BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman,

maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan

waktu pengerjaan yang singkat. Begitu juga dengan permasalahan dalam

bidang ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan, bidang rekayasa

teknik metalurgi, mesin, elektro, sipil dan lain-lain dituntut hal yang sama,

dimana dalam suatu perhitungan dengan data numerik membutuhkan

ketelitian dan akurasi yang cukup baik. Pada saat teknologi informasi

belum ada atau boleh dikatakan belum maju pesat, para praktisi dan

profesional di bidang rekayasa teknik dan sain menganalisa dengan

perhitungan manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat

kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Artinya

akan terjadi perbedaan dari suatu permodelan dengan kondisi aktual. Hal

ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa.

Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada

saat ini mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar

pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif.

Metode kalkulasi dengan matriks dapat dilakukan dengan mudah

menggunakan teknologi informasi. Sudah banyak persoalan di bidang

teknik maupun sain yang dapat diselesaikan dengan menggunakan

permodelan matematika. Sering kali permodelan matematika tersebut

muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan

dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya

(exact solution).

1

Jika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan

dengan metode permodelan matematika metode analitik menggunakan

dalil-dalil kalkulus, maka solusinya dapat diperoleh dengan metode

numerik. Metode numerik secara harfiah berarti suatu cara berhitung

dengan menggunakan angka-angka, sedangkan secara istilah metode

numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan

matematik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa.

Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan

yang dihadapi tidak akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa

memberikan solusi yang mendekati atau menghampiri solusi sejati

sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran ( approximation

solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi

sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi tersebut disebut solusi

galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat

solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya.

1.2 Tujuan

Tujuan penyusunan makalah ini adalah untuk mempermudah

pemahaman prinsip dasar mengenai integrasi numerik khususnya dengan

menggunakan Aturan Simpson sehingga dalam pengaplikasiannya di

lapangan menjadi lebih mudah dan akurat.

2

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Integrasi Numerik

Gambar 1 Integral Suatu Fungsi

Integral suatu fungsi adalah operator matematik yang

dipresentasikan dalam bentuk:

dxxfI =b

a)(

dan merupakan integral suatu fungsi f (x) terhadap variabel x dengan

batas-batas integrasi adalah dari x = a sampai x = b. Seperti pada Gambar

1 dan persamaan di atas yang dimaksud dengan integral adalah nilai total

atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f (x) dan sumbu-x, serta antara batas

x = a dan x = b. Dalam integral analitis, persamaan (7.1) dapat diselesaikan

menjadi:

3

[ ] )()()()( bab

aaFbFxFdxxf ==

dengan F (x) adalah integral dari f (x) sedemikian sehingga F ' (x) = f (x).

Sebagai contoh:

.9)0(31)3(

31

31 33

3

0

33

0

2=

=

= xdxx

Integral numerik dilakukan apabila:

1) Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis.

2) Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara numerik dalam bentuk angka (tabel).

Metode integral numerik merupakan integral tertentu yang

didasarkan pada hitungan perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut

dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data tersedia.

Bentuk paling sederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang dapat

dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier).

Seperti pada Gambar 2a, akan dihitung:

dxxfI =b

a)(

yang merupakan luasan antara kurva f (x) dan sumbu-x serta antara x = a

dan x = b, bila nilai f (a) dan f (b) diketahui maka dapat dibentuk fungsi

polinomial order satu f1(x).

Dalam gambar tersebut fungsi f (x) didekati oleh f1(x), sehingga

integralnya dalam luasan antara garis f1(x) dan sumbu-x serta antara x = a

dan x = b. Bidang tersebut merupakan bentuk trapesium yang luasannya

dapat dihitung dengan rumus geometri, yaitu:

4

2)()()( bfafabI +=

Dalam integral numerik, pendekatan tersebut dikenal dengan

metode trapesium. Dengan pendekatan ini integral suatu fungsi adalah

sama dengan luasan bidang yang diarsir (Gambar 2), sedang kesalahannya

adalah sama dengan luas bidang yang tidak diarsir.

Apabila hanya terdapat dua data f (a) dan f (b), maka hanya bisa

dibentuk satu trapesium dan cara ini dikenal dengan metode trapesium satu

pias. Jika tersedia lebih dari dua data, maka dapat dilakukan pendekatan

dengan lebih dari satu trapesium, dan luas total adalah jumlah dari

trapesium-trapesium yang terbentuk. Cara ini dikenal dengan metode

trapesium banyak pias. Seperti pada Gambar 2b, dengan tiga data dapat

dibentuk dua trapesium, dan luas kedua trapesium (bidang yang diarsir)

adalah pendekatan dari integral fungsi. Hasil pendekatan ini lebih baik dari

pada pendekatan dengan satu pias. Apabila digunakan lebih banyak

trapesium hasilnya akan lebih baik.

Fungsi yang diintegralkan dapat pula didekati oleh fungsi

polinomial dengan order lebih tinggi, sehingga kurva yang terbentuk tidak

lagi linier, seperti dalam metode trapesium, tetapi kurva lengkung. Seperti

pada Gambar 2c, tiga data yang ada dapat digunakan untuk membentuk

polinomial order tiga. Metode Simpson merupakan metode integral

numerik yang menggunakan fungsi polinomial dengan order lebih tinggi.

5

Metode Simpson 1/3 menggunakan tiga titik data (polinomial order dua)

dan Simpson 3/8 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga).

Jarak antara titik data tersebut adalah sama.

Gambar 2 Metode Integral Numerik

Metode numerik merupakan teknik yang digunakan untuk

memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan

operasi hitungan/aritmatika biasa. Solusi angka yang didapatkan dari

metode numeric adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya/solusi

pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan.

Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara

keduanya yang kemudian disebut galat/error. Metode numeric dapat

menyelesaikan persoalan didunia nyata yang seringkali non linier, dalam

bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik.

Metode numerik juga merupakan piranti utama yang dipakai

ilmuwan dalam mencari pendekatan jawaban untuk integral tentu yang

tidak bisa diselesaikan secara analitik. Pada bidang statistika termodinamik,

model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda memenuhi

fungsi:

saat tidak ada pernyataan analitik untuk (x) , integrasi numerik harus

digunakan untuk mencari nilai pendekatannya. Sebagai contoh, nilai (5)

adalah area dibawah kurva y=f(t)=t3/(et-1) untuk 0 t 5.

6

Tujuan dari pembahasan materi ini adalah untuk memahami prinsip

prinsip dasar integrasi numerik. Sasaran dasarnya adalah pendekatan

integral tentu f(x) pada selang a_ x_b dengan sejumlah titik-titik sampel

(sample nodes), (x0,f0), (x1,f1), (x2,f2),., (xM,fM) dengan f k=f(xk).

Rumus pendekatan berbentuk:

Nilai-nilai 0, 1,, M berupa konstanta atau bobot. Tergantung

pada penerapan yang diinginkan, simpul-simpul xk dipilih dalam berbagai

cara. Untuk aturan Trapesium, Simpson, dan aturan Boole, simpul-simpul

xk=a+hk dipilih berjarak sama. Untuk integrasi Gauss-Legendre simpul-

simpul dipilih berupa titik-titik nol dari polinom-polinom Legendre

tertentu. Bilamana formula integrasi dipakai menurunkan suatu algoritma

eksplisit untuk memecahkan persamaan diferensial, simpul-simpul

semuanya dipilih lebih kecil dari b. Beberapa formula umum yang

berdasarkan pada interpolasi polinom disebut formula integrasi Newton

Cotes. Ketika titik sample x0=0 dan xM=b digunakan dalam formula,

formula tersebut dinamakan formula Newton Cotes tertutup.

7

Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang popular

digunakan:

a. Trapezoidal Rule (Aturan Trapesium)

Simplicity, Optimal for improrer integrals, Needs a large

number of sub intervals for good accuracy.

b. Simpsons 1/3 Rule

Simplicity. Higher accuracy than trapezoidal rule, Even

number of interval only.

c. Multiple -application Simpsons 1/3 Rule.

d. Simpsons 3/8 Rule.

e. Newton Cotes.

f. Romberg Integration.

g. Gauss Quadrature.

2.2 Metode Integrasi Simpson

Di samping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang

lebih kecil, cara lain untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti adalah

menggunakan polinomial order lebih tinggi untuk menghubungkan titik-

titik data. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di antara f (a) dan

f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola

(Gambar 3a). Apabila terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama

antara f (a) dan f (b), maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan

dengan polinomial order tiga (Gambar 3b). Rumus yang dihasilkan oleh

8

integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan)

Simpson.

Gambar 3 Aturan Simpson

2.2.1 Aturan-Aturan Simpson

2.2.1.1 Aturan Simpson 1/3

Gambar 4 Penurunan metode Simpson

9

Di dalam aturan Simpson 1/3 digunakan

polinomial order dua (persamaan parabola) yang

melalui titik f (xi 1), f (xi) dan f (xi + 1) untuk

mendekati fungsi. Rumus Simpson dapat

diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu,

dipandang bentuk integral berikut ini.

dxxfxI =x

a)()(

(persamaan 1)

Apabila bentuk tersebut didiferensialkan

terhadap x, akan menjadi:

)()()(' xfdx

xdIxI ==

(persamaan 2)

Dengan memperhatikan Gambar 4 dan persamaan

(2) maka persamaan deret Taylor adalah:

)(''!3

)('!2

)()()()( i3

i

2

iii1i xfxxfxxfxxIxxIxI +++=+=+

)()('''!4

5i

4

xOxfx ++

(persamaan 3)

)(''!3

)('!2

)()()()( i3

i

2

iii1i xfxxfxxfxxIxxIxI +==

)()('''!4 5

i

4

xOxfx +

(persamaan 4)

10

Pada Gambar 4, nilai I (xi + 1) adalah luasan

dibawah fungsi f (x) antara batas a dan xi + 1.

Sedangkan nilai I (xi 1) adalah luasan antara batas

a dan I (xi 1). Dengan demikian luasan di bawah

fungsi antara batas xi 1 dan xi + 1 yaitu (Ai), adalah

luasan I (xi + 1) dikurangi I (xi 1) atau persamaan

(3) dikurangi persamaan (4).

Ai = I (xi + 1) I (xi 1)

Atau

)()(''3

)(2 5i3

ii xOxfxxfxA ++=

(persamaan 5)

Nilai f ''(xi) ditulis dalam bentuk diferensial

terpusat:

)(

)()(2)()('' 22

1ii1ii xOx

xfxfxfxf +

+=

+

Kemudian bentuk diatas disubstitusikan ke dalam

persamaan 5. Untuk memudahkan penulisan,

selanjutnya notasi f (xi) ditulis dalam bentuk fi,

sehingga persamaan 5 menjadi:

)()(3

)2(3

2 523

1ii1iii xOxOxfffxfxA ++++= +

atau

11

)()4(3

51ii1ii xOfff

xA +++= +

(persamaan 6)

Persamaan 6 dikenal dengan metode Simpson 1/3.

Diberi tambahan nama 1/3 karena x dibagi

dengan 3. Pada pemakaian satu pias, 2

abx = ,

sehingga persamaan 6 dapat ditulis dalam bentuk:

[ ])()(4)(6i

bfcfafabA ++=

(persamaan 7)

dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b.

Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode

Simpson 1/3 untuk satu pias adalah:

)(''''901 5

t fx=

Oleh karena 2

abx = , maka:

)(''''2880

)( 5t fab =

Contoh soal:

Hitung ,dxeI =4

0

x dengan aturan Simpson 1/3.

Penyelesaian:

12

Dengan menggunakan persamaan 7 maka luas

bidang adalah:

[ ] .7696,56)4(6

04)()(4)(6

420i =++

=++

= eeebfcfafabA

Kesalahan terhadap nilai eksak:

%.917,5%100598150,53

7696,56598150,53t =

=

2.2.1.2 Aturan Simpson 1/3 dengan banyak pias

Seperti dalam metode trapesium, metode

Simpson dapat diperbaiki dengan membagi luasan

dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang

sama (Gambar 5):

nabx =

dengan n adalah jumlah pias.

Gambar 5 Metode Simpson dengan banyak

pias

13

Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua

pias, seperti pada Gambar 5.

+++=

b

a1n31 ...)( AAAdxxf

(persamaan 8)

Dalam metode Simpson ini jumlah interval adalah

genap. Apabila persamaan 6 disubstitusikan ke

dalam persamaan 8 akan diperoleh:

)4(3

...)4(3

)4(3

)( n1n2nb

a321210 fff

xfffxfffxdxxf +++ ++++++=

atau

+++=

=

=

b

a

2n

2ii

1n

1ii )(2)(4)()(3

)( xfxfbfafxdxxf

(persamaan 9)

Seperti pada Gambar 5, dalam penggunaan

metode Simpson dengan banyak pias ini jumlah

interval adalah genap. Perkiraan kesalahan yang

terjadi pada aturan Simpson untuk banyak pias

adalah:

''''180

)(4

5

a fnab

=

dengan ''''f adalah rerata dari turunan keempat

untuk setiap interval.

Contoh soal:

14

Hitung ,dxeI =4

0

x dengan metode Simpson

dengan x = 1.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan 9 maka luas

bidang adalah:

.863846,53]2)(4[31 23140

=++++= eeeeeI

Kesalahan terhadap nilai eksak:

.%5,0%100598150,53

863846,53598150,53t =

=

2.2.1.3 Metode Simpson 3/8

Metode Simpson 3/8 diturunkan dengan

menggunakan persamaan polinomial order tiga

yang melalui empat titik.

dxxfdxxfI =b

a3

b

a)()(

Dengan cara yang sama pada penurunan

aturan Simpson 1/3, akhirnya diperoleh:

[ ])()(3)(3)(83

3210 xfxfxfxfxI +++=

(persamaan 10)

15

dengan:

3abx =

Persamaan 10 disebut dengan metode

Simpson 3/8 karena x dikalikan dengan 3/8.

Metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam

bentuk:

[ ]8

)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxfabI +++=

(persamaan 11)

Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan

pemotongan sebesar:

)(''''803 3

t fx=

(persamaan 12a)

Mengingat 3

abx = , maka:

)(''''6480

)( 5t fab =

(persamaan 12b)

Metode Simpson 1/3 biasanya lebih

disukai karena mencapai ketelitian order tiga dan

hanya memerlukan tiga titik, dibandingkan

metode Simpson 3/8 yang membutuhkan empat

titik. Dalam pemakaian banyak pias, metode

Simpson 1/3 hanya berlaku untuk jumlah pias

genap. Apabila dikehendaki jumlah pias ganjil,

maka dapat digunakan metode trapesium. Tetapi

metode ini tidak begitu baik karena adanya

16

kesalahan yang cukup besar. Untuk itu kedua

metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias

digunakan metode Simpson 1/3 sedang 3 pias

sisanya digunakan metode Simpson 3/8.

Contoh soal:

Dengan aturan Simpson 3/8 hitung dxeI =4

0

x .

Hitung pula integral tersebut dengan

menggunakan gabungan dari metode Simpson 1/3

dan 3/8, apabila digunakan 5 pias dengan x =

0,8.

Penyelesaian:

a) Metode Simpson 3/8 dengan satu piasIntegral dihitung dengan menggunakan

persamaan (11):

[ ]8

)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxfabI +++=

.07798,558

)33()04(46667,23333,10

=

+++=

eeeeI

Besar kesalahan adalah:

.%761,2%10059815,53

07798,55598150,53t =

=

17

b) Apabila digunakan 5 pias, maka data untuk kelima pias tersebut adalah:

f (0) = e0 = 1 f (2,4) = e2,4 =

11,02318.

f (0,8) = e0,8 = 2,22554 f (3,2) = e3,2 =

24,53253.

f (1,6) = e1,6 = 4,9530 f (4) = e4 =

54,59815.

Integral untuk 2 pias pertama dihitung dengan

metode Simpson 1/3 (persamaan 7):

[ ])()(4)(6i

bfcfafabA ++=

.96138,3)95303,4)22554,24(1(66,1

=++=I

Tiga pias terakhir digunakan aturan Simpson

3/8:

[ ]8

)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxfabI +++=

.86549,498

)59815,54)53253,243()02318,113(95303,4(4,2 =+++=I

Integral total adalah jumlah dari kedua hasil

diatas:

.826873,5386549,4996138,3 =+=I

Kesalahan terhadap nilai eksak:

18

%.427,0%10059815,53

826873,53598150,53t =

=

2.2.2 Algoritma Metode Integrasi Simpson

(1) Definisikan y=f(x)

(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)

(3) Tentukan jumlah pembagi n

(4) Hitung h=(b-a)/n

2.3 Pengaplikasian Integrasi Numerik

2.3.1 Aturan Simpson Di Lapangan

Masalah getaran sering dijumpai dalam kehidupan sehari-

hari. Respons suatu struktur yang tergetar dapat diwakili oleh

percepatan, kecepatan, atau perpindahan. Masalah yang dibahas

dalam penelitian ini ialah mengenai bagaimana mengolah sinyal

percepatan struktur menjadi respons lainnya dan menganalisis pola

percobaan dari struktur tersebut.

Penelitian ini dilakukan dalam 2 tahapan. Pada tahap

pertama telah dibuat program perubahan sinyal percepatan menjadi

sinyal kecepatan dan perpindahan setelah dilakukan pengembangan

19

program akuisisi data. Tahap kedua meliputi pembuatan program

analisis pola percobaan untuk struktur sederhana dan percobaan

modus getar skala laboratorium bagi struktur sederhana tersebut.

Pada kedua tahapan, struktur uji yang berupa pelat tipis dianggap

tetap berada dalam keadaan elastis. Sebagian subrutin-subrutin

program pada tahap awal maupun program akuisisi dan

pembacaannya digunakan untuk penelitian tahap kedua.

Kajian tahap pertama memperlihatkan bahwa perpindahan

dan kecepatan dapat diperhitungkan dari percepatannya yang

diperoleh dengan bantuan satu peralatan penangkap sinyal dan

percepatan. Hasil penelitian ini yang berupa program perubahan

sinyal percepatan menjadi kecepatan dan perpindahan, juga

digunakan untuk mendapatkan kecepatan dan perpindahan tanah

dari satu rekaman percepatan tanah oleh satu strong motion

accelerograph. Rekaman percepatan tanah tersebut didapat akibat

adanya pergerakan tanah sewaktu gempa bumi terjadi. Teknik

perolehan respons perpindahan dari sinyal percepatan tersebut

dilakukan dalam 2 ranah, yaitu ranah waktu dan ranah frekuensi.

Pendekatan dalam ranah waktu dilakukan dengan 2 teknik

integrasi, yaitu formulasi Newton-Cotes dan Simpson. Kedua cara

tersebut dikombinasikan dengan koreksi garis basis. Teknik

koreksi garis basis yang digunakan ialah teknik waktu akhir nol.

Ranah frekuensi didekati dengan bantuan algoritma

transformasi Fourier cepat. Penerapan pada beberapa kasus studi

memperlihatkan bahwa hasil perolehan perpindahan dalam ranah

frekuensi memberikan hasil yang lebih baik jika dibandingkan

dengan perolehan dalam ranah waktu. Hasil perolehan dalam ranah

frekuensi juga masih memperlihatkan beberapa kelemahan namun

secara umum masih lebih baik daripada hasil dalam ranah waktu.

Selain itu proses komputasi perolehan perpindahan dalam ranah

20

frekuensi masih lebih cepat bila dibandingkan dengan proses dalam

ranah waktu. Respons mekanik dapat mewakili perilaku mekanik

dari sebuah struktur yang terkena suatu eksitasi gaya. Respons

mekanik tersebut sangat dipengaruhi oleh parameter sistem

dinamik struktur tersebut. Kajian tahun kedua meliputi penentuan

parameter tersebut, yaitu pola getar, nilai-nilai frekuensi, dan

nisbah redaman yang ada pada suatu struktur sederhana. Parameter

dinamik ini dapat ditentukan melalui analisis pola percobaan pada

struktur tersebut. Parameter tersebut ditentukan dalam 4 tahapan,

yaitu pengujian data dan akuisisi data, penentuan fungsi respons

frekuensi, penentuan parameter dinamik, dan penggambaran pola

struktur. Untuk dapat melakukan tahap kedua dan ketiga,

dikembangkan 2 program terpisah untuk setiap tahapnya. Hasil

yang didapat melalui beberapa tahapan tersebut walau cukup baik

masih memperlihatkan kelemahan sehingga masih harus dilakukan

beberapa perbaikan program sebelum dapat digunakan untuk jenis

struktur yang lebih kompleks. Program akuisisi dan osiloskop yang

digunakan pada studi di tahap pertama dapat digunakan untuk

mengukur respons lain denga bantuan jenis transducer lainnya dan

amplifier yang bersesuaian. Jenis transducer dapat berupa

transducer perpindahan, strain gauge, pressure transducer, atau

yang lainnya.

Program yang digunakan pada tahap kedua selain dapat

diterapkan pada struktur pelat juga dapat diterapkan pada jenis

struktur lainnya. Program yang digunakan pada tahap ketiga selain

dapat diterapkan pada pelat tipis yang terbuat dari baja atau beton

serat (fiber), dapat juga diterapkan pada pelat tipis dengan jenis

bahan lain seperti tripleks. Selain itu program dapat juga digunakan

untuk mengenali pengaruh ketidaksempurnaan perletakan tepat

pada parameter yang didapat. Selain itu perluasan yang lebih jauh

21

meliputi program analisis pola percobaan pada dek atau lantai

jembatan konvensional. Kerusakan atau kelainan daya dukung

fondasi dalam pembangunan suatu gedung atau struktur lainnya

biasanya terjadi akibat kelalaian operator ataupun oleh kondisi

tanah. Program pendeteksian kerusakan struktural seperti program

analisis integritas tiang pancang beton atau tiang bor yang

mencakup salah satu jenis analisis dinamika tiang pancang beton,

dapat merupakan topik perluasan penelitian ini.

BAB III

22

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dalam dunia statistik khususnya matematika numerik terdapat

berbagai macam teknik integrasi metode-metode numerik dalam

pengaplikasiannya di dunia nyata salah satunya aturan simpson. Di dalam

aturan simpson terdapat dua bagian yaitu aturan simpson 1/3 dan 3/8.

Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan

menggunakan polinom interpolasi yang berderajat lebih tinggi. Misalkan

fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang grafiknya

berbentuk parabola. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai

integrasi adalah daerah di bawah parabola, untuk itu dibutuhkan 3 buah

titik data,misalkan (0,f(0)), (h,f(h)),(2h,f(2h)). Sedangkan untuk aturan

simpson 3/8 dibutuhkan 4 buah titik dimana tingkat nilai dari integrasi

cenderung lebih baik dari pada aturan simpson 1/3.

3.2 Saran

Dalam aturan simpson terdapat dua bagian yaitu 1/3 dan 3/8. kedua

bagian aturan simpson ini dapat digunakan untuk diaplikasikan dalam

permasalahan-permasalahn yang ada dan membutuhkan perhitungan

secara numerik. Sebaiknya dalam menggunakan aturan simpson

gunakanlah bagian yang kedua karena aturan simpson 3/8 membutuhkan 4

buah titik yang tingkat nilai dari integritasnya cenderung lebih baik dari

pada aturan simpson 1/3.

DAFTAR PUSTAKA

23

- mat.um.ac.id/eLearning/numerik/Integrasi/Simpson2.htm. Internet- Jack.2006. Buku ajar jurusan matematika, FMIPA,UNILA.- http://lecturer.eepis-its.edu/~amang/pdf/bab6tm.pdf. Internet- http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-iv-diferensiasi-integrasi-

komputasi-nume.pdf. Internet

24