integral dengan metode simpson 1.docx

8/16/2019 INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1.docx

1/25

INTEGRAL DENGAN METODE SIMPSON 1/3

Integrasi numerik metode simpson 1/3 dihasilkan bila polinomial orde dua disubsitusikan ke

dalam persamaan

Persamaan (1)

Simpson 1/3 digunakan polinomial orde dua (persamaan parabola) yang melalui titik f(xi-

1), f(xi)dan f(xi1) untuk mendekati fungsi! "umus simpson dapat diturunkan berdasarkan deret

taylor! #pabila persamaan (1) didiferensialkan terhadap x, maka men$adi%

Persamaan (&)


2/25

'ambar (1)

engan memperhatikan gambar (1) dan persamaan (&) maka persamaan deret taylor adalah%

Persamaan (3)

Persamaan ()


3/25

ari gambar (1) nilai I(xi+1) adalah luas diba*ah fungsi f(x) antara batas a dan (xi+1)!

Sedangkan nilai I(xi-1)adalah luas diba*ah fungsi f(x) antara batas a dan (xi-1)! +isal luas

diba*ah fungsi f(x) antara batas (xi-1) dan (xi+1) adalah I , maka%

atau

Persamaan ()

Sedangkan f ''(xi) didapat dari diferensial enter

Persamaan (.)

emudian subsitusikan persamaan (.) ke dalam persamaan ()


4/25

Persamaan (0)

Persamaan (0) ini adalah metode simpson 1/3, diberi tambahan 1/3 karena delta x dibagi dengan3!

Pada pemakaian banyak pias (n pias), membagi luasan dengan n pias dengan pan$ang interal

yang sama dan missal n2 'ambar (&)!


5/25

Rabu, 22 September 2010 -

homas Simpson mengembangkan metode yang lebih baik lagi, yang disebut aturan Simpson!

alau dalam aturan trapesium dan segi empat kita menggunakan garis lurus di punak potongan

kura, maka aturan Simpson memakai parabola!

engan menggunakan parabola, luas tiap potongan dalam aturan Simpson adalah %

alam aturan Simpson, daerah di ba*ah kura yang dipotong harus ber$umlah genap!Sekarang kita oba menggunakan aturan Simpson untuk menari integral berikut dengan $umlah

potongan n2

http://www.faktailmiah.com/2010/09/22/aturan-trapesium.htmlhttp://www.faktailmiah.com/2010/09/19/integral.htmlhttp://www.faktailmiah.com/2010/09/19/integral.htmlhttp://www.faktailmiah.com/2010/09/22/aturan-trapesium.html


6/25

Pertama, ari delta-x yaitu rentang tiap potongan di sumbu x! 4aranya sama dengan aturan

rapesium, ari selisih batas atas dan batas ba*ah, lalu bagi dengan $umlah potongan

5 x 2 (3 6 &)/ 2 7!&

Sudah ketemu, berarti kita dapat potongannya &, &!&, &!7, &!0 dan 3! +asukkan ke persamaan

fungsi

y7 2 f (a) 2 f (&) 2 1/(& 1) 2 7!3333333

y1 2 f (a + 5 x) 2 f (&!&) 2 1/(&!&1) 2 7!370.8&3

y& 2 f (a + &5 x) 2 f (&!) 2 1/(&!1) 2 7!&901&

y3 2 f (a + 35 x) 2 f (&!0) 2 1/(&!01) 2 7!&.....0

y 2 f (b) 2 f (3) 2 1/(31) 2 7!&

ketemu semua nilai y, masukkan ke rumus luas

:a*aban sesungguhnya dari soal ini adalah 7!&90.9& $adi aturan Simpson memiliki kesalahan

hanya 7!7773. ;! eliti banget kan5


7/25

'ambar ()


8/25

#tau

#tau untuk n pias

persamaan (8)

Persamaan (8) adalah untuk menari nilai integral dari f(x) dengan pias n antara a dan b!

Penggalan program dalam 4%

temp2f(a)f(b)=

$arak2a=

for(i21=i>2n=i)

?$arak2$arakdelta=if(fmod(i,&)@27)

temp2tempAf($arak)=

else

temp2temp&Af($arak)=B

I2(tempAdelta)/3=


9/25

Integral Numer! Met"#e Trape$"# #an Met"#e Smp%"n

. Cotes

Integral numerik $uga dinamakan quadrature telah men$adi perhatian para ilmu*an se$ak abad

19 hingga 18! Quadrature pada prinsipnya adalah konsep yang sangat mudah yaitu bagaimana

mengealuasi integral suatu fungsi%

ipandang dari sudut persamaan diferensial maka menari nilai integral I adalah sama dengan

menyelesaikan persamaan diferensial%

engan syarat batas f(x)27

Ne&t"n'("te% )"rmula

+etode yang umum digunakan dalam menghitung integral numerik adalah De*ton-4otes

Eormula, dimana batas antara a dan b dibagi ke dalam bagian yang lebih keil (step-siFe h)


10/25

sedemikian rupa sehingga notasi integral dapat diganti ,em$adi notasi pen$umlahan (sigma),

yaitu%

Gntuk metode closed loop

Gntuk metode open loop

Eungsi f(x) adalah fungsi yang diintegralkan, namun untuk memperoleh rumus integral numerik

dapat diganti dengan fungsi interpolasi seperti deret aylor, De*ton for*ard,


11/25

imana " adalah suku yang mengandung error komputasi H(h3)! Sehingga kita mendapatkanrumus integral trapeFoid yaitu%

Smp%"n rule

+etode Simpson dapat diturunkan dengan substitusi fungsi


12/25

imana " s adalah suku yang mengandung error komputasi H(h3)! Sehingga kita mendapatkan

rumus integral Simpson yaitu%

Sekarang kita oba kedua metode di atas untuk menyelesaikan persoalan berikut ini%

itung

menggunakan metode trapeFoid dan simpson 1/3 dengan $umlah pias D29@

Sebelum menghitung dengan metode numerik, sebaiknya kita hitung dahulu menggunakan

metode analitik kemudian hasil akhirnya kita bandingkan!

+isal u 2 1x sehingga

ita substitusikan men$adi

S"lu% met"#e trape$"#

asil integral di atas didekati dengan metode trapeFoid dengan persamaan%


13/25

engan D29, sehingga nilai h27,1&

ita lakukan perhitungan manual terlebih dahulu seperti berikut%

i xi E(xi)

7 7 1

1 7,1& 7,999

& 7,& 7,9

3 7,30 7,0&0&

7, 7,...

7,.& 7,.13

. 7,0 7,01

0 7,90 7,33

9 1 7,


14/25

asil yang diberikan metode trapeFoid memberikan nilai 7,.839!

S"lu% met"#e Smp%"n 1/3

Solusi ini menggunakan persamaan

engan tabel yang sama kita dapatkan


15/25

asil yang didapatkan melalui metode simpson 1/3 adalah 7,.8&!

Setelah melakukan perhitungan manual, kita buat program pada +#


16/25

end

f

ff2f(&%n)

sum27=

for i21%(n-1)=

sum2sumff(i)=

end

sum

trap2(h/&)A(f(1)&Asumf(n1))

sigma27=

for i21%(n-1)

if (rem(i,&)K27)

sigma2sigmaAff(i)=

else

sigma2sigma&Aff(i)=

end

end

simp2(h/3)A(f(1)sigmaf(n1))


17/25

edua metode di atas dapat diletakkan pada satu listing program sa$a! ode

trap2(h/&)A(f(1)&Asumf(n1))digunakan untuk metode trapeFoid dan kode

simp2(h/3)A(f(1)sigmaf(n1))

untuk metode simpson 1/3! :ika program di atas kita run maka akan memberikan hasil berikutini%

n 2

9

n 2

9

f 2

1!7777 7!9998 7!9777 7!0&03 7!...0 7!.1 7!01 7!333 7!777

ff 2

7!9998 7!9777 7!0&03 7!...0 7!.1 7!01 7!333

sum 2

!9737

trap 2

7!.81

simp 2

7!.83&


18/25

ampak nilai trap 2 7,.81 dan simp 2 7,.83& masing-masing nilai metode trapeFoid dan metode

simpson yang hampir sama dengan perhitungan manual!

("nt"* S"al

itunglah I 2 LintM7N ex dx menggunakan +etode Simpson 1 per 3 dengan pias!

Penyelesaian %

h 2 Lfra?-7B?B 2 1

x7 2 7

x1 2 a h 2 1

x& 2 a &h 2 &

x3 2 a 3h 2 3

x 2 a h 2

S(x) 2 Lfra?1B?3Bh O(f(x7) f(x)) (f(x1) f(x3)) &f(x&)

2 Lfra?1B?3B(1) O(e7 e) (e1 e3) &e&

2 Lfra?1B?3B O(1 !891) (&!019& &7!79) &(0!3987)

2 Lfra?1B?3B O!891 81!&19 1!009

2 3!9.3.


19/25

Integrasi Dumerik +Qtode Simpson

+etode integrasi numerik adalah suatu ara untuk menghitung aproksimasi luas daerah di ba*ah

fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan!Integrasi numerik metode simpson adalah metode yang digunakan dengan mem- fitting persamaan

Ruadratik kedalam tiga point yang melalui f(x) untuk mengetahui luas area yang berada di

ba*ahnya!! diilustrasikan kedalam grafik ayng terdapat pada buku omputer oriented numerial

method ,C! "a$araman halaman 10!

persamaan umum metode simpson adalah sebagai berikut %

logaritma dalam menyelesaikan aturan simpson adalah %

1! untuk i 2 1 ke n1 ker$akan instruksi berikut (atatan n1 harus gan$il)&! Jaa fi

3! Glangi intruksi 1

! $umlah f1 (fn1)

! untuk i2&ke nlangkah-langkahnya sebagai berikut %

.!$umlah >---- $umlah fi

0! ulangi instruksi

9! untuk i23 ke n-1 longkap& ker$akan instruksi berikut %

8! $umlah >--- $umlah &fi

17! ulangi instruksi 9

11! tulis integral

1&! berhenti


20/25

#da dua aturan simpson yang digunakan

+enghitung luas bidang lengkung dengan aturan Simpson I adalah rumus luas untuk 3

(tiga) ordinat yaitu % y7, y1 dan y& atau $ika $umlah ordinat lebih banyak dapat dikatakan, rumus pendekatan ini digunakan untuk menghitung luas bidang lengkung pada setiap $arak ordinat (h)

kelipatan &!

Gntuk menghitung atau mendapatkan rumus luas bidang lengkung dengan metode aturan

Simpson I, dapat dilakukan dengan & (dua) ara, yaitu %

(ara I +

'ambar 1 Jidang lengkung (aturan Simpson I - 4ara I)

Seperti terlihat pada gambar !3, misalkan persamaan garis lengkung bidang tersebut adalah y 2

a7 a1!x a&!x! engan integrasi, luas bidang lengkung di atas (#) dapat dihitung sebagai

berikut %

T Persamaan garis % y 2 a7 a1!x a&!x UUU!! OI

T


21/25

+isalkan % A -.0 (.1 D.2 . III

ari persamaan OI%

Jila % x 2 7 maka % y7 2 a7 a1!7 a&!7 2 a7

x 2 h maka % y1 2 a7 a1!h a&!h

x 2 &h maka % y& 2 a7 &a1!h a&!h

+asukkan y7, y1 dan y& di atas ke persamaan OIII, didapat %

# 2 J(a7) 4(a7 a1!h a&!h) (a7 &a1!h a&!h)

2 (J!a7 4!a7 !a7) (4!a1!h &!a1!h) (4!a&!h !a&!h

2 (J 4 )a7 (4 &)a1!h (4 )a&!h UUU! OIC

ari persamaan OII % # 2 &h! a7 &h!a1!h 9/3h! a&!h

dan OIC, didapat %

( J 4 ) 2 & h UU!(1)( 4 & ) 2 & h UU!(&)

( 4 ) 2 9/3 h U !(3)

ari (3) 6 (&) didapat % (4 6 4 6 &) 2 9/3 h 6 &h

& 2 &/3 h, 2 1/3 h

ari (&) % (4 &/3h) 2 & h, 4 2 &h 6 &/3h 2 /3 h

ari (1) % (J /3 h 1/3 h) 2 & h, J 2 &h 6 /3 h 2 1/3 h

:adi didapat % J 2 2 1/3 h dan 4 2 /3 h

imasukkan ke persamaan OIII, didapat %

# 2 1/3 h!y7 /3 h!y1 1/3 h!y&

# 2 1/3 h (1!y7 !y1 1!y& )

(ara II +


22/25

'ambar & Jidang lengkung (aturan Simpson I - 4ara II)


23/25

2 &/3 Q ! &h 2 /3 h (J 6 JQ)

2 /3 h Oy1 6 W (y7 y&)

2 /3 h (y1 6 W y7 6 W y&)UUUUUUUUU(&)

ari (1) dan (&) %


24/25

x7 2 7

x1 2 a h 2 1

x& 2 a &h 2 &

x3 2 a 3h 2 3

x 2 a h 2

S(x) 2 h O(f(x7) f(x)) (f(x1) f(x3)) &f(x&)

2 (1) O(e7 e) (e1 e3) &e&

2 O(1 !891) (&!019& &7!79) &(0!3987)

2 O!891 81!&19 1!009


25/25

2 3!9.3.

integral dengan metode simpson 1.docx

Documents