integral numerik kuadratur adaptif...

INTEGRAL NUMERIK KUADRATUR ADAPTIF DENGAN

KAIDAH SIMPSON

Makalah

Disusun guna memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik

yang dibimbing oleh

Dr. Nur Shofianah

Disusun oleh:

M. Adib Jauhari Dwi Putra 146090400111001

Zulfiana S. Akib 146090400111007

Danang Indrajaya 146090400111008

PROGRAM PASCASARJANA ILMU MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2015

2

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI............................................................................................................2

BAB I PENDAHULUAN........................................................................................3

1.1.Rumusan Masalah.............................................................................................4

1.2.Tujuan...............................................................................................................4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA..............................................................................5

Deret.......................................................................................................................5

Interpolasi..............................................................................................................5

Integral...................................................................................................................6

Teorema Weierstrass............................................................................................11

BAB III PEMBAHASAN......................................................................................15

3.1. Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson.................................................15

3.2. Perbaikan Kaidah Simpson...........................................................................17

3.3. Algoritma Integral Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson..................21

3.4. Penyelesaian Masalah Integral dengan Metode Kuadratur Adaptif.............23

BAB IV KESIMPULAN........................................................................................30

DAFTAR PUSTAKA............................................................................................31

LAMPIRAN...........................................................................................................32

Flow Chart...........................................................................................................32

Source code program (MATLAB).......................................................................33

3

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Integral merupakan salah satu dari dua pokok bahasan matematika yang

paling mendasar di samping turunan. Secara umum, integral dikenal sebagai anti

turunan. Konsep integral digunakan dalam menghitung masalah-masalah pada

bidang sains maupun teknik, misalnya dalam bidang fisika, kimia, transportasi,

dan lain-lain. Tidak setiap fungsi dapat diintegralkan secara analitik. Sering kali

ditemui fungsi yang sulit atau bahkan tidak dapat dicari penyelesaiannya

menggunakan cara analitik. Untuk mencari nilai integral tersebut digunakan cara

numerik, sehingga dapat diketahui nilai hampirannya. Berbagai metode dengan

berbagai pendekatan yang berbeda telah diciptakan untuk menentukan solusi

persoalan integral dengan menggunakan cara numerik.

Salah satu pendekatan numerik dalam menyelesaikan persoalan integral

adalah pendekatan berdasarkan polinom interpolasi. Pada pendekatan ini, fungsi

integran dihampiri dengan polinom, karena suku-suku polinom lebih mudah untuk

diintegrasikan. Integran yang didekati dengan polinom interpolasi Lagrange yaitu

metode Newton Cotes. Metode ini menggunakan titik-titik yang berjarak sama.

Jadi untuk memperoleh nilai aproksimasi yang mendekati nilai eksak, interval

dibagi menjadi sub interval yang sangat kecil. Hal ini membutuhkan waktu yang

sangat lama, sehingga metode ini kurang efisien.

Untuk mengatasi masalah ini diciptakan metode yang lebih efisien yaitu

kuadratur adaptif. Kuadratur adaptif merupakan skema integrasi yang

menyesuaikan panjangnya sub interval pada perilaku lokal dari integrannya

(Conte dan Boor, 1992). Dalam mengevaluasi integrannya cukup dipilih sub

interval yang tepat dan ukurannya tidak harus sama, sehingga dapat

meminimalkan jumlah sub interval. Karena itulah metode kuadratur adaptif

memerlukan waktu yang lebih cepat untuk mengevaluasi nilai integral dan

memiliki nilai pendekatan yang baik terhadap nilai eksaknya. Pada makalah ini

dibahas mengenai metode integrasi dengan kuadratur adapatif berdasarkan kaidah

Simpson beserta contoh perhitungannya.

4

1.2.Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, maka dapat dirumuskan

permasalahan sebagai berikut.

1. Bagaimana langkah-langkah integrasi numerik pada metode kuadratur

adaptif dengan kaidah Simpson?

2. Bagaimana penerapan kaidah kuadratur Adaptif dalam menyelesaikan

masalah integral?

1.3.Tujuan

Tujuan dalam makalah ini adalah sebagai berikut.

1. Mengetahui langkah-langkah integrasi numerik pada metode kuadratur

adaptif dengan kaidah Simpson.

2. Mengetahui penerapan kaidah kuadratur Adaptif dalam menyelesaikan

masalah integral.

5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Deret

Definisi 1

Misalkan * + adalah barisan, maka ∑

adalah deret tak hingga.

Jumlahan parsial ke- adalah ∑ . Deret tak hingga dikatakan

konvergen jika dan hanya jika barisan * + konvergen ke limit , yaitu

∑

Jika deret tidak konvergen, maka disebut sebagai deret divergen.

(Mathews dan Fink, 1999)

Teorema 2 (Teorema Taylor)

Diasumsikan bahwa , - dan misalkan , -, maka untuk

setiap ( ), terdapat bilangan ( ) (nilai dari bergantung pada nilai )

yang terletak antara dan sedemikian sehingga

( ) ( ) ( )

di mana

( ) ∑ ( )( )

( )

dan

( ) ( )( )

( ) ( )


2.2. Interpolasi

Interpolasi merupakan metode menghasilkan titik-titik data baru dalam

suatu jangkauan dari suatu barisan diskret data-data yang diketahui.

Definisi 3

Andaikan . Misalkan , bilangn real berbeda, dan

bilangn real. Polinom didefisikan oleh

6

( ) ∑ ( )

dengan ( ), didefinisikan oleh

( ) ∏

ketika , dan ( ) ketika , disebut polinom interpolasi Lagrange

berderajat untuk himpunan dari titik-titik *( ) +. Bilangan ,

disebut titik-titik interpolasi.

(Suli dan Mayers, 2003)

Seringkali, bilangan real diberikan sebagai nilai dari fungsi bernilai real

yang didefinisikan pada interval tertutup , - di titik-titik interpolasi yang

berbeda , -, .

Definisi 4

Misalkan . Diberikan fungsi bernilai real , terdefinisi dan kontinu

pada interval tertutup , -, dan titik-titik interpolasi , -, ,

polinom didefinisikan oleh

( ) ∑ ( ) ( )

adalah polinom interpolasi Lagrange berderajat (dengan titik interpolasi ,

) untuk fungsi .

(Suli dan Mayers, 2003)

2.3. Integral

Dalam sub bab ini dijelaskan mengenai integral tak tentu, aturan pangkat

yang diperumum, integral tentu, integrasi numerik, dan teorema-teorema yang

berkaitan dengan integral.

2.3.1. Anti Turunan (Integral Tak Tentu)

Definisi 5

Kita sebut suatu anti turunan dari pada selang jika pada

yakni, jika ( ) ( ) untuk semua dalam . Jika suatu titik ujung dari ,

( ) hanya perlu berupa turunan satu sisi. (Purcell dan Varberg, 1990)

7

Teorema 6 (Aturan Pangkat).

Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali , maka

∫

(Purcell dan Varberg, 1990)

Bukti.

Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk

∫ ( ) ( )

cukup dengan membuktikan

, ( ) - ( ).

Dalam kasus ini,

0

1

( )

Teorema 7 (Kelinearan dari ∫ )

Andaikan dan mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan

andaikan suatu konstanta maka:

(i) ∫ ( ) ∫ ( ) ;

(ii) ∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( ) ; dan

(iii) ∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( ) .


2.3.2. Aturan Pangkat yang Diperumum

Jika ( ) adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan

adalah suatu bilangan rasional ( ), maka

*

+

atau dalam cara penulisan fungsional,

(, ( )-

) , ( )- ( )

Dari sini kita peroleh suatu aturan penting untuk integral tak tentu

(Purcell dan Varberg, 1990).

8

Teorema 8 (Aturan Pangkat yang Diperumum)

Andaikan suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan suatu bilangan

rasional yang bukan , maka

∫, ( )- ( ) , ( )-


2.3.3. Integral Tentu

Definisi 9 (Integral Tentu)

Andaikan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup , -.

Jika

| |

∑ ( )

ada, kita katakan terintegralkan pada , -. Lebih lanjut ∫ ( )

, disebut

integral tentu (integral Riemann) dari ke , diberikan oleh

∫ ( )

| |

∑ ( )


Teorema 10 (Teorema Keterintegralan)

Jika terbatas pada , - dan kontinu pada interval tersebut kecuali

pada sejumlah terhingga titik, maka terintegralkan pada , -. Khususnya, jika

kontinu pada seluruh selang , -, maka terintegralkan pada , -.


Teorema 11 (Teorema Dasar Kalkulus I)

Andaikan kontinu (karenanya terintegralkan) pada , - dan andaikan

sebarang anti turunan dari pada interval tersebut maka

∫ ( )

( ) ( )


9

Bukti.

Andaikan adalah partisi

sebarang dari , -, diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∑, ( ) ( )-

Menurut Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan yang diterapkan pada pada

selang , -,

( ) ( ) ( ̅)( ) ( ̅)

untuk suatu pilihan ̅ dalam selang terbuka ( ). Jadi,

( ) ( ) ∑ ( ̅)

Pada ruas kiri kita mempunyai sebuah konstanta, sedangkan pada ruas kanan kita

mempunyai jumlah Riemann untuk pada , -. Bilamana kedua ruas diambil

limitnya untuk | | , diperoleh

( ) ( ) | |

∑ ( ̅)

∫ ( )

Teorema 12 (Kelinearan Integral Tentu)

Andaikan bahwa dan terintegralkan pada , - dan bahwa

konstanta, maka dan terintegralkan dan

(i) ∫ ( )

∫ ( )

,

(ii) ∫ , ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( )

,

(iii) ∫ , ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( )

.


Teorema 13 (Teorema Nilai Rata-rata Integral)

Jika diasumsikan , -, maka terdapat bilangan , dengan

( ), sedemikian sehingga

∫ ( )

( )

10

Nilai ( ) adalah nilai rata-rata dari pada interval , -.


Teorema 14 (Teorema Nilai Rata-rata Integral Berbobot)

Diasumsikan , - dan ( ) untuk , -, maka terdapat

bilangan , dengan ( ), sedemikian sehingga

∫ ( ) ( )

( )∫ ( )


2.3.4. Integrasi Numerik

Misalkan fungsi bernilai real, terdefinisi, dan kontinu pada interval real

tertutup , -, dan andaikan kita menaksir integral

∫ ( )

Oleh karena polinom mudah diintegralkan, maka fungsi diaproksimasi oleh

polinom interpolasi Lagrange berderajat . Jadi

∫ ( )

∫ ( )

(2.2)

Untuk bilangan bulat , misalkan , , menotasikan titik-titik

interpolasi. Kita akan mengasumsikan bahwa terdapat jarak yang sama, yaitu

di mana

Polinom irterpolasi Lagrange berderajat untuk fungsi adalah

( ) ∑ ( ) ( )

di mana

( ) ∏

11

Selanjutanya, masukkan ke persamaan (2.2), diperoleh

∫ ( )

∑ ( ) ( )

(2.3)

di mana

( ) ∫ ( )

(2.4)

Kaidah kuadratur numerik (2.3) dengan bobot kuadratur (2.4) disebut rumus

Newton-Cotes dengan orde (Suli dan Mayers, 2003).

Jika kita ambil , sehingga , , maka polinom interpolasi

Lagrange berderajat untuk fungsi adalah

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

,( ) ( ) ( ) ( )-

Jika ( ) diintegralkan dari ke dan mengingat (2.2) diperoleh

∫ ( )

∫ ( )

( ( ) ( ))

Integrasi numerik ini disebut kaidah Trapesium (Suli dan Mayers, 2003).

Jika kita ambil , sehingga ,

, dan fungsi

diaproksimasi oleh polinom interpolasi kuadratik, maka diperoleh

∫ ( )

∫ ( )

( ( ) (

) ( ))

Integrasi numerik ini disebut kaidah Simpson (Suli dan Mayers, 2003).

2.4. Teorema Weierstrass

Teorema 15 (Teorema Aproksimasi Weierstrass)

Jika ( ) kontinu untuk dan maka terdapat polinom

( ) di mana

| ( ) ( )|

12

Bukti.

Dengan tidak mengurangi umumnya pembuktian, dimisalkan , -

, - dan ( ) ( ) Sebab, jika teorema ini telah dibuktikan untuk

keadaan ini, maka fungsi dengan

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))

adalah kontinu jika kontinu pada , -. Di sini ( ) ( ) . Jika dapat

didekati secara seragam oleh barisan suku banyak, maka demikian juga dengan ,

sebab suatu suku banyak yakni

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )

Selanjutnya dengan mendefinisikan ( ) bernilai nol untuk di luar selang

tertutup , -, dibentuk fungsi suku banyak dalam

( ) ( )

di mana dipilih sehingga

∫ ( )

(2.5)

Selanjutnya untuk berlaku ketidaksamaan Bernoulli

( )

yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika, atau dengan mengambil

turunan fungsi

( ) ( )

di mana ( ) dan ( ) untuk , sehingga diperoleh

∫( )

∫( )

∫ ( )

√

∫ ( )

√

√

√

Dengan memperhatikan (2.5), diperoleh

13

∫( )

√

Jadi

√

Dengan demikian akan mengakibatkan bahwa untuk setiap berlaku

( ) √ ( ) | | (2.6)

Karena barisan √ ( ) konvergen ke nol, maka barisan fungsi ⟨ ⟩

konvergen seragam ke fungsi nol pada | |

Selanjutnya untuk dibentuk suku banyak dalam

∫ ( ) ( )

Karena ( ) untuk di , -, maka dengan mensubstitusi

diperoleh

( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

yang memperlihatkan bahwa ( ) suatu suku banyak derajat dalam , yang

real apabila fungsi real. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa seragam

pada , -. Diberikan Karena kontinu seragam pada , -, dan ( )

untuk , - maka kontinu seragam pada . Jadi terdapat sehingga

untuk | | berlaku

| ( ) ( )|

Misalkan | ( )|. Karena ( ) , mengingat (2.5) dan (2.6),

maka untuk , berlaku

| ( ) ( )| | ∫ ( ) ( )

( ) ∫ ( )

|

∫| ( ) ( )| ( )

14

∫ | ( ) ( )| ( )

∫| ( ) ( )| ( )

∫| ( ) ( )| ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫√ ( )

∫ ( )

∫√ ( )

karena √ ( ) untuk , maka terdapat , sehingga untuk

berlaku

√ ( )

Jadi untuk semua dan semua , - berlaku

| ( ) ( )|

sehingga seragam pada , -.

(Soemantri, 2000)

15

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson

Kuadratur adaptif merupakan skema integrasi yang menyesuaikan panjang

sub interval pada perilaku lokal integrannya. Dalam pembahasan makalah ini

integrasi kuadratur adaptif berdasar pada kaidah Simpson. Kaidah Simpson pada

sub interval , - dirumuskan sebagai berikut.

( )

( ( ) ( ) ( )) (3.1)

di mana

( ) adalah pusat dari , - dan

( ).

Kesalahan pemenggalan pada persamaan (3.1) ditentukan dengan persamaan

berikut ini

( ) ∫ ( )

( ( ) ( ) ( )) (3.2)

Oleh karena

( ), maka dan . Selanjutnya,

( ), ( ), ( ) masing-masing diekspansikan ke dalam deret Taylor di sekitar

, sehingga diperoleh

2 3

' '' '''

4

4

2! 3!

4!

k k

k k k k k

k

k

x a x af x f a x a f a f a f a

x af a

(3.3)

2 3' '' '''

44

2! 3!

4!

k k k k k k

k

h hf c f a h f a hf a f a f a

hf a

(3.4)

(3.5)

2 3' '' '''

44

4 82 2

2! 3!

16.

4!

k k k k k k

k

h hf b f a h f a hf a f a f a

hf a

16

Persamaan (3.3), (3.4), dan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2),

sehingga diperoleh

2 3

2

1 4(4)

2 3 4(4)

2 3

( ) ( )( ) ( ) '( ) "( ) '"( )

2! 3!( , )

( )( )

4!

4( ) '( ) "( ) "'( ) ( )

3 2! 3! 4!

4 8( ) 2 '( ) "( ) "'

3 2! 3!

k

k

k ka h k k k k k

a kk

k k k k k

k k k

x a x af a x a f a f a f a

E h f dxx a

f a

h h h hf a hf a f a f a f a

h h hf a hf a f a f

4(4)16

( ) ( )4!

k k

ha f a

2 3

1 4 5(4)

42 3 (4)

(2 ) (2 )( 2 ) ( ) '( ) "( )

2 6( , ) ( ) 0

(2 ) (2 )"'( ) ( )

24 120

206 ( ) 6 '( ) 4 "( ) 2 "'( ) ( )

3 24

k k k k

k k

k k

k k k k k

h ha h f a f a f a

E h f a f ah h

f a f a

h hf a hf a h f a h f a f a

3 4 52 (4)

1

3 4 52 (4)

4 2 32( , ) 2 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) ( )

3 3 120

4 2 202 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) ( )

3 3 72

k k k k k

k k k k k

h h hE h f hf a h f a f a f a f a

h h hhf a h f a f a f a f a

5 5(4) (4)

1

32 20( , ) ( ) ( )

120 72k k

h hE h f f a f a

5 (4)

1

5 1

8 5( , ) ( )

30 18

(4)( ),

90

kE h f h f a

f dh

(3.6)

untuk , -. Jadi dapat disimpulkan, jika , -, maka terdapat

, - sedemikian sehingga

∫ ( )

( ) ( )( )

(3.7)


17

3.2. Perbaikan Kaidah Simpson

Untuk menggunakan kaidah Simpson gabungan yang menggunakan empat

sub interval pada interval , -, dapat dilakukan dengan membagi interval

tersebut menjadi dua sub interval yang sama yaitu , - dan , - dan

mengaplikasikannya ke dalam persamaan (3.1). Akibatnya ukuran langkah pada

kaidah Simpson gabungan adalah

, sehingga diperoleh

( ) ( )

( ( ) ( ) ( ))

( ( ) ( ) ( ))

(3.8)

di mana , , , adalah titik tengah dari

, -, dan adalah titik tengah dari , -. Persamaan untuk

menghitung nilai kesalahan pemenggalan pada persamaan (3.8) adalah sebagai

berikut

( ) ∫ ( )

( ( ) ( ) ( ))

( ( ) ( ) ( ))

(3.9)

Oleh karena

( ), maka

,

,

, dan . Selanjutnya, ( ), ( ), ( ),

( ), ( ), dan ( ) masing-masing diekspansikan ke dalam deret Taylor

di sekitar . Sebelumnya telah diperoleh ekspansi deret Taylor untuk ( ),

( ) ( ), ( ) ( ), dan ( ) ( ) yaitu seperti pada

persamaan (3.3), (3.4), dan (3.5). Sehingga ekspansi deret Taylor untuk ( )

dan ( ) adalah

( ) (

)

18

( )

( )

. /

( )

. /

( )

. /

( )( )

( ) (

)

( )

( )

. /

( )

. /

( )

. /

( )( )

Ekspansi deret Taylor ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), dan ( )

disubstitusikan ke dalam persamaan (3.9). Dengan cara yang sama seperti (3.6)

sehingga diperoleh kesalahan pemenggalan

1 1 1 2 2 22 ( , ) ( ) ( ( ) 4 ( ) ( )) ( ( ) 4 ( ) ( ))6 6

k

k

a h

k k k k k k

a

h hE h f f x dx f a f c f b f a f c f b

1

1 1 2 2 2

2 3

2 4 5(4)

(2 ) (2 )2 ( ) '( ) "( )

2 6( , ) ( ) 0 ( )

6(2 ) (2 )"'( ) ( )

24 120

2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 6 6 3 6

k k k k

k k k

k k

k k k k k

h ha h f a f a f a

hE h f a f a f a

h hf a f a

h h h h hf c f b f a f c f b

3 42

2 5(4)

2 3 4

(4)

4 22 ( ) 2 '( ) "( ) "'( )

3 3( , ) ( )

632( )

120

1 1 1

2 1 2 2 2( ) '( ) "( ) "'( ) ( )

3 2 2! 3! 4!

k k k k

k

k

k k k k k

h hhf a h f a f a f a

hE h f f a

hf a

h h hh

f a hf a f a f a f a

19

2 3 (4)(4)

2 3 (4)(4)

2 3 4

(4)

( ) '( ) "( ) "'( ) ( )6 2! 3! 4!

( ) '( ) "( ) "'( ) ( )6 2! 3! 4!

3 3 3

2 3 2 2 2( ) '( ) "( ) "'( ) (

3 2 2! 3! 4!

k k k k k

k k k k k

k k k k



h h hh

f a hf a f a f a f

)ka

3 4 5

2 (4)

2

3 4 5

2 (4)

4 2 32( , ) 2 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) ( )

3 3 120

4 2 772 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) ( )

3 3 288

k k k k k

k k k k k

h h hE h f hf a h f a f a f a f a

h h hhf a h f a f a f a f a

( )( )

( )( )

(

) ( )( )

(

) ( )( )

( )( )

untuk , -. Sehingga dapat disimpulkan bahwa, jika , -,

maka terdapat , - sedemikian sehingga

∫ ( )

( ) ( )

( )( )

(3.10)

Jika diasumsikan bahwa ( )( ) ( )( ), maka sisi sebelah kanan pada

persamaan (3.7) dan (3.10) digunakan untuk memperoleh hubungan sebagai

berikut

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

20

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ( ) ( )

( ))

(3.11)

Selanjutnya persamaan (3.11) disubstitusikan ke persamaan (3.10) untuk

memperoleh taksiran kesalahan dan hasilnya.

∫ ( )

( ) ( )

( )( )

∫ ( )

( ) ( )

(

( )( )

)

∫ ( )

( ) ( )

( ( ) ( )

( ))

| ∫ ( )

( ) ( )|

| ( ) ( )

( )|


Berdasarkan pada hasil di atas, apabila diasumsikan bahwa toleransi kesalahan

integral adalah pada interval , -. Jika

| ( ) ( ) ( )| (3.12)

maka dapat dikatakan bahwa

| ∫ ( )

( ) ( )|

Sehingga aproksimasi integral kuadratur adapatif berdasarkan kaidah Simpson

gabungan (3.8) pada interval , - adalah

21

∫ ( )

( ) ( )

dengan batas kesalahan (error) . Nilai aproksimasi akan mendekati nilai eksak

jika sangat kecil.

3.3. Algoritma Integral Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson

Langkah-langkah perhitungan integral numerik dengan metode kuadratur

adaptif yang diterapkan pada kaidah Simpson adalah sebagai yang pertama,

diketahui *, - +, di mana adalah toleransi untuk kuadratur numerik pada

, -. Interval diperhalus atau dibagi menjadi dua sub interval, yaitu , -

dan , -. Jika uji ketelitian pada (3.12) dipenuhi, maka persamaan kuadratur

(3.8) diterapkan pada , - dan dilakukan proses perhitungan. Jika uji pada

(3.12) gagal, maka interval , - menjadi dua sub interval yaitu , - dan

, - dengan toleransi masing-masing

dan

. Sehingga

diperoleh dua interval dengan toleransi yang berhubungan untuk pengujian

selanjutnya, *, - + dan *, - +, di mana . Jika kuadratur

adaptif harus dilanjutkan, interval yang lebih kecil harus diperhalus dan diuji,

masing-masing dengan toleransi yang berhubungan.

Langkah kedua yaitu, perhatikan *, - +. Perhalus interval , -

menjadi , - dan , -. Jika , - dan , - memenuhi uji

ketelitian (3.12) dengan toleransi maka persamaan kuadratur (3.8) diterapkan

pada , - dan ketelitian telah dicapai pada interval ini. Jika tidak memenuhi uji

ketelitian pada (3.12) dengan toleransi , maka masing-masing interval , -

dan , - harus diperhalus dan diuji pada langkah ketiga dengan mereduksi

toleransi menjadi

. Selanjutnya perhatikan interval *, - +. Perhalus

interval , - menjadi , - dan , -. Jika , - dan , -

memenuhi uji ketelitian pada (3.12) dengan toleransi maka persamaan

kuadratur (3.8) diterapkan pada , - dan ketelitian telah dicapai pada interval

ini. Jika tidak memenuhi uji ketelitian pada (3.12) dengan toleransi , maka

masing-masing interval , - dan , - harus diperhalus dan diuji pada

22

langkah ketiga dengan mereduksi toleransi menjadi

. Oleh karena itu, pada

langkah kedua diperoleh tiga atau empat interval, yang kita beri label kembali

dengan teratur. Tiga interval yang dihasilkan tersebut adalah

{*, - + *, - + *, - +}, di mana . Pada kasus

dengan empat interval, kita akan memperoleh

{*, - + *, - + *, - + *, - +}, di mana

. Jika kuadratur adaptif dilanjutkan, interval yang lebih kecil harus diuji,

masing-masing dengan toleransinya yang berhubungan.

Untuk secara ringkasnya, diberikan algoritma sebagai berikut:

1. Mulai {[ ] },

2. Perhalus menjadi sub interval [ ] dan [ ],

3. Uji ketelitian

| ( ) ( ) ( )|

i. Jika dipenuhi, ( ) ( ) diterima dan dilakukan

perhitungan berikutnya,

ii. Jika gagal, [ ] dibagi menjadi dua sub interval yaitu [ ] dan

[ ], sehingga {[ ] } dan {[ ] } di mana

dan

,

4. Lakukan langkah 2-3 pada masing-masing {[ ] } dan

{[ ] },

5. Ulangi sampai tidak ada interval yang gagal dalam uji ketelitian,

6. Aproksimasi nilai integralnya adalah

∑ ( ( ) ( ))

untuk ( ) ( ) yang diterima.

23

3.4. Penyelesaian Masalah Integral dengan Metode Kuadratur Adaptif

Contoh 1

Dengan menggunakan kuadratur adaptif, carilah aproksimasi terhadap integral

∫√

tepat sampai suatu kesalahan .

Jawab

Jika diselesaikan secara analitik, nilai integral tersebut adalah

∫√

|

Selanjutnya, digunakan kudratur adaptif untuk mendekati integral tersebut.

Pertama, kita terapkan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval , -, diperoleh

( )

( )

( ( ) (

( )) ( ))

(√ √

√ )

Interval , - dibagi menjadi dua sub interval untuk diterapkan pada (3.8) yaitu

0

1 dan 0

1.

(

) (

)

( )

( ( ) (

(

)) (

))

( )

( (

) (

(

)) ( ))

(√ √

√

)

(√

√

√ )

24

Selanjutnya diuji ketelitiannya dengan toleransi .

| (

) (

) ( )|

Oleh karena uji ketelitiannya gagal, maka interval , - dibagi lagi menjadi dua

interval, diperoleh 0

1 dan 0

1. Kemudian terapkan interval 0

1 terlebih

dahulu pada persamaan (3.1) dan (3.8), diperoleh

(

)

.

/

( (

) (

(

)) ( ))

(√

√

√ )

Interval 0

1 dibagi menjadi dua sub interval untuk menerapkannya pada (3.8)

yaitu 0

1 dan 0

1.

(

) (

)

.

/

( (

) (

(

)) (

))

.

/

( (

) (

(

)) ( ))

(√

√

√

)

(√

√

√ )

Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi

( ) .

| (

) (

) (

)|

Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka .

/ .

/ diterima dan

dilakukan proses perhitungan selanjutnya. Kemudian terapkan rumus (3.1) dan

(3.8) pada interval 0

1, diperoleh

25

(

)

.

/

( ( ) (

(

)) (

))

(√ √

√

)

Interval 0

1 dibagi menjadi dua sub interval untuk menerapkannya pada (3.8)

yaitu 0

1 dan 0

1.

(

) (

)

.

/

( ( ) (

(

)) (

))

.

/

( (

) (

(

)) (

))

(√ √

√

)

(√

√

√

)

Selanjutnya diuji ketelitiannya dengan toleransi

( ) .

| (

) (

) (

)|

Oleh karena uji ketelitiannya gagal, maka interval 0

1 dibagi lagi menjadi dua


1 dan 0

1. Dengan cara yang sama dan menerapkan (3.1)

dan (3.8) pada interval 0

1, diperoleh

(

)

.

/

( (

) (

(

)) (

))

dan

(

) (

)

.

/

( (

) (

(

)) (

))

26

.

/

( (

) (

(

)) (

))

Selanjutnya diuji ketelitiannya dengan toleransi

( )

.

| (

) (

) (

)|


/ .

/ diterima dan

dilakukan proses perhitungan selanjutnya. Kemudian terapkan rumus (3.1) dan

(3.8) pada interval 0

1, diperoleh

(

)

.

/

( ( ) (

(

)) (

))

dan

(

) (

)

.

/

( ( ) (

(

)) (

))

.

/

( (

) (

(

)) (

))


( )

.

| (

) (

) (

)|

Oleh karena uji ketelitiannya gagal, maka interval 0

1 dibagi lagi menjadi dua


1 dan 0

1. Kemudian terapkan rumus (3.1) dan (3.8) pada

interval 0

1, diperoleh

(

)

.

/

( (

) (

(

)) (

))

27

dan

(

) (

)

.

/

( (

) (

(

)) (

))

.

/

( (

) (

(

)) (

))


( )

.

| (

) (

) (

)|


/ .

/ diterima dan

dilakukan proses perhitungan selanjutnya. Dengan cara yang sama dan

menerapkan (3.1) dan (3.8) pada interval 0

1 diperoleh

(

)

.

/

( ( ) (

(

)) (

))

dan

(

) (

)

.

/

( ( ) (

(

)) (

))

.

/

( (

) (

(

)) (

))


( )

.

| (

) (

) (

)|


/ .

/ diterima. Jadi

diperoleh

28

∫√

( (

) (

)) ( (

) (

))

( (

) (

))

( (

) (

))

∫√

Karena nilai integral secara analitik diperoleh

, maka

|

|

Jadi aproksimasi terhadap memenuhi kriteria toleransi yang diinginkan.

Contoh 2

Tentukan nilai integral dari

∫

Jawab:

Jika diselesaikan secara analitik, nilai integral tersebut adalah

∫

∫

|

|

(

)

29

Jika menggunakan pendekatan numerik dengan metode kuadratur adaptif,

diperoleh hasil seperti pada tabel berikut ini.

Tabel 3.1

Toleransi awal Galat

92,0528505515 2,0528505515

89,4025127793 0,5974872207

89,7602698329 0,2397301671

89,7602706225 0,2397293775

89,7602710715 0,2397289285

Dari kasus diatas diperoleh bahwa hasil integrasi dengan kaidah kuadratur

adaptif menunjukkan hasil pendekatan yang baik, karena integral dievaluasi

dengan menyesuaikan perilaku lokal integrannya. Semakin krcil nilai toleransi

awalnya maka nilai galatnya semakin kecil, sehingga nilai aproksimasinya

semakin baik, hanya saja diperlukan iterasi yang lebih banyak lagi.

30

BAB IV

KESIMPULAN

Berdasarkan pada hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya dapat

diperoleh beberapa kesimpulan, yaitu

1. Metode kuadratur adaptif merupakan skema integrasi numerik yang

perhitungannya menyesuaikan pada perilaku lokal dari integrannya.

Sehingga panjang sub interval pada metode kuadratur adaptif tidak selalu

sama tergantung pada integrannya.

2. Ketepatan metode ini bergantung pada nilai toleransi awal, semakin kecil

nilai toleransi awal, nilai aproksimasi mendekati nilai eksak, artinya

semakin baik nilai aproksimasinya

3. Metode kuadratur adaptif dengan kaidah simpson merupakan metode yang

sangat baik untuk mengaproksimasi nilai integral.

31

DAFTAR PUSTAKA

Conte, S.D. dan Boor, C.D. 1992. Dasar-dasar Analisis Numerik: Suatu

Pendekatan Algoritma. Erlangga. Jakarta.

Levy, D. 2010. Introduction to Numerical Analysis. Department of Mathematics

and Center Scientific Computation and Mathematical Modelling

(CSCMM) University of Maryland. United States.

Mathews, J.H. dan K.D. Fink. 1999. Numerical Method Using Matlab, Third

Edition. Prentice Hall. United States.

Munir, R. 2010. Metode Numerik. Informatika. Bandung.

Purcell, E.D. dan D. Varberg. 1990. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid I

(Terjemahan, B. Kartasasmita). Erlangga. Jakarta.

Soemantri, R. 2000. Analisis Real I. Pusat Penerbitan Universitas Terbuka.

Jakarta.

Suli, E. dan D. Mayers. 2003. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge

University Press. Cambridge.

32

LAMPIRAN

Flow Chart

Mulai

*,𝑎 𝑏 - 𝜀 +

Bagi 2 sub interval [𝑎 𝑏 ]

dan [𝑎 𝑏 ], 𝜀

𝜀

𝐼 ∑ (𝑆(𝑎𝑘 𝑏𝑘 ) 𝑆(𝑎𝑘 𝑏𝑘 ))𝑁

𝑘

SELESAI

|𝑆(𝑎 𝑏 )

𝑆(𝑎 𝑏 ) 𝑆(𝑎 𝑏 )|

𝜀

NO

YES

33

Source Code Program (MATLAB)

function [I,err,iflg]=adpsim(a,b,tol,fun)

% implementasi adaptif kuadratur Simpson

% Masukkan integrand,fun.

% a,b :Batas integrasi,tol:toleransi eror absolute

% errest: estimasi error

% iflg: Modus pengembalian , memberikan jumlah

subinterval di mana

% jumlah maksimum ( levmax = 10 ) dari terbagi dua

diperlukan dan

% nilai diterima secara default. Semakin besar iflg,

kepercayaan semakin

% berkurang

% harus memiliki nilai yang dihitung, y.

% nofun: jumlah fungsi yang dievaluasi

% inisialisasi

I=0;iflg=0;jflg=0;err=0;levmax=20;

fsave=zeros(levmax,3);xsave=zeros(levmax,3);simp=zeros(

levmax);

a=input('a=');

b=input('b=');

tol=input('toleransi awal=');

%fun=@(x)sqrt(x); %integrand

fun=@(x)(sin(x))^2; %integrand

tol2=tol+10*eps;

tol1=tol2*15/(b-a);

x=a:(b-a)/4:b;

for j=1:5

f(j)=feval(fun,x(j));

end

level=1;

%level=0 berarti seluruh interval tertutup , maka

selesai

while level>0

for k=1:3

fsave(level,k)=f(k+2);

34

xsave(level,k)=x(k+2);

end

h=(x(5)-x(1))/4;

simp(level)=(h/3)*(f(3)+4*f(4)+f(5));

if jflg<=0

s1=2*(h/3)*(f(1)+4*f(3)+f(5));

end

sl=(h/3)*(f(1)+4*f(2)+f(3));

s2=sl+simp(level);

d=abs(s1-s2);

if d<=tol1*4*h

level=level-1;

jflg=0;

I=I+s2;

err=err+d/15;

if level<=0

fprintf('nilai integral= %.10f \n',I)

return

end

for j=1:3

jj=2*j-1;

f(jj)=fsave(level,j);

x(jj)=xsave(level,j);

end

else

level=level+1;

s1=sl;

if level <= levmax

jflg=1;

f(5)=f(3);f(3)=f(2);

35

x(5)=x(3);x(3)=x(2);

else

iflg=iflg+1;

level=level-1;

jflg=0;

I=I+s2;

err=err+d/15;

end

end

for k=1:2

kk=2*k;

x(kk)=.5*(x(kk+1)+x(kk-1));

f(kk)=feval(fun,x(kk));

end

end

integral numerik kuadratur adaptif...

Documents