Pengertian Fungsi

Definisi menurut Lerthold Hutahaean adalah suatu himpunan terurut bilangan (x,y) di mana tidak terdapat dua pasang yang berbeda yang bilangan pertamanya sama.

Definisi menurut Louis Leithold adalah suatu himpunan pasangan terururut dari bilangan-bilangan (x,y) yang memenuhi bahwa untuk satu nilai x dipasangkan dengan satu dan hanya satu nilai y.

Definisi menurut Edward J. purcell adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpuann kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebuat daerah hasil (jelajah) fungsi terebut.

Jadi, fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematika yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) anatara satu variabel dengan variabel lain.

Fungsi linear

Fungsi linear merupakan hubungan kesebandingan. Fungsi linear mempunyai domain dan range himpunan bilangan riil.Contoh :A) Tulislah persamaan garis yang melalui titik (4,6) dengan

kemiringan 4.Kemudian ubahlah persamaan tersebut dalam

bentuk ax + by + c = 0 dan gambarlah sketsa grafiknya.

Jawab:

Titik (4,6)

m=2

y – 6 = 2 ( x – 4 )

y – 6 = 2x - 8

y = 2x - 2

Maka gambar sketsa grafiknya :

y= 2x – 2

x 0 1

y -2 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

B) y = 2x +4

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

C) y= +3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12 14

Fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan fungsi polinom derajat dua.Dengan bentuk umum y=f(x)=a2+bx+c . domain dan range fungsi ini adalah himpunan bilanngan riil . grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Jika parabola cekung ke bawah , maka fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum. Sebaliknya, jika parabola cekung ke atas, maka fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum.

Contoh :Gambarlah sketsa grafik fungsi y=x2-6x+8Jawab :a. pembuat nol fungsi

dengan pemfaktoran diperolehx2-6x+8=0(x-2) (x-4)=0x=2 atau x=4

b. menentukan sumbu simetri

x=

x=

x=3c. menentukan titik puncak P(x,y)

karena x sudah dicari maka tinggal mencari nilai y dengan substitusi x=3 ke fungsi y diperoleh

y=32-6(3)+8 =9-18+8 =-1

Jadi puncaknya adalah titik (3,-1)Sehingga sketsa grafiknya adalah

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Diskriminan Fungsi kuadrat

Diskriminan Fungsi kuadratPosisi kurva fungsi y = ax2 +bx +c  terhadap sumbu x ditentukan oleh diskriminannya D= b2 – 4ac.

1. D > 0 memotong sumbu x di dua titik berbeda2. D = 0 menyinggung sumbu x 3. D < 0 diluar sumbu x

Sedangkan arah membuka ditentukan oleh nilai a

Contoh1

Tentukan sifat dari kurva fungsi kuadrat y= -2x2 +x +3 !

Jawaban

a=-2 , b= 1, c=3D= b2 – 4ac.D= 12 – 4(-2)3 = - 23.a<0, D < 0

Grafik membuka ke atas dan tidak memotong sumbu xGrafik selalu di bawah sumbu x atau definit negatif

Contoh 2Tentukan nilai m agar  y= x2 +(m-2)x + 5-m menyinggung sumbu x !

Jawaban

a= 1, b= m-2, c=5-mMenyinggung D=0b2 – 4ac =0(m-2)2 – 4.1.(5-m) =0m2 –4m +4 -20 - 4m =0m2 –16=0m= ± 4Jadi  m=4 atau m=-4

 

Fungsi Polinom

Fungsi Polinom adalah fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya. Bentuk umum persamaan polinom y = ao + a1x + a2x2 + … + anxn .

Pangkat tertinggi pada variabel suatu fungsi polinom mencerminkan derajat polinomnya, sekaligus mencerminkan derejat persamaan atau fungsi tersebut.

o Polinom berderajat nol = fungsi konstano Polinom berderajat satu = fungsi linearo Polinom berderajat dua = fungsi kuadrato Polinom berderajat tiga = fungsi kubik

Jika suatu fungsi dinyatakan sebagai pembagian dua fungsi polinom, maka fungsi tersebut disebut fungsi rasional (fungsi pecah).

Contoh grafik fungsi polinom berderajat tiga yang mempunyai bentuk umum f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0

“ daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f adalah Df = R dan Rf = R. fungsi ini selalu memotong sumbu x paling sedikit di satu titik. Untuk a > 0, grafiknya selalu naik atau mempunyai dua titik puncak, sedangkan a < 0, grafiknya selalu turun atau mempunyai dua titik puncak.”

y = ax3, a > 0

Grafik y = ax3 + bx2 + cx + d, a > 0

Grafik y = ax3 + bx2 + cx + d, a < 0

Contoh soal :a) Carilah nilai – nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = x4 –

41x2 + 800

jawab:

x4 – 41x2 + 36 = 0

misalkan x2 = y, maka persamaan semula menjadi:

y2 – 41y + 800= 0

(y – 16) (y – 25) = 0

y1 = 16 atau y2 = 25

untuk y1 = 16, didapat:

y = ax3, a < 0

x2 = 16

x1= -4 atau x2 = 4

untuk y2 = 25

x2 = 25

x3 = - 5 atau x4 = 5

Jadi, nilai – nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = x4 –

13x2 + 36 adalah x1= -4, x2 = 4, x3 = - 5, atau x4 = 5

HP = -4, 4, -5, 5.

b) Sketsakan grafik fungsi y = x3 + 2x2 + 3x + 4, x = {- 3 ≥ x ≤ 3}

Pembahasan :

f (-3) -14f (-2) -2f (-1) 2f ( 0) 4f ( 1) 10f ( 2) 26f ( 3) 58

Maka, sketsa grafik fungsinya adalah :

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Fungsi Eksponensial

y = ex atau y = eksp (x), memiliki grafik yang selalu diatas sumbu x.

fungsi umum eksponensial :y = ax dengan a > 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Contoh : 1. f(x)=(2)x

Jawab :

F(x) = (2)x

F(0)=(2)0=1F(0)=(2)1=2F(0)=(2)2=4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

2. Gambarkan grafik fungsi y = 5 - 2-x

Grafik memotong sumbu y pada titik

→ agar grafik memotong sumbu y maka x = 0

y = 5 -1

= 4

(0, 4) merupakan titik potong grafik pada sumbu y

Saat x → - ∞, y → - ∞

Saat x → ∞, y → 5

Atau dapat menggunakan metode pergeseran

Pertama-tama dibuat grafik y = 2-x

Lalu grafik y = 2-x direfleksikan terhadap sumbu x

Grafik y = - 2-x yang terbentuk digeser sejauh 5 satuan vertikal

ke atas

Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri digunakan untuk menggambarkan fenomena yang berosilasi , taitu yang mempunyai perilaku periodic atau bersiklus. Fungsi trigonometri meliputi fungsi sinus , kosinus , tangent , kosekan , sekan ,dan kotangen.

Osilasi yang berbentuk seperti grafik sinus atau kosinus disebut osilasi sinusoidal. Untuk mengkaji fungsi sinusoidal secara umum diperlukan ukuran berupa amplitude, vertical offset (atau rata-rata) , horizontal offset (disebut juga fase) , periode , dan frekuensi sudut.

1) Sketsakan grafik dari fungsi f(x) = 2 sin x pada interval {x|0≤x≤Π}

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 50 100 150 200 250 300 350 400

2) Gambarlah grafik fungsi y=6 tan x dari x=0 sampai x=360

Jawab :

Tentukan nilai f(x) dari x yang ditentukan

Masukkan nilai f(x) ke dalam diagram

Buat grafiknya

x 0 30 60 90 120 150 180 210240

270

f(x) 1 2 1 0 -1 -2

Gambarlah grafik fungsi f (x) = dengan dan

jawab :

x 0 15 30 45 60 75 90f(x) 1 -1 1

Gambarkan grafik

Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma mempunyai hubungan yang sangat erat dengan

fungsi eksponensial. Suatu fungsi eksponensial y = ax, maka fungsi

balikannya adalah y = alog x. Grafik fungsi logaritma y = alog x

diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi eksponensial y

= ax terhadap garis lurus y = x atau satu sama lain merupakan

bayangan cermin dari grafik yang lain terhadap garis y = x.

a > 1 maksimum jika x maksimumF(x) = alogx

0 < a < 1 maksimum jika x minimum

alogx , a > 1

alogx , 0 <a <1

Contoh soal : Gambarkan grafik dari fungsi  y = 2 log x  , x R !

Penyelesaian

Cara 1. Fungsi y = f(x) = 2logx

x 1 2 4 8 16

f(x) =

2logx

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Cara 2. Membuat grafik logaritma melealui inversnya ( fungsi eksponen )

Y = 2logx menjadi y = 2x

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x)=2x

1 2 4 8 16

Selanjutnya grafik yang didapatkan dari fungsi y = 2x diceminkan terhadap garis y = x sehingga didapatkan grafik untuk fungsi y = 2logx

Maka grafiknya adalah :

Lukis grafik y = f(x) = 3log x dan y = g(x) = log x dalam satu bidang

kartesius.Pembahasan :

a. Buatlah seperti papan catur untuk mempermudah

X 1 3 9 7

y = f(x) = 3log x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = g(x) = log

x3 2 1 0 -1 -2 -3

b. Kemudian gambar grafiknya

Grafik Fungsi Logaritma

-4

-2

0

2

4

0 2 4 6 8 10

x

f(x)