Akar Persamaan Non Linier

Akar Persamaan Non LinierAnalisa Numerik dan Pemrograman Komputer

Adi Kurniawan, ST, MTMetode TertutupMencari akar pada selang atau range [a,b] yang sudah diketahui memiliki akarIterasi yang dilakukan dalam selang ini dipastikan konvergen menuju akarJenis metode : Biseksi, Regula Falsi

Metode TerbukaDiperlukan tebakan awal akar untuk memulai iterasi pencarian akarHasil suatu hampiran akar akan digunakan untuk mencari hampiran selanjutnya (xn dipakai untuk menghitung xn+1)Tebakkan awal akar yang tidak baik dapat menyebabkan iterasinya divergenJenis Metode : Newton-Rapson, Secant2Metode Pencarian Akar3SOLUSI PERSAMAAN NON LINIERMETODE NEWTON-RAPSONMetode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Titik pendekatan ke n dituliskan dengan : Konsep Metode Newton Raphson Xn = xn-1 -

Metode Newton Rapson

Definisikan fungsi f(x)Tentukan persamaan f(x)Tentukan tebakan awal akar (x0)Tentukan toleransi error (e) atau iterasi maksimum Hitung xn pada tiap iterasi dengan persamaan

Hitung error relatifBila error relatif < e atau iterasi telah mencapai iterasi maksimum, maka proses dihentikan dan akar = xn.Algoritma Metode Newton Rapson

Carilah akar f(x) = x2-3x-10 dengan metode Newton Rapson dengan tebakan awal akar x0 = 2, toleransi error 0.0001

ContohIterasixf(x)f'(x)Error02-121-1141442585.71428571%28.2433.177613.4869.90291262%35.7787537096.0577333048.55750741842.59129935%45.0708684560.5011015317.14173691213.95984256%55.0007032380.0049231587.0014064751.40310703%65.0000000714.94444E-077.0000001410.01406334%75070.00000141%Cari akar persamaan x2-x-2 dengan metode Newton Rapson dengan tebakan awal akar = 0 sampai iterasi ke-3LatihanMetode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai f (x) = 0 sehingga nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut: Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson

Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.

Bila titik pendekatan berada antara dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.

Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson

11SOLUSI PERSAMAAN NON LINIERMETODE SECANT (GARIS POTONG)Metode Newton Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi f(x).Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama fungsi yang bentuknya rumit.Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalenDiperlukan dua buah tebakan awal nilai akar.

Metode SecantMetode Secant

Disubstitusikan ke persamaan Newton Rapson

Sehingga menjadiModifikasi

Definisikan fungsi f(x)Tentukan dua tebakan awal akar (x0 dan x1)Tentukan toleransi error (e) atau iterasi maksimum Hitung xn pada tiap iterasi dengan persamaan

Hitung error relatifBila error relatif < e atau iterasi telah mencapai iterasi maksimum, maka proses dihentikan dan akar = xn.Algoritma Metode Secant

Carilah akar f(x) = x2-3x-10 dengan metode Secant dengan tebakan awal akar x0 = 0, x1 = 4 toleransi error 0.0001

ContohIterasixf(x)Error068-171814.28571429%25.21.4434.61538462%35.0434782610.3062381853.10344828%45.001200480.0084048020.84535265%55.0000074095.18638E-050.02386139%65.0000000018.89295E-090.00014816%7500.00000003%Cari akar persamaan x2-x-2 dengan metode Secant dengan tebakan awal akar x0 = 3 dan x1=4 sampai iterasi ke-3Latihan