Fakultas TeknikJurusan Teknik SipilUniversitas Brawijaya

Luas Penampanga. Bidang berbentuk tak beraturan

Luas penampang didefinisikan sebagai integral dari luas elemendiferensial dA

denganA : Luas penampang secara keseluruhan (mm2)dA : Luas elemen diferensial = dx . Dydx : Lebar elemendy : Tinggi elemen

Example:

1. Tentukan luas daerah B dibawah kurva : y = x4 – 2x3 + 2 diantara x = -1 dan x = 2

Answer :

5,1 10

51

2 - 2

1 -

5

1- 4

2

16 -

5

32

2 4

2

5

2 2 -

2

1-

45

2

1-

4

xxx

dxxxALuas B

antara nilai mempunyai yangsumbu x

oleh dibatasidan -1 persamaan mempunyai

yang parabola semisegmenberbentuk yang bidang luasTentukan 3.

2

2

b

xhxfy

bhhb

b

hbhb

b

hxhx

dxhb

xdxhA

dxb

xhydxdA

dAA

b

b

bb

3

2

3

3

3

3

1 .

2

3

0

2

3

0

0

2

2

0

2

2

b. Penampang bidang mempunyai tepi tak beraturan dan tidakterdefinisi secara sistematis sederhana

Luas penampang dapat ditentukan dengan membagi bidangmenjadi elemen-elemen terhingga yang kecil-kecil, kemudianmenjumlahkannya.

Dengan :

n = Jumlah elemen yang terbentuk

“A i = Luas elemen ke –i (in 2 atau mm 2)

n

i

iAA1

c. Penampang Bidang Secara Umum

Momen Statis

Momen statis dari suatu luasan terhadap sumbu x dan ydidefinisikan sebagai integral dari hasil kali luas setiapelemendiferensial dA dengan jarak titik berat luasan elemen tersebutterhadap suatu sumbu yang ditinjau

Terhadap sumbu x :

Terhadap sumbu y :

)mmatau (iny.dA M 3 3

sx

)mmatau (inx.dA M 3 3

sy

Titik Pusat Berat Benda

Titik pusat berat suatu penampang dapat dinyatakan sebagai titiktangkap resultante gaya dalam arah horizontal dan vertikal atausuatu titik dimana semua berat terpusat pada titik tersebut. Koordinatx dan y dari pusat berat sama dengan momen statis dibagi denganluas penampang

M1 M2M3

Dimana:m1, m2, m3 = massa piasx1, x2, x3 = jarak massa terhadaptitik pusat O pada sumbu xy1, y2, y3 = jarak massa terhadaptitik pusat O pada sumbu y

= jarak titik berat bendaterhadap sumbu x dan yM = Σm

yx dan

Prinsip Besaran Momen

M

mxx

mxxm

xmxmxmxm ...332211

Dengan cara yang sama:M

myy

Titik Berat Bidang / Penampang

A

xax

.

A

yay

.

Dimana:a1, a2, a3 = luas penampang piasx1, x2, x3 = Jarak penampang terhadap sumbu yy1, y2, y3 = Jarak penampang terhadap sumbu xA = Σa = a1 + a2 + a3 + …

Contoh:Tentukan titik berat penampang berikut:

y1 y2

X

Y

Penampang ABCH:

a1 = 10 x 3 = 30 cm2

x1 = 5 cm

y1 = 15 – 3/2 = 13,5 cm

Penampang DEFG:

a2 = (15 – 3) x 3 = 36 cm2

x2 = 5 cm

y2 = ½ (15 – 3) = 6 cm

53630

536530. xx

A

xax 41,9

3630

6365,1330. xx

A

yay

3. Tampang L

Bagian LuasMomen Statis terhadap

x y

I (15x20)=300 300x10=300 300x7,5=2250

II -(10x15)=-150 -150x12,5=-1875 -150x10=-1500

Jumlah 150 1125 750

5150

750.

5,7150

1125.

o

o

A

xa

A

Mx

A

ya

A

My

sy

sx

Soal:

Tentukan titik berat penampang berikut:

MOMEN INERSIA BIDANG (I)

r1

r2

r3

a1

a2a3

2

33

2

22

2

11

2

...

.

rararaI

raI

Jika luas bidang yang diarsir:

a1 = dA1

a2 = dA2

a3 = dA3

Jarak terhadap sumbu y:

r1 = x1

r2 = x2

r3 = x3

Maka momen inersia

terhadap sumbu x:

Maka momen inersia

terhadap sumbu y:

2

xx dA I y2

yy dA I x

Example :

Inersia segiempat terhadap sumbu x melalui titik berat

3333

33

33

2

1

2

1

3

21

21

2

2

.12

1

24

2

24

24

81

381.

3

21

321

3

..3

1

I

b.dy dA

I

t

t

2

1

tbbtbtbt

tbtb

tb

tb

by

dybyx

dAy

t

t

y

yx

dx

dy

y

3333

33

33

21

21

3

2b1

2b1

2

2

.12

1

24

2

24

24

81

381.

3

21

321

3

..3

1

. I

d.dx dA

I2

1

bddbdbdb

bdbd

bd

bd

dx

dxxd

dAx

b

b

y

x

xy

Momen inersia segiempat terhadap sumbu y melalui titik berat

Momen inersia pada penampang berlubang

Momen inersia segiempat

ABCD terhadap sumbu x:

Ixx = 1/12 b d3

Momen inersia segiempat

EFGH terhadap sumbu x :

Ixx = 1/12 b1 d13

Momen inersia segiempat

berlubang:

Ixx = Ixx (ABCD) - Ixx (EFGH)

Ixx = 1/12 b d3 - 1/12 b1 d13

Dengan cara yang sama, Momen inersia segiempat berlubang

terhadap sumbu y :

Iyy = Iyy (ABCD) - Iyy (EFGH)

Iyy = 1/12 d b3 - 1/12 d1 b13

Momen Inersia Penampang Lingkaran

dA = 2π . r . dr

2π . r = keliling sebuah cincin

r = jari-jari cincin

dr = lebar cincin

r2 = x2+y2

4

4

4

0

4

0

4

0

3

0

2

0

2

0

222

00

2

4

1

2

1.

2

1

2

1

2

1

2

1

4

2

2 ) 2(

R

RII I

Rrr

drrdr rrI

I I

dAydAxdAyxdArI

pyx

RR

RR

p

yx

RRRR

p

Momen Inersia Pada Sistem Koordinat Translasi

a & b = koordinat pusat berat Oterhadap sumbu x’y’

sumbu x // sumbu x’sumbu y // sumbu y’

AbbMsIyIy

dAbdAxbdAx

dAxbdAxIy

y .2 '

.2.

. '

2

22

22

AaaMsIxIx

dAadAyadA

dAyadAIx

x .2 '

2y

y' '

2

22

22

x’ = b + xy’ = a + y

Bila:

koordinat X, Y bertitiktangkap pada titik beratpenampang, maka Msx danMsy = 0

.AbIyIy'

.AaIxIx'

2

2

Momen inersia segitiga terhadap sumbu x

dAyx

2I

3

0

3

0

2

0

22

.12

1penampang)dasar thd(I

.12

1''.

''.

'.'.

.'

''

'

at

atdytttt

aI

ttdytt

ajarakLuas

dytt

adyadALuas

at

ta

t

t

a

a

x

t

x

3

2

3

2

0

.36

1

32.

12

1

Iberat) titik thd(I

attat

at

jarakLuasxx

Tentukan besarnya momen inersia untuk perhitungan teganganlentur dari penampang pada gambar di bawah.

Menentukan titik berat penampang

Berhubung momen inersia yang diinginkan akan dipergunakandalam perhitungan lenturan, maka momen inersia ini haruslahdiperhitungkan terhadap sumbu yang melalui titik berat penampang

KeteranganLuas (A) (mm2)

Jarak titik berat thd. alas (y (mm))

A x y (mm3)

Luas Total 40 x 60 = 2400 30 2400 x 30 = 72000

Luas Rongga dalam

-(20 x 30) = -600 35 -600 x 35 = -21000

∑A = 1800 ∑A..y = 51000

dasar dari mm 3,28800.1

000.51

A

A.yy

Momen inersia terhadap sumbu x

untuk luas penampang luar

44

4442

0

4422

44

3

3

o

10 . 72,69

10 . 69,010.50,4.

10 . 69,03,28302400.

10 . 7212

60.40..

21

mm

mmyAIIx

mmyA

mmhbI

untuk rongga dalam

44

4442

0

4422

44

3

3

o

10 . 7,19

10 . 69,210.50,4.

10 . 69,23,2835600.

50 . 50,412

30.20..

21

mm

mmyAIIx

mmyA

mmhbI

4 4

44

10 . 65,50

10 . 7,1910 . 72,69

berlubang penampanguntuk I

mm

Dari gambar terlihat bahwa r2 = x2 + y 2

Sehingga rumus momen inersia polar dapat juga ditulis sbb :

dAydAx

dAyxdArIp

22

222

Ip = Ix + Iy

MOMEN INERSIA POLAR :

Hubungan Momen Inersia Polar dan Momen Inersia terhadap sumbux dan y

2

2

bAIycIy

aAIxcIx

baAIyc Ixc

bAaAIyc IxcIp

Iy IxIp

22

22

: maka

: Berhubung

Momen inersia polar nilainya makin besar apabila titik yangditinjau terletak makin jauh dari pusat berat bidang.

Momen Inersia Terhadap Dua Sumbu (Silang) Ixy

Ixy adalah produk inersia terhadap pusat berat bidang yangditinjau. Produk inersia dapat bertanda positif, negatif, ataubernilai 0 tergantung pada letak sumbu x’y’ terhadappenampang tersebut.

A

xy dAxyI

..'' AbaIxyyIx

Sehingga, untuk koordinat translasi:

Produk inersia bernilai o, apabilasalah satu sumbunya merupakansumbu simetris penampang

Jari-jari Inersia (Radius Girasi)

Jari-jari inersia terhadap sumbu x :

Jari-jari inersia terhadap sumbu y:

)(cmA

Ir x

x

)(cmA

Ir

y

y

Ix dan Iy berturut-turut sama dengan momen inersiaterhadap sumbu x dan sumbu y, dan A sama dengan luas bidang.

Suatu penampang pada gambar. Tentukan :1. Momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y dari penampang2. Ixy (produk inersia)

Berhubung sumbu y adalah sumbu simetris, maka

Ixy=0. Sumbu x dan sumbu y adalah sumbu utama.

Penampang dibagi atas 8 bagian.

Titik Berat Penampang

Bagian Luas A (cm2)Jarak terhadap

sumbu x

Momen statis:

A.YLetak sumbu

I 150 x 150 = 2250 7,5 16875

II 150 x 30 = 4500 75+15 = 90 405000

III 15 x 25 = 375 165–12,5 = 152,5 57187,5

IV 375 152,5 57187,5

V ½ (15) (15) = 112,5 165-25-1/3.15=135 57187,5

VI 112,5 135 57187,5

VII ½ (20) (20) = 200 15+1/3(20)=21,67 4334

VIII 200 21,67 4334

Total 8125 Total 575293

A

Ayy

8125

575293y

81,70y

0

9.536,86235

969900326.1

Ixy

. Iy

,.Ix

sumbu x dan sumbu y membagipenampang sama besar,sehingga sumbu x dan sumbu ydisebut sumbu simetri. Jika suatupenampang mempunyai sumbusimetri, maka sumbu tersebut dansumbu lainnya yang tegak lurussumbu tersebut disebut sumbuutama.

Produk inersia suatu penampang sama dengan nol jikasedikitnya satu sumbu merupakan sumbu simetri. Sehinggadapat disimpulkan bahwa produk inersia sama dengan nol dansumbu utama (Ix’y’=0)

sumbu X dan Y bukan sumbu utama sehingga Ixy ≠ 0. Untukmenentukan sumbu utama, X dan sumbu Y dirotasikan sebesarø sehingga menjadi sumbu X’ dan Y’ tidak semua sumbuutama menjadi sumbu simetri.

Perhatikan gambar !!!

Menentukan momen inersia utama Ix’ dan Iy’ serta sudut putar ø

Ordinat titik berat elemen A terhadap sumbu X’ dan Y’ adalah (x’;y’)

øxøyAC

øABAD

CDADAC

xAFyAC

sincos

sin

';'

y’ = y cos ø – x sin ø

øyøxAF

øyøABBDEC

øx

øOBOE

ECOEOCAF

sin cos

sin sin

cos

cos

x’ = x cos ø – y sin ø

Syarat sumbu utama :

øIyIxøIxy

yIx

2sin2

1cos2 o

o''

IxIy

Ixyøtg

22

øtgø

øtg

øtgø

21

12cos

21

22sin

2

2

xyIIxIyIyIxIy 22

21

21'

o'' yIx

Sumbu x’ dan y’ adalah sumbu yang saling tegak lurus dimanamomen inersia dari sumbu tersebut mempunyai harga maximum dan minimum.

xyIIxIyIyIxIx 22

21

21'

xyIIyIxIyIxI

xyIIyIxIyIxI

22

min

22

max

21

21

21

21

Suatu penampang seperti pada gambarTentukan :1. Letak titik berat penampang tersebut2. Imax & Imin3. Letak sumbu utama

Menentukan titik berat penampang

0

0

4

min

4

2

2

2

2

max

1,12

1,12933,48673,187

2,672

2

12

2

1

332,173164337,332

501,332164337,332

2,672

187,73486,933

2

187,73486,933

22

ø

øarctgIxIy

Ixyarctgø

cmI

cm

IxyIyIxIyIx

I