan leap frog, dimana FTCS menghasilkan grafik yang lebih tidak stabil daripada

metode leapfrog karena tidak memiliki syarat kestabilan. Metode upstream yang

memiliki nilai syarat kestabilan menghasilkan grafik yang lebih stabil dibandingkan

dengan kedua metode sebelumnya, sedangkan crank nicholson yang memiliki

kemampuan untuk mengurangi kebergantungan terhadap syarat kestabilan dengan cara

pendekatan harga rata-rata pada langkah n+1 dan n menghasilkan grafik yang paling

stabil dibandingkan dengan metode yang lain.

c. Bagaimana hasil untuk kontinu, diskontinu, maupun diskontinu-kontinu?

Terdapat perbedaan lamanya simulasi.

d. Bagaimana pengaruh kecepatan positif dan negatif?

Pengaruh kecepatan positif dan negatif adalah arah persebarannya.

e. Bagaimana dengan lamanya simulasi?

Lama penyebaran konsentrasi polutan hingga konsentrasi polutan menjadi sangat kecil

pada jarak grid ruang dan waktu tertentu, sesuai dengan syarat batas yang ditentukan

sehingga kita dapat mengetahui pada jarak berapa dan berapa lama polutan menyebar

sampai dia mengecil pada suatu aliran. Dan besarnya kecepatan memengaruhi lamanya

simulasi. Semakin besar nilai kecepatan persebaran, semakin cepat waktunya.

2.1.1. FTCS

Metode FTCS merupakan metode pendekatan yang paling tidak stabil di antara empat

metode. Karena metode ini tidak memiliki syarat kestabilan yang harus dipenuhi. Oleh

karena itu terdapat persebaran polutan pada grid ruang yang seharusnya tidak terkena

persebaran dan bernilai negatif.

Terlihat dari grafik bahwa nilai konsentrasi polutan semakin bertambah seiring

bertambahnya waktu pengamatan. Lalu polutannya tersebar ke segala arah walau telah

ditentukan arah kecepatannya itu karena tidak adanya syarat kestabilan yang harus

dipenuhi.

2.1.2. Leapfrog

Metode Leapfrog lebih stabil dibanding FTCS karena memiliki syarat kestabilan yang

harus dipenuhi sehingga walaupun nilai total persebaran polutan juga terus membesar

terhadap waktu. Terlihat dari grafik bahwa masih terdapat penyebaran di sisi grid lain.

Maksudnya, dalam penyebaran polutan ke kanan, masih terdapat polutan yang tersebar

ke arah kiri.

2.1.3. Upstream

Lebih stabil dibanding leapfrog karena memiliki pendekatan yang berbeda untuk arah

kecepatan yang berbeda sehingga tidak ada perembesan ke arah sebaliknya dari arah

kecepatan persebaran polutan yang dikehendaki karena metode upstream

menggunakan pedekatan beda maju dan mundur secara terpisah. Nilai total konsentrasi

polutan fluktuatif namun masih tidak berbeda jauh. Contoh pada persebaran

diskontinu, nilai total konsentrasi polutan berkisar dari 99-101 mg.


Metode ini paling stabil karena nilai total konsentrasi polutan berkurang

terhadap waktu. Kalaupun ada nilai pertambahan konsentrasi polutan, tidak sebesar

metode lain. Ini karena metode Crank Nicholson menghilangkan ketergantungan

terhadap syarat kestabilan, metode ini menggunakan metode implisit dimana turunan

kedua fungsi turunan kedua fungsi didekati dengan harga harga rata-rata pada langkah

ke n+1 dan ke n.

Analisis Zahra Akbari Ariadji (12909006)

Dalam penulisan syntax program, ketelitian dalam menulis rumus/formula metode sangat

diperlukan. Jika salah sedikit, maka persebaran polutan akan menjadi sangat tidak masuk akal.

Pada setiap program, nilai awal n ditulis 1, karena jika kita menuliskan persebaran polutan

pada saat ke n=1 adalah nol, maka langkah waktu selanjutnya adalah untuk n=2, 3, dst.

Contohnya pada penulisan program metode ctcs, di rumus metode ctcs pada konsentrasi n-1

tidak diketahui, sehingga kita harus menggunakan metode ftcs pada waktu ke 2 dan 3, lalu ctcs

pada waktu ke-4.

Metode FTCS (Forward Time Central Space) adalah metode yang paling tidak stabil,

konsentrasi polutan tersebar merata dari detik polutan itu mulai diberikan, namun arah

persebarannya tidak sesuai dengan yang seharusnya. FTCS tidak stabil karena tidak adanya

syarat kestabilan, dimana syarat itu bisa menahan agar hasil-hasil pendekatan numerik tidak

melenceng jauh. Hasil persebaran polutan untuk FTCS diskontinu-kontinu agak tersebar tidak

masuk akal, karena disamping grid yang polutannya 50 secara kontinu (dengan kecepatan

positif), diakhir-akhir waktu polutannya berkisar diantara 100. Ini menunjukan bahwa metode

FTCS mendekati gelombang numerik secara tidak konsisten. Pada hasil persebaran

konsentrasi diskontinu, dengan konsentrasi awal 100 mg, lalu berkurang seiring waktu.

Dengan kecepatan u1 (positif) seharusnya arah persebaran konsentrasi ke kanan, tetapi masih

ada yang persebarannya ke kiri. Begitu pun dengan hasil persebaran konsentrasi kontinu.

Metode Leapfrog adalah metode yang lebih baik daripada metode FTCS, lebih stabil

walaupun tidak konsisten, dikarenakan ada pengaruh syarat kestabilan. Metode leapfrog pada

awalnya menggunakan metode FTCS. Metode Leapfrog tidak konsisten karena pendekatan

numeriknya fluktuatif. Dari grafik diskontinu-kontinu, kontinu, dan diskontinu, walaupun

misalnya penyebaran polutan dimaksudkan ke kanan, tetapi masih ada penyebaran ke grid

sebelah kiri.

Metode Upstream merupakan metode yang menggunakan pedekatan beda maju dan

mundur secara terpisah, hal ini menghasilkan grafik yang lebih stabil dibandingkan dengan

ftcs dan leap frog. Dari program, upstream menggunakan pendekatan arah kecepatan yang

berbeda untuk kecepatan positif dan negatif sehingga hasil lebih stabil. Pada grafik diskontinu-

kontinu, penyebaran konsentrasi diskontinu 100 mg dan kontinu 50 baik ke arah kiri maupun

ke kanan, sesuai dengan hasil yang diharapkan. Lalu pada grafik diskontinu konsentrasi 100

mg ke arah kanan ataupun kiri, konsentrasi terus berkurang seiring dengan waktu bertambah

dan tersebar secara merata. Begitupun dengan grafik kontinu 50 mg jika kecepatannya negatif,

dapat dilihat bahwa penyebaran konsentrasi 50 mg secara terus menerus per detik menyebar

ke kiri, tidak ada penyebaran ke arah kanan.

Metode Crank Nicholson adalah metode yang menghilangkan ketergantungan terhadap

syarat kestabilan, dan menggunakan metode implisit dimana turunan kedua fungsi turunan

kedua fungsi didekati dengan harga harga rata-rata pada langkah ke n+1 dan ke n. Seharusnya

metode crank nicholson adalah metode yang hasil penyebaran konsentrasinya lebih baik dan

stabil, tetapi terdapat kesalahan pada pemograman sehingga praktikan tidak mendapat hasil

yang lebih baik daripada metode upstream.

Dari program-program yang menghasilkan grafik-grafik persebaran konsentrasi polutan,

seharusnya metode yang paling stabil adalah metode Crank Nicholson. Kecepatan positif atau

negatif berpengaruh terhadap arah persebaran saja, kecepatan positif persebarannya ke arah

kanan, kecepatan negatif persebarannya ke arah kiri. Praktikan menggunakan kecepatan u1

0.45 dan u2 -0.75. Jika tidak dilihat tanda minus atau plusnya, maka bisa dilihat bahwa 0.75

lebih besar daripada 0.45, sehingga lama simulasi dengan menggunakan kecepatan u2 (-0.75)

lebih cepat daripada program-program yang menggunakan u1 (0.45). Tanda negatif atau

positif hanya menunjukan arah persebaran. Lama simulasi untuk persebaran kontinu u1

cenderung paling lama pada setiap metode, karena kecepatannya lebih kecil dan polutan diberi

terus menerus sejumlah 50 mg setiap waktu, sehingga persebaran merata lebih lama.

BAB V

KESIMPULAN

Kesimpulan Trie Lany Putri Y (12909003)

Metode pendekatan numerik yang paling stabil adalah Metode Crank Nicholson dan

metode pendekatan numerik yang paling tidak stabil adalah Metode FTCS.

Metode pemodelan numerik eksplisit membutuhkan syarat kestabilan agar grafik yang

dihasilkan stabil.

Suatu syarat batas (bukan syarat batas yang berlaku untuk seluruh kondisi waktu) dapat

digunakan untuk mengetahui seberapa lama dan panjang pengaruh dari suatu polutan

hingga taraf yang aman sesuai ketetapan.

Besar kecepatan persebaran memengaruhi kecepatan (waktu) polutan tersebar di

seluruh grid.

Kesimpulan Zahra Akbari Ariadji (12909006)

1. Ada beberapa metode untuk menyelesaikan numerik metode beda hingga persamaan

adveksi 1 dimensi, yaitu metode FTCS, Leap-Frog, Upstream, dan Crank Nicholson. Masing-

masing mempunyai pendekatan numerik dengan cara yang berbeda-beda.

2. Metode pemodelan numerik yang paling baik adalah Metode Crank Nicholson, dan metode

pemodelan numerik yang paling tidak stabil adalah Metode FTCS.

3. Upstream menggunakan pendekatan numerik berbeda-beda untuk kecepatan positif dan

negatif, sehingga hasilnya lebih stabil dan lebih baik daripada metode FTCS dan Leap-Frog.

4. Kondisi syarat batas, nilai awal, dan pengkondisian akhir konsentrasi polutan diperlukan

untuk mengetahui seberapa lama dan panjang pengaruh suatu polutan hingga dalam taraf aman

yang diinginkan dalam pantauan.

BAB 6

PUSTAKA

DR.rer.nat. Mutiara R. Putri, Modul Praktikum OS 3103 Pemodelan Oseanografi

Lembar Penilaian

Aspek Pengujian

Teori dasar

Flowchart

Program

Output

Analisis

Kesimpulan

lapprak pemodelan oseanografi ii

Documents