sabrina zahra fitriani-1206249391-teknologi bioproses-integrasi numerik

UNIVERSITAS INDONESIA

TUGAS INDIVIDUAL PRA UAS KOMPUTASI NUMERIK

Disusun oleh:Sabrina Zahra Fitriani (1206249391)

Teknologi Bioproses

DEPARTEMEN TEKNIK KIMIAFAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS INDONESIADEPOK 2014

Page | 1Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391

1/2 1/2

3 m m o oT 1/2 1/2

m m o o

k .K .P .K Pr'

1 K .P 1 K .P

Soal 1. Penentuan W/Fo untuk disain Reaktor Fixed Bed Reactor Reaksi

Parsial Oksidasi Metanol menjadi Formaldehida

Packed-bed reactors adalah reaktor tubular terisi oleh partikel-partikel katalis untuk

melangsungkan reaksi parsial oksidasi metanol :

O2 + 2 CH3OH 2 CH2O + 2 H2O

Persamaan disain reaktor bed adalah sebagai berikut,

Dimana :

-r’T adalah laju konversi metahol menjadi formaldehida, mol/kg. jam

X adalah Nilai Konversi Metanol menjadi Formaldehida,

W adalah jumlah katalis yang digunakan/diisikan dalam reaktor, kg katalis.

Fo adalah laju umpan reaktan masuk reaktor, mol/jam.

Persamaan laju konversi metanol menjadi Formaldehida adalah

Dan berdasarkan penentuan harga kontanta dari referensi literature, pada 571 K:

k3 = 0,43 (mol.hr-1.g cat-1)

Km = 12,4 (atm-1)

Ko = 1.23 (atm-1)

Bila tekanan parsial metanol Pmet = 1.2 atm dan Rasio awal M = Pmet/PO2 = 0,5----Nah tinggal

cari data-data Pmet dan PO2 untuk menghitung persamaan laju konversi metanol menjadi

Formaldehida.

Dalam desain Reaktor maka besaran parameter W/Fo sangat penting untuk ditentukan, karena untuk

menunujukkan kemampuan reaktor dalam mengkonversi reaktan, menentukan reaksi berjalan atau lambat

dan bahkan memperkirakan reaksi katalitik berjalan efektif atau tidak. Untuk menghitung harga W/Fo

reaktor, maka perlu melakukan perhitungan dengan mengintegrasi harga dX/-r’T dalam rentang konversi

tertentu. Berdasarkan peran dan kemampuan anda dalam Komputasi Numerik, hitunglah harga W/Fo

dengan rentang konversi tabel berikut.


No.kode

Soal

Konversi metanol X

awal

Konversi metanol X akhir

B1 0 0,40

B2 0 0,50

B3 0 0,60

B4 0 0,70

B5 0 0,80

B6 0 0,90

B7 0,1 0,60

B8 0,2 0,70

B9 0,3 0,80

JAWAB

Tugas yang akan saya kerjakan adalah Kode Soal B8: Xawal = 0,20 dan Xakhir = 0,70. Perhitungan

dilakukan dengan step size 0,1

Menghitung tekanan parsial metanol Pm berdasarkan konversi metanol Xm awal yg anda

tentukan dlm rentang tugas, yakni

Pm = Pm awal - Pm awal. Xm

Dengan Pm awal = 1,2 atm, Pm dapat diperoleh dengan perhitungan pada Microsoft Excel

Xm Pm

0,20 0,96

0,30 0,84

0,40 0,72

0,50 0,6

0,60 0,48

0,70 0,36

Menghitung harga konversi oksigen Xo untuk setiap konversi metanol Xm berdasarkan :

PO awal . XO = Pm awal . Xm/2 dimana

M = Pm/PO =0,5 (awal)

Jumlah oksigen yg bereaksi=1/2 jumlah mol metanol yg bereaksi

Persamaan diatas dapat ditulis juga sebagai


1/2 1/2

3 m m o oT 1/2 1/2

m m o o

k .K .P .K Pr'

1 K .P 1 K .P

XO = Pm/PO awal . Xm/2

XO = M . Xm/2

Dengan M = 0,5, Xo dapat diperoleh dengan perhitungan pada Microsoft Excel

Xm Xo

0,20 0,05

0,30 0,075

0,40 0,1

0,50 0,125

0,60 0,15

0,70 0,175

Menghitung harga tekanan parsial oksigen Po untuk setiap harga tekanan parsial awal oksigen atau

konversi oksigen Xo dengan menggunakan rumus :

Po = Po awal – Xo (Po awal)

= Po awal - Pm awal . Xm/2

Dengan Po awal = Pm awal/M = 1,2/0,5 = 2,4 atm, maka Po dapat diperoleh dengan perhitungan

pada Microsoft Excel

Xm Po

0,20 2,28

0,30 2,22

0,40 2,16

0,50 2,1

0,60 2,04

0,70 1.98

Membuat tabel hasil perhitungan laju reaksi konversi metanol (-r’T) dalam rentang konversi

metanol awal- sampai konversi metanol akhir sesuai tugas anda masing-masing. Boleh melebihi

dari rentang konversi yg ditentukan

Persamaan laju konversi metanol menjadi Formaldehida adalah


Dan berdasarkan penentuan harga kontanta dari referensi literature, pada 571 K:

k3 = 0,43 (mol.hr-1.g cat-1)

Km = 12,4 (atm-1)

Ko = 1.23 (atm-1)

Persamaan laju konversi methanol dapat ditulis sebagai

−r 'T=0,43 .12,4 .Pm .1,231/2 . Po

1 /2

(1+12,4 . Pm )(1+1,2312 .Po

12 )

Dengan Po dan Pm yang diperoleh dari perhitungan sebelumnya, −r 'Tdapat dihitung

menggunakan Microsoft Excel

Pm Po −r 'T0,96 2,28 0,2483662560,84 2,22 0,2444200660,72 2,16 0,2396567230,6 2,1 0,2336638670,48 2,04 0,2256779380,36 1,98 0,214106224

Membuat tabel hasil perhtungan harga 1/(-r’T) dan butlah plot antara 1/(-r’T) vs X

Xm 1/−r 'T0,20 4,0263120,30 4,0913170,40 4,1726350,50 4,2796520,60 4,4310930,70 4,670579


0.2 0.3 0.4 0.5

0.600000000000001

0.7000000000000013.6

4

4.4

4.8

f(x) = 3.86384220747293 exp( 0.0287663801297371 x )R² = 0.951073357656793

Grafik 1/r'T vs X

1/r'T vs XExponential (1/r'T vs X)

X

1/-

r'T

Menghitung luasan dibawah kurva hasil plot. Luasan tersbut merupakan harga W/Fo

Metode Trapesium Segmen Berganda

Metode ini digunakan dengan membagi luasan grafik menjadi n segmen dengan lebar yang sama.

Pada langkah sebelumnya, sudah dilakukan perhitungan dengan 5 segmen (n = 5). Step sizenya

h=b−an

=0,7−0,25

=0,1. Harga W/Fo sesuai dengan persamaan

W=∫X awal

Xakhir Fo

−rT'dX

WFo

= ∫Xawal

X akhir

1

−rT'dX

Dari soal no kode B8, Xawal = 0,20 dan Xakhir = 0,70. Integrasi numerik menggunakan metode

trapesium segmen berganda dihitung menggunakan persamaan

I ≅ (b−a )f (xo )+2∑

i=1

n−1

f (x i )+ f (xn )

2n

f(x) berdasarkan soal adalah 1

−rT' , b = 0,70 dan a = 0,20. Perhitungan menggunakan Microsoft

Excel menghasilkan

No Xm 1/−r 'T


0 0,20 4,0263121 0,30 4,0913172 0,40 4,1726353 0,50 4,2796524 0,60 4,4310935 0,70 4,670579

Hasil dari perhitungan dimasukkan ke persamaan integrasi sehingga

I ≅ (0,70−0,20 ) 4,026312+2 ( 4 ,091317+4 ,172635+4 ,279652+4 ,431093 )+4 ,6705792 .5

I ≅ 2,655817

Maka

WFo

= dX

−rT'= 1

−rT'=2,656kg . jam /mol

Metode Simpson

Metode simpson terdiri dari dua jenis, yaitu 1/3 dan 3/8. Metode 3/8 digunakan untuk 4 titik

berspasi sama sedangkan metode 1/3 memerlukan tiga titik berspasi sama. Pada masalah ini, step

size = 0,1 dan menghasilkan 5 segmen. Segmen 1 dan 2 dihitung dengan menggunakan aturan 1/3

dan segmen 3,4 dan 5 dihitung menggunakan aturan 3/8. f(x) berdasarkan soal adalah 1

−rT' , b =

0,70 dan a = 0,20. Perhitungan menggunakan Microsoft Excel menghasilkan

No Xm 1/−r 'T0 0,20 4,0263121 0,30 4,0913172 0,40 4,1726353 0,50 4,2796524 0,60 4,4310935 0,70 4,670579

1. Segmen 1 dan 2 dengan aturan 1/3 Simpson

I ≅ (b−a )f (xo )+4 f (x1 )+f (x2 )

6


I ≅ (0,40−0,20 ) 4,0263+4 (4,091317)+4,172636

=0,8188

2. Segmen 3, 4 dan 5 dengan aturan 3/8 Simpson

I ≅ (b−a )f (xo )+3 f (x1 )+3 f (x2 )+ f (x3 )

8

I ≅ (0,70−0,40 ) 4,17263+3(4,2796)+3 (4,43109)+4,67058

=1,31157

Integral total dihitung dengan menjumlahkan keduanya

I=0,8188+1,31157=2,13038

Maka

WFo

= dX

−rT'= 1

−rT'=2,130kg . jam /mol

Jadi, nilai W/Fo dengan rentang konversi dari 0,20 hingga 0,70 dengan metode trapesium segmen

berganda adalah 2,656kg . jam/mol dan dengan metode Simpson adalah 2,130kg . jam /mol. Hasil

perhitungan numerik ini tidak dapat dibandingkan dengan perhitungan analitis karena integral sulit

dilakukan.


Soal 3. Studi kasus perhitungan : Kuantitas Panas

Ulangilah Studi kaus 15.2 halaman 549 (Bab 15, Chapra-Raymod versi bahasa) Tunjukkan dengan proses perhitungan sampai mendapatkan error yang sekecil-kecilnya dari kuantitas panas yang diperlukan dalam rentang suhu tertentu dan mulai ukuran segmentasi h berapakah untuk mendapatkan %error dibawah 0,01%. Perhitungan error didasarkan pada hasil perhitungan analitisnya (hasil sebenarnya). Boleh menggunakan excell, atau program lainnya untuk membantu perhitungan dengan batas suhu dari -50 s/d 100 oC.

JAWAB

Kapasitas panas sebagai fungsi dari suhu adalah :

c (T )=0,132+1,56×10−4T+2,64×10−7T 2

Besar perubahan entalpi dapat dihitung dengan :

∆ H=m∫T1

T2

c (T )dT

∆ H=m∫T1

T2

0,132+1,56×10−4T +2,64×10−7T 2dT

Dengan m = 1000 gram, T1 = -50 oC T2 = 100 oC. Nilai dari ∆H dihitung dengan menggunakan integrasi

numerik kemudian dibandingkan dengan hasil dari integrasi analitik untuk mendapatkan nilai % error.

1. Solusi Analitik

Solusi analitik dicari dengan langsung mengintegralkan persamaan c(T) dengan rentang -50 s/d

100 oC.

∆ H=1∫−50

100

0,132+1,56×10−4T +2,64×10−7T2dT

∆ H=[0,132T+0,78×10−4T 2+0,88×10−7T 3 ]−50

100

∆ H=20,484cal

2. Solusi Numerik

Integrasi numerik dari c(T) dilakukan dengan menggunakan metode Multiple Trapezoid. Untuk

memperoleh %error dibawah 0,01%, perhitungan dilakukan dengan menghitung pada step size

50, 30, 15 agar terlihat pembagian manakah yang menghasilkan error dibawah 0,01%.

Fungsi yang digunakan untuk integrasi adalah


f ( x )=c (T )=0,132+1,56×10−4T+2,64×10−7T 2

Integrasi dengan metode Trapesium berganda dihitung dengan menggunakan persamaan

I ≅ (b−a )f (xo )+2∑

i=1

n−1

f (x i )+ f (xn )

2n

Persen error dihitung dengan

ε t=|Solusinumerik−Solusi analitikSolusianalitik |×100 %

Step size (h) = 50 (n= 3 )

n X f(x)0 -50 0.124861 0 0.1322 50 0.140463 100 0.15024

I=(100−(−50 )) 0,12486+2 (0,132+0,14046 )+0,150242.3

I=20,5005

∆ H=I=20,5005

Persen error :

ε t=|Solusinumerik−Solusi analitikSolusianalitik |×100 %=|20,5005−20,484

20,484 |×100 %

ε t=0,080551 %

Step size (h) = 30 (n= 5 )

n x f(x)0 -50 0,124861 -20 0,1289862 10 0,1335863 40 0,1386624 70 0,1442145 100 0,15024

I=¿


I=20,48994

∆ H=I=20,48994

Persen error :


20,484 |×100%

ε t=0,0289 %

Step size (h) = 15 (n= 10 )

n x f(x)0 -50 0,124861 -35 0,1268632 -20 0,1289863 -5 0,1312274 10 0,1335865 25 0,1360656 40 0,1386627 55 0,1413798 70 0,1442149 85 0,14716710 100 0,15024

I=¿

I=20,485485

∆ H=I=20,485485

Persen error :


20,484 |×100 %

ε t=0,00725 %

Pada step size 15, error sudah mencapai jauh dibawah 0,01%. Untuk mengetahui letak

pastinya saat error mulai berada dibawah 0,01%, perlu dibuat grafik agar dapat diketahui nilai

step size yang spesifik dan mendekati 0,01%.


Step size Persen Error50 0,080551 %30 0,0289 %15 0,00725 %

50 30 150

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

f(x) = 0.284993655339834 exp( − 1.20394452766431 x )R² = 0.99269398611355

Grafik Step Size vs Persen Error

Step Size vs Persen ErrorExponential (Step Size vs Persen Error)

step size

Pers

en E

rror

(%)

Dari berbagai kasus, terlihat bahwa persenan error menurun secara eksponensial dengan

berkurangnya step size. Dengan pendekatan secara eksponensial, diperoleh hubungan

y=0,286e−1,204 x. Step size pada 0,01% dapat dihitung dengan persamaan tersebut, dan didapat

step size sekitar 18.

Jadi,berdasarkan perhitungan yang sudah dilakukan, persen error mencapai <0,01% saat

step size ¿ 18.


Soal 4 Selesaikan soal 15.15 Bab 15, Chapra-Raymod versi bahasa. Selama suatu survey lapangan, anda diminta untuk menghitung luas lapangan seperti gambar. Gunakan aturan Simpson untuk menentukan luas ini.

JAWAB

Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Panjang kotak adalah 200 kaki sehingga luas satu kotak mewakili (200 kaki)2.

Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n = 16). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

n y(n)

0 211 20.82 20.53 204 19.55 17.56 16.57 16.28 16


9 1510 14.211 13.512 12.513 914 6.515 516 0

Dari tabel diatas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan metode integrasi Simpson dengan persamaan

L=h3 ( yo+ y16+4 ∑

i=ganjil

y i+2 ∑i=genap

y i)Dengan memasukkan data-data yang diperoleh pada tabel, diperoleh

L=13¿

L=233,47

Luas yang sebenarnya

L x Luas persegi seharusnya = 233,47 x (200 ft)2 = 9338667 ft2

Jadi, dengan perhitungan menggunakan metode integrasi Simpson, diperoleh luasan dari

lapangan tersebut adalah 9338667 ft2.


sabrina zahra fitriani-1206249391-teknologi bioproses-integrasi numerik

Documents