KONSEP KESTABILAN NON-LINIERMETODE LYAPUNOV

Oleh :Nama : ZifalaniastaNIM : 1310501005Mata Kuliah : Sistem Non-LinierDosen Pembimbing : R. Suryoto Edy Raharjo, S.T., M.Eng

Jurusan Teknik ElektroFakultas Teknik

Universitas Tidar

OUTLINE

• Keadaan Setimbang• Kestabilan dalam arti Lyapunov• Metode Lyapunov

KEADAAN SETIMBANG

• Jika sistem dinyatakan berada pada kondisi kesteimbangan berada pada keadaan dengan untuk semua t• Sistem dalam keadaan kestimbangan, jika sistem ini linier dan

tidak berubah terhadap waktu.• Jika f(x,t) = Ax, maka terdapat hanya satu keadaan setimbang pada

saat A adalah nonsingular. Jika A singular maka akan didapat kondisi kesetimbangan yang tak berhingga.

KESTABILAN DALAM ARTI LYAPUNOV

• Keadaan kesetimbangan xe dari sistem disebut stabil sesuai Lyapunov. Jika untuk setiap S(ε), ada S(δ), sehingga trayektori dengan titik awal didalam S(δ) tidak meninggalkan S(ε) dengan membesarnya waktu t menuju tak terhingga.• Bilangan real δ tergantung pada ε dan pada umumnya juga

bergantung pada t0, maka keadaan kesetimbangan tersebut disebut stabil uniform.

KESTABILAN LYAPUNOV

• Jika sebuah bola dengan jari – jari k terhadap kondisi kesteimbangan

adalah norma Euclidian•Misalkan S(ε) terdiri atas semua titik, sedemikian hingga :

• Dan bila juga S(ε) teridi dari titik sedemikian hingga :untuk semua t > t0

.

METODE LYAPUNOV

•Metode pertama Lyapunov Semua metode dimana persamaan differensial dari sistem diselesaikan dan kestabilan ditentukan dari solusinya.•Metode kedua Lyapunov

Kestabilan sistem ditentukan tanpa penyelesaian persamaan differensial, tetapi berdasarkan energi yang tersimpan baik energi kinetik maupunpotensial

METODE LYAPUNOV

Pengertian dasar analisis 1. Sistem stabil : bila energi yang disimpan makin lama makin kecil

sehingga osilasi diredam.2. Sistem tidak stabil: bila energi yang disimpan makin lama makin

besar sehingga osilasi juga membesar. 3. Fungsi Lyapunov:

• V( x,t) ≥0 untuk t ≥0 atau V(x) ≥0 • V( 0) = 0 • V( 0, t ) = 0 untuk t ≥0 • V(x, t ) →skalar

• V(x,t )- perkalianvariabel • Kuadrat salah satu variabel• dV (x,1)/dt = V (x,1)

METODE LYAPUNOV

4. Persamaan sistem : x= f(x, u, t) x= f (x, u, t) vektor berdimensi n dengan elemen-elemennya fungsi dari x1,x2, ...xn, u1, u2, ...un, t. Dimana x =turunan x terhadap t. Untuks istem linar invarianwaktu: x1 = a11.x1+ a12.x2+ ...+a1n.xn+ b11.u1+ ...+ bnm.Umxn = an1.x1+ an2.x2+...+ann.xn+ b11.u1+ ...+ bnm.umdimana a11, a12, ...amn konstanta b11, b12,...bmnUntuk menganalisa kestabilan : U= 0 →x=f (x,t)=f(x)

METODE LYAPUNOV

Sistem dengan dinamikaẋ=f(x)

dapat dikatakan stabil secara asimptotik jika terdapat satu fungsi V(x) , yang disebut kandidat fungsi Lyapunov, yang memenuhi sifat-sifat berikut ini.

V(x) > 0,V(x) < 0, dan hanya bernilai nol untuk x=0

METODE LYAPUNOV

Stabil secara Asimptotik, pada saat waktu t menjadi tak berhingga (menuju kekekalan), maka semua state pada sistem tersebut sudah menuju ke titik kesetimbangan, dan pada saat itu, gangguan sebesar apapun akan mengakibatkan pergeseran (lokal) yang pada akhirnya dengan berjalannya waktu, semua state pada sistem bergerak kembali menuju kesetimbangan.

METODE LYAPUNOV

Stabil secara Asimptotik dapat bersifat lokal ataupun global. Lokal, bila hanya berlaku untuk nilai-nilai state awal (initial state) di sekitar titik kesetimbangan (the neighborhood of the equilibrium point). Global, bila untuk semua nilai-nilai state awal, semua state akan bergerak menuju 1 titik kesetimbangan yang sama.

REFERENSI• en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_Stability• Analisa Kestabilan Absolut, Insitut Teknologi Sepuluh November

http://share.its.ac.id/pluginfile.php/40669/mod_resource/content/3/8.9%20Analisa%20Kestabilan%20Lyapunov.pdf• Menganalisa kestabilan sistem tenaga dengan metode lyapunov

http://library.usu.ac.id/download/ft/elektro-risnida2.pdf

SEKIAN DAN TERIMA KASIH