kemampuan faktor dinamis dan bayesian var (bvar) …digilib.unila.ac.id/27819/3/skripsi tanpa bab...
TRANSCRIPT
KEMAMPUAN FAKTOR DINAMIS DAN BAYESIAN VAR (BVAR) PADA PEMODELAN MULTIVARIATE TIME-SERIES
UNTUK DATA MAKROEKONOMI
(Skripsi)
Oleh
YEFTANUS ANTONIO
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG
2017
ABSTRACT
DYNAMIC FACTOR AND BAYESIAN VAR (BVAR) PERFOMANCE OF MULTIVARIATE TIME SERIES MODELLING FOR
MACROECONOMICS DATA
By
YEFTANUS ANTONIO
Vector Autoregressive (VAR) has become popular in recent year by it’s ability and flexibilty for macroeconomic modelling. The main problem in VAR modeling appears if many variables are used to model. A VAR(�) model with � variables have � + ��� parameters to be estimate. On Statistical ground, it causes overparameterization and overfitting. To handle it, there are two models with different approach. Dynamic Factor Model (DFM) is reducing the dimensions of data without losing its dynamism and Bayesian VAR (BVAR) is getting a priori information about parameters by Bayesian Inference. This study will show performance DFM and BVAR model for modelling Indonesia’s Macroeconomic indicator based on forecast accuracy. Comparison of both models are considered in three different estimation methods and prior distribution. The result is Bayesian VAR with Minnesota prior give the best performance according to mean error (ME), root mean square error (RMSE) and mean square error (MSE).
Keywords : VAR, DFM, Bayesian VAR, Bayesian Inference, Forecasting
ABSTRAK
KEMAMPUAN FAKTOR DINAMIS DAN BAYESIAN VAR (BVAR) PADA PEMODELAN MULTIVARIATE TIME-SERIES
UNTUK DATA MAKROEKONOMI
Oleh
YEFTANUS ANTONIO
Vector Autoregressive (VAR) menjadi populer beberapa tahun belakangan karena kamampuan dan fleksibelitasnya untuk pemodelan makroekonomi. Masalah utama dalam pemodelan VAR muncul jika banyak variabel yang digunakan ke model. Suatu model VAR(�) dengan � variabel memiliki � + ��� parameter. Pada bidang statistika, hal tesebut menyebabkan overparameterization dan overfitting. Untuk mengatasinya, ada dua model dengan pendekatan berbeda. Model Faktor Dinamis (FD) mereduksi dimensi data tanpa kehilangan kedinamisannya dan Model Bayesian VAR (BVAR) memperoleh informasi apriori tentang parameter berdasarkan Teorema Bayes dan Bayesian Inference. Penelitian ini akan menampilkan kemampuan FD dan BVAR untuk pemodelan makro ekonomi Indonesia berdasarkan keakuratan peramalannya. Perbandingan dari kedua model tersebut mempertimbangkan tiga metode pendugaan dan tiga distribusi prior yang berbeda. Hasilnya model Bayesian VAR memberikan hasil peramalan yang akurat berdasarkan mean error (ME), root mean square error (RMSE) dan mean square error (MSE). Keywords : VAR, DFM, Bayesian VAR, Bayesian Inference, Forecasting
KEMAMPUAN FAKTOR DINAMIS DAN BAYESIAN VAR (BVAR) PADA PEMODELAN MULTIVARIATE TIME-SERIES
UNTUK DATA MAKROEKONOMI
Oleh
Yeftanus Antonio
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG
2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Gisting pada tanggal 5 Juni 1994, anak pertama dari dua
bersaudara dari pasangan Bapak Stefanus Heryanto dan Ibu Zuliana.
Penulis menyelesaikan pendidikan di Taman Kanak-Kanak Darmawanita
Persatuan Kotaagung pada tahun 2000, Sekolah Dasar Negeri 3 Kuripan pada
tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama Negeri 1 Kotaagung pada tahun 2009,
Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Kotaagung tahun 2012. Pada tahun 2012
penulis diterima sebagai mahasiswa Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui
jalur SNMPTN Tertulis.
Selama kuliah pengurus aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika
(HIMATIKA) sebagai Gematika pada tahun 2012/2013, Anggota Bidang II
Keilmuan pada tahun 2013/2014 dan 2014/2015. Penulis juga aktif sebagai
pengurus Persekutuan Oikumene Mahasiswa MIPA (POM MIPA) sebagai
anggota seksi acara pada tahun 2013/2014 dan sebagai Koordinator Umum pada
tahun 2014/2015. Pada tahun 2015/2016 penulis juga aktif sebagai pengurus
lembaga pelayanan eksternal kampus Persekutuan Mahasiswa Kristen (PMK)
Perkantas Lampung sebagai anggota seksi pembinaan. Selama perkuliahan juga
penulis pernah menjadi peserta Olimpiade Nasional MIPA Perguruan Tinggi (ON
MIPA-PT) perwakilan FMIPA Universitas Lampung Bidang Matematika pada
tahun 2014 dan 2015 di Palembang. Penulis juga pernah menjadi asisten dosen
baik praktikum dan responsi untuk mata kuliah Matematika, Kalkulus, Algoritma
dan Pemograman, Metode Numerik, Eksplorasi Data, Teknik Samping, Statistika
Dasar, Pengantar Teori Peluang, Matematika Komputasi, Statistika Matematika I,
Statistika Matematika II dan Statistika Industri.
Penulis mengikuti Karya Wisata Ilmiah (KWI) pada tahun 2012 di desa
Sumberejo Kecamatan Pringsewu. Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada
masyarakat, penulis menyelesaikan mata kuliah wajib Kuliah Kerja Nyata (KKN)
yang dilaksanakan pada 27 Juli 2015 s.d. 22 September 2015 di Tiyuh Gunung
Sari, Kecamatan Lambu Kibang, Kabupaten Tulang Bawang Barat, dan
melaksanakan Praktik Kerja Lapangan (PKL) pada 19 Januari 2015 s.d. 13
Februari 2015 di Unit Statistika, Survey, dan Liaison, Bidang Moneter, Kantor
Perwakilan (KPw) Bank Indonesia Provinsi Lampung kemudian telah menulis
laporan PKL dengan judul “Interaksi Dinamis Variabel Makroekonomi Regional
Provinsi Lampung dan Risiko Kredit dengan Pendekatan VAR/VECM”.
MOTO
Righteousness exalts a nation,
But sin is a reproach to any people
Proverbs 14:34-New King James Version
“…Change the university and
you can change the world.”
-Chales Habib Malik-
Compassion without knowladge
Isn’t giving what is needed
Knowlage without compassion
Producing hypocrites, knowing but not doing anything
Knowledge is POWER
But Character is MORE
PERSEMBAHAN
Teruntuk
Papa, Mama dan Iyos
Komunitas pertama di dunia ini untukku dikasih dan mengasihi
Terimakasih untuk kerja keras, kesabaran dan dukungan kalian
Pak Warsono, Bu Dian, dan Pak Mustofa
Pengajar yang sangat menginspirasi, Orangtua akademikku yang terus
memotivasi dan menasehati
Bang Beny dan Bang Abe
Orangtua rohaniku, sahabatku bertumbuh. Senang bisa terus dalam
perjuangan yang sama kemarin, kini, dan nanti.
SANWACANA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus atas segala
kemampuan, kesempatan, dan kekuatan yang diberikan sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi yang berjudul “Kemampuan Faktor Dinamis dan
Bayesian VAR (BVAR) pada Pemodelan Multivariate Time-Series untuk Data
Makroekonomi”.
Dalam penyusunan skripsi ini banyak pihak yang telah membantu, baik dalam
memberikan bimbingan, semangat, dan dorongan bahkan fasilitas yang sangat
membantu penulis untuk menyelesaikan tulisan ini. Untuk itu dengan segala
kerendahan hati penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Warsono, Ir., M.S., Ph.D., selaku dosen pembimbing utama yang
menjadi motivasi penulis untuk selalu punya keinginan belajar tinggi dan
senantiasa membimbing, memberikan dorongan dan kritik serta saran kepada
penulis.
2. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc., selaku dosen pembimbing kedua yang dapat
menjadi sosok seorang sahabat dan ibu bagi penulis, menyemangati saat mulai
lelah, memberikan solusi saat penulis memiliki masalah, mengingatkan saat
mulai lalai, dan selalu memikirkan dan menginginkan yang terbaik bagi
penulis.
3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D. selaku dosen penguji yang memberikan
masukan, kritik dan saran yang membagun juga menjadi inspirasi penulis
untuk terus bersemangat untuk menuntut ilmu dan mengabdikan diri kepada
pengetahuan.
4. Ibu Wamiliana, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung dan Dosen Pembimbing Akademik.
5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas
Lampung.
6. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., yang telah memberikan motivasi dan semangat,
selalu mengingatkan dan menjadi sahabat dan juga ibu bagi penulis.
7. Seluruh dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
8. Papa dan Mama terkasih, tersayang, tercinta, yang selalu berdoa untuk
keberhasilan penulis, membesarkan dengan penuh kasih sayang dan selalu
memberikan yang terbaik bagi penulis, pribadi yang menjadi alasan penulis
untuk selalu memberikan yang terbaik dalam kehidupan ini, serta adikku
9. Yosianus Antonio yang juga mendorong dan mendoakan untuk segera
menyelesaikan studi.
10. Sahabat, teman diskusi dan berdebat, Gery Alfa Dito, trimakasih sudah
menularkan semangat membaca buku, juga atas kebersamaan dan dukungan
yang diberikan.
11. Kakakku, Kak Wida yang selalu menemani kesendirian penulis, menjadi
kakak dan pendengar yang baik.
12. Staf PMK bang Benny dan bang Abe untuk pendampingan secara pribadi
kepada penulis, teman-teman PMK, POM MIPA, kakak dan bang di
komponen Perkantas Lampung, MLM (Aldo, Fido) dan APD (Ferdi, bang
Togu) terimakasih untuk segalanya.
13. Teman-teman Matematika 2012, Gio dan Jo sudah jadi teman main dan
kumpul. Elva, Putri, Lina, Ochi, yang sudah memberikan motivasi dan
dorongan kepada penulis, dan teman-teman lain yang tidak dapat penulis
sebutkan satu-persatu.
14. Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan kuliah.
Sebagaimana hal yang sudah ditabur, demikian tuaian yang akan dihasilkan.
Tuhan Yang Maha Kuasa yang kembali memberikan kembali hal-hal baik kepada
kita semua. Kesempurnaan sesungguhnya bagi Tuhan semata. Oleh karena itu,
saran dan kritik sangat penulis harapkan. Akhirnya, semoga karya ini bermanfaat
bagi para pembaca. Amin.
Bandar Lampung, Juli 2017
Penulis
Yeftanus Antonio
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR TABEL I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ......................................................... 1
1.2 Batasan Masalah ............................................................................ 4
1.3 Tujuan Penelitian ........................................................................... 4
1.4 Manfaat Penelitian ......................................................................... 5
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Model Vector AR(�) ..................................................................... 6
2.2 Statistika Multivariat ...................................................................... 8
2.3 Statistika Bayesian ......................................................................... 9
2.4 Model Bayesian VAR (BVAR) ..................................................... 10
2.5 Model Faktor Dinamis ................................................................... 12
2.6 Optimisasi Bergantung Kendala .................................................... 16
2.6.1 Metode Lagrange Multipliers ........................................... 17
2.6.2 Aplikasi pada Matrik Simetrik .......................................... 17
2.7 Evaluasi Model Peramalan ............................................................ 18
2.8 Konsep Dasar Matrik ..................................................................... 20
III. METODELOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 22
3.2 Data dan Sumber Data ................................................................... 22
3.3 Metode Penelitian .......................................................................... 23
xii
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Model Faktor Dinamis ................................................................... 25
4.1.1 Penduga Komponen Utama .................................................. 29
4.2 Model VAR .................................................................................... 35
4.2.1 Penduga Parameter Model VAR ........................................... 37
4.2.2 Distribusi Bersama Model VAR ........................................... 40
4.2.3 Distribusi dari Matriks Data .................................................. 41
4.3 Penduga Bayesian untuk Model VAR ........................................... 41
4.3.1 Normal-inverse-Whisart Prior .............................................. 42
4.3.2 Minnesota Prior ..................................................................... 45
4.3.3 Villani’s Steady State Prior ................................................... 46
4.4 Pemodelan pada Data Makroekonomi Indonesia........................... 47
4.4.1 Uji Stasioneritas Data ........................................................... 48
4.4.2 Evaluasi Peramalan ............................................................... 51
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Grafik data time-series yang digunakan dalam analisis ............ 49
Gambar 2. Grafik Autocorrelation Function (ACF) ................................... 50
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1. Definisi Model Faktor Dinamis, Bayesian VAR, dan VAR ......... 48
Tabel 2. Analisis Grafik time series ............................................................ 50
Tabel 3. Uji Augmented Dickey-Fuller ....................................................... 51
Tabel 4. Nilai ME, RMESE, MAE, MPE, dan MAPE dari model ............. 52
Tabel 5. Evaluasi peramalan model VAR ................................................... 53
Tabel 6. Evaluasi peramalan model BVARM............................................. 53
Tabel 7. Evaluasi peramalan model BVARW ............................................ 54
Tabel 8. Evaluasi peramalan model BVARS .............................................. 54
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Memasuki era keterbukaan data serta kebutuhan akan informasi yang lebih
menyeruluh, analisis statistika berhadapan dengan struktur data yang unik dimana
jumlah variabel yang digunakan cukup besar. Gujarati and Porter (2009)
membahas beberapa masalah pada model Vector Autoregressive. Salah satunya,
model ini dikecualikan untuk ukuran sample yang relatif besar. Pada model yang
diperkenalkan oleh Sims (1980) ini, jika terdapat � persamaan dengan nilai lag
sebanyak � dari � variabel, secara keseluruhan ada parameter sebanyak (� +
���).
Dengan jumlah parameter dan observasi yang besar maka terjadi overfitting dan
overparameterization. Masalah tersebut terjadi jika model memiliki terlalu
banyak parameter sehingga memiliki kemampuan peramalan yang lemah. Untuk
mengatasinya, pemilihan panjang lag dan pembatasan model biasanya dilakukan.
Namun, belakangan ada dua model aternatif yang dikembangkan untuk mengatasi
permasalahan ini, yaitu dengan menggunakan metode pendugaan Bayes pada
model VAR (BVAR) dan mereduksi dimensi data dengan menggunakan model
faktor dinamis.
2
BVAR model mampu menggabungkan informasi historis dan apriori untuk
mengatasi hiperparameter. Hal tersebut dikarenakan prior berperan sebagai
kendala pada koefisen, menyusutkan, dan menajamkan pendugaan, serta
menghasilkan peramalan yang lebih akurat. Biasanya dalam pemodelan VAR
jumlah data yang digunakan berkisar tiga sampai lima variable. BVAR
memungkinkan menggunakan lebih dari lima variabel.
Geweke (1977) pertama kali memperkenalkan model faktor dinamis sebagai
perkembangan analisis multivariate time series. Bai and Ng (2008)
mendefinisikan bentuk umum model faktor dinamis sebagai:
��� = ���(�)�� + ��� (1.1)
dimana ���(�) = (1 − ����− . . . −�����) dengan � adalah lag atau back-shift
operator yang didefinisikan oleh ���� = ���� untuk suatu time series ��.
adalah suatu vektor dari loading faktor dinamis dengan order �. Disisi lain, faktor-
faktor di asumsikan memiliki bentuk berikut:
�� = Φ(�)�� (1.2)
dimana �� adalah galat yang bebas stokastik identik dan Φ(�) merupakan ���
polinomial dari koefisien model VAR dengan variabel ��.
Beberapa metode pendugaan digunakan untuk mengestimasi model faktor
dinamis. Tiga motode pendugaan yang akan digunaka dalam penelitan ini adalah
komponen utama yang dibahas oleh Stock and Watson (2002), pendugaan dua
tahap, dan quasi maksimum likelihhod oleh Doz, Giannone and Reichilin
(2011,2012). Distribusi prior bebeda juga akan ditampilkan dalam pemodelan
3
VAR yang diestimasi dengan Inferensia Bayes. Mengikuti Litterman (1986) yang
disebut dengan Minessota Prior, Normal-inverse-Wishart prior, dan Mattias
Villani’s steady-state prior oleh Villani (2009) sebagai distribusi awal dalam
pemodelan VAR.
Montgomery (2008) menyatakan peramalan adalah masalah yang penting pada
berbagai bidang termasuk ekonomi dan keuangan. Masalah ini sangat penting
karena prediksi kejadian selanjutnya adalah masukan yang kritis kepada berbagai
masalah perencanaan dan pengambilan keputusan. Kebijakan makroekonomi
suatu negara memegang peranan sentral dalam pertumbuhan suatu negara.
Model faktor dinamis dan Bayesian VAR akan diterapkan pada pemodelan
makroekonomi Indonesia. Pertumbuhan quarter on quarter (qoq) dari dua belas
variabel makroekonomi sepanjang 107 series dari kuartal ke-3 tahun 1990 s.d.
kuartal pertama tahun 2017 di gunakan sebagai data dalam pemodelan. Kedua
model tersebut bersama dengan model VAR unrestricted akan di bandingkan
kemampuan berdasarkan keakuratan peramalannya.
Keakuratan dari model faktor dinamis dan Bayesian VAR (BVAR) dalam
peramalan dengan jumlah variabel yang lebih banyak (mengakomodasi informasi
yang lebih luas) diharapkan mampu menjadi solusi pada keterbatasan model VAR
khususnya dalam pemodelan indikator-indikator ekonomi lainnya di Indonesia.
4
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, yang menjadi batasan masalah adalah:
1. Metode pendugaan dalam pemodelan Faktor Dinamis adalah metode
komponen utama, metode dua tahap, dan metode quasi maksimum likelihood
(QML).
2. Prior yang digunakan dalam pemodelan Bayesian VAR adalah normal-
inverse-Wishart prior, Minessota prior, dan Mattias Villani’s steady-state
prior.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mendapatkan pendugaan model faktor dinamis dengan Metode Komponen
Utama, Metode Dua Tahap, dan Metode Quasi Maximum Likelihood (QML).
2. Mendapatkan distribusi posterior, distribusi kondisional dan distribusi
posterior marginal model BVAR.
3. Memperoleh model yang baik untuk pemodelan data makroekonomi
Indonesia berdasarkan keakuratan peramalannya.
5
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan bermanfaat sebagai:
1. Pemodelan data dengan jumlah variabel yang relatif besar tetapi tetap
memperoleh hasil peramalan yang baik.
2. Solusi dalam permasalahan pemodelan dengan VAR.
3. Acuan bagi pemerintah untuk pengambilan keputusan yang berkaitan dengan
makroekonomi Indonesia.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Vector AR(�)
Definisi 2.1.1
Multivariate time series �� merupakan suatu model VAR dengan order �, jika
�� = �� + ∑ ���������� + ��, (2.1)
dimana �� merupakan konstan vektor berdimensi � dan �� adalah matriks ��
untuk � > 0, �� ≠ �, dan �� merupakan barisan dari vektor acak yang saling
bebas stokastik identik dengan mean nol dan matriks varian covarian ��, yang
definit positif (Tsay, 2014).
Definisi 2.1.2 (Kondisi Stasioner)
Untuk VAR(1), misalkan time series dimulai pada waktu � = � dengan nilai ��,
dimana � adalah titik waktu yang tetap. Dengan mengulangi substitusi,
�� = ����� + �� = ��(������ + ����) + �� = ������� + ������ + ��
= ������� + ��
����� + ������ + ��
= ⋮
= ������� + ∑ ��
������� ����.
Jika semua nilai eigen dari �� kurang dari 1 pada nilai absolutnya, makan VAR(1)
�� stasioner. Nilai eigen dari �� adalah solusi dari persamaan determinan
7
|��� − ��|= 0
Misalkan � adalah lag atau back-shift operator yang didefinisikan oleh
���� = ���� untuk suatu time series ��. Mengikuti model VAR(1), kondisi
stasioner adalah ketika semua solusi dari persamaan determinan ���� −
Φ ��= 0 harus lebih besar dari 1 pada nilai absolutnya (Tsay, 2014).
Definisi 2.1.3 (Information Criteria)
Tiga fungsi kriteria paling umum digunakan untuk memilih order VAR. Dengan
asumsi kenormalan, ketiga kriteria dari suatu model VAR(�) adalah:
���(�) = ������,��+�
����, (2.2)
���(�) = ������,��+��(�)
����, (2.3)
�� (�) = ������,��+��� [��(�)]
����, (2.4)
Dimana � adalah ukuran sampel, ���,� adalah penduga Maksimum Likelihood bagi
�� (Tsay, 2014).
Definisi 2.1.4 (Peramalan dari Pendugaan Model VAR)
Asumsikan parameter diduga dengan informasi yang tersedia pada saat titik
peramalan � = ℎ. Dengan asumsi tersebut, parameter yang diduga adalah fungsi
dari �� dan maka step ke-� terhadap minimum mean square error (MSE) peramalan
dari ���� dengan parameter yang diduga adalah:
���(�) = ��� + ∑ ������(� − �)���� (2.5)
Dimana, seperti sebelumnya, ���(�) = ���� untuk � ≤ 0 (Tsay, 2014).
8
Definisi 2.1.5 (Impulse Respon Function)
Menggunakan representasi dari Moving Average dari model VAR(�) dengan
matriks koefisien � �= [��,��] yang diberikan oleh
�� = ∑ ��� ������(�,�)��� , � = 1,2, ... (2.6)
dimana � � = ��. Sehingga
�� = �� = �
10⋮0
�, �� = � ��� =
⎣⎢⎢⎡��,��
��,��
⋮��,��⎦
⎥⎥⎤, �� = � ��� =
⎣⎢⎢⎡��,��
��,��
⋮��,��⎦
⎥⎥⎤, ... (2.7)
Koefisien matriks � � dari representasi MA dari model VAR(�) adalah koefisien
dari impulse response functions. Kesalahan � �= ∑ ������ melambangkan
akumulasi respon � periode dari suatu unik guncangan kepada �� (Tsay, 2014).
2.2 Statistika Multivariat
Definisi 2.2.1 (Distribusi Normal Multivariate)
Misal � = (��, ��, ..., ��) adalah vektor berdimensi � dari suatu peubah acak,
maka � disebut memiliki (nonsingular) distribusi multivariate normal jika fungsi
kepekatan peluangnya adalah
�(�) = (2�)��
�|�|��
� exp�−�
�(� − �)����(� − �)�; (2.8)
(− ∞ < �� < ∞ � = 1,2, ...�)
Dimana � = ����� adalah definit positif (Σ > 0). Dengan �(�) = � dan ���(�) =
�, maka dapat dinotasikan dengan �~� �(�, �) atau �~� � (Saber,1983).
9
Definisi 2.2.2 (Distribusi Wishart)
Misal � = (���) adalah matriks simetris berukuran �� dari suatu peubah acak
yang definit positif, dengan peluang 1, dan misalkan � adalah matriks definit
positif berukuran �×�. Jika � adalah bilangan bulat sedemikian sehingga � ≥ �,
maka � dikatakan memiliki distruibusi Wishart nonsingular dengan derajat
bebas m jika fungsi kepekatan peluang dari �
��(� + 1) elemen-elemen yang
berbeda dari W adalah:
�(���, ���, ..., ��� ) = ���|� |(�����)/�exp [����� �−�
��� � � (2.9)
dimana
� = 2��
� |�|�
� � ��
��� (2.10)
dan
� ��
��� = �
�(�� �)
� ∏ Γ��
�(� + 1 − �)��
��� (2.11)
Dapagt ditulis � ~� �(�, �) atau � ~� � (Mardia, Kent, dan Bibby, 1979).
2.3 Statistika Bayesian
Pertimbangkan model:
�|�~�(�|�) (2.12)
Θ~ℎ(�)
Fungsi kepekatan peluang Θ oleh ℎ(�) disebut distribusi prior dari Θ. Misalkan
��, ��, ..., �� adalah sampel acak dari distribusi bersyarat dari � yang diberikan
oleh Θ = � dengan pdf �(�|�). Dengan notasi vektor, misalkan �� =
10
(��, ��, ..., ��) dan �� = (��, ��, ..., ��). Kemudian kita dapat menuliskan pdf
bersyarat bersama dari � , diberikan oleh Θ = �, sebagai
�(�|�) = �(��|�)�(��|�)...�(��|�) (2.13)
sehingga pdf bersama � dan Θ adalah
�(�, �) = �(�|�)ℎ(�) (2.14)
Jika Θ adalah peubah acak dari tipe kontinu, pdf marginal dari � diberikan oleh:
��(�) = ∫ �(�, �) ���
�� (2.15)
Pdf bersyarat dari Θ, diberikan oleh sampel � adalah
�(�|�) =�(�,�)
��(�)=
�������(�)��(�)
(2.16)
distribusi yang didefinisikan oleh fungsi bersyarat tersebut disebut posterior
distribution (Hogg and Craig, 2013).
Teorema 2.3.1 Teorema Bayes
Untuk dua kejadian A dan B, Teorema Bayes untuk suatu kejadian tunggal adalah:
�(�|�) =�������(�)
�������(�)���������(��) (2.17)
Teorema Bayes adalah suatu pernyataan ulang dari peluang bersyarat �(�|�)
dimana:
1. Peluang dari A diperoleh sebagai perjumlahan dari peluang-peluang bagian
terpisahnya, (� ∩ �) dan (� ∩ ��), dan
2. Setiap peluang bersama diperoleh menggunakan aturan perkalian
Bolstad (2007).
11
2.4 Model Bayesian VAR (BVAR)
Model VAR(�) pada persamaan 2.1 dimana �� untuk � = 1, ..., � adalah vektor
�×1, �� adalah �×1 vektor dari galat, �� adalah �×1 vektor intersep dan �� adalah
matriks �×� dari koefisien. Diasumsikan �� bebas stokhastik identik � (0, Σ).
Litterman (1980) mengembangkan model BVAR, diamana membentuk beberapa
asumsi pada model VAR unrestricted pada persamaan 2.1. diatas. Batasannya pada
series yang digunakan sebagai suatu ������ ���� bersama dengan suatu
komponen deteministik yang tidak diketahui. Jadi, distribusi prior untuk variabel t
difokuskan pada definisi dari ������ ���� .
�� − ���� = � + �� (2.18)
Persamaan ke− � pada model VAR dapat dituliskan sebagai:
��� = �� + ���(�)��,� + ���
(�)��,���+...+���
(�)��,��� + ���
(�)��,��� +
���(�)��,���+...+���
(�)��,���+...+ + ���
(�)��,��� +
���(�)��,���+...+���
(�)��,���. (2.19)
dimana ���(�)
adalah koefisien yang berhubungan dengan ��� sampai ��,��� (Sevinc
and Ergun, 2009). Ide utama dari model BVAR adalah parameter model adalah
peubah acak. Distribusi posterior diperoleh dengan aplikasi dari Teorema Bayes.
Definisi 2.4.1 Minnesota Prior
Minnesota prior menetapkan Σ sebagai matriks diagonal.
Σ =
⎣⎢⎢⎢⎡�� 0 0 … 00 �� 0 … 00⋮0
0⋮0
�� … 0
⋮ ⋱ ⋮0 … ��⎦
⎥⎥⎥⎤
12
Pendugaan dari model diasumsikan bahwa semua koefisien kecuali lag pada
variabel itu sendiri sama dengan nol. (Koop dan Korobilis, 2010) mendefinisikan
prior dari matriks kovarian dari � mengikuti:
��,� = �
��/��
��.���/(��.��
�)
��.��
, (2.20)
yang bersesuaian dengan lag sendiri, lag antar variabel dan variabel eksogenus.
Definisi 2.4.2 Normal-Inverse-Wishart prior
BVAR model dengan normal-inverse-Wishart model, dimana kernel dari distribusi
posterior bersama dari � dan Σ adalah
�(�, Σ|�� ⊗ �, �) ∝ �(�|�� ⊗ �, �, Σ)�(�, Σ) (2.21)
dengan densitas data �(�, |�� ⊗ �, �, Σ) dan distribusi prior bersama �(�, Σ)
Definisi 2.4.3 Mattias Villani’s steady-state prior
Villani (2009) memilih distribusi prior bagi Σ adalah:
�(Σ) ∝ |Σ|����
� (2.22)
Misalkan Φ = ���, ..., ����. Prior dari vec(Φ ) adalah distribusi multivariate
normal umum.
���(Φ )~� (�� , Ω� ) (2.23)
2.5 Model Faktor Dinamis
Untuk model yang sudah difinisikan oleh Bai and Ng (2008) pada persamaan 1.1
dan 1.2 maka permasalahan berikutnya adalah bagaimana menduga jumlah faktor
statis dan faktor dinamis pada model tersebut juga menduga ��(�), ��, ��, ��� ��.
13
Definisi 2.5.1 (Metode Penduga Komponen Utama)
Pada kasus � yang cukup besar, Stock and Watson (2002) menggunakan
pendekatan berbeda dan menduga faktor dinamis secara nonparametrik dengan
menggunakan metode komponen utama. Pertimbangkan fungsi objektif nonlinear
least square berikut:
����, Λ��= (�� )�� ∑ ∑ (���� − ������ )��, (2.24)
Merupakan suatu fungsi dari nilai-nilai hipotesus dari faktor-faktor (��) dan loading
faktor (Λ�), dimana ��= (���, ���, ..., ���)′ dan �� adalah baris ke-� dari Λ�.
Definisi 2.5.2 (Metode Penduga Dua Tahap)
Doz, Giannone, Reichlin (2011) menduga faktor dinamis dengan metode
pendugaan dua tahap. Pada tahap pertama, parameter-parameter dari model pertama
diestimasi dengan Ordinary Least Square (OLS) pada komponen utama. Pada tahap
kedua, faktor diduga dengan Kalman smoother. Berhaumi (2013) merangkum
pendugaan dua tahap ini dengan mendefinisikan tahap pertama:
1. ��� diduga dengan PCA sebagai pendugaan awal.
2. Selanjutnya pada persamaan
��� = ��� + ��� (2.25)
��� = ���(�)�� (2.26)
���(�) dan matriks ragam peragam dari galat �̂, yang dilambangkan dengan Σ�� .
Untuk memperoleh �(�) pada persamaan
��(�) = ���(�)�(�) (2.27)
dimana ���(�) polinomial matriks dengan derahar � dan �(�) matriks berdimensi
��. Penduga dari �(�) diperoleh dari
14
��(�) = ���
�. (2.28)
Pada tahap kedua, koefisien-koefisien dan parameter-parameter dari sistem pada
persamaan ��� = ��� + ��� dan ��� = ���(�)�� yang telah diperoleh pada tahap
pertama dipertimbangkan. Selanjutnya, menuliskan model tersebut pada bentuk
state space dan Kalman filter di aplikasikan untruk menduga faktor.
Definisi 2.5.3 (Metode Pendugaan Quasi Maksimum Likelihood)
Pendugaan lain yang dimungkinkan untuk menduga model faktor dinamis adalahn
metode quasi maksimum likelihood. Metode ini deberikan oleh Doz, Giannone,
Reichlin (2012) sebagai alternatif metode pendugaan.
Definisi 2.5.4 (Memilih Jumlah Faktor Statis).
Bai and Ng (2002) menggunakan kriteria informasi untuk memilih jumlah faktor
statis. Pengukuran ini berdasarkan pada ragam dari �(�, �) yang didefinisikan oleh:
�(�, �) = (�� )�� ∑ ��� − Λ������.�
��� (2.29)
dimana � adalah jumlah faktor yang diberikan sedemikian sehingga ��� =
�����, ..., �����. Dengan menggunakan informasi kriteria berikut:
���(�) = ln��(�, �)�+ � �� ��
��� ln�
��
� ��� (2.30)
���(�) = ln��(�, �)�+ � �� ��
��� (2.31)
���(�) = ln��(�, �)�+ � ������
�
���� � (2.32)
dimana ��� = min{√� , √�} dan �� melambangkan logaritma natural. Penduga
dari jumlah faktor � ditentukan oleh kriteria informasi yang minimun untuk � =
0, ..., �����, dimana ����� adalah jumlah faktor statis maksimum.
15
Definisi 2.5.5 (Memilih Jumlah Faktor Dinamis).
Pada konteks model faktor dinamis, jumlah � guncangan dapat diduga dengan
menggunakan kriteria informasi oleh Bai and Ng (2007). Kriteria ini diperoleh
dengan mempertimbangkan � faktor statis seperti yang diberikan, kemudian
menduga suatu model VAR dengan order � pada faktor tersebut, dimana order �
dipilih menggunakan Bayesian Information Criteria (BIC).
Dekomposisi spektral dari matriks ragam peragam dari matriks galat dari model
VAR yang dilambangkan dengan Σ�� berdimensi �×� yang dihitung. Maka, nilai
eigen terurut ke-� ��̂, dimana ��̂ ≥ ��̂ ≥ ...≥ ��̂ ≥ ...≥ ��̂ ≥ 0. Bai and Ng (2007)
mendefinisikan dua kuantitas
���,� = ���̂��
∑ �̂��� � �
�
�
�
(2.23)
���,� = �∑ ��̂��� �� �
∑ �̂��� � �
�
�
�
(2.24)
dimana ���,� merepresentasikan pengukuran dari kontribusi marginal oleh � + nilai
eigen ke-1 dan ���,� merupakan pengukuran dari kontribusi komulatif dari nilai-nilai
eigen, dibawah hipotesis bahwa Σ�� adalah matriks berdimensi (�×�) dan �� = 0
untuk � > �.
Jumlah faktor dinamis � ditentukan dengan meminimumkan
�� ���������� ��ℎ�����:���,� ≤�
min����, �
����,
atau
16
�� ���������� ��ℎ�����:���,� ≤�
min����, �
����
Berhoumi (2013) menjelaskan tahapan pendugaan jumlah faktor dinamis dengan
informasi kriteria Bai and Ng (2007) sebagai berikut:
1. Memperoleh faktor statis � � {1, ..., �����} yang optimal dengan menggunakan
kriteria pada Bai and Ng (2002).
2. Menduga model ���(�) pada model dengan � faktor dan ����� dari VAR
diperoleh dengan BIC.
3. Kriteria Bai and Ng (2007) diaplikasikan pada matriks ragam peragam atau
matriks korelasi dari galat �� dari model VAR(�) untuk memperoleh jumlah
optimal dari faktor dinamis �.
2.6 Optimasi Bergantung Kendala
Pertimbangkan masalah optimasi suatu fungsi yang dibatasi oleh suatu kondisi yang
keduanya dapat didiferensiasi. Misalkan � adalah fungsi bernilai real yang
didefinisikan pada himpunan � pada ℝ�. Kemudian pertimbangkan minimasi
fungsi �(�) dengan � kendala, yaitu ��(�) = 0, ..., ��(�) = 0, dan dituliskan.
�������� �(�)
������� �(�) = �,
dimana � ≔ (��, ��, ..., ��)′ dan � ≔ (��, ��, ..., ��)′. Ini disebut dengan
optimasi bergantung kendala, dan cara yang paling mudah digunakan untuk
menyelesaikan ini secara umum dengan menggunakan teori penggandaan
Lagrange.
17
2.6.1 Metode Lagrange Multipliers
Teorema Lagrange memberikan kondisi yang diperlukan untuk suatu kendala
minimum yang terjadi pada titik tertentu, dan menetapkan keabsahan metode
formal yaitu metode Lagrange multipliers untuk mendapatkan kondisi yang
diperlukan untuk suatu ekstreme yang dibatasi dengan persamaan kendala.
Didefinisikan fungsi Lagrangian ℒ dengan:
ℒ(�) ≔ �(�) − �′�(�), (2.25)
dimana � suatu �×1 vektor konstanta ��, ��, ..., ��, disebut Lagrange
multipliers, satu multipliers dimasukkan untuk masing-masing kendala.
Selanjutnya kita diferensialkan ℒ terhadap � dan hasilnya dibentuk sama
dengan nol (Gentle, 2007).
2.6.2 Aplikasi pada Matriks Simetrik
Misalkan � adalah matriks simetrik, maksimum dan minimum dari �′�� yang
merupakan bentuk kuadrat matriks, dengan kendala ��� = � adalah maksimum
dan minimum dari akar ciri dari matriks �.
Bukti:
Bentuk dari fungsi Lagrangian:
ℒ(�;�) = ���� − �(��� − �) = ���� − ���� − � = ��(� − ��) − �
Selanjutnya, derivatifkan terhadap �, dan hasilnya kita bentuk sama dengan nol,
maka:
�
��ℒ(�;�) =
�
������ − ���� − � = 2(� − ��)� = �
⟹ �� = ��
18
Karena memenuhi persamaan �� = �� maka � seharusnya adalah akar ciri
dari �, dan � seharusnya adalah vektor ciri. Misalkan, �� ≥ �� ≥ ...≥ ��
adalah akar ciri dari matriks � dan ��, ��, ..., �� adalah vektor ciri yang
bersesuian dengan akar ciri tersebut, sehingga:
��� = ����
⟹ ������ = ��
����� = ������� = ��.� = ��
Jadi, ��� ��� = ��adalah nilai maksimum, dan ��
� ��� = �� adalah nilai
minimum (Gentle, 2007).
2.7 Evaluasi Model Peramalan
Pertimbangkan cara untuk mengevaluasi kemampuan dari suatu teknik peramalan
untuk suatu aplikasi time series. Ada banyak pengukuran statistik yang menjelaskan
seberapa baik model mencocokan suatu sampel data. Pendekatan goodness-of-fit
menggunakan galat dan tidak sebenarnya menggambarkan kemampuan teknik
peramalannya untuk keberhasilan memprediksi observasi mendatang. Pengguna
peramalan sangat memperhatikan tentang keakuratan peramalan mendatang, bukan
goodness-of-fit. Terkadang keakuratan peramalan disebut dengan “out-of-sampel”
galat peramalan.
Untuk mengevaluasi kemampuan peramalan model menggunakan galat peramalan
��(1) = �� − ���(� − 1) (2.26)
dimana ���(� − 1) adalah peramalan dari �� yang di buat untuk satu periode.
Misalkan aa � observasi yang mana peramalan akan dibuat dan � galat peramalan
��(1), � = 1,2, ..., �. Pengukuran standar kakuratan peramalan adalah rata-rata
peramalan atau mean error
19
�� =�
�∑ ������ (1) (2.27)
mean absolute deviation
��� =�
�∑ |��(1)|���� (2.28)
dan mean squared error
��� =�
�∑ [��(1)]
����� . (2.29)
Relative forecast error (dalam persen) sebagai:
���(1) = �������(���)
��� 100 = �
��(�)
��� 100. (2.30)
Mean percent forecast error (MPE) adalah:
��� =�
�∑ ���(1)���� (2.31)
Mean absolute percent forecast error (MAPE)
���� =�
�∑ |���(1)|���� (2.32)
(Montgomery, 2008).
2.8 Konsep Dasar Matrik
Definisi 2.8.1 Invers dan Trace
Sebuah matriks ��� merupakan matriks non singular , jika terdapat sebuah
matriks unik ��� sedemikian sehingga �� = �� = ��, �� matriks identitas.
Pada kasus ini, � merupakan invers dari matriks � dan dapat dituliskan dengan � =
���.
Trace dari ��� merupakan penjumlahan elemen-elemen diagonalnya (��(�) =
∑ ������� ). Mudah untuk menunjukan bahwa
(a) ��(� + �) = ��(�) + ��(�) (2.33)
20
(b) ��(�) = ��(��) (2.34)
(c) ��(��) = ��(��) (2.35)
Menyajikan dua matrik yang sesuai (Tsay, 2014).
Definisi 2.8.2 Vectorization dan Kronecker Product
Suatu matriks � berukuran �� dapat dituliskan dalam bentuk kolom sebagai � =
[��, ..., ��], didefinisikan operator sebagai ���(�) = (��� , ..., ��
� )′ yang
merupakan vektor berukuran ��×1. Untuk dua matriks ��×� dan ��×�, perkalian
Kronecker antara � dan � adalah
� ⊗ � = �
���� ���� ⋯ ����
���� ���� ⋯ ����⋮
����⋮
����⋱⋯
⋮����
�
����
.
Asumsikan syarat dimensi terpenuhi, berikut ini adalah beberapa sifat dari dua
operator:
Definisi 2.8.3 Akar Ciri dan Vektor Ciri
Misalkan � adalah suatu matriks persegi berukuran �� dan � adalah �� matriks
identitas. Selanjutnya skalar ��, ��, ..., �� yang memenuhi persamaan polinomial
|� − ��|= 0 disebut akar ciri atau akar ciri dari suatu matriks �. Persamaan
|� − ��|= 0 (sebagai fungsi dari �) disebut persamaan ciri.
Misalkan A adalah matriks persegi dengan dimensi � � dan misalkan � adalah
akar ciri dari �. Jika ��×� merupakan vektor tak nol, ( ��×� ≠ ��×�) sedemikian
sehingga:
�� = ��
21
Maka � disebut sebagai verktor eigen (vektor ciri) dari matriks A yang bersesuaian
dengan akar ciri � (Johnson, 2007).
Definisi 2.8.4 Matriks Orthogonal
Suatu matriks persegi � dikatakan orthogonal jika setiap barisnya dipertimbangan
sebagai vektor-vektor, tegak lurus satu sama lain dan mempunyai panjang unit,
yaitu ��� = �. Sebuah matriks � ortogonal jika dan hanya jika ��� = ��. Untuk
sebuah matriks orthogonal ��� = ��� = � , sehingga setiap kolomnya juga tegak
lurus satu sama lain dan mempunyai panjang unit (Johnson, 2007).
Definisi 2.8.5 Rotasi
Suatu matriks persegi � dikatakan suatu rotasi dari suatu matriks persegi � jika
� = �� dan ��� = ��� = � (Johnson, 2007).
Definisi 2.8.6 Matriks Spectral Decomposition
Dalam banyak kasus, akibat langsung dari ekspansi matriks simetrik disebut
sebagai spectral decomposition. Spectral decomposition dari matriks simetrik A
� � diberikan sebagai:
�(��) = ����(��) ��(��)
, + ����(��) ��(��) , + ...+ ����(��) ��(��)
, (2.36)
dimana ��, ��, . . ., �� adalah akar ciri dari A dan ��, ��, ..., �� adalah normalisasi
vektor eigen yang bersesuaian. Sehingga, ����� = 1 untuk � = 1, 2, ..., �, dan
����� = 0 untuk � ≠ � (Jhonson, 2007)
22
III. METODELOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester genap tahun ajaran
2016/2017.
3.2 Data dan Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder kuartalan
yang diperoleh dari Organisation for Economic Co-operation and Development
(OECD) (https://stats.oecd.org/). Indikator makro ekonomi yang digunakan
sebanyak 10 variabel dengan 107 observasi dari 1990Q3 sampai dengan 2017Q1.
Definisi data, sumber data, unit data dan transformasi yang digunakan dapat
dilihat pada lampiran A.1
23
3.3 Metodologi Penelitian
Adapun tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Melakukan analisis terhadap model faktor dinamis dengan langkah-
langkah sebagai berikut:
a. Mendefinisikan dan membentuk model faktor dinamis ke dalam
bentuk model faktor statis.
b. Melakukan pendugaan parameter model faktor dinamis dengan metode
Komponen Utama, Metode dua tahap, dan Metode QML.
2. Melakukan analisis terhadap model BVAR dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
a. Mendefinisikan fungsi kepekatan peluang dari normal multivariat.
b. Menentukan parameter dari pdf normal multivariat.
c. Membangun fungsi likelihood dari pdf normal multivariat.
d. Memperoleh penduga parameter dengan pendekatan Least Square
(LS).
e. Mengkaji distribusi posterior kondisional dan marginal yang
proposional terhadap perkalian distribusi prior.
3. Memodelkan makro ekonomi Indonesia dengan model DFM dan BVAR
dengan menggunakan software R 3.3.0.
a. Memeriksa kestasioneran data melalui uji ACF dan plot ACF dan
PACF serta menentukan transformasi yang digunakan.
b. Membagi data menjadi data training (in sample data) sebanyak 97
observasi (1990Q3 s.d. 2015Q3) dan data testing (out of sample data)
sebanyak 10 observasi.
24
c. Pemodelan makro ekonomi dengan BVAR
-Estimasi model BVAR dengan Minnesota Prior, Stady State Prior,
dan Normal-Inverse-Wishart Prior.
-Melakukan peramalan dengan ketiga prior tersebut.
-Menghitung keakuratan untuk masing-masing model BVAR dengan
Prior yang berbeda.
d. Pemodelan makro ekonomi dengan DFM
- Melakukan pendugaan parameter pada model VAR dengan Estimasi
komponen utama, dua tahap, dan estimasi QML.
- Menggunakan hasil estimasi faktor untuk peramalan
- Menghitung keakuratan untuk masing-masing model DFM dengan
metode pendugaan yang berbeda.
53
V. KESIMPULAN
Dari pembahasan penelitian dapat disimpulakn sebagai berikut
1. Penduga komponen utama dari model faktor dinamis dapat dituliskan
sebagai:
�� = √� [vektor-vektor ciri yang bersesuaian dengan � akar ciri terbesar
dari matriks ���] dan �� =���
�.
2. Distribusi posterior, distribusi besyarat dan distribusi marginal dari model
Bayesian VAR dengan prior Normal-Inverse-Wishart adalah
�(�, Σ|�, �) ∝ exp �−1
2���� − ��
���(���⨂ ��)����
− ����exp �−1
2�� − ���
���
����
− ����|Σ|��|Σ|�
(�����)� exp �−
1
2��(�����)� exp �−
1
2����
− �����
�� − ����(Σ��⨂ ��)�
�(�|Σ, �, �) ∝ exp(−1
2[��� − ��
���(���⨂ ��)���� − ��
+ �� − ������
���� − ���])
�(Σ|�, �) ∝ |Σ|�������
� exp �−1
2������ − �� − ����
��� − ����� �����
�|Σ, �, �~�(��, Σ��) dengan
30
Σ�� = ���� + ��(Σ��⨂ ��)� dan �� = Σ��(��
���� + ��(Σ��⨂ ��)�)
dan distribusi marginal dari Σ sebagai
Σ|�, �~�� ��� − �� − �����
�� − ����, � − ��
3. Prior Minnesota menyusun matriks Σ menjadi matriks diagonal, dengan Σ
yang ditetapkan, maka distribusi posterior dari � sama dengan kasus
Normal-inverse-Wishart
4. Distribusi posterior bersyarat dari steady state prior adalah:
�|�, Σ, �, �~�(��, Σ��)
�|�, Σ, �, �~�(��, Σ� � ⊗ Σ)
Σ|�, �, �, �~��(Υ� + ��� �� + ��� − �̅�
�Υ�
����� − �̅�, � + �. � + �)
5. Model dengan tingkat akurasi terbaik berdasarkan mean error (ME), root
mean square error (RMSE) dan mean square error (MSE) yang diperoleh
adalah model Bayesian VAR dengan Minnesota Prior.
DAFTAR PUSTAKA
Anderson, T. W. 2003. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Bai, Jushan. 2003. Inferential Theory for Factor Models of Large Dimensions.
Journal of the Econometric Society. Vol 71, No.1, hal. 135-171. Bai, J. dan Ng, Sherena. 2003. Determining the number of factor in approximate
factor model. Econometrica. Vol 70, hal. 191-221. Bai, J. dan Ng, Sherena. 2008. Large Dimensional Factor Analysis. Foundation
and trends in econometrics, 3, 89-168 Doz C., Giannone D., dan Reichlin L. 2011. A two-step estimator for large
approximate dynamic factor models based on Kalman Filtering. Journal of Econometrics.
Doz C., Giannone D., dan Reichlin L. 2012. A quasi maximum likelihood
approach for large approximate dynamic factor models. Review of Economic and Statistics, 94,4, 1014-1042
Geisser, S. 1965. Bayesian estimation in multivariate analysis. Annals of
Mathematical Statistics. 36, 150-159. Gentle, James E. 2007. Matrix Algebra: Theory, Computation, and Applications
in Statistics. United States of America: Springer Science+ Business Media. Geweke, J. 1977. The Dynamic Factor Analysis of Econometric Time Series,
dalam Aigner, D.J. dan Goldberger, A.S. 1977. Latent Variables in Socio-Economic Models. Ansterdam: North-Holland.
Gujarati, D., Porter, Dawn. 2009. Basic Econometric. 5th edition. New York:
MCGraw-Hill Johnson, Richard A., dan Wichern, Dean W. 2007. Applied Multivariate
Statistical Analysis. 6th (ed). United States of America: Pearson Pretince Hall.
Litterman, R. B. Forcasting with Bayesian Vector Autoregression (mimio, Massachussets Institute of Technology, 1980)
Lütkepohl, Helmut. 2005. New Introduction to Multiple Time Series Analysis.
Germany: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
Montgomery, Douglas C., Jennings, Cherly L., dan Kulahci, Murat. 2008. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting. United State of America: John Wiley and Sons, Inc.
Sevinc, V., dan Ergun, Gul. 2009. Usage of Different Prior Distribution in
Bayesian Vector Autoregressive Model. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics. Volume 38(1). 85-93
Sim, Christopher. 1980. Macroeconomic and Reality. Econometrica. Vol. 48. 1-
48. Stock, James H., dan Watson, Mark W. 2002. Forcasting Using Principal
Components from a Large Number Preductors. Journal of the American Statistical Association. Vol. 97 No 460
Stock, James H, dan Watson, Mark W. 2016. Factor Models and Structural
Vector Autoregressions in Macroeconomics. Oxford: Oxford University Press.
Tsay, Ruey S. 2014. Multivariate Time Series Analysis: With R and Financial
Applications. United States of America: John Wiley & Sons.
Villani, Mattias. 2009. Steady-State Priors for Vector Autoregression. Journal of
Apllied Econometrics. Vol. 24. 630-650