tugas analisa dan pemodelan oseanografi-asep.pdf

TUGAS

Analisis dan Pemodelan Oseanografi

(ITK 628)

Model Hidrodinamika 1D sederhana

dan

Model Hidrodinamika 1D dengan variasi topografi

Oleh

Asep Sandra Budiman

C551120101 / S2 IKL

Diajukan untuk memnuhi salah satu tugas Mata Kuliah

Analisis dan Pemodelan Oseanografi

SEKOLAH PASCASARJANA

DEPARTEMEN ILMU DAN TEKNOLOGI KELAUTAN

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

5

Model Hidrodinamika 1D dan 2D

Sirkulasi massa air laut dapat dijelaskan dengan model hidrodinamika. Model

hidrodinamika didasarkan pada Hukum Newton II. Hukum ini menyatakan bila resultan gaya

bekerja pada suatu massa fluida maka fluida tersebut akan mengalami perubahan momentum

atau mengalami perubahan kecepatan (percepatan). Secara umum terdapat empat jenis gaya

yang bekerja pada massa air laut, yaitu gaya gradien tekanan, gaya coriolis, gaya gravitasi, dan

gaya friksi per unit massa (Ramming dan Kowalik, 1980; Pond dan Pickard, 1983; Stewart,

2002).

Persamaan Hidrodinamika

Hidrodinamika memiliki dua persamaan dasar, yaitu persamaan kontinuitas dan

persamaan momentum . Persamaan hidrodinamika diturunkan dari Hukum Newton II yang

disebut hukum kekekalan momentum yang menyatakan bahwa perubahan momentum

terhadap waktu sama dengan total gaya yang bekerja. Hukum ini dijabarkan dalam bentuk

persamaan matematika sebagai berikut (Ramming dan Kowalik, 1980):

- komponen x

uAz

ukfv

x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

2

21

.................................... (1)

- komponen y

vAz

vkfu

y

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

2

21

.................................... (2)

- komponen z

wAz

wkg

z

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

2

21

................................. (3)

dimana:

= Laplace operator 3 dimensi

2

2^

2

2

2

2

zk

yj

xi

t = variabel waktu (det)

^^^

,, kji = unit vektor pada sumbu x, y dan z

6

A = koefisien viskositas Eddy lateral atau koefisien peertukaran momentum pada arah

horizontal

p = tekanan air laut (kg/m.det2)

g = percepatan gravitasi bumi (m/ det2)

= densitas air laut (kg/m3)

k = koefisien viskositas Eddy vertikal atau koefisien pertukaran momentum arah

vertikal

f = parameter coriolis ( sin2f )

Ruas kiri dari persamaan (1), (2), (3) merupakan total derivatif dari velositas yang

berubah terhadap waktu (percepatan) yang terdiri dari percepatan lokal dan suku advektif.

Ruas kanan dari persamaan (1), (2), (3) merupakan gaya-gaya yang bekerja pada massa air

seperti komponen tekanan, gaya coriolis, percepatan gravitasi bumi, gaya lain yang bekerja

terhadap massa air seperti gaya gesekan angin, gaya gesekan dasar dan gaya gesekan akibat

pergerakan partikel fluida itu sendiri yang menghasilkan gerakan turbulen.

Dengan mengasumsikan bahwa air laut merupakan fluida incompressible, maka akan

ditambahkan persamaan kontinuitas ke dalam sistem persamaan di atas dalam bentuk

(Ramming dan Kowalik, 1980):

0

z

w

y

v

x

u ................................................................................ (4)

Persamaan kontinuitas merupakan persamaan untuk menggambarkan perubahan massa

dari fluida yang melewati suatu ruang yang tetap haruslah sama antara debit masukkan dan

keluarannya (Pond dan Pickard, 1983).

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan di Laut Baltik dan North Sea, diperoleh

kedalaman karakteristik H adalah 100 m = 104 cm dan panjang karakteristik L 103 km =

108 cm. Dengan menggunakan persamaan kontinuitas dilakukan uji dimensi, sehingga

didapatkan (Ramming dan Kowalik, 1980):

0H

w

L

v

L

u..................................................................................................... (5)

dimana u = v = S, maka diperoleh:

41022 xL

H

S

wcm ......................................................................................... (6)

Berdasarkan hasil uji dimensi tersebut dapat diketahui bahwa kecepatan vertikal (w)

memiliki nilai yang kecil dibandingkan dengan kecepatan horizontal (u dan v), sehingga kita

7

bisa menyatakan bahwa bentuk-bentuk persamaan yang melibatkan kecepatan vertikal dapat

diabaikan. Dengan demikian, persamaan (1), (2) dan (3) menjadi (Ramming dan Kowalik,

1980):

- komponen x

uAz

ukfv

x

p

y

uv

x

uu

t

u

2

21

............................... (7)

- komponen y

vAz

vkfu

y

p

y

vv

x

vu

t

v

2

21

................................... (8)

- komponen z

gz

p

t

w

1 ............................................................................................... (9)

Dengan melakukan uji dimensi lanjutan dan mengambil nilai kecepatan horizontal

u = v = p = 100 cm/detik kita dapat menghitung masing-masing bentuk dari persamaan di

atas, yaitu:

1. Bentuk non Linear, dengan memperhatikan persamaan x

uu

, maka

x

uu

=

42

10

L

pcm/s2..... (10)

Hasil ini menunjukkan bahwa bentuk non linier penting diperhitungkan ketika kecepatan

berubah dalam jarak horizontal yang pendek.

2. kecepatan vertikal t

w

Jika dibandingkan antara nilai t

w

dengan nilai gravitasi dan gradien tekanan, maka

dapat dikatakan bahwa t

w

8

uAz

ukfv

x

p

t

u

2

21

................................. (11)

- komponen y

vAz

vkfu

y

p

t

v

2

21

.................................... (12)

- komponen z

gz

p

10 .............................................................................................. (13)

Melalui integrasi persamaan (13 dari dasar (z) sampai permukaan ( ) dengan

mengasumsikan bahwa tekanan permukaan bebas (free surface) adalah sama dengan tekanan

atmosfer Pa (x, y, t), maka diperoleh persamaan 14 berikut (Ramming dan Kowalik, 1980):

)( Hgpp a .......................................................................................... (14)

Substitusi persamaan (14) ke dalam persamaan (11) dan (12), diperoleh persamaan

dari komponen arus horizontal 2 dimensi yang tidak terstratifikasi menjadi (Ramming dan

Kowalik, 1980):

- komponen x

uAz

uk

x

p

xgfv

t

u a

2

21

......................................................... (15)

- komponen y

vAz

vk

y

p

ygfu

t

v a

2

21

...................................................... (16)

I II III IV V

Arti fisis dari masing-masing suku dalam persamaan (15) dan (16) adalah:

Suku I menyatakan perubahan momentum lokal atau disebut percepatan lokal terhadap

bidang horizontal (arah sumbu x dan y).

komponen x : t

u

komponen y : t

v

9

Suku II adalah perubahan momentum akibat gaya Coriolis (Bishop, 1984), ditulis:

sin2f

Untuk komponen x dan y didapat hubungan sebagai berikut:

komponen x : f .v

komponen y : - f .u

dimana:

f = parameter Coriolis

= sudut lintang geografis

u = kecepatan arus arah sumbu x

v = kecepatan arus arah sumbu y

Suku III menyatakan gaya tekanan horizontal yang terdiri dari dua suku yaitu

kontribusi tekanan atmosfir permukaan (Pa) dan tekanan hidrostatik (Ph) akibat adanya

perbedaan ketinggian muka air, hal ini menyebabkan, massa air bergerak ke daerah

tekanan yang lebih rendah. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut (Bishop,

1984):

komponen x :x

p

xg a

komponen y : y

p

yg a

10

dimana menyatakan elevasi terhadap rerata muka air (MSL) dan pa merupakan tekanan

atmosfir di permukaan laut.

Suku IV menyatakan gaya gesekan turbulen arah vertikal yang terdiri dari gaya gesekan

angin di permukaan dan gaya gesekan dasar. Pengaruh dari gesekan angin terjadi sampai

pada kedalaman Ekmann dimana pada kedalaman ini massa air teraduk sempurna.

Besarnya gaya gesekan angin w tergantung pada kecepatan angin dan koefisen

geseknya yang dalam bentuk matematis dapat dijabarkan sebagai berikut (Bishop, 1984):

komponen x : 2/122 www vuu

komponen y : 2/122 www vuv

dimana:

: koefisien gesekan angin

uw : kecepatan angin arah sumbu x

vw : kecepatan angin arah sumbu y

Gaya gesekan dasar besarnya tergantung pada kecepatan arus dan kedalaman yang secara

matematis ditulis sebagai berikut (Bishop, 1984):

komponen x :

2/1

2

22

H

vuru

komponen y :

2/1

2

22

H

vurv

dimana:

r : koefisien gesekan dasar

H : kedalaman perairan

Suku V adalah gaya gesekan turbulen horizontal yang besarnya amat bergantung pada

turbulensi dari aliran (Bishop, 1984) :

komponen x :

2

2

2

2

y

u

x

uAh

komponen y :

2

2

2

2

y

v

x

vAh

Dengan mengasumsikan bahwa air laut merupakan fluida yang bersifat incompressible akan

menambahkan persamaan kontinuitas ke dalam sistem persamaan di atas dalam bentuk:

11

0

z

w

y

v

x

u

Persamaan Hidrodinamika dan Asumsi yang Diterapkan

Asumsi-asumsi yang diterapkan dalam persamaan model hidrodinamika yang digunakan

yaitu (Pond dan Pickard, 1983):

Tekanan atmosfer permukaan (Pa) adalah konstan, sehingga turunan parsialnya

terhadap x dan y sama dengan nol

0

y

P

x

P aa

.

Daerah model yang relatif kecil dan berada dekat dengan khatulistiwa sehingga

pengaruh gaya coriolis terhadap gerak massa air dapat diabaikan. Gaya coriolis dapat

diabaikan dengan menentukan Radius Deformasi Rossby (Rb) untuk daerah model

yang diteliti, yaitu (Pond dan Pickard, 1983):

5

2/1

10524,1

218,9

x

x

f

gHRb maks = 3054985,941 km

dimana :

Rb : radius deformasi Rossby

f : parameter coriolis ( sin2f )

: kecepatan sudut bumi = 7,29x105 rad/detik

: sudut lintang

Untuk kajian wilayah peraran skala kecil atau lokal seperti perairan pantai, teluk, dan estuari

dimana skala lateraalnya lebih kecil dari nilai radius deformasi Rossby-nya, maka efek

coriolisnya dapat diabaikan.

Diasumsikan tidak ada stratifikasi densitas air laut ( konstan).

Tidak ada sumber (source) dan kebocoran (sink) air laut yang terjadi di dalam daerah

model, artinya evaporasi dan presipitasi diabaikan serta dasar laut bersifat

impermeable.

Tidak ada sumber momentum (gaya-gaya luar) yang terjadi pada area, seperti gerakan

kapal, tsunami dan gempa.

Batas tertutup tidak bergeser dengan naik-turunnya permukaan air laut.

12

Berdasarkan asumsi-asumsi di atas maka suku-suku tekanan atmosfer, viskositas eddy

vertikal yang ada pada persamaan (15) dan (16) dapat diabaikan. Dengan demikian persamaan

hidrodinamika laut yang digunakan adalah dalam bentuk (Ramming dan Kowalik, 1980):

- komponen x

uAHHx

gfvt

u xbx

s

)()(........................................................ (17)

- komponen y

vAHHy

gfut

v yby

s

)()( ..................................................... (18)

Kemudian persamaan (17), dan (18) diintegrasikan terhadap kedalaman secara vertikal

dari dasar (z = -H) sampai ke permukaan (z = ) untuk mendapatkan persamaan transpor

massa sehingga diperoleh persaman kecepatan rata-rata dalam bentuk transpor massa air dua

dimensi (Ramming dan Kowalik, 1980):

UAH

VUrUWWW

dxgH

t

Uyxx

2

2/12222 )(

... (19)

VAH

VUrVWWW

dygH

t

Vyxy

2

2/12222 )(

....... (20)

Integrasi persamaan kontinuitas (4) dari dasar (z=-H) sampai permukaan (z= )

menghasilkan:

(

+

) +

= 0

+

+ () () = 0

I II III IV

Hasil integrasi suku I menghasilkan :

=

Sedangkan suku II menghasilkan :

=

Suku III dan IV diselesaikan dengan menerapkan persamaan permukaan bebas dalam bentuk

z= (, , ) diperoleh

13

w() =

+

+

dan

w(-H) =

=

+

sehingga persamaan kontinuitas dapat ditulis sebagai :

+

+

+

+

+

+

= 0

suku-suku yang tertinggal adalah

+

+

= 0

atau dapat ditulis sebagai :

0

ty

V

x

U ... (21)

dimana:

0H

zuU ;

0H

zvV

adalah elevasi muka air laut dari muka air laut rata-rata (MSL)

H adalah kedalaman perairan (Ho + )

adalah koefisien gesekan angin

xW adalah kecepatan angin arah sumbu-x

yW adalah kecepatan angin arah sumbu-y

14

MODEL HIDRODINAMIKA 1D SEDERHANA

Persamaan Pembangun

Persamaan Hidrodinamika (19) dan (20) bila dinyatakan secara sederhana dalam 1D memiliki

bentuk :

dxgH

t

U

... (22)

Dengan asumsi bahwa gesekan angin dan gesekan dasar diabaikan serta friksi horizontal

dianggap kecil atau diabaikan sehingga suku-suku ini dapat dihilangkan.

Persamaan kontinuitas 1D dinyatakan dengan

)23.(..............................0

tx

U

dimana u adalah kecepatan sesaat (m/dt), elevasi (m), H=d+ kedalaman terukur (m) konstan

terhadap ruang, dan g koefisien gravitasi bumi (m/dt2).

Deskritisasi Model

Persamaan hidrodinamika 1 dimensi sederhana (22) dan (23) dapat dideskritisasi

secara eksplisit melalui metode beda hingga menjadi :

ninix

tni

gHniu

niu

1

1 (24)

ni

uniux

tni

ni 1

1

(25)

dimana nid

niH (26)

Deskritisasi numerik persamaan hidrodinamika 1 dimensi secara eksplisit tersebut

diatas harus memenuhi kriteria stabilitas Courant-Freiderichs-Lewy (CFL) sebagai berikut :

gH

xt

(27)

Solusi analitik

Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan secara analitik dengan memberikan nilai

elevasi secara sinusoidal sebagai berikut :

txkA **cos* (28)

sehingga diperoleh solusi analitik kecepatan adalah :

15

tdxxkCoHAu **5.0*cos**/ (29)

Kedua solusi analitik tersebut diatas atau persamaan (7) dan (8) akan digunakan sebagai nilai

awal dan syarat batas numerik.

Metode penentuan nilai awal dan syarat batas.

Nilai Awal

Pada saat awal di setiap grid secara numerik dapat dituliskan :

xkA *cos* saat t=0 (30)

xxkCoi

HAi

u *5.0*cos**/ saat t=0 (31)

dimana A adalah amplitudo gelombang dan Co adalah kecepatan gelombang di perairan

dangkal.

Syarat Batas

Syarat batas di hilir (di grid ke-0)diberikan elevasi sebagai berikut :

tAn *cos*10

(32)

Sedangkan syarat batas di hulu (di grid ke-imax) diberikan kecepatan sebagai berikut :

tklConi

HAi

u *cos**1

max/

(33)

Kriteria kestabilan

Syarat kestabilan model hidrodinamika 1D sederhana adalah :

Dimana g = percepatan graviatasi dan H adalah Kedalaman Maksimum

Skenario model

Parameter-parameter yang digunakan di dalam model Hidrodinamika 1D sederhana

dan nilainya antara lain adalah :

Panjang kanal (L) = 2000

Periode Gelombang (T)= 450

Kedalaman (d) = 10

16

Gravitasi (g) = 10

Jumlah grid (imax) = 40

Lama Simulasi = 3T atau 1050 detik

Skenario Model hidrodinamika 1D sederhana

- Amplitudo gelombang 0.1 , 0.5 , dan 1

- Kedalaman (d) tetap = 10

17

LISTING PROGRAM

Skenario 1: Hidrodinamika sederhana (Kedalaman tetap)

!Program Model Hidrodinamika 1-D Sederhana

real seta, seta0, u, u0, ka, sigma, Co

dimension H(100), u0(100), u(100), seta0(100), seta(100)

open (1,FILE='elvruang1D.txt',status='unknown')

open (2,FILE='elvwaktu1D.txt',status='unknown')

open (3,FILE='arsruang1D.txt',status='unknown')

open (4,FILE='arswaktu1D.txt',status='unknown')

! Variabel-variabel

L=2000

T=450

! Pemberian nilai Amplitudo A

A=0.1

! Kedalaman tetap/sama di semua sel, d=10

d=10

g=10

tmax=3*T

dt=3

itermax=tmax/dt

imax=40

jmax=40

dx=L/imax

pi=3.141592654

sigma=2*pi/T

Co=sqrt(g*d)

ka=sigma/Co

!Syarat Awal

do i=1,imax

seta0(i)=A*cos(ka*i*dx)

H(i)=d+seta0(i)

enddo

do j=1,jmax

18

u0(j)=(A/H(j))*Co*cos(ka*(j+0.5)*dx)

enddo

!Perhitungan seta dan u

do k=1,itermax

!Syarat Batas

seta(1)=A*cos(sigma*k*dt)

u(jmax)=(A/H(jmax))*Co*cos(ka*L - sigma*k*dt)

do j=1,jmax-1

i=j

u(j)=u0(j)-((g*dt/dx)*(seta0(i+1)-seta0(i)))

enddo

do i=2,imax

j=i

seta(i)=seta0(i)-((dt*H(i)/dx)*(u(j)-u(j-1)))

enddo

!================= CETAK HASIL ===========================!

write (1,100) seta(5),seta(10),seta(20),seta(40)

write (3,100) u(5),u(10),u(20),u(40)

if

(((k*dt).ne.(0.5*T)).and.((k*dt).ne.T).and.((k*dt).ne.(2*T)).and.((k*dt).ne.

(3*T))) goto 30

write (2,100) (seta(i),i=1,imax)

write (4,100) (u(j),j=1,jmax)

100 format (500f8.2)

! Transfer Variabel

30 do j=1,jmax

u0(j)=u(j)

enddo

do i=1,imax

seta0(i)=seta(i)

19

H(i)=d+seta0(i)

enddo

enddo

end

20

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0 500

Aru

s (m

/s)

Waktu (det)

Arus terhadap Waktu

sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40 -0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0 50

Aru

s (m

/s)

Sel ke-

Arus terhadap ruang

waktu 0,5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T

-0,2

0

0,2

0 500Ele

vasi

Waktu (det)

Elevasi terhadap Waktu

sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40-0,2

0

0,2

0 50Ele

vasi

Sel ke-

Elevasi terhadap ruang

waktu 0.5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T

Hasil dan Pembahasan

Skenario 1: Model Hidrodinamika 1D sederhana (Kedalaman tetap)

Amplitudo 0.1

Gambar 1. Hasil model hidrodinamika 1D dengan kedalaman tetap, A=0.1

Pembahasan

Hasil model hidrodinamika 1D dengan kedalaman tetap dan amplitude gelombang

datang 0.1 menunjukkan bahwa kondisi arus konsisten dengan elevasi gelombang. Arus

meningkat dengan meningkatnya elevasi dan begitu sebaliknya. Arus dan elevasi berada pada

rentang yang tetap yaitu sebesar -0.1 dan 0.1 sesuai dengan amplitude gelombang datangnya.

Hal ini menunjukkan bahwa tidak ada gangguan yang terjadi pada arus dan elevasi pada model

hidrodinamika 1D dengan kedalaman tetap. Profil arus dan elevasi cenderung tetap dan teratur

di setiap ruang dan waktu. Sel paling depan menerima konsekuensi arus dan elevasi lebih

dahulu disusul dengan sel-sel lainnya (Gambar 1).

21

-1

-0,5

0

0,5

1

0 500

Aru

s (m

/s)

Waktu

Arus terhadap Waktu

sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40 -1

-0,5

0

0,5

1

0 50

Aru

s (m

/s)

Sel ke-

Arus terhadap Ruang

waktu 0,5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T

-1

0

1

0 500Ele

vasi

Waktu


sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40-2

0

2

0 50Ele

vasi

Sel ke-

Elevasi terhadap ruang

waktu 0.5T

waktu T

waktu 2T

-2

-1

0

1

2

0 50

Aru

s (m

/s)

Sel ke-

Arus terhadap Ruang

waktu 0,5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T-2

-1

0

1

2

0 500

Aru

s (m

/s)

Waktu

Arus terhadap Waktu

sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40

Amplitudo 0.5

Gambar 2. Hasil model hidrodinamika 1D dengan kedalaman tetap, A=0.5

Pembahasan


datang 0.5 menunjukkan hasil yang sama seperti sebelumnya. Arus meningkat dengan

meningkatnya elevasi dan begitu sebaliknya. Kecepatan arus maksimum 0.5 m/s dan elevasi

maksimumnya 0.5 m. Sel paling depan menerima konsekuensi arus dan elevasi lebih dahulu

disusul dengan sel-sel lainnya (Gambar 2). variasi nilai arus dan elevasi adalah sama di setiap

sel setiap waktu.

Amplitudo 1

22

-2

0

2

0 50Ele

vasi

Sel ke-

Elevasi terhadap Ruang

waktu 0.5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T-2

0

2

0 500Ele

vasi

Waktu


sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40

Gambar 3. Hasil model hidrodinamika 1D dengan kedalaman tetap, A=1

Pembahasan


datang 1 masih meberikan pola hasil yang sama seperti sebelumnya. Arus meningkat dengan

meningkatnya elevasi dan begitu sebaliknya. Kecepatan arus maksimum 1 m/s dan elevasi

maksimumnya 1 m. variasi nilai arus dan elevasi adalah sama di setiap sel setiap waktu Sel

paling depan menerima konsekuensi arus dan elevasi lebih dahulu disusul dengan sel-sel

lainnya (Gambar 3).

Tabulasi Hasil Model

Amplitudo Keterangan

0.1 Arus dan Elevasi berfluktuasi secara tetap dan teratur di setiap

ruang dan waktu pada rentang nilai yang sesuai dengan

amplitude gelombang datangnya yaitu diantara -0.1 dan 0.1.

fluktuasi arus dan elevasi yang tetap dan teratur ini

menunjukkan bahwa pada model ini tidak terjadi gangguan

terhadap arus dan elevasi di setiap ruang dan waktu.

0.5 Hasil model relatif sama polanya seperti model sebelumnya

namun dengan kisaran nilai arus dan elevasi yang lebih tinggi

karena pemberian amplitude gelombang datang yang lebih

besar yakni 0.5. arus dan elevasi masih berfluktuasi secara

tetap dan teratur di setiap ruang dan waktu

23

1 Hasil model masih tetap sama polanya dengan sebelumnya

dengan kisaran arus dan elevasi yang lebih tinggi karena

amplitude gelombang datang yang lebih besar yakni 1. Arus

dan elevasi masih berfluktuasi secara tetap dan teratur di

setiap ruang dan waktu yang menunjukkan bahwa pada model

ini tidak ada gangguan terhadap arus dan elevasi di setiap

ruang dan waktu.

24

MODEL HIDRODINAMIKA 1D VARIASI TOPOGRAFI

Persamaan Pembangun

Persamaan Hidrodinamika sederhana dalam 1D memiliki bentuk :

dxgH

t

U

Dengan asumsi bahwa gesekan angin dan gesekan dasar diabaikan serta friksi horizontal

dianggap kecil atau diabaikan sehingga suku-suku ini dapat dihilangkan.

Persamaan kontinuitas 1D dinyatakan dengan

0

tx

U

dimana u adalah kecepatan sesaat (m/dt), elevasi (m), H=d+ kedalaman terukur (m) konstan

terhadap ruang, dan g koefisien gravitasi bumi (m/dt2).

Deskritisasi Model

Diskritisasi kedua persamaan pembangun (momentum dan kontinuitas) hidrodinamika

1 dimensi sederhana dengan variasi topografi melalui metode beda hingga menjadi :

ninix

tni

Hni

Hg

niu

niu

12

11

ni

uniux

tni

ni 1

1

dimana nid

niH dan

11

nid

niH

Deskritisasi numerik persamaan hidrodinamika 1 dimensi secara eksplisit tersebut

diatas harus memenuhi kriteria stabilitas Courant-Freiderichs-Lewy (CFL) sebagai berikut :

gH

xt

Solusi analitik

Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan secara analitik dengan memberikan nilai

elevasi secara sinusoidal sebagai berikut :

txkA **cos*

sehingga diperoleh solusi analitik kecepatan adalah :

25

tdxxkCoHAu **5.0*cos**/

Kedua solusi analitik tersebut diatas atau persamaan (7) dan (8) akan digunakan sebagai nilai

awal dan syarat batas numerik.

Metode penentuan nilai awal dan syarat batas.

Nilai Awal

Pada saat awal di setiap grid secara numerik dapat dituliskan :

xkA *cos* saat t=0

xxkCoi

HAi

u *5.0*cos**/ saat t=0

dimana A adalah amplitudo gelombang dan Co adalah kecepatan gelombang di perairan

dangkal.

Syarat Batas

Syarat batas di hilir (di grid ke-0)diberikan elevasi sebagai berikut :

tAn *cos*10

Sedangkan syarat batas di hulu (di grid ke-imax) diberikan kecepatan sebagai berikut :

tklConi

HAi

u *cos**1

max/

Kriteria kestabilan

Syarat kestabilan model hidrodinamika 1D sederhana adalah :

Dimana g = percepatan graviatasi dan H adalah Kedalaman Maksimum

Skenario model

Parameter-parameter yang digunakan di dalam model Hidrodinamika 1D sederhana

dan nilainya antara lain adalah :

Panjang kanal (L) = 2000

Periode Gelombang (T)= 450

Kedalaman (d) = 10

26

Gravitasi (g) = 10

Jumlah grid (imax) = 40

Lama Simulasi = 3T atau 1050 detik

Skenario Model hidrodinamika 1D dengan Variasi Topografi

Skenario 1:


- Kedalaman (d) fungsi slope d(i)=10+((i-1)*(-7)/39)

Gambar 4. Bentuk Topografi Slope yang digunakan di dalam listing program

- Skenario 2:


- Kedalaman (d) dengan nilai tertentu tiap sel

Gambar 5. Bentuk Topografi dengan nilai tertentu tiap sel

27

LISTING PROGRAM

Skenario 1: Topografi Slope

!Program Model Hidrodinamika 1-D dengan Topografi Slope

real seta, seta0, u, u0, ka

real sigma, Co, L, d, dmax

dimension H(1000), u0(1000), u(1000), seta0(1000), seta(1000), d(1000)

open (1,FILE='elvrang1b.txt',status='unknown')

open (2,FILE='elvwatu1b.txt',status='unknown')

open (3,FILE='arsrang1b.txt',status='unknown')

open (4,FILE='arswatu1b.txt',status='unknown')

! Variabel-variabel

L=2000

T=450

! Pemberian nilai Amplitudo A

A=0.1

g=10

tmax=3*T

dt=2

itermax=tmax/dt

imax=40

jmax=40

dx=L/imax

! Pemberian nilai kedalaman untuk topografi berupa slope

do i=1,imax

d(i)=10+((i-1)*(-7)/39)

enddo

dmax=-0.0987

do i=1,imax

dmax=max(d(i),dmax)

enddo

pi=3.141592654

sigma=2*pi/T

Co=sqrt(g*dmax)

28

ka=sigma/Co

!Syarat Awal

do i=1,imax


H(i)=d(i)+seta0(i)

enddo

do j=1,jmax

u0(j)=A*Co*cos(ka*(j+0.5)*dx)

enddo


do k=1,itermax

!Syarat Batas


u(jmax)=A*Co*cos(ka*L - sigma*k*dt)

do j=1,jmax-1

i=j

u(j)=u0(j)-((0.5*g*dt/dx)*(H(i+1)+H(i))*(seta0(i+1)-seta0(i)))

enddo

do i=2,imax

j=i

seta(i)=seta0(i)-((dt/dx)*(u(j)-u(j-1)))

enddo

!====================== CETAK HASIL ===========================!


write (3,100) u(5),u(10),u(20),u(40)

if


(3*T))) goto 30



100 format (500f8.2)

29

! Transfer Variabel

30 do j=1,jmax

u0(j)=u(j)

enddo

do i=1,imax

seta0(i)=seta(i)

H(i)=d(i)+seta0(i)

enddo

enddo

end

30

-0,5

0

0,5

0 50Ele

vasi

Sel ke-


waktu 0.5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T-0,5

0

0,5

0 500Ele

vasi

waktu


sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40

-2

-1

0

1

2

3

0 50Aru

s (m

/s)

Sel ke-

Arus terhadap Ruang

waktu 0,5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T-2

0

2

4

0 500

Aru

s (m

/s)

waktu

Arus terhadap Waktu

sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40

HASIL DAN PEMBAHASAN

Amplitudo 0.1

Gambar 6. Hasil model hidrodinamika 1D dengan topografi slope, A=0.1

Pembahasan

Hasil model hidrodinamika 1D dengan kedalaman berupa slope menunujukkan hasil

yang berbeda dengan model sebelumnya. Profil arus dan elevasi memiliki variasi dan kisaran

yang berbeda di setiap ruang dan waktu. Hal ini ditunjukkan dengan pola grafik arus dan

elevasi yang tampak lebih fluktuatif (Gambar 4). Arus dan elevasi berfluktuasi di luar rentang

amplitude gelombang datang (-0.1 0.1). hal ini menunjukkan bahwa arus dan elevasi

mengalami gangguan akibat perbedaan topografi di setiap ruang. Sel paling depan, dalam hal

ini sel ke-5 memiliki nilai arus dan elevasi maksimum yang lebih tinggi daripada sel-sel di

belakangnya. Hal ini disebabkan oleh topografi yang lebih dalam sehingga faktor gesekan

dasar memiliki pengaruh yang kecil dalam mengganggu aliran arus atau elevasi gelombang.

Semakin ke kanan (sel paling belakang), arus dan elevasi semakin mengecil karena topografi

semakin dangkal sehingga factor gesekan dasar akan semakin terasa berpengaruh dalam

mengganggu aliran arus dan elevasi. Semakin lama, elevasi semakin berkurang.

31

-20

-10

0

10

20

0 500

Aru

s

waktu

Arus terhadap Waktu

sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40 -10

0

10

20

0 50

Aru

s (m

/s)

Sel ke-

Arus terhadap Ruang

waktu 0,5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T

-2

0

2

0 500Ele

vasi

Waktu


sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40-2

0

2

0 50Ele

vasi

Sel ke-


waktu 0.5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T

-40

-20

0

20

40

0 500

Aru

s (m

/s)

waktu

Arus terhadap Waktu

sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40 -20

-10

0

10

20

0 50

Aru

s (m

/s)

Sel ke-

Arus terhadap Ruang

waktu 0,5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T

Amplitudo 0.5

Gambar 7. Hasil model hidrodinamika 1D dengan topografi slope, A=0.5

Pembahasan

Pada umumnya hasil model 1D variasi topografi dengan amplitude gelombang datang

0.5 menunjukkan hasil yang sama seperti sebelumnya. Profil arus dan elevasi memiliki variasi

dan kisaran yang berbeda di setiap ruang dan waktu. Semakin ke kanan (sel paling belakang),

arus dan elevasi semakin mengecil karena topografi semakin dangkal sehingga factor gesekan

dasar akan semakin terasa berpengaruh dalam mengganggu aliran arus dan elevasi. Semakin

lama, elevasi semakin berkurang (Gambar 5).

Amplitudo 1

32

-2000

-1000

0

1000

0 200 400 600

Ele

vasi

waktu


sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40-5

0

5

0 50Ele

vasi

Sel ke-


waktu 0.5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T

Gambar 8. Hasil model hidrodinamika 1D dengan topografi slope, A=1

Pembahasan

Hasil model 1D variasi topografi dengan amplitude gelombang datang 1 menunjukkan

hasil yang berbeda dari sebelumnya. Profil arus memiliki variasi dan kisaran yang berbeda di

setiap ruang dan waktu dengan perbedaan yang tajam terutama di akhir iterasi (Gambar 6). Sel

ke-5 dan ke-10 memiliki fasa yang relative sama untuk arusnya. Hal ini dapat dilihat dari plot

arus terhadap waktu yang hampir berhimpit di kedua sel ini setiap waktu. Hasil serupa terjadi

juga pada sel 20 dan 40. Amplitudo gelombang datang yang relative besar (A=1) membuat

hasil model menjadi error untuk plot grafik elevasi terhadap waktu. Hal ini dapat disimpulkan

bahwa pemberian amplitude yang besar akan membuat ketidakstabilan elevasi di sel-sel

tertentu yang terkait dengan topografinya. Semakin ke kanan (sel paling belakang), arus dan

elevasi semakin mengecil di sel ke-5, 10, 20, dan 40 karena topografi semakin dangkal

sehingga factor gesekan dasar akan semakin terasa berpengaruh dalam mengganggu aliran

arus dan elevasi (Gambar 6). Pada waktu 2T, arus di sel 1-20 berfluktuasi atu naik-turun di

nilai positif sedangkan di sel yang lebih kanan nilainya negatif. Perbedaan topografi dapat

menjadi penyebabnya.

33

Tabulasi Hasil Model Hidrodinamika Variasi Topografi Slope


0.1 Fluktuasi arus dan elevasi di setiap ruang dan waktu relatif

tidak teratur. Arus dan elevasi berfluktuasi di rentang nilai di

luar amplitudo gelombang datangnya. Hal ini menunjukkan

bahwa pada model ini, terjadi gangguan terhadap arus dan

elevasi di setiap ruang dan waktu sebagai akibat perbedaan

kedalaman atau topografi di setiap sel. Arus maksimum yang

dapat dicapai adalah sebesar 2 m/s sedangkan elevasi

maksimum yang dapat dicapai sebesar 0.25 m. semakin ke sel

lebih tinggi (kanan) arus dan elevasi semakin rendah karena

kedalaman yang semakin dangkal. Semakin lama, arus dan

elevasi semakin melemah.

0.5 Hasil model relatif sama polanya dengan model sebelumnya

namun dengan kisaran nilai arus dan elevasi yang lebih tinggi

karena pemberian amplitude gelombang datang yang lebih

besar yakni 0.5. Arus dan elevasi berfluktuasi tidak teratur

dan berbeda di setiap selnya dengan rentang nilai yang jauh di

luar nilai amplitude gelombang datangnya. Seperti

sebelumnya, hal ini menunjukkan adanya gangguan pada arus

dan elevasi di setiap ruang dan waktu akibat perbedaan

kedalaman atau topografi.

1 Hasil model relatif lebih berbeda dari model sebelumnya. Plot

arus terhadap waktu tampak sangat tidak teratur. Plot elevasi

tidak dapat digambarkan karena model menjadi tidak stabil

akibat pemberian nilai amplitude gelombang awal yang besar.

34

LISTING PROGRAM

Skenario 2: Topografi Nilai tertentu di setiap sel

!Program Model Hidrodinamika 1-D dengan Topografi nilai di setiap sel

real seta, seta0, u, u0, ka

real sigma, Co, L, d, dmax

dimension H(1000), u0(1000), u(1000), seta0(1000), seta(1000), d(1000)

open (1,FILE='elvrang1b.txt',status='unknown')

open (2,FILE='elvwatu1b.txt',status='unknown')

open (3,FILE='arsrang1b.txt',status='unknown')

open (4,FILE='arswatu1b.txt',status='unknown')

! Variabel-variabel

L=2000

T=450

!Pemberian nilai Amplitudo

A=0.1

g=10

tmax=3*T

dt=3

itermax=tmax/dt

imax=40

jmax=40

dx=L/imax

do i=1,10

d(i)=10

enddo

do i=11,15

d(i)=21-i

enddo

do i=16,20

d(i)=6

enddo

35

! Pemberian Nilai Kedalaman di setiap sel

d(20)=7

d(21)=8

d(22)=9

d(23)=10

d(24)=10

d(25)=10

d(26)=9

d(27)=8

d(28)=7

d(29)=5

d(30)=10

do i=31,40

d(i)=41-i

enddo

dmax=-0.0987

do i=1,imax

dmax=max(d(i),dmax)

enddo

pi=3.141592654

sigma=2*pi/T

Co=sqrt(g*dmax)

ka=sigma/Co

!Syarat Awal

do i=1,imax


H(i)=d(i)+seta0(i)

enddo

do j=1,jmax

u0(j)=A*Co*cos(ka*(j+0.5)*dx)

enddo


do k=1,itermax

36

!Syarat Batas


u(jmax)=A*Co*cos(ka*L - sigma*k*dt)

do j=1,jmax-1

i=j

u(j)=u0(j)-((0.5*g*dt/dx)*(H(i+1)+H(i))*(seta0(i+1)-seta0(i)))

enddo

do i=2,imax

j=i

seta(i)=seta0(i)-((dt/dx)*(u(j)-u(j-1)))

enddo

!====================== CETAK HASIL ===========================!


write (3,100) u(5),u(10),u(20),u(40)

if


(3*T))) goto 30



100 format (500f8.2)

! Transfer Variabel

30 do j=1,jmax

u0(j)=u(j)

enddo

do i=1,imax

seta0(i)=seta(i)

H(i)=d(i)+seta0(i)

enddo

enddo

end

37

-0,2

0

0,2

0 50Ele

vasi

Sel ke-


waktu 0.5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0 200 400 600Ele

vasi

waktu


sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40

-2

-1

0

1

2

0 50

Aru

s (m

/s)

Sel ke-

Arus terhadap Ruang

waktu 0,5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T-2

-1

0

1

2

0 500

Aru

s (m

/s)

waktu

Arus terhadap Waktu

sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40

HASIL DAN PEMBAHASAN

Amplitudo 0.1

Gambar 9. Hasil model hidrodinamika 1D dengan nilai kedalaman di tiap sel,

A=0.1

Pembahasan

Hasil model hidrodinamika 1D dengan nilai topografi tertentu di tiap sel menunjukkan

hasil yang memiliki pola sedikit berbeda dari sebelumnya. Arus dan elevasi berfluktuasi sesuai

dengan kondisi topografinya. Sel ke-5, 10, dan 20 tampak memiliki fasa yang sama, baik arus

maupun elevasinya, namun berlawanan fasanya dengan sel ke-40. Hal ini dapat diakibatkan

oleh perbedaan yang jelas dari topografi antara ketiga sel pertama dengan sel ke-40. Fluktuasi

arus memiliki pola yang sama dengan elevasi. Dari grafik terlihat bahwa arus bernilai positif

ketika elevasi juga positif, begitu sebaliknya (Gambar 7). Semakin lama, arus dan elevasi

semakin rendah.

38

-10

-5

0

5

10

0 500

Aru

s (m

/s)

Waktu

Arus terhadap waktu

sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40 -10

-5

0

5

10

0 50

Aru

s (m

/s)

Sel ke-

Arus terhadap Ruang

waktu 0,5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T

-2

-1

0

1

2

0 200 400 600Ele

vasi

waktu


sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40-1

0

1

0 50Ele

vasi

Sel ke-


waktu 0.5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T

Amplitudo 0.5


A=0.5

Pembahasan

Hasil model hidrodinamika 1D dengan nilai topografi tertentu di tiap sel dan amplitude

gelombang datang 0.5 secara umum menunjukkan pola yang hampir sama. Arus dan elevasi

berfluktuasi sesuai dengan kondisi topografinya. Sel ke-5, 10, dan 20 tampak memiliki fasa

yang sama baik arus maupun elevasinya, namun berlawanan fasanya dengan sel ke-40.

Sebagaimana kondisi sebelumnya, hal ini dapat diakibatkan oleh perbedaan yang jelas dari

topografi antara ketiga sel pertama dengan sel ke-40. Fluktuasi arus memiliki pola yang sama

dengan elevasi. Dari grafik terlihat bahwa arus bernilai positif ketika elevasi juga positif,

begitu sebaliknya (Gambar 8). Elevasi di sel ke-40 tampak lebih fluktuatif dan tidak teratur

karena plot grafik elevasi terhadap waktu yang lebih bergerigi daripada sel yang lainnya. Arus

di sel ke-5 pada langkah waktu ke-450 tampak lebih fluktuatif dari yang lain sedangkan sel ke-

20 plot grafik tampak bergerigi mulai dari langkah waktu ke-225 ean seterusnya. Kondisi-

kondisi ini dapat diakibatkan oleh pemberian topografi yang berbeda di sel-sel tersebut

39

-20

-10

0

10

20

0 500

Aru

s (m

/s)

waktu

Arus terhadap Waktu

sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40

0

0,5

1

1,5

0 50

Aru

s (m

/s)

Sel ke-

Arus terhadap Ruang

waktu 0,5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T

-4000

-2000

0

2000

0 200 400 600

Ele

vasi

waktu


sel ke-5

sel ke-10

sel ke-20

sel ke-40

0

1

2

0 50

Axi

s Ti

tle

Elevasi


waktu 0.5T

waktu T

waktu 2T

waktu 3T

Amplitudo 1


A=1

Pembahasan

Pemberian amplitudo gelombang sebesar 1 pada model hidrodinamika 1D dengan

variasi topografi di tiap sel tampaknya membuat hasil model menjadi outflow. Hal ini dapat

terlihat dari nihilnya nilai-nilai arus setiap dan elevasi yang dihasilkan di setiap ruang untuk

waktu ke-0.5T, T, 2T, dan 3T (Gambar 9). Pada awal simulasi, arus di sel ke-5, 10, dan 20

memiliki nilai yang positif dan relatif besar (10 m/s) namun tiba-tiba turun dan berfluktuasi di

sekitar sb-x atau di sekitar arus 0 m/s. Arus di ketiga sel ini tampak memiliki arah yang sama

namun berkebalikan dengan arus di sel ke-40. Elevasi setiap waktu di sel ke-5, 10, 20, dan 40

menunjukkan hasil yang tidak diinginkan karena kemunculan nilai yang sangat besar untuk sel

ke-40. Hasil ini tidak diharapkan dan dapat disimpulkan bahwa pemberian nilai amplitudo

A=1 terhadap model akan membuat hasil model outflow dan error meskipun syarat kestabilan

terpenuhi.

40

Tabulasi Hasil Model Hidrodinamika 1D Variasi Topografi dengan nilai

kedalaman tertentu di tiap sel


0.1 Fluktuasi nilai arus dan elevasi tampak lebih tajam dan jelas

di setiap sel yang diamati karena nilai topografi yang berbeda.

Semakin lama, arus dan elevasi cenderung melemah. Arus dan

elevasi berfluktuasi di luar rentang amplitude gelombang

datang (-0.1 0.1). hal ini menunjukkan bahwa arus dan

elevasi mengalami gangguan akibat perbedaan topografi di

setiap ruang. Arus maksimum yang dapat dicapai adalah 1 m/s

sedangkan elevasi maksimum yang dapat dicapai adalah 0.2

m.

0.5 Secara umum, hasil model menunjukkan pola yang sama

seperti sebelumnya namun pada model ini dihasilkan fluktuasi

arus dan elevasi di luar kisaran amplitudo gelombang datang

sebesar -0.5 dan di 0.5. Hal ini menunjukkan bahwa arus dan

elevasi mengalami gangguan di setiap ruang dan waktu akibat

topografi. Arus maksimum yang dapat dicapai 5 m/s

sedangkan elevasi maksimum yang dapat dicapai sebasar 1 m.

Nilai ini lebih tinggi dibandingkan dengan nilai arus dan

elevasi maksimum yang dapat dicapai pada model

sebelumnya.

1 Arus di sel ke-5, 10, dan 20 pada awal simulasi memiliki nilai

yang positif dan relatif besar (10 m/s) namun tiba-tiba turun

dan berfluktuasi di sekitar sb-x atau di sekitar arus 0 m/s. Arus

di ketiga sel ini tampak memiliki arah yang sama namun

berkebalikan dengan arus di sel ke-40. Elevasi setiap waktu di

sel ke-5, 10, 20, dan 40 menunjukkan hasil yang tidak

diinginkan karena kemunculan nilai yang sangat besar untuk

sel ke-40. Pemberian nilai amplitudo A=1 terhadap model

membuat hasil model menjadi error meskipun syarat

kestabilan terpenuhi

41

KESIMPULAN

MODEL HIDRODINAMIKA 1D SEDERHANA

DAN

MODEL HIDRODINAMIKA 1D VARIASI TOPOGRAFI

Model hidrodinamika 1D dengan kedalaman tetap mengahasilkan variasi arus dan elevasi

yang tetap dan teratur di setiap ruang dan waktu. Arus dan elevasi berada di dalam rentang

nilai amplitudo gelombang datang yang menunjukkan bahwa pada model ini tidak ada

gangguan terhadap arus dan elevasi di setiap ruang dan waktu. Pemberian nilai amplitudo 0.1,

0.5, dan 1 menunjukkan pola yang sama dan hanya berbeda di rentang nilai arus dan elevasi

yang dihasilkan saja karena perbedaan amplitudo gelombang datang.

Model hidrodinamika 1D dengan variasi topografi, baik untuk topografi berupa slope

maupun topografi dengan nilai di setiap sel pada dasanya memiliki pola yang sama yakni

bahwa arus dan elevasi berubah setiap waktu dengan rentang nilai di luar rentang nilai

amplitudo gelombang datangnya. Hal ini menunjukkan bahwa pada kedua model ini terjadi

gangguan terhadap arus dan elevasi di setiap ruang dan waktu akibat perbedaan kedalaman

atau topografi. Pemberian amplitudo gelombang datang yang besar, dalam kasus ini A =1,

akan membuat model memberikan hasil yang tidak diinginkan atau outflow meskipun kriteria

kestabilan dipenuhi.

42

MODEL HIDRODINAMIKA 2D

1. TUJUAN a. Melihat pengaruh pasang angin permukaan sebagai gaya pembangkit arus di perairan

tertutup, serta pengaruh pasang surut dan pengaruh angin di perairan semi-terbuka.

b. Memahami sifat-sifat penjalaran gelombang pasut sederhana dengan kedalaman bervariasi, dan melihat pengaruh gesekan dasar dan permukaan di suatu perairan.

c. Memahami penerapan parameter model dalam kaitannya dengan stabilitas numerik persamaan hidrodinamika 2 dimensi eksplisit.

2. PERSAMAAN MODEL 2.1 Persamaan Pembangun

Studi hidrodinamika 2 dimensi dalam praktikum ini meninjau gaya pembangkit arus

yang disebabkan oleh angin (wind driven current) di perairan tertutup. Di perairan terbuka

selain oleh angin, arus dapat juga dibangkitkan oleh adanya perbedaan muka air (gaya gradien

tekanan). Sebagai pengusik diperhitungkan pula gaya gesekan dasar.

Dalam tinjauan 2 dimensi dengan menerapkan asumsi-asumsi diatas, maka persamaan

gerak fluida dapat disajikan sebagai berikut :

Komponen x:

22222 y

wxwxwVUH

rU

xgH

t

U

(1)

Komponen y:

22222 y

wxwwVUH

rU

xgH

t

Vy

(2)

sedangkan persamaan kontinuitasnya adalah :

0

y

V

x

U

t

(3)

dimana U,V adalah kecepatan transport arah-x,y (m2/dt), elevasi muka air (m), H=d+

kedalaman total (m), g kosfisien gravitasi bumi (m2/dt), r koefisien gesekan dasar, koefisien gesekan permukaan, dan wx,wy adalah kecepatan angin arah x,y (m/dt).

2.2 Deskritisasi Model Persamaan hidrodinamika 2 dimensi tersebut dapat diselesaikan dengan metode

eksplisit sebagai berikut :

Persamaan gerak arah-x:

222,

2

,2

,,1,

),1,(

,1

,ywxwxw

nji

Vn

jiU

H

nji

rUn

jin

jin

jiHn

jiH

x

g

t

nji

Unji

U

Karena nid

niH dan

11

nid

niH

Dengan perataan kedalaman di sel yang berdekatan, persamaan di atas memiliki bentuk:

43

22

2

,

2

,2

2

,1,,1,

,

,1,2

,1,,1,,1

,

ywxwxwn

jiV

nji

U

jidjid

nji

nji

nji

rU

nji

nji

jidjid

nji

nji

x

g

t

nji

Unji

U

Atau secara sederhana dpat ditulis sebagai :

222'2,2

'

,,1,

',1

, ywxwxwtVn

jiU

uH

nji

tUrn

jin

jiuH

x

tgnjiU

njiU

(4)

dimana :

2

,1,,1,'

jidjid

nji

nji

uH

4

1,11,,,1'

nji

Vnji

VnjiV

nji

V

V

Bila kita kumpulkan suku n jiU , akan diperoleh:

22,1,'2'2

,2'

1,1

, ywxwxwtn

jin

jiuH

x

tgVn

jiU

uH

trnjiU

njiU

Suku ini kita nyatakan sebagai Ru

Sehingga kita punya bentuk :

22,1,')1(,1, ywxwxwtnjinjiuHxtg

Run

jiUn

jiU

.(5)

Dimana

Ru = 2'

2'

2,

uH

Vn

jiUtr

4

1,11,,,1'

nji

Vnji

VnjiV

nji

V

V

Dengan cara sama kita peroleh Persamaan gerak arah-y :

44

22,,1')1(,1, ywxwwtnjin jivHytg

RvnjiV

njiV y

..(6)

dimana :

2

,1,,1,'

jidjid

nji

nji

H v

4

1,1,1,1,'

nji

Un

jiU

njiU

nji

U

U

Rv =

2'

2

,

2'

vH

nji

VUtr

Diskritisasi Persamaan kontinuitas adalah :

y

nji

VnjiV

x

nji

Un

jiUt

nji

nji

,1,1,,,

1, (7)

Deskritisasi numerik persamaan hidrodinamika 2 dimensi secara eksplisit tersebut diatas harus

memenuhi kriteria stabilitas Courant-Freiderichs-Lewy (CFL) sebagai berikut :

max2gH

Lt

(8)

dimana : L=min[x,y] dan Hmax=max[d+]

j

i

dx

dy

2.3 Nilai Awal dan Syarat Batas 2.3.1 Nilai Awal

Kondisi pada saat awal dianggap perairan dalam keadaan tenang. Secara matematis

dapat dituliskan :

U=V==0 pada saat t=0 (5.6)

2.3.2 Syarat Batas Syarat batas tertutup di garis pantai kecepatan normalnya dianggap nol,yaitu :

Vn=0 (5.7)

45

Sedangkan syarat batas di perairan terbuka sebagai berikut:

a. Batas Timur: =A cos(sigma.t-82.2./360) (5.8a)

b. Batas Barat: =A cos(sigma.t-165.2./360) (5.8b)

2.4 Parameter Model 1. Luas daerah model (LxL). 2. Lama simulasi (T). 3. Amplitudo gelombang (A). 4. Kedalaman (d). 5. Gravitasi (g). 6. Jumlah grid (imax dan jmax). 7. Kecepatan angin (w). 8. Koefisien gesekan dasar (r).

9. Koefisien gesekan permukaan (). 10. Frekuensi sudut (sigma).

3.

46

4. FLOW CHART DAN LISTING PROGRAM

Hidrodinamika 2-D

Perairan TertutupMulai

HARGA KONSTANTA

i=imax,1,-1

j=1,jmax

d(i,j)

k=1,itermax

Wx=aWx*(exp((k/sta)-1))

Wy=aWy*(exp((k/sta)-1))

B

B

A

i=2,,jmax-1

j=2,nmax-1

i=1,imax

j=1,jmax

U(i,j)=0.0

V(i,j)=0.0

el(i,j)=0.0

UU(i,j)=0.0

VV(i,j)=0.0

Elb(i,j)=0.0

Uvel(i,j)=0.0

Vvel(i,j)=0.0

t0

VV(i,j)=..

Vvel(i,j)=..

yes

d(i,,j)>0

d(i,,j+1)>0

UU(i,j)=..

Uvel(i,j)=..

yes

no

s1=(VV(i,j)-VV(i-1,j))/dy

s2=(UU(i,j)-UU(i,j-1))/dx

Elb(i,j)=el(i,j)-(dt*(s1+s2))

Tulis Hasil

i=1,imax

j=1,jmax

U(i,j)=UU(i,j)

V(i,j)=VV(i,j)

el(i,j)=Elb(i,j)

Selesai

A

47

Hidrodinamika 2-D

Perairan TerbukaMulai

HARGA KONSTANTA

i=imax,1,-1

j=1,jmax

d(i,j)

k=1,itermax



B

B

A

i=2,,jmax-1

j=2,nmax-1

i=1,imax

j=1,jmax

U(i,j)=0.0

V(i,j)=0.0

el(i,j)=0.0

UU(i,j)=0.0

VV(i,j)=0.0

Elb(i,j)=0.0

Uvel(i,j)=0.0

Vvel(i,j)=0.0

t0

VV(i,j)=..

Vvel(i,j)=..

yes

d(i,,j)>0

d(i,,j+1)>0

UU(i,j)=..

Uvel(i,j)=..

yes

no

i=1,imax

C

d(i,1)>0

Elb(i,2)=A*cos(sigma

*k-82*2*pi/360)

Elb(i,1)=Elb(i,2)

UU(i,1)=UU(i,2)

Uvel(i,1)=Uvel(i,2)

VV(i,1)=VV(i,2)

Vvel(i,1)=Vvel(i,2)

yes

48

i=1,imax

d(i,jmax)>0

no

Elb(i,jmax)=A*cos(sigma*k-

165*2*pi/360)

Elb(i,jmax)=Elb(i,jmax-1)

UU(i,jmax)=UU(i,jmax-1)

Uvel(i,jmax)=Uvel(i,jmax-1)

VV(i,jmax)=VV(i,jmax-1)

Vvel(i,jmax)=Vvel(i,jmax-1)

yes

C

i=3,imax-1

j=3,jmax-1

d(i,1)>0

nos1=(VV(i,j)-VV(i-1,j))/dy



yes

Tulis Hasil

i=1,imax

j=1,jmax

U(i,j)=UU(i,j)

V(i,j)=VV(i,j)

el(i,j)=Elb(i,j)

A

Selesai

49

! MODEL HIDRODINAMIKA 2 DIMENSI DI PERAIRAN TERTUTUP

! DENGAN METODE EKSPLISIT

! PENDEFINISIAN VARIABEL DAN KONSTANTA

real Wx,Wy,aWx,aWy,Hu,Hv,ru,rv,Rx,Ry,sukuU1,sukuU2,sukuV1,sukuV2

real s1,s2,U,V,el,UU,VV,Elb,Uvel,Vvel,lamda

dimension U(100,100),V(100,100),el(100,100),UU(100,100),VV(100,100)

dimension Elb(100,100),Uvel(100,100),Vvel(100,100),d(100,100)

integer i,j,k

! HARGA KONSTANTA

Li=10000

Lj=10000

t=21600

g=10.0

A=0.2

imax=20

jmax=20

dt=2

dx=Li/imax

dy=Lj/jmax

itermax=t/dt

r=0.003

lamda=0.000032

sigma=0.000140519

sta=1800.0

pi=3.141592654

open (1,FILE='UT1-1.txt',status='unknown')

open (2,FILE='VT1-1.txt',status='unknown')

open (3,FILE='ZT1-1.txt',status='unknown')

print *,'Kecepatan angin arah-x (aWx)'

read(*,*) aWx

print *,'Kecepatan angin arah-y(aWy)'

read(*,*) aWy

! BACA DATA KEDALAMAN

open(4,file='bathy1.txt',status='old')

do i=imax,1,-1

read (4,*)(d(i,j),j=1,jmax)

enddo

!SYARAT AWAL

do i=1,imax

do j=1,jmax

U(i,j)=0.0

V(i,j)=0.0

el(i,j)=0.0

UU(i,j)=0.0

VV(i,j)=0.0

Elb(i,j)=0.0

Uvel(i,j)=0.0

Vvel(i,j)=0.0

enddo

50

enddo

! PERHITUNGAN UTAMA

do k=1,itermax

!PERHITUNGAN ANGIN

if (k.lt.sta) then



else

Wx=aWx

Wy=aWy

endif

do i=2,imax-1

do j=2,jmax-1

if (d(i,j).gt.0) then

if(d(i+1,j).gt.0) then

Hv=(el(i+1,j) + el(i,j) + d(i+1,j) + d(i,j))/2

Uv=(U(i,j) + U(i+1,j) + U(i,j-1) + U(i+1,j-1))/4

rv=(r*dt*sqrt((V(i,j)*V(i,j))+(Uv*Uv)))/(Hv*Hv)

! BAGIAN YANG DIPERBAIKI

! Ry=1/(1+rv)

Ry= 1-rv

sukuV1=(g*dt*Hv*(el(i+1,j)-el(i,j)))/dy

sukuV2=dt*lamda*Wy*sqrt((Wx*Wx)+(Wy*Wy))


! VV(i,j)=(V(i,j)-sukuV1+sukuV2)*Ry

VV(i,j)=(V(i,j)*Ry)-sukuV1+sukuV2

Vvel(i,j)=VV(i,j)/Hv

Endif

if(d(i,j+1).gt.0) then

Hu=(el(i,j) + el(i,j+1) + d(i,j) + d(i,j+1))/2

Vu=(V(i-1,j) + V(i,j) + V(i-1,j+1) + V(i,j+1))/4

ru=(r*dt*sqrt((U(i,j)*U(i,j))+(Vu*Vu)))/(Hu*Hu)


! Rx=1/(1+ru)

Rx= 1-ru

sukuU1=(g*dt*Hu*(el(i,j+1)-el(i,j)))/dx

sukuU2=dt*lamda*Wx*sqrt((Wx*Wx)+(Wy*Wy))


! UU(i,j)=(U(i,j)-sukuU1+sukuU2)*Rx

UU(i,j)=(U(i,j)*Rx)-sukuU1+sukuU2

Uvel(i,j)=UU(i,j)/Hu

endif




endif

enddo

enddo

51

! PENYIMPANAN HASIL HITUNGAN DI FILE

if ((k.ne.100).and.(k.ne.1700).and.(k.ne.itermax)) goto 20

do i=imax,1,-1

write (1,100) (Uvel(i,j),j=1,jmax)

write (2,100) (Vvel(i,j),j=1,jmax)

write (3,100) (Elb(i,j),j=1,jmax)

enddo

write (1,*) ' '

write (2,*) ' '

write (3,*) ' '

100 format (30f8.2)

!TRANSFER VARIABEL

20 do i=1,imax

do j=1,jmax

U(i,j)=UU(i,j)

V(i,j)=VV(i,j)

el(i,j)=Elb(i,j)

enddo

enddo

enddo

end

! MODEL HIDRODINAMIKA 2 DIMENSI DI PERAIRAN TERBUKA

! DENGAN METODE EKSPLISIT

!

! PENDEFINISIAN VARIABEL DAN KONSTANTA

real Wx,Wy,aWx,aWy,Hu,Hv,ru,rv,Rx,Ry,sukuU1,sukuU2,sukuV1,sukuV2

real s1,s2,U,V,el,UU,VV,Elb,Uvel,Vvel,lamda

dimension U(100,100),V(100,100),el(100,100),UU(100,100),VV(100,100)

dimension Elb(100,100),Uvel(100,100),Vvel(100,100),d(100,100)

integer i,j,k

! HARGA KONSTANTA

Li=10000

Lj=10000

t=21600

g=10.0

A=0.2

imax=20

jmax=20

dt=2

dx=Li/imax

dy=Lj/jmax

itermax=t/dt

r=0.003

lamda=0.000032

sigma=0.000140519

sta=1800.0

pi=3.141592654

open (1,FILE='UB1-1.txt',status='unknown')

open (2,FILE='VB1-1.txt',status='unknown')

open (3,FILE='ZB1-1.txt',status='unknown')

52

print *,'Kecepatan angin arah-x (aWx)'

read(*,*) aWx

print *,'Kecepatan angin arah-y(aWy)'

read(*,*) aWy

! BACA DATA KEDALAMAN

open(4,file='bathy2.txt',status='old')

do i=imax,1,-1

read (4,*)(d(i,j),j=1,jmax)

enddo

!SYARAT AWAL

do i=1,imax

do j=1,jmax

U(i,j)=0.0

V(i,j)=0.0

el(i,j)=0.0

UU(i,j)=0.0

VV(i,j)=0.0

Elb(i,j)=0.0

Uvel(i,j)=0.0

Vvel(i,j)=0.0

enddo

enddo

! PERHITUNGAN UTAMA

do k=1,itermax

!PERHITUNGAN ANGIN

if (k.lt.sta) then



else

Wx=aWx

Wy=aWy

endif

do i=2,imax-1

do j=2,jmax-1


if(d(i+1,j).gt.0) then

Hv=(el(i+1,j) + el(i,j) + d(i+1,j) + d(i,j))/2

Uv=(U(i,j) + U(i+1,j) + U(i,j-1) + U(i+1,j-1))/4

rv=(r*dt*sqrt((V(i,j)*V(i,j))+(Uv*Uv)))/(Hv*Hv)


! Ry=1/(1+rv)

Ry=1-rv

sukuV1=(g*dt*Hv*(el(i+1,j)-el(i,j)))/dy

sukuV2=dt*lamda*Wy*sqrt((Wx*Wx)+(Wy*Wy))


! VV(i,j)=(V(i,j)-sukuV1+sukuV2)*Ry

VV(i,j)=(V(i,j)*Ry)-sukuV1+sukuV2

Vvel(i,j)=VV(i,j)/Hv

endif

if(d(i,j+1).gt.0) then

Hu=(el(i,j) + el(i,j+1) + d(i,j) + d(i,j+1))/2

Vu=(V(i-1,j) + V(i,j) + V(i-1,j+1) + V(i,j+1))/4

ru=(r*dt*sqrt((U(i,j)*U(i,j))+(Vu*Vu)))/(Hu*Hu)

53


! Rx=1/(1+ru)

Rx=1-ru

sukuU1=(g*dt*Hu*(el(i,j+1)-el(i,j)))/dx

sukuU2=dt*lamda*Wx*sqrt((Wx*Wx)+(Wy*Wy))


! UU(i,j)=(U(i,j)-sukuU1+sukuU2)*Rx

UU(i,j)=(U(i,j)*Rx)-sukuU1+sukuU2

Uvel(i,j)=UU(i,j)/Hu

endif

endif

enddo

enddo

!SYARAT BATAS DI BARAT

do i=1,imax

if(d(i,1).gt.0) then

Elb(i,2)=A*cos(sigma*k-82*2*pi/360)

Elb(i,1)=Elb(i,2)

UU(i,1)=UU(i,2)

Uvel(i,1)=Uvel(i,2)

VV(i,1)=VV(i,2)

Vvel(i,1)=Vvel(i,2)

endif

enddo

!SYARAT BATAS DI TIMUR

do i=1,imax

if(d(i,jmax).gt.0) then

Elb(i,jmax)= A*cos(sigma*k-165*2*pi/360)

Elb(i,jmax)=Elb(i,jmax-1)

UU(i,jmax)=UU(i,jmax-1)

Uvel(i,jmax)=Uvel(i,jmax-1)

VV(i,jmax)=VV(i,jmax-1)

Vvel(i,jmax)=Vvel(i,jmax-1)

endif

enddo

do i=3,imax-1

do j=3,jmax-1





endif

enddo

enddo

! PENYIMPANAN HASIL HITUNGAN DI FILE

if ((k.ne.100).and.(k.ne.850).and.(k.ne.itermax)) goto 20

do i=imax,1,-1

write (1,100) (Uvel(i,j),j=1,jmax)

write (2,100) (Vvel(i,j),j=1,jmax)

write (3,100) (Elb(i,j),j=1,jmax)

enddo

write (1,*) ' '

write (2,*) ' '

54

write (3,*) ' '

100 format (30f8.2)

!TRANSFER VARIABEL

20 do i=1,imax

do j=1,jmax

U(i,j)=UU(i,j)

V(i,j)=VV(i,j)

el(i,j)=Elb(i,j)

enddo

enddo

enddo

end

NB: Hasil program Hidrodinamika 2D belum dapat disajikan

DAFTAR PUSTAKA

Hoffmann, K. A. 1989. Computational Fluid Dynamics for Engineers. The University of Texas at

Austin, Texas.

Kowalik, Z. and Murty, T. S. 1993. Numerical Modeling of Ocean Dynamics. World Scientific

Publishing Co. Pte. Ltd. London

Koropitan,A. 2001. MODUL PRAKTIKUM PEMODELAN OSEANOGRAFI. Program Studi

Oseanografi, Institut Teknologi Bandung. Bandung.

Pond, S. & G.L.Pickard. 1983. Introductory Dynamical Oceanography (2nd Edition). Pergamon

Press Ltd. Headington Hill Hall, Oxford- England. 329pp.

\

Stewart, R. 2003. Introduction to Physical Oceanography. Department of Oceanography, Texas

A&M University- USA Chapter 7: 105p

tugas analisa dan pemodelan oseanografi-asep.pdf

Documents