Fakultas TeknikJurusan Teknik SipilUniversitas Brawijaya

Luas Penampanga. Bidang berbentuk tak beraturan

Luas penampang didefinisikan sebagai integral dari luas elemendiferensial dA

denganA : Luas penampang secara keseluruhan (mm2)dA : Luas elemen diferensial = dx . Dydx : Lebar elemendy : Tinggi elemen

Example:

1. Tentukan luas daerah B dibawah kurva : y = x4 2x3 + 2 diantara x = -1 dan x = 2

Answer :

5,1 10

51

2 - 2

1 -

5

1- 4

2

16 -

5

32

2 4

2

5

2 2 -

2

1-

45

2

1-

4

xxx

dxxxALuas B

antara nilai mempunyai yangsumbu x

oleh dibatasidan -1 persamaan mempunyai

yang parabola semisegmenberbentuk yang bidang luasTentukan 3.

2

2

b

xhxfy

bhhb

b

hbhb

b

hxhx

dxhb

xdxhA

dxb

xhydxdA

dAA

b

b

bb

3

2

3

3

3

3

1 .

2

3

0

2

3

0

0

2

2

0

2

2

b. Penampang bidang mempunyai tepi tak beraturan dan tidakterdefinisi secara sistematis sederhana

Luas penampang dapat ditentukan dengan membagi bidangmenjadi elemen-elemen terhingga yang kecil-kecil, kemudianmenjumlahkannya.

Dengan :

n = Jumlah elemen yang terbentuk

A i = Luas elemen ke i (in2 atau mm2)

n

i

iAA1

c. Penampang Bidang Secara Umum

Momen Statis

Momen statis dari suatu luasan terhadap sumbu x dan ydidefinisikan sebagai integral dari hasil kali luas setiapelemendiferensialdA dengan jarak titik berat luasan elementersebutterhadap suatu sumbuyang ditinjau

Terhadap sumbu x :

Terhadap sumbu y :

)mmatau (iny.dA M 3 3sx

)mmatau (inx.dA M 3 3sy

Titik Pusat Berat Benda

Titik pusat berat suatu penampangdapat dinyatakan sebagai titiktangkap resultante gaya dalam arah horizontal dan vertikal atausuatu titik dimana semuaberat terpusat pada titik tersebut. Koordinatx dan y dari pusat berat sama dengan momen statis dibagi denganluas penampang

M1 M2M3

Dimana:m1, m2, m3 =massapiasx1, x2, x3 = jarak massa terhadaptitik pusat Opada sumbuxy1, y2, y3 = jarak massa terhadaptitik pusat Opada sumbuy

= jarak titik berat bendaterhadap sumbux dan yM = m

yx dan

Prinsip Besaran Momen

M

mxx

mxxm

xmxmxmxm ...332211

Dengancara yang sama:M

myy

Titik Berat Bidang / Penampang

A

xax

.

A

yay

.

Dimana:a1, a2, a3 =luas penampangpiasx1, x2, x3 =Jarakpenampangterhadap sumbuyy1, y2, y3 =Jarakpenampangterhadap sumbuxA = a = a1 + a2 + a3 +

Contoh:Tentukantitik berat penampangberikut:

y1 y2

X

Y

Penampang ABCH:

a1 = 10 x 3 = 30 cm2

x1 = 5 cm

y1 = 15 3/2 = 13,5 cm

Penampang DEFG:

a2 = (15 3) x 3 = 36 cm2

x2 = 5 cm

y2 = (15 3) = 6 cm

53630

536530. xx

A

xax 41,9

3630

6365,1330. xx

A

yay

3. Tampang L

Bagian LuasMomenStatisterhadap

x y

I (15x20)=300 300x10=300 300x7,5=2250

II -(10x15)=-150 -150x12,5=-1875 -150x10=-1500

Jumlah 150 1125 750

5150

750.

5,7150

1125.

o

o

A

xa

A

Mx

A

ya

A

My

sy

sx

Soal:

Tentukantitik berat penampangberikut:

MOMEN INERSIA BIDANG (I)

r1

r2

r3

a1

a2a3

2

33

2

22

2

11

2

...

.

rararaI

raI

Jika luas bidang yang diarsir:

a1 = dA1

a2 = dA2

a3 = dA3

Jarak terhadap sumbu y:

r1 = x1

r2 = x2

r3 = x3

Maka momen inersia

terhadap sumbu x:

Maka momen inersia

terhadap sumbu y:

2

xx dA I y2

yy dA I x

Example :

Inersia segiempatterhadap sumbux melalui titik berat

3333

33

33

2

1

2

1

3

21

21

2

2

.12

1

24

2

24

24

81

381.

3

21

321

3

..3

1

I

b.dy dA

I

t

t

2

1

tbbtbtbt

tbtb

tb

tb

by

dybyx

dAy

t

t

y

yx

dx

dy

y

3333

33

33

21

21

3

2b1

2b1

2

2

.12

1

24

2

24

24

81

381.

3

21

321

3

..3

1

. I

d.dx dA

I2

1

bddbdbdb

bdbd

bd

bd

dx

dxxd

dAx

b

b

y

x

xy

Momeninersia segiempatterhadap sumbuy melalui titik berat

Momeninersia pada penampangberlubang

Momen inersia segiempat

ABCD terhadap sumbu x:

Ixx = 1/12 b d3

Momen inersia segiempat

EFGH terhadap sumbu x :

Ixx = 1/12 b1 d13

Momen inersia segiempat

berlubang:

Ixx = Ixx (ABCD) - Ixx (EFGH)

Ixx = 1/12 b d3 - 1/12 b1 d13

Dengan cara yang sama, Momen inersia segiempat berlubang

terhadap sumbu y :

Iyy = Iyy (ABCD) - Iyy (EFGH)

Iyy = 1/12 d b3 - 1/12 d1 b13

MomenInersia PenampangLingkaran

dA = dr

= keliling sebuah cincin

r = jari-jari cincin

dr = lebar cincin

r2 = x2+y2

4

4

4

0

4

0

4

0

3

0

2

0

2

0

222

00

2

4

1

2

1.

2

1

2

1

2

1

2

1

4

2

2 ) 2(

R

RII I

Rrr

drrdr rrI

I I

dAydAxdAyxdArI

pyx

RR

RR

p

yx

RRRR

p

MomenInersia Pada SistemKoordinat Translasi

a & b = koordinat pusat berat Oterhadap sumbu

sumbux // sumbusumbuy // sumbu

AbbMsIyIy

dAbdAxbdAx

dAxbdAxIy

y .2 '

.2.

. '

2

22

22

AaaMsIxIx

dAadAyadA

dAyadAIx

x .2 '

2y

y' '

2

22

22

Bila:

koordinat X, Y bertitiktangkap pada titik beratpenampang, maka Msx danMsy =0

.AbIyIy'

.AaIxIx'

2

2

Momen inersia segitiga terhadap sumbu x

dAyx2I

3

0

3

0

2

0

22

.12

1penampang)dasar thd(I

.12

1''.

''.

'.'.

.'

''

'

at

atdytttt

aI

ttdytt

ajarakLuas

dytt

adyadALuas

at

ta

t

t

a

a

x

t

x

3

2

3

2

0

.36

1

32.

12

1

Iberat) titik thd(I

attat

at

jarakLuasxx

Tentukan besarnya momen inersia untuk perhitungan teganganlentur dari penampangpada gambardi bawah.

Menentukantitik berat penampang

Berhubung momen inersia yang diinginkan akan dipergunakandalam perhitungan lenturan, maka momen inersia ini haruslahdiperhitungkan terhadap sumbuyang melalui titik berat penampang

KeteranganLuas(A) (mm 2)

Jaraktitik berat thd. alas (y (mm ))

A x y (mm3)

LuasTotal 40 x 60 = 2400 30 2400 x 30 = 72000

Luas Rongga dalam

-(20 x 30) = -600 35 -600 x 35 = -21000

= 1800 = 51000

dasar dari mm 3,28800.1

000.51

A

A.yy

Momeninersia terhadap sumbux

untuk luas penampangluar

44

4442

0

4422

44

3

3

o

10 . 72,69

10 . 69,010.50,4.

10 . 69,03,28302400.

10 . 7212

60.40..

21

mm

mmyAIIx

mmyA

mmhbI

untuk rongga dalam

44

4442

0

4422

44

3

3

o

10 . 7,19

10 . 69,210.50,4.

10 . 69,23,2835600.

50 . 50,412

30.20..

21

mm

mmyAIIx

mmyA

mmhbI

4 4

44

10 . 65,50

10 . 7,1910 . 72,69

berlubang penampanguntuk I

mm

Dari gambar terlihat bahwar2 = x2 + y 2

Sehinggarumus momeninersia polar dapat juga ditulis sbb :

dAydAx

dAyxdArIp

22

222

Ip = Ix + Iy

MOMEN INERSIA POLAR :

Hubungan MomenInersia Polar dan MomenInersia terhadap sumbux dan y

2

2

bAIycIy

aAIxcIx

baAIyc Ixc

bAaAIyc IxcIp

Iy IxIp

22

22

: maka

: Berhubung

Momen inersia polar nilainya makin besar apabila titik yangditinjau terletak makin jauh dari pusat berat bidang.

MomenInersia TerhadapDua Sumbu(Silang) Ixy

Ixy adalah produk inersia terhadap pusat berat bidang yangditinjau . Produk inersia dapat bertanda positif , negatif, ataubernilai 0 tergantung pada letak sumbu terhadappenampangtersebut.

A

xy dAxyI

..'' AbaIxyyIx

Sehingga, untuk koordinat translasi :

Produk inersia bernilai o, apabilasalah satu sumbunya merupakansumbusimetris penampang

Jari-jari Inersia (Radius Girasi)

Jari-jari inersia terhadap sumbux :

Jari-jari inersia terhadap sumbuy:

)(cmA

Ir xx

)(cmA

Ir

y

y

Ix dan Iy berturut-turut sama dengan momen inersiaterhadap sumbux dan sumbuy, dan A samadenganluas bidang.

Suatupenampangpada gambar. Tentukan:1. Momeninersia terhadap sumbux dan sumbuy dari penampang2. Ixy (produk inersia)

Berhubung sumbu y adalah sumbu simetris, maka

Ixy=0. Sumbu x dan sumbu y adalah sumbu utama.

Penampang dibagi atas 8 bagian.

Titik Berat Penampang

Bagian Luas A (cm2)Jarak terhadap

sumbu x

Momen statis:

A.YLetak sumbu

I 150 x 150 = 2250 7,5 16875

II 150 x 30 = 4500 75+15 = 90 405000

III 15 x 25 = 375 165 12,5 = 152,5 57187,5

IV 375 152,5 57187,5

V (15) (15) = 112,5 165-25-1/3.15=135 57187,5

VI 112,5 135 57187,5

VII (20) (20) = 200 15+1/3(20)=21,67 4334

VIII 200 21,67 4334

Total 8125 Total 575293