Metode NumerikMetode Numerik(2 SKS)(2 SKS)

Kuliah pertamaKuliah pertama

Metode NumerikMetode Numerik(2 SKS)(2 SKS)

Kuliah pertamaKuliah pertama

Oleh :Oleh :Dr. Ir. Dyah Rini Ratnaningsih, MTDr. Ir. Dyah Rini Ratnaningsih, MT

Metode Integrasi Gauss

Metode integrasi Gauss merupakan metode yg tidak menggunakan pembagian area yg banyak, tetapi memanfaatkan titik berat dan pembobot integrasi. Metode ini secara komputasi memiliki banyak keuntungan karena mempunyai kecepatan yg tinggi. Hal ini ditunjukkan dengan jumlah pembaginya yg kecil dan dengan jumlah pembagi yg relatif kecil mempunyai kesalahan yg sama dgn metode lain dg jumlah pembagi yg besar. Misal luas daerah ke-i adalah :

Pertama yg dilakukan adalah mrengubah range pada integrasi diatas menjadi

i

i

x

xi dx)x(fL

1

b,ax,xx ii 1 11,u

dengan menggunakan :

atau

sehingga bentuk integral dapat ditulis menjadi :

dimana :

Dari bentuk ini dapat diambil sejumlah titik pendekatan yg digunakan sebagai titik acuan dlm integrasi kuadratur gauss sbb :

ab

)abxu

2 abuabx

2

1

2

1

1

1du)u(gLi

abuabfab)u(g

2

1

2

1

2

1

Untuk menentukan nilai dapat digunakan persamaan polinom Legendre :

Dan untuk menentukan nilai Ai, digunakan pembobot sbb :

n

iig.Adu)u(g

1

1

1

i

uPmuPumm

uP

uuP

uP

mmm

o

21

1

1121

1

221

2

i'ni

iP

A

Integrasi Kuadratur Gauss dg Pendekatan 2 Titik

Formulasi :

Untuk menghasilkan metode ini diambil n = 2 pada persamaan polinom Legendre, sehingga diperoleh :

Akar-akar persamaan diatas adalah , jadi diperoleh :

111

1

gAgAdu)u(g oo

2

1

2

31114

2

1 2

2 u

.u.uuP

3

1

3

1

3

11 dano

Nilai Ao dan A1 dapat dicari dengan :

Sehingga model integrasi kuadratur gauss dg pende-

katan 2 titik dapat ditulis sbb :

13

3

11

21

33

11

21

.

Adan.

Ao

3

1

3

11

1ggdu)u(g

Contoh :

Hitung integral

Pertama yg harus dilakukan adalah menghitung u dg :

Atau

Dengan demikian diperoleh fungsi g(u) :

dxxL 1

0

2

121

122

xx

)ab(

)ab(xu

12

1 ux

22

18

11

2

1

2

1

uuug

Dengan menggunakan integrasi kuadratur gauss pendekatan 2 titik diperoleh :

33333002232903110040

13

1

8

11

3

1

8

1

3

1

3

1 22

,,,L

ggL

Algoritma Metode Integrasi Trapezoida adalah :

1. Definisikan fungsi f(x)

2. Tentukan batas bawah(a) dan batas atas integrasi (b)

3. Hitung nilai konversi variabel :

4. Tentukan fungsi g(u) dengan :

5. Hitung :

abuabx 2

1

2

1

abuabfab)u(g

2

1

2

1

2

1

3

1

3

1ggL

TERIMA KASIH