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  • Las reglas de Simpson paraCentroides. reas y volmenes Las reglas de Simpson se pueden utilizar para encontrar las reas y volmenes deirregulares cifras. Las normas se basan en son las curvas que siguen una ley matemtica definida. Cuando se aplicadan una buena aproximacin de las reas y volmenes. Laobtenidas depender de la separacin de las

    Primera regla de Simpson

    Esta regla supone que la curvaorden es aquella cuya ecuacina1x + a2x

    2, donde a0, a1 y a2

    Digamos que la curva de la figuray3 son tres ordenadas equidistantes

    El rea de la franja elemental es y.dreferencia viene dada por:

    Pero

    Las reglas de Simpson para reas y

    Las reglas de Simpson se pueden utilizar para encontrar las reas y volmenes deirregulares cifras. Las normas se basan en la suposicin de que los lmites de talesson las curvas que siguen una ley matemtica definida. Cuando se aplicadan una buena aproximacin de las reas y volmenes. La exactitud de las respuestas

    separacin de las ordenadas y de cmo se acerca a la curva.

    de Simpson

    curva es una parbola de segundo orden. Una parbolaecuacin, se refiere a las coordinadas en los ejes, de

    2 son constantes.

    la figura 1 es una parbola de segundo orden. Asequidistantes en h unidades de distancia.

    de la franja elemental es y.dx. Entonces el rea delimitada por la

    . ,

    ,

    1

    reas y

    Las reglas de Simpson se pueden utilizar para encontrar las reas y volmenes de la suposicin de que los lmites de tales las cifras

    son las curvas que siguen una ley matemtica definida. Cuando se aplica a los buques estas exactitud de las respuestas

    se acerca a la curva.

    Una parbola de segundo de la forma y = a0 +

    As que y1, y2 y

    curva y los ejes de

  • 2

    Donde:

    ,

    2 3

    2 2 83 , Asumiendo que el rea de la figura = Ay1 + By2 + Cy3

    Usando la ecuacin de la curva y la sustitucin de x por 0, h y 2h respectivamente:

    ! 2 4 ! 2! 4!

    # 2 2 83 ! 2! 4! Igualando coeficientes:

    ! 2, 2! 2, 4! 83 3 ,

    43 , !

    3

    # 3 4 Esta es la primera regla de Simpson. Cabe sealar que la Primera Regla de Simpson tambin se puede utilizar para calcular el rea bajo una curva de tercera orden, es decir, una curva cuya ecuacin, se refiere a los ejes de coordenadas, siguientes:

    Donde a0, a1, a2 y a3 son constantes.

    Segunda Regla de Simpson Esta regla supone que la ecuacin de la curva es de tercer orden, es decir, de una curva cuya ecuacin, se refiere a los ejes de coordenadas, es de la forma,

    donde a0, a1,a2 y a3 son constantes.

  • En la figura 2:

    rea de la primera franja = y . dx

    $

    Deje que el rea de la figura %

    !Igualando los coeficientes:

    rea de la primera franja = y . dx

    $ 12 13

    14 '(

    3 92 9 814 '

    Deje que el rea de la figura 1 2 !3 %4 ! 2 4 3 9 27 ! % 2! 3% 4 8! 27% :

    ! % 3 2! 3% 92 4! 9% 9

    3

    8

    4 ! 9%

  • 4

    8! 27% 814 De los cuales:

    38 , 98 , !

    98 , %

    38

    # 38 98

    98

    38 '

    38 3 3 ' Esta es la segunda regla de Simpson.

    Resumen:

    Un coeficiente de 3/8 con los multiplicadores de 1, 3, 3, 1, etc.

    Tercera Regla de Simpson

    En la figura 3

    rea de la primera franja = y dx rea entre y1 y y2 en la figura +

    12 13

    Permitamos que el rea entre y1 y y2 = Ay1 + By2 + Cy3

    Entonces el rea ! 2 4 ! 2! 4!

    Igualando los coeficientes

    A+B+C = h, B+2C=h/2, B+4C=h/3

  • 5

    Por lo cual:

    512 , 812 , !

    12

    rea de la figura entre y1 and y2 - . /0 1

    12 5 8 0 Esta es la regla de los cinco/ocho (o 5/8 menos uno) y se utiliza para calcular el rea entre dos ordenadas consecutivas cuando tres coordenadas son conocidas.

    Resumen:

    Un coeficiente de 1/12 con multiplicadores de 5, 8, 1, etc.

    reas de los planos de agua y figuras similares que utilizan extensiones de las reglas de Simpson.

    Como los buque estn construido de manera uniforme sobre su lnea central, slo es necesario calcular el rea de la mitad del plano de agua y luego multiplicarla por dos para obtener el rea de la totalidad del plano de agua.

  • 6

    La Figura 4 representa el rea del plano de agua del costado de estribor de un buque. Para encontrar el rea, la lnea central se divide longitudinalmente en un nmero igual de h o medias mangas. La "h" se denomina el intervalo comn. Las medias mangas, a, b, c, d, etc., se mide entonces y cada una de ellas se llama un medio de coordenada.

    Uso de la primera regla de Simpson. Esta regla se puede utilizar para encontrar reas cuando hay un nmero impar de ordenadas.

    rea de la figura 5 (a) 3 43 4

    Si el intervalo comn y las ordenadas se miden en metros, el rea se encuentra en metros cuadrados.

    Apliquemos esta regla ahora a un plano de agua, tal como el mostrado en la Figura 5 (b).

    Tabla 1

    1 4 1 1 4 1 + + 1 4 1

    Combinando los multiplicadores 1 4 2 4 2 4 1

    El plano de agua est dividido en tres reas separadas y la Primera Regla de Simpson se utiliza para encontrar cada rea por separado:

    567 8 9 :; 7 567 ? 9 :; >

  • 7

    567 : 9 :; 6

  • RIH

    Respuesta rea del plano de agua = 1207 m

    STU Respuesta 1Tpc = 12,37 toneladas

    Nota: Si las sub-ordenadas se utilizan en estos clculos, entonces se encontrara la mitad del rea del plano de agua. Sin embargo, si las total del plano de agua. Si la mitad de las coordenadas (Sub(rea del plano de agua). Se pide, simplemente multiplicafrmula como se muestra arriba.

    Uso de la extensin de la Segunda Regla de SimpsonEsta regla se puede utilizar para encontrar el rea cuando el nmero de coordenadas es tal que si uno se resta del nmero de ordenadas el resto es divisible por 3.

    Ahora considere un plano de agua que se ha dividido con siete submuestra en la Figura 6 (b). El plano de agua se puede dividir en dos secciones, como se muestra, en cada seccin se obtienen cuatro ordenadas.

    1 Toneladas por centmetro de inmersin

    RIH 12 !P 2 N3HW HW 13 20 90,5 2

    Respuesta rea del plano de agua = 1207 m2

    XY RIH 97,56 120797,56

    = 12,37 toneladas

    ordenadas se utilizan en estos clculos, entonces se encontrara la mitad del rea del plano de agua. Sin embargo, si las mangas enteras se utilizan, se encontrara el rea total del plano de agua. Si la mitad de las coordenadas (Sub-ordenadas) se dan y la WPA (rea del plano de agua). Se pide, simplemente multiplicar por 2 en el extremo de la frmula como se muestra arriba.

    la extensin de la Segunda Regla de Simpson Esta regla se puede utilizar para encontrar el rea cuando el nmero de coordenadas es tal que si uno se resta del nmero de ordenadas el resto es divisible por 3.

    6 38 33 34 Ahora considere un plano de agua que se ha dividido con siete sub-ordenadas como se

    El plano de agua se puede dividir en dos secciones, como se muestra, en cada seccin se

    Toneladas por centmetro de inmersin

    8

    HW

    ordenadas se utilizan en estos clculos, entonces se encontrara la mitad del enteras se utilizan, se encontrara el rea

    ordenadas) se dan y la WPA por 2 en el extremo de la

    Esta regla se puede utilizar para encontrar el rea cuando el nmero de coordenadas es tal

    ordenadas como se

    El plano de agua se puede dividir en dos secciones, como se muestra, en cada seccin se

  • Tabla 3

    Combinacin de los multiplicadores

    # 1 2; RIH

    1 2; RIHEsta es la forma en que debe ser la frmula utilizada. Como antes, todas las coordenadas aparecen en su orden correcto dentro de las reas. Los multiplicadores ahora 1332331. Si hubiera sido diez (10) ordenadas los multiplicadores serian 1.3.3.2.3.3.2.3.3.cmo los multiplicadores de Simpson comienzan y terminan con 1, como se muestra en la Figura 6 (b). Tabla 4

    N a b c d e f g

    1 3 1 + 1 3

    Combinacin de los multiplicadores 1 3 3 2 3

    P 38 33 34 PP 38 3 3

    1 2; RIH P RIH 38 33 34

    38

    RIH 38 33 34 2 3Esta es la forma en que debe ser la frmula utilizada. Como antes, todas las coordenadas aparecen en su orden correcto dentro de las reas. Los multiplicadores ahora 1332331. Si hubiera sido diez (10) ordenadas los multiplicadores serian 1.3.3.2.3.3.2.3.3.cmo los multiplicadores de Simpson comienzan y terminan con 1, como se muestra en la

    Ordenada Factor Simpson rea 0 1 0

    3,7 3 11,1 5,9 3 17,7 7,6 2 15,2 7,5 3 22,5 4,6 3 13,8 0,1 1 0,1

    80,4 = 2

    9

    3 1 3 1

    PP 3 3

    3 3 Esta es la forma en que debe ser la frmula utilizada. Como antes, todas las coordenadas aparecen en su orden correcto dentro de las reas. Los multiplicadores ahora 1332331. Si hubiera sido diez (10) ordenadas los multiplicadores serian 1.3.3.2.3.3.2.3.3.1. Observe cmo los multiplicadores de Simpson comienzan y terminan con 1, como se muestra en la

    2

  • 10

    Ejemplo Encuentra el rea del plano de agua como se describe en el primer ejemplo usando la Segunda Regla de Simpson.

    Tabla 5

    N ord. FS rea a 0 1 0 b 3,7 3 11,1 c 5,9 3 17,7 d 7,6 2 15,2 e 7,5 3 22,5 f 4,6 3 13,8 g 0,1 1 0,1 80,4=2

    2 Se utiliza debido a que se aplica la primera regla de Simpson:

    RIH 38 PILMH 4HIWLIL 2 N3HW HW 38 20 80,4 2

    Respuesta: rea del plano de agua = 1206 m2 (En comparacin con 1207 m2 respuesta anterior). La pequea diferencia en las dos respuestas muestra que el rea encontrada es una aproximacin bastante exacta. La regla de los cinco / ocho (Tercera Regla de Simpson) Esta regla puede ser usada para encontrar el rea entre dos ordenadas consecutivas cuando tres coordenadas consecutivas son conocidas.

    La regla establece que el rea entre dos ordenadas consecutivas es igual a cinco veces la primera ordenada ms ocho veces la ordenada media menos la ordenada en el extremo externo, todo multiplicado por 1/12 del intervalo de comn.

  • W: SN3I

    3 Se utiliza ya que es un totalsiguiente ejemplo. Ejemplo Tres ordenadas consecutivas en el plano de agua de un buque, separadas a una distancia de 6 metros, son14 m, 15 m y 15.5 m, respectivamente. Encuentra el rea entre las dos ltimos ordenadas.

    WHN3Respuesta: rea = 91,75 mVolmenes de formas y figuras similares Deje que el rea de la primera franjaEntonces, el volumen de la banda en cada caso es igual a es igual a

    1 12 5 83 0 4 1

    12 !P I: 2 12 54 83 0

    112 !P

    un total, utilizando la Tercera Regla de Simpson.

    Tres ordenadas consecutivas en el plano de agua de un buque, separadas a una distancia de 6 metros, son14 m, 15 m y 15.5 m, respectivamente. Encuentra el rea entre las dos ltimos

    WHN3 12 5 83 0 4 6

    12 77,5 120= 91,75 m2

    Volmenes de formas y figuras similares del buque primera franja en las figuras 7 (a) y (b) sean y metros

    Entonces, el volumen de la banda en cada caso es igual a y dx y el volumen de cada buque

    11

    Simpson. Observe el

    Tres ordenadas consecutivas en el plano de agua de un buque, separadas a una distancia de 6 metros, son14 m, 15 m y 15.5 m, respectivamente. Encuentra el rea entre las dos ltimos

    120 0 14

    metros cuadrados. dx y el volumen de cada buque

  • El valor de la integral en cada casoSimpson con las reas a intervalos equidistantes

    ]HNI

    As, el volumen de desplazamiento de un buque a un calado particular puede ser encontrado por primera vez mediante el clculo de las reas del intervalos equidistantes y luego utilizando estas reas como ordenadas para encontrar el volumen por las reglas de Simpson.

    Ejemplo Las reas de agua-planos de un buque

    rea de plano de agua (m

    '

    en cada caso se encuentra utilizando las reglas de aproximacin de a intervalos equidistantes como ordenadas, es decir

    ]HNI 3 4 2! 4% ^

    PILMHW 4HIWLILW3

    As, el volumen de desplazamiento de un buque a un calado particular puede ser encontrado por primera vez mediante el clculo de las reas del plano agua o reas transversales en intervalos equidistantes y luego utilizando estas reas como ordenadas para encontrar el volumen por las reglas de Simpson.

    de un buque son los siguientes:

    Caldo (m) 0 1 2 3 plano de agua (m2) 650 660 662 661

    12

    utilizando las reglas de aproximacin de es decir:

    As, el volumen de desplazamiento de un buque a un calado particular puede ser encontrado plano agua o reas transversales en

    intervalos equidistantes y luego utilizando estas reas como ordenadas para encontrar el

    4

    660

  • 13

    Calcular el desplazamiento del buque en toneladas, al flotar en agua salada a 4 metros de calado. Adems, si el calado de carga del buque es de 4 metros. Encontrar el permiso de agua dulce (FWA). Tabla 6

    Calado (m)

    rea (m2)

    Factor Simpson

    Volumen (m3)

    0 650 1 650 1 660 4 2640 2 662 2 1324 3 661 4 2644 4 660 1 660

    7918=1 1 se utiliza debido a que es un total, con la Primera Regla de Simpson:

    ]HNI 3_H 13 P! ` 13 1,0 7918 2639

    13 N

    %WRaNILH I N 2639 13 1,025 LHI Respuesta: Desplazamiento en agua salada= 2705,3 ton.

    ! S4 bcdb ebfgXfhb ihj Tjbkl ih bcdbmn,-o

    66097,56 6,56 LHI pNWH 4 qr %WRaNILH4 S4bcdb ih ebf

    2705,34 6,77

    Respuesta: FWA=99,9 cm.

    Apndices y ordenadas intermedias Apndices

    Se ha mencionado anteriormente que las reas y volmenes calculados por el uso de las reglas de Simpson dependern de su exactitud en la curvatura de los lados a raz de una ley matemtica definida. Es muy raro que los costados del buque sigan una curva total. Considere el plano de agua del buque que se muestra en la Figura 8. Los lados de la popa forman una curva desde una cuarta parte de esta rea, pero desde este punto hasta la popa es parte de una curva totalmente diferente. Para obtener una respuesta tan precisa como sea posible, el rea de la popa a el cuarto puede ser calculada con el uso de las reglas de Simpson y luego el resto del rea se puede encontrar por un segundo clculo. El rea restante antes mencionada se conoce como un apndice.

  • De manera similar, en la Figura 9 el lado del buque forma una curva lnea de flotacin hacia abajo a la vez de la sentina, pero por debajo de este punto, la curva es de una forma diferente. En este caso, el volumen de desplazamiento entre la lnea de flotacin (WL) y el plano agua XY se puede enconSimpson y luego el volumen del apndice encontrado por medio de un segundo clculo.

    Ejemplo Las mangas de un buque, en

    0, 7.6, 8.7,

    La ordenada ltima de popa de agua.

    De manera similar, en la Figura 9 el lado del buque forma una curva razonable a partir de la lnea de flotacin hacia abajo a la vez de la sentina, pero por debajo de este punto, la curva es de una forma diferente. En este caso, el volumen de desplazamiento entre la lnea de flotacin (WL) y el plano agua XY se puede encontrar mediante el uso de las reglas de Simpson y luego el volumen del apndice encontrado por medio de un segundo clculo.

    en intervalos de 9 m desde hacia adelante son los siguientes:

    9.2, 9.5, 9.4 y 8.5 metros respectivamente.

    a de popa es un apndice de 50 m2. Encuentra el rea

    14

    razonable a partir de la lnea de flotacin hacia abajo a la vez de la sentina, pero por debajo de este punto, la curva es de una forma diferente. En este caso, el volumen de desplazamiento entre la lnea de

    trar mediante el uso de las reglas de Simpson y luego el volumen del apndice encontrado por medio de un segundo clculo.

    son los siguientes:

    respectivamente.

    el rea total de la el plano

  • Tabla 7

    rea del Plano de Agua = 499,1 mIntervalos comunes subdivididos

    El rea o volumen de un apndiceordenadas. Refirindose a la zona de aguaslongitud se ha dividido en siete partes igualesestablecido. Adems, la partedel agua de plano se encuentratravs de las reglas, la respuesta obtenidaerror de que el agua de plano

    Entonces,

    s

    Ordenada Factor Simpson rea 0 1 0

    7,6 4 30,4 8,7 2 17,4 9,2 4 36,8 9,5 2 19,0 9,4 4 37,6 8,5 1 8,5

    149,7= 1

    1 13 P! 1 93 P!

    1 449,1 N RI4 50,0 N 2

    rea del Plano de Agua = 499,1 m2 Intervalos comunes subdivididos

    de un apndice se puede encontrar por la introduccin dela zona de aguas-plano que se muestra en la Figura

    en siete partes iguales y la mitad de las coordenadasla parte es una curva suave de la madre a la ordenada

    se encuentra poniendo el ocho de medias coordenadasla respuesta obtenida ser, evidentemente, una errneade plano se puede dividir en dos partes como se muestra en

    1 3; 43 24 4 2 4

    15

    introduccin de intermedias en la Figura 11, la

    coordenadas se han a la ordenada g. Si el rea

    s coordenadas directamente a errnea. Para reducir el

    como se muestra en la figura.

  • 16

    Para encontrar el rea N 2, una sub-ordenada intermedia se establece a medio camino entre las sub-ordenadas g y j. El intervalo comn para esta rea es h/2. Entonces,

    s 2 2; 13 4 _

    s 2 3; u12 2 12 _v

    Si el IC se redujo a la mitad, entonces, los multiplicadores se reducen a la mitad, es decir, de 1, 4, 1, etc, a 1/2, 2, 1/2.

    12 RIH 1 2 3; 43 24 4 2 4 3; u12 2

    12 _v

    3; u 43 24 4 2 4 12 2 12 _v

    # 12 p 3; u 43 24 4 2 4 112 2

    12 _v

    13 Ejemplo 1 La longitud del plano de agua de un buque es de 100 metros. Las longitudes de las sub-ordenadas contadas a partir de adelante son los siguientes:

    0, 3.6, 6.0, 7.3, 7.7, 7.6, 4.8, 2.8, 0,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . y 6 metros, respectivamente.

    A medio camino entre las dos ltimas medias ordenadas es uno cuya longitud es de 2,8 metros. Encuentra el rea del plano de agua.

  • 17

    Tabla 8

    Ord. FS rea 0 1 0

    3,6 4 14,4 6,0 2 12,0 7,3 4 29,2 7,7 2 15,4 7,6 4 30,4 4,8 1 7,2 2,8 2 5,6 0,6 0,3

    114,5=1

    23 P! P! 100 7; 14,29 N

    p 23 14,29114,5 Respuesta: rea del PA = 1.090,50 m2 Ntese cmo el IC utilizado fue el ms grande en el plano de agua del buque. En algunos casos un resultado an ms preciso se puede obtener dividiendo el plano de agua en tres reas separadas, como se muestra en la Figura 12 e introduciendo sub- ordenadas intermedias en la proa y la popa.

    1 2; 13 43 4 3; u12 23

    12 4v

    2 3; 4 4 2 4 3 2; 13 4 _

    3; u12 2 12 _v

    12 p 1 2 3 12 p 3; u

    12 23

    12 4v 4 4 2 4

    12 2

    12 _

    12 p 3; u12 23

    112 4 4 2 4 11/2 2 1/2 _v

  • Tabla 9

    Combinacin de los multiplicadoresEjemplo 2 El plano de agua de un buque es de 72 metros de largo y las longitudes de las ordenadas medias contadas a partir de adelante son los siguientes:

    0.2, 2.2, 4.4, 5.5, 5.8, 5.9, respectivamente.

    Tabla 10

    3;

    2 1 4 + + +

    1 4 1 Combinacin de los multiplicadores 2 1 4 2 4 1

    El plano de agua de un buque es de 72 metros de largo y las longitudes de las ordenadas a partir de adelante son los siguientes:

    5.9, 5.9, 5.8, 4.8, 3.5 ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. . y 0.2 metros,

    Ord. FS rea 0,2 0,1 2,2 2 4,4 4,4 1 6,6 5,5 4 22,0 5,8 2 11,6 5,9 4 23,6 5,9 2 11,8 5,8 4 23,2 4,8 1 7,2 3,5 2 7,0 0,2 0,1

    117,6 = 1

    18

    1

    2 1 2

    El plano de agua de un buque es de 72 metros de largo y las longitudes de las ordenadas

    0.2 metros,

  • El espaciamiento entre las primeras tres y las ltimos tres coordenadas medias es un medio del espaciado entre las otras medias ordenadas (Subplano de agua.

    Respuesta: rea del PA= 705,6 mNota: Se ver a partir de esta tabla que el efecto de reducir a la mitad el intervalo comn es reducir a la mitad los multiplicadores de Simpson.

    1 es porque est utilizando

    Las reas y volmenes que tienen un nmero incmodo de las ordenadas.En ocasiones, el nmero de coordenadas utilizado es tal que el rea o volumen en cuestin no se puede encontrar directamente por el uso de la volumen debe ser dividido en dos partes, el rea de cada parte se calcula por separado, y el rea total encontrada por sumar las reas de las dos partes juntas.Ejemplo 1 Demostrar cmo el rea de un planordenadas. Ni la primera ni la segunda regla se pueden aplicar directamente al rea entera, pero el plano de agua se pueden dividir en dos partes como se muestra en la Figura 13, el rea 1 se puede calcular usando la primera regla y el rea 2 por la segunda regla. Las reas de las dos partes pueden ser sumadas para encontrar el rea total.

    Un mtodo alternativo sera encontrar el rea entre las subregla y luego encontrar la zona comprendida entre las coordenadas medias e y f por la regla cinco / ocho.

    El espaciamiento entre las primeras tres y las ltimos tres coordenadas medias es un medio del espaciado entre las otras medias ordenadas (Sub-ordenadas). Encuentra el rea del

    13 P! 2 P! 728 9 N

    p 13 9 117,6 2 Respuesta: rea del PA= 705,6 m2 Nota: Se ver a partir de esta tabla que el efecto de reducir a la mitad el intervalo comn es reducir a la mitad los multiplicadores de Simpson.

    utilizando la primera regla de Simpson.

    Las reas y volmenes que tienen un nmero incmodo de las ordenadas.En ocasiones, el nmero de coordenadas utilizado es tal que el rea o volumen en cuestin no se puede encontrar directamente por el uso de la primera o segunda regla. En tales casos, el rea o volumen debe ser dividido en dos partes, el rea de cada parte se calcula por separado, y el rea total encontrada por sumar las reas de las dos partes juntas.

    Demostrar cmo el rea de un plano de agua se puede encontrar al utilizar seis subordenadas. Ni la primera ni la segunda regla se pueden aplicar directamente al rea entera, pero el plano de agua se pueden dividir en dos partes como se muestra en la Figura 13, el

    usando la primera regla y el rea 2 por la segunda regla. Las reas de las dos partes pueden ser sumadas para encontrar el rea total.

    Un mtodo alternativo sera encontrar el rea entre las sub-ordenadas a y e por la primera zona comprendida entre las coordenadas medias e y f por la regla

    19

    El espaciamiento entre las primeras tres y las ltimos tres coordenadas medias es un medio ordenadas). Encuentra el rea del

    Nota: Se ver a partir de esta tabla que el efecto de reducir a la mitad el intervalo comn es

    Las reas y volmenes que tienen un nmero incmodo de las ordenadas. En ocasiones, el nmero de coordenadas utilizado es tal que el rea o volumen en cuestin no se

    primera o segunda regla. En tales casos, el rea o volumen debe ser dividido en dos partes, el rea de cada parte se calcula por separado, y el rea

    o de agua se puede encontrar al utilizar seis sub-ordenadas. Ni la primera ni la segunda regla se pueden aplicar directamente al rea entera, pero el plano de agua se pueden dividir en dos partes como se muestra en la Figura 13, el

    usando la primera regla y el rea 2 por la segunda regla. Las reas

    ordenadas a y e por la primera zona comprendida entre las coordenadas medias e y f por la regla

  • Ejemplo 2 Demostrar cmo se puede encontrar el rea cuando se utilizan ocho subDividir el rea como se muestra en la figura 14. Buscar el rea 1, utilizando la sregla y rea y el rea 2 utilizando la primera regla.

    Un mtodo alternativo, es de nuevo, para encontrar el rea entre las ordenadas medias A y G por la primera regla y la zona entre el g medias ordenadas y regla.

    En la prctica, el arquitecto naval divide la eslora del buque en 10 subdivide los extremos de proa y popa con el fin de obtener una precisin adicional con los clculos. De este modo, los clculos se pueden hacer usando la Primera y tal vez como parte de un clculo informtico.

    Centroides y centros de gravedad

    Para encontrar el centro de flotacinEl centro de flotacin es el centro de gravedad o centroide del rea del plano agua, y es el punto sobre el cual el buque selongitudinal, pero puede estar un poco hacia proa o hacia popa del centro del buque (por ejemplo 3 % de L a proa del centro del buque para los petroleros que decir 3 % L a popa del centro del buque para los porta contenedores).Para encontrar el rea de un plano de agua por las reglas de Simpson, las utilizan en ordenadas. Si los momentos de las ordenadas medias respecto a cualquier punto se utilizan como ordenadas, entonces el momento ser encontrado. Si el momento total ahora se divide por el rea total, el cociente dar la distancia del centroide del rea desde el punto sobre el que los momentos fueron tomados. Esto puede demostrarse de la

    Demostrar cmo se puede encontrar el rea cuando se utilizan ocho sub-Dividir el rea como se muestra en la figura 14. Buscar el rea 1, utilizando la sregla y rea y el rea 2 utilizando la primera regla.

    Un mtodo alternativo, es de nuevo, para encontrar el rea entre las ordenadas medias A y G por la primera regla y la zona entre el g medias ordenadas y h por el "Cinco / ocho

    En la prctica, el arquitecto naval divide la eslora del buque en 10 seccionessubdivide los extremos de proa y popa con el fin de obtener una precisin adicional con los clculos. De este modo, los clculos se pueden hacer usando la Primera y tal vez como parte de un clculo informtico.

    Centroides y centros de gravedad

    Para encontrar el centro de flotacin El centro de flotacin es el centro de gravedad o centroide del rea del plano agua, y es el punto sobre el cual el buque se escora e inclina. Este debe estar en la lnea central longitudinal, pero puede estar un poco hacia proa o hacia popa del centro del buque (por ejemplo 3 % de L a proa del centro del buque para los petroleros que decir 3 % L a popa

    a los porta contenedores). Para encontrar el rea de un plano de agua por las reglas de Simpson, las utilizan en ordenadas. Si los momentos de las ordenadas medias respecto a cualquier punto se utilizan como ordenadas, entonces el momento total de la zona alrededor de ese punto

    . Si el momento total ahora se divide por el rea total, el cociente dar la distancia del centroide del rea desde el punto sobre el que los momentos fueron tomados. Esto puede demostrarse de la siguiente forma:

    20

    -ordenadas. Dividir el rea como se muestra en la figura 14. Buscar el rea 1, utilizando la segunda

    Un mtodo alternativo, es de nuevo, para encontrar el rea entre las ordenadas medias A y "Cinco / ocho

    secciones y luego se subdivide los extremos de proa y popa con el fin de obtener una precisin adicional con los clculos. De este modo, los clculos se pueden hacer usando la Primera y Segunda Regla,

    El centro de flotacin es el centro de gravedad o centroide del rea del plano agua, y es el escora e inclina. Este debe estar en la lnea central

    longitudinal, pero puede estar un poco hacia proa o hacia popa del centro del buque (por ejemplo 3 % de L a proa del centro del buque para los petroleros que decir 3 % L a popa

    Para encontrar el rea de un plano de agua por las reglas de Simpson, las mangas medias se utilizan en ordenadas. Si los momentos de las ordenadas medias respecto a cualquier punto

    total de la zona alrededor de ese punto . Si el momento total ahora se divide por el rea total, el cociente dar la

    distancia del centroide del rea desde el punto sobre el que los momentos fueron tomados.

  • 21

    En la figura 15

    W44I . 12 p .

    x

    p 2 . x

    El valor de la integral se encuentra utilizando la frmula:

    . 3x

    43 24 4

    Por lo tanto, el valor de la integral se encuentra en las reglas de Simpson usando los valores de la variable y en ordenadas.

    yHNILH I W44I H . . yHNILH 12 p WH3 H .

    x

    yHNILH p WH3 H 2 . . x

    El valor de esta integral se encuentra en las reglas de Simpson usando los valores del producto de x, y en ordenadas. Supongamos que la distancia del centro de flotacin es X de OY, entonces:

    z{ yHNILH 2 + . . x

    2 + . x P!

  • Ejemplo 1 Un buque de 150 metros de largosiguiente manera:

    0, 5,

    Encontrar la distancia del centro de

    Nota: Para evitar el uso de grandes nmeros, los brazos a utilizar es en trmino de la IC como intervalo comn. Es ms eficiente que el uso de brazos en metros (ver tabla

    %WLI4 !ILH

    Respuesta CF es 78,33 m desde la perpendicular de popa

    Tabla 11

    Ord. Popa 0 5 9 9 9 7 Proa 0

    Los brazos son en trminos el valor

    1, porque es el primer total. 2, ya que es el segundo total.

    150 metros de largo tiene la mitad de sub-ordenadas a partir

    5, 9, 9, 9, 7 y 0 metros, respectivamente.

    centro de flotacin de proa (ver fig. 16). Nota: Para evitar el uso de grandes nmeros, los brazos a utilizar es en trmino de la IC como intervalo comn. Es ms eficiente que el uso de brazos en metros (ver tabla

    p 23 P! 23 25 376 N

    qHL4I W pTT P! 376120

    Respuesta CF es 78,33 m desde la perpendicular de popa.

    FS rea Brazo desde A2 Moto1 0 0 0 4 20 1 202 18 2 364 36 3 1082 18 4 724 28 5 1401 0 6 0 120 = 1 376=

    P! 1506 25 N

    valor de IC de la ordenada a popa a travs de todo el eje de ordenadas.

    22

    a partir de la popa de la

    Nota: Para evitar el uso de grandes nmeros, los brazos a utilizar es en trmino de la IC como intervalo comn. Es ms eficiente que el uso de brazos en metros (ver tabla 12).

    P! 78,33 N

    os.

    20 36

    108 72

    140

    376=2

    popa a travs de todo el eje de ordenadas.

  • Este problema tambin puede resolversecentro del buque como en el siguiente ejemploEjemplo 2 A 75 metros de largo nave tiene la mitadpopa de la siguiente manera

    0, 1, 2, 4,

    El espacio entre las tres primeras subexiste entre las otras sub-ordenadas. Encontrar la posicin del Centro de relacin con el centro del buque.

    Use un el signo positivo (+) del buque.

    Use un el signo negativo (-) del buque.

    Tabla 12

    Ord. Popa 0 1 2 4 5 5 5 4 3 2 Proa 0

    puede resolverse mediante la adopcin de los momentos sobreen el siguiente ejemplo:

    tiene la mitad-ordenadas en la carga de agua de la siguiente manera:

    4, 5, 5, 5, 4, 3, 2 y 0 metros, respectivamente.

    o entre las tres primeras sub-ordenadas y las ltimas tres son la mitad de la que ordenadas. Encontrar la posicin del Centro de

    relacin con el centro del buque.

    positivo (+) de los brazos y los momentos a popa de la seccin media (

    ) de los brazos y los momentos a proa de la seccin media (

    FS rea Brazo Momentos 0 +4 2 2 +3

    1 3 +3 4 16 +2 2 10 +1 4 20 0 2 10 -1 4 16 -2

    1 4,5 -3 2 4,0 -3 0 -4 85,5 = 1

    23

    momentos sobre el

    de plano a partir de

    respectivamente.

    la mitad de la que ordenadas. Encontrar la posicin del Centro de Flotacin en

    a popa de la seccin media ()

    a proa de la seccin media ()

    Momentos 0

    +7 +9

    +32 +10

    0 -10 -32

    -13,5 -14 0

    -11,5 = 2

  • 24

    P! 758 9,375 N 1denota total de la primera.

    2 denota total algebraico de la segunda.

    El punto que tiene un brazo de cero es el punto de apoyo. Todas los otros brazos (+) ve y () ve son relativos a este punto.

    %WLI4 !ILH qHL4I W44I N | P!

    011,585,5 9,375 01,26 N El signo (-) ve demuestra que es delante de () . Respuesta. C.F. es de 1,26 metros adelante del centro del buque.

    Para encontrar el KB.

    El centro de empuje es el centro tridimensional de gravedad del volumen bajo el agua y las reglas de Simpson se pueden utilizar para determinar su altura por encima de la quilla.

    Primero, las reas de los planos de agua se calculan a intervalos equidistantes de calado entre la quilla y la lnea de flotacin. Entonces el volumen de desplazamiento se calcula mediante el uso de estas reas como ordenadas en las reglas. Los momentos de estas reas alrededor de la quilla son tomados para encontrar el momento total del volumen sumergido desde la quilla. El KB luego se obtiene dividiendo el momento total respecto a la quilla por el volumen de desplazamiento.

    Se observar que este procedimiento es similar a la de encontrar la posicin del Centro de flotacin, que es el centro de dos dimensiones de la gravedad de cada plano de agua.

    Ejemplo 1 Un buque est flotando sin escora y a calados iguales con 6,0 m de calado proa y popa. Las reas de los planos de agua son los siguientes:

    Calado (m) 0 1 2 3 4 5 6 rea (m) 5000 5600 6020 6025 6025 6025 6025

    Buscar KB del buque en este proyecto.

  • Tabla 13

    Plano de Agua rea

    A 6025 B 6025 C 6025 D 6025 E 6020 F 5600 G 5000

    }

    Respuesta: KB = 3,06 m

    =0,51 x d aproximadamente.

    Los brazos de cero estaban en la quilla por lo que la respuesta final era relativa a este punto, es decir, por encima de la base.

    Si Simplificamos ordenada obtendremos

    Si Simplificamos reas se obtienen

    Ejemplo 2 Un buque est flotando sin escora en Las TPC son las siguientes:

    Calado (m) TPC (toneladas)

    FS Volumen Brazos

    1 6025 6 4 24100 5 2 12050 4 4 24100 3 2 12040 2 4 22400 1 1 5000 0

    105715 = 1

    } yHNILH WH3 ~]HNI WRaNILH # } P!

    323630105715 1

    =0,51 x d aproximadamente.

    de cero estaban en la quilla por lo que la respuesta final era relativa a este punto, es decir, por encima de la base.

    Si Simplificamos ordenada obtendremos rea.

    Si Simplificamos reas se obtienen volmenes.

    Un buque est flotando sin escora en agua salda y con calados iguales a 7 metros.Las TPC son las siguientes:

    1 2 3 4 5 6 toneladas) 60 60,3 60,5 60,5 60,5 60,5

    25

    Brazos Momentos

    36150 120500 48200 72300 24080 22400

    0 323630 = 2

    de cero estaban en la quilla por lo que la respuesta final era relativa a este

    y con calados iguales a 7 metros.

    7 60,5

  • El volumen entre el forro exterior y 1 m de calado es 3044 metros cbicos, y sugravedad es de 0,5 m por encima de la quilla. Buscar KB del buque

    En la figura 19: KY representan la altura del centro de gravedad del volumen sobre la quilla,representan la altura del centro de gravedad del volumen B por encima de la quilla.

    Decimos que z ,- Entonces el rea de cada plano de agua es igual al TPC x X 1111 denota el primer total. 2222 denota el segundo total.Tabla 14

    Calado rea 7 60,5 6 60,5 5 60,5 4 60,5 3 60,5 2 60,3 1 60,0

    ]HNI 13

    z P! yLH.

    ]H.

    entre el forro exterior y 1 m de calado es 3044 metros cbicos, y sugravedad es de 0,5 m por encima de la quilla. Buscar KB del buque.

    KY representan la altura del centro de gravedad del volumen sobre la quilla,an la altura del centro de gravedad del volumen B por encima de la quilla.

    Entonces el rea de cada plano de agua es igual al TPC x X

    denota el segundo total.

    FS Volumen Brazos a 1m 1 60,5 0 4 242,0 1 2 121,0 2 4 242,0 3 2 121,0 4 4 241,2 5 1 60,0 6

    1087,7 = 1

    P! z 13 1,0 1087,7 100

    1,025 ]HNI 3044 N

    ]HNI LHL 38416 N 32601087,7 1,0 3 N RH 3_H I

    z 3 N 26

    entre el forro exterior y 1 m de calado es 3044 metros cbicos, y su centro de

    KY representan la altura del centro de gravedad del volumen sobre la quilla, y KZ an la altura del centro de gravedad del volumen B por encima de la quilla.

    Entonces el rea de cada plano de agua es igual al TPC x X m2.

    Brazos a 1m Momentos 0

    242,0 242,0 726,0 484,0

    1206,0 360,0

    3260,0 = 2

    35372 N

    I s 7

  • 27

    }z 7 N }z 0 z } WL NI } 4 N

    Tabla 15

    Volumen KGQuilla Mtos. sobre la quilla 35372 4 141488

    + 3044 0,5 + 1522 38416 143010

    Momentos en la quilla

    } yLH. LHL]H. LHL 14301038416 3,72 N

    0,51 Resumen

    Al utilizar las reglas de Simpson para los clculos de buques, utilizar siempre el siguiente procedimiento:

    1. Haz un dibujo utilizando la informacin proporcionada. 2. Insertar valores en una tabla como se muestra en los ejemplos trabajados. 3. Utilice sumas tabuladas para calcular finalmente los valores solicitados.

    Ejercicios (el punto es el decimal ej. 4.32 = 4,32) 1.- Un buque carga un plano de agua de 60 m de largo. Las longitudes de las ordenadas medias (sub-ordenadas) contadas a partir de proa son los siguientes: 0.1, 3.5, 4.6, 5.1, 5.2, 5.1, 4.9, 4.3 y 0.1 m, respectivamente.

    Calcular el rea del plano de agua, las TPC en agua salada, y la posicin del centro de flotacin, desde el centro del buque.

    2.- Las medias ordenadas del plano de agua de un buque, que es 60 m de largo, a partir de proa, son los siguientes:

    0, 3.8, 4.3, 4.6, 4.7, 4.7, 4.5, 4.3 y 1 m, respectivamente.

    Encuentra el rea del plano de agua, las TPC, el coeficiente de afinamiento en las reas de los planos de aguas, y la posicin del centro de flotacin, desde el centro del buque.

    3.- Las mangas de un plano de agua cargado de un barco de 90 metros de largo, medido a intervalos iguales desde la proa, son los siguientes:

    0, 3,96, 8,53, 11,58, 12,19, 12,5, 11,58 m, 5,18, 3,44 y 0,30, respectivamente.

    Si el calado de carga es de 5 metros, y el coeficiente de bloque es de 0,6, encuentre el FWA y la posicin del centro de flotacin, desde el centro del buque.

  • 28

    4.- Las reas del plano de agua de un barco, comenzando desde un calado de carga de 24 metros, y tomadas a distancias iguales, son:

    2000, 1950, 1800, 1400, 800, 400 y 100 metros cuadrados, respectivamente. La zona inferior es el de fondo exterior del buque. Encontrar el desplazamiento en agua salada, el FWA, y la altura del centro de flotabilidad por encima de la quilla.

    5.- Las reas de las secciones transversales verticales de una bodega de proa, espaciadas de forma equidistante entre los mamparos, son como sigue:

    800, 960, 1100 y 1120 metros cuadrados, respectivamente.

    La longitud de la bodega es de 20 m. determinar cuntas toneladas de carbn (colocacin en los 4 metros cbicos por tonelada) se pueden cargar. 6.- Un barco de 90 metros de largo que flota a calados iguales de 6 m. Las sub-ordenadas, comenzando desde proa, son los siguientes:

    0, 4,88, 6,71, 7,31, 7,01, 6,40 y 0,9 m, respectivamente.

    Las sub-ordenadas de 7,5 metros de proa y de popa son 2,13 m y 3,35 m, respectivamente. Encuentra el rea del plano de agua y el cambio en el calado si 153 toneladas de carga est cargado con su centro de gravedad verticalmente sobre el centro de flotacin. Encuentra tambin la posicin del centro de flotacin.

    7.- Las reas del plano de agua de un buque contadas a partir del plano de agua cargado y espaciados a intervalos equidistantes a la parte inferior interior, son:

    2500, 2000, 1850, 1550, 1250, 900 y 800 m cuadrados, respectivamente.

    Debajo de la parte inferior interna es un apndice de 1 metro de profundidad que tiene una media rea de 650 metros cuadrados. El calado cargado es de 7 metros. Encuentre el desplazamiento de la carga en agua salada, el FWA, y la altura del centro de flotabilidad por encima de la quilla.

    8.- El plano de agua de un buque es de 80 metros de largo. Las mangas comenzando a partir de la proa son las siguientes:

    0, 3.05, 7.1, 9.4, 10.2, 10.36, 10.3, 10.0, 8.84, 5.75 y 0 m, respectivamente.

    El espacio entre los tres primeros y las ltimos tres coordenadas es la mitad entre las ordenadas otros. Calcular el rea del plano de agua, y la posicin del centro de flotacin.

    9.- Tres ordenadas consecutivas en el plano de agua de un buque son:

    6,3, 3,35 y 0,75 m, respectivamente.

    El intervalo comn es de 6m. Hallar el rea comprendida entre las dos ltimos ordenadas.

    10.- Las coordenadas transversales horizontales de la seccin de un barco en el medio comienza a partir de la lnea de agua y espaciados a intervalos de 1 metro son como sigue:

  • 29

    16.30, 16.30, 16.30, 16.00, 15.50, 14.30 y 11.30 m, respectivamente.

    Por debajo de la ordenada ms baja hay un apndice de 8,5 metros cuadrados. Encuentra el rea de la seccin transversal.

    11.- La siguiente tabla muestra el rea de un plano de agua de un buque a diversos calados: Calado (m) 6 7 8 rea (m) 700 760 800 Calcula el volumen de desplazamiento y las TPC aproximadas entre los calados de 7 y 8 m.

    12.- Las reas de los planos de agua de un buque, comenzando a partir del plano de agua cargado y una separacin de 1 metro de distancia, son los siguientes:

    800, 760, 700, 600, 450 y 10 metros cuadrados, respectivamente.

    A medio camino entre las dos planos de agua ms bajas el rea es de 180 metros cuadrados. Encontrar el desplazamiento en condicin de carga en agua salada, y la altura del centro de flotabilidad por encima de la quilla.

    Resultados

    1.- (a) 508m2, (b) 5.2 ton, (c) 0.8 m popa de la seccin media. 2.- (a) 488m2, (b) 5 ton, (c) 0.865, (d) 0.86 m a popa de la seccin media. 3.- (a) 122 mm, (b) 43.4 m desde proa. 4.- (a) 30 476.7 ton, (b) 371.4 mm, (c) 15.6 m 5.- 5062.5 ton. 6.- (a) 978.3m2, (b) 15.25 cm, (c) 2.03 m a popa de la seccin media. 7.- (a) 9993' ton, (b) 97.44 mm, (c) 4.33 m. 8.- (a) 671.83 m2, (b) 1.57 m, a Popa de la seccin media. 9.- 12.125 m2. 10.- 101m2. 11.- (a) 781.67m3, (b) 8.01 ton. 12.- (a) 28 93.33 m3 o 2965.6 ton, (b) 3 m.