10

BAB 3

PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER 1. METODE BAGI DUA (BISECTION METHOD)

Jika f(x) kontinyu pada a dan b dan f(a).f(b) < 0 maka terdapat paling sedikit 1 akar pada interval tersebut. Misal f(a) <0 dan f(b)>0 Nilai akar aproksimasi: 2/)ba(x0 (3.1) Jika f(x0) =0, maka x merupakan akar dari f(x). Jika akar terletak antara a dan x0 maka f(x0) > 0 b = 0x shg 2/)xa(x 01

Jika akar terletak antara b dan x0 maka f(x0) < 0 a = x0 shg 2/)xb(x 01

… (3.2)

…

Proses terus shg diproleh f(xn) 0.

Program metode biseksi PROGRAM BISEKSI; uses wincrt; var a,b,m,fa,fb,fm : real; i,n : integer; Function F(x:real) : real; begin F:=sqr(x*x)-2*x-5; end;

Gambar 3.1 Proses mencari akar dg metode bagi dua

b a m1 m2

Lokasi akar

11

BEGIN writeln(' Program Biseksi'); write('batas kiri a:');readln(a); write('batas kanan b:');readln(b); writeln('-----------------------------------------------------------------------------'); writeln(' i a b m fa fb fm '); writeln('-----------------------------------------------------------------------------'); i:=0; repeat

m:=(a+b)/2; fa:=F(a); fb:=F(b); fm:=F(m); writeln( ' ',i,''); gotoxy(7,i+7); write(a:3:3) ;writeln(' '); gotoxy(15,i+7); write(b:3:3) ;writeln(' '); gotoxy(23,i+7); write(m:3:3) ;writeln(' '); gotoxy(32,i+7); write(fa:11:7);writeln(' '); gotoxy(48,i+7); write(fb:11:7);writeln(' '); gotoxy(61,i+7); write(fm:11:7);writeln(' '); if fm*fb>0 then b:=m else a:=m; i:=i+1;

until abs(fm) <=10e-4; writeln('--------------------------------------------------------------------------'); writeln; writeln('Jadi Akar-akarnya =',m:3:3); readln; END.

Jika program tersebut dijalankan dengan tebakan batas kiri a = 0 dan b = 3

12

Akar yang pertama m14 = 1. Akar yang lain diperoleh dengan memasang a = 2, b = 5 dan m14 =4. Nilai maksimum dari f(m) yang dikehendaki adalah 1.0e-4. Soal: Gunakan metode biseksi untuk memperoleh akar dari f(x) = xsin(x) yang

terletak antara [1 , 2]. 2. METODE POSISI SALAH (REGULA FALSI) Tujuan: untuk mempercepat proses karena metode bagi dua agak lambat Lihat garis yang menghubungkan titik (a,f(a)), (b1,0) dan (b0,f(b0)). Buat gradien garis tersebut dengan dua cara, yaitu yang melalui pasangan (a,f(a)), (b0,f(b0)) dan (b1,0)) , (b0,f(b0)) Dengan menggunakan titik-titik (a,f(a)) dan (b0,f(b0)) maka:

ab)a(f)b(f

m0

0

(3.3)

dengan titik (b1,0) dan (b0,f(b0)) maka:

01

0bb

)b(f0m

(3.4)

Pers. (3.3) = pers. (3.4)

)a(f)b(f)ab)(b(f

bb0

0001

(3.5)

Dalam bentuk iterasi:

)a(f)b(f)ab)(b(fbb

nn

nnnn1n

(3.6)

Program Regula falsi seperti ditampilkan di bawah ini.

PROGRAM REGULA_FALSI; uses wincrt; var a,b,c,fa,fb,fc : real;

Gambar 3.2 Proses mencari akar dg metode regula falsi

b0 a b1 b2

(a,f(a))

(b0,f(b0))

13

i,n : integer; Function F(x:real) : real; begin F:=sqr(x)-5*x+4; end; BEGIN writeln(' PROGRAM REGULA FALSI'); write('batas kiri a:');readln(a); write('batas kanan b:');readln(b); writeln('-----------------------------------------------------------------------------'); writeln(' i a b c fa fb fc '); writeln('-----------------------------------------------------------------------------'); i:=0; repeat fa:=F(a); fb:=F(b); c:=b-fb*(b-a)/(fb-fa)); fc:=F(c); if fc*fb>0 then b:=c else a:=c; writeln( ' ',i,''); gotoxy(7,i+7); write(a:3:3) ;writeln(' '); gotoxy(15,i+7); write(b:3:3) ;writeln(' '); gotoxy(23,i+7); write(c:3:3) ;writeln(' '); gotoxy(32,i+7); write(fa:11:7);writeln(' '); gotoxy(48,i+7); write(fb:11:7);writeln(' '); gotoxy(61,i+7); write(fc:11:7);writeln(' '); i:=i+1; until abs(fc) <=1.0e-4; writeln('-----------------------------------------------------------------------------'); writeln; writeln('Jadi Akar-akarnya =',c:3:3); readln; END.

Jika program tersebut dijalankan maka diperoleh

14

Akar pertama b8= 1 dengan mengambil a = 0 dan b = 3 sedang akar kedua b8 = 4 dengan mengambil a = 2 dan b = 5. Tampak jumlah iterasi untuk metode biseksi = 14 sementara metode regulafalsi 8 sehingga metode regula falsi lebih efektif digunakan jika batas ketelitian yang dikehendaki sama yaitu tinggi f(m) atau f(b) <= 1.0e-4. 3. METODE REGULAFALSI TERMODIFIKASI Jika diketahui f(x) kontinyu pada selang [a0,b0] sedemikian rupa sehingga

f(a0)f(b0) < 0, maka:

Bentuklah )a(fF 0 dan )b(fG 0 dan 00 ac

Untuk N = 0, 1, 2, sampai cukup lakukan:

Hitung FG

FbGac nn

1n

Jika 0)c(f)a(f 1nn maka n1n aa , 1n1n cb , )c(fG 1n

Jika juga 0)c(f)c(f 1nn , maka F = F / 2

Jika tidak, maka 1n1n ca , )c(fF 1n , n1n bb

Jika juga 0)c(f)c(f 1nn , maka G = G / 2 {BISA DIUBAH MISAL 0.9G}

Maka f(x) mempunyai akar dalam selang ]b,a[ 1n1n

Programnya sebagai berikut

PROGRAM REGULA_FALSI_TERMODIFIKASI; uses wincrt; var a,b,c,fa,fb,fc,Ge : real; i,n : integer; Function F(x:real) : real; begin F:=sqr(x)-5*x+4; end;

b0 a b1 b2

(a,f(a))

15

BEGIN writeln(' PROGRAM REGULA FALSI TERMODIFIKASI'); WRITELN('FUNGSI F:=x^2-5x+4'); gotoxy(1,3);write('batas kiri a:');read(a); gotoxy(24,3);write('batas kanan b:');readln(b); writeln('--------------------------------------------------------------------------'); writeln(' i a b c Fa Fb Fc '); writeln('--------------------------------------------------------------------------'); Fa:=F(a); Fb:=F(b); i:=0; Repeat c:=(a*Fb-b*Fa)/(Fb-Fa); Fc:=F(c); writeln( ' ',i,''); gotoxy(7,i+7); write(a:3:3) ;writeln(' '); gotoxy(15,i+7); write(b:3:3) ;writeln(' '); gotoxy(23,i+7); write(c:3:3) ;writeln(' '); gotoxy(32,i+7); write(fa:11:7);writeln(' '); gotoxy(48,i+7); write(fb:11:7);writeln(' '); gotoxy(61,i+7); write(fc:11:7);writeln(' '); if Fa*Fc <=0 then begin b:=c ; Fa:=Fa/2 end else begin a:=c; Fb:=Fb/2; end; i:=i+1; until abs(fc) <=1.0e-4; writeln('-------------------------------------------------------------------------'); writeln; writeln('Jadi Akar-akarnya =',c:3:3); readln; END.

Jika program tersebut dijalankan maka hasilnya dengan tebakan awal 0 dn 3 sebagai berikut:

16

Dengan input 2 dan 5 maka akar yang lain diperoleh = 4 dengan 2 iterasi. Tampak metode regula falsi termodifikasi sangat cepat untuk menampilkan akar. 4. METODE ITERASI SEDERHANA

Yang dibutuhkan pada proses iterasi adalah: a. Aproksimasi untuk x0 b. Rumus iterasi Jika persamaan f(x) dituliskan dalam bentuk x = F(x) maka diperoleh iterasi secara berturutan:

)x(Fx 01 )x(Fx 12 )x(Fx 23 (3.7)

.

. )x(Fx n1n

Kesalahan pada metode iterasi: i1ia xxE (3.8)

Ex: Tentukan akar dari 4x5x)x(f 2 (seperti soal sebelumnya)

Rumus iterasi pertama: 5

4xx

2n

1n

Rumus iterasi kedua: n

n1n x

4x5x

Rumus iterasi ketiga: 4x5x n1n

Program metode iterasi sebagai berikut:

Program iterasi; uses wincrt; var x:array[0..100] of real; b: real; i,n:integer;

17

BEGIN clrscr; writeln('Soalnya: f(x)=sqr(x)-5*x+4'); writeln('Rumus Iterasi: x(i+1)=[x(i)^2+4]/5'); write('tebakan awal x[',i,']:=');readln(x[i]); writeln('---------------------------------------------------------------------'); writeln('i x(i) x(i)^2 [x(i)^2+4]/5 x[i+1]-x[i] '); writeln('---------------------------------------------------------------------'); i:=0; Repeat begin x[i+1]:=(x[i]*x[i]+4)/5; b:= x[i+1]-x[i]; write(i); write(' ',x[i]:4:3); write(' ',x[i]*x[i]:4:5); write(' ',(x[i+1]):5:5); writeln(' ',b:5:7); x[i]:=x[i+1]; i:=i+1; end; until b<=0.00001; writeln('--------------------------------------------------------------------'); writeln('akarnya adalah:',x[i]:4:6); readln; END.

Jika program tersebut dijalankan dengan mengambil tebakan awal x0 = 0 maka diperoleh:

Nilai akarnya tidak seeksak metode sebelumnya aau butuh jumlah iterasi yang banyak.

18

5. METODE AITKEN (PERCEPATAN KONVERGENSI)

Misal akar dari f(x). Dari metode iterasi sederhana diketahui:

)(1 nn xFx

)( F

nn1n xK)x(F)(Fx dengan K < 1 (3.9)

Misal 1ii1i x,x,x 3 akar yang mengaproksimasi nilai akar x = . Maka

)x(Kx 1ii (3.10)

)x(Kx i1i (3.11)

Dengan membagi (3.10) dg (3.11)1

)x(K)x(K

xx

i

1i

1i

i

1ii1i

2i1i

1i xx2x)xx(

x

1i2

2i

1ix

)x(x

(3.12)

Ingat, disini )( ii xFx Tabel yang dibutuhkan adalah tabel selisih berhingga untuk data xi sampai selisih tingkat 2.

1

12

2

11

2

211

21

12

21

21111

12

21111

21

21

12

211

11

211

21111

1111222

112

1

1

1

1

)(

)2()2(

22

2

2

)(2

)()(

)()(

i

ii

i

iiii

i

iiiiiiii

i

iiiiiiiii

i

iii

iii

iii

iiiiii

iiiiii

iii

i

i

i

i

i

i

i

i

xxx

xxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxx

xx

xx

xKxK

xx

19

1i

i

1i2

i

1i

1i

xx

xxx

x

Program metode Aitken sebagai berikut:

PROGRAM METODE_AITKEN; {ATAU PERCEPATAN KONVERGENSI} uses wincrt; var x,dx,d2x : array[0..100] of real; i,n : integer; BEGIN clrscr; writeln('f(x):=x^2-5x+4'); write('nilai awal x[0]:');readln(x[0]); n:=2; writeln('Rumus Iterasi: x[i]:=(x[i-1]^2+4)/5'); writeln('---------------------------------------------------'); writeln('i x[i] dx[i] d2x[i] '); writeln('---------------------------------------------------'); for i:=0 to n do begin x[i]:=(sqr(x[i-1])+4)/5; gotoxy(1,7+2*i); write(i); gotoxy(4,7+2*i); writeln('x[',i,']=',x[i]:3:4); x[i-1]:=x[i]; end; for i:=0 to n-1 do begin dx[i]:=x[i]-x[i-1]; gotoxy(18,6+(2*i)+2); writeln('dx[',i,']=',dx[i]:3:4); end; for i:=0 to n-2 do begin d2x[i]:=dx[i+1]-dx[i]; gotoxy(35,7+(2*i)+2); writeln('d2x[',i,']=',d2x[i]:3:4); end; x[3]:=x[2]-(sqr(dx[1])/d2x[0]); gotoxy(1,13+(2*i)); writeln('---------------------------------------------------'); gotoxy(1,15+2*i); writeln('x[3]:',x[3]:3:4); END.

Jika dijalankan hasilnya sebagai berikut:

20

Tampak nilai x3 = 0.9956 sudah mendekati akar yang dimaksudkan yaitu 1. Dengan rumus iterasi yang lain maka akar kedua dapat diperoleh. 6. METODE NEWTON RAPHSON

00 xOA (3.13)

)x(fBA 000 (3.14)

01

0

01

000

)()('

AAxf

AABAxf (3.15)

)x('f)x(fAA

0

001

101001 xxOAOAAA

)(')(

0

010 xf

xfxx (3.16)

)(')(

0

001 xf

xfxx (3.17)

21

dengan cara yang sama maka dapat ditentukan x2, x3 dst.

Misal x0 = akar aproksimasi untuk f(x) = 0 sedangkan h = kekeliruan aproksimasi tersebut.

hxx 01 dan 0)x(f 1 (3.18)

Ekspansi dengan deret Taylor:

0...)x("fh)x('hf)x(f)x(f 02

001 (3.19)

Untuk h sangat kecil (supaya aproksimasinya terbaik) maka )x("f 0 diabaikan.

0)x('hf)x(f 00 (3.20)

)x('f)x(fh

0

0 (3.21)

Subst. (3.16) ke (3.13):

)x('f)x(fxx

0

001 (3.22)

Dalam bentuk iterasi menjadi:

)x('f)x(fxx

n

nn1n (3.23)

Programnya adalah sebagai berikut: Program Newton_Raphson; uses wincrt; var x,y,dy:array [0..100] of real; tol:real; i:integer; BEGIN clrscr; writeln('f(x)=x^2-5x+4'); write (' Titik awal x[0]: '); readln (x[0]); writeln('---------------------------------------------------'); writeln('i x[i] y(i) dy(i) abs(x[i]-x[i-1])'); writeln('---------------------------------------------------'); i:=1; Repeat y[i-1]:=sqr(x[i-1])-5*x[i-1]+4; {fungsi f(x)} dy[i-1]:=2*x[i-1]-5; {turunan dari f(x)} x[i]:=x[i-1]-(y[i-1]/dy[i-1]);{rumus Newton Raphson} write (i-1 , ' ',x[i-1]:4:4,' ',y[i-1]:4:4,' ',dy[i-1]:4:4); writeln(' ', abs(x[i]-x[i-1]):4:7); tol:=abs(x[i]-x[i-1]); i:=i+1; until i=10; writeln('---------------------------------------------------'); writeln; writeln('Akarnya= ',x[i-1]:3:3); readln; END.

22

Jika dijalankan maka hasilnya sebagai berikut:

Tampak sampai iterasi yang ke 4 selisih antara x[i] dan [xi-1] sudah hamper nol sehingga akarnya adalah 1. Akar ang lain dapat dientukan dengan mengambil x[0] yang lain (misalnya 10). Soal: tentukan akar pers. 0xcosxsinx dengan metode Newton Raphson. 7. METODE MULLER Permisalan untuk kurva f(x) adalah kuadratis.

Akar-akar kurva kudratis dianggap merupakan akar dari kurva f(x).

Keunggulan: dapat digunakan untuk menghitung akar komplek

Misal i1-i2i x, x,x adalah 3 buh aproksmasi akar f(x) = 0 sehingga ),y,x( 2i2i ),y,(x 1i1-i dan )y,(x ii terletak pada kurva y = f(x).

CBxAxy 2 (3.24)

CBxAxy 2i2

2i2i (3.25)

CBxAxy 1i2

1i1i (3.26)

CBxAxy i2ii (3.27)

CBA

1 xx

1xx

1xx

yyy

i2 i

1i2

1i

2i2

2i

i

1i

2i

(3.28)

23

0

1111

21

211

22

22

2

iii

iii

iii

xxyxxyxxyxxy

(3.29)

Dapat ditulis dalam bentuk:

1ii1i2i1i

i2i2i

i2i1i2i

i1i y)xx)(xx(

)xx)(xx(y)xx)(xx(

)xx)(xx(y

+

i1ii2ii

1i1i y)xx)(xx(

)xx)(xx(

(3.30)

Jika didefinisikan

)xx()xx(

1ii

i

(3.31)

)xx()xx(

2i1i

1iii

(3.32)

i2i1i

2iii 1

)xx()xx(

(3.33)

maka pers. (3.30) dapat dituliskan:

ii

iii2i1i

2i2i2

i

iiii1i2i2i y

)(yyyyyyy

(3.34)

Dari pers. (3.31) diperoleh:

)xx(xx 1iii (3.35)

Ambil y = 0 pada (3.34) maka

0yg)yyy( iii2

ii1ii2ii (3.36)

dengan

)(yyyg iii2i1i

2i2ii (3.37)

dengan membagi pers. (3.36) dengan 2 maka

0)yyy(g1y1ii1ii2iiiii2

(3.38)

Maka

2/1ii1ii2iiii

2ii

ii

yyy(y4gg

y2

(3.39)

24

ex: Tentukan akar dari pers. 5x3x)x(y 3 yang terletak antara 2 dan 3.

Jawab: dipilih 1x 2i , 2x 1i , 3x i maka 7y 2i , 3y 1i , 13y i sehingga 3x , 1i , 2i dan 44gi .

Dari pers. (3.38) diperoleh:

01244262

5268841

agar pembilangnya terbesar maka dipilih tanda negatif, maka 7403,0 . Pendekatan berikutnya menurut (3.35) )( 11 iiii xxxx :

26,27403,031 ix . Iterasi akan dihentikan jika ii xx 1 8. SOLUSI SYSTEM PERSAMAAN TIDAK LINIER a. Metode iterasi

0)y,x(g0)y,x(f

(3.40)

pers. (3.40) dapat dibentuk menjadi:

)y,x(Gy)y,x(Fx

(3.41)

dengan F dan G memenuhi persyaratan:

1yG

xG

1yF

xF

(3.42)

Misal )y,x( 00 aproksimasi awal

)y,x(Gy

)y,x(Fx

001

001

)y,x(Gy)y,x(Fx

112

112

)y,x(Gy

)y,x(Fx

223

223 (3.43)

dan seterusnya hingga diperoleh n1n xx dan n1n yy . 2. METODE NEWTON RAPHSON

0)y,x(g0)y,x(f

(3.44)

Misal )y,x( 00 aproksimasi awal dari (3.44). Jika )ky,hx( 00 akar dari system pers. tersebut maka:

0)ky,hx(g

0)ky,hx(f

00

00 (3.45)

Ekspansi f dan g menurut deret Taylor menghasilkan:

25

0...yg

kxg

hg

0...yfk

xfhf

000

000

(3.46)

dengan mengabaikan suku-suku berderejat >=2 maka

000

000

g...yg

kxg

h

f...yfk

xfh

(3.47)

maka h, k dikatahui. Hasil aproksimasi yang baru adalah:

hxx 01 , kxy 01 .

Proses diulangi hingga diperoleh n1n xx dan n1n yy .

S O A L 1. Tentukan akar dari pers. (a) 07xxx 23 (b) 018x3

teliti sampai 3 angka decimal dengan metode Muller

2. Gunakan metode Newton-Raphson untuk menyelesaikan pers. (a) 11yx2 (b) ysin34x2

7xy2 xsin34y2

26