9. integrasi numerik
TRANSCRIPT
METODE NUMERIK
9. INTEGRASI NUMERIK
TUJUAN
- Mahasiswa memahami arti Integrasi Numerik
- Mahasiswa memahami penggunaan Integrasi Numerik
- Mahasiswa dapat menjelaskan langkah-langkah menghitung Integrasi Numerik
Materi Integrasi Numerik
1. Pengertian Integrasi Numerik2. Metode:
- Metode Trapesium- Metode Trapesium Dengan Banyak
Bias- Metode Simpson- Metode Kuadratur
INTEGRASI NUMERIK Umum
Integral suatu fungsi adalah operator matematik yang dipresentasikan dalam bentuk :
(6.1)
Dan merupakan integral suatu fungsi f(x) terhadap variabel x dengan batas-batas integrasi
adalah dari x = a dan x = b. Seperti yang ditunjukkan dalam gambar 6.1 dan persamaan 6.1
yang dimaksud dengan integral nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan
sumbu x, serta antara batas x = a dan x = b. Dalam integral analistis, persamaan 6.1 dapat
diselesaikan menjadi :
πΌ= ΰΆ±παΊπ₯α» ππ₯ππ
ΰΆ±παΊπ₯α»ππ₯ππ = αΎπΉαΊπ₯α»αΏππ = πΉαΊπα»β πΉ(π)
Integral numerik apabila :
1. Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analistis
2. Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analistis, tetapi secara numerik dalam
bentuk angka.
Metoda integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada
hitungan perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut dilakukan dengan mendekati fungsi yang
diintegralkan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data tersedia. Bentuk paling
sederhana adalah apabila tersedia dua titk data yang dapat dibentuk fungsi polinomial order
satu yang merupakan garis lurus (linier). Dalam integral numerik, pendekatan tersebut dikenal
dengan metode trapesium.
a b
F1(x)
F(x)
y
x a b c
F(c)
F(x)F(b)
F(a)
y
x
a b
F2(x)F(x)
y
x
Gambar 6.2 metode integrel numerik
Dalam integral numerik, pendekatan tersebut dikenal dengan metode trapesium.
Dengan pendekatan ini integral suatu fungsi adalah sama dengan luas bidang yang diarsir
(gambar 6.2) sedang kesalahan.nya sama dengan luas bidang yang tidak diarsir.
Apabila hanya terdapat dua data f(a) dan f(b) hanya bisa dibentuk satu trapesium,
dan cara ini dikenal dengan metode trapesium satu pias. Jika tersedia lebih dari dua data dapat
dilakukan pendekatan dengan lebih dari satu trapesium,dan luas total adalah jumlah dari
trapesium-trapesium yang terbentuk. Cara ini dikenal dengan metode trapesium banyak pias.
Seperti terlihat dalam gambar 6.2.b. Dangan tiga data dapat dibentuk dua trapesium, dan luas
kedua trapesium (bidang yang diarsir) adalah pendekatan dari integral fungsi. Hasil
pendekatan ini lebih baik daripaada pendekatan dengan satu pias. Apabila digunakan lebih
banyak trapesium hasilnya akan lebih baik.
Metode Trapesium
Metode trapesium merupakan metode pendekatan integral numerik dengan
persamaan polinominal orde satu. Dalam metode ini kurva lengkung dari fungsi f(x)
digantikan oleh garis lurus.
seperti terlihat dalam gambar 6.2. luasan bidang dibawah fungsi f(x) antara x=a
dan x=b didekati oleh luas satu trapesium yang terbentuk oleh garis lurus yang
menghubungkan f(a) dan f(b) dan sumbu x serta antara x=a dan x=b.pendekatan dilakukan
dengan satu pias (trapesium). Menurut rumus geometri, luas trapesium adalah lebar kali tinggi
rerata, yang berbentuk :
(6.2)πΌ= (πβ π)παΊπα»+ π(π)2
Seperti terlihat dalam gambar 6.3, penggunaan garis lurus untuk mendekati garis
lengkung menyebabkan terjadinya kesalahan sebesar luasan yang tidak diarsir.
Besarnya kesalahan yang terjadi dapat diperkirakan dari persamaan berikut :
Dengan ΞΎ adalah titik yang terletak didalam interval a dan b.
πΈ= β 112πβ²β²αΊπα»(πβ π) (6.3)
a b
y
x
F(x)
F(a)
F(b)
Gambar 6.3 metode trapesium
Contoh 1
Gunakan metode trapesium satu pias untuk menghitung
Penyelesaian
Bentuk integral diatas dapat diselesaikan secara analistis :
Hitungan integral numerik dilakukan dengan menggunakan persamaan (6.2):
πΌ= ΰΆ±ππ₯ππ₯.40
πΌ= ΰΆ±ππ₯ππ₯= αΎππ₯αΏ40 = αΊπ4 β π0α»= 53,59815040
πΌ= αΊπβ πα»παΊπα»+ παΊπα»2 = αΊ4β 0α»π0 + π42 = 111,1963
Untuk mengutahui tingkat ketelitian dari integral numerik, hasil hitungan numerik
dibandingkan dengan hitungan analistis. Kesalahan relatif terhadap nilai eksak adalah
Terlihat bahwa penggunaan metode trapesium satu pias memberikan kesalahan
sangat besar (lebih dari 100%)
β = 53,598150 β 111,196353,598150 Γ 100% = β107,46%
Metode Trapesium Dengan Banyak Pias
dari contoh 1 terlihat bahwa pendekatan dengan menggunakan satu pias
(trapesium) menimbulkan kesalahan yang sangat besar. Untuk mengurangi kesalahan yang
terjadi maka kurva lengkung didekati oleh sejumlah garis lurus, sehingga terbentuk banyak
pias (gambar 6.4). Luas bidang adalah jumlah dari luas beberapa pias tersebut. Semakin kecil
pias yang digunakan, hasil yang didapat semakin teliti.
Dalam gambar 6.4 panjang tiap pias adalah βx. Apabila terdapat n pias, berarti
panjang masing-masing pias adalah :βπ₯= πβ ππ
x0=a x1 x2 x3 xn-3 xn-2 xn-1 x0=b
y
x
Gambar 6.4. metode trapesium dengan banyak pias
Batas-batas pias diberi notasi :
x0 = a, x1, x2. . . . . . ,xn = b
Integral total dapt ditulis dalam bentuk :
Subtitusi persamaan (6.2) ke dalam persamaan (6.4) akan didapat :
Atau :
Atau :
πΌ= ΰΆ± παΊπ₯α»ππ₯+ ΰΆ± παΊπ₯α»ππ₯+π₯2π₯1
π₯1π₯0
β¦β¦β¦β¦β¦+ ΰΆ± παΊπ₯α»ππ₯π₯ππ₯πβ1
(6.4)
πΌ= βπ₯π(π₯1) + π(π₯0)2 + βπ₯π(π₯2) + π(π₯1)2 + β¦β¦β¦β¦+ βπ₯π(π₯π) + π(π₯πβ1)2
πΌ= βπ₯2 [παΊπ₯0α»+ 2 παΊπ₯πα»+ ππ₯π)]πβ1π=1
(6.5)
πΌ= βπ₯2 [παΊπα»+ παΊπα»+ 2 παΊπ₯πα»]πβ1π=1
(6.6)
Besarnya kesalahan yang terjadi pada penggunaan banyak pias adalah :
Yang merupakan kesalahan orde dua. Apabila kesalahan tersebut diperhitungkan dalam
perhitungan integral, maka akan didapat hasil yang lebih teliti.
Bentuk persamaan trapesium dengan memperhitungkan koreksi adalah :
Untuk kebanyakan fungsi, bentuk dapat didekati oleh :
Subtitusi persamaan (6.9) kedalam persamaan (6.8) didapat :
πΈπ‘ = ββπ₯212 αΊπβ πα»πβ²β²(π₯π) (6.7)
πΌ= βπ₯2 [παΊπα»+ παΊπα»+ 2 π(π₯π)] β βπ₯212 αΊπβ πα»πβ²β²(π) β π(βπ₯4)πβ1π=1
πβ²β²(ΞΎ)
πβ²β²αΊΞΎα»= πβ²αΊπα»β πβ²(π)πβ π
(6.8)
(6.9)
πΌ= βπ₯2 [παΊπα»+ παΊπα»+ 2 π(π₯π)] β βπ₯212 [πβ²αΊπα»β πβ²(π)]πβ1π=1
(6.10)
Contoh 2
Gunakan metode trapesium empat pias dengan lebar pias adalah βx=1 untuk menghitung :
Penyelesaian :
Metode trapesium dengan 4 pias, sehingga panjang pias adalah :
Luas bidang dihitung dengan persamaan (6.6) :
πΌ= ΰΆ± ππ₯ππ₯40
βπ₯= (πβ π)π = (4β 0)4 = 1
πΌ= βπ₯2 [παΊπα»+ παΊπα»+ 2 παΊπ₯πα»]πβ1π=1
= 12αΎπ0 + π4 + 2αΊπ1 + π2 + π3α»αΏ= 57,991950
Kesalahan relatif terhadap nilai eksak :
Apabila digunakan metode trapesium dengan koreksi ujung, maka integral dihitung dengan
persamaan (6.10). Dalam persamaan tersebut koreksi ujung mengandung turunan pertama dari
fungsi. Apabila f(x) = ex turunan pertamanya adalah fβ= ex, sehingga :
= 57,991950 - 4,466513 = 53,525437
Kesalahan relatif terhadap nilai eksak :
π= 53,598150β 57,99195053,598150 Γ 100% = β8,2%
πΌ= βπ₯2 [παΊπα»+ παΊπα»+ 2 π(π₯π)] β βπ₯212 [πβ²αΊπα»β πβ²(π)]πβ1π=1
= 12αΎπ0 + π4 + 2αΊπ1 + π2 + π3α»αΏβ 112αΊπ4 β π0α»= 57,991950
π= 53,598150 β 53,52543753,598150 Γ 100% = 0,14%
Metode simpson
Disamping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara
lain untuk mendapatkan perkiraan yang lebihtinggi untuk menghubungkan titik-titik data.
Misalnya, apabila ada suatu titik tambahn diantara f(a) dan f(b), maka ketiga titik dapat
dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar 6.5.a). Apabila terdapat dua titik tambahan
dengan jarak yang sama anatara f(a) dan f(b), maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan
dengan polinomial orde tiga (Gambar 6.5.b). Rumus yang dihasilkan oleh integral di bawah
polinomial tersebut dikenal dengan metode aturan simpson.
a b a b
y y
x x(a) (b)Gambar 6.5. aturan Simpson
Aturan simpson 1/3
Di dalam aturan simpson 1/3 digunakan aturan polinomial orde dua (persamaan
parabola)yang melalui titik f(xi-1) , f(xi) dan f(xi+1) untuk mendekati fungsi. Rumus simpson
dapat diturunkan berdasarkan deret taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini.
Apabila bentuk tersebut dideferensialkan terhadap xi akan menjadi :
Dengan memperlihatkan gambar 6.6 dan persamaan (6.12) maka persamaan deret taylor adalah :
πΌαΊπ₯α»= ΰΆ±παΊπ₯α»ππ₯π₯π
πΌβ²αΊπ₯α»= π πΌ(π₯)ππ₯ = π(π₯)
πΌ(π₯π+1) = πΌαΊπ₯π + βπ₯α»= πΌαΊπ₯πα»+ βπ₯παΊπ₯πα»+ βπ₯22 πβ²αΊπ₯πα»+ βπ₯33! πβ²β² + βπ₯44! πβ²β²β²αΊπ₯πα»+ π(βπ₯5)
πΌαΊπ₯πβ1α»= πΌαΊπ₯π β βπ₯α»= πΌαΊπ₯πα»β βπ₯παΊπ₯πα»β βπ₯22 πβ²αΊπ₯πα»β βπ₯33! πβ²β² β βπ₯44! πβ²β²β²αΊπ₯πα»β π(βπ₯5)
(6.11)
(6.12)
(6.13)
(6.14)
Seperti terlihat dalam Gambar 6.6 nilai I (xi+1) adalah luasan di bawah fungsi f(x)
anatara batas a dan xi+1. Sedangkan nilai I (xi-1) adalah luasan antara batas a dan xi-1. Dengan
demikian luasan di bawah fungsi antara batas x i-1 dan xi+1 yaitu (Ai ) adalah luasan I (xi+1)
dikurangi I (xi-1) atau persamaan (6.13) dikurangi (6.14).
Ai = I(xi+1) β (xi-1)
Atau
a xi-1 xi xi+1
f(x)
x
f(x)
I(xi-1)I(xi+1)
Gambar 6.6. Penurunan metode simpson
π΄π = 2βπ₯παΊπ₯πα»+ βπ₯33 πβ²β²αΊπ₯πα»+ π(βπ₯5)
Nilai fββ(xi) ditulis dalam bentuk differensial terpusat :
Kemudian bentuk di atas disubtitusikan ke dalam persamaan (6.15). Untuk
memudahkan penulisan, selanjutnya notasi f(x i) ditulis dalam bentuk fb sehingga persamaan
(6.15) menjadi :
Atau :
Persamaan (6.16) dikenal dengan metode Simpson 1/3. Diberi tambahan nama 1/3
karena βx dibagi dengan 3. Pada pemakaian satu pias,
πβ²β²αΊπ₯πα»= παΊπ₯πβ1α»β 2παΊπ₯πα»+ π(π₯π+1)βπ₯2 + π(βπ₯2)
π΄π = 2βπ₯ππ + βπ₯3 (ππβ1 β 2ππ + ππ+1) + βπ₯33 παΊβπ₯2α»+ π(βπ₯5)
π΄π = βπ₯3 αΊππβ1 + 4ππ + ππ+1α»+ π(βx5) (6.16)
βπ₯= πβ π2
Sehingga persamaan (6.16) dapat ditulis dalam bentuk :
Dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b
Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias adalah :
Oleh karena , maka :
π΄π = πβ π6 [παΊπα»+ 4παΊπα»+ παΊπα»]
πΈπ‘ = β 190βπ₯5πβ²β²β²β² (ΞΎ)
βπ₯= πβ π2
πΈπ‘ = β(πβ π)52880 πβ²β²β²β² (ΞΎ)
Contoh 3
Hitung dengan aturan simpson 1/3
Penyelesaian :
Dengan menggunakan persmaan (6.17) maka luas bidang adalah :
Kesalahan terhadap nilai eksak :
Terlihat bahwa pada pemakaian satu pias, metode Simpson 1/3 memberikan hasil
lebih baik dari rumus trapesium.
πΌ= ΰΆ±ππ₯ππ₯.40
π΄π = πβ π6 αΎπαΊπα»+ 4παΊπα»+ παΊπα»αΏ= 4β 06 αΊπ0 + 4π2 + π4α»= 56,7696
πΈπ‘ = 53,598150 β 56769653,598150 Γ 100% = 5,917%
Aturan Simpson 1/3 dengan banyak pias
Seperti dalam metode trapesium, metode simpson dapat diberikan dengan
membagi luasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang sama :
Dengan n adalah jumlah pias.
βπ₯= πβ ππ
a 1 2 3 4 5 n-1 b
A1 A3 A5 An-1
f(x)
x
f(x)
Gambar 6.7. MetodeSimpson dengan banyak pias
Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias, seperti terlihat dalam gambar 6.7
Dalam metode simpson ini jumlah interval adalah genap. Apabila persamaan (6.16)
disubtitusikan ke dalam persamaan (6.18) akan diperoleh :
Atau :
Seperti terlihat dalam gambar (6.7) dalam penggunaan metode simpson dengan
banyak pias ini jumlah interval adalah genap. Dalam persamaan (6.19) suku 4βf(x i) adalah
untuk nilai i ganjil (i=1,3,5,....), sedang 2βf(xi) adalah untuk nilai i genap (i=2,4,6,....).
Perkiraan kesalahan yang terjadi pada aturan simpson untuk banyak pias adalah :
ΰΆ±παΊπ₯α»ππ₯= π΄1 + π΄3 + β¦β¦β¦+ π΄πβ1π
π (6.18)
ΰΆ±παΊπ₯α»ππ₯= βπ₯3 αΊπ0 + 4π1 + π2α»+ βπ₯3 (π2 + 4π3 + π4 + β¦β¦β¦+ βπ₯3 (ππβ2 + 4ππβ1 + ππ)ππ
ΰΆ±παΊπ₯α»ππ₯= βπ₯3 [παΊπα»+ παΊπα»+ 4 παΊπ₯πα»+ 2 π(π₯π)]πβ2π=2
πβ1π=1
ππ
πΈπ = β(πβ π)5180π4 πβ²β²β²β²
Dengan fββββ adalah rerata dari turunan keempat untuk setiap interval.
Contoh 4
Hitung dengan metode Simpson dengan βx=1
Penyelesaian :
Dengan menggunakan persamaan (6.19) maka luas bidang adalah :
Kesalahan nilai eksak :
ΰΆ±ππ₯ππ₯40
πΌ= 13αΎπ0 + π4 + 4αΊπ1 + π3α»+ 2π2αΏ= 53,863846
πΈπ‘ = 53,598150 β 53,86384653,598150 Γ 100% = 0,5%
Metode Simpson 3/8
Metode simpson 3/8 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial orde tiga yang
mempunyaiempat titik
Dengan cara yang sama seperti dalam penurunan aturan simpson 1/3, akhirnya diperoleh :
Dengan :
Persamaan (6.20) disebut dengan metode Simpson 3/8 karena βx dikalikan dengan 3/8.
metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam bentuk :
πΌ= ΰΆ±παΊπ₯α»ππ₯β ΰΆ±π3αΊπ₯α»ππ₯ππ
ππ
πΌ= 3βπ₯8 [παΊπ₯0α»+ 3παΊπ₯1α»+ 3παΊπ₯2α»+ παΊπ₯3α»]
βπ₯= πβ π3
πΌ= (πβ π) [παΊπ₯0α»+ 3παΊπ₯1α»+ 3παΊπ₯2α»+ π(π₯3)8
(6.20)
(6.21)
Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar :
Mengingat , maka :
Contoh 5
Dengan aturan simpson 3/8 hitung . Hitung integral tersebut dengan menggunakan
gabungan dari metode simpson 1/3 dan 3/8, apabila digunakan lima pias dengan βx=0,8
Penyelesaian :
a. Metode simpson 3/8 dengan satu pias.
Intgral dihitung dengan persamaan (6.21) :
πΈπ‘ = β 380βπ₯3πβ²β²β²β² (ΞΎ)
βπ₯= πβ π3
πΈπ‘ = β(πβ π)56480 πβ²β²β²β² (ΞΎ)
(6.22.a)
(6.22.b)
ΰΆ±ππ₯ππ₯40
πΌ= αΊ4β 0α»(π0 + 3π1,3333 + 3π2,6667 + π4)8 = 55,07798
Besarnya kesalahan adalah :
b. Apabila digunakan lima pias, maka data untuk kelima pias tersebut adalah :
Integral untuk dua pias pertama dihitung dengan metode simpson 1/3 (persamaan 6.17)
Tiga pias terakhir digunakan aturan Simpson 3/8 :
Integral total adalah jumlah dari kedua hasil di atas :
β = 53,598150 β 55,0779853,598150 Γ 100% = β2,761%
παΊ0α»= π0 = 1 παΊ0,8α»= π0,8 = 2,22554 παΊ1,6α»= π1,6 = 4,95303
παΊ2,4α»= π2,4 = 11,02318
παΊ3,2α»= π3,2 = 24,53253 παΊ4α»= π4 = 54,59815
πΌ= 1,66 αΊ1+ 4Γ 2,22554 + 4,95303α»= 3,96138
πΌ= 2,4(4,95303 + 3Γ 11,02318 + 3Γ 24,53253 + 54,59815)8 = 49,865549
β = 53,598150 β 53,82687353,59815 Γ 100% = β0,427
Integral dengan panjang pias tidak sama
Di dalam praktek sering dijumpai suatu keadaan dimana diperlukan pembagian
pias dengan panjang tidak sama, seperti terlihat dalam gambar6.8. pada kurva yang
melengkung dengan tajam diperlukan jumlah pias yang lebih banyak sehingga panjang pias
lebih kecil dibanding dengan pada kurva yang relatif datar.
Gambar 6.8. Integral dengan panjang pias tidak sama
X0 X1 X2 Xn
y
x
Diantara beberapa aturan yang telah dibicarakan, yang digunakan untuk keadaan
ini adalah metode trapesium dengan banyak pias, dan bentuk persamaannya adalah :
dengan :
Metode Kuadratur
Dimana dalam metode trapesium dan simpson, fungsi yang diintegralkan secara
numerik terdiri dari dua bentuk yaitu tabel data atau fungsi. Didalam metode kuadratur,
terutama yang akan dibahas dalam sub bab ini adalah metode Gauss Kuadatur, data yang
diberikan berupa fungsi.
Pada aturan trapesium dan simpson, integral didasarkan pada nilai-nilai diujung-
ujung pias. Seperti tampak dalam Gambar 6.9.a. Metode trapesium didasarkan pada luasan
dibawah garis lurus yang menggambarkan nilai-nilai dari fungsi pada ujung-ujung interval
integrasi. Rumus yang digunakan untuk menghitung luasan adalah :
πΌ=βπ₯1παΊπ₯1α»+π(π₯0)2 +βπ₯2παΊπ₯2α»+π(π₯1)2 + β¦β¦β¦..+βπ₯π αΊπ₯πα»+ (π₯πβ1)2
βπ₯π = π₯πβπ₯π β 1
πΌ= (πβ π) παΊπα»+ π(π)2 (6.24)
(6.23)
Dengan a dan b adalah batasan integrasi dan (b-a) adalah lebar dari interval integrasi. Karena
metode trapesium harus melalui titik-titik ujung, maka seperti terlihat dalam gambar 6.9.a.
Rumus trapesium memberikan kesalahan cukup besar.
Dalam metode trapesium, persamaan integral seperti diberikan oleh persamaan (6.24) dapat
ditulis dalam bentuk :
dengan c adalah konstanta. Dari persamaan tersebut akan dicari koefisien c1 dan c2
(a) (b)
f(x) f(x)
x x
Gambar 6.9. bentuk grafis metode trapesium dan Gauss Kuadratur
πΌ= π1παΊπα»+ π2π(π) (6.25)
Seperti halnya dengan metode trapesium, dalam metode gauss kuadratur juga akan dicari
koefisien-koefisien dari persamaan yang berbentuk :
Dalam hal ini variabel x1 dan x2 adalah tidak tetap, dan akan dicari, seperti terlihat dalam
Gambar 6.10
πΌ= π1παΊπ₯1α»+ π2π(π₯2) (6.26)
f(x1)
f(x)f(x2)
-1 x1 x2 1
παΊπ₯α»= π₯3:π1παΊπ₯1α»+ π2)παΊπ₯2α»= ΰΆ±π₯3ππ₯= 0 = π1π₯13 + π2π₯231
β1
παΊπ₯α»= π₯2:π1παΊπ₯1α»+ π2)παΊπ₯2α»= ΰΆ±π₯2ππ₯= 23 = π1π₯12 + π2π₯221
β1
Sehingga didapat sistem persamaan :
παΊπ₯α»= π₯:π1παΊπ₯1α»+ π2)παΊπ₯2α»= ΰΆ±π₯ππ₯= 0 = π1π₯1 + π2π₯21
β1
παΊπ₯α»= 1:π1παΊπ₯1α»+ π2)παΊπ₯2α»= ΰΆ±π₯ππ₯= 2 = π1 + π21
β1
π1π₯13 + π2π₯23 = 0 π1π₯12 + π2π₯22 = 23 π1π₯1 + π2π₯2 = 0 π1 + π2 = 2