konsep matriks

Konsep Matriks

Hal.: 2 Matriks Adaptif

Macam-macam Matriks

Kompetensi Dasar :Mendeskripsikan macam-maca matriks

Indikator :1. Matriks ditentukan unsur dan notasinya2. Matriks dibedakan menurut jenis dan

relasinya


Pengertian Matriks Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-

baris dan kolom-kolom.

a11 a12…….a1j ……a1n

a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain

: : : :am1 am2……amj……. amn

A = baris

kolom

Notasi:

Matriks: A = [aij]

Elemen: (A)ij = aij

Ordo A: m x n

Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom.

Macam – macam Matriks


Macam-macam Matriks

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris.

21A 2 5

31xB

41xC

1 -8 25

-2 0 14 8

1. Matriks Baris


Macam-macam Matriks

12P

2. Matriks Kolom

Matriks Kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom

2

-7

13Q9

2

1


1 2 42 2 23 3 3

3. Matriks PersegiMatriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama.

Trace(A) = 1 + 2 + 3

Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama

diagonal utama



Contoh: Invers matriks 2x2

3 2

4 1A =

I=

1 -23.1-4.2 3.1-4.2

3-43.1-4.2 3.1-4.2

=A-1

1 25 5

345 5

DETERMINAN DAN INVERS


4. Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol

0 0 0 0 00 0

1 00 1

1 0 00 1 00 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0 0 0 0 1

I2I3 I4

Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0

Macam- macam Matriks


5. Matriks ortogonalMatriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1

0 -1

1 0A =

0 1

-1 0AT=

B = ½√2 -½√2

½√2 ½√2 BT= ½√2 ½√2

-½√2 ½√2

Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A-1)T = (AT)-1

= A-1

= B-1

(A-1)T = (AT)-1 A-1 AT

Macam-macam Matriks



Definisi:Transpose mariks A adalah matriks AT kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.

4 2 6 7

5 3 -9 7A = AT = A’ =

4 5

2 3

6 -9

7 7

Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ………..

[AT]ij = [A]ji

n x m


Kesamaan dua matriks» Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang

bersesuaian sama.

1 2 4

2 1 3A =

1 2 4

2 1 3B =

1 2 2

2 1 3C =

2 1 2

2 1 3D =

1 2 4

2 2 2E =

x 2 4

2 2 2F =

2 2 2

4 5 6

9 0 7

G = H =? ? ?

? ? ?

? ? ?

A = B

C ≠ D

E = F jika x = 1

G = H

2 2 2

4 5 6

9 0 7



Matriks Simetri

Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT

4 2

2 3A =

4 2

2 3A’ = A simetri

1 2 3 42 5 7 0

3 7 8 2 4 0 2 9

A = = AT

Macam-macam Matriks


Sifat-sifat transpose matriks

A AT (AT)T

(AT )T = A1. Transpose dari A transpose adalah A:

4 2 6 7

5 3 -9 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

= A

Contoh:

Macam-macam Matriks


Macam-macam Matriks

2. (A+B)T = AT + BT

A+B

(A+B)T

T

BT

B

T

A

T

AT

=

=

+

+


Macam-macam Matriks

3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k

kA

(kA)T = k(A)T

A

T T

k


Macam-macam Matriks

4. (AB)T = BT AT

(AB)T

AB

T T

AB

T

=

AB = BTAT


Macam-macam Matriks

Isilah titik-titik di bawah ini1. A simetri maka A + AT= ……..2. ((AT)T)T = …….3. (ABC)T = …….4. ((k+a)A)T = ….....5. (A + B + C)T = ……….

Kunci:1. 2A 2. AT

3. CTBTAT 4. (k+a)AT 5. AT + BT + CT

Soal :


OPERASI MATRIKS

Kompetesi DasarMenyelesaikan Operasi Matriks

Indikator1. Dua matriks atau lebih ditentukan hasil penjumlahan atau

pengurangannya2. Dua matriks atau lebih ditentukan hasil kalinya


Penjumlahan dan pengurangan dua matriks

Contoh :

10 22

1 -1A = 2 6

7 5B =

10+2 22+6

1+7 -1+5A + B =

12 28

8 4=

8 16

-6 -6= A - B = 10-2 22-6

1-7 -1-5

OPERASI MATRIKS


OPERASI MATRIKS

Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan?

Jawab:Ordo dua matriks tersebut sama

A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama,

A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij


Jumlah dua matriks

5 6 1

7 2 3C = 25 30 5

35 10 15D =

C + D = ? ? ?

? ? ?

1 4 -9 3 7 0 5 9 -13

K = 7 3 1-2 4 -5 9 -4 3

L =

K + L =

? ? ?

? ? ?

? ? ?

D + C =

L + K =

Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif?

OPERASI MATRIKS


Soal:

C + D =… C + E = … A + B = …

3 -8 0

4 7 2

-1 8 4C = D =

3 7 2

5 2 6

-1 8 4E =

2 7 2

5 2 6

0 0 0

0 0 0 A =

0 0 0

0 0 0B =

6 -1 2

9 9 8

-2 16 8C +D = Feedback:

OPERASI MATRIKS


Hasil kali skalar dengan matriks

5 6 1

7 2 3A = 5A = =

250 300 50

350 100 150H = H =

Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut:

(cA)ij = c.(A)ij = caij

Apa hubungan H dengan A?

5x5

5x5

5x6

5x2

5x1

5x3

25

35

30

10

5

15

Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama)

50A

OPERASI MATRIKS


OPERASI MATRIKS K 3 x 3

1 4 -9 3 7 0 5 9 -13

K =

5 20 -4515 35 0

25 45 -655K =

4 16 -36 12 28 0

20 36 -524K =


OPERASI MATRIKS

Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A dan c?

0 0 0

0 0 0 A = A =

2 7 2

5 2 6c = 0c = 7

cA = 0*2 0*7 0*2

0*5 0*2 0*6

0 0 0

0 0 0 = cA =

7*0 7*0 7*0

7*0 7*0 7*0

Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang. Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja.

Contoh:

kesimpulan


OPERASI MATRIKS

Definisi: Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n,

maka matriks hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut:

∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj

k = 1

(C)ij = (AB)ij =

2 3 4 5

8 -7 9 -4

1 -5 7 -8

A = 1 2

7 -6

4 -9

B = Tentukan AB dan BA

A B ABm x r r x n m x n

• Syarat:

r

Perkalian matriks dengan matriks


Perkalian matriks dengan matriks

2 3 4 5

8 -7 9 -4

1 -5 7 -8

A =

1 2

7 -6

4 -9

11 3

B =

A B = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35

-49 -35

-94 -55

94 -35

-49 -35

-94 -55

=

OPERASI MATRIKS

=

Contoh :

BA tidak didefinisikan


OPERASI MATRIKS1. Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu?

2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol?

2 32 3A = 3 -3

-2 2B = 0 00 0AB =

B An x k m x n

m = k

ABmxm ABnxn

AB dan BA matriks persegi

AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol

A Bn x km x n


Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi.

• A B = ??• AC = ??• BD = ??• CD = ??• DB = ??

OPERASI MATRIKS

2 3 4 5 4 7 9 0 2 3 5 6

A = 1 2-9 0 8 0 5 6

B =

7 -11 43 5 -6

C = 1 8 9 5 6 2 5 6 -9 0 0 -4 7 8 9

D =

Contoh 1:


OPERASI MATRIKS

Contoh 2:2 31 2A =

A2 = 2 31 2

2 31 2

A3 = A x A2 = 2 31 2

2 31 2

2 31 2

A0 = IAn =

n faktor

An+m = An Am

A A A …A


DAN DETERMINAN INVERS

Kompetensi Dasar:Menentukan determinan dan invers

Indikator :1. Matriks ditentukan determinannya2. Matriks ditentukan inversnya



Determinan Matriks ordo 2 x 2

Nilai determinan suatu matriks ordo 2 x 2 adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen pada diagonal kedua.

Misalkan diketahui matriks A berordo 2 x 2, A =

Determinan A adalah

det A =

dcba

dcba

= ad - bc



B adalah invers dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A-1

dcba

A IA-1A-1 A= =

Jika A = , maka

acbd

bcadA 11

0 bcadAdengan



Contoh 1 :Tentukan invers dari matriks

27517

5.717.211

acbd

AA

42

10517752

danBA

Jawab :

27517

det B = (-5) . (-4) – (-2) . (-10) = 20 – 20 = 0 , sehingga matriks B

tidak memiliki invers



1. Kapan matriks TIDAK mempunyai invers? a bc d

2. Tentukan invers matriks berikut ini

1 0

0 1d.

5 1

1 2a.

0 1

0 2b.

0 0

4 1c.

1 0

0 1d.

2/3 -1/5

-1/5 5/3a.

ad-bc = 0

b. tidak mempunyai invers

c. tidak mempunyai invers

Contoh :



1 0 0

0 1 0

0 0 1

4 2

2 2

½ -½

-½ 1

4 2 1

2 2 1

3 3 1

½ -½ 1

-½ -½ 1

0 3 -2

1 0

0 1

Contoh 2 :

4 2

2 2

½ -½

-½ 1= =

A A-1 A-1 A I

4 2 1

2 2 1

3 3 1

½ -½ 1

-½ -½ 1

0 3 -2

= =

B B-1 B-1 B I

Diketahui matriks

Tunjukkan bahwa A.A-1 = A-1.A = I dan B.B-1 = B-1. B = I

133122124

2224

danBA



Matriks ordo 3 x 3

.

ihgfedcba

MisalkanA

Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Dengan aturan Sarrus, determinan A adalah sebagai berikut.

hgedba

ihgfedcba

A

_ _ _ + + +bdiafhcegcdhbfgaei

)()( bdiafhcegcdhbfgaei


DETERMINAN DAN INVERSSistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggunakan Matriks

Misal SPL 111 cybxa

222 cybxa

Persamaan tersebut dapat di ubah menjadi bentuk matriks

berikut

2

1

22

11

cc

yx

baba



Misalkan ,,2

1

22

11

CC

danByx

Pbaba

A maka dapat ditulis

2

1

22

11

cc

yx

baba

BAP

BAP 1



Contoh :

1632 yxTentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear

134 yx

134 yxJawab :

Sistem persamaan 1632 yx

Jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi

1316

4132

yx



Perkalian matriks berbentuk AP = B dengan

1316

,41

32danB

yx

PA

2134

51

2134

3.14.211A

BAP

BAP 1

1316

2134

51

yx

25

1025

51

26163964

51

Jadi nilai x = 5 dan y = 2



Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan determinan atau aturan Cramer.

cbyax Misal SPL

rqypx

Maka dengan aturan Cramer, diperoleh

,

qpbaqrbc

x

qpbarpca

y dan



Contoh :Gunakan aturan Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear

543 yx

42 yx

11111

)4.(21.3)4.(41).5(

12431445

x

Jawab :

Dengan aturan Cramer diperoleh

21122

)4.(21.3)5.(24.3

1243

4253

y

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2)}.



Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan menggunakan Matriks

SPL dalam bentuk:

Dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:

a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm

a11 a12……...a1n

a21 a22 ……..a2n : : : am1 am2…… amn

x1

x2

:xn

= b1

b2

:bn

A: matriks koefisien

Ax = bx b



x1 + 2x2 + x3 = 6

-x2 + x3 = 1

4x1 + 2x2 + x3 = 4

SPL

1 2 1

0 -1 1

4 2 1

x1

x2

x3

=6

1

4

1.x1 +2.x2 + 1.x3

0.x1 + -1.x2 + 1.x3

4.x1 +2.x2 + 1.x3

=6

1

4

Dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut

Contoh :


Perkalian dengan matriks identitas

1 0 00 1 00 0 1

A= 1 2 37 5 6-9 3 -7

A.I = 1 2 37 5 6-9 3 -7

=

1 0 00 1 00 0 1

I.A = =1 2 37 5 6-9 3 -7

1 2 37 5 6-9 3 -7

1 2 37 5 6-9 3 -7

X


X


DETERMINAN DAN INVERSAB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu?

1 4 -9 3 7 0 5 9 -13

1 4 -9 3 7 0 5 9 -13

AB = A dan BA = A, maka B = I

(I matriks identitas)

1 0 00 1 0 0 0 1

1 0 00 1 0 0 0 1

=

=

1 4 -9 3 7 0 5 9 -13

1 4 -9 3 7 0 5 9 -13

A AII A= =


d -bab-cd ab-cd

-c aab-cd ab-cd


4 2

2 2

½ -½

-½ 1

1 0

0 1

d -b

-c a

1

ad - bc

Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai invers.

=

A IA-1

a b

c d A-1

1 0

0 1=

A-1 = =



1. Invers dari matriks jika ada adalah tunggal: Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C

4 2

2 2A =

½ -½

-½ 1A-1

4 2

2 2

1 0

0 1

2. (A-1)-1 = A

?

(A-1)-1

= ½ -½

-½ 1A-1 =

A



3. Jika A mempunyai invers maka An mempunyai invers dan (An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,…

4 2

2 2A =

4 2

2 2A3 =

4 2

2 2

4 2

2 2

½ -½

-½ 1A-1 =

=104 64

64 40

(A3)-1 = 0.625 -1

-1 1.625

(A-1)3 = 0.625 -1

-1 1.625

½ -½

-½ 1

½ -½

-½ 1

½ -½

-½ 1=

sama



4. (AB)-1 = B-1 A-1

4 2

2 2A =

3 5

2 2 B = B-1 =

½ 5/4

½ - ¾

(AB)-1 = 16 24

10 14

-1= -0.875 1.5

0.625 -1

A-1 B-1 = ½ 5/4

½ - ¾

½ -½

-½ 1= -0.5 1

0.75 -1.375

B-1 A-1 = ½ 5/4

½ - ¾

½ -½

-½ 1= -0.875 1.5

0.625 -1

konsep matriks

Documents