LAPORAN PRAKTIKUM 2 RANGKAIAN LOGIKA

TEKNIK MINIMISASI

NAMA : Dio Pratama (09321043)PARTNER : Fauziyyah (09321045)KELAS : 1 TC B (B1)

POLITEKNIK NEGERI BANDUNG

2009

TEKNIK MINIMISASI

I. TUJUAN PERCOBAAN

Membuktikan kebenaran dari beberapa teorema Aljabar Boolean.

Menggunakan teorema-teorema Aljabar Boolean untuk menyederhanakan persamaan

logika.

Menggunakan Karnaugh map untuk menyedeerhanakan persamaan logika.

II. PERALATAN DAN KOMPONEN YANG DIPERLUKAN

Digital Trainer

Kabel penghubung secukupnya

IC TTL (Transistor-Transistor Logic)

III. LANDASAN TEORI

Dalam teknik digital, terdapat cara-cara untuk memanipulasi dan menyederhanakan

(meminimisasi) suatu persamaan logika, diantaranya adalah dengan menggunakan teorema-

teorema Aljabar Boolean, Diagram Venn, Diagram Veitch, Peta Karnaugh dan teknik tabulasi

quine Mc Cluskey.

Dalam percobaan ini anda akan membuktikan kebenaran dari beberapa teorema Aljabar

Boolean, serta mempergunakan teorema Aljabar Boolean dan Peta Karnaugh untuk

meminimisasi persamaan-persamaan logika.

Menyederhanakan persamaan logika merupakan langkah yang sangat penting dalam teknik

perencanaan system-sistem Digital.

Dengan menyederhanakan suatu persamaan logika sebelum persamaan tersebut

diimplementasikan (direalisasikan ) ke dalam bentuk rangkaian logika, kita akan memperoleh

beberapa keuntungan, yang diantaranya adalah :

Mengurangi jumlah komponen yang diperlukan.

Mengurangi biaya yang diperlukan.

Tipe IC Fungsi Kwantitas

7408 AND Gate ( 2 input ) 1

7432 OR Gate ( 2 input ) 1

7404 NOT Gate 1

7411 NAND Gate ( 3 input ) 1

7427 NOR Gate ( 3 input ) 1

Waktu yang diperlukan untuk menyusun rangkaian lebih singkat.

Respon ( tanggapan ) rangkaian menjadi lebih cepat karena delay ( tundaan ) rangkaian

berkurang.

Ukuran ( dimensi ) fisik rangkaian lebih kecil.

Bobot rangkaian lebih ringan.

Rangkaian akan lebih mudah dianalisa.

Tabel di bawah ini memuat teorema-teorema Aljabar Boolean secara lengkap

Tabel 1. Teorema Aljabar Boolean.

No Teorema Simbol/Sifat

1 X . 0 = 0

2 X . 1 = X

3 X . X = X

4 X . X =0

5 X + 0 = X

X0

0

X

X

X

1

X

X

X0

X

X0

0X

X

6 X +1 = 1

7 X + X = X

8 X +X = 1

9 X + Y = Y +XSifat Komutatif

10 X . Y = Y . X

11X+(Y + Z) =(X+Y)+Z

=X + Y + Z

Sifat Asosiatif

12

X(YZ

)

= XY(Z)

= XYZ

13 X(Y+Z) = XY + XZSifat Distribusi

14 X + YZ = (X+Y)(X+Z)

15 X + XY = X Sifat Reduksi

16 X +X Y = X +Y Sifat Absorpsi

17 X+Y = X . YVan De Morgan

18 X .Y = X . Y

19 AB + AC +BC = AC +BCKonsensus

20 (A+B).(A+C).(B+C )= (A+C).(B+ C )

Dibawah ini diberikan beberapa contoh pemakaian teorema-teorema Aljabar Boolean untuk

menyederhanakan persamaan logika.

X

X

11

X

X

X

X1

Contoh 1.

Persamaan logika F = AB + A B+ A B dapat disederhanakan menjadi :

F = AB + A B+ A B

F = AB + A B+ A B…………….…… ( X = X + X )

F = B (A + A ) + A( B+B)………. ( X + X = 1 )

F = B (1) + A (1)………………..…… (X .(1) = X )

F = A + B

Implementasikan rangkaian sebelum persamaaan di atas disederhanakan adalah sbb :

v

Setelah persamaan logika di atas disederhanakan, maka rangkaian menjadi :

Contoh 2.

Bila kita mempunyai suatu table kebenaran ( Truth Table ) seperti yang ditunnjukan dalam

table dibawah , kita dapat menurunkan persamaan logika sbb :

A B C D

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Persamaan tersebut dapat disederhanakan dengan menerapkan teorema-teorema Aljabar Boolean

sbb:

F = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

F = AC ( B + B ) + A ( BC + BC + BC + BC )

F = AC ( 1 ) + A ( B ( C + C ) + B ( C + C ) )

F = AC + A ( B ( 1 ) + B ( 1 ) )

F = AC + A ( 1 )

F = AC + A

F = A + C

Implementasi rangkaian sebelum persamaan diatas disederhanakan ditunjukkan pada

halaman berikut.

Setelah persamaan tersebut disederhanakan, maka implementasi rangkaiannya menjadi sbb :

Dari ke dua contoh di atas, dapat dilihat peranan teorema-teorema Aljabar Boolean dalam

menyederhanakan persamaan –persamaan logika ; di mana implementasi rangkaian menjadi

jauh lebih sederhana.

Metoda penyederhanaan persamaan logika dengan menggunakan teorema-teorema Aljabar

Boolean relatif mudah untuk persamaan-persamaan logika yang sederhana ( terdiri darai dua

atau tiga variable ) . Untuk persamaan logika yang memiliki empat variable atau lebih,

umumnya prises penyederhanaan dengan teorema-teorema Aljabar Boolean menjadi kurang

praktis.

F= ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

Metoda penyederhanaan persamaan logika dengan Karnaugh Map ( biasa disingkat K-map )

umumnya lebih praktis dan lebih disukai apabila jumlah variable dalam persamaan logika tidak

terlalu banyak ( tidak lebih dari 6 variabel ).

Keuntungan yang diperoleh dari penyederhanaan persamaan logika dengan menggunakan K-

map ditinjau dari persamaaan akhir yang dihasilkan adalah bahwa persamaan akhir yang

dihasilkan selalu merupakan persamaan yang tersederhana ( tidak dapat disederhanakan lebih

lanjut ).

Bentuk K- map untuk dua sampai enam variable ditunjukkan dalam gambar pada halaman

berikut.

K-map 2 variabel

B 0 1

0

1

K-map 3 varibel

BC 00 01 11 10

0

1

K-map 4 variabel

CD 00 01 11 10

00

01

11

A

A

AB

A BCD

000 001 011 010 110 111 101 100

0

1

ABC

10

K-map 5 variabel

CDE 000 00

1

011 010 110 11

1

101 100

00

01

11

10

K-mqp 6 variabel

DEF 000 001 011 010 110 111 101 100

000

001

011

010

110

111

101

100

Aturan penyederhanaan persamaan logika dengan K-map :

1. Untuk persamaan logika yang terdiri dari n variable diperlukan K-map dengan 2n

kotak.

(misalnya : persaam logika dengan 3 variabel akan memerlukan K-map dengan 23

= 8

kotak).

2. Penyederhanaan dilakukan dengan menggabungkan kotak-kotak yang bersebelahan

dengan anggota sebanyak 2m

kotak dan formasi kotak membentuk segi empat (0<m<n).

AB

3. Setiap kelompok dalam K-map akan membentuk satu suku dalam persamaan hasil

penyederhanaan, dan jumlah variable yang terkandung dalam suatu suku tergantung

kepada jumlah kotak/daerah dalah suatu kelompok.

4. Dalam K-map dengan n variable, suatu kelompokk memiliki 2n

kotak merupakan suatu

suku dengan (n-m ) variable.

5. Jumlah kelompok ( grup ) dalam suatu K- map harus dibuat seminimal mungkin.

6. Jumlah anggota ( kotak ) dalam suatuy kelompok harus dibuat semaksimal mingkin.

7. Proses pengelompokkan dilakukan sampai seluruh kotak yang berlogik 1 tergabung dalam

pengelompokan.

Metoda penyederhanaan persamaan logika dengan menggunakan K-map dapat dilihat dalam

contoh berikut ini.

Contoh 3

K-map untuk persamaan logika F = A BC+A BC+BC

Adalah sbb:

BC BC BC BC

A 0 1 1 0

A 0 1 1 0

Persamaan diatas terdiri dari 3 variabel dan 3 buah suku yaitu : A BC , A BC , dan BC. Suku

A BCmenempati kotak nomor 1 dalam K-map di atas (kotak nomor 1 diisi dengan logic

1) ;suku A BCmenempeti kotak nomor 5 dalam K-map diatas (kotak nomor 5 diisi dengan

logic 1), suku BC menempati kotak nomor 3 dan 7 dalam K-map di atas (kotak nomor 3 dan 7

diisi dengan logic 1). Untuk kotak-kotak lainnya yakni kotak nomor 0,2,4 dan 6 diisi dengan

logic 0.Kotak-kotak nomor 1, 3, 5 d2n 7 dapat dikelompokkan menjadi satu suku yaitu F = C.

Contoh 4

Bila diberikan suatu table kebenaran seperti pada table di bawah ini, kita dapat langsung

menuliskan persamaan logika outputnya dalam bentuk Sum-of-Product (SOP).

Persamaan output x terdiri atas 5 suku , suku A BCmenempati kotak nomor 1 dalam K-

map.Suku A BCmenempati kotak nomor 2 dalam K-map, suku A BCmenempati kotak

nomor 3 dalam K-map, suku A BCmenempati kotak nomor 4 dan suku A BCmenempati

kotak nomor 5, sehingga K-map untuk persamaan output x menjadi :

Hasil penggabungan kotak nomor 4 dan 5 menghasilkan sukuA B , gabungan kotak nomor 1

dan 5 menghasilkan suku BC dan gabungan kotak nomor 2 dan 3 menghasilkan suku AC .

Setelah proses penyederhanaan maka persamaan output logika untuk x menjadi x =

A B+BC+ A B .

IV. LANGKAH PERCOBAAN DAN PERTANYAAN

1. Susun rangkaian sebagai berikut :

(gunakan IC 7408)

A B C X

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

2. Isilah table tersebut sesuai hasil percobaan :

A X V

0 0 0.15 V

1 0 4.4 V

Dari table tersebut, tuliskan persamaan output X = 0

Jadi A . 0 = 0

3. Ubah rangkaian menjadi :

4. Isilah table berikut berdasarkan hasil percobaan :

A X V

0 0 0.15 V

1 1 4.3 V

Dari table tersebut, tuliskan persamaan output X = A

Jadi A . 1 = A

5. Ubah rangkaian menjadi :

6. Isilah table berikut berdasarkan hasil percobaan :

A X V

0 0 0.3 V

1 1 4.3 V

Dari table tersebut, tuliskan persamaan output X = A

Jadi A . A = A

7. Ubah rangkaian menjadi :

(tambahkan IC 7404)

8. Isilah table berikut berdasarkan hasil percobaan :

Dari table tersebut, tuliskan persamaan output X = 0

Jadi A . A = 0

9. Susun rangkaian sebagai berikut :

(gunakan IC 7432)

10. Isilah table berikut berdasarkan hasil percobaan :

A X V

0 0 0.15 V

1 1 4.4 V

Dari table tersebut, tuliskan persamaan output X = A

Jadi A + 0 = A

11. Ubah rangkaian menjadi :

A X V

0 0 0.15 V

1 1 4.4 V

12. Isilah table berikut berdasarkan hasil percobaan :

A X V

0 1 4.5 V

1 1 4.4 V

Dari table tersebut, tuliskan persamaan output X = 1

Jadi A + 1 = 1

13. Ubah rangkaian menjadi :

14. Isilah table berikut berdasarkan hasil percobaan :

A X V

0 0 0.15 V

1 1 4.4 V

Dari table tersebut, tuliskan persamaan output X = A, Jadi A + A = A

15. Ubah rangkaian menjadi :

(tambahkan IC 7404)

16. Isilah table berikut berdasarkan hasil percobaan :

A X V

0 1 4.4 V

1 1 4.4 V

Dari table tersebut, tuliskan persamaan output X = 1

Jadi A + A = 1

17. Susun rangkaian sebagai berikut :

(gunakan IC 7408 dan 7432)

18. Lengkapi table kebenaran berikut untuk rangkaian diatas.

A B C F V

0 0 0 0 0.15 V

0 0 1 0 0.15 V

0 1 0 0 0.15 V

0 1 1 0 0.15 V

1 0 0 0 4.4 V

1 0 1 1 4.4 V

1 1 0 1 4.7 V

1 1 1 1 4.4 V

V. ANALISA DATA PENGUKURAN

Pada percobaan kali ini, kelompok kami belum menyelsaikan percobaan secara keseluruhan dikarenakan kerusakan teknis pada beberapa komponen yang kami gunakan sehingga, kami hanya membuktikan salah satu teorema penyederhanaan persamaan logika yaitu teorema Aljabar Boolean.

1. Pada langkah percobaan 1 seharusnya jika input A = 0 dan A = 1 maka lampu LED mati itu membuktikan bahwa A . 0 = 0

2. Pada langkah percobaan 3 kami mendapat jika input A = 0 maka lamu LED mati dan A = 1 maka lampu LED nyala itu membuktikan bahwa A . 1 = A

3. Pada langkah percobaan 5 kami mendapat jika input A = 0 maka lampu LED mati dan A = 1 maka lampu LED nyala itu membuktikan bahwa A . A = A

4. Pada langkah percobaan 7 kami mendapat jika input A = 0 maka lampu LED mati dan A = 1 maka lampu LED nyala itu membuktikan bahwa A . A = 0

5. Pada langkah percobaan 9 kami mendapat jika input A = 0 maka lampu LED mati dan A = 1 maka lampu LED nyala itu membuktikan bahwa A + 0 = A

6. Pada langkah percobaan 11 kami mendapat jika input A = 0 dan A = 1 maka lampu LED nyala itu membuktikan bahwa A + 1 = 1

7. Pada langkah percobaan 13 kami mendapat jika input A = 0 dan A = 1 maka lampu LED nyala itu membuktikan bahwa A + A = 1

8. Pada langkah percobaan15 kami mendapat jika input A = 0 dan A = 1 maka lampu LED mati itu membuktikan bahwa A . A = 1

VI. Kesimpulan

Dari hasil percobaan dapat disimpulkan bahwa teorema Aljabar Boolean dapat dibuktikan dengan merangkai suatu rangkaian digital. Sehingga teorema Ajabar Boolean dapat digunakan untuk menyederhanakan suatu persamaan logika.

TUGAS PENDAHULUAN

1. Terangkan mengapa suatu persamaan logika perlu disederhanakan ?

Karena dengan menyederhanakan suatu persamaan logika sebelum persamaan tersebut

diimplementasikan (direalisasikan ) ke dalam bentuk rangkaian logika, kita akan

memperoleh beberapa keuntungan, yang diantaranya adalah :

o Mengurangi jumlah komponen yang diperlukan.

o Mengurangi biaya yang diperlukan.

o Waktu yang diperlukan untuk menyusun rangkaian lebih singkat.

o Respon ( tanggapan ) rangkaian menjadi lebih cepat karena delay ( tundaan )

rangkaian berkurang.

o Ukuran ( dimensi ) fisik rangkaian lebih kecil.

o Bobot rangkaian lebih ringan.

o Rangkaian akan lebih mudah dianalisa.

2. Sederhanakan persamaan logika berikut menggunakan teorema- teorema Aljabar Bolean!

X = ABC + ABC + ABC +ABC +AC

= AB (C + C) + BC(A + A) + AC

= AB + BC + AC

Sebutkan cara- cara (metoda) penyederhanaan persamaan logika yang saudara ketahui!

Teorema Aljabar Boolean dan Teorema Karnaugh Map

3. Tuliskan persamaan logika untuk K-map berikut :

00 01 11 10

00 1 1 0 1

01 0 1 1 0

11 0 1 1 0

10 1 0 1 1

F = AJ + KAP + KP A + AJ

TUGAS PENDAHULUAN

1. Terangkan mengapa suatu persamaan logika perlu disederhanakan ?

Karena dengan menyederhanakan suatu persamaan logika sebelum persamaan tersebut

diimplementasikan (direalisasikan ) ke dalam bentuk rangkaian logika, kita akan

memperoleh beberapa keuntungan, yang diantaranya adalah :

o Mengurangi jumlah komponen yang diperlukan.

o Mengurangi biaya yang diperlukan.

o Waktu yang diperlukan untuk menyusun rangkaian lebih singkat.

o Respon ( tanggapan ) rangkaian menjadi lebih cepat karena delay ( tundaan )

rangkaian berkurang.

o Ukuran ( dimensi ) fisik rangkaian lebih kecil.

o Bobot rangkaian lebih ringan.

o Rangkaian akan lebih mudah dianalisa.

PJ KA

2. Sederhanakan persamaan logika berikut menggunakan teorema- teorema Aljabar Bolean!

X = ABC + ABC + ABC +ABC +AC

= A(BC + BC + BC) + A (BC + C)

= A(BC + B(C + C) + A(B + C) (C + C)

= A(BC + B) + A(B + C)

= A(B + B) (B + C) + A(B + C)

= A(B + C) + A(B + C)

= AB + AC + AB + AC

3. Sebutkan cara- cara (metoda) penyederhanaan persamaan logika yang saudara ketahui!

Teorema Aljabar Boolean dan Teorema Karnaugh Map

4. Tuliskan persamaan logika untuk K-map berikut :

00 01 11 10

00 1 1 0 1

01 0 1 1 0

11 0 1 1 0

10 1 0 1 1

F = PJKA + PJK + JKA + JKA + JA

PJ KA