Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalHak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangHak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional dari Penerbit CV. Usaha MakmurMATEMATIKAKONSEP DAN APLIKASINYAUntuk SMP/MTs Kelas VIIIPenulis : Dewi NuhariniTri WahyuniEditor : IndratnoPerancang Kulit : Risa ArdiyantoIlustrasi, Tata Letak : Risa ArdiyantoUkuran Buku : 17,6 x 25 cm410NUH NUHARINI,Dewim Matematika Konsep dan Aplikasinya:untuk SMP/MTs Kelas VIII/oleh DewiNuharini dan Tri Wahyuni; editor Indratno. Jakarta: PusatPerbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008.viii, 252 hlm.: ilus.; 25 cm.Bibliograf : hlm. 244Indeks. hlm.ISBN979-462-999-51. Matematika-Studi dan PengajaranI. JudulII. Wahyuni, TriIII. IndratnoDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2008Diperbanyak oleh ...KATASAMBUTANiiiKata SambutanPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia Nya,Pemerintah,dalamhalini,DepartemenPendidikanNasional,pada tahun2008,telahmembelihakciptabukutekspelajaraninidari penulis /penerbit untukdisebarlu askankepadamasyarakatmelaluisitus internet (website)Jaringan Pendidikan Nasional.BukutekspelajaraninitelahdinilaiolehBadanStandarNasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syaratkelayakanuntukdigunakandalamprosespembelajaranmelalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008. Kamimenyampaikanpenghargaanyangsetinggi-tingginyakepadapara penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada DepartemenPendidikanNasionaluntukdigunakansecaraluasolehpara siswadangurudi seluruh Indonesia.Buku-bukutekspelajaranyangtelahdialihkanhakciptanyakepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan,dicetak,dialihmediakan, ataudifotokopiolehmasyarakat.Namun,untuk penggandaanyangbersifatkomersialhargapenjualannyaharusmemenuhi ketentuanyangditetapkanolehPemerintah.Diharapkanbahwabukuteks pelajaraniniakanlebihmudahdiaksessehingga siswadan gurudiseluruhIndonesiamaupunsekolahIndonesiayangberadadiluarnegeridapat memanfaatkan sumber belajar ini.Kamiberharap,semuapihakdapatmendukungkebijakanini. Kepadapara siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik baiknya.Kamimenyadaribahwabukuinimasihperluditingkatkanmutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juli 2008 Kepala Pusat Perbukuan KATAPENGANTARBukuMatematikaKonsepdanAplikasinya2inimem-bantumubelajarmatematikadanaplikasinyadalamkehidupansehari-hari. Buku ini disusun dengan menggunakan bahasa yangmudah kamu pahami. Di dalam buku ini kamu akan menjumpaisoal-soal yang dapat melatih keterampilanmu. Dengan harapan,kamu akan lebih tertarik dan suka belajar matematika.Setiap awal bab di buku ini disajikan kover bab. Bagian iniberisi ilustrasi dan deskripsi singkat yang menarik berkaitan denganmateri bab yang bersangkutan. Selain itu, di awal bab juga disajikantujuanpembelajaranyangharuskamucapaidalamsetiapbab.Kata-kata kunci merupakan inti dari materi. Bacalah terlebih dahulukata-kata kuncinya sebelum kamu mempelajari isi materi.DidalambukuinidisajikanTugasMandiriyangakanmeningkatkan pemahaman kamu terhadap konsep yang telah kamupelajari.Diskusiakanmendorongmuuntuklebihbersemangatdalambekerjasama.SoalTantanganakanmemotivasikamudalam memahami konsep. Pelangi Matematika akan menambahpengetahuandanwawasankamumengenaitokohyangberjasabesar pada konsep yang sedang dipelajari. Tips akan membantumumemahami konsep yang sedang kamu pelajari. Di bagian akhirsetiapbabdilengkapidengansoal-soaluntukmengevaluasikompetensi yang telah kamu capai setelah mempelajari satu bab.Akhirnya, semoga buku ini bermanfaat dan jangan seganuntukbertanyajikakamumenemuikesulitan.Selamatbelajar,semogasukses.Surakarta,Mei2008PenulisivMatematika Konsep dan Aplikasinya 2Refleksi berisi umpan balik yang harus dilakukanoleh siswa setelah mempelajari materi satu bab.Bagian ini berisi soal-soal pilihan ganda dan soal-soal esai sebagai bahan evaluasi untuk mengukurtingkatpemahamansiswasetelahmempelajarimateri satu bab.SAJIAN ISI BUKUUjikompetensiberisikansoal-soallatihanber-variasi yang disajikan setiap subbab.Uji kompetensi dapat digunakan untuk mengujipemahaman siswa berkaitan dengan isi materi.Bagian ini berisi tugas yang bersifat individu.Tugasmandirimemuattugasobservasi,inves-tigasi, eksplorasi, atau inkuiri yang dapat memacusiswauntukberpikirkritis,kreatif,maupuninovatif.Tips berisi info atau keterangan yang dapat mem-bantusiswamemahamimateriyangsedangdipelajari.Pelangi matematika berisi tokoh-tokoh yang ber-jasa besar pada konsep yang sedang dipelajari.Bagian ini berisi tugas yang harus dikerjakan secaraberpasangan atau berkelompok. Diskusi memuattugasobservasi,investigasi,eksplorasi,atauinkuiri yang dapat memacu siswa untuk berpikirkritis, kreatif, dan inovatif.Soal tantangan berisikan suatu soal yang menantangsiswa untuk menguji kecerdasannya.Bagian ini dapat memotivasi siswa dalam mema-hami konsep materi secara total.Rangkuman berisi ringkasan materi dalam satu bab.Bagian ini disajikan di akhir setiap bab agar siswadapat mengingat kembali hal-hal penting yang telahdipelajari.vSajian Isi BukuviMatematika Konsep dan Aplikasinya 2KATASAMBUTAN ................................................................................................. iiiKATAPENGANTAR ............................................................................................... ivSAJIANISIBUKU.................................................................................................. vDAFTARISI ............................................................................................................. viPENDAHULUAN ..................................................................................................... 1BAB1: FAKTORISASISUKUALJABARA. Pengertian Koefisien, Variabel, Konstanta, dan Suku ..................... 4B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar ................................................ 6C. Pemfaktoran Bentuk Aljabar ............................................................. 15D. Operasi pada Pecahan Bentuk Aljabar ............................................. 24Evaluasi 1 .................................................................................................. 29BAB2: FUNGSIA. Relasi ................................................................................................... 32B. FungsiatauPemetaan ........................................................................ 36C. Menentukan Rumus Fungsi Jika Nilainya Diketahui ....................... 44D. Menghitung Nilai Perubahan Fungsi jika Nilai Variabel Berubah ... 46E. Grafik Fungsi/Pemetaan..................................................................... 48F. Korespondensi Satu-Satu ................................................................... 50Evaluasi 2 .................................................................................................. 54BAB3: PERSAMAANGARISLURUSA. PersamaanGaris(1) .......................................................................... 58B. Gradien ................................................................................................ 65C. PersamaanGaris(2) .......................................................................... 76D. Menentukan Titik Potong Dua Garis ................................................. 86E. Memecahkan Masalah yang Berkaitan dengan KonsepPersamaanGarisLurus...................................................................... 89Evaluasi 3 .................................................................................................. 92BAB4: SISTEMPERSAMAANLINEARDUAVARIABELA. PersamaanLinearSatuVariabel ....................................................... 96B. PersamaanLinearDuaVariabel ....................................................... 97C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ........................................... 101D. Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Masalah Sehari-hari yang Melibatkan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ...... 108E. Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel denganMengubah ke Bentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ..... 111Evaluasi 4 .................................................................................................. 114DAFTAR ISIviiDaftar IsiBAB5: TEOREMAPYTHAGORASA. TeoremaPythagoras .......................................................................... 118B. PenggunaanTeoremaPhytagoras ..................................................... 123C. Menyelesaikan Masalah Sehari-hari dengan MenggunakanTeoremaPythagoras .......................................................................... 132Evaluasi 5 .................................................................................................. 134BAB6: LINGKARANA. Lingkaran dan Bagian-Bagiannya ..................................................... 138B. Keliling dan Luas Lingkaran .............................................................. 140C. Hubungan antara Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring .... 149D. Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran........................................ 153E. Segi Empat Tali Busur (Pengayaan) ................................................. 158F. Sudut antara Dua Tali Busur (Pengayaan) ....................................... 162Evaluasi 6 .................................................................................................. 167BAB7: GARISSINGGUNGLINGKARANA. Mengenal Sifat-Sifat Garis Singgung Lingkaran .............................. 170B. Melukis dan Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran........ 172C. Kedudukan Dua Lingkaran ................................................................ 177D. Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran .................................... 178E. Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang MenghubungkanDua Lingkaran .................................................................................... 184F. Melukis Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga ................. 187Evaluasi 7 .................................................................................................. 197BAB8: KUBUSDANBALOKA. Mengenal Bangun Ruang ................................................................... 200B. Model Kerangka serta Jaring-Jaring Kubus dan Balok................... 209C. Luas Permukaan serta Volume Kubus dan Balok............................ 213Evaluasi 8 .................................................................................................. 221BAB9: BANGUNRUANGSISIDATARLIMASDANPRISMATEGAKA. Bangun Ruang Prisma dan Limas ..................................................... 224B. Diagonal Bidang, Diagonal Ruang, serta Bidang Diagonal Prismadan Limas ............................................................................................ 227C. Jaring-Jaring Prisma dan Limas ........................................................ 230D. Luas Permukaan Prisma dan Limas ................................................. 232E. Volume Prisma dan Limas ................................................................. 236Evaluasi 9 .................................................................................................. 242DAFTARPUSTAKA................................................................................................ 244GLOSARIUM ........................................................................................................... 245KUNCIJAWABANSOALTERPILIH ............................................................... 247DAFTARSIMBOL .................................................................................................. 250INDEKS...................................................................................................................... 251viiiMatematika Konsep dan Aplikasinya 21PendahuluanPENDAHULUANMatematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologimodern. Matematika mempunyai peran penting dalam berbagai disiplinilmu sehinggamemajukan daya pikir manusia. Mata pelajaran matematika diberikan kepada siswamulai dari sekolah dasar untuk membekali siswa dengan kemampuan bekerja sama.Pembelajaran matematika di buku ini dimulai dengan pengenalan masalah yangsesuai dengan situasi (contextual problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual,siswasecarabertahapdibimbinguntukmenguasaikonsepmatematika.Sekolahdiharapkan menggunakan teknologi informasi dan komunikasi seperti komputer, alatperaga, atau media lainnya untuk meningkatkan keefektifan pembelajaran.BukuMatematikaKonsepdanAplikasinya2inidiperuntukkanbagisiswakelas VIII SMP/MTs. Materi pembelajaran buku ini mengacu pada Standar KompetensidanKompetensiDasarMatematikaSMP/MTstahun2006.Kajianmateribukuinimeliputiduaaspek,yaituaspekaljabarsertaaspekgeometridanpengukuran.Untuk memudahkan pembahasan, buku ini terbagi ke dalam sembilan bab sebagaiberikut.Bab1 FaktorisasiSukuAljabarBab ini memuat materi mengenai operasi tambah, kurang, kali, bagi, danpangkatpadabentukaljabar;caramenentukanfaktorpadasukualjabar;serta cara menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya.Bab2 FungsiBab ini berisi materi mengenai cara menyatakan masalah sehari-hari yangberkaitan dengan relasi dan fungsi; menyatakan suatu fungsi dengan notasi;menghitung nilai fungsi; menentukan bentuk fungsi jika nilai dan data fungsidiketahui; cara menyusun tabel pasangan nilai peubah dengan nilai fungsi;serta cara menggambar grafik fungsi pada koordinat Cartesius.Bab3 PersamaanGarisLurusBab ini memuat materi mengenai pengertian gradien dan cara menentukangradiengarislurusdalamberbagaibentuk;caramenentukanpersamaangaris lurus yang melalui dua titik, atau melalui satu titik dengan gradien tertentu;serta cara menggambar grafik garis lurus jika diketahui persamaannya.Bab4 SistemPersamaanLinearDuaVariabelBab ini berisi uraian materi mengenai perbedaan persamaan linear dua varia-bel dan sistem persamaan linear dua variabel; mengenal sistem persamaanlinear dua variabel; menentukan penyelesaian sistem persamaan linear duavariabeldenganberbagaicara;membuatmodelmatematikadanmenyelesaikannya dari masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistempersamaan linear dua variabel.2Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Bab5 TeoremaPythagorasBabinimemuatmaterimengenaicaramenemukanteoremaPythagoras;menghitung panjang sisi segitiga siku-siku jika dua sisi lain diketahui; menghi-tung perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku istimewa; dan menggunakanteorema Pythagoras untuk menghitung panjang diagonal, atau sisi pada bangundatar.Bab6 LingkaranBab ini berisi materi mengenai bagian-bagian lingkaran; cara menemukannilai pi; menentukan serta menghitung keliling dan luas lingkaran; mengenalhubungan antara sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yangsama; menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter dan busuryangsama;menentukanpanjangbusur,luasjuring,danluastembereng;serta menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juringdalam pemecahan masalah. Pada bab ini disediakan pula materi pengayaan,yaitu materi mengenai segi empat tali busur, meliputi pengertian dan sifat-sifatnya; serta uraian materi mengenai sudut antara dua tali busur.Bab7 GarisSinggungLingkaranBab ini memuat materi mengenai garis singgung lingkaran, meliputi sifatgaris singgung lingkaran; mengenali dan menentukan panjang garis singgungpersekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran; serta cara melukisdan menentukan panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga.Bab8 KubusdanBalokBab ini berisi uraian materi mengenai unsur-unsur kubus dan balok; jaring-jaring kubus dan balok; menemukan rumus dan menghitung luas permukaankubus dan balok; serta menemukan rumus dan menghitung volume kubusdan balok.Bab9 BangunRuangSisiDatarLimasdanPrismaTegakBab ini memuat materi mengenai unsur-unsur prisma dan limas; jaring-jaringprisma dan limas; menemukan rumus dan menghitung luas permukaan prismadanlimas;sertamenemukanrumusdanmenghitungvolumeprismadanlimas.Pernahkah kalian berbelanja di super-market?Sebelumberbelanja,kalianpastimemperkirakan barang apa saja yang akandibelidanberapajumlahuangyangharusdibayar. Kalian dapat memperkirakan jumlahuangyangharusdibayarjikakalianmengetahuihargadanbanyaknyabarangyangakandibeli.Untukmenghitungnya,kalian tentu memerlukan cara perkalian ataumenggunakan cara faktorisasi.FAKTORISASI SUKUALJABARTujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat padabentuk aljabar; dapat menentukan faktor suku aljabar; dapat menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya.1Kata-Kata Kunci: penjumlahan bentuk aljabar perpangkatan bentuk aljabar pengurangan bentuk aljabar faktor suku aljabar perkalian bentuk aljabar faktorisasi bentuk aljabar pembagian bentuk aljabarSumber:Dok.Penerbit4Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Tulislahsetiapkalimatberikutdenganmenggu-nakanvariabelsebagaipenggantibilanganyangbelum diketahui nilainya.a. Jumlahduabilanganganjil berurutan adalah20.b. Suatubilanganjikadikalikan 5 kemudiandikurangi3,hasilnyaadalah 12.Penyelesaian:a. Misalkanbilangantersebutxdanx+2,berartix + x + 2 = 20.b. Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x 3 = 12.A. PENGERTIANKOEFISIEN,VARIABEL,KONSTANTA,DANSUKUDikelasVIIkaliantelahmempelajarimengenaibentuk-bentukaljabar.Cobakalianingatkembalimateritersebut,agarkalian dapat memahami bab ini dengan baik. Selain itu, kalian jugaharus menguasai materi tentang KPK dari dua bilangan atau lebihdan sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat. Perhatikan uraianberikut.Bonar dan Cut Mimi membeli alat-alat tulis di koperasi sekolah.Mereka membeli 5 buku tulis, 2 pensil, dan 3 bolpoin. Jika bukutulis dinyatakan dengan x, pensil dengan y, dan bolpoin dengan zmaka Bonar dan Cut Mimi membeli 5x + 2y + 3z.Selanjutnya, bentuk-bentuk5x + 2y + 3z, 2x2, 4xy2, 5x2 1,dan(x1)(x+3)disebutbentuk-bentukaljabar.Sebelummempelajari faktorisasi suku aljabar, marilah kita ingat kembaliistilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar.1. VariabelVariabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belumdiketahuinilainyadenganjelas.Variabeldisebutjugapeubah.Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... z.(Berpikir kritis)Tentukanvariabelpadabentukaljabarberikut.1. 2x 4 = 02. x2 + y + xy 1 = 43. (3x 1) (x + 2) = 04. (a b) (a + b) = 05Faktorisasi Suku AljabarTentukankonstantapadabentuk aljabar berikut.a. 2x2 + 3xy + 7x y 8b. 3 4x2 xPenyelesaian:a. Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel,sehingga konstanta dari 2x2 + 3xy + 7x y 8adalah 8.b. Konstanta dari 3 4x2 x adalah 3.3. KoefisienKoefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta darisuatu suku pada bentuk aljabar.Tentukan koefisien x padabentuk aljabar berikut.a. 5x2y + 3xb. 2x2 + 6x 3Penyelesaian:a. Koefisien x dari 5x2y + 3x adalah 3.b. Koefisien x dari 2x2 + 6x 3 adalah 6.4. SukuSukuadalahvariabelbesertakoefisiennyaataukonstantapada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.a. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan olehoperasi jumlah atau selisih.Contoh:3x,4a2,2ab,...b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satuoperasi jumlah atau selisih.Contoh:a2 + 2, x + 2y, 3x2 5x, ...c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh duaoperasi jumlah atau selisih.Contoh:3x2 + 4x 5, 2x + 2y xy, ...Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut sukubanyakataupolinom.Nanti, di tingkat yang lebih lanjut kalian akan mempelajari mengenaisuku banyak atau polinom.2. KonstantaSuku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidakmemuatvariabeldisebut konstanta.(Berpikir kritis)Sebuahsegitigapan-jangalasnyasamade-ngansetengahkalitingginya.Tuliskanluasdankelilingsegitigatersebutdalambentukaljabar.6Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Tentukan koefisien-koefisien dari setiapvariabel pada bentuk aljabar berikut.a.2x24yb. a2 + 3ab b2 + 1c. 4x + 2xy + y2d. 2x 3e.p3p2q+4pq25q3+52. Tentukan konstanta pada setiap bentukaljabar berikut.a. 3x2 4x 5b. xy 2x + y + 1c. 2x + 4d. (x + 3)2e. 2 + x 5x23. Manakahdaribentuk-bentukaljabarberikut yang merupakan suku satu, sukudua, dan suku tiga?a. 3x + 2b. 2 54xx x - ( , dengan x 0c.x2xd. a2 b2 + (2a2 4b + 1)e. 1 + 2y + x + 5x2 3xy4. Termasuk suku berapakah bentuk aljabarberikut ini?a. 2 + 3x + ax2 + 5x4 + 6x5b. pqr 1c. (a + b) + (a b) + (2a b) + (a + 2b)d. 2a3b + c (dengan c = ab)e. 5p : q (dengan q = 1p dan p 0)5. Tulislahsetiapkalimatberikutdenganmenggunakan variabel x.a. Umur Made dan umur Putri berseli-sih lima tahun dan berjumlah tiga belastahun.b. Suatubilanganjikadikalikanduakemudianditambahtiga,dandikuadratkan menghasilkan bilangan225.c. Sepuluhkurangnyadariluassuatupersegi adalah 111 cm2.d. Sebuahpecahanjikapenyebutnyaditambahtigadanpembilangnyadikurangi empat sama dengan 17-.e. Umur Mira tiga puluh tahun yang laluadalah 14umurnya sekarang.B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR1. Penjumlahan dan PenguranganPerhatikan uraian berikut ini.Ujang memiliki 15 kelereng merah dan 9 kelereng putih. Jikakelereng merah dinyatakan dengan x dan kelereng putih dinyatakandenganymakabanyaknyakelerengUjangadalah15x+9y.7Faktorisasi Suku AljabarSelanjutnya, jika Ujang diberi kakaknya 7 kelereng merah dan 3kelereng putih maka banyaknya kelereng Ujang sekarang adalah22x + 12y. Hasil ini diperoleh dari (15x + 9y) + (7x + 3y).Amatilah bentuk aljabar 3x2 2x + 3y + x2 + 5x + 10. Suku-suku 3x2 dan x2 disebut suku-suku sejenis, demikian juga suku-suku 2x dan 5x. Adapun suku-suku 2x dan 3y merupakan suku-suku tidak sejenis.Suku-sukusejenisadalahsukuyangmemilikivariabeldan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.Pemahaman mengenai suku-suku sejenis dan suku-suku tidaksejenissangatbermanfaatdalammenyelesaikanoperasipenjumlahandanpengurangandaribentukaljabar.Operasipenjumlahandanpenguranganpadabentukaljabardapatdiselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dandistributifdenganmemerhatikansuku-sukuyangsejenis.Cobakalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan danpenguranganbilanganbulat.Sifat-sifattersebutberlakupadapenjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar.1. Tentukan hasil penjum-lahan3x22x+5dengan x2 + 4x 3.Penyelesaian:(3x2 2x + 5) + (x2 + 4x 3)= 3x2 2x + 5 + x2 + 4x 3= 3x2 + x2 2x + 4x + 5 3 kelompokkansuku-sukusejenis= (3 + 1)x2 + (2 + 4)x + (5 3)sifat distributif= 4x2 + 2x + 22. Tentukan hasil pengu-rangan4y23y+2dari 2(5y2 3).Penyelesaian:2(5y2 3) (4y2 3y + 2)=10y2 6 4y2 + 3y 2=(10 4)y2 + 3y + (6 2)=6y2 + 3y 8 (Berpikir kritis)Cobaingatkembalimengenaisifatkomutatif,asosiatif,dandistributifpadabilanganbulat.Eksplorasilahpenggunaansifat-sifattersebutpadabentukaljabar.Diskusikanhalinidengantemansebangkumu.8Matematika Konsep dan Aplikasinya 21. Tentukankoefisiendarixdany2padabentuk aljabar berikut.a. 3x + 5y2 4x + (2y2) 7b. 2y2 x + 4 y2 + 3x 5c. 6x 4y2 + z 2x + y2 3zd. 3(x y2 + 2) 5(2x + 3y2 2)2. Sederhanakanbentuk-bentukaljabarberikut.a. (2x + 8) + (4x 5 5y)b. (3p + q) + (2p 5q + 7)c. (3x2 + 2x 1) + (x2 5x + 6)d. 2(x + 2y xy) + 5(2x 3y + 5xy)3. Sederhanakanbentuk-bentukaljabarberikut.a. (2x + 5) (x 3)b. (x2 + 4x 1) (2x2 + 4x)c. (y2 3) (4y2 + 5y + 6)d. (5a 6 + ab) (a + 2ab 1)4. Sederhanakanbentuk-bentukaljabarberikut.a. a2+2ab3b27a25abb. x2 x 6 + 3x2 xyc. 3p32pq2+p2q7p3+2p2qd. 2(p32pq+q2)+3(p3+4pqq2)2. Perkaliana. PerkaliansuatubilangandenganbentukaljabarCoba kalian ingat kembali sifat distributif pada bilangan bulat.Jika a, b, dan c bilangan bulat maka berlaku a(b + c) = ab + ac.Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasiperkalian pada bentuk aljabar.Perkaliansukudua(ax+b)denganskalar/bilangankdinyatakan sebagai berikut.k(ax+b)=kax+kbKerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Jabarkanbentukper-kalian berikut.a.2(3x y)b. 8(x2+3x)Penyelesaian:a. 2(3x y) = 2 3x + 2 (y)= 6x 2yb. 8(x2 + 3x) = 8x2 + 24x2. Selesaikan bentuk per-kalian berikut.a. 2(6x)Penyelesaian:a. 2(6x) = 2(6) x= 12x 9Faktorisasi Suku Aljabar b.1123a - ( ,c.(4x)(2y)d.(3a)(3a)b. PerkalianantarabentukaljabardanbentukaljabarTelah kalian pelajari bahwa perkalian antara bilangan skalarkdengansukudua(ax+b)adalahk(ax+b)=kax+kb.Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentukaljabarsukudua(ax+b)dengansukudua(ax+d)diperolehsebagai berikut.(ax + b) (cx +d) =ax(cx+d)+b(cx+d)=ax(cx)+ax(d)+b(cx)+bd=acx2+(ad+bc)x+bdSifat distributif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dansuku tiga.b. 1123a - ( ,= 1123 - ( ,a= 4ac. (4x)(2y) = (4)(2) xy= 8xyd. (3a)(3a) = 3(3)a2=9a2Panjangsisimiringsebuahsegitigasiku-sikuadalah(5x 3) cm, sedang-kanpanjangsisisiku-sikunya (3x + 3) cmdan(4x 8) cm.Tentukankelilingdanluassegitigatersebutdalambentukaljabar.(ax + b) (cx2 +dx +e) =ax(cx2)+ax(dx)+ax(e)+b(cx2)+b(dx)+b(e)= acx3+adx2+aex+bcx2+bdx+be=acx3+(ad + bc)x2+(ae + bd)x +beSelanjutnya, kita akan membahas mengenai hasil perkalian(ax+b)(ax+b),(ax+b)(axb),(axb)(axb),dan(ax2 + bx + c)2. Pelajari uraian berikut ini.a.( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )222 2 22 2 22ax b ax b ax bax ax b b ax bax ax ax b b ax ba x abx abx ba x abx b- - - - - - - - - - - - - -b.( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2ax b ax b ax ax b b ax bax ax ax b b ax b ba x abx abx ba x b- - - - - - - - - - - - - -(Berpikir kritis)Denganmemanfaat-kansifatdistributif,tentukanhasilperkali-andaribentukaljabar(ax2 + bx + c)2.Diskusikandengantemanmu.10Matematika Konsep dan Aplikasinya 2c. ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )22 2 22 2 22ax b ax b ax bax ax b b ax bax ax ax b b ax b ba x abx abx ba x abx b- - - - - - - - - - - - - - - - - - -Tentukanhasilperkalianbentuk aljabar berikut.1.(x + 2) (x + 3)2.(2x + 3) (x2 + 2x 5)Penyelesaian:1. Cara (i) dengan sifat distributif(x + 2) (x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)= x2 + 3x + 2x + 6= x2 + 5x + 6Cara (ii) dengan skema(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6= x2 + 5x + 6Cara (iii) dengan peragaan mencari luas persegi panjangdengan p = x + 3 dan l = x + 2 seperti ditunjukkan padaGambar 1.1.(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6= x2 + 5x + 62. Cara (i) dengan sifat distributif(2x + 3) (x2 + 2x 5)= 2x(x2 + 2x 5) + 3(x2 + 2x 5)= 2x3 + 4x2 10x + 3x2 + 6x 15= 2x3 + 4x2 + 3x2 10x + 6x 15= 2x3 + 7x2 4x 15 3xx2(+ 2) (+ 3) x x(a)3x2(b)x 2x 36xx2=Gambar1.1(Berpikir kritis)Denganmengguna-kanskema,cobaja-barkanbentukaljabar(ax + by) (ax + by + z).11Faktorisasi Suku AljabarCara (ii) dengan skema(2x + 3) (x2 + 2x 5)= 2x3 + 4x2 10x + 3x2 + 6x 15= 2x3 + 4x2 + 3x2 10x + 6x 15= 2x3 + 7x2 4x 15Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu. 1. Tentukan hasil perkalian bentuk aljabarberikut.a. 2(x + 4) e.4a2(a+2b)b. 3(a2b) f. 2xy(x 4)c. 5(3x + 2y) g.p2(p23p)d. 2a(a+4b) h. 12(4x 6y)2. Jabarkanbentukperkalianberikutde-ngan menggunakan sifat distributif.a. (2x 3) (x + 5)b. (3x y) (x + y)c. (5m 1) (m + 4)d. (2p + q) (p 4q)e. (a 4) (2a + 3)f. (a + 3b) (2a 4b)g. (3 p) (5 + p)h. (5 + a) (7 a)3. Jabarkanbentukperkalianberikutde-nganmenggunakanskema,kemudiansederhanakan.a. (2x + 3) (x 4)b. (a + 3b) (a 5b)c. (5m 1) (2m + 4)d. (a 3) (a2 + 4a + 5)e. (x + y) (3x2 + xy + 2y2)f. (3k 5) (k2 + 2k6)g. (a + ab + b) (a b)h. (x2 + 3x 5) (x2 2x 1)4. Tentukan hasil perkalian berikut.a. ab(a+2bc)b. 5xy(x 3y + 5)c. 2xy(x3y)d. 5a(3ab2ac)e. 3y(4xy4yz)3. PerpangkatanBentukAljabarCoba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilanganbulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalianberulang dengan unsur yang sama. Untuk sebarang bilangan bulata, berlaku...nsebanyak n kalia a a a a

Sekarang kalian akan mempelajari operasi perpangkatan padabentuk aljabar.12Matematika Konsep dan Aplikasinya 2(a+b)1= a + bkoefisienadanbadalah11(a+b)2= (a + b) (a + b)= a2 + ab + ab+ b2= a2+2ab+b2koefisiena2,ab,dan b2adalah121(a+b)3= (a + b) (a +b)2= (a + b) (a2 + 2ab +b2)= a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3= a3+3a2b+3ab2+b3koefisiena3,a2b,ab2danb3adalah1331(a+b)4= (a+b)2(a+b)2= (a2 + 2ab+b2) (a2+2ab+b2)= a4+2a3b+a2b2+2a3b+4a2b2+2ab3+a2b2+2ab3+b4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4koefisiena4,a3b,a2b2,ab3,danb4adalah14641Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhati-kan perbedaan antara 3x2, (3x)2, (3x)2, dan (3x)2 sebagai berikut.a. 3x2= 3xx= 3x2b. (3x)2= (3x)(3x)= 9x2c. (3x)2= ((3x)(3x))=9x2d. (3x)2= (3x)(3x)= 9x2Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar sukudua, perhatikan uraian berikut. Demikian seterusnya untuk (a + b)n dengann bilangan asli.Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan koefisien-koefisien(a + b)n membentuk barisan segitiga Pascal seperti berikut.13Faktorisasi Suku Aljabar(a + b)0 1(a + b)1 11(a + b)2 1 21(a + b)3 133 1(a + b)41 4 641(a + b)515 10 105 1(a + b)6 1 61520 15 6 1(a + b)7 ................Pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari ankemudianberkurangsatudemisatudanterakhira1padasukuke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1padasukuke-2lalubertambahsatudemisatudanterakhirbnpada suku ke-(n + 1).Perhatikan contoh berikut.(a + b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5(a + b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6Tentukan hasil perpangkat-an bentuk aljabar berikut.a.(2x + 3)4b.(x + 4y)3Penyelesaian:a. (2x + 3)4= 1(2x)4 + 4(2x)3(3) + 6(2x)2(32) + 4(2x)1(33) + 1(34)= 1(16x4) + 4(8x3)(3) + 6(4x2)(9) + 4(2x)(27) + 1(81)= 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81b. (x + 4y)3= 1(x3) + 3(x2)(4y)1 + 3x (4y)2 + 1(4y)3= 1x3 + 3x2(4y) + 3x(16y2) + 1(64y3)= x3 + 12x2y + 48xy2 + 64y3Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Tentukanhasilperpangkatanbentukaljabar berikut.a. (5a)3c. (3x)3b. (2xy)2d. (4p2q)2(Berpikir kritis)BerdasarkankonsepsegitigaPascal,cobajabarkanbentukaljabar (a + b)n untuk7sns10.Bandingkanhasilnyadengantemansebangkumu.Apakahjawabanmusudahtepat?14Matematika Konsep dan Aplikasinya 2e. (5xy3)4g. (3pq)4f. (2abc)3h. a(ab2)32. Jabarkan perpangkatan bentuk aljabarberikut.a. (x + 4)3e. (3m 2n)4b. (a5)4f. (4a3b)3c. (2x + y)3g. (2y2+y)3d. (3p+q)4h. (3a2)53. Tentukan koefisien (a + b)n pada sukuyang diberikan.a. Suku ke-3 pada (3a + 4)4.b. Suku ke-2 pada (x + 3y)3.c. Suku ke-2 pada (a 2b)4.d.Suku ke-4 pada (2x + 5y)5.e.Suku ke-5 pada (2m 3)5.4. Jabarkanbentukaljabarberikut,kemudian sederhanakan.a. (2x 1)2b. (3 + 5x)2c. (2x + y)2 + (x + 2y + 1)d. (3x + 1)2 (3x 1)2e. (3x + 2)2 + (2x + 1)(1 2x)4. PembagianKaliantelahmempelajaripenjumlahan,pengurangan,perkalian, dan perpangkatan pada bentuk aljabar. Sekarang kalianakan mempelajari pembagian pada bentuk aljabar.Telah kalian pelajari bahwa jika suatu bilangan a dapat diubahmenjadi a = pq dengan a, p, q bilangan bulat maka p dan qdisebut faktor-faktor dari a. Hal tersebut berlaku pula pada bentukaljabar.Perhatikan uraian berikut.2 2 2 23 2 3 22 2 x yz x y zx y z x y zPadabentukaljabardiatas,2,x2,y,danz2adalahfaktor-faktordari2x2yz2,sedangkanx3,y2,danzadalahfaktor-faktordari bentuk aljabar x3y2z.Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 2x2yz2 dan x3y2z adalahx2, y, dan z, sehingga diperoleh22 23 22x yzx yzx y z( )22zx yz( )2xyzxyBerdasarkan uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa jikadua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasilbagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yanglebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentukaljabarkalianharusmenentukanterlebihdahulufaktorsekutukedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.15Faktorisasi Suku AljabarSederhanakanbentukaljabar berikut.1. 5xy : 2x2. 6x3 : 3x23.8a2b3 : 2ab4.(p2qpq):p2q2Penyelesaian:1.5 5 55 : 22 2 2 xy y xxy x y faktor sekutu xx x2.3 23 2 22 26 3 26 : 3 2 33 3x x xx x x faktor sekutu xx x 3.2 3 22 328 2 48 : 22 24 2a b ab aba b abab abab faktor sekutu ab 4. ( )2 3 22 2 22 2 2 22 22 2: p q pq p qp q pq p qp q p qp q ppp qKerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.Sederhanakanbentukaljabarberikut.1. 6xy : 2y2. 10a2b4c3 : 2abc3. p4q6r5 : pq2r34. 6x3y7 : 2xy : 3y5. 18a3b5c6 : 2ab2 : 3a2c2C. PEMFAKTORANBENTUKALJABARDi kelas VII kalian telah mempelajari materi mengenai KPKdanFPB.Padamateritersebutkaliantelahmempelajaricaramenentukan kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Coba ingatkembali cara menentukan faktor dari suatu bilangan. Perhatikanuraian berikut.48 = 148= 243Bilangan 1, 24, 3, dan 48 adalah faktor-faktor dari 48.6. 20a4b5c7 : (4a2b2c3 : 2abc)7. 21p4q5r3 : (8p2qr3 : 2pqr)8. 3x2y 2yz2 : xyz9. 30x6y9 : (5x4y2 2xy3)10. 32x4yz6 : 2xyz 4xy2z316Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Bilangan 2 dan 3 adalah faktor prima dari 48.Jadi, bentuk perkalian 243 merupakan faktorisasi primadari 48.Ingat kembali bahwa faktorisasi prima dari suatu bilanganadalah perkalian faktor-faktor prima dari bilangan tersebut.Di bagian depan telah kalian pelajari bahwa sifat distributifa(x + y) dapat dinyatakan sebagai berikut.axay a x y +=(+)bentukpenjumlahanbentukperkaliandengan,, dan adalahbilangan real.a x yDari bentuk di atas, tampak bahwa bentuk penjumlahan dapatdinyatakan sebagai bentuk perkalian jika suku-suku dalam bentukpenjumlahantersebutmemilikifaktoryangsama.Daribentukax+ay=a(x+y),adan(x+y)merupakanfaktor-faktordariax + ay.Proses menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentukperkalian faktor-faktornya disebut pemfaktoran atau faktorisasi.Pemfaktoranataufaktorisasibentukaljabaradalahmenyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkaliandari bentuk aljabar tersebut.Sekarang, kalian akan mempelajari faktorisasi dari beberapabentuk aljabar. Perhatikan uraian berikut.1. Bentukax+ay+az+...danax+bxcxBentukaljabaryangterdiriatasduasukuataulebihdanmemiliki faktor sekutu dapat difaktorkan dengan menggunakansifat distributif. ax + ay + az + ... = a(x + y + z + ...) ax + bx cx = x(a + b c)Faktorkanlah bentuk-ben-tuk aljabar berikut.a. 2x + 2yb. x2 + 3xc. a2+abd. pq2r3+2p2qr+3pqrPenyelesaian:a. 2x + 2y memiliki faktor sekutu 2, sehingga2x + 2y = 2(x + y).b. x2 + 3x memiliki faktor sekutu x, sehinggax2 + 3x = x(x + 3).c. a2 + ab memiliki faktor sekutu a, sehinggaa2 + ab =a(a + b).17Faktorisasi Suku AljabarFaktorkanlah bentuk alja-bar berikut.a.x2 4b.a29b2c.4p2 36d.9x2 25y2Penyelesaian:a.x2 4 =x2 22=(x 2) (x + 2)b. a29b2=a2(3b)2=(a 3b) (a + 3b)c. 4p2 36 = (2p)2 62= (2p 6) (2p + 6)d. 9x225y2=(3x)2(5y)2= (3x 5y) (3x + 5y)Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.Faktorkanlahbentuk-bentukaljabarberikut.1. 3x 3y 6. 3p2 12 11. x2 25 16.64a2 92. 2x + 6 7. ab+bc 12. 9m2 16 17.8a2 2b23. x3+xy28. 8pq+24pqr 13. 1 x218.25p2 16q24. ap2+2ap 9. x4 3x2 + x 14. 49 p219.36x2 81y25. 4x2y6xy310. 15x2 18xy + 9xz 15.9x2 16 20.81p2 100q2d. pq2r3 + 2p2qr + 3pqr memiliki faktor sekutu pqr,sehinggapq2r3+2p2qr+3pqr=pqr(qr2+2p+3).2. BentukSelisihDuaKuadratx2y2Bentukaljabaryangterdiriatasduasukudanmerupakanselisih dua kuadrat dapat dijabarkan sebagai berikut.( )( ) ( )( ) ( )( )( )2 2 2 22 2- - - - - - - - - - - -x y x xy xy yx xy xy yx x y y x yx y x yDengan demikian, bentuk selisih dua kuadrat x2 y2 dapatdinyatakan sebagai berikut.( )( )2 2- - - x y x y x y18Matematika Konsep dan Aplikasinya 23. Bentukx2+2xy+y2danx22xy+y2Untukmemfaktorkanbentukaljabarx2+2xy+y2danx2 2xy + y2 perhatikan uraian berikut.a.( ) ( )( ) ( )( )( )( )2 2 2 22 222 - - - - - - - - - - - - - -x xy y x xy xy yx xy xy yx x y y x yx y x yx yb. ( ) ( )( ) ( )( )( )( )2 2 2 22 222 - - - - - - - - - - - - - -x xy y x xy xy yx xy xy yx x y y x yx y x yx yBerdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.x2 + 2xy + y2 = (x + y) (x + y) = (x + y)2x2 2xy + y2 = (x y) (x y) = (x y)2Faktorkanlah bentuk-ben-tuk berikut.a.p2+2pq+q2b. x2 4x + 4Penyelesaian:a.( ) ( )( ) ( )( )( )( )2 2 2 22 222 - - - - - - - - - - - - - -p pq q p pq pq qp pq pq qp p q q p qp q p qp qb.( ) ( )( ) ( )( )( )( )2 2224 4 2 2 42 2 42 2 22 22- - - - - - - - - - - - - -x x x x xx x xx x xx xx4. Bentukax2+bx+cdengana=1Padapembahasandidepantelahkalianpelajarimengenaiperkalian antara suku dua dan suku dua sebagai berikut.19Faktorisasi Suku Aljabar1. Faktorkanlahbentukaljabar berikut.a.x2 + 4x + 3b.x2 13x + 12Penyelesaian:Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + cdengan c positif sebagai berikut. Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya. Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.a. x2 + 4x + 3 = (x + 1) (x + 3)b. x2 13x + 12 = (x 1) (x 12)(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6= x2 + 5x + 6 ........... (dihasilkan suku tiga)Sebaliknya, bentuk suku tiga x2 + 5x + 6 apabila difaktorkanmenjadix2 + 5x + 6 =(x + 2) (x + 3)

5 = 2 + 3 6 = 2 3 2 3 = 6

2 + 3 = 5Perhatikan bahwa bentuk aljabar x2 + 5x + 6 memenuhi bentukx2 + bx + c.Berdasarkan pengerjaan di atas, ternyata untuk memfaktor-kan bentuk x2 + bx + c dilakukan dengan cara mencari dua bilanganreal yang hasil kalinya sama dengan c dan jumlahnya sama denganb.Misalkan x2 + bx + c sama dengan (x + m) (x + n).x2 + bx + c = (x + m) (x + n)= x2 + mx + nx + mn= x2 + (m + n)x + mnx+ bx + c = x+m + n x + mn2 2( ) x2 + bx + c = (x + m) (x + n) dengan mn = c danm + n = b3 Jumlah13 412 Jumlah1 12 132 6 83 4 720Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Penyelesaian:Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabarx2 + bx + c untuk c negatif sebagai berikut. Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya. Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b. Bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama denganb, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertandasebaliknya.a. x2 + 4x 12 = (x 2) (x + 6)b. x2 15x 16 = (x + 1) (x 16)Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.Faktorkanlahbentuk-bentukaljabarberikut.1. x2 6x + 8 6. m2 + 8m + 16 11. x2 6x + 9 16. t2 3t 182. x2 + 9x + 20 7. p2 8p + 12 12. x22xy+y217. b2 2b 83. x2 + 7x + 12 8. b2 + 6b + 9 13. a2 2a 15 18. p2 + 8p 334. p2 5p + 4 9. p2 4p + 4 14. m2 + 2m + 1 19. n2 + 2n 85. a2 + 8a + 12 10. x2 8x + 16 15. a2 + 5a 24 20. y2 + 3y 4012 Selisih1 12 112 6 43 4 116 Selisih1 16 152 8 64 4 05. Bentukax2+bx+cdengana 1,a 0Kalian telah mempelajari perkalian antara suku dua dengansuku dua menjadi bentuk penjumlahan seperti berikut.(3x + 2) (4x + 3) = 12x2+9x+8x+6= 12x2 + 17x + 6Perhatikan bahwa (9 + 8) = 17 dan 9 8 = 12 6. 126=7298=729-8=172. Faktorkanlahbentukaljabar berikut.a. x2 + 4x 12b.x2 15x 1621Faktorisasi Suku AljabarBerdasarkanuraiandiatasdapatdikatakanbahwabentukax2 + bx + c dengan a1, a0 dapat difaktorkan dengan caraberikut.ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + cdengan p q = a c p + q = bSelain dengan menggunakan sifat distributif, terdapat rumusyang dapat digunakan untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 +bx + c dengan a1. Perhatikan uraian berikut.Misalkan ax2 + bx + c = 1a (ax + m) (ax + n).ax2 + bx + c ( )( )- -ax m ax na( )2 2 2a ax bx c a x amx anx mn = - - - - -a x+ abx + ac = a x+ a m + n x + mn2( )2 2 2

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa m n = a c danm + n = b.Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa ada dua carauntuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 + bx + cdengana 1sebagai berikut.a.Menggunakansifatdistributifax2 + bx + c= ax2 + px + qx + c denganp q= a c danp + q= bb.Menggunakanrumusax2 + bx + c = 1a(ax + m) (ax + n) denganmn= ac danm + n= b22Matematika Konsep dan Aplikasinya 2ac = 45 Jumlah1 45 463 15 185 9 14Penyelesaian:a. Memfaktorkan 3x2 + 14x + 15.Langkah-langkah pemfaktoran ax2 + bx + c, a 1untuk c positif sebagai berikut. Jabarkan a c menjadi perkalian faktor-faktornya. Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.3x2 + 14x + 15; a = 3; b = 14; c = 15Cara 1Dengan menggunakan sifat distributifDua bilangan yang hasil kalinyaac = 3 15 = 45 dan jumlahnya 14adalah 5 dan 9, sehingga3x2 + 14x + 15 = 3x2 + 5x + 9x + 15= x(3x + 5) + 3(3x + 5)= (x + 3) (3x + 5)Cara 2Dengan menggunakan rumus3x2 + 14x + 15 = 13(3x + 5) (3x + 9)= ( )( )13 9 3 53- - x x=( )( )13 3 3 53 - - x x= (x + 3) (3x + 5)Jadi, 3x2 + 14x + 15 = (x + 3) (x + 5).b. Memfaktorkan 8x2 + 2x 3.Langkah-langkah pemfaktoran ax2 + bx + c, a 1dengan c negatif sebagai berikut. Jabarkan a c menjadi perkalian faktor-faktornya. Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b. Bilangan yang bernilai lebih besar sama tandanyadengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebihkecil bertanda sebaliknya.Faktorkanlah bentuk-ben-tuk aljabar berikut.a. 3x2 + 14x + 15b. 8x2 + 2x 323Faktorisasi Suku AljabarCara 1Dengan menggunakan sifat distributifDua bilangan yang hasil kalinya ac= 8 3 = 24 dan selisihnya 2 adalah4 dan 6, sehingga8x2 + 2x 3= 8x2 4x + 6x 3= 4x(2x 1) + 3(2x 1)= (4x + 3) (2x 1)Cara 2Dengan menggunakan rumus8x2 + 2x 3 = 18(8x 4) (8x + 6)= ( )( )1 18 4 8 64 2 - - x x= 14(8x 4) 12(8x + 6)=( ) ( )1 14 2 1 2 4 34 2 - - x x= (2x 1) (4x + 3)Jadi, 8x2 + 2x 3 = (2x 1) (4x + 3).ac = 24 Selisih1 24 232 12 103 8 54 6 2Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.Faktorkanlahbentuk-bentukaljabarberikut. 1. 2x2 + 7x + 3 8. 12m2 8m + 1 15. 2y2 + 5y 3 2. 3x2 + 18x + 5 9. 10a2 43a + 12 16. 4x27xy2y2 3. 2x2 + 5x + 3 10. 12x2 34x + 10 17. 6x2 + 5xy 6y2 4. 3y2 + 8y + 4 11. 3p2 + 7p 6 18. 8a2+2ab15b2 5. 5x2 + 13x + 6 12. 8a2 + 10a 3 19. 1 + 3m 18m2 6. 3y2 8y + 4 13. 6y2 5y 6 20. 15 7x 2x2 7. 8p2 14p + 5 14. 5x2 + 23x 1024Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Selesaikan operasi penjum-lahanataupenguranganberikut.1. 24 339---xx2.4 53 1-- - x xSederhanakanbentukaljabar2221 38 5.12 29 15x xx x- -- -Penyelesaian:1.2223( 3) 4 3 43 ( 3)( 3) ( 3)( 3)94 3 993 59xx x x x xxxxxx-- -- - - - --- ----2.224( 1) 5( 3) 4 53 1 ( 3)( 1)4 4 5 152 3192 3- - -- - - - -- - -- -- -- -x xx x x xx xx xxx x2. Perkalian dan Pembagian Pecahan AljabarPerkalianantaraduapecahandapatdilakukandenganmengalikanantarapembilangdenganpembilangdanpenyebutdenganpenyebut.

a c a c acb d b d bdDengancarayangsama,dapatditentukanhasilperkalianantara dua pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut.D. OPERASIPADAPECAHANBENTUKALJABAR1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan AljabarDi kelas VII kalian telah mempelajari operasi penjumlahandan pengurangan pada pecahan aljabar dengan penyebut suku satu.Samasepertipadapecahanaljabardenganpenyebutsukusatu,pada pecahan aljabar dengan penyebut suku dua dan sama dapatlangsungdijumlahataudikurangkanpembilangnya.Adapun pada penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabardenganpenyebutberbedadapatdilakukandengancaramenyamakanpenyebutnyaterlebihdahulumenjadikelipatanpersekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebutnya.-- a c ad bcb d bdatau -- a c ad bcb d bd25Faktorisasi Suku AljabarSelesaikan operasi perkali-an berikut.1.2255 2-- -a aa a2.235 1--x x xxPenyelesaian:1.22( 5)( 5) 255 2 ( 5)( 2)( 5)252- -- - - - -----a a a a aa a a aa aaa aa2.22( 1) 335 1 5( 1)35- - - -x x x x xxx xxPembagianantaraduapecahanaljabardilakukandenganmengubah bentuk pembagian menjadi bentuk perkalian dengancara mengalikan dengan kebalikan pecahan pembagi.: a da c a d adb d b c b c bcSelesaikan pembagian pe-cahan aljabar berikut.1. 24:3 4- m m m2. 2 22:- - a b a baaPenyelesaian:1.224 4:3 4 3443 ( 4)43( 4)- ---m m m mm mmm mm2. 2 2 2 2 2222:( )( )( )( )- - - -- -- - -a b a b a b aa a a baa b a b aa a ba b aa abMisalkan . xy1Tentukanhasildari1 1. - - ( ( , ,x yx y26Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Sederhanakanlah.a.1 3-a abb.2343 4--- -xxx xc.2 32 4-- - x xd. 212 4981---xxe. 1 25 3-- - x xf. 23 1525---yyg. 22252 9 5--- -x xxx xh. 22 36 6 36- -- - -x y xyx x x2. Sederhanakanlah.a.46 3 2- -x xx y x yb.2 11 1 m m- -c. 326 12 3618 12 18--x y xyx y x yd. 3 232yy yy y - - - ((- , ,e. 2 22 22 5 6 4 4 14 2 2 1x x x xx x x- - - -- - -3. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.a.24 3 4:4x x xx- - -b.2 25:13 12 1a aba a a - - -c. 4 169 : 3 52 2xx x - - - - ((- - , ,d. 2 21 :x xyx yx y x y - - - ((- - , ,e. 2 22 23 17 20 3 12 9:2 8 2 3 9x x x xx x x x- - - -- - - -3. MenyederhanakanPecahanAljabarPecahan dikatakan sederhana jika pembilang dan penyebutpecahan tersebut tidak lagi memiliki faktor persekutuan, kecuali 1.Dengankatalain,jikapembilangdanpenyebutsuatupecahanmemiliki faktor yang sama kecuali 1 maka pecahan tersebut dapatdisederhanakan. Hal ini juga berlaku pada pecahan bentuk aljabar.Menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan denganmemfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu, kemudi-andibagidenganfaktorsekutudaripembilangdanpenyebuttersebut.27Faktorisasi Suku AljabarSederhanakanpecahan-pecahan aljabar berikut.1. 2 23 24a b abab-2. 223 102 11 5x xx x- -- -Penyelesaian:1.2 23 2 (3 2 )4 43 24a b ab ab a bab aba b- --2.223 10 ( 2)( 5)2 11 5 (2 1)( 5)22 1- - - -- - - ---x x x xx x x xxx4. MenyederhanakanPecahanBersusun(Kompleks)Pecahanbersusun(kompleks)adalahsuatupecahanyangpembilang atau penyebutnya atau kedua-duanya masih memuatpecahan. Untuk menyederhanakan pecahan bersusun, dilakukandengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan KPKdari penyebut pecahan pada pembilang dan penyebut pecahan padapenyebut pecahan bersusun.Sederhanakanpecahan-pecahan berikut.1.1 11a bab--2.2 2y xy xx y--Penyelesaian:1.1 11 11( 1)b aa b ababab ba b bab aba ba ab----- ---2.2 22 2 2 22 22 211x y x yy x xyx y x yx yxy x yxy--- -- -28Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Sederhanakanpecahan-pecahanberikut.a. ( )2264 498 7--xxb.( )2 2 22b a xax b--c. 2 212 66pqr p qrpqr-d. 225 66 8- -- -x xx xe. ( ) ( )22 211xxy x y-- - -2. Sederhanakan pecahan bersusun ber-ikut.a.1 11 1x yx y--b.24abab--c. 22432xxx---d. 11112 122 1xx-----e. 1x y x yx y x yx yx y- --- ----1. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel danpangkat dari masing-masing variabel yang sama.2. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabardapatdiselesaikandenganmemanfaatkansifatkomutatif,asosiatif, dan distributif dengan memerhatikan suku-suku yangsejenis.3. Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menya-takan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian daribentuk aljabar tersebut.4. Untukmenyederhanakanpecahanaljabardapatdilakukandengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebihdahulu, kemudian dibagi dengan faktor sekutu dari pembilangdan penyebut tersebut.29Faktorisasi Suku AljabarSetelah mempelajari bab ini, bagaimana pemahaman kalianmengenaiFaktorisasiSukuAljabar?Jikakaliansudahpaham,coba rangkum kembali materi tersebut dengan kata-katamu sendiri.Jikaadamateriyangbelumkamupahami,catatdantanyakankepadagurumu.Catatpulamanfaatapasajayangdapatkalianperoleh dari materi ini. Buatlah dalam sebuah laporan dan serahkankepada gurumu.Kerjakandibukutugasmu.A. Pilihlahsalahsatujawabanyangtepat.1. Padabentukaljabar2x2+3xyy2terdapat ... variabel.a. 1 c. 3b. 2 d. 42. Suku dua terdapat pada bentuk aljabar....a. 2x2 + 4x 2b. 3x2 y2 + xy 5c. 4x2 y2d. 2x23. Hasilpengurangana22adari2 3a2 adalah ....a. 4a + 2a + 2 c. 2a2 + 2a 2b. 4a2 2a 2 d. a2 2a + 24. Hasil dari (x y) (2x + 3y) adalah ....a. 2x2 5xy 3y2c. x2 5xy y2b. 2x2 + xy 3y2d. x2 + xy y25. Bentuk sederhana dari2(x 3y + xy) 2xy + 3x adalah ....a. 4x xy 3y c. 4x 6y + xyb. 5x xy 4y d. 5x 6y6. DiketahuiA ABCsiku-sikudiC,dengan AC = (x 7) cm, BC = (x 14) cm, dan AB = x cm. Panjang sisiACadalah....a. 21 cm c. 28 cmb. 25 cm d. 35 cm7.5 22 5x xx x- --- - = ....a. ( )( )22 3 92 5x xx x- -- -c. ( )( )22 6 292 5x xx x- -- -b. ( )( )22 6 292 5x xx x- -- -d. ( )( )22 6 292 5x xx x- -- -8. Jika( )( )23 4 45 20- -- - - - - -x ax ax x x x b x cmaka perbandingan (b c) : a = ....a. 1 : 3 c. 1 : 4b. 1 : 2 d. 1 : 69. Bentuk sederhana dari 24 92 3aa-- = ....a. 4 6a c. 2 + 3ab. 4 + 6a d. 2 3a10. Bentuksederhanadari 224 4 14 1x xx- --=....30Matematika Konsep dan Aplikasinya 2a. 2 12 1xx--c. 22xx--b. 2 12 1xx--d. 22xx--11. Bentuk sederhana dari223 22 12x x xx x x- - -- - - = ....a. 14xx--c. 41xx--b. 41xx--d. 14xx--12. Bentuk aljabar 25a2 16b2 jika difak-torkan hasilnya ....a. (5a b) (5ab)b. (a + 4b) (a 4b)c. (5a 4b) (5a 4b)d. (5a 4b) (5a + 4b)13. Pemfaktoran x2 19x 20 adalah ....a. (x 4) (x + 5) c. (x + 1) (x 20)b. (x 2) (x 10) d. (x + 2) (x 10)14. Pemfaktorandari4x2+14x18adalah....a. (4x 3) (x + 6)b. (2x 3) (2x + 6)c. (4x 2) (x + 9)d. (2x 2) (2x + 9)15. Luas sebuah persegi panjang adalah(2x2 + 3x 9) cm2 dan panjang sisinya(4x+6)cm.Lebarpersegipanjangitu adalah ....a. 2(x + 3) c. 14(2x 3)b. 34(x + 3) d. 12(2x 3)B. Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Sederhanakanlah.a. ( ) ( )2 2 2 23 5 2 1 x xy x xy - - - -b. (2x2y xy2 + 3) (x2y + 2xy2 7)c. (2p3)(3p+7)(5p9)+(p 12)d. 2(m + 3) 4(2m 2(m + 5) 8)e. 3(6a (a + b)) + 3(2(2a + 3b) +4(ab))2. Jabarkan dan sederhanakanlah.a. (3x 2) (4x + 5)b. (x + 8y) (2x 3y)c. (9p 5q)2d. (8a 3b) (8a + 3b)e. (x + 5) (x2 + 6x 4)3. Faktorkanlah.a. x2 + 6x 16b. 8x2 2xy 15y2c. p2 16q4d. 9a2 8a 1e. 49x2 28x + 44. Sederhanakanlah.a.( )2 2 2 22 2 x y x yx y- - --b. 224912 28xx x-- -c. ( ) ( )22 211xxy x y-- - -d. 2 21 12 1 1 a a a-- - -e. 1 1a ba bb a--5. Diketahui suatu segitiga dengan alas(x + 2) cm dan luasnya (x2 4) cm2.a. Tentukan tinggi segitiga dalamvariabel x.b. Jika x = 3, tentukan ukuransegitiga tersebut.FUNGSIPerhatikansekelompoksiswayangsedangmenerimapelajarandisuatukelas.Setiapsiswamenempatikursinyamasing-masing.Tidakmungkinseorangsiswamenempati lebih dari satu kursi. Demikianpula tidak mungkin satu kursi ditempati olehlebih dari satu siswa.Dengandemikian,adaketerkaitanantarasiswadengankursiyangditempati.Menurutmu, apakah hal ini termasuk fungsi?Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: dapatmenjelaskandengankata-katadanmenyatakanmasalahsehari-hariyang berkaitan dengan relasi dan fungsi; dapat menyatakan suatu fungsi dengan notasi; dapat menghitung nilai fungsi; dapat menentukan bentuk fungsi jika nilai dan data fungsi diketahui; dapat menyusun tabel pasangan nilai peubah dengan nilai fungsi; dapat menggambar grafik fungsi pada koordinat Cartesius.2Kata-Kata Kunci: relasi fungsi grafik fungsiSumber:Dok.Penerbit32Matematika Konsep dan Aplikasinya 3a. Sebutkan relasi-relasi yang mungkinantaranama-namapadasilsilahtersebut.b. Siapakah ayah dari Lisa, Bowo, danAji?c. Tunjukkanrelasiyangmemenuhiantara Aditya, Lina, dan Bowo.d. Sebutkan cucu laki-laki Bapak Sitorusdan Ibu Meri.A. RELASISebelummempelajarimateripadababini,kalianharusmenguasai materi himpunan, anggota himpunan, dan himpunanbagian dari suatu himpunan.1. PengertianRelasiAgar kalian memahami pengertian relasi, perhatikan Gambar2.1. di samping.Gambar 2.1 menunjukkan suatu kumpulan anak yang terdiriatas Tino, Ayu, Togar, dan Nia berada di sebuah toko alat tulis.Mereka berencana membeli buku dan alat tulis.Tino berencana membeli buku tulis dan pensil, Ayu membelipenggaris dan penghapus, Togar membeli bolpoin, buku tulis, dantempat pensil, sedangkan Nia membeli pensil dan penggaris.Perhatikanbahwaadahubunganantarahimpunananak={Tino, Ayu, Togar, Nia} dengan himpunan alat tulis = {buku tulis,pensil, penggaris, penghapus, bolpoin, tempat pensil}. Himpunananak dengan himpunan alat tulis dihubungkan oleh kata membeli.Dalamhalini,katamembelimerupakanrelasiyangmenghubungkan himpunan anak dengan himpunan alat tulis.Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubunganyang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengananggota-anggota himpunan B.Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. BaganberikutmenunjukkansilsilahkeluargaBapakSitorusdanIbuMeri.Tandapanahmenunjukkanhubunganmempunyai anak.

(Menumbuhkankreativitas)Bentuklahkelompokterdiri atas 4 orang, 2pria dan 2 wanita.Kemudianbuatlahrelasiyangmeng-hubungkanantaraanggotakelompokmudenganmakananyangdisukai.Gambar2.133Fungsi2. Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5} danB = {2, 4, 6, 8, 12}.a. Jika dari A ke B dihubungkan relasisetengah dari, tentukan himpunananggota A yang mempunyai kawandi B.b. Jika dari B ke A dihubungkan relasikuadratdari,tentukanhimpunananggota B yang mempunyai kawandi A.3. Diketahui A = {5, 6, 7, 8} danB = {25, 30, 35, 36, 49, 64}.a. Buatlah dua relasi yang mungkin dariA ke B.b. Buatlah dua relasi yang mungkin dariB ke A.4. Diketahui P = {2, 1, 0, 1, 2} danQ = {0, 1, 2, 3}.a. Buatlah relasi dari P ke Q.b. Buatlah relasi dari Q ke P.2. CaraMenyajikanSuatuRelasiSuatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengandiagrampanah,diagramCartesius,danhimpunanpasanganberurutan. Untuk memahami hal tersebut, perhatikan uraian berikutini.Pengambilandatamengenaipelajaranyangdisukaipadaempat siswa kelas VIII diperoleh seperti pada tabel berikut.Tabel2.1Tabel 2.1 di atas dapat dinyatakan dengan diagram panah,diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan seperti dibawah ini.Misalkan A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B = {IPS, kesenian,keterampilan,olahraga,matematika,IPA,bahasaInggris},danpelajaranyangdisukaiadalahrelasiyangmenghubungkanhimpunan A ke himpunan B.a. DengandiagrampanahGambar 2.2 di bawah menunjukkan relasi pelajaran yangdisukaidarihimpunanAkehimpunanB.Arahpanahmenunjukkananggota-anggotahimpunanAyangberelasidengan anggota-anggota tertentu pada himpunan B.Nama Siswa Pelajaran yang DisukaiBuyung IPS, KesenianDoni Keterampilan, OlahragaVita IPAPutri Matematika, Bahasa Inggris(Menumbuhkankreativitas)Amatilahkejadianse-hari-haridilingkungansekitarmu.Berilah5contohkejadianyangmerupakanrelasi.Ceritakanpengala-manmusecarasing-katdidepankelas.34Matematika Konsep dan Aplikasinya 3A Bpelajaran yang disukaiBuyungDoniVitaPutriIPSKesenianKeterampilanOlahragaMatematikaIPABahasa InggrisGambar2.2b. DengandiagramCartesiusRelasiantarahimpunanAdanBdapatdinyatakandengandiagramCartesius.Anggota-anggotahimpunanAberada pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunanB berada pada sumbu tegak. Setiap pasangan anggota himpunanAyangberelasidengananggotahimpunanBdinyatakandengan titik atau noktah. Gambar 2.3 menunjukkan diagramCartesius dari relasi pelajaran yang disukai dari data pada tabel2.1.Gambar2.3c. DenganhimpunanpasanganberurutanHimpunan pasangan berurutan dari data pada tabel 2.1sebagai berikut.{(Buyung,IPS),(Buyung,kesenian),(Doni,keterampilan),(Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasaInggris)}.(Menumbuhkankreativitas)Bentuklahkelompokyang terdiri atas 6orang, 3 pria, dan 3wanita.Tanyakanhobitiapanggotakelom-pokmu.Lalu,sajikandalamdiagrampanah,diagramCartesius,danhimpunanpasanganberurutan.BuyungDoniVitaPutriBahasa InggrisIPAIPSMatematikaOlahragaKeterampilanKesenianAB35FungsiDiketahuiA = {1, 2, 3, 4,5, 6};B = {1, 2, 3, ..., 12};danrelasidariAkeBadalahrelasisetengahdari.Nyatakanrelasitersebut dalam bentuka. diagram panah;b. diagram Cartesius;c. himpunanpasanganberurutan.Penyelesaian:a.Dengan diagram panahxxxxxxxxxxxx1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12123456xxxxxxA Bsetengah dariGambar2.4b. Dengan diagram Cartesius2 1 3 5 72135791146810124 6 8ABGambar2.5c. Dengan himpunan pasangan berurutanMisalkan relasi setengah dari dari himpunan A kehimpunan B adalah R, maka R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6),(4, 8), (5, 10), (6, 12)}.36Matematika Konsep dan Aplikasinya 3Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Diketahui Sinta suka minum susu dan teh,Ketut suka minum kopi, Ita suka minumteh, dan Tio suka minum sprite. Nyatakanrelasi tersebut dalam bentuka. diagram panah;b. diagram Cartesius;c. himpunan pasangan berurutan.2. Relasi dari himpunan A ke himpunan Bditunjukkan pada diagram panah berikut.IndonesiaMalaysiaFilipinaJepangIndiaKuala lumpurManilaJakartaNew DelhiTokyoSingapuraBangkokA Ba. Nyatakan relasi yang mungkin darihimpunan A ke himpunan B.b. Nyatakan relasi dari A ke B dalambentuk diagram Cartesius.c. Nyatakan relasi dari A ke B dalambentukhimpunanpasanganberurutan.3. Relasi dari A = {a, e, i, o, u} keB = {b, c, d, f, g, h} dinyatakan sebagaiR = {(a, b), (a, c), (e, f ), (i, d ), (o, g),(o, h), (u, h)}.Nyatakan relasi tersebut ke dalam ben-tukdiagrampanahdandiagramCar-tesius.4. Relasi dari himpunan P ke himpunan QdisajikandalamdiagramCartesiusberikut.2 1 3 52135464 6PQTentukan relasi yang memenuhi daridiagram tersebut, kemudian nyatakandalam diagram panah dan himpunanpasangan berurutan.5. Buatlahrelasiakardaridarihimpunan P = {2, 3, 4, 5} ke himpunanQ = {1, 2, 4, 9, 12, 16, 20, 25} dengana. diagram panah;b. diagram Cartesius;c. himpunan pasangan berurutan.B. FUNGSIATAUPEMETAAN1. PengertianFungsiAgar kalian memahami pengertian fungsi, perhatikan uraianberikut.Pengambilandatamengenaiberatbadandarienamsiswakelas VIII disajikan pada tabel berikut.37FungsiTabel2.2Nama Siswa BeratBadan(kg)Anik 35Andre 34Gita 30Bayu 35Asep 33Dewi 32xxxxxx30 3132 33 3435A BAnikAndreGitaBayuAsepDewi xxxxxxberat badanGambar2.6Gambar 2.6 merupakan diagram panah yang menunjukkanrelasi berat badan dari data pada Tabel 2.2.Dari diagram panah pada Gambar 2.6 dapat diketahui hal-hal sebagai berikut.a. Setiap siswa memiliki berat badan.HaliniberartisetiapanggotaAmempunyaikawanataupasangan dengan anggota B.b. Setiap siswa memiliki tepat satu berat badan.Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai tepat satu kawanatau pasangan dengan anggota B.Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwarelasi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yangmemasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Relasiyangdemikiandinamakanfungsi(pemetaan).Jadi,fungsi(pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khususyang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggotaB.Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalaha. setiap anggota A mempunyai pasangan di B;b. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.(Menumbuhkan inovasi)Bentuklah kelompok yang terdiri atas 2 orang, 1 pria, dan 1 wanita.Caridanamatikejadian-kejadiandilingkungansekitarmu.Tulislahhal-halyangtermasukfungsisebanyak4buah.Lalusajikanhasiltemuanmudalamdiagrampanah,diagramCartesius,danhimpunanpasanganberurutan.Tulislahdalamsebuahlaporandankumpulkankepadagurumu.38Matematika Konsep dan Aplikasinya 3A BCx x xy f x =( )Gambar2.8Diantararelasiyangdisajikanpadadiagrampanahberikutmanakahyangmerupakanfungsi?Berilah alasannya.pqr1234A B(i)pqr1234A B(ii)Gambar2.7Penyelesaian:(i) Diagrampanahpada(i)merupakanfungsi,karenasetiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan diB.(ii) Diagram panah pada (ii) bukan fungsi, karena terdapatanggota A yaitu p mempunyai empat pasangan di BdanadaanggotaAyaituqdanrtidakmempunyaipasangan di B.2. NotasidanNilaiFungsiDiagram di samping menggambarkan fungsi yang memetakanx anggota himpunan A ke y anggota himpunan B. Notasi fungsinyadapat ditulis sebagai berikut.] : x6 y atau ] : x6 ](x)dibaca:fungsifmemetakanxanggotaAkeyanggotaBHimpunan A disebut domain (daerah asal).Himpunan B disebut kodomain (daerah kawan).Himpunan C c B yang memuat y disebut range (daerah hasil).Dalam hal ini, y = f(x) disebut bayangan (peta) x oleh fungsif. Variabel x dapat diganti dengan sebarang anggota himpunan Adan disebut variabel bebas. Adapun variabel y anggota himpunanB yang merupakan bayangan x oleh fungsi f ditentukan (bergantungpada)olehaturanyangdidefinisikan,dandisebutvariabelbergantung.Misalkanbentukfungsif(x)=ax+b.Untukmenentukannilai fungsi untuk x tertentu, dengan cara mengganti (menyubstitusi)nilai x pada bentuk fungsi f(x) = ax + b.39Fungsia. Perhatikan diagram pa-nah pada Gambar 2.9.Tentukan(i) domain;(ii) kodomain;(iii) range;(iv) bayangan dari 1, 2,3,4,dan5olehfungsi f.abcde12345ABfGambar2.9Penyelesaian:(i) Domain = A = {1, 2, 3, 4, 5}(ii) Kodomain = B = {a, b, c, d, e}(iii) Range = {a, c, e}(iv) Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = a.Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = a.Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = c.Bayangan 4 oleh fungsi f adalah f(4) = c.Bayangan 5 oleh fungsi f adalah f(5) = e.b. Diketahuifungsifdidefinisikansebagaif(x) = 2x2 3x + 1.Tentukannilaifungsif(x) untuk(i) x = 2;(ii) x = 3.Penyelesaian:(i) Substitusi nilai x = 2 ke fungsi f(x) = 2x2 3x + 1,sehingga f(x) = 2x2 3x + 1 f(2) = 2x2 3 2 + 1= 8 6 + 1 = 3(ii) Substitusi nilai x = 3 ke fungsi f(x),sehingga diperoleh f(x) = 2x2 3x + 1f(3) = 2 (3)2 3 (3) + 1= 18 + 9 + 1= 28Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Diantaradiagrampanahberikut,manakahyangmerupakanfungsi?Berikan alasannya.A B(i)1 52 63 7A B(ii)2 63 95 1040Matematika Konsep dan Aplikasinya 34. DiketahuidaerahasalsuatufungsiP = {1, 3, 7, 8} ke himpunan bilanganasli Q dengan relasi setengah dari.a. Tulislah notasi fungsi untuk relasi ter-sebut.b. Tentukan rangenya.c. Tentukan bayangan 3 oleh fungsi f.5. Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B himpunanbilangan bulat, relasi berikut ini manakahyang merupakan pemetaan dari A ke B?Berikan alasannya.a. Kurang dari.b. Faktor dari.c. Akar kuadrat dari.d. Dua kurangnya dari.6. Diketahui fungsi f : x 4x 1. Tentukannilai fungsi f untuk x = 5, 3, 1, 0, 2, 4,dan 10.7. Fungsi f didefinisikan sebagaif(x) = 2x + 3.a. Tentukanbayanganx=1olehfungsi tersebut.b. Tentukan nilai x jika f(x) = 1.2. Diketahui relasi dari himpunan P = {a,b,c,d}kehimpunanQ={e,f,g}dengan ketentuan a e, b e, c e,dancf.Apakahrelasitersebutmerupakansuatufungsi?Mengapa?Jelaskan jawabanmu.3. Diantararelasidalamhimpunanpa-sanganberurutanberikut,tentukanmanakah yang merupakan suatu fungsidarihimpunanA={a,b,c,d}kehimpunan B = {1, 2, 3, 4}. Tentukan puladaerah hasil masing-masing fungsi.a. {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}b. {(a, 2), (b, 4), (c, 4)}c. {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4)}d. {(a, 1), (b, 4), (c, 1), (d, 4)}e. {(d, 1), (d, 2), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}A B(iii)1 13 35 6A B(iv)2 63 84 123. MenyatakanFungsidalamDiagramPanah,DiagramCartesius,danHimpunanPasanganBerurutanKalian telah mempelajari bahwa suatu relasi dapat dinyatakandalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasanganberurutan.Karenafungsimerupakanbentukkhususdarirelasi,maka fungsi juga dapat dinyatakan dalam diagram panah, diagramCartesius, dan himpunan pasangan berurutan.Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 1, 0, 1, 2, 3}. Jika fungsif: AB ditentukan dengan f(x) = x 2 makaf(1) = 1 2 = 1f(3) = 3 2 = 1f(5) = 5 2 = 341Fungsia. Diagram panah yang menggambarkan fungsi f tersebut sebagaiberikut.A B135210123fGambar2.10b. Diagram Cartesius dari fungsi f sebagai berikut.112233 4 5 0AB 21Gambar2.11c. Himpunanpasanganberurutandarifungsiftersebutadalah{(1, 1), (3, 1), (5, 3)}. Perhatikan bahwa setiap anggota Amuncul tepat satu kali pada komponen pertama pada pasanganberurutan.4. MenentukanBanyaknyaPemetaanyangMungkindariDua HimpunanUntuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin daridua himpunan, perhatikan uraian berikut.a. Jika A = {1} dan B = {a} maka n(A) = 1 dan n(B) = 1.Satu-satunya pemetaan yang mungkin dari A ke B mempunyaidiagram panah seperti tampak pada Gambar 2.12.b. JikaA={1,2}danB={a}makan(A)=2dann(B)=1.Pemetaan yang mungkin dari himpunan A ke B tampak sepertidiagram panah pada Gambar 2.13.c. JikaA={1}danB={a,b}makan(A)=1dann(B)=2.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada dua, sepertitampak pada diagram panah pada Gambar 2.14.A B1 aGambar2.12A B12aGambar2.1342Matematika Konsep dan Aplikasinya 3A B1abA B1abGambar2.14d. Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a} maka n(A) = 3 dan n(B) = 1.BanyaknyapemetaanyangmungkindariAkeBadasatu,seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.15.e. Jika A = {1} dan B {a, b,c} maka n(A) = 1 dan n(B) = 3.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada tiga, sepertitampak pada diagram panah berikut ini.f. Jika A = {1, 2} dan B = {a, b} maka n(A) = 2 dan n(B) = 2.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada empat,seperti tampak pada diagram panah pada Gambar 2.17.Gambar2.17g. Jika A = {1, 2, 3} dan B= {a, b} maka n(A) = 3 dan n(B) = 2.Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, sepertitampak pada diagram panah pada Gambar 2.18.Gambar2.18A B123xxxxxabA B123xxxxxabA B123xxxxxabA B123xxxxxabA B123xxxxxabA B1xxx23xxabA A B B123xxx123xxxxxabxxabA B123xxxxaGambar2.151 xxxxabcA B1 xxxxabcA B1 xxxxabcA BGambar2.1612 xxxxabA B12 xxxxabA B12 xxxxabA B12 xxxxabA B43FungsiDenganmengamatiuraiantersebut,untukmenentukanbanyaknya pemetaan dari suatu himpunan A ke himpunan B dapatdilihat pada tabel berikut.Berdasarkan pengamatan pada tabel di atas, dapat diambilkesimpulan sebagai berikut.Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = adan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka1. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalahba;2. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalahab.BanyaknyaAnggotaHimpunan A Himpunan BBanyaknyaPemetaanyang Mungkin dariAkeBBanyaknyaPemetaanyang Mungkin dariBkeA1 1 1 = 111 = 112 1 1 = 122 = 211 2 2 = 211 = 123 1 1 = 133 = 311 3 3 = 311 = 132 2 4 = 224 = 223 2 8 = 239 = 32Jika A = {bilangan primakurangdari5}danB = {huruf vokal}, hitung-lah banyaknya pemetaana. dari A ke B;b.dariBkeA,tanpamenggambardiagrampanahnya.Penyelesaian:a. A = {2, 3}, n(A) = 2B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba= 52 = 25b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab= 25 = 3244Matematika Konsep dan Aplikasinya 3Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Diketahui P adalah himpunan bilangancacahkurangdari6danQadalahhimpunan bilangan real . Relasi dari Pke Q ditentukan oleh f : x 3x 5.a. Apakah relasi itu merupakan suatupemetaan?Jelaskan.b. Sebutkan daerah asalnya.c. Sebutkan daerah kawannya.d. Sebutkan daerah hasilnya.e. Tentukan f(0), f(2), dan f(4).f. Tentukannilaixyangmemenuhif(x) = 25.2. Gambarlah diagram panah yang mungkindarihimpunanAkehimpunanBdarisetiap pemetaan berikut.a. A = {p, q}, B = {1, 2, 3}b. A = {p, q, r}, B = {1, 2}3. Jika A = {x|2 < x < 2, x= B} danB = {x | x bilangan prima < 8}, tentukana. banyaknya pemetaan dari A ke B;b. banyaknya pemetaan dari B ke A.4. Suatu fungsi dari A ke B didefinisikansebagai f(x) = 2x + 7. Jika A = {x | 1 jumlah kuadrat sisi yang lainmaka segitiga tersebut tumpul.a. Pada kertas berpetak, gambarlah segitiga dengan panjang sisi-sisinya 15 satuan, 20 satuan, dan 25 satuan. Apakah segitigayang terbentuk adalah segitiga siku-siku? Bandingkan kuadratsisi miring dengan jumlah kuadrat sisi yang lain. Apa yang dapatkalian simpulkan?b. Pada kertas berpetak, gambarlah segitiga dengan panjang sisi-sisinya 12 satuan, 14 satuan, dan 16 satuan. Apakah yang kalianperoleh adalah segitiga lancip? Bandingkan kuadrat sisi miringdengan jumlah kuadrat sisi yang lain. Apa yang dapat kaliansimpulkan?c. Pada kertas berpetak, gambarlah segitiga dengan panjang sisi-sisinya 15 satuan, 20 satuan, dan 28 satuan. Apakah segitigayang terbentuk adalah segitiga tumpul? Bandingkan kuadratsisi miring dengan jumlah kuadrat sisi yang lain. Apa yang dapatkalian simpulkan?Tentukanjenissegitigadenganpanjangsisi-sisisebagai berikut.a. 3 cm, 5 cm, 4 cmb. 4 cm, 5 cm, 6 cmc.1 cm, 2 cm, 3 cmPenyelesaian:Misalkan a = panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjangsisi yang lain, maka diperoleha. a = 5 cm, b = 3 cm, c = 4 cma2 = 52 =25b2 + c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25Karena 52 = 32 + 42, maka segitiga ini termasuk jenissegitiga siku-siku.b. a = 6 cm, b = 4 cm, c = 5 cma2 = 62 = 36b2 + c2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41125Teorema PythagorasKarena 62 < 42 + 52, maka segitiga ini termasuk jenissegitiga lancip.c. a = 3 cm, b = 1 cm, c = 2 cma2 = 32 = 9b2 + c2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5Karena 32 > 12 + 22, maka segitiga ini termasuk jenissegitiga tumpul.2. TripelPythagorasPerhatikan kelompok tiga bilangan berikut.a. 3, 5, 6 d.4, 5, 6b. 6, 8, 10 e.5, 12, 13c. 6, 8, 12Misalkan bilangan-bilangan di atas merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga, dapatkah kalian menentukan manakah yangtermasuk jenis segitiga siku-siku?a. 3, 5, 662 = 3632 + 52 = 9 + 25 = 34Karena62>32+52,makasegitigainibukantermasuksegitiga siku-siku.b. 6, 8, 10102 = 10062 + 82 = 36 + 64 = 100Karena 102 = 62 + 82, maka segitiga ini termasuk segitigasiku-siku.c. 6, 8, 12122 = 14462 + 82 = 36 + 64 = 100Karena 122 > 62 + 82, maka segitiga ini bukan termasuksegitiga siku-siku.d. 4, 5, 662 = 3642 + 52 = 16 + 25 = 41Karena62 b.Apayangdapatkaliansimpulkandaritabel di atas?4. PadasegitigaABCdiketahuiAB=10 cm, BC = 24 cm, dan AC = 26 cm.a. Tunjukkan bahwa A ABC siku-siku.b. Di titik manakah Z ABC siku-siku?a2 1 3 4 5 3, 4, 53 13 2b a2b22ab a2+b2TripelPytha-gorasa b a2b22ab a2+b2TripelPytha-goras4 14 24 35 15 25 35 4127Teorema Pythagoras3. PerbandinganSisi-SisipadaSegitigaSiku-SikudenganSudutKhususa. Sudut300dan600Perhatikan Gambar 5.9.Segitiga ABC di samping adalah segitiga sama sisi denganAB = BC = AC = 2x cm danZ A =Z B =Z C = 600.KarenaCDtegaklurusAB,makaCDmerupakangaristinggi sekaligus garis bagiZ C, sehinggaZ ACD =Z BCD = 30o.DiketahuiZ ADC =Z BDC = 90o.TitikDadalahtitiktengahAB,dimanaAB=2xcm,sehinggapanjang BD = x cm.PerhatikanA CBD.Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperolehCD2=BC2BD2CD = 2 2BC BD -= 2 2(2 ) x x -= 2 24x x -= 23x= 3 xDengan demikian, diperoleh perbandinganBD : CD : BC =: 3 : 2 x x x= 1: 3 : 2.Perbandingantersebutdapatdigunakanuntukmenyelesaikan soal yang berkaitan dengan segitiga siku-sikukhusus. Perhatikan contoh berikut.5.QPRS4 cm2 cm 8 cmPerhatikan gambar di atas.PadaA PQRdiketahuiPS=2cm,QS = 8 cm, dan RS = 4 cm.a. Hitunglah panjang PR dan QR.b. Buktikan bahwaA PQR siku-siku dititik R.A BCD30o60o30o2cm xGambar5.9128Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Diketahui persegi panjangABCD dengan panjang di-agonalAC=10cmdanZ CAB = 30o. Tentukan(i) panjang AB;(ii) panjang BC;(iii) luas ABCD;(iv) keliling ABCD.Penyelesaian:Perbandingan sisi-sisi padaAABC adalahBC : AB : AC = 1 :3: 2, sehingga(i) BC : AB : AC = 1 :3: 2AB : AC =3: 2AB : 10 =3: 22AB = 10 3AB = 10 32=5 3 cm(ii) BC : AC = 1 : 2BC : 10 = 1 : 22BC = 10BC = 102 = 5 cm(iii) Luas ABCD 2AB BC5 3 525 3 cm (iv) Keliling ABCD( )( )( )2 AB BC2 5 3 510 3 1 cm - -Gambar5.10A BC D10 cm30ob. Sudut45oPerhatikan Gambar 5.11.Segitiga ABC pada Gambar 5.11 adalah segitiga siku-sikusama kaki. Sudut B siku-siku dengan panjang AB = BC =x cm danZ A =Z C = 45o.AB C x cm45o45oGambar5.11129Teorema PythagorasKerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Tentukan nilai x dan y pada segitiga siku-siku berikut.yx460oy8x + 230o (a) (b)

xy560o(c) (d)2. Tentukanbesarsudutxdany(dalamderajat) pada segitiga siku-siku berikut.(a) (b)(c) (d)3. DiketahuiAPQRsiku-sikudiQdenganpanjangPQ=QR=25cm.HitunglahkelilingdanluassegitigaPQR.4. PadapersegipanjangABCD,diketahuiAB = 30 cm dan Z CAB =30o. Hitunglaha. panjang AC dan BC;b. kelilingdanluaspersegipanjangABCD.5. Diketahui belah ketupat PQRS denganOtitikpotongdiagonalPRdanQS.Jika Z OPS = 300 dan PO = 10 3 cmmakaa. sketsalah belah ketupat PQRS;b. hitunglah panjang QO dan PQ;c. hitung luas dan keliling belah ketu-patPQRS.yxyx45o5 25 2yx3 3xxyy55 35 2Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperolehAC2= AB2 + BC2AC = 2 2AB BC -= 2 2x x -= 22x = 2 xDengan demikian, diperoleh perbandinganAB : BC : AC: : 21:1: 2.x x x 130Matematika Konsep dan Aplikasinya 24. PenggunaanTeoremaPythagoraspadaBangunDatardan Bangun RuangSelaindimanfaatkanpadasegitigasiku-siku,teoremaPythagoras juga dapat digunakan pada bangun datar dan bangunruang matematika yang lain untuk mencari panjang sisi-sisi yangbelum diketahui.Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cmpada Gambar 5.12. Dapatkah kalian menyebutkan diagonal sisikubusABCD.EFGH?Diagonalsisiadalahruasgarisyangmenghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada suatu bidangdatar. Diagonal sisi kubus tersebut antara lainAF ,BD,CH, danDE . Misalkan kita akan menentukan panjang diagonal sisiBD.Perhatikan persegi ABCD.BD adalah salah satu diagonalsisi bidang ABCD. Sekarang, perhatikan A ABD. Karena A ABDsiku-siku di A, maka dengan menggunakan teorema Pythagorasdiperoleh2BD = 2AD+ 2AB= a2 + a2= 2a2BD 222 cmaaCoba tentukan panjang diagonal sisi yang lain.Apakah panjangnya selalu sama?Selanjutnya, dapatkah kalian menyebutkan diagonal ruangkubusABCD.EFGH?Diagonalruangadalahruasgarisyangmenghubungkanduatitiksudutyangberhadapandalamsuatubangun ruang.DiagonalruangkubusABCD.EFGHantaralainHBdanFD. Perhatikan A BDH siku-siku di titik D, maka untuk menentu-kan panjang diagonal ruangHB dapat dicari dengan menggunakanteoremaPythagoras.( )2 2 2222 222HB BD DH223HB 3 3 cma aa aaa a - - - A BCDEFG Ha cma cma cmGambar5.12(Berpikir kritis)Padabangunruangbalokdenganpanjangp cm, lebar l cm, dantinggi t cm, tentukanpanjangdiagonalsisidanpanjangdiagonalruangnya.131Teorema PythagorasDiketahuikubusABCD.EFGH dengan panjang AB= 15 cm. Hitunglah panjangdiagonal ruangAG .Penyelesaian:Gambar5.13A BCDEFG H15 cm15 cm15 cmPerhatikan A ACG.Karena A ACG siku-siku dititik C, maka panjang diago-nal ruangAGdapat dicaridengan rumus berikut.2 2 2AG AC CG . -Panjang diagonal sisiAC adalah2AC= 2 2AB BC -= 152 + 152= 225 + 225= 450AC=450 15 2 cm.Jadi, panjang diagonal ruangAGadalah2 2 2AG AC CG . -= ( )215 2+ 152=450 + 225=675 = 15 3 cm.Pada kubus ABCD.EFGH di samping,diketahui panjangAB = 4 cm. Hitunglaha. panjangACdanAG ;b. panjangCP ;c. luasbidangdiagonalACGE.A BCDEFG HP(Berpikir kritis)Perhatikanbangunruang-bangunruanglainselainkubusdanbalok.Temukanpemanfaat-an teorema Pytha-goraspadamasing-masingbanguntersebut.Hasilnya,tulislahdalambentuklaporandankumpul-kankepadagurumu.132Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. AB CD20 cm12 cm60oPada trapesium ABCD di atas, hitunglaha. panjangAB danCD;b. luas trapesium.2.ABCDEFGPHPada kubus ABCD.EFGH di atas diketa-hui panjang diagonal sisi BE =48cm.Tentukana. panjangAB;c. panjangAP .b. panjangHB;3.A BCDEFG H8 cm6 cm4 cmPada gambar di atas balok ABCD.EFGHdengansisialasABCDdansisiatasEFGH. Panjang rusukAB = 8 cm,BC = 6 cm, danCG = 4 cm. Hitunglaha. luas dan keliling bidang ACGE;b. panjang diagonal ruangAG .4.PQR STO12 cm8 cmUPadalimasT.PQRSdiatas,alaslimasberbentukpersegidenganpanjangsisi8 cm, sedangkan panjangTO= 12 cm.Hitunglaha. panjangTU ;b. keliling dan luas segitiga TQR.5. DiketahuipersegiABCDpadabidangkoordinat dengan koordinat titik A (2, 1)dan C (7, 4).a. SketsalahpersegiABCDtersebutpada bidang koordinat.b. Tentukan koordinat titik B dan D.c. Tentukan panjangBC danAC .C. MENYELESAIKANMASALAHSEHARI-HARIDENGANMENGGUNAKANTEOREMAPYTHAGORASBanyakpermasalahandalamkehidupansehari-hariyangdisajikan dalam soal cerita dan dapat diselesaikan dengan menggu-nakan teorema Pythagoras. Untuk memudahkan menyelesaikannyadiperlukan bantuan gambar (sketsa). Pelajari contoh berikut.133Teorema PythagorasSeoranganakmenaikkanlayang-layangdenganbenangyangpanjangnya100meter.Jarakanakditanahdengantitikyangtepatberadadibawahlayang-layangadalah60meter. Hitunglah ketinggi-an layang-layang.Penyelesaian:Tinggi layang-layang = BC BC = 2 2AC AB -= 2 2100 60 -=10.000 3600 -= 6400= 80 mJadi, tinggi layang-layang adalah 80 m.A BC100 m60 mGambar5.14Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. Sebuah kapal berlayar ke arah timur se-jauh 150 km, kemudian ke arah selatansejauh 200 km. Hitung jarak kapal seka-rang dari tempat semula.2. Sebuahtanggayangpanjangnya12mbersandar pada tembok yang tingginya8 m. Jika kaki tangga terletak 6 m daritembok maka hitunglah panjang bagiantangga yang tersisa di atas tembok.3. Seseorangmenyeberangisungaiyanglebarnya 30 meter. Jika ia terbawa arussejauh 16 meter, berapakah jarak yangiatempuhpadasaatmenyeberangisungai?4. Dua buah tiang berdampingan berjarak24m.Jikatinggitiangmasing-masingadalah 22 m dan 12 m, hitunglah panjangkawat penghubung antara ujungtiangtersebut.5. Sebidang sawah berbentuk persegi pan-jang berukuran (40 9) m. Sepanjangkeliling dan kedua diagonalnya akan di-buat pagar dengan biaya Rp25.000,00per meter. Hitunglaha. panjang pagar;b. biaya pembuatan pagar.134Matematika Konsep dan Aplikasinya 21. Luas persegi yang panjang sisinya s satuan panjang adalah s2satuan luas.2. Luas segitiga siku-siku dengan panjang alas a dan tinggi t adalahL = 12 a t.3. Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisimiring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.4. Jika jumlah kuadrat panjang dua sisinya sama dengan kuadratpanjang sisi miring maka segitiga tersebut merupakan segitigasiku-siku.5. Tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positifyang memenuhi kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlahkuadrat dua bilangan lainnya.Setelahmempelajaribabini,apakahkaliansudahpahammengenaiteoremaPythagoras?Jikakaliansudahpaham,cobarangkum kembali materi ini dengan kata-katamu sendiri. Jika adamateriyangbelumkamupahami,catatdantanyakankepadatemanmuyanglebihtahuataukepadagurumu.Tuliskanpulamanfaat apa saja yang dapat kamu peroleh dari bab ini.Kerjakandibukutugasmu.A. Pilihlahsalahsatujawabanyangtepat.Pada segitiga ABC di samping berlaku....a. AB2 = AC2 + BC2b. AB2 = AC2 BC2c. AC2 = AB2 BC2d. AC2 = BC2 AB21.ABC135Teorema Pythagoras2.p257Nilai p padasegitiga di atas adalah....a. 12 c. 22b. 15 d. 243. Diketahui sebuah segitiga siku-siku,panjang hipotenusanya3 10 cm danpanjang salah satu sisinya 3 cm. Pan-jang sisi siku-siku yang lain adalah ....a. 7 cm c. 10 cmb. 9 cm d. 15 cm4. Suatu segitiga dengan panjang sisi 4cm, 5 cm, dan41cm, termasuk jenissegitiga ....a. lancip c. siku-sikub.sebarang d. tumpul5. Pada sebuah segitiga ABC diketahuisisi-sisinyaadalaha,b,danc.Daripernyataan berikut yang benar adalah....a. Jika b2 = a2 + c2 makaZ A = 90o.b. Jika c2 = b2 a2 makaZ C = 90o.c. Jika c2 = a2 b2 makaZ B = 90o.d. Jika a2 = b2 + c2 makaZ A = 90o.6. Diketahui himpunan panjang sisi-sisisegitiga sebagai berikut.(i) {3, 4, 6}(ii) { 3, 3,9(iii){6, 8, 9}(iv){ 5, 7, 40Dari himpunan-himpunan di atas, yangdapatmembentuksegitigasiku-sikuadalah....a. (i) c. (iii)b. (ii) d. (iv)7.A BC30oPadaAABCdiatas,jikabesarZ A = 30odan panjang AB = 5 3cmmakapanjangBCdanACberturut-turut adalah ....a. 5 cm dan 10 cmb. 3 cm dan 6 cmc. 6 cm dan 12 cmd. 10 cm dan 20 cm8. Jika x, 61, 11 merupakan tripel Pytha-goras dan 61 bilangan terbesar makanilai x adalah ....a. 15 c. 45b. 30 d. 609. Bilangan berikut yang bukan merupa-kan tripel Pythagoras adalah ....a. 3, 4, 5 c. 4, 6, 9b. 12, 16, 20 d. 10, 24, 2610. Panjang diagonal ruang kubus denganpanjang rusuk 12 cm adalah ....a. 13 cm c. 12 3 cmb. 13,5 cm d. 12 5 cm11. Diketahuisegitiga-segitigadenganukuran-ukuran sebagai berikut.(i) 3 cm, 4 cm, 5 cm(ii) 3 cm, 5 cm, 6 cm(iii) 5 cm, 6 cm, 7 cm(iv) 5 cm, 8 cm, 10 cmBerdasarkanukuran-ukurantersebutyangdapatmembentuksegitigatumpul adalah ....a. (i) dan (ii) c. (ii) dan (iii)b. (i) dan (iii) d. (ii) dan (iv)12. Panjang sisi siku-siku suatu segitigaadalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjangsisihipotenusanya35cm,kelilingsegitiga tersebut adalah ....136Matematika Konsep dan Aplikasinya 2a. 4,9 cm c. 8,5 cmb. 6,9 cm d. 16,9 cm15. Sebuah tangga yang panjangnya 6 cmbersandarpadasebuahtianglistrik.Jarakujungbawahtanggaterhadaptiang listrik adalah 3 m. Tinggi tianglistrikyangdapatdicapaitanggaadalah....a. 3,5 cm c.27 cmb. 18cm d. 45cma. 68 cm c. 84 cmb. 72 cm d. 96 cm13. Sebuahpersegipanjangberukuranpanjang 24 cm dan panjang diagonal-nya30cm.Luaspersegipanjangtersebutadalah....a. 216 cm2c. 432 cm2b. 360 cm2d. 720 cm214. SegitigaABCsiku-sikusamakakidengan panjang AB = AC dan BC =24 cm. Panjang AB adalah ....B. Jawablahpertanyaan-pertanyaanberikutdengansingkatdantepat.1. Pada gambar segitiga berikut hitunglahnilai x.x36x84(a) (b)xx1610 2048(c) (d)2. Nyatakansegitiga-segitigaberikut,lancip,siku-siku,atautumpul.Jikamerupakan segitiga siku-siku, lancip,atau tumpul, tentukan nama titik sudutyang siku-siku, lancip, atau tumpul.a. A ABC,AB=16cm,BC=30cm, dan AC = 34 cm.b. A PQR,PQ=12cm,QR=10cm, dan PR = 8 cm.c. A KLM,KL=15cm,LM=12cm, dan KM = 8 cm.d. A DEFdengankoordinattitikA(1, 1), B(5, 3), dan C(4, 8).(Petunjuk: Terlebih dahulu hitunglahpanjang AB, AC, dan BC).3.A BC DKeliling belah ketupat ABCD di atasadalah60cmdanpanjangBD=18cm. Hitunglah panjang AC.4.RPTQPada limas T.PQR di atas, diketahuipanjangQR=20cm,PQ=16cm,dan TR = 28 cm.a. Hitunglah panjang PR dan PT.b. Tunjukkan bahwaATPQ siku-sikudi Q. Kemudian, hitunglah panjangQT.5. Sebuah kapal berlayar dari PelabuhanA ke arah selatan menuju PelabuhanB sejauh 250 km. Kemudian, dilanjut-kan ke arah timur menuju PelabuhanC sejauh 300 km.a. Buatlahsketsadariketerangandiatas.b. Berapakah jarak dari Pelabuhan Ake Pelabuhan D?LINGKARANSejak zaman Babilonia, manusia sudahterkagum-kagumolehbangunmatematikayang dinilai sebagai bentuk yang sempurna,yaitu lingkaran. Kita semua pasti tidak asinglagidenganberagamlingkaran.Lingkaranterjadi secara alami di alam semesta, mulaidari riak air sampai lingkar cahaya bulan. Dialam, lingkaran sering kali terbentuk apabilapermukaan datar dipengaruhi oleh suatu gayayangbekerjameratakesegalaarah.Misalnya,saatsebuahkelerengjatuhkedalam air dan menghasilkan gelombang yangmenyebarratakesegalaarahsebagaiserangkaian riak yang berbentuk lingkaran.Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagian-bagian lingkaran; dapat menemukan nilai phi; dapat menentukan rumus serta menghitung keliling dan luas lingkaran; dapat mengenal hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadapbusur yang sama; dapat menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter dan busuryang sama; dapat menentukan panjang busur, luas juring, dan luas tembereng; dapat menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juringdalam pemecahan masalah.Sumber:JendelaIptek,20016Kata-Kata Kunci: unsur-unsur lingkaran keliling dan luas lingkaran sudut pusat dan sudut keliling panjang busur, luas juring, dan luas tembereng138Matematika Konsep dan Aplikasinya 2xACBOxDGambar6.2Di tingkat sekolah dasar, kalian telah diperkenalkan denganbangun lingkaran. Coba kalian ingat kembali materi tersebut.Agar kalian mudah memahami materi pada bab ini, kalianharus menguasai mengenai sudut, segitiga, dan faktorisasi sukualjabar.A. LINGKARANDANBAGIAN-BAGIANNYA1. PengertianLingkaranDalam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat benda-bendayangpermukaannyaberbentuklingkaran,sepertitampakpadaGambar 6.1 berikut. Gambar6.1Dari Gambar 6.1 di atas, apakah yang dapat kalian ceritakanmengenai lingkaran? Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsurlingkaran?Agarkalianmemahamipengertianlingkaran,perhatikanGambar 6.2 di samping.Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakantempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatutitik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkarandan titik tertentu disebut pusat lingkaran.Gambar 6.2 di samping menunjukkan titik A, B, C, dan D yangterletak pada kurva tertutup sederhana sedemikian sehinggaOA=OB =OC =OD= jari-jari lingkaran (r). Titik O disebut pusatlingkaran.Selanjutnya, perhatikan Gambar 6.3 di samping.Panjanggarislengkungyangtercetaktebalyangberbentuklingkaran tersebut disebut keliling lingkaran, sedangkan daeraharsirandidalamnyadisebutbidanglingkaranatauluaslingkaran.xGambar6.3(Menumbuhkankreativitas)Perhatikanlingkungandisekitarmu.Temukan5buahbendaberbentuklingkaran.Rabalahpermukaanbenda-bendatersebut.Menurutmu,unsur-unsurapasajakahyangmenyusunsebuahlingkaran?Ceritakantemuanmusecarasingkatdidepankelas.139Lingkaran2. Bagian-BagianLingkaranPerhatikan Gambar 6.4 di samping agar kalian mudah memahamimengenai unsur-unsur lingkaran. Titik O disebut titik pusat lingkaran. OA , OB,OC, danODdisebut jari-jari lingkaran, yaitu garisyang menghubungkan titik pusat lingkaran dan titik pada kelilinglingkaran. AB disebut garis tengah atau diameter, yaitu ruas garis yangmenghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan melaluipusat lingkaran. Karena diameterAB =AO+OB, di manaAO=OB = jari-jari (r) lingkaran, sehinggadiameter (d) = 2 jari-jari (r) atau d = 2r. AC disebut tali busur, yaitu ruas garis yang menghubungkandua titik pada keliling lingkaran. OE talibusurBDdanOF talibusurAC disebutapotema,yaitujarakterpendekantaratalibusurdanpusatlingkaran. Garis lengkung pAC, pBC, dan pAB disebut busur lingkaran,yaitu bagian dari keliling lingkaran. Busur terbagi menjadi dua,yaitu busur besar dan busur kecil (Gambar 6.5).1. Busurkecil/pendekadalahbusurAByangpanjangnyakurang dari setengah keliling lingkaran.2. Busurbesar/panjangadalahbusurAByanglebihdarisetengah keliling lingkaran. Daerahyangdibatasiolehduajari-jari,OCdanOBsertabusurBC disebut juring atau sektor. Juring terbagi menjadidua, yaitu juring besar dan juring kecil (Gambar 6.6). Daerah yang dibatasi oleh tali busur AC dan busurnya disebuttembereng.Gambar6.7menunjukkanbahwaterdapattembereng kecil dan tembereng besar.xA Bbusur besarbusur kecilGambar6.5xABCDOEbusurtemberengtalibusurjuringapo-temaFGambar6.4Gambar6.6xCBjuring keciljuring besarOGambar6.7tembe-rengbesartembe-rengkecilAC(Menumbuhkan inovasi)Sediakansebuahjamweker.Anggaplahtitikpertemuanantaraja-rummenitdanjarumdetiksebagaititikpusatlingkaran.Tunjukkanunsur-unsurlingkarandenganmenggunakanjamwe-kertersebut.Ceritakansecarasingkatdidepankelas.140Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.xABCDEOFx x x(a) (b) (c)x x(d) (e)1. Pada gambar di bawah ini sebutkan garisyang merupakana. jari-jari,b. garis tengah,c. tali busur,d. apotema.2. Disebut apakah daerah arsiran yang di-tunjukkan pada gambar berikut?3. Sebutkannamaunsur-unsurlingkaranyang ditunjukkan oleh nomor 1, 2, 3, 4,dan 5 pada gambar di bawah ini.x O123454. Benar atau salahkah pernyataan berikut?a. Lingkaran adalah tempat kedudukantitik-titikyangberjaraksamadarisuatu titik tertentu.b. Jari-jari suatu lingkaran saling ber-potongan di satu titik.c. Garistengahmerupakantalibusuryang terpanjang.d. Tembereng adalah daerah yang diba-tasi oleh dua jari-jari dan tali busur.B. KELILINGDANLUASLINGKARANPernahkahkamumengamatigeraksebuahrodasepeda?Untuk mengetahui pengertian keliling lingkaran, coba kamu ambilrodasebuahsepeda.Tandaipadabagiantepilingkarandenganhuruf A. Kemudian, gelindingkan roda tersebut dimulai dari titik Akembali ke titik A lagi. Lintasan yang dilalui roda dari A sampaikembali ke A lagi disebut satu putaran penuh atau satu kelilinglingkaran. Sebelum kita menghitung keliling lingkaran, kita akanmencoba menemukan nilai r(pi).1. MenemukanPendekatanNilair rr rr(pi)Lakukan kegiatan berikut ini, untuk menemukan pendekatannilai r(pi).141LingkaranLingkaran Diameter KelilingKelilingDiameterBerjari-jari 1 cm .... .... ....Berjari-jari 1,5 cm .... .... ....Berjari-jari 2 cm .... .... ....Berjari-jari 2,5 cm .... .... ....Berjari-jari 3 cm .... .... ....KEGIATANa. Buatlah lingkaran dengan jari- jari 1 cm, 1,5 cm, 2 cm, 2,5 cm,dan 3 cm.b. Ukurlahdiametermasing-masinglingkarandenganmenggunakan penggaris.c. Ukurlahkelilingmasing-masinglingkaranmenggunakanbantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagiantepilingkaran,dankemudianpanjangbenangdiukurmenggunakan penggaris.d. Buatlah tabel seperti di bawah ini dan hasil pengukuran yangtelah kamu peroleh isikan pada tabel tersebut.Cobabandingkanhasilyangkalianperolehdenganhasilyangdiperoleh teman-temanmu. Apa yang dapat kalian simpulkan?Apakah kamu mendapatkan nilai perbandingan antara keliling dandiameter untuk setiap lingkaran adalah sama (tetap)?Jika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat dan telitimaka nilai kelilingdiameterakan memberikan nilai yang mendekati 3,14.Untuk selanjutnya, nilai kelilingdiameter disebut sebagai konstantar(r dibaca: pi).r KelilingDiameterCobatekantombolr padakalkulator.Apakahkalianmendapatkan bilangan desimal tak berhingga dan tak berulang?Bentuk desimal yang tak berhingga dan tak berulang bukan bilanganpecahan.Olehkarenaitu,r bukanbilanganpecahan,namunbilanganirasional,yaitubilanganyangtidakdapatdinyatakan(Menumbuhkankreativitas)Dengan adanya tek-nologikomputer,nilairdapatdicarisampaipuluhantempatdesimal.Cobacarilahnilairdenganmenggunakankomputerdisekolah-mu.Mintalahpetunjukgurumu.Ceritakanpengala-manmusecarasing-katdidepankelas.142Matematika Konsep dan Aplikasinya 2dalam bentuk pecahan biasa ab. Bilangan irasional berupa desimaltak berulang dan tak berhingga.Menurut penelitian yang cermat ternyata nilai r= 3,14 1592 65358979324836 ...Jadi, nilai rhanyalah suatu pendekatan.Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitiansampai dua tempat desimal, pendekatan untukradalah 3, 14.Cobabandingkannilair denganpecahan 227.Bilanganpecahan 227jikadinyatakandalampecahandesimaladalah3,142857143. Jadi, bilangan 227dapat dipakai sebagai pendekatanuntuk nilai r .223,14 atau7r 2. MenghitungKelilingLingkaranPadapembahasandibagiandepandiperolehbahwapadasetiap lingkaran nilai perbandingan (K)( )kelilingdiameter d menunjukkanbilangan yang sama atau tetap disebutr .Karena Kr d, sehingga didapat K = r d.Karena panjang diameter adalah 2jari-jari atau d = 2r, makaK = 2r r.Jadi, didapat rumus keliling (K) lingkaran dengan diameter (d) ataujari-jari (r) adalahK r datau K 2r rUntukmemudahkandalammenyelesaikansoalyangberkaitandenganjari-jariataudiameterlingkaran,gunakan227r , jika jari-jariataudiameternyakelipatan7; r = 3,14 jika jari-jariataudiameternyabukankelipatan7.143LingkaranHitunglah keliling lingkaranjika diketahuia. diameter 14 cm;b. jari-jari 35 cm.Penyelesaian:a. d = 14 cm sehinggaK2214744r dJadi, keliling lingkaran adalah 44 cm.b. r = 35 cm sehinggaK 2222 357220r rJadi, keliling lingkaran = 220 cm.Kerjakansoal-soalberikutdibukutugasmu.1. SediakanmatauanglogamRp100,00,Rp200,00,danRp500,00.Ukurlahpanjang diameter dan keliling mata uangtersebut. Buatlah tabel seperti berikut danisikanhasilpengukuranmupadatabeltersebut.Daritabeltersebut,tentukannilairsampai tiga tempat desimal.2. Hitunglah keliling lingkaran jika diketahuia. jari-jari 49 m; f. diameter 70 cm;b. jari-jari 21 m; g. diameter 2,8 cm;c. jari-jari 5 cm; h. diameter 15 m;d. jari-jari 12 cm; i. diameter 50 m;e. jari-jari 10,5 cm; j. diameter 2,4 cm;3. Hitunglah panjang tali yang diperlukanuntuk melilitkan sebuah drum berjari-jari3 cm sebanyak lima putaran.4. Hitunglahkelilingdaerahyangdiarsirpada gambar berikut.

28 cm14 cm10 cm(i) (ii)21 cm21 cm10 cm(iii) (iv)Mata uang Diameter KelilingKelilingDiameterRp100,00 .... .... ....Rp200,00 .... .... ....Rp500,00 .... .... ....144Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 5. Ali ke sekolah naik sepeda menempuhjarak706,5m.Ternyatasebuahrodasepedanyaberputar500kaliuntuksampai ke sekolah.a. Hitunglah panjang jari-jari roda.b. Tentukan keliling roda itu.Catatan: Gunakankalkulatoruntukmembantumumengerjakansoal di atas.3. MenghitungLuasLingkaranUntuk menemukan rumus luas lingkaran, lakukan kegiatandengan langkah-langkah berikut.a. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 10 cm.b. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian samabesar dan arsir satu bagian.c. Bagilahlingkarantersebutmenjadi12bagiansamabesardengancaramembuat12juringsamabesardengan sudut pusat 30o (Gambar 6.8 (i)).d. Bagilah salah satu juring yang tidak diarsir menjadi duasamabesar.e. Gunting lingkaran beserta 12 juring tersebut.f. Atur potongan-potongan juring dan susun setiap juringsehingga membentuk gambar mirip persegi panjang,seperti pada Gambar 6.8 (ii) di samping.Berdasarkan Gambar 6.8 (ii), diskusikan dengan temans