Pada arena balap mobil, sebuahmobil balap mampu melaju dengankecepatan (3x + 10) km/jam selama0,5jam.Berapakahkecepatannyajika jarak yang ditempuh mobil ter-sebut 200 km?3 OPERASI HITUNGBENTUK ALJABARTujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: dapat menjelaskan pengertian variabel, konstanta, faktor, suku, dan suku sejenis; dapat melakukan operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat padabentuk aljabar; dapatmenerapkanoperasihitungpadabentukaljabaruntukmenyelesaikansoal;Sumber:EnsiklopediUmumuntukPelajaran, 2005Kata-Kata Kunci: variabel dan konstanta operasi hitung bentuk aljabar faktor dan suku pecahan bentuk aljabar80Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, kalian harusmenguasai konsep mengenai faktor sekutu, kelipatan persekutuanterkecil (KPK), dan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari duabilangan atau lebih. Konsep mengenai bentuk aljabar dan operasihitungnya selanjutnya akan sangat bermanfaat dalam mempelajaribab berikutnya. Perhatikan uraian berikut.A. BENTUKALJABARDANUNSUR-UNSURNYAPerhatikan ilustrasi berikut.Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyakbonekaDesydinyatakandenganxmakabanyakbonekaRikadinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah makaboneka Rika sebanyak 9 buah.Bentuk seperti (x + 5) disebut bentukaljabar.Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalampenyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yangbelum diketahui.Bentukaljabardapatdimanfaatkanuntukmenyelesaikanmasalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahuiseperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuahbis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu,atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari,dapat dicari dengan menggunakan aljabar.Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, 3p, 4y + 5, 2x2 3x +7, (x + 1)(x 5), dan 5x(x 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan ypada bentuk aljabar tersebut disebut variabel.Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsuraljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan sukutak sejenis.Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentukaljabar, pelajarilah uraian berikut.1. Variabel,Konstanta,danFaktorPerhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x 6y + 9.Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel.Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belumdiketahui nilainya dengan jelas.Variabeldisebutjugapeubah.Variabelbiasanyadilam-bangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.Kataaljabar(aljabr)diambildarijudulbukuHisab al Jabr Wal Mu-qabalah (PerhitungandenganRestorasidanReduksi),karyaseorangahlimate-matika Arab, Muham-madAl-Khwarizmi(780850 M).Aljabarmenjadisalahsatucabangilmumatematikayangsangatbermanfaatdalamilmuekonomidanilmusosiallainnya.Nantipadababselanjutnya,kalianakanmempelajaripenerapanaljabardalamkegiatanekonomi.Al-KhwarizmiSumber: EnsiklopediMa-tematikadanPeradabanMa-nusia,200381Operasi Hitung Bentuk AljabarAdapunbilangan9padabentukaljabardiatasdisebutkonstanta.Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupabilangan dan tidak memuat variabel.Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p q dengana, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.Padabentukaljabardiatas,5xdapatdiuraikansebagai5x = 5x atau 5x = 15x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1,5, x, dan 5x.Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta darisuatu suku pada bentuk aljabar.Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar5x + 3y + 8x 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku 6y adalah 6.2. SukuSejenisdanSukuTakSejenisa) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta padabentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang sama.Contoh:5x dan 2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.Contoh: 2x dan 3x2, y dan x3, 5x dan 2y, ...b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan olehoperasi jumlah atau selisih.Contoh:3x, 2a2, 4xy, ...c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satuoperasi jumlah atau selisih.Contoh:2x + 3, a2 4, 3x2 4x, ...d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh duaoperasi jumlah atau selisih.Contoh:2x2 x + 1, 3x + y xy, ...Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebutsukubanyak.Catatan:Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabarsuku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyakdisebut polinom.DikelasIXnanti,kalianakanmempelajaripemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua.(Menumbuhkan krea-tivitas)Buatlahsebarangbentukaljabar.Mintalahtemanmuuntukmenunjukkanunsur-unsuraljabardaribentukaljabartersebut.Lakukanhalinibergantiandengantemansebangkumu.82Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Tentukan koefisien dari x2dan faktor dari masing-ma-sing bentuk aljabar berikut.a. 7x2b. 3x2 + 5c. 2x2 + 4x 3Penyelesaian:a. 7x2 = 7x xKoefisien dari x2 adalah 7.Faktor dari 7x2 adalah 1, 7, x, x2, 7x, dan 7x2.b. 3x2 + 5 = 3x x + 51Koefisien dari x2 adalah 3.Faktor dari 3x2 adalah 1, 3, x, x2, 3x, dan 3x2.Faktor dari 5 adalah 1 dan 5.c. 2x2 + 4x 3 = 2x x + 4x 31Koefisien dari 2x2 adalah 2.Faktor dari 2x2 adalah 1, 2, x, x2, dan 2x.Koefisien dari 4x adalah 4.Faktor dari 4x adalah 1, 4, x, dan 4x.Faktor dari 3 adalah 3, 1, 1, dan 3.Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Tulislahsetiapkalimatberikutdenganmenggunakan variabel x dan y.a. Suatu bilangan jika dikalikan 2, ke-mudian dikurangi 3 menghasilkan bi-langan 5.b. Empatlebihnyadarikelilingsuatupersegi adalah 16 cm2.c. Selisih umur Bella dan Awang adalah5tahun,sedangkanjumlahumurmereka 15 tahun.d. Kuadrat suatu bilangan jika ditambah1 menghasilkan bilangan 50.2. Tentukan koefisien x dari bentuk aljabarberikut.a. 3 2xb. x2 2xy + x2 + 3c. 4x2 5x + 6d.23 1 54 2 4- - x xe. x3 + 4x2 + x 33. Tentukan konstanta dari bentuk aljabarberikut.a. 5x 3b. 2y2 + y 5c. (3x + 5)2d. 3xy + 2x y + 1e. 4 3x + 5x283Operasi Hitung Bentuk Aljabar4. Tentukansuku-sukuyangsejenisdantidak sejenis pada bentuk aljabar berikut.a. 3m 2n + 9m + 15n 6b. 9a2 3ab + 4a + 6ab 18ac. 5x2 + 6xy 8y2 2xy + 9y2d. 8p2q2p2q+12pq+5pq+3p2qe. 5y2 3y + 4y2 + x2 y2 + y 15. Termasuk suku berapakah bentuk alja-bar berikut?a. 2x d. a22ab+b2b. 4x2 3 e.2342- - x xc. y2x2B. OPERASIHITUNGPADABENTUKALJABAR1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AljabarPada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan penguranganhanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkanatau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.Tentukanhasilpenjumlahandanpenguranganbentukaljabarberikut.a. 4ax+7axb. (2x2 3x + 2) + (4x2 5x + 1)c. (3a2 + 5) (4a2 3a + 2)Ingat bahwa untuksebarangbilanganbulat a dan b, berlaku1) a b = ab2) a (b) = ab3) (a) b = ab4) (a) (b) = abPenyelesaian:a. 4ax+7ax = (4 + 7)ax= 3axb. (2x2 3x + 2) + (4x2 5x + 1)= 2x2 3x + 2 + 4x2 5x + 1= 2x2 + 4x2 3x 5x + 2 + 1= (2 + 4)x2 + (3 5)x + (2 + 1)= 6x2 8x + 3c. (3a2 + 5) (4a2 3a + 2) = 3a2 + 5 4a2 + 3a 2= 3a2 4a2 + 3a + 5 2= (3 4)a2 + 3a + (5 2)= a2 + 3a + 3(kelompokkan suku-suku sejenis)84Matematika Konsep dan Aplikasinya 12. PerkalianPerlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilanganbulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitua (b+c)=(a b)+(a c)dansifatdistributifperkalianterhadappengurangan,yaitua (bc)=(a b)(a c),untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku padaperkalian bentuk aljabar.a. PerkalianantarakonstantadenganbentukaljabarPerkaliansuatubilangankonstantakdenganbentukaljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.k(ax)=kaxk(ax+b)=kax+kbPanjangsisimiringse-gitigasiku-sikuadalah(2x + 1) cm, sedangkanpanjangsisisiku-siku-nya (3x 2) cm dan(4x 5) cm. Tentukanluassegitigatersebut.Jabarkanbentukaljabarberikut, kemudian sederha-nakanlah.a. 4(p + q)b. 5(ax + by)c. 3(x 2) + 6(7x + 1)d. 8(2x y + 3z)Penyelesaian:a.4(p + q) = 4p + 4qb.5(ax + by) = 5ax + 5byc.3(x 2) + 6(7x + 1) = 3x 6 + 42x + 6= (3 + 42)x 6 + 6= 45xd. 8(2x y + 3z) = 16x + 8y 24zb. PerkalianantaraduabentukaljabarSebagaimanaperkaliansuatukonstantadenganbentukaljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kitadapatmemanfaatkansifatdistributifperkalianterhadappenjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antaradua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut.Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengansuku dua berikut.(ax + b) (cx + d) = ax cx + ax d + b cx + b d= acx2+(ad+bc)x+bd(Berpikir kritis)Diskusikandengantemanmu.Denganmemanfaat-kansifatdistributifperkalianterhadappenjumlahandansifatdistributifperkalianterhadappengurang-an,buktikanperkalianbentukaljabarberikut.(ax + b) (ax b) =a2x2 b2(ax + b)2 =a2x2 + 2abx + b2(ax b)2 =a2x2 2abx + b285Operasi Hitung Bentuk AljabarSelain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikanbentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifatdistributif seperti uraian berikut.( )( ) ( ) ( )( )22- - - - - - - - - - - - -ax+b cx d axcx d bcx dax cx ax d b cx b dacx adx bcx bdacx ad bc x bdAdapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan sukutiga berlaku sebagai berikut.(ax + b) (cx2 + dx + e)= ax cx2 + ax dx + ax e + b cx2 + b dx + b e= acx3+adx2+aex+ bcx2+bdx+be= acx3+(ad+bc)x2+(ae+bd)x+beTentukanhasilperkalianbentuk aljabar berikut da-lambentukjumlahatauselisih.1. (2x + 3) (3x 2)2. (4a + b) (4a + 2b)3.(2x 1) (x2 2x + 4)4.(x + 2) (x 2)Penyelesaian:1. Cara (1) dengan sifat distributif.(2x + 3) (3x 2) = 2x(3x 2) + 3(3x 2)= 6x2 4x + 9x 6= 6x2 + 5x 6Cara (2) dengan skema.(2x + 3) (3x 2)= 2x 3x + 2x (2) + 33x + 3(2)= 6x2 4x + 9x 6= 6x2 + 5x 62. Cara (1) dengan sifat distributif.(4a + b) (4a + 2b) = 4a(4a + 2b) + b(4a + 2b)= 16a2 8ab + 4ab + 2b2= 16a2 4ab + 2b2(Berpikir kritis)Cobajabarkanperkalianbentukaljabar(ax + b)(cx2+ dx + e)denganmenggunakansifatdistributif.Bandingkanhasilnyadenganuraiandisamping.86Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Cara (2) dengan skema.(4a + b) (4a + 2b)= (4a) 4a + (4a) 2b + b 4a + b 2b= 16a2 8ab + 4ab + 2b2= 16a2 4ab + 2b23. Cara (1) dengan sifat distributif.(2x 1) (x2 2x + 4)= 2x(x2 2x + 4) 1(x2 2x + 4)= 2x3 4x2 + 8x x2 + 2x 4= 2x3 4x2 x2 + 8x + 2x 4= 2x3 5x2 + 10x 4Cara (2) dengan skema.(2x 1) (x2 2x + 4)= 2x x2 + 2x (2x) + 2x 4 + (1)x2 + ( 1)(2x) + (1) . 4= 2x3 4x2 + 8x x2 + 2x 4= 2x3 4x2 x2 + 8x + 2x 4= 2x3 5x2 + 10x 44. Cara (1) dengan sifat distributif.(x + 2) (x 2) = x(x 2) + 2(x 2)= x2 2x + 2x 4= x2 4Cara (2) dengan skema.(x + 2) (x 2) = x x + x (2) + 2x + 2 (2)= x2 2x + 2x 4= x2 4Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahanseperti tersebut di atas disebut menjabarkan atau menguraikan.87Operasi Hitung Bentuk AljabarKerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.c. ( )12 62- xd. 2(x + 3)e. 3(2a + 5)f. p(p23)4. Nyatakan bentuk aljabar berikut sebagaiperkaliankonstantadenganbentukaljabar.a. 5x 15yb. 2p + q 3rc. 3x2 + 9xy 18xy2d. 4p + 8r25. Tentukan hasil penjabaran bentuk aljabarberikut ini.a. (x + 2) (x 3)b. (2x 3) (x + 4)c. (4k+1)2d. (3m + 2n) (3m 2n)e. (3 a) (5 + a)f. (2 + a) (a2 2a + 1)1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabarberikut.a. 8p 3 + (3p) + 8b. 9m + 4mn + (12m) 7mnc. 2a2 + 3ab 7 5a2 + 2ab 4d. 4x2 3xy + 7y 5x2 + 2xy 4ye. 4p2 + 3pq 2 6p2 + 8pq 3f. 12kl 20mn 5kl 3mn2. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabarberikut.a. 4m 5 6m + 8b. 9p24pqq24p2+5pq3q2c. 2(8a 3b) 4a + 9bd. 12x3 9x2 8 15x3 + 7x2 + 5e. 3(4k2l+3kl2)+2(9k2l4kl2)f. 5(3m35m2+m)2(m3+4m29m)3. Nyatakan hasil perkalian bentuk aljabarberikut sebagai jumlah atau selisih.a. 3(a 2b + 5)b. xy(x24)3. PerpangkatanCoba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilanganbulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulangdengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a,berlakufaktor...

nna a a a aHal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar.Amatilah contoh soal nomor 4 di atas. Apakah kalian sepakatbahwa secara umum bentuk perkalian (x + a)(x a)= x2a2?Diskusikan hal ini dengan temanmu.Jumlahduabuahbilanganadalah35.Jikabilangankeduaadalahlimalebihnyadaribilanganpertama,tentukanhasilkalikeduabilanganitu.88Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Tentukanhasilperpang-katan bentuk aljabar beri-kut.1. (2p)22. (3x2yz3)33. (3p2q)2Penyelesaian:1. (2p)2= (2p) (2p)= 4p22. (3x2yz3)3=27x6y3z93. (3p2q)2=9p4q2Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiapsuku ditentukan menurut segitiga Pascal.Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaranbentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.Perhatikan uraian berikut.(a+b)1= a + b koefisiennya 1 1(a+b)2= (a + b) (a + b)= a2 + ab + ab+ b2= a2 + 2ab+ b2 koefisiennya 1 2 1(a+b)3= (a + b) (a + b)2= (a + b) (a2 + 2ab + b2)= a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 koefisiennya 133 1danseterusnyaAdapun pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)ndimulaidari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 padasuku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai denganb1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bnpada suku ke-(n + 1).Perhatikanpolakoefisienyangterbentukdaripenjabaranbentuk aljabar (a + b)ndi atas. Pola koefisien tersebut ditentukanmenurut segitiga Pascal berikut.111121133114641151010511615201561(+) a b0(+) a b1(+) a b2(+) a b3(+) a b4(+) a b5(+) a b6(Berpikir kritis)Padabentukaljabarberikut,tentukankoefisiendaria. x2 pada (2x 5)2;b. x5 pada (x 3)5;c. x3y pada (3x + 2y)4;d. x2y2 pada (x + 2y)4;e. a3 pada (4 2a)4.(Menumbuhkan ino-vasi)Jabarkanbentukaljabarsukudua(a + b)n dengan7 s n s10. Tentukanpolakoefisienyangterbentuk.Kemudian,tuliskanpolakoefisientersebutdalamsegitigaPascal.Diskusikanhalinidengantemanmu.Ceritakanhasilnyasecarasingkatdidepankelas.89Operasi Hitung Bentuk AljabarPadasegitigaPascaltersebut,bilanganyangberadadibawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatanyang berada di atasnya.Jabarkanbentukaljabarberikut.a. (3x + 5)2b. (2x 3y)2c. (x + 3y)3d. (a 4)4Penyelesaian:a. (3x + 5)2= 1(3x)2 + 23x 5 + 152= 9x2 + 30x + 25b. (2x3y)2= 1(2x)2 + 2(2x) (3y) + 1(3y)2= 4x2 12xy + 9y2c. (x + 3y)3= 1x3 + 3x2(3y)1 + 3x (3y)2 + 1(3y)3=x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3d. (a4)4= 1a4 + 4a3(4)1 + 6a2(4)2 + 4a (4)3 + 1(4)4=a4 16a3 + 6a216 + 4a (64) + 1256=a4 16a3 + 96a2 256a + 2564. PembagianHasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh denganmenentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentukaljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilangdan penyebutnya.Sederhanakanlahpemba-gian bentuk aljabar berikut.1. 3xy : 2y2. 6a3b2:3a2b3. x3y : (x2y2 :xy)4. (24p2q + 18pq2) : 3pqPenyelesaian:1.3x y2 y3(faktor sekutu)2 x y 2.3 23 2 22266 : 333a ba b a ba ba b223aba b2(faktor sekutu 3 )2a bab 90Matematika Konsep dan Aplikasinya 13.2 23 2 2 33: ( : ) ::xyxy xy xy xyxyxyxy ( ,xyxy3 23 2:xy xy xxy xy xxy xy ( ( , 4.2 22 224 18(24 18 ) : 336 (4 3 )32(4 3 )-- - -pq pqpq pq pqpqpq p qpqp qKerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.3. Tentukankoefisien(a+b)npadasukuyang diberikan.a. Suku ke-2 pada (2a 3)4.b. Suku ke-3 pada (x + 2y)3.c. Suku ke-4 pada (a 3b)4.d. Suku ke-5 pada (2x + 3)5.4. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.a. 16p2 : 4pb. 6a6b2:a3bc. 3x2y5:x2y2:xy2d. 15p4q5r3:(6p2qr3:2pqr)e. (2a2bc2+8a3b2c3):2abcf. (p3qr2+p2q2r3p5q3r2):p2qr21. Tentukanhasilperpangkatanbentukaljabar berikut.a. (2a)2e. 3(x2y)3b. (3xy)3f. (2pq)4c. (2ab)4g.21(2 )2xyd. (4a2b2)2h. a(ab2)32. Jabarkanperpangkatanbentukaljabarberikut.a. (x + 2)2e. (4x2y)3b. 3(2x 1)3f. 5(3a + 2)4c. 2(3p + q)4g. (y + 1)5d. 3(xy)3h. (2x3y)35. Substitusi pada Bentuk AljabarNilaisuatubentukaljabardapatditentukandengancaramenyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentukaljabar tersebut.91Operasi Hitung Bentuk Aljabar1. Jikam=3,tentukannilai dari 5 2m.Penyelesaian:Substitusi nilai m = 3 pada 5 2m, maka diperoleh 5 2m = 5 2(3)= 5 6= 12. Jika x = 4 dan y = 3,tentukan nilai dari2x2xy+3y2.Penyelesaian:Substitusi x = 4 dan y = 3, sehingga diperoleh2x2 xy + 3y2= 2(4)2 (4) (3) + 3(3)2= 2(16) (12) + 3(9)= 32 + 12 + 27= 716. MenentukanKPKdanFPBBentukAljabarCoba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPBdari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentukaljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapatdilakukandenganmenyatakanbentuk-bentukaljabartersebutmenjadi perkalian faktor-faktor primanya.Perhatikan contoh berikut.TentukanKPKdanFPBdari bentuk aljabar berikut.a. 12pqdan8pq2b. 45x5y2dan50x4y3Penyelesaian:a. 12pq = 22 3 pq8pq2= 23pq2KPK = 23 3 pq2=24pq2FPB = 22pq= 4pqb. 45x5y2= 32 5 x5y250x4y3= 2 52x4y3KPK = 2 32 52x5y3=450x5y3FPB = 5 x4y2=5x4y292Matematika Konsep dan Aplikasinya 1Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Jika a = 6 dan b = 1, tentukan nilai daribentuk aljabar berikut.a. a2+2ab+b2b. a2bab2+a2b2c.2a+2a2b2+3ab2+b3d. a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4e. 3a2 2b+abf. 2a3 3a2 +ab 52. Hitunglah nilai p2 2qr + 3p jikaa. p = 1, q = 2, dan r = 3;b. p = 2, q = 3, dan r = 1;c. p = 1, q = 5, dan r = 2;d. p = 3, q = 2, dan r = 5.3. TentukanKPKdaribentukaljabarberikut.a. 15ab dan 20abb. 10a2b3cdan15b2c2dc. 24p2q,36p3q2,dan60pqrd. 16pq2r,30qr2s2,dan36p3r2s54. TentukanFPBdaribentukaljabarberikut.a. 2x dan 3x2b. 4x2ydan12xy2c. 48a3b5dan52a2b3c2d. 12pq, 6q2r, dan 15p2qrC. PECAHANBENTUKALJABARDi bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentukaljabarbesertaoperasihitungnya.Padabagianinikalianakanmempelajari tentang pecahan bentuk aljabar, yaitu pecahan yangpembilang,ataupenyebut,ataukedua-duanyamemuatbentukaljabar. Misalnya 24 3 3 dan 2 7--a a m xp bc n x y, , , , .1. MenyederhanakanPecahanBentukAljabarSuatupecahanbentukaljabardikatakanpalingsederhanaapabilapembilangdanpenyebutnyatidakmempunyaifaktorpersekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol.Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukandengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebutdengan FPB dari keduanya.(Menumbuhkan inovasi)Berdasarkancontohdiatas,buatlahkesimpulanmengenaicaramenentukanKPKdanFPBdaribentukaljabar.Diskusikanhalinidengantemanmu.93Operasi Hitung Bentuk AljabarSederhanakanpecahanbentuk aljabar berikut, jikax, y 0.a.236xx yb.2 3242xyzxyPenyelesaian:a. FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, sehingga2 23 3 : 36 6 : 312x x xxy xy xxyJadi, bentuk sederhana dari 236xxy adalah 1.2xyb. FPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy, sehingga2 3 2 32 234 4 : 22 2 : 22xyz xyz xyxy xy xyxzy2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut SukuTunggala. PenjumlahandanpenguranganPada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasiloperasipenjumlahandanpenguranganpadapecahandiperolehdengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkanatau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingatbahwauntukmenyamakanpenyebutkeduapecahan,tentukanKPK dari penyebut-penyebutnya.Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasipenjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar.Perhatikan contoh berikut.Sederhanakan penjumlah-anataupenguranganpe-cahan aljabar berikut.1.1 52 3 p q-Penyelesaian:1.1 52 31 3 5 22 3 3 23 106 63 106- - --p qq pp q q pq ppq pqq ppq94Matematika Konsep dan Aplikasinya 1b. PerkaliandanpembagianIngat kembali bentuk perkalian bilangan pecahan yang dapatdinyatakan sebagai berikut.;untuk, 0a c acb db d bd Hal ini juga berlaku untuk perkalian pada pecahan aljabar.2.1 23 1-- - k k3.2 1 - --m nm n2.2 2221 2 1( 1) 2( 3)3 1 ( 3)( 1) ( 3)( 1)1 2 62 3 2 31 2 62 372 3- -- -- - - - - -- - -- - - -- - -- -- -- -k kk k k k k kk kk k k kk kk kkk k3.( ) ( )( )2 12 12222nm mnm nm n m n n mmn mmn nmn mnmn n mn mmnmn mn n mmnn mmn- -- -- - -- -- - -- - --Tentukanhasilperkalianpecahanbentukaljabarberikut.1.43 2 aba2.1 1 - -x yy x3.21 25 3-x xPenyelesaian:1.4 4 23 2 3 2 3ab ab ba a 2.( )( )1 11 111- -- - - - -- - -x yx yy x y xxy y xxyxy x yxy95Operasi Hitung Bentuk Aljabar3.2 2321 2 ( 1)25 3 5 32 2152( 1)15- - - -x x x xx xxxKalian pasti masih ingat bahwa pembagian merupakan invers(operasi kebalikan) dari operasi perkalian. Oleh karena itu, dapatdikatakanbahwamembagidengansuatupecahansamaartinyadengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan tersebut.untuk 0, 01untuk 0, 0untuk 0, 0b c aca a b cc b ba a ac b cb b c bca c a d adb cb d b c bc :::Hal ini juga berlaku untuk pembagian pada pecahan bentuk aljabar.Sederhanakan pembagianpecahan aljabar berikut.1.4 23 9p qq p:2.234a cb b:3.2ab bc ac:Penyelesaian:1.22224 2 4 93 9 3 23666 p q p pq p q qpqpq:2.2223 3 441212 a c a bb b c babbcabc:3.222221 1 ab b ab acc ac c babcbcab:96Matematika Konsep dan Aplikasinya 1c. PerpangkatanpecahanbentukaljabarOperasi perpangkatan merupakan perkalian berulang denganbilanganyangsama.Halinijugaberlakupadaperpangkatanpecahan bentuk aljabar.1222333a ab ba a a ab b b ba a a a ab b b b b ( , ( , ( ,sebanyak kali... ( ,

nnnna a a a a ab b b b b bSederhanakanperpang-katanpecahanaljabarberikut.1.332 ( ,x2.2245 - ( ,y3.22 1 - ( ,ab4.25 32- ( ,pPenyelesaian:1.333 3 3 3 272 2 2 2 8x x x x x (((( , , , ,2.22 2 2 44 4 4 165 5 5 25 - - - ((( , , ,y y y y3.( )( )222 22 22 1 2 1 2 12 1 2 14 2 2 1 4 4 1a a ab b ba aba a a a ab b- - - ( ,- -- - - - - 4.( )( )2225 3 5 3 5 32 2 25 3 5 3425 15 15 9425 30 94p p pp pp p pp p- - - ( ,- -- - -- -(Berpikir kritis)Tunjukkanberlakunyasifatperpangkatanpecahanbentukaljabardisamping.Gunakan contoh yangmendukung.97Operasi Hitung Bentuk AljabarKerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.3. Tentukanhasilkalipecahanaljabarberikut.a.32 qpb.32 5m mn nc.229 64 3mn knk md.2 1 3 -x xy ze.( ) ( )3 1 12- -x xx yf.22 23- --p q p qp q4. Tentukan hasil bagi bentuk pecahan alja-bar berikut.a.4 12x y: d.2 2216 85 3a b abc c:b.4 93 2a bb c: e.24 39 8klm kml:c.286 15mn mnl l: f.2 2 22203 8xy xyz z:5. Selesaikan operasi perpangkatan pecah-an aljabar berikut.a.223 ( ,xe.24 1 - ( ,xy yb.3234 - ( ,xf.222 13 - ( ,abc.24 2 - ( ,xyg.332- ( ,a bd.3253 ( ,yh.223 - - ( ,p qpq1. Sederhanakan pecahan-pecahan bentukaljabar berikut.a.22, , 04pqp qpqb.2 33, , , 06x yzxyzxyzc.23 15, , , 0- -x y yzxyzxyzd.26 4 8, , 02- -xy xy xzxzxz2. Sederhanakan penjumlahan dan pengu-rangan pecahan aljabar berikut.a.32- qpb.23 --x x xy xyc.312 3--p pd.24 2 --a a ab abe.- --x y x yx yf.7 310 10-b bg.12 9-x xy yh.22 4 29--x xyy yi.2 3 46 9- --p qq pj.4 3 5 123 12- --m mmn n98Matematika Konsep dan Aplikasinya 1D. PENGGUNAANALJABARUNTUKMENYE-LESAIKANMASALAHDiketahui usia ayah empatkaliusiaanaknya.Limatahun kemudian, usia ayahtigakaliusiaanaknya.Tentukanmasing-masingumur ayah dan anaknya.Penyelesaian:Misalkan: umur ayah = x;umur anak = y,sehingga diperoleh persamaanx=4y .....................................(i)x + 5 = 3(y + 5)...................... (ii)Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), diperoleh x + 5 = 3(y + 5)=4y + 5 = 3(y + 5)=4y + 5 = 3y + 15=4y 3y = 15 5=y = 10Untuk y = 10, maka x = 4y= x = 410= x = 40Jadi,umurayah40tahun,sedangkanumuranaknya10tahun.Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.2. Tigatahunyanglalujumlahumurseorangibubesertaanakkembarnyadiketahui35tahun.Jikapadasaatituumur ibunya 29 tahun, berapa tahunkahumur anak kembarnya sekarang?1. Panjangsuatupersegi panjang diketahui(3x + 2) cm dan lebarnya (2x 3) cm.a. Tentukankelilingpersegipanjangdinyatakan dalam x.b. Jikakelilingnya36cm,tentukanukuran persegi panjang tersebut.99Operasi Hitung Bentuk Aljabar1. Variabel, konstanta, faktor, serta suku sejenis dan tak sejenis. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yangbelum diketahui nilainya dengan jelas. Konstantaadalahsukudarisuatubentukaljabaryangberupa bilangan dan tidak memuat variabel. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang sama. Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.3. PakKetutmelakukansuatuperjalananke luar kota. Mula-mula ia mengendaraisepeda motor selama 2 jam dengan ke-cepatanrata-rata(5x2)km/jam.Kemudian Pak Ketut melanjutkan perja-lanandengannaikbusselama3jamdengankecepatanrata-rata(4x+15)km/jam. Tentukana. jarak yang ditempuh dalam x;b. nilaix,jikajarakyangditempuh239 km.4. Seekor kambing setiap hari menghabis-kan (x + 2) kg ransum makanan, sedang-kan seekor sapi setiap hari menghabis-kan (2x 1) kg ransum makanan.a. Nyatakanjumlahransummakananuntukseekorkambingdanseekorsapi selama 1 minggu.b. Tentukan nilai x jika jumlah ransummakanan yang habis dalam 1 mingguadalah 70 kg.5. Suatu model kerangka balok terbuat darikawat dengan ukuran panjang(2x + 1) cm, lebar (x + 5) cm, dan tinggix cm. Tentukana. persamaan panjang kawat dalam x;b. nilai x, jika panjang kawat seluruhnya= 104 cm.(Menumbuhkan inovasi)Amatilahlingkungandisekitarmu.Buatlahcontohmasalahsehari-hariyangberkaitandenganpenggunaanoperasihitungbentukaljabar.Selesaikanlahdanhasilnyaceritakansecarasingkatdidepankelas.100Matematika Konsep dan Aplikasinya 12. Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan penguranganhanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.3. Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabarsuku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.k(ax)=kaxk(ax+b)=kax+kb4. Perkalian antara dua bentuk aljabar dinyatakan sebagai berikut. (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd (ax + b) (cx2 + dx + e) = acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be (x + a) (x a) = x2 a25. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien suku-sukunya ditentukan dengan segitiga Pascal. (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3danseterusnya6. Nilaisuatubentukaljabardapatditentukandengancaramenyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabelbentuk aljabar tersebut.7. Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana jikapembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor perseku-tuan kecuali 1 dan penyebutnya tidak sama dengan nol.8. Hasiloperasipenjumlahandanpenguranganpadapecahanaljabardiperolehdengancaramenyamakanpenyebutnya,kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya.SetelahmempelajarimengenaiOperasiHitungBentukAljabar,materimanakahyangtelahkalianpahami?Buatlahrangkuman dari materi yang telah kalian pahami. Catatlah materiyang belum kalian pahami. Lalu, tanyakan pada temanmu yanglebihtahuataukepadagurumu.Berilahcontohmasalahdalamkehidupansehari-haribesertapenyelesaiannyayangberkaitandenganoperasihitungbentukaljabar.Susunlahdalamsebuahlaporan dan kumpulkan kepada gurumu.101Operasi Hitung Bentuk Aljabar1. Koefisien dari x pada bentuk aljabar2x2 24x + 7adalah ....a. 2 c. 24b. 7 d. 242. Bentukaljabarberikutyangterdiriatas tiga suku adalah ....a. abc+pqr c. abpqb. ab+ acbc d.3ab3cd3. Bentuk paling sederhana dari2(3x +2y) 4(x 5y) adalah ....a. 10x 10y c. 2x yb. 2x + 24y d. 2x 3y4. Bentuk sederhana dari8x 4 6x + 7 adalah ....a. 2x + 3 c. 2x 3b. 2x + 3 d. 2x 35. Jika p = 2, q = 3, dan r = 5, nilai dari2p2r pqadalah....a. 74 c. 86b. 46 d. 346. Hasil penjabaran dari (2x 3)2 adalah....a. 4x2 + 6x + 9b. 4x2 12x + 9c. 2x2 + 12x + 3d. 2x2 + 6x + 37. KPKdanFPBdariab2c2danb3c2dadalah....a. b2c2dana2b2c2b. ab3c2ddanb2c2c. ab3c3ddanb3c3d. b3c3danab3c2d28. Hasil dari 7 2 43 5- --x x adalah ....a.11 315- xc.11 2315- xb.11 1115- xd.11 4715- x9. Nilai dari 9 23 5-x x adalah ....a.715xc.3915xb.1915xd.1115x10. Panjang sisi-sisi suatu segitiga diketa-hui berturut-turut p cm, 2p cm, dan(p + 4) cm. Keliling segitiga tersebutadalah....a. (4p + 4) cm c. (2p + 6) cmb. (3p + 4) cm d. (2p + 2) cmKerjakandibukutugasmu.A. Pilihlahsalahsatujawabanyangtepat.B. Jawablahpertanyaan-pertanyaanberikutdengansingkatdantepat.1. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.a. 4x + 5y 10x + yb. (5x + 7) 3(2x 5)c. 8x 2(4x + 7)d. 3(2x 5) + 2(x + 4)e. 2x2 3x + 5 3x2 + x 92. Tentukan hasilnya.a. (2x 1) (3x + 4)b. (3p + 1)2c. (5x 3)3d. 2x(x + 3) (3x 1)102Matematika Konsep dan Aplikasinya 13. Tentukan KPK dan FPB dari bentukaljabar berikut.a. 5p2q3 dan 18pq2r3b. 20pqdan35p2qc. 25p2qr2, 30pqr2, dan 36p3q2rd. 12pq3r, 24pqr, dan 20p2q2r4. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.a.2 1 3 23 5x x - --b.1 12 3x xx x- --c.32226xy xy (( , ,d.: ;, 06 12p q pqp q-5. Sebuahyayasansosialmemberikanbantuan kepada korban banjir berupa35 dus mi dan 50 dus air mineral. Satudus mi berisi 40 bungkus dengan hargaRp900,00/bungkus. Adapun satu dusair mineral berisi 48 buah dengan hargaRp500,00/buah.Tentukanhargake-seluruhan mi dan air mineral tersebut.