INTEGRASI NUMERIKNana Ramadijanti INTEGRASI NUMERIKDi dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. INTEGRASI NUMERIKFungsi yang dapat dihitung integralnya :Fungsi yang rumit misal :dx exxx 5 . 02023sin 5 . 0 1) 1 cos( 2++ +C x x x dx xC x dxxC b aadx b axC b aadx b axCaedx eCnaxdx axaxaxnn+ + + + ++ + ++ +++| | ln | | ln| | ln1) sin(1) cos() cos(1) sin(11 INTEGRASI NUMERIKPerhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi ) ( ... ) ( ) () ( ) (1 1 0 00n niniibax f c x f c x f cx f c dx x f+ + + x0x1xnxn-1xf(x) 0246810123 5 7 9 11 13 15Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral penjumlahan bagian-bagian. Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak. Formula Newton-Cotes- Berdasarkan pada dx x f dx x f Ibanba) ( ) ( Nilai hampiran f(x) dengan polinomialnn1 n1 n 1 0 nx a x a x a a x f + + + + ) ( fn (x) bisa fungsi linearfn (x) bisa fungsi kuadrat fn (x) bisa juga fungsi kubik ataupolinomial yang lebih tinggi Polinomial dapat didasarkan pada data INTEGRASI NUMERIKLuas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan :L = ( )badx x f 0.20.250.30.350.40.450.50 0.5 1 1.5 2 2.5 3x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b]Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi).ix Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :Dimana Didapat( ) ( ) ( ) ( )( )iniinnx x fx x f x x f x x f x x fL L L L L + + + + + + + + 03 2 2 1 1 0 02 1 0.....( ) ( )niibax f h dx x f0h x x x xn ...2 1 0 ContohHitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1]00.20.40.60.810 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x**2102dx x L = ContohDengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :Secarakalkulus :Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052( )( ) ( ) 385 , 0 85 , 3 1 . 000 . 1 81 . 0 64 . 0 49 . 0 36 . 0 25 . 0 16 . 0 09 . 0 04 . 0 01 . 0 0 1 . 0) ( .100 + + + + + + + + + + iix f h L..... 3333 , 0 |31103102 x dx x L Definisikan fungsi f(x)Tentukan batas bawah dan batas ata integrasiTentukan jumlah pembagi area NHitung h=(b-a)/NHitung Niix f h L0) ( . Aproksimasi garis lurus (linier)) ( ) () ( ) ( ) ( ) (1 01 1 0 0 i10 iibax f x f2hx f c x f c x f c dx x f+ + x0x1xf(x)L(x) [ ] [ ] [ ][ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (n 1 n i 1 0n 1 n 2 1 1 0xxxxxxbax f x f 2 x 2f x f 2 x f2hx f x f2hx f x f2hx f x f2hdx x f dx x f dx x f dx x fn1 n2110+ + + + + + + + + + + + + + + x0x1xf(x)x2h h x3h h x4na bh ( ) ( ) ( )( )i i i ii i i ix f f Lataux x f x f L + + ++.21.211110iiL L( ) ( )n nnii if f f f fhf f h L + + + + + + +1 2 1 01012 ... 2 22 21

,_

+ + nniif f fhL11022 Definisikan y=f(x)Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)Tentukan jumlah pembagi nHitung h=(b-a)/nHitung

,_

+ + nniif f fhL11022 Aproksimasi dengan fungsi parabola[ ] ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 02 2 1 1 0 0 i20 iibax f x f 4 x f3hx f c x f c x f c x f c dx x f+ + + + x0x1xf(x)x2h hL(x) ' + + + 1 x x0 x x1 x xhdxdhx x 2 a bh2 b ax b x a x letx fx x x xx x x x x fx x x xx x x xx fx x x xx x x xx L21011 2 021 2 0 21 012 1 0 12 002 0 1 02 1 , ,, ,) () )( () )( () () )( () )( () () )( () )( () () () () ( ) ( ) () () (2 120x f21x f 1 x f21L++ + ) () () ( ) ( ) () () (2 120x f21x f 1 x f21L++ + 112 321131112 30112102111011)2 3(2) ()3( ) ( )2 3(2) () 1 (2) ( ) 1 ) () 1 (2) ( ) ( ) ( + + + + + + hx f h x f hx fd hx f d ( h x fd hx f d L h dx x fba) ( ) ( ) ( ) (2 1 0bax f x f 4 x f3hdx x f + + x0x2xf(x)x4h h xn-2h xnna bh...h x3x1xn-1 Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:atau dapat dituliskan dengan:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nf fhf fhf fhf fhf fhf fhL + + + + + + + + + + + + 1 1 2 4 3 3 2 2 1 1 02323. . . 23232323

,_

+ + + ngenap iiganjil iif f f fhL 02 43N = 0 nL = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln Cara II (Buku Rinaldi Munir)Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb0220 0 0220 0 2! 2) () (! 2) () ( ) ( fh h x xfhxf x fh h x xx fhxx f x p + + + + Cara II (Buku Rinaldi Munir)Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]020 0020 00222302020 022223020200220 02022032 2342 24468242|4 6 2! 2) () (fhf h x hf Lf hhf h x hf Lfhhhhfhhx hf Lfhxhxfhxx f Ldx fh h x xfhxf Lxdx p dx x f Lh xxhh h + +

,_

+ +

,_

+ +

,_

+ +

,_

+ + Cara II (Buku Rinaldi Munir)Mengingat Maka selanjutnya0 1 0f f f ) 4 (33 3433 3232 2 2) 2 (3) ( 2 22 1 02 1 00 1 2 0 1 00 1 2 0 1 0f f fhLfhfhfhLfhfhfhhf hf x hf Lf f fhf f h x hf L+ + + + + + + + + + 0 1 2 0 1 1 2 0 1 022 ) ( ) ( f f f f f f f f f f + Aproksimasi dengan fungsi kubik[ ] ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3 2 1 03 3 2 2 1 1 0 0 i30 iibax f x f 3 x f 3 x f8h 3x f c x f c x f c x f c x f c dx x f+ + + + + + x0x1xf(x)x2h hL(x)x3h ) () )( )( () )( )( () () )( )( () )( )( () () )( )( () )( )( () () )( )( () )( )( () (32 3 1 3 0 32 1 023 2 1 2 0 23 1 013 1 2 1 0 13 2 003 0 2 0 1 03 2 1x fx x x x x xx x x x x xx fx x x x x xx x x x x xx fx x x x x xx x x x x xx fx x x x x xx x x x x xx L + + + ) ( ) ( ) ( ) (3 2 1 0babax f x f 3 x f 3 x f8h 33 a bh; L(x)dx f(x)dx+ + + Error Pemenggalan3 a bh ; f6480a bf h803E454 5t ) () () () ( ) ( Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :H samaLuas dihitung dari a sampai bMengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar. Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang[-1,1]Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoidaKarena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya min( )2) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (2) (11 + + hf f f fhdx x f I) ( ) ( ) (2 2 1 111x f c x f c dx x f I + Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3) ( ) ( ) (2 2 1 111x f c x f c dx x f I + 03202 1113 32 231 1112 22 221 1112 2 1 1112 1 + + + +dx x x c x cdx x x c x cdx x x c x cdx c cDidapat313112 12 1 x xc c Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik)31( )31( ) (11+ f f dx x f Range [a,b] [-1,1] X u f(x) g(u)dx dubaidx x f L ) (11) ( du u g Li dua bdxu a b b axau bu b axa a b u xa b u a xua ba x

,_

+ + + ++ + + + + +22) ( ) (22 ) )( 1 ( 2) )( 1 ( 2 22 1abx-11u duu a b b af a b du u g

,_

+ + 11112) ( ) () (21) (11) ( du u g Li( ) ) ( ) ( ) (21) (2121a b u a b f a b u g + + AnalisaDibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi. Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi 11) ( du u g Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titikDefinisikan fungsi f(x)Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)Hitung nilai konversi variabel :Tentukan fungsi g(u) dengan:Hitung( ) ) (2121a b u a b x + + ( ) ) ( ) ( ) (21) (2121a b u a b f a b u g + +

,_

+

,_

3131g g L Contoh Soal Metode Gauss Legendre 3 TitikParameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :Dengan cara yang sama didapat) ( ) ( ) ( ) (3 3 2 2 1 111x f c x f c x f c dx x f I + + 5 4 32) ( ; ) ( ; ) () ( ; ) ( ; 1 ) (x x f x x f x x fx x f x x f x f 5 3 ; 0 ; 5 395;98;953 2 13 2 1 x x xc c c Metode Gauss Legendre 3 Titik( )

,_

+ +

,_

53950985395) (11g g g du u g Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik Metode Gauss n-Titik Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar Menghitung Luas dan Volume Benda Putar Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:Skala 1:100000010563159 Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:Dengan menggunakan metode integrasi ReimannDengan menggunakan metode integrasi trapezoidaDengan menggunakan metode integrasi Simpson5 . 73 2215116 0

,_

+ + iiy y yhL5 . 73160 iiy h L74 2 4316 0

,_

+ + + genap iiganjil iiy y y yhL Luas benda putar: Volume benda putar:bapdx x f L ) ( 2[ ]bapdx x f V2) ( Contoh :Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.Bagian I:Bagian II:4 cm6 cm7 cm12 cm7 cm5 cmI II III IVsatuan dalam cm 56 ) 7 )( 4 ( 2 IL 196 ) 7 )( 4 (2 IV( ) 288 ) 12 ( 12 2 IIL( ) ( ) 3456 12 12 22 IIV Contoh :Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:Pada bagian II dan IV: dan Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh: 108 222 ) (415 01]1

+ + ii IV IIy y yhL L( ) 5 . 1187 22412 25201]1

+ + ii IV IIy y yhV VIV IIL L IV IIV V Contoh :Luas permukaan dari botol adalah:Luas = 1758.4 cm2Volume botol adalah:Volume = 18924.78 cm3 4 . 1758560108 288 108 56+ + + + + + IV III II IL L L L L 60245 . 1187 3456 5 . 1187 196+ + + + + + IV III II IV V V V V