integral numerik
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Numerical IntegralTRANSCRIPT
Pengintegralan Pengintegralan NumerikNumerik
PengantarPengantar Pengintegralan numerik merupakan
alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.
Misalnya dalam termodinamik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda padat.
Dasar Pengintegralan NumerikDasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai
fungsi
)(...)()(
)()(
1100
0
nn
i
n
ii
b
a
xfcxfcxfc
xfcdxxf
x0 x1 xnxn-1x
f(x)
0
2
4
6
8
10
12
3 5 7 9 11 13 15
Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.
Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.
Dasar Pengintegralan Dasar Pengintegralan NumerikNumerik
Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada
dxxfdxxfIb
a n
b
a )()(
Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
nn
1n1n10n xaxaxaaxf
)(
Dasar Pengintegralan Dasar Pengintegralan NumerikNumerik
fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat
fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi
Polinomial dapat didasarkan pada data
Formula Newton-Cotes Aturan Trapesium : LinierAturan Simpson’s 1/3 : KuadratAturan Simpson’s 3/8 : KubikAturan Boole : Orde Empat
Aturan TrapesiumAturan Trapesium Aproksimasi garis lurus (linier)
)()(
)()()()(
10
1100i
1
0ii
b
a
xfxf2
h
xfcxfcxfcdxxf
x0 x1x
f(x)
L(x)
Contoh: Aturan TrapesiumContoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak
Aturan trapesium
926477.5216)12(4
1
4
1
24
0
2
4
0
224
0
2
xe
eex
dxxe
x
xxx
dxxe4
0
x2
%..
..
.)()()(
123579265216
66238479265216
6623847e4024f0f2
04dxxeI 84
0
x2
Aturan Komposisi Aturan Komposisi TrapesiumTrapesium
)()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
n1ni10
n1n2110
x
x
x
x
x
x
b
a
xfxf2x2fxf2xf2
h
xfxf2
hxfxf
2
hxfxf
2
h
dxxfdxxfdxxfdxxfn
1n
2
1
1
0
x0 x1x
f(x)
x2h h x3h h x4
n
abh
function f = example1(x)% a = 0, b = pif=x.^2.*sin(2*x);
dxx2sinx0
2 )(
Aturan Komposisi Aturan Komposisi TrapesiumTrapesium
» a=0; b=pi; dx=(b-a)/100;» x=a:dx:b; y=example1(x);» I=trap('example1',a,b,1)I = -3.7970e-015» I=trap('example1',a,b,2)I = -1.4239e-015» I=trap('example1',a,b,4)I = -3.8758» I=trap('example1',a,b,8)I = -4.6785» I=trap('example1',a,b,16)I = -4.8712» I=trap('example1',a,b,32)I = -4.9189
» I=trap('example1',a,b,64)I = -4.9308» I=trap('example1',a,b,128)I = -4.9338» I=trap('example1',a,b,256)I = -4.9346» I=trap('example1',a,b,512)I = -4.9347» I=trap('example1',a,b,1024)I = -4.9348» Q=quad8('example1',a,b)Q = -4.9348 MATLAB
function
Aturan Komposisi Aturan Komposisi TrapesiumTrapesium
n = 2
I = -1.4239 e-15
Exact = -4. 9348
dxx2sinx0
2 )(
n = 4
I = -3.8758
Eksak = -4. 9348
dxx2sinx0
2 )(
n = 8
I = -4.6785
Eksak = -4. 9348
dxx2sinx0
2 )(
n = 16
I = -4.8712
Eksak = -4. 9348
dxx2sinx0
2 )(
Hitung integral dari dxxeI4
0
x2
%..)().().(
).().()(.,
%..)().(
)().()().(
)().()(.,
%..)()(
)()()(,
%..)()()(,
%..)()(,
662 9553554f753f253f2
50f2250f20f2
hI250h16n
5010 7657644f53f2
3f252f22f251f2
1f250f20f2
hI50h8n
7139 7972884f3f2
2f21f20f2
hI1h4n
75132 23121424f2f20f2
hI2h2n
12357 66238474f0f2
hI4h1n
Aturan Komposisi Aturan Komposisi TrapesiumTrapesium
» x=0:0.04:4; y=example2(x);» x1=0:4:4; y1=example2(x1);» x2=0:2:4; y2=example2(x2);» x3=0:1:4; y3=example2(x3);» x4=0:0.5:4; y4=example2(x4);» H=plot(x,y,x1,y1,'g-*',x2,y2,'r-s',x3,y3,'c-o',x4,y4,'m-d');» set(H,'LineWidth',3,'MarkerSize',12);» xlabel('x'); ylabel('y'); title('f(x) = x exp(2x)');
» I=trap('example2',0,4,1)I = 2.3848e+004» I=trap('example2',0,4,2)I = 1.2142e+004» I=trap('example2',0,4,4)I = 7.2888e+003» I=trap('example2',0,4,8)I = 5.7648e+003» I=trap('example2',0,4,16)I = 5.3559e+003
Aturan Komposisi Aturan Komposisi TrapesiumTrapesium
dxxeI4
0
x2
Aturan Komposisi Aturan Komposisi TrapesiumTrapesium
Aturan Simpson 1/3Aturan Simpson 1/3 Aproksimasi dengan fungsi
parabola
)()()(
)()()()()(
210
221100i
2
0ii
b
a
xfxf4xf3
h
xfcxfcxfcxfcdxxf
x0 x1x
f(x)
x2h h
L(x)
1 xx
0 xx
1 xx
h
dxd
h
xx
2
abh
2
ba x bx ax let
xfxxxx
xxxx
xfxxxx
xxxx xf
xxxx
xxxxxL
2
1
0
1
120
21202
10
12101
200
2010
21
,,
,,
)())((
))((
)())((
))(()(
))((
))(()(
)()(
)()()()(
)( 212
0 xf2
1xf1xf
2
1L
Aturan Simpson 1/3Aturan Simpson 1/3
)()(
)()()()(
)( 212
0 xf2
1xf1xf
2
1L
1
1
23
2
1
1
3
1
1
1
23
0
1
12
1
0
21
1
10
1
1
)23
(2
)(
)3
()()23
(2
)(
)1(2
)()1)(
)1(2
)()()(
ξξhxf
ξξhxf
ξξhxf
dξξξh
xfdξξ(hxf
dξξξh
xfdξLhdxxfb
a
)()()()( 210
b
axfxf4xf
3
hdxxf
Aturan Simpson 1/3Aturan Simpson 1/3
Aturan Komposisi Aturan Komposisi SimpsonSimpson
x0 x2x
f(x)
x4h h xn-2h xn
n
abh
…...
hx3x1 xn-1
Hitung integral dari n = 2, h = 2
n = 4, h = 1
dxxeI4
0
x2
%..
)()()(
)()()()()(
708 9755670
e4e34e22e403
1
4f3f42f21f40f3
hI
8642
%..)(
)()()(
9657 4118240e4e2403
2
4f2f40f3
hI
84
Aturan Komposisi Aturan Komposisi SimpsonSimpson
Aturan Simpson 3/8Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik
)()()()(
)()()()()()(
3210
33221100i
3
0ii
b
a
xfxf3xf3xf8
h3
xfcxfcxfcxfcxfcdxxf
x0 x1x
f(x)
x2h h
L(x)
x3h
)())()((
))()(()(
))()((
))()((
)())()((
))()(()(
))()((
))()(()(
3231303
2102
321202
310
1312101
3200
302010
321
xfxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxxx
xfxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxxxxL
)()()()( 3210
b
a
b
a
xfxf3xf3xf8
h33
abh ;L(x)dxf(x)dx
Error Pemenggalan
3
abh ;f
6480
abfh
80
3E 4
545
t
)(
)()( )()(
Aturan Simpson 3/8Aturan Simpson 3/8
Hitung integral dari Aturan Simpson 1/3
Aturan Simpson 3/8
dxxe4
0
x2
%..
..
.)(
)()()(
96579265216
41182409265216
4118240e4e2403
2
4f2f40f3
hdxxeI
84
4
0
x2
%71.30926.5216
209.6819926.5216
209.6819832.11923)33933.552(3)18922.19(308
)4/3(3
)4(f)3
8(f3)
3
4(f3)0(f
8
h3dxxeI
4
0
x2
Aturan Simpson 3/8Aturan Simpson 3/8
function I = Simp(f, a, b, n)% integral of f using composite Simpson rule% n must be evenh = (b - a)/n;S = feval(f,a);for i = 1 : 2 : n-1 x(i) = a + h*i; S = S + 4*feval(f, x(i));endfor i = 2 : 2 : n-2 x(i) = a + h*i; S = S + 2*feval(f, x(i));endS = S + feval(f, b); I = h*S/3;
Aturan Komposisi Aturan Komposisi SimpsonSimpson
Aturan SimpsonAturan Simpson
Aturan Komposisi Aturan Komposisi SimpsonSimpson
MATLAB FunctionMATLAB Function:: trapztrapz
» x=[0 1 1.5 2.0 2.5 3.0 3.3 3.6 3.8 3.9 4.0]
x =
Columns 1 through 7
0 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.3000
Columns 8 through 11
3.6000 3.8000 3.9000 4.0000
» y=x.*exp(2.*x)
y =
1.0e+004 *
Columns 1 through 7
0 0.0007 0.0030 0.0109 0.0371 0.1210 0.2426
Columns 8 through 11
0.4822 0.7593 0.9518 1.1924
» integr = trapz(x,y)
integr =
5.3651e+003
Z = trapz(x,y)
Sumber:Sumber: http://ceprofs.tamu.edu/hchen/cven302/
chap16.ppt