SUBGRUP NORMAL,

GRUP KUOSIEN,HOMOMORFISMA GRUP

SUBGRUP NORMAL

Definisi 3,1 (Subgrup Normal

Suatu Subgrup H dari Grup G disebut Subgrup Normal, jika a-1Hamerupakansubset dari H, untuk setiap a E G.

Ekivalen dengan definisi di atas, H adalah Nonnal jika aH =Ha, untuk setiapa E G, yakni, jika Koset Kiri dan Kanan dari H sarna.

CONTOH SUBGRUP NORMAL

Contoh 3.1

Misalkan G adalah Grup dari matriks nonsingular 2 x 2, di bawah perkalianmatriks. Misalkan H adalah subset dari G berisi semua matriks triangular bawah;yakni matriks berbentuk

a 0, dengan ad * O.c d

Akan ditunjukkanbahwa H adalah Subgrup dari G, namun bukanlah SubgrupNormal.

H adalah Tertutup di bawah perkaliandan invers matriks,dan matriks identitasI tennasuk H. KarenanyaH adalahsuatu Subgrupdari G. Narnun,H bukan Subgrupormal karena, sebagai contoh

Misalkan G adalah Grup dari matriks pada Contoh 3.1 di atas. Misalkan Kadalah subset dari G berisi matriks berdeterminan 1. Akan ditunjukkan bahwa Kadalah.Subgrup onnal dari G.

42

1 2-1 I 0 1 2 3 -2 1 0 1 2 -1 -41 3 1 1 1 3 = -1 1 1 3 1 3 = 1 3

tidak tennasukH.

Contoh 3.2

Karena det(1) = I, maka I termasuk K.

Jika A dan B termasuk K, maka

det(AB) =det(ALdet(B) =(1)(1) =I

dan karena itu AB termasuk K.

Juga,

det(A-I) = lIdet(A) = I

dan karena itu A-I termasuk K. Maka K adalah suatu Subgrop.

Lebih Ianjut, untuk sembarang matriks X pada G dan sembarang matriks Apada K,

det(X-IAX) =I

Karenanya X-lAX termasuk K. Sehingga K adalah suatu Subgrop Nonna!dari G.

Contoh 3.3

Dibicarakan Gmp Pennutasi S3, yang Tabel Perkaliannya teIdapat pada ambar2.1. Temyata Subgrop H = {e '~I} adalah tidak Nannal.

Koset Kanan dan Kiri dari H adalah sebagai berikut:

KosetKanan

H = {e'~I}

Hf"1 = {01,~}

H02 = {02'~3}

Koset Kiri

H ={e,od01H={e 1'~3}

02H ={e2,~}

43

SIFAT SUBGRUP NORMAL

Sitat 3.1

Sembarang Subgrup H dari suatu Grup Abel G adalah Nonnal.

Bukti

Misalkan h adalah sembarang elemen dari H dan misalkan g adalah sembarangelemen dari G. Karenanya

Karenanya H adalah Subgrup Nonnal.

Sitat 3.2

Misalkan H adalah Subgrup dari G, dan misalkan K adalah Subgmp Nonnaldari suatu Grup G. HK adalah Subgrup dari G.

Bukti

Kita hams menunjukkan bahwa e e HK dan bahwa HK adalah Tertutup dibawah perkalian dan invers.

Karena H dan K adalah Subgrup, maka

ee Hdan

e e K

Karenanya e =ee tennasuk HK.

Pandang x, y e HK. Maka

44

di sini

Maka

xy =h1k1h2~

=h1h2(~-lkI~)~

Karena K adalah Nonnal,

dan karena U dan K adalah Subgrup,

hl~ e H dan

(h£I~~)~ e K

Karenanya xy e UK, dan UK adalah Tertutup di bawah perkalian. Kita dapatkanpula bahwa

Karena K adalah Subgrup Nonnal,

h k -Ih -I tennasuk K1 1 I

Juga

h -I tennasuk U1

. Oleh karena itu x-I e HK, dan karenanya UK adalah Tertutup di bawah invers. .

Jadi UK adalah sebuah Subgrupo

45

GRUP KUOSIEN

Teorema berikut mendefinisikanGrup Kuosien, GIH, bersangkutan dengansuatu Subgmp Normal H dari G.

Teorema 3.1

MisaIkan H adalah Subgrop Normal dari suatu Grup G. Maka Koset dari Hpada G membentuksuatlJGrup di bawah operasiperkalianKosel,yang didefinisikansebagai (aH)(bH) =abH.

Grup dari Koset tersebut dinarnakanGrup Kuosien, atau Grup Faktor, ditulisGIH.

Bulctl

PerkalianKosetadalahterdefinisirapih(well-defined),karena

(aH)(bH) = a(Hb)H = a(bH)H = ab(HH) =abH

Di sini kita gunakan faletabahwa H adalah Normal, maka

Hb =bH, dan,HH=H

Keasosiatifan perkalian Koset adalah berdasarlcan kenyataan bahwa sifat asosiatifterpenuhi pada G. H adalah elemen identitas dari GIH, karena

(aH)H =a(HH) =aU dan

H(aH) =(Ha)H =(aH)H = aU

Terakhir, a-IH adalah invers dari aU karena

(a-IH)(aH) =a-laU =eH =H ~(aH)(a-IH) = aa-IH = eH = H

Karenanya GIH adalah suatlJ Grup di bawah perkalian Kosel.

46

CONTOH GRUP KUOSIEN

Contoh 3.4

Misalkan Z adalahGmp dari integer di bawah penjumlahan,dan misalkan Hadalah Subgrop dari Z berisi sem08 kelipatan 5. Akan kita tunjukkan bahwa Hadalah s08tu Subgrop Normal dari Z, dan akan kita tentukan Gmp Kuosien ZIH.

Karena Z adalah Abel, H otomatis adalah Subgrop Normal.

Misalkan 0', I', 2', 3' dan 4' menyatakan,berturut-turot kelima Koset H, yakni

0+ H = H = {..., -10, -5, 0, 5, 10, ...}

1 + H = {..., -9, -4, 1,6, 11, ...}

2 + H = {..., -8, ~3,2, 7, 12, ...}3 + H = {..., -7, -2, 3, 8, 13, ...}4 + H = {..., -6, -1,4,9, 14, ...}

Tabel penjumlahanuntuk Gmp Kuosien ZIH = { 0', 1', 2', 3', 4'} adalahsebagaiberikut

Gmp ini biasanya disebut Gmp Integer Modulo 5, d8n kerapkali dinyatakandengan Zs' Analog untuk sembarang integer positif m, terdapat Zm, .yangdisebutGmp Integer Modulo m. .

47

,

+ 0' l' 2' 3' 4'

0' 0' l' 2' 3' 4'

l' l' 2' 3' 4' 0'

2' 2' 3' 4' 0' l'

3' 3' 4' 0' l' 2'4' 4' 0' l' 2' 3'

HOMOMORFISMA

Sekarang kita definisikan suatu Hornornorfisma Grup. Juga. didefmisikan suatuIsornorfisma Grup.

Definisi 3.2 Homomorfisma

Suatupemetaanf dari sebuahGrup0 (denganoperasi*) ke dalam sebuahGrup 0' [denganoperasi*') adalahsebuahHornornorfisma.jika

f(a*b) =f(a) *' f(b), untuk setiap a. b pada G.

Sebagai tambahan, jika f adalah satu-satu (one-to-one) dan onto, maka fadalahsuatu isornorfisma.

o dan 0' dikatakanisornorfis,ditulisG .. G'.

Sekarang kita definisikan Kernel dan Image dari suatu Homornorfisma Grupf:O~O'.

Definlsi 3.3

RuangNol atau Kerneldari f, ditulisKer t, adalahhirnpunanelemendari 0yangpetanyaadalahelernenidentitase'dari G':

Ker f = (a e If(a) = e'}

Ruang Peta atau Image dari f, ditulis f(O) atau 1m f, berisi sernua peta darielemen 0 di bawah f:

1m f = (b e 0'1 b = f(a) untukbeberapaa e G}

Istilah Range juga digunakan untuk Image.

48

CONTOH HOMOMORFISMA

Contoh 3.5

MisalkanG adalahGmp dari bilanganrealdi bawahpenjumlahan,dan misalkanG' adalah Grup dari bilangan real positif di bawah perkalian. Akan kita tunjukkanbahwa pemetaan f : G ~ G'., yang didefinisikansebagaif(a) =2a, adalah sebuahHomomorfisma. Apakah ia suatu isomorfisma?

Pemetaan f adalah Homomorfisma, karena

f(a+b) =2a+b = 2~b =f(a)f(b)

Lebih lanjut, karena f satu-satu (one-to-one) dan onto, f adalah sebuahisomorfisma.

Contoh 3.6

Misalkan G adalah Grup dari matriks bujursangkar order n yang real dannonsingular, di bawah perkalian. Akan kita tunjukkan bahwa fungsi determinan.adalah suatu Homomorfismadari G ke dalarnG' .G' adalah Gmp dari bilangan realtak nol di bawahperkalian.

Misalkan A dan B adalah matriks pada G. Maka

det(AB) =det(A) ·det(B)

Karenanya fungsi determinan adalah suatu Homomorfisma.

SIFAT HOMOMORFISMA

Sifat 3.3

Diberikan suatu Homomorfisma f: G ~ G', berlaku bahwa

f(e) = e'

49

Buld;

Karena f(e) = f(e*e) =f(e) *' f(e), maka

e' =f(e)-l *' f(e)

=f(e)"1*' (f(e) *' f(e»

=[f(e)-I *' f(e)] *' f(e)

= e' *' f(e)= f(e)

Sitat 3.4

Diberikan suatu Homomorfisma f : G ~ G', berlaku bahwa

f(a)-l =f(a-I),

unbJk sembarang elemen a pada G.

Buldl

MenggunakanSifat3.3,kita peroleh

f(a) *' f(a-l) = f(a*a-I)

=f(e)= e'= f(e)= f(a-I*a)= f(a-I) *' f(a)

Teorema 3.2:

Misalkan f : G ~ G' adalah suatu Homomorfismadengan Kemel K. Maka

(i) K adalah suatu Subgrop Nonnal dari G, dan

(ii) Gmp Kuosien GIK adalah isomorfis dengan image dari f.

50

Bukt;

(i) Dari Sifat 3,

f(e) =e'

maka e E K.

Sekarang p~clang a.b E K clang E G. Maka

f(a) =e', clan

f(b) = e'

Karenanya

f(OO) = f(a)f(b)= e'e'= e'

f(a-I) = f(a)-I= e'-I=e'

f(gag-I) = f(g)f(a)f(g-I)

= f(g)e'f(gyl

= (f(g)e')f(gyl

= f(g)f(gyl= e'

Karenanya 00, a-I, clangag-I tennasuk K. clankarenanya K adalah suatu SubgrupNonnal.

(ii) Misa1kanH subset 0' adalah image dari ft dan definisikan sebuah pemetaan0: GIK -+ H dengan0(Ka) =f(a).

Kita tunjukkan bahwa (2)adalah terdefinisi rapih; yakni

51

jika Ka =Kb, maka

0(Ka) =0(Kb)

Pandang Ka ;:: Kb. Dan karenanya ab-1e K. Maka

f(ab-1) = e', danf(a)f(byl = f(a)f(b-1)

= f(ab-1)= e'

Karenanya

f(a)= f(b),

dan berarti

0(Ka) = 0(Kb)

Sehingga 0 terdefmisi rapih.

Kita selanjutnya menunjukkan bahwa 0 adalah suatu Homomorfisma:

0(KaKb) =0(Kab)

=f(ab)

=f(a)f(b)

=0(Ka) 0 (Kb)

Karena 0 adalah suatu Homomorfisma. Kita akan menunjukkan bahwa _adalah satu-satu (one-to-one).

Pandang 0(Ka) =0(Kb). Maka

f(a) =f(b) atau

f(a)f(b)-l =e'

f(a)f(b-l) =e', atau

f(ab~l) = e'

52

Karenanya 00-10 K, dan sekali lagi dengan Contoh 2.16, Ka =Kb. Sehingga

o adalah satu-satu (one-tOfne).Akhimya, kita tunjukkan bahwa 0 adalah onto. Misalkan h 0 H. Karena H

adalah image dari f, Terdapat suatu.a e 0 sedemikian sehingga f(a) =h. Karenanya0(Ka) =f(a) = h, dan karenanya 0 adalah onto. Berarti OIK isomorfis dengan H,dan Teorema 3.2(ii) terbukti.

CONTOH LAIN

Contoh 3.7

Misalkan f: 0 -+ 0' didefinisikait sebagai f(z) =Izldengan 0 adalah Grup daribilangan kompleks tak nol di bawah perkalian, dan 0' adalah Grup dari bilanganreal tak nol di bawah perkalian.

(a) Tunjukkan bahwa f adalah sebuah Grup Homomorfisma,

(b) Nyatakan secara geometrik kernel K dari Homomorfisma f

(a) f(zlz2) = I zlZ:z I= I zl I I Z:zI

= f(zl)f(Z:z)

(b) K terdiri dari bilangan kompleks z sedemikian sebingga I z I= 1; yakni,K adalah lingkaran berjari-jari satu.

Contoh 3.8

Kita akan menyatakan Orup Kuosien OIK Contoh 3.7 yang laIu.

O/K adalah isomorfisdengan image dari f, yang adalah Grup dari bilangan realpositif di bawah perkalian.

Contoh 3.9

Kita tunjukkan bahwa sembarang Grup siklik adalah isomorfis baik terhadapintegerZ di bawah penjumlahan,ataupunterhadapZm, integerdi bawahpenjumlahanmodulo m.

53

Misa1kana sembarang elemen pada sebuah Grup G.

Fungsi f : Z --+ G yang didefmisikan sebagai f(n) = aD adalah suatuHomomorfisma, u..na

f(m+n) =arn+n

=am.aD

= f(m)f(n)

Image dari suatu gp(a), Subgrup sildik yang dibentuk oleh a. Karenanya, gp(a)isomorfis ZJK, dengan K adalah kernel dari f. Jika K ={O},maka gp(a) isomorfisZ. Pada lain pihak, jika m adalah order dari a, maka K = {kelipatan dari m}, dankarenanya gp(a) isomorfis ~.

54