integrasi numerik - · pdf filemetode numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih...
TRANSCRIPT
INTEGRASI NUMERIK
Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)
Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.
INTEGRASI NUMERIK
Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
Fungsi yang rumit misal :
Cxxxdxx
Cxdxx
Cbaa
dxbax
Cbaa
dxbax
Ca
edxe
Cn
axdxax
axax
nn
||ln||ln
||ln1
)sin(1)cos(
)cos(1)sin(
1
1
dxex
x x5.0
2
0
23
sin5.01
)1cos(2
INTEGRASI NUMERIK
Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang
digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.
digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi
oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.
Penerapan integral : menghitung luas dan volume-
volume benda putar
Dasar Pengintegralan Numerik
Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
)(...)()(
)()(
1100
0
nn
i
n
i
i
b
a
xfcxfcxfc
xfcdxxf
x0 x1 xn xn-1 x
f(x)
0
2
4
6
8
10
12
3 5 7 9 11 13 15
Dasar Pengintegralan Numerik Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal
belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.
Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati
jawaban eksak.
Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada
dxxfdxxfIb
an
b
a )()(
Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
n
n
1n
1n10n xaxaxaaxf
)(
Dasar Pengintegralan Numerik
fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat
fn (x) bisa juga fungsi kubik atau
polinomial yang lebih tinggi
Polinomial dapat didasarkan pada data
INTEGRASI NUMERIK
Luas daerah yang diarsir L
dapat dihitung dengan :
L =
b
a
dxxf
Metode Integral Reimann
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
Metode Integral Reimann
Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x
Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b]
Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana
Li=f(xi).
Metode Integral Reimann
Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :
Dimana
Didapat
i
n
ii
n
n
xxf
xxfxxfxxfxxf
LLLLL
0
3221100
210
...
..
n
ii
b
a
xfhdxxf0
hxxxx n ...210
Contoh
Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk
range x = [0,1]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x**2
1
0
2dxxL =
Contoh
Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
Secara kalkulus :
Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052
385,085,31.0
00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0
)(.10
0
i
ixfhL
.....3333,0|3
1 10
31
0
2 xdxxL
Algoritma Metode Integral Reimann:
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi
Tentukan jumlah pembagi area N
Hitung h=(b-a)/N
Hitung
N
iixfhL
0
)(.
Metode Integrasi Trapezoida
Aproksimasi garis lurus (linier)
)()(
)()()()(
10
1100i
1
0i
i
b
a
xfxf2
h
xfcxfcxfcdxxf
x0 x1 x
f(x)
L(x)
Aturan Komposisi Trapesium
)()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
n1ni10
n1n2110
x
x
x
x
x
x
b
a
xfxf2x2fxf2xf2
h
xfxf2
hxfxf
2
hxfxf
2
h
dxxfdxxfdxxfdxxfn
1n
2
1
1
0
x0 x1 x
f(x)
x2 h h x3 h h x4
n
abh
Metode Integrasi Trapezoida
n
n
ii fff
hL
1
10 2
2
iiii
iiii
xffL
atau
xxfxfL
.2
1
.2
1
1
1
1
0
iiLL
nn
n
iii fffff
hffhL
1210
1
01 2...22
22
1
Algoritma Metode Integrasi Trapezoida
Definisikan y=f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)
Tentukan jumlah pembagi n
Hitung h=(b-a)/n
Hitung
n
n
ii fff
hL
1
10 2
2
Aturan Simpson 1/3
Aproksimasi dengan fungsi parabola
)()()(
)()()()()(
210
221100i
2
0i
i
b
a
xfxf4xf3
h
xfcxfcxfcxfcdxxf
x0 x1 x
f(x)
x2 h h
L(x)
1 xx
0 xx
1 xx
h
dxd
h
xx
2
abh
2
ba x bx ax let
xfxxxx
xxxx
xfxxxx
xxxx xf
xxxx
xxxxxL
2
1
0
1
120
2
1202
10
1
2101
200
2010
21
,,
,,
)())((
))((
)())((
))(()(
))((
))(()(
)()(
)()()()(
)( 21
2
0 xf2
1xf1xf
2
1L
Aturan Simpson 1/3
)()(
)()()()(
)( 21
2
0 xf2
1xf1xf
2
1L
1
1
23
2
1
1
3
1
1
1
23
0
1
12
1
0
2
1
1
10
1
1
)23
(2
)(
)3
()()23
(2
)(
)1(2
)()1)(
)1(2
)()()(
ξξhxf
ξξhxf
ξξhxf
dξξξh
xfdξξ(hxf
dξξξh
xfdξLhdxxfb
a
)()()()( 210
b
axfxf4xf
3
hdxxf
Aturan Simpson 1/3
Aturan Komposisi Simpson
x0 x2 x
f(x)
x4 h h xn-2 h xn
n
abh
…...
h x3 x1 xn-1
Metode Integrasi Simpson Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah
yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
atau dapat dituliskan dengan:
nnnn ffh
ffh
ffh
ffh
ffh
ffh
L 11243322110 23
23
...23
23
23
23
n
genapii
ganjilii ffff
hL
0 24
3
N = 0 – n
L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang
melalui ketiga titik tsb
0
2
2000
2
2002!2
)()(
!2
)()()( f
h
hxxf
h
xfxf
h
hxxxf
h
xxfxp
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]
0
2
00
0
2
00
0
22
2
3
0
2
0
2
00
2
2
2
2
3
0
2
0
2
0
0
2
200
2
0
2
2
0
322
3
422
4
4
6
8
2
42
|462
!2
)(
)(
fh
fhxhfL
fhh
fhxhfL
fh
h
h
hf
h
hxhfL
fh
x
h
xf
h
xxfL
dxfh
hxxf
h
xfL
xdxpdxxfL
hx
x
h
hh
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
Mengingat
Maka selanjutnya
010 fff
)4(3
33
4
3
33
2
3222
)2(3
)(22
210
210
012010
012010
fffh
L
fh
fh
fh
L
fh
fh
fh
hfhfxhfL
fffh
ffhxhfL
0120112010
2 2)()( ffffffffff
Aturan Simpson 3/8
Aproksimasi dengan fungsi kubik
)()()()(
)()()()()()(
3210
33221100i
3
0i
i
b
a
xfxf3xf3xf8
h3
xfcxfcxfcxfcxfcdxxf
x0 x1 x
f(x)
x2 h h
L(x)
x3 h
)())()((
))()(()(
))()((
))()((
)())()((
))()(()(
))()((
))()(()(
3
231303
2102
321202
310
1
312101
3200
302010
321
xfxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxxx
xfxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxxxxL
)()()()( 3210
b
a
b
a
xfxf3xf3xf8
h3
3
abh ;L(x)dxf(x)dx
Error Pemenggalan
3
abh ;f
6480
abfh
80
3E
45
45
t
)(
)()(
)()(
Aturan Simpson 3/8
Metode Integrasi Gauss
Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson)
berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :
H sama
Luas dihitung dari a sampai b
Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.
Metode Integrasi Gauss
Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]
Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida
Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga
error integrasinya min
2
)1()1()1()1(2
)(
1
1
h
ffffh
dxxfI
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI
Metode Integrasi Gauss
Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi
secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval
integrasi [-1, 1]
f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI
0
32
0
21
1
1
33
22
3
11
1
1
22
22
2
11
1
1
2211
1
1
21
dxxxcxc
dxxxcxc
dxxxcxc
dxcc
Didapat
3
1
3
1
1
21
21
xx
cc
Metode Integrasi Gauss
Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2
titik
)3
1()
3
1()(
1
1
ffdxxf
Transformasi
Range [a,b] [-1,1]
X u f(x) g(u) dx du
b
a
i dxxfL )(
1
1
)( duugLi
Transformasi
duab
dx
uabbax
aububax
aabux
abuax
u
ab
ax
2
2
)()(
2
2))(1(2
))(1(22
2
1
a b x
-1 1 u
Transformasi
duuabba
fabduug
1
1
1
12
)()()(
2
1)(
)()()(2
1)(
21
21 abuabfabug
1
1
)( duugLi
Analisa
Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.
Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.
Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi
1
1
)( duug
Tugas
Carilah perintah dalam bahasa matlab untuk Integrasi Gauss-
Legendre (Gauss – Quadratic)