1

1. Fungsi Vektor

Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan

sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya

merupakan fungsi dari nilai skalar t. Dalam R2, fungsi vektor biasa ditulis dengan:

Sedangkan dalam R3, fungsi vektor ditulis dengan:

Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x, y, z) di R3

dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi

vektor sebagai berikut:

2. Turunan Biasa

Definisi:

A(t) adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel t. Jika liminya

ada, didefinisikan turunan dari A(t), sebagai berikut:

Jika fungsi vektor = A1 + A2 +A3 dengan fungsi skalar A1 , A2 , dan A3

dapat diferensialkan terhadap variabel t, maka A(t) mempunyai turunan variabel

terhadap t yang dirumuskan sebagai berikut:

Sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor :

Jika A, B, dan C adalah fungsi- fungsi vektor dari sebuah skalar t yang diferensiabel dan

ϕ sebuah fungsi skalar dari t yang diferensiabel, maka sifat-sifat turunan biasa fungsi

vektor adalah sebagai berikut:

2

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

Pembuktian:

i.

(Terbukti!)

ii.

(Terbukti!)

iii.

(Terbukti!)

3

iv.

(Terbukti!)

v.

A

(Terbukti!)

vi.

(Terbukti!)

Contoh:

Jika = ( 2+2 ) + 2 + 3 dan B = ( 2+2 ) + 2 + 3 . Tentukan

di t = 0.

Penyelesaian :

Cara 1

4

pada saat t = 0, maka:

Cara 2 (menggunakan sifat turunan)

pada saat t = 0, maka:

3. Turunan Parsial

Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih, prinsipnya sama dengan

definisi turunan fungsi vektor satu variabel, dimana semua variabel dianggap konstan,

kecuali satu, yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu diturunkan.

Misalkan A adalah sebuah fungsi vektor yang tergantung kepada variabel skalar x, y,

dan z, maka dapat ditulis sebagai A = A(x,y,z). Ketiga turunan parsialnya didefinisikan

sebagai berikut:

5

adalah masing-masing turunan parsial dari A terhadap x, y, dan z, jika limitnya ada.

Jika fungsi vektor ( , , ) = A1( , , ) + A2( , , ) + A3( , , ) dengan fungsi skalar

A1( , , ), A2( , , ), dan A3( , , ) mempunyai turunan parsial terhadap variabel x, y,

dan z, maka juga mempunyai turunan variabel terhadap x, y, dan z yang dirumuskan

sebagai berikut:

Sifat-sifat turunan parsial fungsi vektor :

Jika A dan B adalah fungsi- fungsi vektor dan ϕ adalah fungsi skalar x, y, dan z yang

diferensiabel terhadap ketiga variabel tersebut, maka berlaku :

i.

ii.

iii.

iv.

v.

Pembuktian:

i.

=

6

=

=

+

(Terbukti!)

ii.

(Terbukti!)

iii.

(Terbukti!)

7

iv.

(Terbukti!)

v.

(Terbukti!)

4. Aturan Rantai

Jika fungsi vektor = ( ,y,z) terdiferensial terhadap variabel x, y, dan z, dimana

=( , , ), = ( , , ), dan = ( , , ) adalah fungsi skalar yang terdiferensial terhadap

variabel s, t, dan u, maka bentuk fungsi tersusun F dapat ditulis seperti berikut:

Turunan parsial F terhadap variabel s, t, dan u dapat diberikan sebagai berikut:

8

Contoh:

1. Jika = 2 + 2 + 2 2 , tentukan

,

, dan

.

Penyelesaian:

2. Jika = 3 2 2 dengan = 2 +7 dan = 5 , tentukan

dan nyatakan

dalam bentuk s dan t.

Penyelesaian:

3. Hitung nilai

jika diketahui dengan dan .

Mengingat,

;

; dan

.

Penyelesaian:

9

4. Hitung nilai

jika diketahui dengan dan

. Mengingat,

;

;

;

;

; dan

.

Penyelesaian:

5. Jika dan carilah

Penyelesaian:

Cara 1

Cara 2

6. Jika , tentukanlah

.

Penyelesaian:

10

7. Jika dan , carilah

di

titik (1,0,-2).

Penyelesaian:

Cara 1

—

Cara 2

11

Sehingga

di titik (1,0,–2) adalah sebagai berikut: