Besaran Parakteristik Besaran Parakteristik PenampangPenampang

Mekanika BahanMekanika Bahan

BESARAN YANG DIPAKAIBESARAN YANG DIPAKAI

LUAS BIDANG LUAS BIDANG TITIK BERAT DAN BESARAN INERSIATITIK BERAT DAN BESARAN INERSIASTATIS MOMENSTATIS MOMENMOMEN INERSIA DAN MOMEN MOMEN INERSIA DAN MOMEN

SENTRIFUGAL PADA PROFIL STABIL SENTRIFUGAL PADA PROFIL STABIL DAN TAK STABILDAN TAK STABIL

LUAS PENAMPANGLUAS PENAMPANG

Luas penampang suatu bidang adalahLuas penampang suatu bidang adalah

A = ∫dA = ∫dx dyA = ∫dA = ∫dx dy

Dimana dx dan dy masing masing Dimana dx dan dy masing masing

merupakan panjang bidang pada arah x merupakan panjang bidang pada arah x dan y.dan y.

TITIK BERATTITIK BERATSuatu titik yang jika seluruh permukaan Suatu titik yang jika seluruh permukaan

dipusatkan dititik tersebut maka akan dipusatkan dititik tersebut maka akan memberikan statis momen yang sama memberikan statis momen yang sama terhadap kedua sumbuterhadap kedua sumbu

Koordinat Titik BeratKoordinat Titik Berat

xxoo = Sy/A = (∫ x dA ) / ( ∫ dA ) = Sy/A = (∫ x dA ) / ( ∫ dA )

yyoo = Sx/A = (∫ y dA ) / ( ∫ dA ) = Sx/A = (∫ y dA ) / ( ∫ dA )

Momen StatisMomen Statis

Merupakan momen pertama dari bidangMerupakan momen pertama dari bidangMomen Statis suatu BidangMomen Statis suatu Bidang

SSxx = A . y = A . yoo = ∫ y dA = ∫ y dA

SSyy = A . x = A . xoo = ∫ x dA = ∫ x dA

Merupakan hasil kali antara luasan Merupakan hasil kali antara luasan dengan jarak pada titik berat penampangdengan jarak pada titik berat penampang

Momen InersiaMomen Inersia Merupakan momen kedua dari bidangMerupakan momen kedua dari bidang Momen Inersia terdiri dari beberapaMomen Inersia terdiri dari beberapa

IIxxxx = M = Mxx = ∫ y = ∫ y22 dA dA

IIyyyy = M = Mxx = ∫ x = ∫ x22 dA dA

IIxyxy = M = Mxxxx = ∫ xy dA = ∫ xy dA

II = M = Mzz = ∫ = ∫ 22 dA = ∫ (x dA = ∫ (x2 2 + y+ y22) dA ) dA

= I= Ixxxx + I + Iyyyy

Ixx, Iyy dan IIxx, Iyy dan I selalu bernilai positif selalu bernilai positif Sedang Ixy diambil nilai real positif or negatifSedang Ixy diambil nilai real positif or negatif

Contoh SoalContoh Soal

Berbagai bentuk penampangBerbagai bentuk penampang

I

II

I

III

II

TugasTugas

Hitung Titik Berat Penampang, Statis Hitung Titik Berat Penampang, Statis Momen dan Momen Inersia dari :Momen dan Momen Inersia dari :

Momen Inersia pada Sb Momen Inersia pada Sb (Xo dan Yo)(Xo dan Yo)

O

O’Sb x

Sb y

Sb Xo

Sb Yo

y

a

b x

Menentukan Hubungan Ix dan Menentukan Hubungan Ix dan IxoIxo

Ix =∫(y + a )Ix =∫(y + a )22 dA dA karena jrk elemen thd sb X adalah (y+a) karena jrk elemen thd sb X adalah (y+a)

makamaka

Ix =∫ yIx =∫ y22 dA + 2a ∫ y dA + ∫ a dA + 2a ∫ y dA + ∫ a22 dA dA

= I x= I xoo + Statis momen =0 + + Statis momen =0 +

LuasanLuasanJadi Ix = IxJadi Ix = Ixoo + a + a22 A A

Menentukan Hubungan Iy dan Menentukan Hubungan Iy dan IyoIyo

Iy =∫(x + b )Iy =∫(x + b )22 dA dA karena jrk elemen thd sb Y adalah (x+b) karena jrk elemen thd sb Y adalah (x+b)

makamaka

Iy =∫ xIy =∫ x22 dA + 2b ∫ x dA + ∫ b dA + 2b ∫ x dA + ∫ b22 dA dA

= I y= I yoo + Statis momen =0 + + Statis momen =0 +

LuasanLuasanJadi Iy = IyJadi Iy = Iyoo + b + b22 A A

Menentukan Hubungan IMenentukan Hubungan I dan dan IIoo

II = I = Ixx + I + Iy y (Substitusi dr sebelumnya)(Substitusi dr sebelumnya)

II = (Ix = (Ixoo + a + a22 A ) + (Iy A ) + (Iyoo + b + b22 A) A)

= Ix= Ixoo + Iy + Iyoo + (a + (a22+ b+ b2)2) A A

= I= I(a(a22+ b+ b2)2) A A

Jadi IJadi Imerupakan gabungan dr momen merupakan gabungan dr momen

inersia material pd sb xo,yo dijumlah dgn inersia material pd sb xo,yo dijumlah dgn kuadrat jarak sumbu x,y terhadap sb xo,yo kuadrat jarak sumbu x,y terhadap sb xo,yo dikalilikan dgn luasan materialdikalilikan dgn luasan material

Menentukan Hubungan Ixy dan Menentukan Hubungan Ixy dan IxIxooyyoo

IIxyxy = ∫ (x+b) (y+a) dA = ∫ (x+b) (y+a) dA

= ∫ (xy + ax + by + ab) dA = ∫ (xy + ax + by + ab) dA

=∫ xy dA + ∫ ax dA + ∫ by dA + ∫ ab dA=∫ xy dA + ∫ ax dA + ∫ by dA + ∫ ab dA

= Ix= Ixooyyo o + Statis momen thd sb x dan y + Statis momen thd sb x dan y

+ Luasan+ Luasan

Jadi Jadi

IIxyxy = Ix = Ixooyyo + o + ab Aab A

KesimpulanKesimpulan

Ix dan Iy juga Ip selalu bernilai positifIx dan Iy juga Ip selalu bernilai positif Ixy bisa bernilai positif, negatif atau nolIxy bisa bernilai positif, negatif atau nol Ixy akan bernilai nol jika sb XY merupakan Ixy akan bernilai nol jika sb XY merupakan

sb simetri dari penampang atau salah sb simetri dari penampang atau salah satunya merupakan sb simetri.satunya merupakan sb simetri.

Perubahan Momen Inersia Karena Perubahan Momen Inersia Karena Rotasi SumbuRotasi Sumbu

Sb x

Sb y

Sb x1Sb y1

x

y

x1 y1

X cos

Y sin

Perubahan Momen Inersia Karena Perubahan Momen Inersia Karena Rotasi SumbuRotasi Sumbu

XX11 = x cos = x cos + y sin + y sin

YY11 = y cos = y cos - x sin - x sin

Menentukan Ix1Menentukan Ix1

IxIx11= ∫ y= ∫ y1122 dA = ∫ (y cos dA = ∫ (y cos - x sin - x sin ))22 dA dA

=∫(y=∫(y22coscos22 + x + x22sinsin22 - 2xy sin - 2xy sin cos cos) dA) dA

=cos=cos22 ∫y ∫y22dA+ sindA+ sin22 ∫∫xx2 2 dA-2sindA-2sincoscos∫∫xydAxydA

= cos= cos22 Ix+ sin Ix+ sin22 Iy - sin2 Iy - sin2 Ixy Ixy

= (Ix+Iy)/2 + (Ix-Iy)/2 cos2= (Ix+Iy)/2 + (Ix-Iy)/2 cos2 - sin2 - sin2 Ixy Ixy

Menentukan IyMenentukan Iy11 dan Ix dan Ix11yy11

Dengan cara yg samaDengan cara yg sama

IyIy11= = ∫ x∫ x1122 dA = ∫ (x cos dA = ∫ (x cos + y sin + y sin ))22 dA dA

= = (Ix+Iy)/2 - (Ix-Iy)/2 cos2(Ix+Iy)/2 - (Ix-Iy)/2 cos2 + sin2 + sin2 Ixy Ixy

IxIx11yy1 1 = = ∫ x∫ x1 1 yy11dAdA

=∫ (x cos =∫ (x cos +y sin +y sin ) (y cos ) (y cos - x sin - x sin )dA)dA

= Ixy cos 2= Ixy cos 2 + (Ix-Iy)/2 sin2 + (Ix-Iy)/2 sin2

Menentukan Imax dan I minMenentukan Imax dan I min

Metode penentuan Imax dan IminMetode penentuan Imax dan Imin

1. Analitis1. Analitis

2. Grafis 2. Grafis

Menentukan Harga Ix1 dan Iy1 Menentukan Harga Ix1 dan Iy1 ekstrimekstrim

Harga ekstrim dr suatu nilai didapat dgn Harga ekstrim dr suatu nilai didapat dgn menurunkan persamaan nilai tersebutmenurunkan persamaan nilai tersebut

dIxdIx11/d/d==(Ix-Iy)/2 (-sin2(Ix-Iy)/2 (-sin2) – Ixy (2 cos 2) – Ixy (2 cos 2) )

dIxdIx11/d/d==(Ix-Iy)/2 (-sin2(Ix-Iy)/2 (-sin2) – Ixy (2 cos 2) – Ixy (2 cos 2)) Agar nilai ekstrim terbentuk maka nilai turunan Agar nilai ekstrim terbentuk maka nilai turunan

tersebut bernilai noltersebut bernilai nol

dIxdIx11/d/d== 0 0

dIydIy11/d/d=0=0

Nilai ekstrim Nilai ekstrim

Dengan nilai turunan = 0 Dengan nilai turunan = 0

maka tg 2maka tg 2 = - 2Ixy / (Ix-Iy) = - 2Ixy / (Ix-Iy)

Sehingga nilai maks atau min utk Sehingga nilai maks atau min utk

Ix1 = (Ix+Iy)/2 Ix1 = (Ix+Iy)/2 ++ √{(Ix-Iy)/2} √{(Ix-Iy)/2}22 + Ixy + Ixy22

Iy1 = (Ix+Iy)/2 Iy1 = (Ix+Iy)/2 ++ √{(Ix-Iy)/2} √{(Ix-Iy)/2}22 + Ixy + Ixy22

JARI JARI GIRASIJARI JARI GIRASI

Jari jari girasi dari suatu bidang adalahJari jari girasi dari suatu bidang adalah

rr22 = √ I / A = √ I / ADimana :Dimana :

I = Momen Inersia penampangI = Momen Inersia penampang

A = Luasan penampangA = Luasan penampang

KesimpulanKesimpulan Ix + Iy = Ix1 + Iy1 = konstanIx + Iy = Ix1 + Iy1 = konstan Jika Ix1 min maka Iy1 maxJika Ix1 min maka Iy1 max Iy1 max maka Ix1 minIy1 max maka Ix1 min Jika Ix> Iy maka Ix max dan Iy minJika Ix> Iy maka Ix max dan Iy min Ix < Iy maka Ix min dan Iy maxIx < Iy maka Ix min dan Iy maxHarga ekstrim dinamakan “ Momen Inersia Utama” Harga ekstrim dinamakan “ Momen Inersia Utama”

dan sb yg bersangkutan adalah sb Utama. Bila dan sb yg bersangkutan adalah sb Utama. Bila melalui pusat maka disebut Momen Inersia melalui pusat maka disebut Momen Inersia Pusat UtamaPusat Utama

Dan Momen inersia thd pusat utama = 0Dan Momen inersia thd pusat utama = 0

Penentuan Imax dan Imin dgn Cara Penentuan Imax dan Imin dgn Cara Grafis / Lingkaran MohrGrafis / Lingkaran Mohr