metoda tempat kedudukan akar - tutorial matlab · metoda tempat kedudukan akar merupakan suatu...

1

METODA

TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

1. Pendahuluan

Karakteristik dasar tanggapan peralihan suatu sistem lingkar tertutup

ditentukan oleh pole-pole lingkar tertutup. Jadi dalam persoalan analisis, perlu

ditentukan letak pole-pole lingkar tertutup pada bidang s. Dalam disain sistem

lingkar tertutup, akan diatur pole dan zero lingkar terbuka sedemikian rupa

sehingga pole dan sero lingkar tertutup pada posisi yang diinginkan. Pole-pole

lingkar tertutup adalah akar-akar persamaan karakteristik. Untuk mencarinya

diperlukan penguraian persamaan polinomial karakteristik atas faktor-faktornya.

Pada umumnya ini sulit jika derajat polinomial karakteristiknya tiga atau lebih

tinggi. Teknik klasik penguraian polinomial atas faktor-faktornya adalah kurang

ampuh karena penguatan fungsi alih lingkar terbuka berubah maka perhitungan

arus diulang.

Metoda tempat kedudukan akar merupakan suatu metoda dengan

menggambar akar-akar persamaan karakteristik untuk semua harga dari suatu

parameter sistem. Akar-akar untuk suatu harga tertentu dari parameter ini

selanjutnya terletak pada grafik yang diperoleh. Perhatikan bahwa parameter ini

biasanya adalah penguatan tetapi setiap variabel lain dari fungsi alih lingkar

terbuka juga dapat digunakan. Jika tidak disebutkan, dianggap bahwa penguatan

fungsi alih lingkar terbuka merupakan parameter yang diubah di seluruh daerah

harganya yaitu dari nol sampai tak terhingga. Tempat kedudukan akar-akar

persamaan karakteristik sistem lingkar tertutup jika penguatan diubah dari nol

sampai tak terhingga memberikan latar belakang pemberian nama metoda ini.

Diagram ini secara jelas menunjukkan konstribusi tiap pole dan zero lingkar

terbuka pada letak pole-pole lingkar tertutup. Metoda tempat kedudukan akar

memungkinkan untuk mencari pole-pole lingkar tertutup dari pole dan zero

lingkar terbuka dengan penguatan sebagai parameter. Metoda ini menghilangkan

2

kesulitan-kesulitan yang timbul pada teknik klasik dengan memberikan peragaan

grafis semua pole lingkar tertutup untuk semua harga penguatan fungsi alih

2. Contoh Soal

Contoh 1. : Diketahui fungsi alih pada persamaan (6.15) berikut

( ) 3 2

s + 0.2G s =

s + 3.6s (1)

Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar dari

fungsi alih pada persamaan (1)

Jawab :

Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 1. adalah clc

clear all

close all

% Contoh 1.

%

% Fungsi Alih

disp('Fungsi Alih')

num = [ 0 0 1 0.2];

den = [ 1 3.6 0 0];

sys = tf(num,den)

%

% Diagram Tempat Kedudukan Akar

rlocus(num,den)

v = [ -4 2 -4 4];

axis(v)

grid on

Hasil program Fungsi Alih

Transfer function:

s + 0.2

-------------

s^3 + 3.6 s^2

Diagram tempat kedudukan akar persamaan (1) pada Gambar 1. berikut

3

Gambar 1. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Pada Persamaan (1)

Contoh 2. : Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 6.3 berikut

s(s+3)(s+5)(s +1(s+1)2

K (s + 2s + 5)2

R(s) C(s)+

-

Gambar 2. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup

Tentukan

a. Jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil

b. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada

Gambar 2.

Jawab :

a. Untuk menentukan jangkauan nilai K

Fungsi alih sistem lingkar terbuka sistem pada Gambar 2. adalah

( )( )

( )( )( )( )2 2

5 4 3 22

K s + 2s + 5 K s + 2s + 5G s =

s + 9.5s + 28s + 20s + 15ss s + 3 s + 5 s +1.5s + 1=

(2)

Untuk menentukan titik potong tempat kedudukan akar pada sumbu imajiner jω

dilakukan dengan mensubstitusi s = jω ke dalam persamaan karakteristik pada

persamaan (2) dan diperoleh persamaan (3) dan (4) berikut

-4 -3 -2 -1 0 1 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

40.120.260.40.520.66

0.8

0.9

0.97

0.120.260.40.520.66

0.8

0.9

0.97

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5 4 3 2 2jω + 9.5 jω + 28 jω + 20 jω + 15 jω + K jω + 2 jω + 5 0= (3)

( ) ( )4 2 5 39.5ω 20+K ω 5K j ω 28ω 15+2K ω 0 − + + − + = (4)

Berdasarkan persamaan (4) diperoleh persamaan (5) dan persamaan (6) berikut

( )4 29.5ω 20 + K ω 5K 0− + = (5)

( )5 3ω 28ω 15 + 2K ω 0− + = (6)

Berdasarkan persamaan (5) diperoleh persamaan (7) berikut

( )4 2

4 2 -ω + 28ω -15ω 28ω 15 + 2K 0 K =

2− + = → (7)

dengan substitusi persamaan (7) ke persamaan (5) diperoleh persamaan (8) dan (9)

berikut

4 24 2 4 2-ω + 28ω -15

9.5ω 20 + ω 2.5ω 70ω 37.50 02

− − + − =

(8)

6 4 20.5ω 2ω 57.50ω 37.50 0− + − = (9)

Dengan menggunakan Matlab diperoleh akar-akar dari persamaan (9) sebagai

berikut

1ω = 2.4786 - j2.1157 (10)

2ω = 2.4786 + j2.1157 (11)

3ω = -2.4786 + j2.1157 (12)

4ω = -2.4786 - j2.1157 (13)

5ω = -0.8155 (14)

6ω = 0.8155 (15)

Akar-akar dari persamaan (9) menunjukkan bahwa tempat kedudukan akar

memotong sumbu khayal pada ω = 0.8155 dengan nilai

( ) ( )4 24 2 0.8155 28 0.8155 15-ω + 28ω -15K = 1.5894

2 2

− + −= =

(16)

Dengan demikian jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil adalah

0 < K < 1.5894 (17)

5

b. Gambar diagram tempat kedudukan akar untuk sistem lingkar tertutup pada

Gambar 2.


clear all

close all

% Contoh 2.

%

% Fungsi Alih

disp('Fungsi Alih')

num = [ 0 0 0 1 2 5];

den = [ 1 9.5 28 20 15 0];

sys = tf(num,den)

%


rlocus(num,den)

v = [ -8 2 -5 5];

axis(v)

grid on


Transfer function:

s^2 + 2 s + 5

--------------------------------------

s^5 + 9.5 s^4 + 28 s^3 + 20 s^2 + 15 s

Diagram tempat kedudukan akar untuk sistem lingkar tertutup Gambar 6.2

berikut

Gambar 3. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Lingkar Tertutup Pada

Gambar 6.2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50.160.340.50.640.760.86

0.94

0.985

0.160.340.50.640.760.86

0.94

0.985

12345678

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

6

Contoh 3. : Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 4. berikut

R(s) +

-

Ks+3

s+5

3

s (s+3)2C(s)


Tentukan

a. Jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil

b. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada

Gambar 6.4

Jawab :

a. Untuk menentukan jangkauan nilai K

Fungsi alih sistem lingkar terbuka pada persamaan (18) berikut

( ) ( )4 3 2

3K s + 3G s

s + 8s + 15s= (18)

Persamaan karakteristik sistem pada persamaan (19) berikut

4 3 2s + 8s + 15s + 3Ks + 9K 0= (19)

Untuk menentukan titik potong tempat kedudukan akar pada sumbu imajiner jω

dilakukan dengan mensubstitusi s = jω ke dalam persamaan karakteristik (6.33)

dan diperoleh persamaan (20) dan (21) berikut

( ) ( ) ( ) ( )4 3 2jω + 8 jω + 15 jω + 3K jω + 9K 0= (20)

4 2 2ω 15ω 9K jω 8ω 3K 0 − + + − + = (21)

Berdasarkan persamaan (21) diperoleh persamaan (22) dan (23) berikut

4 2ω 15ω 9K 0− + = (22)

3ω 8ω 3K 0 − + = (23)


22 8ω

ω 8ω 3K 0 K = 3

− + = → (24)

Dengan substitusi persamaan (24) ke persamaan (22) diperoleh persamaan (25)

dan (26) berikut

24 2 8ω

ω 15ω 9 03

− + =

(25)

7

4 2ω 9ω 0+ = (26)

Dengan menggunakan Matlab diperoleh akar-akar dari persamaan (26) sebagai

berikut

1ω = 0 (27)

2ω = j3± (28)

Dari akar-akar persamaan (26) terlihat bahwa tempat kedudukan akar memotong

sumbu khayal pada ω = 3 dengan nilai berikut

( )28 3

K = 243

= (29)

Dengan demikian jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil adalah

0 < K < 24 (30)

c. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup

Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 3. adalah

clc

clear all

close all

% Contoh 3.

%

% Fungsi Alih

disp('Fungsi Alih')

num = [ 0 0 0 1 3];

den = [ 1 8 15 0 0];

sys = tf(num,den)

%


rlocus(num,den)

v = [ -2 2 -5 5];

axis(v)

grid on


Transfer function:

s + 3

--------------------

s^4 + 8 s^3 + 15 s^2

8

Diagram tempat kedudukan akar pada Gambar 5. berikut

Gambar 5. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Diagram Blok Pada Gambar 4.

Contoh 4. : Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 6.7 berikut


Tentukan

a. Nilai K jika rasio redaman dari pole lingkar tertutup bernilai 0.6

b. Dengan menggunakan Matlab, tentukan pole-pole sistem lingkar tertutup

c. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada

Gambar 6.

d. Gambarkan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan

Jawab :

a. Nilai K jika rasio redaman ( )ς dari pole lingkar tertutup bernilai 0.6

Gambar 7. Posisi Sudut

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0.9

0.070.140.220.32

0.42

0.56

0.74

0.9

1

2

3

4

1

2

3

4

5

0.070.140.220.32

0.42

0.56

0.74

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

K

s(s+3)(s+5)

+

-

9

Persamaan karakteristik sistem Gambar 6. pada persamaan (31) berikut

( )( )s s + 3 s + 5 + K 0= (31)

n

n

ςωsin θ = ς

ω= (32)

Berdasarkan Gambar 7. Jika ς = 0.6 diperoleh persamaan (33) berikut

s = -0.75a + ja (33)

Dimana a adalah variabel yang nilainya berkisar antara 0 < a < ∞ . Dengan

mensubstitusi persamaan (33) ke persamaan (31) diperoleh persamaan (34) dan

(35) berikut

( )( ) ( )-0.75a + ja -0.75a + ja+ 3 -0.75a + ja + 5 + K 0= (34)

( ) ( )3 2 3 21.8281a - 2.1875a - 3a + K j 0.6875a - 7.50a +15a 0+ =

(35)

Berdasarkan persamaan (35) diperoleh persamaan (36) dan (37) berikut

3 21.8281a - 2.1875a - 3a + K = 0 (36)

3 20.6875a - 7.50a +15a = 0 (37)

Dari persamaan (37) diperoleh persamaan (38) berikut

20.6875a - 7.50a +15 = 0 atau 2a - 10.9099a + 5.8182 = 0 (38)

Persamaan (38) difaktorkan menjadi persamaan (39) berikut

( )( )a - 0.5623 a - 10.3468 = 0 (39)


1a = 0.5623 dan 2a = 10.3468 (40)

Dari persamaan (36) diperoleh persamaan (41) berikut

3 2K = -1.8281a + 2.1875a + 3a (41)

Dengan mensubstitusi nilai-nilai pada persamaan (40) ke dalam persamaan (41)

diperoleh persamaan (42) dan (43) berikut

( ) ( ) ( )3 2

1K = -1.8281 0.5626 + 2.1875 0.5626 + 3 0.5626 = 2.0535 untuk 1a = 0.5623

(42)

( ) ( ) ( )3 2

2K = -1.8281 10.3468 + 2.1875 10.3468 + 3 10.3468 = -1759.7400untuk 2a = 10.3468

(43)

10

Dari persamaan (42) dan (43) terlihat bahwa nilai K bernilai positif untuk

1a = 0.5623 dan bernilai negatif untuk 2a = 10.3468 . Dengan demikian diambil

nilai K = 2.0535 .

b. Pole-pole sistem lingkar tertutup

Dengan mensubstitusi Nilai K = 2.0535 persamaan (42) diperoleh persamaan (44)

berikut

( )( )s s + 3 s + 5 + 2.0535 0= atau 3 2s 8s 15s + 2.0535 0+ + = (44)

Dengan menggunakan Matlab diperoleh akar-akar dari persamaan (44) berikut

1s = -5.1817 (45)

2s = -2.6699 (46)

3s = -0.1484 (47)

c. Diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada Gambar 8.


clear all

close all

% Contoh 4.

%

% Fungsi Alih

disp('Fungsi Alih')

num = [ 0 0 0 1];

den = [ 1 8 15 0];

sys = tf(num,den)

%


rlocus(num,den)

v = [ -2 2 -5 5];

axis(v)

grid on


Transfer function:

1

------------------

s^3 + 8 s^2 + 15 s

Gambar 8. merupakan diagram tempat kedudukan akar dari diagram blok pada

Gambar 6. berikut

11

Gambar 8. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk diagram blok pada Gambar 6.

d. Gambarkan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan


clear all

close all

%

% Fungsi Alih Lingkar Tertutup

disp('Fungsi Alih Lingkar Tertutup')

num1 = [ 0 0 0 2.0535];

den1 = [ 1 8 15 2.0535];

sys = tf(num1,den1)

%

% Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan

step(num1,den1)

grid on

title('Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan')

Gambar 9. merupakan tanggapan sistem pada Gambar 6. terhadap masukan undak

satuan

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50.070.140.220.32

0.42

0.56

0.74

0.9

0.070.140.220.32

0.42

0.56

0.74

0.9

1

2

3

4

1

2

3

4

5

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

12

Gambar 9. Tanggapan Diagram Blok Pada Gambar 6. Terhadap Masukan Undak Satuan

Contoh 5. : Untuk sistem dengan fungsi alih pada persamaan (48) berikut

( ) 2

s + 5G s =

s + 7s + 25 (48)

Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar dari

persamaan (48)

Jawab :


clear all

close all

% Contoh 5.

%

% Fungsi Alih

disp('Fungsi Alih')

num = [ 0 1 5];

den = [ 1 7 25];

sys = tf(num,den)

%


figure

rlocus(num,den)

grid on


Transfer function:

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan

Time (sec)

Amplitude

13

s + 5

--------------

s^2 + 7 s + 25

Gambar 10. merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada

persamaan (48) berikut


Contoh 6. : Untuk sistem dengan fungsi alih pada persamaan (49) berikut

( ) ( ) ( )( )( )

( )4 3 22 2

K s + 3 K s + 3G s H s =

s + 5s +17s + 29s + 28s + 3s + 4 s + 2s + 7=

(49)

Dengan menggunakan Matlab tentukan gambarkan diagram tempat kedudukan

akar dari persamaan (49)

Jawab :


clear all

close all

% Contoh 6.

%

% Fungsi Alih

disp('Fungsi Alih')

num = [ 0 0 0 1 3];

den = [ 1 5 17 29 28];

sys = tf(num,den)

%


K1 = 0:0.1:2;

-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50.350.580.760.860.920.96

0.984

0.996

0.350.580.760.860.920.96

0.984

0.996

24681012141618

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

14

K2 = 2:0.02:5;

K3 = 2.5:0.5:10;

K4 = 10:1:50;

K5 = 50:5:800;

K = [K1 K2 K3 K4 K5];

r = rlocus(num,den,K);

plot(r,'o');

v = [ -10 5 -8 8];

grid on

title('Tempat Kedudukan Akar')

xlabel('Sumbu Real')

ylabel('Sumbu Imaginer')




Contoh 7. : Untuk sistem kendali umpan balik satu dengan fungsi alih pada


( )( )2

KG s =

s s + 5s + 9 (50)

Tentukan

a. Pole-pole untuk sistem lingkar tertutup dengan menggunakan Matlab jika

K = 3

b. Dengan menggunakan Matlab, Gambarkan diagram tempat kedudukan akar

persamaan (50)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Tempat Kedudukan Akar

Sumbu Real

Sumbu Imaginer

15

c. Tanggapan sistem lingkar tertutup terhadap masukan undak satuan

Jawab :

a. Pole-pole untuk sistem lingkar tertutup jika K = 3

Persamaan karakteristik sistem pada persamaan (50) adalah

3 2s + 5s + 9s + 3 = 0 (51)

Dengan menggunakan Matlab diperoleh persamaan (52) s/d (54) berikut

1p -2.2874 + j1.3500= (52)

2p -2.2874 - j1.3500= (53)

3p -0.4253= (54)


clear all

close all

% Contoh 7.

%

disp('Pole - Pole Sistem Lingkar Tertutup')

P = [ 1 5 9 3];

roots(P)

Hasil program Pole - Pole Sistem Lingkar Tertutup

ans =

-2.2874 + 1.3500i

-2.2874 - 1.3500i

-0.4253

b. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar persamaan (50)

Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 7a. adalah

clc

clear all

close all

% Contoh 7a.

%

% Fungsi Alih

disp('Fungsi Alih')

num = [ 0 0 0 1];

den = [ 1 5 9 0];

sys = tf(num,den)

%

%

16


rlocus(num,den)

grid on

title('Diagram Tempat Kedudukan Akar')

xlabel('Sumbu Real')

ylabel('Sumbu Imaginer')


Transfer function:

1

-----------------

s^3 + 5 s^2 + 9 s

Gambar 6.13 merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada

persamaan (6.65)


c. Tanggapan sistem lingkar tertutup terhadap masukan undak satuan

Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 7b. adalah clc

clear all

close all

% Contoh 7b.

%

% Fungsi Alih Lingkar Tertutup

disp('Fungsi Alih Lingkar Tertutup')

num = [ 0 0 0 3];

den = [ 1 5 9 3];

sys = tf(num,den)

%


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0.91

0.975

0.140.280.420.560.680.8

0.91

0.975

123456

0.140.280.420.560.680.8

Diagram Tempat Kedudukan Akar

Sumbu Real

Sumbu Imaginer

17

step(num,den)

grid on


Gambar 13. merupakan tanggapan sistem pada persamaan (50) terhadap masukan

undak satuan

Gambar 13. Tanggapan Persamaan (50) Terhadap Masukan Undak Satuan



( )( ) 3 22

1 1G s =

s + 3s + 2ss s + 3s + 2= (55)

Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar

persamaan (55) dengan rasio redaman berkisar antara 0.5 s/d 0.7 dan frekwensi

alami sebesar 0.5 rad sec

Jawab :


clear all

close all

% Contoh 8.

%

% Fungsi Alih

disp('Fungsi Alih')

num = 1;

den = [ 1 3 2 0];

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan

Time (sec)

Amplitude

18

sys = tf(num,den)

%


rlocus(num,den)

sgrid([0.5:0.1:0.7],0.5)

axis([-1 1 0 3])


Transfer function:

1

-----------------

s^3 + 3 s^2 + 2 s






( )( ) 3 22

1 1G s =

s + 3s + 2ss s + 3s + 2= (56)

Dengan menggunakan Matlab, tentukan penguatan dan pole-pole dari sistem

lingkar tertutup jika lokasi pole dari kedudukan akar terletak di 0.5− dan 0.7−

Jawab :


clear all

close all

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0.50.60.7

0.50.60.7

0.5

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

19

% Contoh 9.

%

% Fungsi Alih

disp('Fungsi Alih')

num = 1;

den = [ 1 3 2 0];

sys = tf(num,den)

%


[k,clpoles] = rlocfind(num,den,[-0.5 -0.7])


Transfer function:

1

-----------------

s^3 + 3 s^2 + 2 s

k =

0.3750 0.2730

clpoles =

-2.1514 -2.1157

-0.5000 -0.7000

-0.3486 -0.1843



( )( ) 3 22

1 1G s =

s + 3s + 2ss s + 3s + 2= (57)

Dengan menggunakan Matlab

a. Tentukan pole-pole dari sistem lingkar tertutup untuk penguatan dari 0.3

sampai 0.7

b. Analisa hasil simulasi pada bagian (a)

c. Gambarkan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan untuk

penguatan 0.25 , 0.40 , 1.50 , 6.00 dan 8.00 secara bersamaan

Jawab :

a. Pole-pole dari sistem lingkar tertutup untuk penguatan dari 0.3 sampai 0.7

0.3000 -2.1254 -0.6611 -0.2135

0.4000 -2.1597 -0.4201 - 0.0932i -0.4201 + 0.0932i

0.5000 -2.1915 -0.4043 - 0.2544i -0.4043 + 0.2544i

20

0.6000 -2.2212 -0.3894 - 0.3442i -0.3894 + 0.3442i

0.7000 -2.2492 -0.3754 - 0.4127i -0.3754 + 0.4127i

0.8000 -2.2756 -0.3622 - 0.4694i -0.3622 + 0.4694i

0.9000 -2.3007 -0.3496 - 0.5186i -0.3496 + 0.5186i

1.0000 -2.3247 -0.3376 - 0.5623i -0.3376 + 0.5623i

1.1000 -2.3477 -0.3262 - 0.6018i -0.3262 + 0.6018i

1.2000 -2.3697 -0.3151 - 0.6380i -0.3151 + 0.6380i

1.3000 -2.3909 -0.3045 - 0.6715i -0.3045 + 0.6715i

1.4000 -2.4114 -0.2943 - 0.7028i -0.2943 + 0.7028i

1.5000 -2.4311 -0.2844 - 0.7322i -0.2844 + 0.7322i

1.6000 -2.4503 -0.2749 - 0.7599i -0.2749 + 0.7599i

1.7000 -2.4688 -0.2656 - 0.7862i -0.2656 + 0.7862i

1.8000 -2.4868 -0.2566 - 0.8112i -0.2566 + 0.8112i

1.9000 -2.5043 -0.2478 - 0.8350i -0.2478 + 0.8350i

2.0000 -2.5214 -0.2393 - 0.8579i -0.2393 + 0.8579i

2.1000 -2.5380 -0.2310 - 0.8798i -0.2310 + 0.8798i

2.2000 -2.5542 -0.2229 - 0.9009i -0.2229 + 0.9009i

2.3000 -2.5700 -0.2150 - 0.9213i -0.2150 + 0.9213i

2.4000 -2.5855 -0.2073 - 0.9409i -0.2073 + 0.9409i

2.5000 -2.6006 -0.1997 - 0.9599i -0.1997 + 0.9599i

2.6000 -2.6154 -0.1923 - 0.9783i -0.1923 + 0.9783i

2.7000 -2.6299 -0.1851 - 0.9962i -0.1851 + 0.9962i

2.8000 -2.6441 -0.1780 - 1.0136i -0.1780 + 1.0136i

2.9000 -2.6580 -0.1710 - 1.0304i -0.1710 + 1.0304i

3.0000 -2.6717 -0.1642 - 1.0469i -0.1642 + 1.0469i

3.1000 -2.6851 -0.1574 - 1.0629i -0.1574 + 1.0629i

3.2000 -2.6983 -0.1508 - 1.0785i -0.1508 + 1.0785i

3.3000 -2.7113 -0.1444 - 1.0938i -0.1444 + 1.0938i

3.4000 -2.7240 -0.1380 - 1.1087i -0.1380 + 1.1087i

3.5000 -2.7365 -0.1317 - 1.1232i -0.1317 + 1.1232i

3.6000 -2.7489 -0.1256 - 1.1375i -0.1256 + 1.1375i

3.7000 -2.7610 -0.1195 - 1.1514i -0.1195 + 1.1514i

3.8000 -2.7729 -0.1135 - 1.1651i -0.1135 + 1.1651i

3.9000 -2.7847 -0.1076 - 1.1785i -0.1076 + 1.1785i

4.0000 -2.7963 -0.1018 - 1.1917i -0.1018 + 1.1917i

4.1000 -2.8078 -0.0961 - 1.2046i -0.0961 + 1.2046i

4.2000 -2.8190 -0.0905 - 1.2172i -0.0905 + 1.2172i

4.3000 -2.8302 -0.0849 - 1.2297i -0.0849 + 1.2297i

4.4000 -2.8411 -0.0794 - 1.2419i -0.0794 + 1.2419i

4.5000 -2.8520 -0.0740 - 1.2539i -0.0740 + 1.2539i

4.6000 -2.8627 -0.0687 - 1.2658i -0.0687 + 1.2658i

4.7000 -2.8732 -0.0634 - 1.2774i -0.0634 + 1.2774i

4.8000 -2.8837 -0.0582 - 1.2889i -0.0582 + 1.2889i

4.9000 -2.8940 -0.0530 - 1.3001i -0.0530 + 1.3001i

5.0000 -2.9042 -0.0479 - 1.3112i -0.0479 + 1.3112i

5.1000 -2.9142 -0.0429 - 1.3222i -0.0429 + 1.3222i

5.2000 -2.9242 -0.0379 - 1.3330i -0.0379 + 1.3330i

5.3000 -2.9340 -0.0330 - 1.3436i -0.0330 + 1.3436i

21

5.4000 -2.9437 -0.0281 - 1.3541i -0.0281 + 1.3541i

5.5000 -2.9534 -0.0233 - 1.3645i -0.0233 + 1.3645i

5.6000 -2.9629 -0.0186 - 1.3747i -0.0186 + 1.3747i

5.7000 -2.9723 -0.0138 - 1.3847i -0.0138 + 1.3847i

5.8000 -2.9816 -0.0092 - 1.3947i -0.0092 + 1.3947i

5.9000 -2.9909 -0.0046 - 1.4045i -0.0046 + 1.4045i

6.0000 -3.0000 0.0000 - 1.4142i 0.0000 + 1.4142i

6.1000 -3.0090 0.0045 - 1.4238i 0.0045 + 1.4238i

6.2000 -3.0180 0.0090 - 1.4333i 0.0090 + 1.4333i

6.3000 -3.0269 0.0134 - 1.4426i 0.0134 + 1.4426i

6.4000 -3.0357 0.0178 - 1.4519i 0.0178 + 1.4519i

6.5000 -3.0444 0.0222 - 1.4610i 0.0222 + 1.4610i

6.6000 -3.0530 0.0265 - 1.4701i 0.0265 + 1.4701i

6.7000 -3.0615 0.0308 - 1.4790i 0.0308 + 1.4790i

6.8000 -3.0700 0.0350 - 1.4879i 0.0350 + 1.4879i

6.9000 -3.0784 0.0392 - 1.4966i 0.0392 + 1.4966i

7.0000 -3.0867 0.0434 - 1.5053i 0.0434 + 1.5053i

b. Analisa hasil simulasi pada bagian (a)

Kasus 1 :

Untuk 0 < K < 0.4 maka pole – pole dari sistem lingkar tertutup bersifat real

dan berbeda serta rasio redaman besar dari 1 ( teredam lebih)

Kasus 2 :

Untuk K = 0.4 , titik break away terjadi pada saat penguatan ini serta rasio

redaman sama dengan nol (teredam kritis)

Kasus 3 :

Untuk 0.4 < K < 0.6 , pole – pole dari sistem lingkar tertutup bersifat komplek

dan rasio redaman kecil dari 1 (teredam kurang)

Kasus 4 :

Untuk kasus K = 6 , pole – pole dari sistem lingkar tertutup terletak pada sumbu

khayal dan sistem bersifat stabil marginal.

Kasus 5 :

Untuk kasus K > 6 , pole – pole dari sistem lingkar tertutup terletak di sebelah

kanan sumbu khayal dan sistem bersifat stabil


clear all

close all

% Contoh 10.

%

22

% Fungsi Alih

disp('Fungsi Alih')

num = 1;

den = [ 1 3 2 0];

sys = tf(num,den)

%


clpoles = rlocus(num,den,[0.3:0.1:7]);

range = [ 0.3:0.1:7 ]';

[range clpoles];

%

rangek = [0.25 0.4 1.5 6 8];

t =[0 : 0.2 : 20];

%


for j= 1: 5;

[ntc,dtc] = cloop(num*rangek(j),den);

y(:,j) = step(ntc,dtc,t);

end

figure

subplot(211)

plot(t,y(:,1:3))

grid on


xlabel('detik')

ylabel('Keluaran')

subplot(212)

plot(t,y(:,4:5))

grid on

xlabel('detik')

ylabel('Keluaran')

Hasil Program Fungsi Alih

Transfer function:

1

-----------------

s^3 + 3 s^2 + 2 s

Gambar 15. merupakan tanggapan sistem pada persamaan (57) terhadap masukan

undak satuan

23

Gambar 15. Tanggapan Terhadap Masukan Undak Satuan Untuk Sistem Pada Persamaan

(57)

Contoh 11. : Untuk sistem kendali lingkar tertutup pada Gambar 16. berikut

K (s + 1)

s (s + 2)G(s) =

H(s) =s + 3

1

R(s) +

-

C(s)

Gambar 16. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup Untuk Variasi Nilai K

Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar

diagram blok pada Gambar 16.

Jawab :


clear all

close all

% Contoh 11.

%

% Fungsi Alih

disp('Fungsi Alih')

num = [1 1];

den = [1 5 6 0];

sys = tf(num,den)

%


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan

detik

Keluaran

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5

0

5

detik

Keluaran

24

rlocus(num,den)

grid on


Transfer function:

s + 1

-----------------

s^3 + 5 s^2 + 6 s


diagram blok Gambar 16.

Gambar 17. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Pada Diagram Blok

Gambar 16.

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

80.040.090.140.20.280.4

0.56

0.8

0.040.090.140.20.280.4

0.56

0.8

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

Root Locus

Real Axis

Imaginary Axis

metoda tempat kedudukan akar - tutorial matlab · metoda tempat kedudukan akar merupakan suatu...

Documents