BAB 3

LANDASAN TEORI

3.1 Peramalan

3.1.1 Definisi Peramalan

Peramalan adalah perkiraan probabilistik atau penggambaran dari nilai atau

kondisi di masa depan. Asumsi yang umum dipakai dalam peramalan adalah pola

masa lampau akan berlanjut ke masa depan. Hampir seluruh peramalan didasarkan

pada asumsi bahwa masa lampau akan berulang.

Peramalan (forecasting) merupakan prediksi nilai-nilai sebuah peubah kepada

nilai yang diketahui dari peubah tersebut atau peubah yang berhubungan. Meramal

juga dapat didasarkan pada keahlian penilaian, yang pada gilirannya didasarkan

pada data historis dan pengalaman. (Makridakis et al. 1991, p519)

3.1.2 Kegunaan dan Peranan Peramalan

Sebuah pepatah lama dalam dunia marketing yakni “tidak ada yang terjadi

hingga seseorang menjual sesuatu” sesungguhnya lebih tepat ditulis sebagai “tidak

ada yang terjadi hingga seseorang meramalkan sesuatu.” Peramalan merupakan

bagian penting dalam pembuatan rencana dan pengambilan keputusan karena tidak

akan ada rencana dan keputusan tanpa peramalan.

Peramalan yang efektif sangat dibutuhkan untuk mencapai tujuan strategis dan

operasional dari semua organisasi. Untuk perusahaan, peramalan mengendalikan

sistem kendali informasi pemasaran, keuangan, dan produksi. Untuk sektor publik,

peramalan merupakan bagian yang tidak terpisahkan dari perancangan kebijakan

9

dan program, baik dalam bidang kesehatan masyarakat dan pendidikan. Efek dari

suatu undang-undang atau peraturan yang baru perlu diperkirakan/diramalkan

dahulu sebelum disahkan. Beberapa keuntungan yang dapat diperoleh dari

peramalan adalah:

- Informasi strategis, marketing, keuangan, dan operasi yang lebih baik.

- Peningkatan pelayanan pelanggan.

- Pengalokasian sumber daya terbatas yang lebih baik.

- Peningkatan efisiensi dari proses manufaktur dan operasi.

- Produktivitas yang lebih baik.

- Stabilitas dalam perencanaan.

- Pengurangan bahan baku yang terbuang.

- Peningkatan keuntungan.

- Peningkatan tingkat pengembalian investasi.

Peramalan juga memiliki peran dalam pengembangan basis pengetahuan dari

suatu organisasi dan seluruh komunitas. Metode-metode peramalan bersifat umum,

yang berarti dapat diaplikasikan pada berbagai fenomena berbeda seiring perjalanan

waktu. Metode-metode peramalan merupakan peralatan yang penting bagi para

peneliti, baik dalam bidang permintaan produk, peningkatan kesehatan masyarakat,

sistem pendidikan yang lebih baik, bidang biologi, atau ilmu sosial dan politik.

3.1.3 Definisi Deret Waktu

Seperti dituliskan sebelumnya, peramalan didasarkan pada data historis/deret

waktu untuk memperoleh nilai dugaan dari suatu periode tertentu. Deret waktu

adalah seperangkat hasil pengamatan kontinyu yang disusun/diperoleh berdasarkan

10

rentang waktu yang sama (contoh: penjualan produk tiap bulan, pendapatan

mingguan).

Analisis deret waktu menyediakan alat untuk memilih model yang

menggambarkan deret waktu tersebut dan menggunakan model tersebut untuk

meramalkan suatu kejadian/nilai di masa mendatang. Pemodelan deret waktu adalah

masalah statistik, karena data hasil pengamatan digunakan dalam prosedur

komputasi untuk mengestimasi koefisien dari model yang diasumsikan.

3.1.4 Pola-Pola Umum Deret Waktu

Ketika sebuah deret waktu digambarkan/diplot, akan terlihat suatu pola-pola

tertentu. Pola-pola tersebut dapat dijelaskan oleh banyaknya kemungkinan hubungan

sebab-akibat. Beberapa pola dari data deret waktu adalah sebagai berikut:

• Pola acak, dihasilkan oleh banyak pengaruh independen yang menghasilkan pola

non-sistematik dan tidak berulang dari beberapa nilai rataan.

Gambar 3.1 Bentuk Umum Pola Acak

• Pola trend, peningkatan atau penurunan secara umum dari deret waktu yang

terjadi selama beberapa periode tertentu. Trend disebabkan oleh perubahan

jangka panjang yang terjadi di sekitar faktor-faktor yang mempengaruhi data

deret waktu.

11

Gambar 3.2 Bentuk Umum Pola Trend

• Pola musiman, dihasilkan oleh kejadian yang terjadi secara musiman atau

periodik (contoh: iklim, liburan, kebiasaan manusia). Suatu periode musim dapat

terjadi tahunan, bulanan, harian, dan untuk beberapa aktivitas bahkan setiap jam.

Gambar 3.3 Bentuk Umum Pola Musiman

• Pola siklis, biasanya dihasilkan oleh pengaruh ekspansi ekonomi dan bisnis dan

kontraksi (resesi dan depresi). Pengaruh siklis ini sulit diramalkan karena

pengaruhnya berulang tetapi tidak periodik. Pola ini masih terus dikembangkan

dan diteliti lebih lanjut pemodelannya sehingga dapat diperoleh hasil yang tepat.

Gambar 3.4 Bentuk Umum Pola Siklis

12

• Pola autokorelasi, nilai dari sebuah deret pada satu periode waktu berhubungan

dengan nilai itu sendiri dari peride sebelumnya. Dengan autokorelasi, ada suatu

korelasi otomatis antar pengamatan dalam sebuah deret. Autokorelasi merupakan

hasil dari pengaruh luar dalam skala besar dan pengaruh sistematik lainnya

seperti trend dan musiman.

Gambar 3.5 Bentuk Umum Pola Autokorelasi

3.2 Metode-Metode Peramalan

Pola-pola tersebut diatas dapat dimodelkan dengan berbagai metode peramalan.

Beberapa klasifikasi dari metode peramalan tersebut, yakni:

• Metode peramalan univariat, disebut juga metode deret waktu, menggunakan data

masa lampau dan pola internal untuk meramalkan masa depan. Metode ini

memodelkan fungsinya berdasarkan fungsi deret waktu itu sendiri, tanpa variabel

luar. Metode yang termasuk metode univariat adalah pemulusan, pemulusan

eksponensial (exponential smoothing), dekomposisi, analisa deret Fourier, ARIMA

(Box-Jenkins), trend linear, dan model pertumbuhan non-linear. Tujuan metode-

metode tersebut adalah memodelkan nilai-nilai masa lampau untuk

memproyeksikannya ke nilai-nilai masa depan. Konsep dasar peramalan univariat

adalah nilai di masa depan merupakan fungsi matematis dari nilai –nilai masa

lampau. Secara matematis, fungsinya dapat ditulis sebagai berikut:

13

Nilai masa depan = f (Nilai masa lampau)

• Metode peramalan multivariat, disebut juga metode kausal, yakni membuat proyeksi

untuk masa depan dengan memodelkan hubungan antara sebuah deret dengan deret-

deret lainnya. Sebagai contoh, peramalan dari penjualan produk makanan dapat

berhubungan dengan pendapatan masyarakat, daya beli, pola konsumsi. Variabel-

variabel luar tersebut adalah variabel bebas/independen, sedangkan variabel nilai

penjualan produk makanan tersebut adalah variabel dependen. Metode yang

termasuk metode multivariat adalah regresi sederhana, regresi berganda,

ekonometrik, ekonometrik multi persamaan, deret waktu multivariat, danteknik-

teknik lainnya. Secara matematis, fungsi multivariat sederhana dapat ditulis sebagai

berikut:

Variabel dependen = f (Variabel independen)

atau

Nilai masa depan = f (Nilai masa lampau, Nilai dari variabel lainnya)

• Metode peramalan kualitatif/teknologi, disebut juga peramalan berdasarkan

subjektivitas. Metode ini didasarkan pada penilaian dan opini pihak luar tentang

trend yang akan datang, rasa, dan perubahan teknologi. Yang termasuk metode ini

adalah metode Delphi, penelitian pasar (market research), konsensus panel, pohon

relevansi (relevance trees), analisa skenario, dan metode analogi historis untuk

memperkirakan masa depan. Metode kualitatif biasanya digunakan untuk membuat

prediksi jangka panjang ketika data masa lampau yang berhubungan hanya sedikit

tersedia. Metode ini berguna ketika hanya sedikit data yang tersedia untuk

melakukan metode kuantitatif.

14

Ketika suatu model peramalan sudah diterima, diperlukan suatu keterlibatan yang

terus-menerus dalam memperbaharui, merawat, dan memperbaiki model tersebut agar

hasil suatu peramalan dapat selalu efektif bagi pihak yang menggunakannya.

3.2.1 Brown’s Double Exponential Smoothing

Metode ini menggunakan koefisien tunggal, α (alpha), yang bernilai antara

nol dan satu, untuk operasi pemulusannya. Metode ini melakukan pengukuran trend

dengan cara menghitung perbedaan antara pemulusan tunggal dan ganda. Lalu

menambahkan nilai tersebut dengan nilai pemulusan tunggal dengan penyesuaian

untuk mendapatkan nilai trend yang sesuai.

Model Brown diimplementasikan dengan menggunakan beberapa persamaan

berikut:

'1

' )1( −−+= ttt SYS αα (3.2.1.1)

"1

'" )1( −−+= ttt SSS αα (3.2.1.2)

"'"'' 2)( tttttt SSSSSa −=−+= (3.2.1.3)

)(1

"'ttt SSb −

−=

αα

(3.2.1.4)

mbaF ttmt +=+ (3.2.1.5)

dimana:

'tS = single exponential smoothing

"tS = double exponential smoothing

ta = nilai pemulusan diakhir periode t

15

tb = penduga trend diakhir periode t

m = rentang waktu peramalan (forecast horizon)

Persamaan berikut menunjukkan metode umum untuk menghitung nilai awal atau

inisialisasi nilai variabel dari metode ini.

1"1

'1 YSS == (3.2.1.6)

11 Ya = (3.2.1.7)

2)()( 3412

1YYYYb −+−

= (3.2.1.8)

3.2.1.1 Kelebihan Metode Brown

Kelebihan metode ini adalah :

• Dapat memodelkan trend dan tingkat dari suatu deret waktu.

• Secara perhitungan lebih efisien dibandingkan dengan double moving

averages (rata-rata bergerak ganda).

• Memerlukan data yang lebih sedikit dibandingkan dengan double moving

averages. Karena hanya satu parameter yang digunakan, optimasi

parameter menjadi sederhana.

3.2.1.2 Kekurangan Metode Brown

Walaupun optimasi parameternya sederhana, model ini kehilangan

fleksibilitasnya karena konstanta pemulusan untuk tingkat dan trend mungkin

saja tidak sama. Metode ini juga tidak memodelkan pemusiman dari suatu

deret, sedangkan banyak deret waktu yang memiliki sifat musiman. Model ini

16

dapat digunakan untuk musiman jika datanya di non-musimkan

(deseasonalized) terlebih dahulu.

3.2.2 Holt’s Two-Parameter Trend Model

Model ini menggunakan koefisien pemulusan kedua, β (beta) yang sama

sepertiα (alpha), juga bernilai antara nol dan satu, untuk secara berbeda

memuluskan trendnya. Beta digunakan untuk merata-ratakan trend yang ada di

persamaan. Hal ini menghilangkan beberapa kesalahan acak yang dapat terjadi pada

trend yang tidak dimuluskan.

Model Holt’s diimplementasikan dengan menggunakan beberapa persamaan

berikut:

))(1( 11 −− +−+= tttt bSYS αα (3.2.2.1)

11 )1()( −− −+−= tttt bSSb ββ (3.2.2.2)

mbSF ttmt +=+ (3.2.2.3)

dimana:

α = konstanta pemulusan tingkat

St = pemulusan diakhir periode t

β = konstanta pemulusan trend

bt = trend pemulusan di periode t

m = rentang waktu peramalan (forecast horizon)

Untuk metode ini, persamaan untuk menentukan nilai awal dari variabelnya

adalah sebagai berikut:

17

11 YS = (3.2.2.4)

Sedangkan untuk nilai b, sama dengan persamaan 3.2.1.8, yaitu:

2)()( 3412

1YYYY

b−+−

=

3.2.2.1 Kelebihan Metode Holt

Metode ini memiliki kelebihan yang sama dengan metode Brown.

Selain itu, metode ini juga memiliki fleksibilitas terhadap tingkat dan trend

yang dapat dimuluskan dengan bobot yang berbeda.

3.2.2.2 Kekurangan Metode Holt

Metode ini memerlukan optimasi dari dua parameter sehingga

pencarian untuk menemukan kombinasi nilai parameter yang terbaik menjadi

lebih sulit. Sebagaimana dalam metode Brown, metode ini juga tidak

menyertakan pemodelan untuk sifat musiman dari suatu deret.

3.2.3 ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average)

Sesuai dengan nama penemunya, yakni George Box dan Gwilyn Jenkins,

model ini dikenal juga dengan nama Box-Jenkins. Model ini memiliki tiga

komponen, yakni: autoregresi (autoregressive), integrasi (integrated), dan rata-rata

bergerak (moving average). Dalam membentuk suatu model dalam metode ARIMA,

ada beberapa langkah yang digunakan, yaitu:

o Identifikasi model, menggunakan grafik, statistik, dan alat lainnya untuk

mengenali suatu pola dan komponen model.

18

o Estimasi parameter dan diagnosis model, menentukan koefisien dari suatu

fungsi yang tepat dan penentuan apakah suatu model akan digunakan jika

valid dan pengulangan langkah dari identifikasi hingga diagnosis jika suatu

model tidak valid untuk mendapatkan suatu model yang benar-benar valid.

o Aplikasi, penggunaan model yang telah diterima/valid dalam proses

peramalan.

Langkah-langkah dalam membentuk suatu model peramalan tersebut juga

secara umum digunakan untuk metode-metode peramalan lainnya.

3.2.4 Identifikasi Model

Identifikasi model untuk pemodelan data deret waktu menggunakan metode

ini memerlukan perhitungan dan penggambaran dari hasil fungsi autokorelasi (ACF)

dan fungsi autokorelasi parsial (PACF). Hasil perhitungan ini diperlukan untuk

menentukan model ARIMA yang sesuai, apakah ARIMA(p,0,0) atau AR(p),

ARIMA(0,0,q) atau MA(q), ARIMA(p,0,q) atau ARMA(p,q), ARIMA(p,d,q).

Sedangkan untuk menentukan ada atau tidaknya nilai d dari suatu model, ditentukan

oleh data itu sendiri. Jika bentuk datanya stasioner, d bernilai 0, sedangkan jika

bentuk datanya tidak stasioner, nilai d tidak sama dengan 0 (d > 0).

3.2.4.1 Fungsi Autokorelasi (ACF)

Korelasi merupakan hubungan antara satu variabel dengan variabel

lainnya. Nilai korelasi dinyatakan oleh koefisien yang nilainya bervariasi

antara +1 hingga –1. Nilai koefisien tersebut menyatakan apa yang akan

terjadi pada suatu variabel jika terjadi perubahan pada variabel lainnya.

19

Nilai koefisien yang bernilai positif menunjukkan hubungan antar

variabel yang bersifat positif, yakni jika satu variabel meningkat nilainya,

variabel lainnya juga akan meningkat nilainya. Sedangkan nilai koefisien

yang bernilai negatif menunjukkan hubungan antar variabel yang bersifat

negatif, yakni jika satu variabel meningkat nilainya, variabel lainnya akan

menurun nilainya, dan sebaliknya. Bila suatu koefisien bernilai nol, berarti

antar variabel-variabel tersebut tidak memiliki hubungan, yakni jika terjadi

peningkatan/penurunan terhadap suatu variabel, variabel lainnya tidak akan

terpengaruh oleh perubahan nilai tersebut.

Koefisien autokorelasi memiliki makna yang hampir sama dengan

koefisien korelasi, yakni hubungan antara dua/lebih variabel. Pada korelasi,

hubungan tersebut merupakan dua variabel yang berbeda pada waktu yang

sama, sedangkan pada autokorelasi, hubungan tersebut merupakan dua

variabel yang sama dalam rentang waktu yang berbeda. Autokorelasi dapat

dihitung menggunakan fungsi autokorelasi (AutoCorrelation Function),

ACF(k), yang dapat dinotasikan sebagai berikut:

∑

∑

=

+=−

−

−−= n

tt

n

ktktt

YY

YYYYkACF

1

2_

1

__

)(

))(()(

(3.2.4.1.1)

Ssecara umum, ACF digunakan untuk melihat apakah ada sifat

Moving Average (MA), dari suatu deret waktu, yang dalam persamaan

ARIMA direpresentasikan oleh besaran q. Besar nilai q dinyatakan sebagai

banyaknya nilai ACF sejak lag 1 hingga lag ke-k secara berurut yang terletak

di luar selang kepercayaan Z. Jika terdapat sifat MA, q pada umumnya

20

bernilai 1 atau 2, sangat jarang ditemui suatu model dengan nilai q lebih dari

2.

Nilai d, sebagai derajat pembeda (differencing) untuk menentukan

stasisoner atau tidaknya suatu deret waktu, juga ditentukan dari nilai ACF.

Bila ada nilai-nilai ACF setelah time lag ke-k untuk menentukan nilai q

berada di luar selang kepercayaan Z, maka deret tersebut tidak stasioner,

sehingga nilai d tidak sama dengan nol (d > 0), biasanya antara 1 atau 2,

sedangkan bila nilai-nilai ACF tersebut berada dalam selang kepercayaan Z,

maka deret tersebut dapat dibilang stasioner, sehingga nilai d sama dengan nol

(d = 0).

Selang kepercayaan Z, yang besarnya ditentukan oleh derajat bebas

dan selang kepercayaan (α ), dinyatakan sebagai berikut:

nZkACF

nZ 1)(1

≤≤− (3.2.4.1.2)

Galat standar dari ACF tersebut adalah:

nSe kACF

1)( ≅

(3.2.4.1.3)

, dimana n merupakan banyak pengamatan dalam deret.

3.2.4.2 Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)

Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur derajat asosiasi

antara Yt dan Yt-k, ketika efek dari rentang/jangka waktu (time lag)

dihilangkan. Seperti ACF, nilai PACF juga berkisar antara +1 dan –1.

21

PACF umumnya digunakan untuk mengidentifikasi adanya atau

tidaknya sifat AR (autoregressive), yang dinotasikan dengan besaran p. Jika

terdapat sifat AR, pada umumnya nilai PACF bernilai 1 atau 2, jarang

ditemukan sifat AR dengan nilai p lebih besar dari 2.

Fungsi PACF dapat dituliskan sebagai berikut:

pkpkkkk −−−− ++++= ρφρφρφρφρ L332211 (3.2.4.2.1)

dimana:

k adalah time lag, dengan k =1,..., p.

ρ adalah nilai dari fungsi autokorelasi (ACF)

φ adalah nilai dari fungsi autokorelasi parsial (PACF)

Sebagai contoh, untuk mendapatkan nilai PACF pada time lag 1, k

bernilai 1, diperoleh:

011 ρφρ = , dengan 0ρ (nilai ACF pada lag 0) selalu bernilai 1,

sehingga:

11 ρφ = (3.2.4.2.2)

Berarti nilai PACF pada time lag 1 sama dengan nilai ACF pada time

lag 1. Sedangkan untuk memperoleh nilai PACF pada time lag 2, digunakan

persamaan 3.2.3.2.1 dengan k = 2, diperoleh:

1211 ρφφρ += dan 2112 φρφρ += (3.2.4.2.3)

Dengan memecahkan persamaan 3.2.3.2.3 dan mensubstitusikan 1φ nya,

didapatkan:

21

212

2 1 ρρρ

φ−−

= (3.2.4.2.4)

22

Sedangkan untuk k = 3, menggunakan persamaan 3.2.3.2.1, akan diperoleh:

312213

132112

231211

φρφρφρρφφρφρρφρφφρ

++=++=++=

(3.2.4.2.5)

Demikian seterusnya untuk time lag selanjutnya.

Rumus PACF tersebut dapat juga dituliskan sebagai berikut dengan r

menyatakan nilai ACF (seperti ρ pada persamaan sebelumnya) dari suatu lag

k :

111 r=φ (3.2.4.2.6)

21

212

22 1 rrr

−−

=φ (3.2.4.2.7)

jkkkkjkkj −−− −= ,1,1 φφφφ ; k =2,..., j=1,2,..., k-1 (3.2.4.2.8)

∑

∑−

=−

−

=−−

−

−= 1

1,1

1

1,1

1k

jjjk

k

jjkjkk

kk

r

rr

φ

φφ ; k = 3,... (3.2.4.2.9)

Untuk menentukan besar nilai p yang menyatakan derajat AR,

diperlukan perbandingan nilai PACF pada selang kepercayaan Z. Nilai p

dinyatakan dengan banyaknya nilai PACF sejak lag 1 hingga lag ke-k yang

terletak di luar selang kepercayaan secara berturut-turut. Selang kepercayaan

tersebut serupa dengan persamaan 3.2.3.1.2:

nZkPACF

nZ 1)(1

≤≤− (3.2.4.2.10)

Galat standar dari PACF tersebut adalah:

nSe kPACF

1)( ≅

(3.2.4.2.11)

, dimana n merupakan banyak pengamatan dalam deret.

23

Tabel dan gambar berikut meringkaskan pola ACF dan PACF untuk

model AR dan MA.

Tabel 3.1 Pola Umum ACF dan PACF untuk Model AR dan MA Sederhana

-1

-0.5

0

0.5

1

AC

F Te

oriti

s

-1

-0.5

0

0.5

1

PAC

F Te

oriti

s

Gambar 3.6 Nilai ACF dan PACF Teoritis untuk Model AR(1).

-1

-0.5

0

0.5

1

AC

F Te

oriti

s

-1

-0.5

0

0.5

1

PAC

F Te

oriti

s

Gambar 3.7 Nilai ACF dan PACF Teoritis untuk Model MA(1).

Proses ACF PACF AR(1) Penurunan secara eksponensial; Puncak di lag 1, lalu turun ke nol; pada sisi positif jika 1φ >0 dan puncak positif jika 1φ >0,

terbalik pada sisi negatif jika 1φ <0. negatif jika 1φ <0. AR(p) Penurunan secara eksponensial Puncak di lag 1 hingga p, lalu turun ke atau gelombang sinus yang nol. dimampatkan. Pola tepatnya

bergantung pada tanda dan besar

1φ ,..., pφ MA(1) Puncak di lag 1 lalu turun ke nol; Penurunan secara eksponensial; pada puncak positif jika 1θ <0, negatif sisi negatif jika negatif jika 1θ >0 dan

jika negatif jika 1θ >0. berbalik-balik tanda mulai dari sisi

positif jika 1θ <0. MA(q) Puncak di lag 1 hingga q, lalu Penurunan secara eksponensial atau turun ke nol. gelombang sinus yang dimampatkan. Pola tepatnya tergantung pada tanda dan besar 1θ ,..., qθ .

24

3.2.4.3 Notasi Backshift

Model ARIMA secara umum adalah sulit untuk dituliskan. Model ini

berhubungan dengan variabel dependen/bergantung pada unsur rentang/lag itu

sendiri dan kesalahan rentang/lag.Karena itu dibutuhkan penggunaan suatu

notasi yang menyederhanakan bentuk suatu persamaan, sehingga lebih

sederhana dan lebih mudah bila dikerjakan secara aljabar.

Sebuah notasi yang sangat berguna yakni operator backward shift, B,

dinyatakan sebagai berikut:

1−= tt YBY (3.2.4.3.1)

Dengan kata lain, B, digunakan pada Yt, memiliki efek menggeser data

mundur satu periode. Dua aplikasi dari B terhadap Yt memundurkan data dua

periode sebagai berikut:

22)( −== ttt YYBBYB

(3.2.4.3.2)

Operator ini memudahkan untuk menggambarkan proses diferensiasi.

Diferensiasi pertama/turunan tingkat satu dapat dituliskan sebagai berikut:

tttttt YBBYYYYY )1(1' −=−=−= − (3.2.4.3.3)

Secara serupa, turunan tingkat dua dapat dituliskan sebagai berikut:

t

t

ttt

tttt

ttt

YB

YBB

YYYYYYY

YYY

2

221

211

'1

'"

)1(

)21(

2)()(

)(

−=

+−=

+−=−−−=

−=

−−

−−−

−

Secara umum, turunan tingkat-d dapat dituliskan sebagai berikut:

td YB)1( − (3.2.4.3.4)

25

3.2.5 Estimasi Parameter dan Diagnosis Model

Setelah suatu model diperoleh dari perhitungan pada bagian sebelumnya,

langkah selanjutnya adalah menentukan nilai suatu parameter yang menyertai model

tersebut. Berbagai langkah yang dapat dilakukan untuk mengestimasi nilai parameter

tersebut adalah:

o Menggunakan metode “trial and error”, metode ini menggunakan cara coba-

coba dalam menentukan nilai parameternya.

o Melakukan proses iterasi menggunakan program untuk memperoleh hasil yang

lebih akurat, karena jika dilakukan perhitungan secara manual, waktu yang

dibutuhkan sangat tidak sedikit, sehingga program komputer akan sangat

membantu dalam menentukan nilai parameter yang optimal dalam waktu yang

relatif singkat.

Setelah parameter-parameter yang diperlukan didapat, langkah selanjutnya

adalah melakukan pemeriksaan apakah suatu model cukup representatif atau tidak.

Suatu model dikatakan cukup representatif jika deret dari residunya

(sisaan/error/galat) terdistribusi secara bebas dan acak di sekitar nol, serta jika tidak

ada informasi yang dapat digunakan untuk memperbaiki suatu model. Suatu model

dapat dibilang sesuai jika terdapat nilai nol dalam selang autokorelasi sisaannya.

Selang autokorelasi sisaan dinyatakan dalam persamaan berikut:

SEkre 2)(2 ± (3.2.5.1)

, dimana standard error (SE) didapat dengan menggunakan persamaan 3.2.4.1.3 dan

k merupakan time-lag, dan re merupakan nilai autokorelasi sisaan.

26

Cara yang lain adalah dengan memeriksa kesesuaian model tersebut

menggunakan pengujian berdasarkan SE dari koefisien autokorelasi nilai sisaan

secara sekaligus. Statistik uji yang digunakan adalah Chi-Square dengan statistik

hitung yang digunakan adalah:

∑=

−=k

ke krdNQ

1

2 )()( (3.2.5.2)

,dengan re merupakan fungsi autokorelasi nilai sisaan dari suatu time-lag k, d

merupakan derajat pembeda, dan N merupakan banyak periode waktu.

Berdasarkan statistik hitung diatas, suatu model dikatakan sesuai jika model

tersebut memenuhi kriteria sebagai berikut:

2)( qpkQ −−≤ αχ (3.2.5.3)

Dan suatu model dikatakan tidak sesuai jika:

2)( qpkQ −−> αχ (3.2.5.4)

Sehingga diperlukan perhitungan ulang dari langkah pertama dan interpretasi data

yang lebih tepat.

3.2.6 Aplikasi Model untuk Peramalan

Setelah suatu model dianggap sesuai, maka proses peramalan dapat dilakukan

sesuai dengan model tersebut dengan nilai-nilai yang telah diperoleh dari proses

perhitungan sebelumnya untuk memperoleh nilai ramalan dari periode waktu yang

akan diramalkan.

27

3.2.7 Berbagai Model ARIMA

Seperti sudah disebutkan sebelumnya, model ARIMA terdiri atas AR

(AutoRegressive) dan MA (Moving Average). Kedua model tersebut dapat

dipasangkan secara efektif menjadi model lainnya yang disebut ARMA

(AutoRegressive Moving Average). Tetapi, model tersebut hanya dapat digunakan

jika datanya stasioner. Model ini dapat dikembangkan untuk data non-stasioner

dengan memberikan derajat pembeda (d) pada deret datanya. Model dengan derajat

pembeda tersebut disebut model ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving

Average), yang dikenal juga dengan nama model Box-Jenkins.

Model ARIMA secara umum dituliskan dengan notasi ARIMA(p,d,q).

Dimana p merupakan derajat autoregresi (AR), d merupakan derajat

pembeda/integrasi (I), q merupakan derajat rata-rata bergerak (MA).

3.2.7.1 Model AR orde satu

Persamaan berikut menunjukkan bentuk dasar model ARIMA(1,0,0)

atau AR(1), dimana nilai Yt bergantung pada Yt-1 dan nilai koefisien

autoregresi 1φ dibatasi antara –1 hingga +1:.

ttt eYY += −11φ (3.2.7.1.1)

Dengan notasi backshift, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:

tt eYB =− )1( 1φ (3.2.7.1.2)

28

3.2.7.2 Model MA orde satu

Persamaan untuk model MA orde satu, dengan nilai pengamatan Yt

bergantung pada galat et dan galat periode sebelumnya et-1, adalah sebagai

berikut:

11 −−= ttt eeY θ (3.2.7.2.1)

Dengan notasi backshift, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:

tt eBY )1( 1θ−= (3.2.7.2.2)

3.2.7.3 Model AR orde-p

Secara umum, model ARIMA(p,0,0) sama dengan model AR(p) dan

dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut:

tptpttt eYYYY ++++= −−− φφφ L2211 (3.2.7.3.1)

Dengan notasi backshift, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:

ttp

p eYBBB =−−−− )1( 221 φφφ L (3.2.7.3.2)

3.2.7.4 Model MA orde-q

Secara umum, model ARIMA(0,0,q) sama dengan model MA(q) dan

dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut:

qtqtttt eeeeY −−− −−−−= θθθ L2211 (3.2.7.4.1)

Dengan notasi backshift, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:

tq

qt eBBBY )1( 221 θθθ −−−−= L (3.2.7.4.2)

29

3.2.7.5 Model ARMA

Gabungan model AR(1) dengan model MA(1), disebut model

ARMA(1,1) atau ARIMA(1,0,1). Model ARMA seharusnya mampu

menghasilkan hasil ramalan yang lebih akurat daripada model AR ataupun

MA secara terpisah karena model ARMA kedua model tersebut. Model

ARMA(1,1) atau model ARIMA(1,0,1) dapat dituliskan dalam persamaan

berikut:

1111 −− −+= tttt eeYY θφ (3.2.7.5.1)

Dengan notasi backshift, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:

tt eBYB )1()1( 11 θφ −=− (3.2.7.5.2)

Sementara untuk model ARMA dengan orde yang lebih tinggi (ARMA(p,q)

atau ARIMA(p,0,q)), persamaannya menjadi:

qtqttptptt eeeYYY −−−− −−−+++= θθφφ LL 1111 (3.2.7.5.3)

atau dengan operator backshift menjadi:

tq

qtp

p eBBYBB )1()1( 11 θθφφ −−−=−−− LL (3.2.7.5.4)

3.2.7.6 Model ARIMA

Jika bentuk non-stasioner ditambahkan pada model ARMA, maka

model umum untuk ARIMA(p,d,q) diperoleh. Persamaannya untuk bentuk

paling sederhana ARIMA(1,1,1), adalah:

30

tt eBYBB )1()1)(1( 11 θφ −=−− (3.2.7.6.1)

AR(1) First MA(1) Difference

Sedangkan bentuk umumnya untuk orde lebih tinggi adalah:

tq

qtdp

p eBBYBBB )1()1)(1( 11 θθφφ −−−=−−−− LL (3.2.7.6.2)

Bentuk umum model ARIMA(p,d,q) menghasilkan variasi yang

sangat beragam pada pola ACF dan PACF. Pada aplikasinya di dunia nyata,

yang sering digunakan adalah model-model dengan nilai p, d, atau q berkisar

antara 0, 1, atau 2. Karena dengan range nilai yang sangat kecil untuk p, d,

atau q, sudah dapat mencakup berbagai situasi peramalan praktis.

3.2.8 Kelebihan ARIMA

Model-model yang disediakan oleh metode ini sangat beragam dan bervariasi,

sehingga hampir semua jenis pola data deret waktu dapat tercakup dalam

pemodelannya. ARIMA juga dapat dikembangkan untuk tipe data multivariat

(MARIMA/Multivariate ARIMA) dan musiman (SARIMA/Seasonal ARIMA) selain

daripada model AR, MA, serta ARMA dan ARIMA itu sendiri. Ramalan yang

dihasilkan metode ini dapat dikembangkan untuk periode-periode yang sangat

pendek.

3.2.9 Kekurangan ARIMA

Proses pemodelannya cukup rumit, setelah perhitungan untuk variabel p, d,

dan q, diperlukan lagi perhitungan untuk menentukan besarnya parameter dari tiap-

31

tiap variabel, sehingga hasil peramalan yang dihasilkan dapat optimal. Proses

perhitungannya memerlukan ketelitian dan waktu yang cukup lama, khususnya untuk

optimalisasi nilai parameternya.

Untuk mendapatkan model peramalan yang lebih akurat, diperlukan jumlah

data deret waktu yang lebih besar. Walaupun mungkin dapat disusun model ARIMA

dengan data bulanan selama 2 tahun, akan tetapi hasil yang terbaik dapat dicapai, bila

digunakan sekurang-kurangnya data 5 sampai dengan 10 tahun, sehingga dapat

ditunjukkan dengan tepat adanya deret data dengan pengaruh musim yang kuat.

(Assauri, Sofjan. 1984, p159)

3.3 Pengukuran Relatif

Untuk mengecek besar kesalahan peramalan, dapat diketahui dengan menghitung

selisih antara nilai asli dengan nilai peramalannya, yang biasa dikenal dengan nama

error atau galat. Berikut ini adalah berbagai cara pengukuran yang digunakan untuk

mengetahui besarnya kesalahan yang dihasilkan oleh suatu model peramalan:

Percentage Error: %100)( ×−

=

∧

t

ttt Y

YYPE (3.3.1)

Mean Percentage Error: n

PEMPE

n

ii∑

== 1 (3.3.2)

Mean Absolute Percentage Error: n

PEMAPE

n

ii∑

== 1

|| (3.3.3)

Mean Absolute Deviation (Mean Absolute Error): n

YYMAD

n

iii∑

=

∧

−= 1 (3.3.4)

32

Mean Square Deviation(Mean Square Error): n

YYMSD

n

iii

2

1∑=

∧

−= (3.3.5)

Persamaan yang biasa digunakan untuk mengecek tingkat kesalahan suatu

peramalan adalah MAPE dan MSD. Semakin kecil nilai yang dihasilkan oleh persamaan

tersebut, semakin baik dan semakin akurat metode tersebut.